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1 LA DECOMPOSIION PROPRE GENERALISEE POUR LA RESOLUON DE PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOlRES COUPLES DEDIES A LA MECANIQUE DES MAERIAUX - MAILLAGE ADAPAIF E COUPLAGE AVEC LA MAN an Lnh Ngyen o e hs verson: an Lnh Ngyen. LA DECOMPOSIION PROPRE GENERALISEE POUR LA RES- OLUON DE PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOlRES COUPLES DEDIES A LA MECANIQUE DES MAERIAUX - MAILLAGE ADAPAIF E COUPLAGE AVEC LA MAN. Maéra. ISAE-ENSMA Eole Naonale Spérere de Méanqe e d Aéroehqe - Poers,. Franças. <NN : ESMA8>. <el-7783v> HAL Id: el-7783 hps://el.arhves-overes.fr/el-7783v Sbmed on 7 Feb 3 HAL s a ml-dsplnary open aess arhve for he depos and dssemnaon of senf researh domens, wheher hey are pblshed or no. he domens may ome from eahng and researh nsons n Frane or abroad, or from pbl or prvae researh eners. L arhve overe plrdsplnare HAL, es desnée a dépô e à la dffson de domens senfqes de nvea reherhe, pblés o non, émanan des éablssemens d ensegnemen e de reherhe franças o érangers, des laboraores pbls o prvés.

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3 HESE por l'obenon d Grade de DOCEUR DE L ECOLE NAIONALE SUPERIEURE DE MECANIQUE E D'AEROECHNIQUE Dplôme Naonal - Arrêé d 7 Aoû 6 Eole Doorale : Senes e Ingénere en Maéra, Méanqe, Energéqe e Aéronaqe Seer de Reherhe : Méanqe des Soldes, des Maéra, des Srres e des Srfaes Présenée par : NGUYEN an Lnh ************************ La Déomposon Propre Généralsée por la résolon de problèmes mlphysqes ransores oplés dédés à la méanqe des maéra - Mallage adapaf e oplage ave la MAN ************************ Dreer de hèse : Jean-Clade GRANDIDIER Co-Enadran : Maranne BERINGHIER ************************ Soene le Novembre ******************************** - JURY - J. BREARD F. CHINESA E. CUEO M. POIER-FERRY P. VILLON M. BERINGHIER J. C. GRANDIDIER Professer, Unversé d Havre, Le Havre Professer, Eole Cenrale de Nanes, Nanes Professer, Unversé de Saragosse, Espagne Professer, Unversé Pal Verlane, Mez Professer, UC, Compègne Maîre de Conférene, ENSMA, Chassenel Professer, ENSMA, Chassenel Eamnaer Eamnaer Rapporer Présden Rapporer Eamnaer Eamnaer

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5 Remeremens Une ornée de marhe, n paner de sagesse après 3 ans en Frane, la hèse es manenan rédgée e soene mas elle m apporé des paners de sagesse q reseron présens o a long de ma ve. C es porqo e ens o d abord à remerer mes enadrans Maranne Bérngher e Jean-Clade Grandder q on rempl mes paners par lers onsels, lers orreons, ler savor-vvre. C es sro e avan o grâe à Maranne, enadrane de os les nsans or e n, q a sarfé des heres nallables, q a éé oors à ôé de mo, q a oors fa de son me por mo e m a adé sr oes les hoses, bref, q s es nvese enèremen por qe e psse devenr n doer. Maranne, e e remere nfnmen por a genllesse, m as offer n nombre nallable de paners. Je ens à remerer égalemen Jean-Clade por ses onsels prée, ses qalés senfqes e pédagogqes q on éé oors ne sore de movaon por mo. Je ens à remerer Mhel Poer-Ferry de m avor fa l honner de présder mon ry de hèse. Je sohae remerer rès haleresemen Elas Ceo e Perre Vllon por avor aepé la lorde harge de rapporer. Un grand mer à Pao Chnesa e Adren Leyge por lers éhanges senfqes lors de la soenane e égalemen lors des rénons PGD à l ECN e à l ENSMA. Je remere égalemen Joël Bréard por avor aepé d êre membre d ry e por ses qesons néressanes. Je ens à remerer égalemen os les membres d DPMM e. LMPM q on onrbé a bon dérolemen de e raval e q m on réservé n ael halere. Pls parlèremen Denys Gamby, Mare-Chrsne Lafare e Lonel Bhad q m on donné l opporné d effeer e raval de hèse a LMPM. Je ne pe malheresemen er o le monde, mas e remere o le personnel d LMPM : des permanens q m on enoragé a personnels admnsrafs q m on adé dans oes les saons. Un grand mer ass a opans d LMPM : Clara, Fanny, Dav, Gaëlle, Roman, Nam, Hy, Qy, ng, hao, Hng, rong,... e os les ares qe e n a pas la plae de er... Je n oblera amas Floran e son sorre. Je sohae remerer ma famlle venamenne : e q resen làbas han mon olo pendan 3 ans, Qan, Qang, nh, Khang, en, Khanh, an, r, h, Manh, Ph e ass e q son déà pars fare fae a novelles épreves. Je ens à remerer beaop mes professers Doan Km Son, Ngyen Ph Khanh q on e onfane en mo e m on oors soen. Enfn, e sohae remerer ma famlle por ler soen permanen, noammen lors des pérodes dffles. Por ermner, n rès grand mer à ma fre épose, Hoa, q m a sv o a long de ee avenre, m a possé en dehors de mes lmes, m a oors soen e es ne sore d énerge permanene, sans lme. C es grâe à o q on es arrvé e on va onner nore longe avenre ensemble. Mer à os! Vos savez ben qe vos reserez oors dans mon œr. L espor nos gde!

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7 able des maères Inrodon... A. Inrodon e dssson sr les méhodes nmérqes por les problèmes oplés mlphysqes mlemps... 5 A.I Problèmes ransores... 6 A.I. Méhodes nrémenales... 7 A.I. Méhodes non nrémenales... 8 A.I.. Méhodes élémens fns espae-emps... 8 A.I.. Méhode LAIN... 8 A.I..3 Méhode PGD... 9 A.I.3 Méhodes de rédon de modèle... 9 A.I.3. Méhodes de rédon de modèle a poseror... 9 A.I.3. Méhodes de rédon de modèle a pror... 4 A.I.4 Dssson... 3 A.II Problèmes mlphysqes mlemps... 4 A.II. Méhodes nrémenales... 4 A.II.. Méhode des Elémens Fns lassqe... 4 A.II.. Méhode des Elémens Fns mlgrlle... 6 A.II. Méhodes non nrémenales... 8 A.II.. Méhode LAIN mlphysqe... 8 A.II.. Méhode PGD mlphysqe... 3 A.II.3 Dssson... 3 A.III Méhodes de mallage adapaf A.III. Méhodes d esmaon d errer A.III.. Esmaers en résd d éqlbre A.III.. Esmaers d errer en onrane A.III..3 Esmaers d errer en lo de omporemen A.III. L adapaon de mallage A.IV Sraége adopée dans le adre de ee hèse... 4 A.IV. Domanes d applaon de la PGD... 4 A.IV. Sraége de ee hèse... 4

8 B. Résolon d n problème ransore lnéare ave la PGD B.I La PGD dans le as d problème de la haler ransore D B.I. Formlaon d problème B.I.. Formlaon de la PGD progressve pondérée B.I.. Formlaon ensorelle... 5 B.I..3 Mnmsaon d résd B.I..4 Shéma emporel onssan B.I. Réslas... 6 B.I.. Smlaon ave ne sore de haler bmodale... 6 B.I.. Smlaon ave ne sore de haler de ype éhelon... 6 B.I..3 Smlaon ave ne sore de haler de ype mplsonnelle B.I..4 Smlaon ave la mnmsaon d résd B.II Mallage adapaf por la résolon d n problème ransore ave la PGD... 7 B.II. Présenaon de la ehnqe de mallage adapaf... 7 B.II. Sraéges de oplage PGD / ehnqe de mallage adapaf B.II.. RPGD_S os les modes son reallés B.II.. RPGD_S erans modes son onservés B.II..3 Dssson B.II.3 Réslas B.II.3. Sore bmodale B.II.3. Sore de ype éhelon... 8 B.II.3.3 Sore de ype mplsonnelle B.II.4 Dssson B.II.4. Comparason des de sraéges en erme d évolon d mallage. 88 B.II.4. Inflene d mallage nal... 9 B.II.4.3 Inflene d ho de l nerpolaon dans le as RPGD_S B.II.4.4 Inflene des emps araérsqes Conlson d hapre C. Coplage MAN PGD por la résolon d n problème ransore non lnéare C.I Résolon de l éqaon de la haler ransore D non lnéare... C.I. La PGD por les problèmes ransores non lnéares... C.I. La MAN por les problèmes ransores non lnéares... 3 C.I.. ehnqe de perrbaon... 4 C.I.. ehnqe de résolon oplée MAN-PGD... 7 C.I..3 ehnqe de onnaon... C.II Réslas... 7

9 C.II. Résolon d n problème ransore non lnéare par la MAN-PGD... 7 C.II.. Solon onvergée de référene par la méhode des dfférenes fnes... 7 C.II.. Réslas par la résolon MAN-PGD... 9 C.II..3 Sraége MAN-PGD modfée... 5 C.II. Domane de valdé... 7 C.II.. Domane de valdé... 7 C.II.. Inflene de la non lnéaré sr le domane de valdé... 3 C.II..3 Inflene d domane emporel sr le domane de valdé Conlson d hapre D. Résolon de problèmes mlphysqes ransores oplés ave la PGD D.I La PGD dans le as de problèmes mlphysqes ransores oplés D.I. Formlaon des problèmes mlphysqes D.I.. Problème parellemen oplé dffsohermqe D.I.. Problème foremen oplé hermovsoélasqe D.I. Réslas D.I.. Réslas d problème parellemen oplé dffsohermqe D.I.. Réslas d problème foremen oplé hermovsoélasqe D.II Sraéges de oplage PGD-ehnqe de mallage adapaf por des problèmes mlphysqes mlemps... 8 D.II. Présenaon de la ehnqe de mallage adapaf... 8 D.II.. Consron de mallage... 8 D.II.. Sraéges de oplage PGD - ehnqe de mallage adapaf RPGD... 8 D.II. Réslas D.II.. Réslas d problème parellemen oplé dffsohermqe D.II.. Réslas d problème foremen oplé hermovsoélasqe Conlson d hapre... 3 Conlson e perspeves... 5 Bblographe... 9

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11 Inrodon générale Cee hèse s nsr dans le onee de la méanqe des maéra. Dans e domane d avé ndsrel, la prédon de l endommagemen e de la drablé des maéra es a œr des problémaqes. Les ngéners doven évaler les apaés de la maère à spporer des hargemens méanqes mas ass hermqes. Dans des saons pls erêmes, l envronnemen oe n rôle rès mporan. On pe er les polymères sos de rès fores pressons de gaz o de lqdes, mas ass les omposes haes performanes sollés méanqemen sos haes empérares. Dans es de eemples parlers, le omporemen méanqe es affeé par les gaz q dffsen dans la maère. Le maéra es asse à des gradens de onenraon e don de propréés. Prédre sa ene dans de elles saons néesse ne onnassane des phénomènes physqes, ne denfaon des los de omporemen oplées e ne desrpon des phénomènes q génèren la rne. Cee onnassane maéra n es pas sffsane, l es essenel por l ngéner d avor des ols de prédon des gradens hermqes, de onenraon hmqes q son apables de rendre ompe des ondons de serve. Les ols nmérqes por réalser ee âhe esen mas dans erans as la résolon des problèmes oplés mlphysqes demande des emps de all prohbfs, e dans d ares as les algorhmes lassqes dédés à l ngéner ne fornssen pas de solon. Les verros à lever son de nares dfférenes : Plsers physqes à résodre ave : ne agmenaon de la alle des sysèmes à résodre des emps araérsqes dsns dffson hermqe e dffson de gaz Physqes de nares dfférenes oplées dffson, hermqe, méanqe, éqaons de nares dfférenes éqaons pls o mons oplées nares de oplages dsns oplage d éa : dlaaon hermqe o oplage maéra E f éqaons pls o mons non lnéares de nares dfférenes les non lnéarés peven êre lées a ermes de oplages e o a paramères maéra Par eemple ave n logel par élémens fns omme Abaqs M e en lsan le sos programme UEL, l es possble de résodre de manère oplée les éqaons de la méanqe, de la hermqe, de la dffson e même de la hme. Les emps de alls son nhérens à son solver de résolon de problème lnéare e à son shéma nrémenal emporel. Dans l ae Endommagemen e Drablé d déparemen Physqe e Méanqe des Maéra de l Ins PPRIME à l ENSMA à Poers, les développemens les pls avanés on démonré la apaé de e ode à résodre erans problèmes mlphyqes de méanqe des maéra, on pe er : Ramber e al [Ramber, 5, 6]: méanqe hermqe dffson foremen oplé Bade e al. [Bade 6, 9, ]: méanqe endommagemen dffson foremen oplé Olver e al. [Olver 8, 9]: méanqe dffson hme foremen oplé Rabearson e al. [Rabearson 9]: méanqe hermqe hme foremen oplé

12 INRODUCION Les de premères reherhes onernen le seer péroler où des maéra polymères son lsés omme gane o on d éanhéé dans le sysème de ranspor des hydroarbres. Ils son alors soms à des ondons sévères q son de haes empérares enre 8 e 5 C e des flaons de la presson d gaz don les hes son onnes sos le nom de déompresson «eplosve». Cela mène généralemen à n endommagemen rréversble d maéra dû à n rès for oplage enre les phénomènes hermqes, méanqes e dffsfs. Une modélsaon hermo-dffso-méanqe a éé mse en plae dans es hèses e mplanée dans le ode de all Abaqs M por prédre la ene en serve de e ype de srre. Dans es reherhes, les lmaons nmérqes on éé le emps de all e des saons où le oplage n a pas perms d obenr les réponses ransores en empérare e en dffson de gaz sablé d shéma emporel. La rosème problémaqe onerne le seer aéronaqe e pls parlèremen la prédon des ondons d amorçage de l endommagemen dans les maéra omposes C/Epoy soms à n envronnemen hermo-oydan. Un modèle mlphysqe oplan la méanqe e le proédé hmqe de dffso-hermo-oydaon a éé proposé afn de qanfer les hamps de onranes loa e les élémens d oydaon por prédre l évolon d ompose pendan n yle de hermooydaon. Il a éé l ass mplémené dans le ode de all Abaqs M en lsan ne ehnqe mlgrlle emporelle. L eenson de e modèle à la prédon de drée de ve de pèes omposes néesse des emps de all prohbfs e la sablé d shéma emporel a éé rès dffle à maîrser dans e as parler où le shéma méansqe éa onsé de s éqaons de néqe hmqe à résodre en haqe pon de Gass. La qarème reherhe onerne la prédon des onranes nernes générées par la sson. Ce modèle ombne la hme ne éqaon, la hermqe e la méanqe où oes les éqaons son foremen oplées e où os les paramères évolen de façon non lnéare en fonon d degré d avanemen de la réaon de sson e de la empérare. Por ee saon, le fren à la smlaon nmérqe ave Abaqs M a éé le emps de all de es ros physqes. Por les problèmes renonrés noammen lors de es hèses, les lmes de la méhode des Elémens Fns à ravers le ode de all ndsrel Abaqs M on éé monrées non onvergene, emps de alls prohbfs, problème de mémore e son prnpalemen lées a dfférenes éhelles de emps mses en e dans es phénomènes physqes e noammen a dfférenes éhelles spaales omme dans le as de Olver [Olver 8]. C es dans e onee qe se se ee hèse. L obef de ee hèse es don le développemen d n ol nmérqe por les problèmes mlphysqes oplés à dfférens emps araérsqes. Por répondre à ee problémaqe, nos avons don hos de eser ne méhode nmérqe émergene - la méhode de Déomposon Propre Généralsée PGD [Ammar 6], q omme nos le sferons dans le er hapre nos es appar omme n bon andda. On en rove les premers élémens dans [Ladeveze 999a] sos le erme d appromaon radale. La PGD formalsée par Chnesa dans le as mldmensonnel, onsse à reherher la solon omme ne somme de prods de fonons de haqe varable. Conraremen à la Déomposon Orhogonale Propre POD [Chaeree ], les fonons de base ne son pas onnes a pror mas allées à l ade d ne proédre érave. Même s dans le adre de ee hèse, nos n avons pas applqé la méhode de Déomposon Propre Généralsée à la résolon de problémaqes ndsrelles, les problèmes modèles raés son représenafs de dfflés nmérqes renonrées dans les hèses ées préédemmen. De pls, dans ee hèse, nos n aborderons pas les problémaqes lées a dfférenes éhelles spaales e nos avons hos de nos onenrer sr elles lées a dfférenes éhelles emporelles des problèmes mlphysqes renonrés en méanqe des maéra.

13 Inrodon Le b prés de ee hèse es don de prover qe la méhode de Déomposon Propre Généralsée es apable de résodre les problèmes mlphysqes oplés en méanqe des maéra. Ce mémore sera organsé de la manère svane : Dans le hapre A, nos présenerons de manère non ehasve n éa de l ar sr les méhodes nmérqes por la prédon des problèmes mlphysqes oplés. Ces problèmes fon apparaîre dfférenes qesons por lesqelles nos rappellerons les dfférenes approhes lsées dans la lérare sans forémen les déaller. Les dfférenes qesons son : ommen raer la varable emporelle approhe nrémenale o non? le oplage e par se les dfférenes éhelles de emps mlgrlles, sos nrémenaon, approhe non nrémenale? o enore la grande dmenson des problèmes méhodes de rédon de modèle? Ense, omme les ermes de oplage peven ndre de novelles zones ransores dans la réponse d problème, nos évoqerons les ehnqes de mallage adapaf. Enfn, nos présenerons la sraége adopée lors de ee hèse. Dans le hapre B, la méhode PGD es déallée por l éqaon de la haler ransore D. Une ehnqe de mallage adapaf smple es lsée afn d adaper la dsrésaon a dfférenes zones ransores de la solon. De méhodes oplan la PGD e la ehnqe de mallage adapaf son ense dsées sr e même eemple. La premère onsse à realler la solon PGD sr haqe novea mallage à parr de la solon nlle. La deème onsse à aller la solon sr haqe novea mallage en onservan les fonons de base de la solon sr le mallage prééden. La deème méhode perme de dmner le emps de all de la solon sr le mallage fnal d «opmsé» prnpalemen dans le as où le nombre de fonons de base por haqe mallage es mporan. La mse en plae de ee ehnqe nos perme de aper de manère aomaqe les zones ransores des éqaons édées sans les onnaîre a pror. Ce es parlèremen néressan por les problèmes oplés dans la mesre où les zones ransores ne son pas onnes a pror ar lées en pare a ermes de oplage. Dans le hapre C, le oplage enre la méhode PGD e la Méhode Asympoqe Nmérqe MAN [Coheln 7] es ms en plae por la résolon de l éqaon de la haler D ransore ave ne non lnéaré dans le erme sore. Ce raval a éé mené en ollaboraon ave Franso Chnesa e Adren Leyge de l Eole Cenrale de Nanes. La MAN perme de ransformer l éqaon non lnéare en ne sére d éqaons lnéares. Généralemen, es éqaons son résoles par la MEF. Dans le as q nos ope, les éqaons lnéares son ransores e résoles ave la PGD. Dans le hapre D, la formlaon de la méhode PGD es éende à la résolon de de problèmes parlers oplés q fon apparaîre de emps araérsqes. Ces de problèmes dffèren de par les ermes de oplage mas ass la nare des éqaons mses en e. Cela nos perme de eser la PGD dans dfférenes saons oplées. Enfn, le oplage ave la ehnqe de mallage adapaf présenée préédemmen es applqé à es problèmes. La onsron d mallage des dfférenes physqes après haqe éape d adapaon de mallage es noammen dsée. Enfn, le derner hapre fera offe de résmé de e raval sv des onlsons e des perspeves de reherhes envsageables. 3

14 INRODUCION 4

15 Chapre A Inrodon e dssson sr les méhodes nmérqes por les problèmes oplés mlphysqes mlemps Sommare A.I Problèmes ransores... 6 A.I. Méhodes nrémenales... 7 A.I. Méhodes non nrémenales... 8 A.I.. Méhodes élémens fns espae-emps... 8 A.I.. Méhode LAIN... 8 A.I..3 Méhode PGD... 9 A.I.3 Méhodes de rédon de modèle... 9 A.I.3. Méhodes de rédon de modèle a poseror... 9 A.I.3. Méhodes de rédon de modèle a pror... 4 A.I.4 Dssson... 3 A.II Problèmes mlphysqes mlemps... 4 A.II. Méhodes nrémenales... 4 A.II.. Méhode des Elémens Fns lassqe... 4 A.II.. Méhode des Elémens Fns mlgrlle... 6 A.II. Méhodes non nrémenales... 8 A.II.. Méhode LAIN mlphysqe... 8 A.II.. Méhode PGD mlphysqe... 3 A.II.3 Dssson... 3 A.III Méhodes de mallage adapaf A.III. Méhodes d esmaon d errer A.III.. Esmaers en résd d éqlbre A.III.. Esmaers d errer en onrane A.III..3 Esmaers d errer en lo de omporemen A.III. L adapaon de mallage A.IV Sraége adopée dans le adre de ee hèse... 4 A.IV. Domanes d applaon de la PGD... 4 A.IV. Sraége de ee hèse

16 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES Dans e hapre, n éa de l ar non ehasf sr les méhodes nmérqes por la résolon des problèmes oplés mlphysqes mlemps es présené. Le raemen nmérqe de es problèmes néesse des méhodes apables de répondre à dfférens pons. o d abord, les problèmes mlphysqes mènen à la résolon d n grand nombre d éqaons oplées e de nares dfférenes. La résolon de es problèmes par la Méhode lassqe des Elémens Fns MEF, même mallage por haqe physqe, mène don à la résolon de sysèmes nmérqes de grande alle, en len ave le nombre de phénomènes physqes onsdéré. De pls, dans le as de la méanqe des maéra, à haqe phénomène physqe es assoé n emps araérsqe spéfqe q ploe la réponse ransore d sysème. S les emps relafs à haqe physqe son rès dfférens o s les phénomènes son foremen oplés, l lsaon de pas de emps rès pes es néessare afn d assrer la sablé d shéma d négraon emporel mas ass de prédre présémen les dfférens gradens des réponses d sysème. Cela se rad dans eranes smlaons par des problèmes de non onvergene d all, de mémore nsffsane o enore de emps de all rès mporan. Por paller es dfflés, des méhodes nmérqes spéfqes on éé développées. Dans le onee des problèmes ransores, des méhodes non nrémenales on éé proposées. Ceranes d enre elles peven noammen êre onsdérées omme des méhodes de rédon de modèle. On s néressera o parlèremen à ne de es méhodes la méhode de Déomposon Propre Généralsée qe nos noerons PGD Proper Generalzed Deomposon. Dans le onee des problèmes mlphysqes, les méhodes mlgrlles s aoen a méhodes préédenes. Nos verrons qe la PGD es là enore parlèremen adapée dans la mesre où l lsaon de grlles emporelles dfférenes por haqe physqe es falemen mplanable. La préson de la solon nmérqe es lée a dsrésaons hoses. Des méhodes de mallage adapaf on éé développées afn qe le mallage permee d obenr ne erane préson sr la solon. Ces méhodes présenen n are nérê q es de aper de manère aomaqe les phénomènes ransores, en fasan évoler de manère aomaqe les dfférenes grlles. Dans e hapre, nos allons o d abord présener les méhodes nmérqes por la résolon de problèmes ransores e noammen l approhe oplée méhode non nrémenale - rédon de modèles. L eenson de es méhodes a problèmes mlphysqes es ense présenée dans la deème pare. Dans la rosème pare, nos évoqerons les ehnqes de mallage adapaf lassqemen lsées q son néessares por aper de manère aomaqe les réponses ransores des phénomènes oplés. Enfn, nos présenerons la sraége adopée dans ee hèse. A.I Problèmes ransores Les problèmes mlphysqes oplés mènen généralemen à la résolon de problèmes ransores e par se la résolon d Eqaons a Dérvées Parelles EDP dépendan non selemen de l espae mas ass d emps. Le problème ransore à résodre pe don s érre sos la forme générqe smplfée svane : Α f A.I- 6

17 Problèmes ransores où Α es n opéraer spaal lnéare. Ce problème es défn sr le domane [ ] Ω Ω où l espae es noé e le emps, ave des ondons a bords e Ω Ω ; nale noées Ω,,,. b Por résodre ee éqaon, des méhodes nmérqes onssen à dsréser le problème e à aller les valers de l nonne en haqe pon de dsrésaon en espae e en emps. Le ho de la méhode de résolon nflene foremen la alle d problème à résodre, parlèremen lorsqe les dsrésaons son fnes. Nos allons o d abord présener des méhodes q se dfférenen par le shéma emporel lsé por la résolon. Il s ag des méhodes nrémenales e non nrémenales. Ense, des méhodes de rédon de modèle seron présenées. Ces dernères on por b de rédre la alle de l espae où la solon es reherhée. A.I. Méhodes nrémenales Lorsq on réso les problèmes ransores ave les méhodes lassqes elles qe la méhode des Elémens Fns MEF [Zenewz 5], la méhode des Volmes Fnes MVF [Leveqe ] o la méhode des Dfférenes Fnes MDF [Allare 5], n shéma emporel nrémenal es généralemen lsé. Dans e as, a le de résodre des EDPs, des Eqaons Dfférenelles Ordnares EDO spaales son résoles à haqe nsan e n shéma d négraon emporelle nmérqe es lsé. Présons la démarhe ave par eemple l éqaon A.I- où Α représene l opéraer Cela mène à la résolon d problème parabolqe dépendan d emps : D. D f A.I- Spposons n mallage régler en espae,,..., n emps,..., δ. Noons la solon, a pon, n ayan n pas ayan n pas δ e n mallage régler en,, ;. n n Une fos la solon a emps allée por os les pons en espae ave dans e eemple la méhode des dfférenes fnes, la solon a emps + es allée à l ade d n shéma nrémenal. Plsers shémas esen dans la lérare. Le shéma eple enré e le shéma mple enré son présenés oplés à ne approhe dfférenes fnes : Le shéma eple enré : L éqaon A.I- s ér don sos la forme : δ D δ f + n + ; A.I-3 n Le shéma mple enré : L éqaon A.I- s ér don sos la forme : 7

18 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES + δ D f δ + n + ; A.I-4 n Ave es shémas, l fa résodre sessvemen le problème à haqe nsan. Dans le as d shéma eple, la solon es déermnée dreemen par l éqaon A.I-3 alors qe dans l are as, n sysème lnéare do êre résol. Le shéma eple semble don pls smple. Néanmons, l es ondonnellemen sable, es-à-dre, la solon pe présener des flaons selon le pas de emps hos. Por qe le shéma so sable, la ondon de sablé svane ondon CFL do êre sasfae : δ Dδ A.I-5 Le shéma mple, es l, nondonnellemen sable. Poran, la résolon d sysème lnéare à haqe pas de emps, pe êre rès oûese noammen s le nombre de pas de emps es mporan. A.I. Méhodes non nrémenales Afn de paller les dfflés nmérqes lées à l lsaon d n shéma nrémenal, des méhodes non nrémenales on éé développées. L dée prnpale es de résodre le problème sr l ensemble d domane emporel. On présene la Méhode des Elémens Fns espae-emps, la méhode LAIN LArge me INremen e la méhode PGD Proper Generalzed Deomposon. A.I.. Méhodes élémens fns espae-emps La Méhode des Elémens Fns espae-emps parallèle [Bh 999, Idesman ] a éé proposée por paller le problème lé a all séqenel en emps dans la méhode de dsrésaon lassqe. En effe, le emps es onsdéré dans e as omme ne dmenson spplémenare e es don raé omme l espae. On parle alors d élémens fns espae-emps. Par eemple, por n problème D espae-emps, des élémens fns 3D son lsés où le emps remplae la rosème dmenson. Cee méhode mène à n sysème global d éqaons en espae e en emps. A haqe éape de résolon, la solon es don déermnée por le domane emporel ener. L lsaon de la méhode EF espae-emps parallèle es pls effae qe elle des méhodes EF lassqes.e. ave n shéma nrémenal en emps. Néanmons, la alle d sysème algébrqe à résodre pe devenr rès mporane e mener à n emps de all prohbf e des problèmes de soage de données. La méhode a don éé légèremen modfée. Elle onsse à dvser le domane emporel en nervalles de emps grossers. Le problème es ense résol en lsan les méhodes de Galern dsonn e onn en emps. A l ade de la méhode de Galern dsonn, l ensemble d domane emporel Ω [ ; ] es, par eemple [Idesman ], dvsé en de blos Ω [ ; / ] e Ω [ / ; ]. Ans, a le de résodre le problème sr l nervalle de emps omple, l es résol sessvemen sr han des blos emporels ave la méhode de Galern onn. Sbdvser le emps en nervalle grosser perme de rédre le nombre de degrés de lberé à raer o en gardan les avanages d "non nrémenal". A.I.. Méhode LAIN La méhode LAIN LArge me INremen o méhode à grand nrémen de emps [Ladeveze 999a] es n solver éraf nalemen dédé a problèmes non lnéares d évolon e 8

19 Problèmes ransores q a por orgnalé d êre non nrémenal. A haqe éraon, de problèmes son sessvemen résols : n problème non lnéare loal sv d n problème lnéare global. La méhode LAIN sépare don les dfflés en séparan la résolon des problèmes. A haqe éraon, ne appromaon de la solon sr l nervalle de emps ener es allée, e q en fa ne méhode non nrémenale. Le araère non nrémenal de la LAIN se rove a nvea de l appromaon radale lors de la résolon d problème global prnpe P3 de ee méhode. Elle onsse à reherher la solon sos la forme séparée espae-emps. La méhode LAIN pe don êre ve omme ne méhode de rédon de modèle a pror, elle sera présenée en déal dans la pare dédée à e se A.I.3.. A.I..3 Méhode PGD En s appyan sr l dée de l appromaon radale de la LAIN, la méhode PGD a éé développée [Ammar 6, 7, Ladeveze ]. Cee méhode onsse à reherher la solon d ne EDP sos la forme de somme de prods de fonons à varables séparées. La PGD, fasan elle ass pare des méhodes de rédon de modèle a pror. Elle sera déallée dans la pare svane A.I.3.. Remarqe. D ares méhodes non nrémenales esen. On pe er par eemple les méhodes espae-emps basées sr les ondelees [Alam 6]. Elles onssen à ransformer les EDPs en n sel problème algébrqe sr l ensemble d domane emporel. Cohen [Cohen ] solgne qe l lsaon d ne elle méhode présene néanmons des nonvénens els qe la géomére e la srre de données [Cohen ], la onsron de bases d ondelees éan fale nqemen dans le as d n domane reanglare. Ave ne géomére omplee, la onsron de la base pe ve devenr omplqée. A.I.3 Méhodes de rédon de modèle Afn de paller les lmaons en erme de alle d problème à résodre grand nombre de d.d.l, des méhodes de rédon de modèle basées sr la séparaon des varables on éé développées. L obef de es méhodes es de herher ne base réde por dérre la solon. Ces méhodes de rédon de modèle peven êre lassées en de aégores : les méhodes de rédon a poseror où ne onnassane préalable sr la solon d problème es néessare e les méhodes de rédon a pror q néesse ane onnassane sr la solon. A.I.3. Méhodes de rédon de modèle a poseror Les méhodes de rédon de modèle a poseror néessen ne onnassane préalable sr la solon por onsrre la base réde. Les pls lassqemen lsées son la Déomposon Orhogonale a valers Propres POD - Proper Orhogonal Deomposon e la Déomposon en Valers Snglères SVD - Snglar Vale Deomposon. La POD [Chaeee, Corder 6], nalemen développée por l analyse de données o le raemen des mages, onsse à ompaer les données [Chaeee ]. La POD es ass lsée dans n grand nombre de domanes e en parler la méanqe des fldes [Allery 5]. Cee méhode pe êre assmlée à la déomposon de Karhnen-Loeve [Karhnen 946, Loeve 963] dans le as d espaes de dmensons nfnes o enore à l Analyse en Composanes Prnpales PCA Prnpal Componen Analyss lée à la SVD dans le as où la dmenson es fne. 9

20 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES Spposons qe la solon, d ne EDP pe se mere sos la forme d ne somme de fonons à varables séparées espae-emps, elle s ér : N, a Φ A.I-6 Cee appromaon deven eae lorsqe le nombre de ermes N end vers l nfn. Noons qe ee représenaon n es pas nqe. Por ne valer de N donnée, la POD onsse à onsrre la mellere appromaon possble ave ne base spaale orhonormée, e q reven à érre : Φ Φ d δ, N Ω où δ es le symbole de Kroneer. Une fos la base spaale déermnée, la base emporelle es hose elle qe : a, Φ d N Ω où les fonons a ne dépenden qe de Φ. A.I-7 A.I-8 Nos allons manenan présener la méhode SVD ans qe de méhodes POD la méhode de lassqe e la méhode de des snapshos. a Méhode SVD La méhode SVD Déomposon a Valers Snglères es nalemen ne méhode de faorsaon de mares [Golb 99] mas elle es égalemen lsée por approher la solon par ne base réde. Elle fa don pare, dans e onee, des méhodes de rédon a poseror. En an qe méhode a poseror, elle néesse don des onnassanes préalables de la solon. Ces nformaons son en général sses des observaons, appelées des snapshos q son des lhés de la solon à dfférens nsans. Spposons n snapshos d hamp onnes e noés, n ; n. L ensemble de es snapshos pe êre rangé dans ne mare, appelée mare des snapshos : n... n... Q A.I n n n... n La SVD es ense applqée sr la mare Q. Elle onsse à faorser ee mare sos la forme : A UΣV A.I- où Σ es ne mare dagonale de alle n n onenan mn n, n valers snglères σ q son rangées dans n ordre dérossan, U es ne mare de alle n n don les olonnes onsen ne base orhonormée de l espae.e n UU I e V es ne mare de alle n n don les olonnes onsen ne base orhonormée d emps.e VV I. n

21 Problèmes ransores Chaqe olonne de U es don homogène à n mode spaal Φ n e haqe olonne de V es homogène à n mode emporel a n. Chaqe valer snglère σ orrespond à n oeffen α mn n, n. Comme la valer de es oeffens déroî rès ve, on onserve en général nqemen les N premères valers snglères, la solon s ér don: N, α Φ a A.I- La SVD perme ans d obenr ne déomposon spao-emporelle de la solon. Noons qe ee déomposon es opmale a sens énergéqe. La SVD es présenée dans le as d ne mare en dmensons espae-emps,. Gonzalez e al. [Gonzalez ] l on éend a as de problèmes mldmensonnels en ombnan la ehnqe proposée par Kolda e al. [Kolda 7] à l ol Malab ensor oolbo [Bader 7]. Lahawer e al. [Lahawer ] proposen égalemen ne eenson de la SVD por des ensers d ordre élevé. Remarqe. En mlplan les de membres de l éqaon A.I- par mare de dmenson n n : Q à gahe, on défn ne Q Q VΣU UΣV VΣ V A.I- En posan Λ Σ, l ven : σ λ. L éqaon A.I- es don éqvalene à n problème a valers propres où V son les veers propres e Λ son les valers propres. De la même manère, en mlplan par QQ Q à droe, on défn ne mare de dmenson n n : UΣV VΣU UΣ U A.I-3 où U,Λ représene la déomposon a valers propres de ee mare. Selon la relaon d ordre enre n e n, on préfèrera l ne o l are des déomposons. Lorsqe n >> n, la déomposon de QQ es fae à l ade de la POD lassqe alors qe dans l are as, le POD des snapshos sera lsée. b Méhode POD La POD o déomposon de Karhnen-Loeve es ne eenson de la SVD a espaes de dmenson nfne omme par eemple, l espae des fonons onnes en emps. Dans les méhodes POD, afn de herher la base réde, les fonons de base son obenes en résolvan le problème a valers propres défn à parr des mares de orrélaon, q son les mares onsres à parr des snapshos de la solon. Les méhodes POD son présenées en svan le pon de ve de Corder e al. [Corder 6]. Por pls de déals à e se, le leer porra se référer à e arle. Consdérons l éqaon A.I- e X, ne varable spao-emporelle. Spposons qe, X es n ensemble de snapshos, oben en n nsans dfférens por o le domane spaal Ω. Ces observaons peven êre soen des données epérmenales soen des données nmérqes obenes par eemple sr n pas de emps ave la méhode des élémens fns.

22 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES Le problème onsse don à erare des hamps, onsdérés omme aléaores, n mode domnan Φ appelé srre ohérene. Cela reven don à herher ne fonon Φ déermnse q possède, a sens des mondres arrés, la pls grande proeon sr les snapshos spposés aléaores, n,ψ, désgne le prod salare anonqe sr n espae de Hlber des fonons de arré négrable H. D n pon de ve mahémaqe, ee fonon es solon d problème d opmsaon svan ave la onrane Φ, Φ : où >, es-à-dre q mamse la qané où < Φ Φ, Φ < es n opéraer de moyenne., ψ ψ ψ, > < ma > ψ H, A.I-4 Le ho de e opéraer de moyenne < > perme de dfférener la méhode POD lassqe de la méhode POD des snapshos. Le problème de mamsaon Eq. A.I-4 se réér sos la forme d n problème a valers propres : Φ > Φ <, λ A.I-5 où λ es n mlplaer de Lagrange nrod lors d all. En nrodsan l opéraer R défn par : où Ω RΦ X R X, X' Φ X' dx' A.I-6 R X, X' X X' A.I-7 es le enser des orrélaons spao-emporelles enre de pons X e X ', le problème a valers propres Eq. A.I-5 se ramène à l éqaon négrale de Fredholm : Ω RΦ X R X, X' Φ X' dx' λ Φ X A.I-8 La résolon de e problème perme d obenr les fonons propres Φ X. Cee base POD es opmale a sens énergéqe. Un fable nombre de fonons enore appelées modes es en général néessare por aprer la qas-oalé de l énerge. Nos allons manenan présener les de méhodes POD appelés «méhode POD lassqe» e «méhode POD des snapshos» dfférenables par la défnon de l opéraon de moyenne < >. Méhode POD lassqe Dans l approhe POD lassqe [Lmley 967], la moyenne < > es emporelle : < > Ω d A.I-9 La varable X es assmlée à la varable spaale. Le problème a valers propres se déd de Eq.A.I-6 en remplaçan le domane Ω par le domane spaal Ω. Ans :

23 Problèmes ransores ave Ω R, ' Φ ' d' λ Φ R, ', ', d Les veers propres Φ ne dépenden don qe de l espae. Ω A.I- A.I- En spposan qe le hamp aléaore onsdéré, s ér sos la forme :, a Φ A.I- où les oeffens emporels son déermnés en proean le hamp, sr les fonons propres spaales:,, Φ a A.I-3 n n Remarqe. Dans e as, por déermner les fonons propres, l fa résodre l éqaon négrale de Fredholm A.I-, ave ne négraon sr le domane spaal. S la alle n es mporane e q pe êre le as prnpalemen dans les as D o enore 3D, la alle de R, ' deven mporane, d aan pls q elle orrespond à ne mare plene. La résolon de Eq. A.I- pe don s avérer rès oûese f. déomposon a valers propres de la mare QQ. Méhode POD des snapshos La méhode POD des snapshos [Srovh 987] onsse à raer des lhés emporels snapshos. S l on onsdère qe le nombre de réalsaons emporelles néessare por dérre de manère prése le hamp onsdéré es égale à n, le problème à résodre par la méhode des snapshos es de alle n. L opéraer de moyenne orrespond, dans e as, à ne moyenne spaale évalée sr o le domane Ω : < > Ω d A.I-4 La varable X es don assmlée à la varable emporelle. Les fonons propres spaales Φ son spposées êre des ombnasons lnéares des réalsaons, onenes dans la base de données base de snapshos, so : n Φ a, A.I-5 Les snapshos, son spposés lnéaremen ndépendans. Les oeffens a n son herhés els qe les fonons propres Φ soen solon de l éqaon A.I-8. On oben don: Ω R, ' a ' d' λa A.I-6 où le enser des orrélaons emporelles R, ' enre de pons e ' es défn omme s: 3

24 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES R, ',, ' d Ω A.I-7 Cela perme de déermner les oeffens a n. Les modes POD son ense onsrs à l ade de l éqaon A.I-5. Cee approhe orrespond à la déomposon a valers propres de la mare Q Q. Remarqes. On vo qe la alle d problème a valers propres es égale à n. Cee méhode des snapshos perme don de rédre onsdérablemen le emps de all lorsqe le nombre de lhés emporels n es pls pe en omparason d nombre de pons en espae n. S le emps araérsqe d problème édé es pls pe qe l éar enre les snapshos alors ee méhode ne pe pas dérre la solon de es problèmes. Dans [Corder 6], l es menonné q en général, les données sses d approhes epérmenales son raées par la méhode lassqe e les données provenan d approhes nmérqes son raées par elle des snapshos. Les aers l eplqen en nvoqan le fa q ave l approhe epérmenale, la desrpon emporelle es ben résole alors qe la desrpon spaale es soven rès lmée. A.I.3. Méhodes de rédon de modèle a pror Por les méhodes de rédon de modèle a poseror, des nformaons nales sr la solon reherhée doven êre onnes. De pls, elles nflenen foremen les réslas e peven mener lorsq elles ne son pas opmales à ne neffaé de la POD por prédre la solon. Por paller e prnpal défa, n eran nombre de méhodes de rédon de modèle a pror, es-àdre ane nformaon nale n es néessare, on v le or. Nos allons manenan présener ros de es méhodes. Il s ag de la méhode APR A Pror Redon, la méhode LAIN e la méhode PGD. La premère se dfférene pls parlèremen des de ares ar elle es nrémenale alors qe, omme nos l avons déà menonné, les de dernères son non nrémenales. a Méhode APR La méhode APR A Pror Redon, née par Ryelyn [Ryelyn, 5, 6] es ne méhode de rédon de modèle nrémenale. La base es en effe enrhe à l ade des sosespaes de Krylov sr n nervalle de emps donné. Paran d onsa q ne base POD n es pas apable de représener ne nformaon q n es pas onene nalemen dans la base de données lsée por la déermner, la méhode APR perme de onsrre la base de manère adapave a ors de la smlaon. Elle pe don êre ve omme ne eenson nrémenale e adapave de la POD. 4

25 Problèmes ransores L APR es ne méhode érave dans le sens où la base des fonons Φ es orrgée de manère érave sq à en obenr ne q dérve ave ne erane préson la solon, sr o l nervalle de emps onsdéré. Les éapes de l APR son manenan déallées [Allery, Dmon b]. Por pls de déals, le leer porra se référer à es domens ans q a arles de Ryelyn és aparavan. La solon d problème es reherhée sos la forme de déomposon de fonons spaales e emporelles des modes : N, a Φ A.I-8 où le nombre de modes N n es pas prédéfn. Afn de onsrre la base, la méhode APR es onsée de ros éapes dfférenes. Une fos la base spaale nalsée, de éapes de résolon d sysème réd e d enrhssemen ave orhogonalsaon de la base son répéées sq à onvergene. Déallons es dfférenes éapes : Eape. Inalsaon de la base spaale: La base spaale es, en général, nalsée de manère à sasfare les ondons nales d problème. L nalsaon pe par eemple se fare par n premer all Elémens Fns sr le premer nrémen de emps sr oe la srre. Eape. Consron e résolon d sysème réd : Dans ee éape, le problème dsrésé omple es proeé sr la base APR. Plaçons nos à la ème éraon, e q sgnfe qe la base réde APR onen N fonons Φ N. Les oeffens a N son déermnés en spposan la solon sos la forme : N, a Φ A.I-9 En mposan la ondon qe le résd d problème A.I- so orhogonal à han des veers Φ N, ela reven à résodre : N N da E B, a, Φ Φ + ΑC Φ Φ f, Φ d où, désgne le prod salare. CD A A.I-3 Ce problème es n problème réd dmensons rédes mas résol à haqe nervalle de emps méhode nrémenale. Une fos les problèmes résols, les oeffens a son déermnés por haqe nervalle de emps. La solon, à haqe nervalle de emps es déde de l éqaon A.I-9. 5

26 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES Eape 3. Vérfaon de la valdé de la base e enrhssemen : La onvergene de la méhode APR es déermnée en allan le résd : N N da Res Φ + a Α Φ f A.I-3 d por haqe pas de emps n. La solon onverge lorsqe la valer d résd es nférere à n sel ε CV hos par l lsaer por os les nervalles de emps. S e sel n es pas aen por os les pas de emps, la base à l éraon es onsdérée omme mavase e es don mse à or de manère adapave. Cee éape es ne éape rès mporane de la méhode q onsse en de sos éapes orhogonalsaon e enrhssemen qe nos présons manenan. o Orhogonalsaon de la base o phase d améloraon L obef de ee phase d améloraon es de prendre en ompe l nformaon de la dernère éraon APR. Por ela, la méhode POD es applqée a oeffens emporels a N, n de la base réde afn de séleonner les fonons de forme orrespondanes a événemens prnpa de ee base réde. Cela mène don à la résolon d problème a valers propres : K V λv A.I-3 où la mare K es la mare de orrélaon emporelle de alle N N q es défne par : K mn n n a m a A.I-33 n La résolon de e problème a valers propres Eq. A.I-3 perme de déermner valers propres λ > >... > propres vérfan le rère : λ λ N e λ l > λ µ sel N veers propres N V, V,..., V N. Les q valers l q A.I-34 son onservées où µ, fé par l lsaer, perme de séleonner les modes propres. sel ~ La novelle base orhogonale Φ l q onenan q veers défns par : l ~ Φ l N l Φ V A.I-35 l où le veer V es le veer propre assoé à la valer propre λ l es réée. Cee novelle ~ base Φ l q ne prend en ompe qe les événemens mporans de l anenne base l Φ N. o Enrhssemen de la base o phase d epanson 6

27 Problèmes ransores Dans ee éape, la base es enrhe por prendre en ompe le fa, q à parr d n eran emps, le résd Eq. A.I-3 n es pas sffsammen pe rère de onvergene non vérfé. Spposons qe e so por le emps noé + CV. On a don la relaon : + < CV Res < ε CV e + CV Res > ε CV A.I-36 Cela sgnfe qe la base es effae selemen sq a emps dépassé, la base ne perme pas de fornr de bons réslas. + CV. Une fos e emps + Noons R le veer résd à l nsan, nsan où le rère de onvergene n es pas vérfé. [Ryelyn 5] propose ne ehnqe d enrhssemen basée sr l lsaon des sos-espaes de Krylov générés par le résd d problème. L espae de Krylov d ordre m, + CV m K, es onsr de la manère svane : m + { R JR, J R,..., J } m K, R A.I-37 où J es la aobenne d problème A.I-. En praqe, le sos-espae de Krylov es d ordre m o m. La novelle base à l éape + sera don : ~ ~, K m Φ,..., Φ A.I-38 { } q Les de dernères éapes son répéées sq à e qe le rère de onvergene défn par l éqaon A.I-3 so vérfé. Cee méhode a éé amélorée par Ryelyn [Ryelyn 5] en y aoan l aspe d Hyper Rédon, q onsse à ne séleonner q ne pare des pons d négraon d modèle Elémens Fns por prévor l éa de la base réde. Elle pore don dans e as le nom de APHR por A Pror Hyper Redon. La méhode APR o enore l APHR perme de rédre le emps de all des smlaons. Dans [Neron ], l es noé qe, por eranes éqaons omme l éqaon des ondes, la base réde obene n es pas opmale. Le araère non nrémenal de ee méhode pe présener les défas és préédemmen f. A.I.I.. Il ese d ares méhodes de rédon de modèle dans la lérare. On porra er la méhode de Base Réde RB-Reded Bass [Mahels ]. Dans ee méhode, la base es ass onsre de manère adapave. Une errer es défne e perme d enrhr la base là où l errer es grande. La défnon de l errer proposée dans ee méhode perme de garanr la qalé de la solon d modèle réd. Cee méhode es noammen applqée dans les smlaons en emps réel [Prd homme ]. b Méhode LAIN 7

28 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES La méhode LAIN LArge me INremen mehod o méhode à grand nrémen de emps [Ladevèze 999a] q es ne méhode non nrémenale pe êre ve omme ne méhode de rédon de modèle a pror. Une présenaon lassqe de la méhode es donnée e pls parlèremen l aspe rédon de modèle. Son eenson por la résolon des problèmes mlphysqes mléhelles mlemps [Neron 4, 8a, 8b, Passe 8] sera présenée dans la pare A.II... La méhode LAIN es basée sr les ros prnpes svans : Prnpe P: Séparaon des dfflés L obef d prnpe P es de séparer les éqaons en de gropes : - le premer grope A d es l ensemble des solons des éqaons lnéares q son évenellemen globales: A d { s s vérfe les ondons d amssblé } A.I-39 - le deème grope es l ensemble des solons des éqaons loales q son évenellemen non lnéares : { ŝ ŝ vérfe les relaons de omporemen e les ondons nales } A.I-4 La solon s e d problème herhée es don : se Ad A.I-4 Prnpe P : Résolon érave en de éapes Le prnpe P onsse à onsrre la solon s e à l ade d n shéma éraf omposé de de éapes. Spposons onne la solon s n de A d obene à l éraon n e plaçons nos à l éraon n + d shéma éraf, llsrée FIG. A.I-. La premère éape, appelée éape loale, + onsse à herher la solon s ˆ n + / de en lsan ne premère dreon de reherhe E. A parr de ee solon, la seonde éape, appelée éape lnéare, onsse à herher la solon s n+ de A d à l ade d ne seonde dreon de reherhe E, ongée de la préédene. FIG. A.I- Une éraon de la méhode LAIN [Neron 4] La FIG. A.I- monre ne représenaon de prnpe de la LAIN où son shémasées les dreons de reherhe. Noons qe dans la méhode LAIN, es dreons de reherhe onsen des paramères de la méhode. Le ho de es paramères nflene noablemen la onvergene de l algorhme. 8

29 Problèmes ransores FIG. A.I- Représenaon de prnpe de la méhode LAIN [Neron 4] Déallons manenan la nare des sysèmes à résodre lors de es de éapes. - L éape loale à l éraon n + Les éqaons son non lnéares mas loales. Cee éape mène don à la résolon d n pe sysème d éqaons dfférenelles ordnares non lnéares loales sr les pons d négraon des élémens fns. - L éape lnéare à l éraon n + Les éqaons son lnéares e globales. Por lmer le oû de résolon dans ee éape le prnpe P3 es lsé. Prnpe P3 : Représenaon des nonnes Le prnpe P3 de la méhode LAIN es proposé por résodre l éape lnéare les éqaons globales de manère non nrémenale. Il s appe sr l appromaon radale [Ladeveze 999a] q a por b de raer l ensemble d domane emporel por rédre le emps de all. C es don à ravers e prnpe qe la méhode LAIN pe êre ve omme ne méhode de rédon de modèle. L appromaon radale onsse à résodre les éqaons globales lnéares sos la forme séparée, es-à-dre à reherher la solon s, sos la forme d ne somme de fonons radales en raoan a fr e à mesre des oples espae-emps Φ, a. La solon s ér don : où N es le nombre de oples emps-espae. N s,, a Φ A.I-4 Ave ne elle érre de la solon, la résolon d problème global lnéare néesse por déermner les fonons d espae, la résolon d n sysème d Eqaons a Dérvées Parelles spaales e ndépendanes d emps e, por déermner les fonons d emps, la résolon d n sysème d éqaons dfférenelles ordnares en emps. Ces de sysèmes son résols de façon déoplée. Noons qe les fonons d emps son négrées sr l ensemble d domane, e q onse le araère non nrémenal de la méhode LAIN. L appromaon radale présene des smldes ave la méhode POD. Néanmons, a onrare de ee dernère, es ne méhode a pror. Ane solon n es néessare por ommener la onsron de la base. Grâe à l appromaon radale, la méhode LAIN es rès effae por la résolon des problèmes ransores. Dfférenes améloraons sr es méhodes son proposées par l éqpe de Ladevèze, permean noammen de lmer le nombre de fonons emporelles por ne préson de la solon donnée [Ladeveze ]. S appyan sr l appromaon radale de la LAIN, la méhode 9

30 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES PGD Proper Generalzed Deomposon se dfférene de elle- dans la mesre où, dans le as de la PGD, l n es pas néessare de séparer les éqaons omme dans la LAIN. Méhode PGD La PGD onsse à reherher la solon sos la forme séparée svane : N,,..., M F F... FM M A.I-43 où N es le nombre de fonons à varables séparées e M le nombre de varables. Les varables,..., M peven représener des varables spaales, emporelles o des varables paramérqes omme par eemple la ondvé hermqe dans l éqaon de la haler d problème à résodre. La grande performane de la PGD es q elle perme de rédre foremen la alle des problèmes. Consdérons n problème ave D 8 dmensons e pons de dsrésaon sr haqe dmenson. Ans, ave l approhe lassqe MEF, le nombre de nœds d mallage nombre 8 d nonnes d problème aen la valer de. Ave la méhode PGD, e nombre es selemen de 8 8 pons. Pls onrèemen, la PGD a éé applqée, dans le adre de la héore néqe lnéare, à la résolon de l éqaon de Foer-Plan mldmensonnelle ave ne desrpon des fldes à l éhelle mrosopqe [Ammar 6]. Dans e eemple, Ammar monre qe le nombre d nonnes es de 5 a le de 4 ave la MEF lassqe. La résolon d n problème ransore a éé présenée dans [Ammar 7]. Dans e as, le emps es onsdéré omme ne varable spplémenare, e q fa de la PGD ne méhode non nrémenale. Dans [Ammar a], la PGD non nrémenale es omparée ave la méhode des élémens fns lassqe en erme d errer e de emps CPU, mean en avan la rédon d emps de all ave la PGD. Noons qe, dans e arle, la PGD es ass éende à la résolon de problèmes ransores non lnéares. Nos le déallerons don a hapre C de la hèse. Remarqe. La PGD nrémenale es lsée dans d ares rava noammen [Dmon a, b]. Elle onsse à séparer l espae e le emps. Néanmons, n shéma nrémenal es lsé e la méhode PGD es lsée nqemen por générer les modes spaa. Dans le adre de ee hèse, la PGD es onsdérée sos sa forme non nrémenale. Nos allons manenan présener les varanes de la PGD por la résolon de problèmes ransores [Ladeveze, Noy a]. Consdérons le problème ransore Eq. A.I-. Plaçons nos à l éraon. La solon PGD es herhée sos la forme :,, + a Φ a Φ + a Φ A.I-44 e onsse à déermner le novea ople Φ, a. L éape de reherhe de e ople es appelée éape d enrhssemen.

31 Problèmes ransores Méhode PGD progressve Le novea ople Φ svan : où le hamp vrel Ω *, a dω + do sasfare le doble rère de l orhogonalé de Galern Ω * A dω * s ér sos la forme séparée Ω * fdω * A.I-45 * Φ * a + a * Φ A.I-46 Ces ondons son éqvalenes à mposer qe le résd so orhogonal a nonnes Elles peven don s érre sos la forme : Ω Φ Ω * Φ a a * Φ dω + a fdω Ω Φ Ω * Φ * a A a Φ a dω + dω Ω Φ * a A dω * Φ Φ e a. A.I-47 Ω a * Ω a Φ * Φ a Φ dω + fdω Ω a Ω * a Φ * Φ A a Φ dω + dω Ω a * Φ A dω * a A.I-48 Cee méhode mène à la résolon de de sysèmes non lnéares : Φ S a e a Φ, q son généralemen résols par la méhode de pon fe à dreons alernées enore appelée méhode de la pssane érée [Ammar 7]. Le AB. A.I- présene l algorhme de la méhode PGD progressve. : an qe ma : Inalsaon de fare a 3 : an qe l lma fare l l 4 : Call de Φ S a 5 : Normalsaon de 6 : Call de a Φ l Φ éape oponnelle l l 7 : Vérfaon de la onvergene de 8 : fn an qe Φ l l a l 9 : On pose : Φ Φ e a a l :Vérfaon de la onvergene de + a Φ : fn an qe AB. A.I- Algorhme la méhode PGD progressve

32 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES La méhode PGD es ne méhode a pror dans la mesre où la base es nalsée aléaoremen e enrhe a fr e à mesre. Remarqe. Même s l éape de normalsaon es oponnelle, elle es généralemen lsée. Méhode PGD Galern La méhode PGD progressve n es pas opmale a sens de la proeon de Galern. Afn d obenr la déomposon PGD opmale, le résd de la déomposon do êre smlanémen orhogonal à l ensemble des fonons spaales { Φ,..., Φ } e emporelles A { a,..., a }, es-à-dre vérfer le rère d orhogonalé Eq. A.I-47 e Eq.A.I-48. C es e q fa lors des éapes 4 e 5 de l algorhme de la méhode PGD Galern f. AB. A.I-. : an qe ma : Inlalsaon de fare 3 : an qe l lma fare l l 4 : Call de S A l l 5 : Call de A 6 : Vérfaon de la onvergene de 7 : fn an qe l l A 8 : On pose : l l A 9 : Vérfaon de la onvergene de : fn an qe AB. A.I- Algorhme la méhode PGD Galern Méhode PGD Galern ave la mse à or La méhode PGD Galern mène à la déomposon opmale a sens de la proeon de Galern. Cee déomposon es néanmons rès oûese. L applaon S A onsse en effe en la résolon d n sysème d EDPs oplées, nmérqemen lord à résodre. Une are PGD, la méhode PGD Galern ave la mse à or, es don proposée. Le AB. A.I-3 présene l algorhme de ee méhode [Noy a, Ladeveze ] q a por b d éver l applaon S A. Sele la base emporelle es enèremen mse à or à haqe éape d enrhssemen f. éape de l algorhme.

33 Problèmes mlphysqes mlemps : an qe ma : Inlalsaon de fare a 3 : an qe l lma fare l l 4 : Call de Φ S a 5 : Normalsaon de 6 : Call de a Φ l Φ éape oponnelle l l 7 : Vérfaon de la onvergene de 8 : fn an qe 9 : On pose : { } l, Φ : Call de A : On pose : A : Vérfaon de la onvergene de Φ l l a 3: fn an qe AB. A.I-3 Algorhme la méhode PGD Galern ave la mse à or Méhode PGD progressve pondérée Une are méhode, la méhode PGD progressve pondérée, a éé proposée. C es en fa ne eenson de la méhode PGD progressve. Les fonons de base spaales e emporelles son normalsées e les oeffens α relafs à haqe ople Φ, a son enèremen reallés à haqe enrhssemen. La solon es don reherhée sos la forme : N α Φ a A.I-49 où on vo apparaîre onraremen a ares méhodes PGD les oeffens α. Cee méhode es elle q sera lsée dans la hèse e sera don déallée a hapre B. A.I.4 Dssson Dans ee pare, des méhodes nmérqes por la résolon des problèmes ransores on éé présenées. Les prnpales défas des méhodes lassqes MEF, MDF, son lées à l lsaon d n shéma nrémenal q, por des rasons de sablé, néesse la résolon de problème de grande alle o la résolon d n grand nombre de problèmes. Des méhodes non nrémenales on éé développés por paller e défa. Néanmons, omme nos l avons v, le emps de all pe reser enore rop élevé. C es por ee rason qe des méhodes de rédon de modèle on v le or. Elles se dfférenen par la onnassane préalable de la solon. Des nformaons sr la solon n éan pas oors aessbles, dans ne saon de prédon par eemple, nos reendrons omme méhodes pernenes les méhodes de rédon a pror non nrémenales so la méhode PGD e la méhode LAIN. 3

34 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES A.II Problèmes mlphysqes mlemps Cee pare es onsarée a méhodes de résolon de problèmes mlphysqes mlemps, es-à-dre por lesqels les phénomènes physqes agssen à dfférenes éhelles emporelles. Les méhodes de résolon lassqes lsen ne grlle emporelle nqe. Dans e as, la alle de la grlle es don fée par le phénomène physqe ayan la pls pee éhelle emporelle. L lsaon d ne même grlle mène don, dans les as où les éhelles son rès dfférenes, so à des problèmes de maîrse d emps de all o enore dans erans as à la dvergene d shéma d négraon. Des méhodes mlemps on don éé développées por répondre à es problémaqes. Ceranes son nrémenales e d ares non nrémenales. La méhode des élémens fns lassqe nrémenale, grlle nqe es o d abord présenée ps son eenson mlgrlle. La méhode LAIN e la méhode PGD son ense eplées dans le onee mlphysqe. A.II. Méhodes nrémenales Parm les méhodes mlphysqes non nrémenales, sele la méhode des élémens fns es présenée sos de versons : "monogrlle" e ense mlgrlle. Les avanages e nonvénens son dsés. A.II.. Méhode des Elémens Fns lassqe La méhode des élémens fns lassqe verson "monogrlle" es largemen lsée por la résolon des problèmes mlphysqes. Afn de la présener dans le adre mlphysqe, nos hosssons l eemple raé dans la hèse de Ramber [Ramber, 5, 6] por laqelle n modèle hermo-dffso-méanqe omplèemen oplé a éé édé en ve de dérre le omporemen d n maéra se à des sollaons méanqes, absorban n gaz e povan êre le sège de gradens hermqes. Le premer e seond prnpe assoés à l éqaon d éqlbre e à la onservaon de masse permeen de formler des modèles mlphysqes oplés e fon apparaîre des ermes de oplage qe l on pe lasser en de aégores : - les oplages ds dres dans le sens où ls apparassen narellemen lors de l érre hermodynamqe d problème, e pls présémen son l epresson des ermes prods dans les poenels ; - les oplages ds ndres par opposon a préédens. Ce son les oplages q radsen les dépendanes enre les araérsqes d maéra e les phénomènes physqes onsdérés. L eemple lassqe es par eemple la dépendane d modle d Yong à la empérare. Ces derners son parfos lsés dans la onsron des los de omporemen en s affranhssan de la hermodynamqe. Dans la hèse de Ramber, os les oplages dres on éé envsagés en spposan les paramères onsans e en se plaçan en pee perrbaon lnéaré. Ce modèle, mplané dans le logel Elémens Fns Abaqs M, perme de smler la déompresson eplosve dans les maéra polymères. Pls présémen, le modèle mlphysqe es omposé de ros éqaons de onservaon : méanqe, hermqe e dffson. Une fos la formlaon fable de e modèle dsrésé, ela mène à onsdérer les ros résds élémenares a nvea de haqe élémen fn svans: m { F }{ q } { }, { F }{ q }, { q } { }, { F }{ q }, { q } { } n n n g A.II- n n 4

35 Problèmes mlphysqes mlemps m, où la noaon respevemen respevemen la hermqe, la dffson de gaz. Le veer { } n g fa référene a granders lées à la méanqe q représene le veer des nonnes nodales, eprmé dans le as d n élémen à n nœds e 5 d.d.l. les déplaemens, v, w por la méanqe ; la empérare por la hermqe e la onenraon de gaz por la dffson sos la forme : { q } { v, w,...,, v, w,,...,,,..., } n A.II-, n n n n n Le résd élémenare d problème global es formlé ans: { F}{ q, q } n m { F }{ qn } { F }{ qn, q n } g { F }{ q, q } F F n { } A.II-3 F F n n En lsan les mêmes noaons, la mare angene d problème global s ér : [ K ] e { F} { q } n { F} { q } n E C C C D mm m mg [ K ] [ ] [ ] B e K e K e m g [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] K e K e K e gm g gg K K K e e e A A.II-4 Elle es onsre dans le adre d shéma d négraon emporelle d Abaqs M. Les effes des oplages dres son représenés par les sos mares en dehors de la dagonale. La m sos-mare [ K e ], par eemple, représene l effe d oplage dre enre la méanqe e la hermqe. L mplémenaon de e modèle dans le ode de all Abaqs M a néessé la onsron d n novel élémen qe l on porra appeler oplé por lesqels les degrés de lberé son le déplaemen, la empérare e la onenraon, en enran dans la sbrone UEL d Abaqs M le all d veer d résd e de la mare angene en fonon de l élémen e de l nrémen emporel. Ce problème mlphysqe oplé a don éé résol ave n shéma nrémenal en emps e n même mallage emporel e spaal por haqe physqe. Le shéma d négraon à pas fe e el à pas adapaf, négrés dans Abaqs M on éé lsés. Remarqe. Plsers rava lsen les sbrones UEL por réer des élémens spéfqes afn de smler les problèmes mlphysqes. On porra er noammen les rava de [Elhadroz 6, Zoar ] onernan les problèmes hermoméanqes. La résolon lassqe mplqe don qe les dfférens phénomènes physqes on la même éhelle spaale e emporelle, e q n es pas néessaremen le as. Dans e as, de méhodes son lsées. La premère onsse à prendre le pas de emps le pls pe dem en espae le mallage le pls dense afn qe les dfférens phénomènes physqes soen orreemen préds. La seonde onsse à nsérer des boles emporelles dans le shéma emporel esan, por des nrémens parlers évenellemen vor déal A.II... Néanmons ela néesse ne erane pérodé enre les dfférenes éhelles emporelles des physqes. Une are onrane es lée a fa qe le pas de emps hos do, por des rasons de sablé, sasfare eranes ondons. Par eemple, dans le logel Abaqs M, l es noé qe le pas de emps a ors de la smlaon do êre spérer à ne valer sel, q dépend elle de la longer 5

36 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES araérsqe des élémens d mallage. Por n nrémen nférer à e sel, des osllaons lées a errers nmérqes apparassen. Ce es lé a fa qe le phénomène de ranspor dffson de la haler o de la maère n a pas e le emps de "s nsaller spaalemen". L éar de empérare o de onenraon enre nœds d n même élémen son don prohes d zéro nmérqe. La valer de la solon empérare o onenraon es don sessvemen posve e négave por n pas de emps rès pe. Por résodre n problème oplé, ela néesse d opmser la alle des élémens e les pas de emps. Les pas de emps e d espae éan foremen lés, l lsaon d ne même grlle a don por effe de réer des problèmes de grande alle, d aan pls qe le nombre de physqes onsdéré es grand e qe les gradens enre les dfférenes physqes son mporans. La alle de es problèmes ne perme pas oors ler résolon ave ee méhode lassqe menan so dreemen à des problèmes de dvergene, so à des problèmes de mémore so enore des emps de all prohbfs. Des méhodes pls robses por raer e ype de problème son proposées dans la lérare, la présenaon q s n en es pas ehasve. A.II.. Méhode des Elémens Fns mlgrlle D ares méhodes on éé développées por paller les défs de la méhode lassqe. Ils permeen des mallages spaa e emporels dfférens sr n même domane. Commençons par les mallages spaa. Ave l approhe mlgrlle, n mallage spéfqe à haqe physqe pe êre onsdéré. Le problème mlphysqe es ans onsdéré omme n problème mléhelle. Cela mène à dfférenes saons dans la mesre où les mallages peven êre non ompables. La FIG. A.II-, sse de [Dresse 6], monre les dfférenes saons à envsager dans le as D, e q monre d n eran pon de ve, la ompleé de e ype d approhe mlgrlle. FIG. A.II- Dfférenes saons de de mallages dans le as D. De gahe à droe : denqes, emboîés, non emboîés, dfférens [Dresse 6] Des dsrésaons emporelles dfférenes peven êre égalemen lsées por haqe physqe. Le problème mlphysqe es ans onsdéré omme n problème mlemps. Consdérer des mallages dfférens néesse de ransférer des données enre les dfférens mallages, noammen por prendre en ompe les effes de oplage enre les dfférenes physqes. Drrese e al. [Dresse 6] proposen dfférenes ehnqes por ransférer des nformaons enre des mallages dfférens lors de la résolon d n problème mlphysqe hermovsoélasqe. De de es opéraers, l opéraer de oloaon e l opéraer de morar son présenés : 6

37 Problèmes mlphysqes mlemps L'opéraer de olloaon es l opéraer de ransfer le pls smple. Il onsse à nerpoler le hamp onn sr n mallage por aller la valer a nœds d hamp sr l are mallage. La FIG. A.II- monre n eemple de ransfer de données de de hamps e, e enre des mallages en lsan des opéraers de olloaon. Le prnpal nonvénen de la olloaon es la pere d nformaon lorsqe le ransfer a le d n mallage fn à n mallage grosser FIG. A.II- à droe. Dans e as, l lsaon d ne proédre de moyenne es pls adapée, omme elle lsée par l opéraer «morar». FIG. A.II- Eemple de ransfer des données enre mallages lsan des opéraers de olloaon [Dresse 6] L'opéraer «morar» onsse à eprmer l'éqvalene des moyennes généralsées des de hamps par rappor a fonons de pods N : Ω N edω N ed Ω Ω A.II-5 où N son les fonons de forme élémens fns en len ave le mallage sr leqel le hamp es ransféré. Il es noé dans [Dresse 6], qe es mêmes opéraers peven êre lsés por les problèmes mlemps. Remarqe. Por la smlaon de l mpa en dynamqe ransore, des shémas mlemps on éé développés [Combesre, Combesre 3] e ombnés à des méhodes de déomposon de domanes. Cee ehnqe es parlèremen adapée dans le as où la solon évole foremen por eranes zones de l espae. Dans le adre d logel Abaqs M, des problèmes omplèemen oplés oplages dres e ndres on éé résols en lsan la ehnqe mlgrlle. On pe er les rava de Rabearson e al. [Rabearson 9] e Olver e al. [Olver 8, 9]. Dans les de as, les éqaons de la hme, de la méanqe e ne éqaon de ranspor haler dans les rava de Rabearson e dffson d O dans e d Olver on éé mplanés dans le solver Abaqs M. A haqe pas de emps de l algorhme général des sos nrémens de emps son lsés por dérre l évolon de la hme ne éqaon d degré d avanemen dans Rabearson e al. e n shéma méansqe de 6 éqaons dans le as des rava d Olver e al.. La maîrse des de pas de emps a fa l obe de nombre ess por obenr des solons robses ave à la lef des emps de all rès longs. Dans Rabearson e al., l es à solgner qe les éqaons de la hermqe, de la méanqe e de la hme son omplèemen oplées ave os les paramères maéra dépendan de la empérare e de la hme. Abaqs M assoé à ne ehnqe mlgrlle, mas dans e as les emps de all son rédhbores. 7

38 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES Le ransfer des données d ne grlle à l are pe mener selon l opéraer lsé à des peres d nformaon o enore des emps de all enore rès élevés. Dans la se, des méhodes mlphysqes non nrémenales son présenées. A.II. Méhodes non nrémenales Les méhodes non nrémenales, LAIN e PGD, son manenan présenées en an qe méhodes de résolon de problèmes mlphysqes. A.II.. Méhode LAIN mlphysqe La méhode LAIN es largemen lsée por la résolon des problèmes mlphysqes. On pe par eemple er à e se les rava ponners de Dresse [Dresse 3] e ense e de Néron [Neron 4, 8a, 8b]. Néron nrod la noon d nerfae enre les physqes afn d nrodre n domane parler sr leqel les éqaons de oplage son onsdérées. Classqemen, l nerfae es défne omme l nerfae maérelle enre les sos-srres [Passe 8]. Dans le as des problèmes mlphysqes, l nerfae es l nerfae enre haqe physqe e es don défne en o pon d domane. La FIG. A.II-3 résme la sraége de la méhode LAIN dans le as d n problème fldesolde [Neron 4]. On rerove là enore les éapes de la LAIN. Lors de l éape de résolon des éqaons lnéares e globales, hane des physqes es résole séparémen en lsan l appromaon radale. A l éape loale, les oplages son raés nqemen a nvea de l nerfae enre les physqes. La sraége onsse don à vérfer alernavemen à l éape globale des propréés de haqe physqe défne sr son propre mallage, spposées ndépendanes, e à l éape loale des propréés d nerfaes, q permeen de ransmere les oplages flde-solde. FIG. A.II-3 Résmé de la sraége LAIN por le problème mlphysqe flde-solde [Neron 4] Lors de la résolon des problèmes mlphysqes oplés, l lsaon des dsrésaons emporelles dfférenes es néressane. Un shéma mléhelle en emps a éé mplémené dans la LAIN [Dresse 3, Neron 4, 8a, 8b] e onsse en ne modfaon nqemen dans l éape loale où les oplages son raés. Dans ee éape, la dfflé ven d ransfer des données données ransférées so dreemen enre les physqes [Drresse 3] so enre l nerfae e les physqes [Neron 4, 8a, 8b] dans le as de la formlaon LAIN ave nerfae. La performane de la LAIN por la résolon de problèmes mlphysqes es noammen lée à l lsaon d nerfae. Des odes de all e des solvers spéfqes à haqe physqe peven ans êre lsés. 8

39 Problèmes mlphysqes mlemps Déallons manenan la méhode mléhelle en emps présenée dans [Drresse 3]. Dans e as, les données son ransférées dreemen enre les physqes, la noon d nerfae ayan éé onsdérée q à parr des rava de Néron [Néron 4]. L dée de la méhode es de dvser l nonn en de qanés : m M m s s + s où les eposans M e désgnen respevemen l éhelle mro e maro d emps. Un proeer es nrod afn d erare la pare maro d ne fonon emporelle f : relaon : f m M f es onne. M f M f. La pare mro s oben par la f f. La FIG. A.II-4 llsre la fonon f e sa pare maro f M. Noons qe FIG. A.II-4 Le hamp maro onn en emps de la fonon f [Neron 4] Comme nos l avons déà présé, le oplage nflene nqemen l éape loale de la méhode LAIN qe nos allons déaller. Consdérons, par eemple, les varables ˆ, ˆ ε, A n sr le mallage grosser q orrespond à l éhelle maro. Les varables p, pˆ, α ε por la pare solde. Elles son déres nqemen ˆ n por la pare flde varen pls rapdemen e son don défnes sr n mallage pls fn. Grâe a proeer e l opéraer lnéare P, les varables de la pare flde solde son représenées sr le mallage grosser fn. L éape loale de la méhode LAIN onsse en la résolon des éqaons oplées solde-flde : g f ˆ, ˆ ε, An hs pˆ pˆ, pˆ,α h P ˆ ε où l nde s représene le solde e l nde f le flde. s ε A.II-6 g A.II-7 n La méhode de pon fe perme de résodre es éqaons alernavemen. Noons qe por aller les varables relaves à la pare solde, les varables relaves à la pare flde son ransférées à l ade d proeer. f Une are manère de défnr la pare maro en emps a éé proposé par Néron [Neron 4] e onsse à lser la formlaon Galern dsonne en emps. La FIG. A.II-5 llsre la fonon M f e sa pare maro f obene ave e ype de formlaon. 9

40 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES FIG. A.II-5 Le hamp maro dsonn en emps de la fonon f oben par la formlaon Galern dsonne en emps [Neron 4] Remarqe. Le shéma mléhelle en emps a éé égalemen lsé por la résolon d ares problèmes dans le onee de la LAIN omme par eemple lors de la résolon de problèmes ave des hargemens ylqes où plsers éhelles emporelles peven êre lsées por des domanes spaa dfférens [Passe 8]. La méhode LAIN a éé ass éende por la résolon de problèmes mlphysqes mléhelles [Neron, Ladeveze ]. La méhode LAIN es don ne méhode rès effae por la résolon de problèmes mlphysqes mléhelles mlemps. Noons qe la performane de ee méhode es noammen lée à l lsaon de l appromaon radale por la résolon de l éape globale. oefos, l lsaon de ee méhode présene erans nonvénens. Le premer es lé a ho de la + dreon de reherhe E e E q néesse ne eperse parlère e es néessare por obenr ne onvergene en rès pe d éraons e par se des emps de all onrrenels. De pls, l es ndspensable por la mse en plae de ee méhode de séparer les éqaons globales des éqaons loales. A.II.. Méhode PGD mlphysqe La méhode PGD a éé égalemen lsée por la résolon de problèmes mlphysqes oplés. Dfférens ypes de oplage e d éqaons on éé raés. Nos allons manenan les présener. Dans [Prlere b], des problèmes mlphysqes oplés dans le onee des proédés de fabraon des maéra omposes on éé résols ave la PGD. Les problèmes mlphysqes onsdérés présenen nqemen des oplages d ne physqe sr ne are. Cela orrespond don fnalemen à la résolon d n problème déoplé. La solon de han des problèmes es don allée l ne après l are. Nos appellerons par la se e ype de problème n problème parellemen oplé dans le sens où ne sele physqe nflene l are. Dans [Chnesa b], la résolon de modèles oplés ave la PGD es égalemen édée. Elle onerne le oplage enre n modèle global e des modèles loa q orresponden à des modèles de néqe d n grand nombre d espèes. Les aers proposen, por résodre e problème, 3

41 Problèmes mlphysqes mlemps ne globalsaon des modèles loa. La solon es reherhée por os les problèmes loa en onsdéran ne varable dérvan l espèe en era oordonnée. Une fos ee solon obene, la solon d modèle global es reherhée elle ass sos la forme de somme de fonons à varables séparées. Le problème es ass parellemen oplé. Grâe à la globalsaon des modèles loa, ee méhode perme de lmer foremen le nombre d éqaons à résodre. Néanmons, elle ne pe pas êre applqée dans oe les saons, noammen elles q nos néressen e por lesqels n oplage oal ese enre oes les éqaons. Dans le as édé, sel le modèle global dépend de la solon des modèles loa e en onre pare la solon d modèle global n nflene pas elle des problèmes loa. C es por ee rason qe e ype de séparaon pe êre lsée asémen. Dans [Berngher ], la résolon d n problème hermovsoélasqe foremen oplé, dans la mesre où les de physqes neragssen l ne sr l are, es présenée. La méhode PGD progressve pondérée f. A.I.3. es applqée à la résolon d n problème mlphysqe D ransore. La solon onsée d ople déplaemen, - empérare, es reherhée sos la forme : n, α A B A.II-8 n, β D E A.II-9 où α, β son des oeffens, A, B les fonons de base spaales e emporelles por e C, D les fonons de base spaales e emporelles por. Lors de l éape d enrhssemen, n novea ople R P por e V W por es reherhé sos la forme : n n, α A B R P A.II- +, β D E V W A.II- + Le problème éan foremen oplé, la solon de dépend d ople nonn V W de e ve versa. Une méhode de résolon oplage oal les de physqes son résoles smlanémen a éé proposée dans e arle. Revenons manenan sr l aspe mlemps dans le onee de la PGD. Comme la PGD perme de rédre onsdérablemen le emps de all lorsq n grand nombre de degrés de lberé es lsé, ne premère méhode largemen répande onsse à prendre la même dsrésaon emporelle por haqe physqe. Néanmons, dans erans as, ela pe mener à des emps de all élevés, des shémas mlemps son don lsés, e q néesse alors n ransfer de données enre les mallages des dfférenes physqes. Por prendre en ompe des pas de emps dfférens, ne ehnqe es proposée dans [Chnesa b]. L négraon emporelle es menée à l ade d n shéma Galern dsonn a premer ordre afn de onserver l négrale. Spposons qe le pas de emps de es δ e el de δ. Sr le mallage de, es prse égale à ~ défne omme s: ~, nδ δ n δ n δ, d A.II- 3

42 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES Dans [Berngher ], lorsqe les dsrésaons emporelles de e son dfférenes, le ransfer des données se fa dreemen à ravers le all des mares oplées emporelles : Ω L où L e L p son les veers onenan les fonons de forme emporelles por e. L p d A.II-3 Réemmen, dans [Ammar ], ne novelle approhe a éé proposée dans le as de problèmes ave n pas de emps rès pe. A le de onsdérer lassqemen le emps omme ne varable ndmensonnelle, le emps es ransformé en n domane D. Cela perme de prendre en ompe de éhelles emporelles dfférenes. Cee sraége es parlèremen adapée a phénomènes ylqes psqe le emps es ms sos la forme d n prod de de varables. A.II.3 Dssson La méhode des élémens fns es lassqemen lsée por résodre des problèmes mlphysqes. Sa formlaon de base mène à la résolon de problèmes de grande alle lée à l lsaon d n shéma nrémenal e ne même grlle spaale e emporelle por oes les physqes. Por lmer la alle de es problèmes e le nombre d éraons, des méhodes élémens fns mlgrlles on éé développées. Dans e as, des grlles spéfqes a dfférenes physqes son lsées, e q perme de rédre le nombre d opéraons. Néanmons, l lsaon de grlles dfférenes néesse le ransfer des hamps d n mallage sr l are por raer noammen les ermes de oplage. Dans erans as, ela se rad par ne pere d nformaon o enore des emps de all enore élevés lés a ransfers de données. Des méhodes non nrémenales on don v le or. Nos nos sommes parlèremen néressés à la méhode LAIN e la méhode PGD. La méhode LAIN, nalemen mse en plae por la résolon d éqaons non lnéares, a éé éende à la résolon de problèmes mlphysqes mléhelles mlemps. Elle es rès performane por prédre e ype de problème. Cee performane es de à dfférens aspes de la méhode. Le premer es le onep d nerfae q perme d lser des solvers spéfqes à haqe physqe. Le seond es le 3 ème prnpe de la LAIN q onsse à reherher la solon des éqaons globales sos la forme d appromaon radale. Basée sr le 3 ème prnpe de la LAIN, la méhode PGD semble êre elle ass ben approprée à la résolon de problèmes mlphysqes dans la mesre où elle perme de résodre des problèmes de grande alle ave des emps de all redoables en omparason de e obens ave la méhode des élémens fns. Déà applqée dans erans problèmes mlphysqes, es réslas son enorageans. Par rappor a problèmes mlphysqes foremen oplés qe nos sohaons éder dans ee hèse, la méhode LAIN présene de nonvénens q son le raemen parler des éqaons séparaon e le fa qe les dreons de reherhe son des paramères de la méhode. Il fa don les maîrser e l n ese pas de prooole laremen défn por les hosr e les onsrre saf dans qelqes as parlers. En omparason de la méhode LAIN, la méhode PGD semble pls smple à mere en œvre mas n a pas enore éé lsée dans n grand nombre de problèmes mlphysqes. Nos avons hos dans ee hèse ee méhode afn de la eser, l éendre à d ares problèmes mlphysqes e évaler ses apaés. 3

43 Problèmes mlphysqes mlemps Afn de prédre présémen la solon nmérqe de es problèmes mlphysqes dédés à la méanqe des maéra, l es néessare de maîrser noammen l errer lée à la dsrésaon e don fée par la base de dsrésaon hose q elle so spaale o enore emporelle. De pls, lors de l éde des phénomènes ransores oplés, l es parfos dffle de prédre les dfférenes zones ransores générées par les ermes de oplage. Nos avons beson de mere en plae ne ehnqe de mallage adapaf aomaqe por onsrre le mallage sffsan à la prédon de es zones ransores. Nos allons don dans la pare svane présener ne bblographe sr es ehnqes de mallage adapaf por rer prof de es rava dans les développemens à mener dans ee reherhe. Nos parlerons nqemen des méhodes lassqemen lsées e noammen dans le onee de la méhode des élémens fns. 33

44 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES A.III Méhodes de mallage adapaf Lors de la smlaon nmérqe d n problème physqe, les prnpales sores d errer son lées à la modélsaon mahémaqe d problème physqe ho de la lo de omporemen, des paramères maéra, la dsrésaon spaale d problème alle des élémens q onsen le mallage, la dsrésaon fononnelle ho des fonons de base mas ass la résolon nmérqe errers d négraon nmérqe lées a shéma d négraon, errers d arrond. Por paller les errers lées à la dsrésaon spaale d problème, les méhodes de mallage adapaf son largemen lsées dans le adre de la Méhode des Elémens Fns noammen lorsqe la solon onen des snglarés, des hos o des dsonnés. Des mallages fns son alors nrods là où les solons présenen des fors gradens. Une préson donnée es reherhée ave n nombre mnmal de pons o élémens. Ces méhodes son basées sr ne esmaon d errer q perme d denfer l endro où le mallage do êre adapé e raffné. Une fos le novea mallage déermné, de ho son possbles : so on refa le all dans sa globalé so les varables d éa son ransporées de l anen mallage vers le novea mallage por onner le all. Nos allons manenan présener brèvemen les 3 éapes q permeen de mere en plae es méhodes so l esmaon d errer, l adapaon e le raffnemen de mallage, e le ranspor des varables. A.III. Méhodes d esmaon d errer L errer de dsrésaon pe narellemen êre défne omme éan l errer enre la solon eae d problème e la solon nmérqe assoée. Cependan, la solon eae n es pas onne dans la maere pare des problèmes raés. C es por ee rason qe de grandes méhodes d esmaons d errer on v le or dans la lérare : l esmaon d errer a pror e l esmaon d errer a poseror. Nos présenerons nqemen les esmaers d errer globa lassqemen lsés. La premère méhode, l esmaon d errer a pror, onsse à esmer l appromaon qe l on va fare. Avan de laner le all, les nformaons onnes son les degrés des fonons d nerpolaon, la alle des élémens e les évenelles snglarés. A parr de es nformaons, l esmaer d errer es onsr e perme de prédre le a de onvergene asympoqe de l errer élémens fns. Sr e se, on pe er noammen les rava de Carle [Carle 99], Babsa [Babsa 98] e Zenewz [Zenewz 987]. La lme de ee esmaon d errer es lée a fa q elle fa nervenr la solon eae q n es généralemen pas onne. La deème méhode, l esmaon a poseror, onsse elle à lser la solon approhée qe l on ven de aller por esmer l errer de dsrésaon. De nombre esmaers d errer esen e peven êre lassés en ros aégores : 978], - e basés sr les défas d éqlbre sss des rava de Babsa e Rhenbold [Babsa - e onsrs à parr des onranes lssées sss des rava de Zenewz e Zh [Zenewz 987], - e fondés sr le onep d errer en relaon de omporemen ss des rava de Ladevèze [Ladeveze 975]. Por ne reve déallée de es esmaers, le leer porra se référer à [Verfrh 999]. 34

45 Méhodes de mallage adapaf Ces dfférens esmaers son présenés dans le as lnéare a, v L v afn de présener l dée générale de onsron. A.III.. Esmaers en résd d éqlbre Ces esmaers son basés sr le onsa qe le hamp des onranes élémens fns ne vérfe pas les éqaons d éqlbre. Cela perme de onsrre des résds d éqlbre : Rh v L v a h, v. A parr d all des résds élémenares des éqaons d éqlbre e d sa des onranes a nerfaes des élémens, ne esmaon de l errer es allée e assoée à haqe élémen d mallage. La non vérfaon des éqaons d éqlbre nérere e la non vérfaon des ondons d éqlbre sr le bord ans qe la dsonné a ravers de l nerfae son ans évalées. Lorsqe l nerpolaon lnéare es lsée, le erme dérvan le sa des onranes es prépondéran par rappor a erme d résd d éqlbre [Carensen 999]. A.III.. Esmaers d errer en onrane C es le onsa prééden q a ond Zenewz e Zh à onsrre ne solon d ordre spérere à elle de la solon élémens fns, espéran ans ne mellere appromaon de la solon eae d problème. A parr de la solon élémens fns, n hamp de onranes ~ σ h lssé, vérfan la onné a nerfaes enre les élémens es onsr. Por onsrre e hamp de onranes onn, l fa onnaîre la valer des onranes a nœds. Dans [Zenewz 987], ee dernère es obene par ne mnmsaon a sens des mondres arrés de la dsane enre le hamp onn ~ σ e le hamp élémens fns σ. L esmaer global es défn par h h ~ σ σ K σ σ ~ η r ~ A.III- h h h h Ω q orrespond à ne norme en énerge de l errer où l appromaon élémens fns d hamp de onranes a éé remplaée par le hamp lssé. La dfflé de ee ehnqe es de onsrre le hamp de onranes lssé. La pernene de e esmaer repose don sr la méhode de lssage lsée. Pls réemmen, les aers [Zenewz 99, 995, 999] on proposé ne méhode de reovremen SPR Speronvergen Pah Reovery. Elle se base sr la propréé de speronvergene de la onrane a pons de Gass. Cee méhode es pls prése e mons oûese. Une epanson polynomale des omposanes d enser des onranes élémens fns es allée sr des pahs opologqes q son des sos domanes d mallage enrés sr n nœd e onenan n ensemble de pons d négraon. A.III..3 Esmaers d errer en lo de omporemen Un ople admssble déplaemen-onrane ~,σ ~ vérfan les éqaons d éqlbre e les éqaons de lason ondons de Nemann e Drhle es onsr [Ladeveze 999b]. Sele la relaon de omporemen n es pas vérfée. La non vérfaon de ee dernère perme d évaler la qalé de la solon. L errer en relaon de omporemen es défne par : η RC ~ σ A ε ~. Comme le déplaemen élémens fns es admssble, on prend ~ h. Par onre la onrane ne l es pas. Un hamp de onranes vérfan les éqaons d éqlbre es don reherhé omme n prolongemen de la solon élémens fns. En héore, e esmaer d errer donne don ne sresmaon de l errer eae d problème, noammen en élasé. Le pls grand défa de e 35

46 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES esmaer es q l néesse n effor en développemen mporan por êre mplémené dans les odes élémens fns. Il es parlèremen adapé à la méhode LAIN, née elle ass par Perre Ladevèze, svan la même phlosophe. De nombre aers on donné des esmaons por d ares méhodes elles qe les dfférenes fnes, les volmes fnes,. On porra noammen er les rava de Jasa dans le adre de la méhode des volmes fns [Jasa a, b]. Des rava réens de Ammar [Ammar ] e Ladevèze [Ladeveze ] onernen des méhodes d esmaons d errers por la PGD. Dans les rava de Ammar al. [Ammar ], n esmaer d errer loal d en qané d nérê es proposé. Cee errer en qané d nérê es basée sr l esene d ne fonon d problème dal, de fonon d nflene, représenan, d n pon de ve méanqe, l nflene des effors d problème de référene sr l énerge oale. Dans e paper, Ammar applqe e ype d esmaer à la résolon de l éqaon de Laplae D-3D e de l éqaon de Posson D don nqemen dans le as de problèmes saonnares. Néanmons, ompe en des propréés de la PGD, l eenson de ee méhode à la varable emporelle semble êre possble. Dans [Ladeveze ], n esmaer d errer basée sr l errer en relaon de omporemen es proposée dans le adre de la résolon PGD. Il perme de séparer l errer en relaon de omporemen lée à la dsrésaon de elle lée à la PGD nombre de modes PGD por représener la solon. Por pls de déals sr les esmaers d errer loa les préédens éaen globa, le leer porra se référer par eemple a hèses de [Chamon 7] e [Delmas 8] où ne bblographe déallée es donnée ave noammen les esmaons d errers en qané d nérê. A.III. L adapaon de mallage Les esmaers d errer a poseror son soven oplés à ne proédre d adapaon de mallage, q onsse à modfer le mallage afn qe la solon élémens fns so pls prése por n mondre oû de all. Les ehnqes d adapaon de mallage reposen sr ros méhodes prnpales : la h-adapaon, la r-adapaon e la p-adapaon. Remarqe. Noons qe es méhodes permeen d adaper les appromaons en espae. Ces méhodes peven ass êre lsées por adaper les appromaons en emps, es dernères povan êre assmlées à des appromaons en espae por n mle ndmensonnel. Nos ne présenerons pas les shémas à pas de emps adapaf ar, dans le adre de ee hèse, la formlaon PGD séparaon espae-emps sera lsée e de e fa le emps sera v omme ne varable d espae ndmensonnelle. 36 Dans la h-adapaon, sele la alle des élémens es modfée, le degré d nerpolaon des élémens es onservé mas la opologe d mallage poson, nombre de nœds, onnevé ne l es pas. Cee méhode pe êre mse en œvre de de façons dfférenes : - le mallage nal es déopé. Cee méhode es onne sos le nom de méhode loale de h-raffnemen/déraffnemen [Babsa 98] Le novea mallage es onsr en sbdvsan par eemple a mle les élémens por lesqels la valer loale de l errer es mporane. Les mallages obens son qas-nformes. Cee méhode es ben adapée por aper les snglarés. - le mallage es omplèemen régénéré. Cee méhode es ass onne sos le nom de méhode globale de h-remallage [Ladeveze 983]. Dans e as, on rée n novea

47 Méhodes de mallage adapaf mallage sans len ave le prééden. Un raffnemen es lsé dans les zones où l errer es mporane e n dé raffnemen dans le as onrare. Cela mène à ne dsrbon de l errer pls nforme. Un eemple de mallage oben ave la h-adapaon es donné FIG. A.III- -dessos. FIG. A.III- Illsraon de la h-adapaon ave raffnemen non nforme lors d n problème d érasemen d n be [Bossea 5] La méhode de r-adapaon [Carroll 973] onsse à reposonner les nœds d mallage sans en aoer de novea e sans en modfer les onnevés. Le degré des fonons d nerpolaon es là enore onservé. La préson de la solon nmérqe es, dans e as, oblgaoremen lmée a nombre de degré de lberés dsponbles. La FIG. A.III- llsre n mallage nforme e n mallage adapaf oben par la r-adapaon por le problème sr le ona de Herz [Beal ]. Mallage nforme Mallage adapaf FIG. A.III- Mallage nforme e mallage adapaf oben par la r-adapaon [Beal ] 37

48 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES La méhode de p-adapaon [Babsa 98,99] e [Szabo 986, 99] onsse qan à elle à agmener le degré des fonons d nerpolaon dans eranes zones en onservan le mallage nal, ela mène don à pls de degrés de lberé ave oors le même nombre d élémens. Un avanage es qe le mallage lsé ompore pe d élémens. Par onre, l es dffle de prévor le degré d nerpolaon à hosr por respeer ne préson donnée o en mnmsan le emps de all. L nonvénen maer es q l es dffle d nrodre es méhodes dans des odes de all ndsrels, es derners possédan raremen des élémens de degré spérer à. Un eemple de mallage oben par p-adapaon es donné sr la FIG. A.III-3 -après. FIG. A.III-3 p-adapaon [Bossea 5] Les méhodes h e p peven êre ombnées dans l adapaon de mallage e son onnes sos le nom de hp adapaon [Oden 989]. Le rère d adapaon le pls smple onsse à raffner le mallage nformémen. os les élémens d mallage son don raés de la même manère. Cela mène à n nombre de degré de lberé rès mporan. Les ares rères de raffnemen son les svans : - ne valer sel absole : os les élémens don l errer es spérere à ee valer son raffnés. - ne valer sel relave : os les élémens don l errer es spérere à n porenage de la valer mamale son raffnés. - ne fraon d élémens : Un eran porenage d élémens por lesqels l errer es la pls mporane son raffnés. D ares méhodes d adapaon de mallage, qe nos ne présenerons pas s appen sr des ehnqes mlgrlle o mlrésolon. Des mallages ave plsers nvea de densé rossane son onsdérés. On pe er la méhode AMR Adapve Mesh Refnemen [Berger 984, 989, Brown 5] o la méhode MLA Ml-Level Adapve Mehod [Brand 977] o enore la méhode basée sr les ondelees AWCM [Alam 6, Vaslyev 996, Vaslyvev 5]. Le leer rovera dans [Cohen ] ne omparason enre les méhodes de mallage adapaf élémens fns e les méhodes basées sr les ondelees. 38

49 Méhodes de mallage adapaf Rappelons qe, dans ee hèse, nos n éderons pas dfférenes méhodes de mallage adapaf mas nos dserons les dfférenes façons de opler la méhode PGD ave ne méhode de mallage adapaf. En effe, omme dans le adre de la méhode des élémens fns, l ese de façons de opler ne méhode de mallage adapaf : la premère onsse à realler enèremen la solon e la deème onsse à onner le all à parr de l nrémen où le mallage adapaf a éé néessare. L effaé de es de approhes dépendan de la dépendane à l hsore des problèmes édés [Ryelyn 998]. Dans le premer as, le prnpal défa es qe le all do êre enèremen relané. Dans le deème as, la reprse d all néesse le ranspor des varables d éa de l anen sr le novea mallage. Dfférens ypes de ranspor peven êre lsés [Bossea 5]. Dans le onee de la PGD, la deème méhode onsse à onserver les modes obens por onner à reherher les ares modes. Là ass ne nerpolaon des modes de l anen vers le novea mallage es néessare. Nos éderons don es de sraéges dans ee hèse. 39

50 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES A.IV Sraége adopée dans le adre de ee hèse Après avor passé en reve qelqes méhodes nmérqes por la résolon des problèmes mlphysqes mlemps ransores, nore ho s es poré sr la méhode PGD. Cee méhode présene en effe n grand nombre d avanages : - C es ne méhode non nrémenale. Le emps es onsdéré omme ne varable spplémenare de l espae. La solon es don reherhée à haqe éape sr l ensemble d domane emporel. - C es ne méhode de rédon de modèle a pror. Par sa représenaon en varables séparées, la performane de ee méhode por raer des problèmes mldmensonnels es nonesable. Or, la résolon des problèmes mlphysqes fa apparaî n grand nombre d nonnes. - C es ne méhode q perme d mplémener falemen l aspe mléhelle, en onsdéran des dsrésaons dfférenes en emps e en espae. Néanmons, eranes qesons resen posées omme nos allons le vor après n aperç des ares domanes d applaon de la PGD. A.IV. Domanes d applaon de la PGD La PGD es aellemen lsée dans n grand nombre de domane e beaop de rava de reherhe. Nos allons présener ne lse non ehasve des dfférenes applaons de la PGD afn de me erner les pons posfs e les lmes de la méhode. Por pls de déals, le leer porra se référer à la reve onernan la PGD fae par Chnesa e al. en [Chnesa a]. Conernan les applaons réenes e les dfférens hallenges, le leer porra ompléer ave les arles svans [Chnesa a, Chnesa b]. Nos ne revendrons pas sr les applaons onernan le ransore e le mlphysqe présenées aparavan f. A.I.3. e A.II... Il es mporan de noer qe la méhode PGD es ne méhode q n a pas enore éé mplanée dans des odes ndsrels e por laqelle n grand nombre de qesons resen enore en sspens même s omme nos le verrons de nombre rava on éé pblés sr ee dernère. PGD por séparer l espae physqe Les problèmes défns dans l espae mldmensonnel peven êre séparés de dfférenes manères. Consdérons par eemple l espae 3D. On pe par eemple le onsdérer omme ros espaes ndmensonnels, déomposon rès effae dans le as d domane bqe. On pe er les rava de Dmon [Dmon a] onernan la résolon des éqaons de Naver-Soes. Cee séparaon de varables a éé éende à des domanes ares qe reanglares o bqes par Gonzalez [Gonzalez ]. Néanmons, la séparablé de l espae n es pas oors possble. Des déomposons nomplèes son don parfos lsées. On porra er noammen les rava de Bogne e al. [Bogne ] dans le as de géoméres omplees néanmons erdées selon l épasser por laqelle la déomposon es, y z. Ce ype de déomposon parelle perme de résodre des problèmes 3D ave ne ompleé selemen D, e q ne reme pas en ase le gan en erme de emps de all. PGD por les problèmes paramérqes 4

51 Sraége adopée La méhode PGD semble êre parlèremen néressane por la résolon de problèmes paramérqes. En effe, les paramères omme par eemple la ondvé hermqe, les ondons a bords, peven êre onsdérés omme des varables spplémenares. Consdérons par eemple l éqaon de la haler e onsdérons la ondvé hermqe omme ne nonne. La PGD perme de aller la solon générale por ne large gamme de valers de la ondvé hermqe [Prlere a]. La résolon d n problème ave ne erane valer de ondvé hermqe onsse don en n pos-raemen e se fa don offlne. Ce ype de problème paramérqe a éé égalemen présené dans [Bogne, Ammar d] où les paramères des maéra son onsdérés omme oordonnée spplémenare. Dans [Bogne ], la dreon ansorope des ohes d n maéra ompose lamné es onsdérée omme ne varable, ela perme a aers d évaler l nflene de l orenaon de haqe ohe sr les srres déformées par oplage hermoméanqe. Dans [Lamar 9, Lamar ] la ondvé hermqe, la empérare marosopqe e son évolon emporelle son onsdérées omme les varables spplémenares dans des alls d homogénésaon lnéare e non lnéare. PGD por la smlaon en emps réel Lorsqe les paramères son onsdérés omme des novelles varables lors de la reherhe de la solon ave la PGD, ela perme de raer falemen des problèmes d denfaon nverse o d opmsaon a poseror. Comme la solon PGD es ne fonon de es paramères, les problèmes son résols par posraemen de la solon. Un grand nombre d applaons a déà éé raée. On pe er le problème d opmsaon d proédé [Ghnaos ] o enore le problème d opmsaon de forme [Leyge ]. Dans le onee de la smlaon en emps réel, le problème d ndenfaon nverse a éé présené dans [Gonzalez ]. Il a éé oplé ave des sraéges de onrôle dans [Ghnaos ] dans le onee de la DDDAS Dynam-Daa Drven Applaon Sysem. Comme la solon paramérqe es allée ne fos ave la PGD all offlne, la solon por ne erane valer de paramères es déde par pos-raemen all onlne, le emps de all es don nsanané. Cee éape a noammen éé fae sr les éléphones porables [Bogne, Ghnaos ]. La PGD es appelée de e fa PGD. Dans le onee de la smlaon hrrgale, les smlaers doven fononner sos hae fréqene, e q néesse n emps de all nsanané. Nroomand e al. [Nroomand 8, Nroomand ] on proposé d lser la méhode de rédon de modèle POD oplée ave la Méhode Asympoqe Nmérqe. Cee approhe ne donne pas des réslas orres lors de la smlaon des sss mos bologqes omplees. La PGD es aellemen esée dans e ype de saon e les réslas présenés lors de onférenes semblen enorageans. PGD por les problèmes sohasqes La PGD a éé largemen développée dans le onee des éqaons a dérvées parelles sohasqes [Noy 7]. Dans e as, la PGD es appelée Generalzed Speral Deomposon GSD. Noy [Noy 8] a développé des algorhmes de résolon en se basan sr la résolon des problèmes a valers propres lassqes. Cee PGD es ense éende a problèmes sohasqes non lnéares ave de sraéges alernaves : la premère onsse à lser la PGD omme n solver por les problèmes sohasqes lnéarsés [Noy 8] alors qe la deème onsse à onsrre la déomposon de la solon dreemen à parr d problème non lnéare nal [Noy 9]. Dans [Noy b], la PGD es applqée por la résolon de problèmes sohasqes mldmensonnels ave des représenaon ensorelles. 4

52 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES La PGD en an qe méhode de rédon de modèle a éé oplée à la méhode des élémens fns dans [Ammar, 9] e égalemen à la méhode des élémens fronères dans [Bonhon ]. Un eran nombre d ares rava poren sr ne mellere ompréhenson de la méhode d n pon de ve de l analyse nmérqe onvergene, bases opmales, valdé de la méhode vs-àvs des opéraers dfférenels raés,. Conernan des esmaers d errer, on pe er les rava de [Ammar, Ladeveze ], q on éé présenés dans la pare «méhodes de mallage adapaf» de e hapre bblographqe. D ares rava onernen le raemen des opéraers non symérqes ave la méhode PGD. En effe, omme nos le verrons dans ee hèse, dans le as d opéraers où la non symére es prépondérane, l algorhme lassqe ne fononne pas. Une méhode de mnmsaon d résd a éé proposée por raer es problèmes, noammen dans les rava de [Ladeveze, Prlere a, Ammar b] o dans [Noy a] sos le nom de Mnma PGD. Rappelons enfn qe la méhode PGD es prohe d ne pare de la LAIN. Les rava onernan ee méhode doven don êre és e en parler e de [Neron 4, Passe 8, Ladeveze ] où la pare PGD de la méhode es largemen dsée. A.IV. Sraége de ee hèse La PGD es ne méhode émergene q a éé lsée dans plsers domanes e semble êre rès promeese. L obef de ee hèse es d évaler la apaé de la PGD por résodre des problèmes mlphysqes oplés ransores en méanqe des maéra. Plsers qesons se son don posées a déb de la hèse e aqelles nos enerons de répondre. La PGD es-elle n bon ho por la résolon de problèmes mlphysqes? La reherhe de la solon sos la forme représenaon séparée lme elle les problèmes q peven êre raées ave ee méhode? Qel mallage emporel hosr selon le emps araérsqe de haqe physqe? Commen la PGD se ompore elle por des mallages emporels dfférens? Dans des as foremen oplés? Es elle apable de prédre os ransores? Commen pe on la opler ave ne méhode de mallage adapaf? Es-l néressan de onserver les bases déà allées? Dans le as des problèmes mlphysqes mlemps, es e néressan d lser plsers bases emporelles? Qel es le ype de oplage qe l on pe résodre ave la PGD en méanqe des maéra? Jsq à qelle ompleé pe on lser la PGD? Commen prendre en ompe des non lnéarés? Dans ee hèse, n eran nombre d eemples son don raés afn d évaler la apaé de la PGD. A fr e à mesre des hapres, les eemples son onsdérés ave ne ompleé rossane : problèmes ransores déoplés, problèmes ransores déoplés non lnéares, problèmes oplés e ransores. 4

53 Sraége adopée Dans n premer emps hapre B, la résolon d ne éqaon de la haler D es présenée e les ess réalsés ave des sores de haler dfférenes permeen de eser la méhode por la prédon de ransores rès dfférens. La néessé d assoer la méhode PGD à ne méhode de mallage adapaf es laremen mse en évdene. Ce oplage es don édé dans es as relavemen smples dans la mesre où ne sele physqe es onsdérée. Cela perme d envsager de onserver o non les modes PGD por la se d all. Dans n seond emps hapre C, la résolon d n ransore ave ne sore de la haler non lnéare es envsagée. Une approhe oplan la PGD à la Méhode Asympoqe Nmérqe es alors proposée. La ehnqe de onnaon es mse en œvre por onsrre la branhe non lnéare. De problèmes oplés présenan des oplages e des éqaons de nares dfférenes son ense édés : n problème dffsohermqe parellemen oplé e n problème hermovsoélasqe foremen oplé hapre D. Dans e as, por prédre orreemen les ransores, le oplage de la PGD ave ne méhode de mallage adapaf es présené e dsé. Les qesons lées a bases emporelles seron dsées ans qe la prse en ompe de dfférens ypes de oplage en len ave la nare des problèmes édés. Une onlson rassemblan les prnpa réslas marqans obens dans e raval es ense proposée. 43

54 CHAPIRE A MEHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES 44

55 Chapre B Résolon d n problème ransore lnéare ave la PGD Sommare B.I La PGD dans le as d problème de la haler ransore D B.I. Formlaon d problème B.I.. Formlaon de la PGD progressve pondérée B.I.. Formlaon ensorelle... 5 B.I..3 Mnmsaon d résd B.I..4 Shéma emporel onssan B.I. Réslas... 6 B.I.. Smlaon ave ne sore de haler bmodale... 6 B.I.. Smlaon ave ne sore de haler de ype éhelon... 6 B.I..3 Smlaon ave ne sore de haler de ype mplsonnelle B.I..4 Smlaon ave la mnmsaon d résd B.II Mallage adapaf por la résolon d n problème ransore ave la PGD... 7 B.II. Présenaon de la ehnqe de mallage adapaf... 7 B.II. Sraéges de oplage PGD / ehnqe de mallage adapaf B.II.. RPGD_S os les modes son reallés B.II.. RPGD_S erans modes son onservés B.II..3 Dssson B.II.3 Réslas B.II.3. Sore bmodale B.II.3. Sore de ype éhelon... 8 B.II.3.3 Sore de ype mplsonnelle B.II.4 Dssson B.II.4. Comparason des de sraéges en erme d évolon d mallage B.II.4. Inflene d mallage nal... 9 B.II.4.3 Inflene d ho de l nerpolaon dans le as RPGD_S B.II.4.4 Inflene des emps araérsqes Conlson d hapre

56 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE L obef de e hapre es d éder la apaé de la méhode PGD à la résolon d n problème ransore lnéare en de dmensons. Nos allons o d abord présener la formlaon d problème ave la PGD progressve pondérée. Plsers paramères de la PGD seron édés : l nflene d mallage onsdéré, l nflene de la sore, la onvergene, la méhode de résolon afn de eser le omporemen général de ee méhode. ros sores de haler seron esées q donnen des réponses ransores rès dfférenes afn de s assrer d ne erane généralé des développemens. L éde de l nflene des paramères sr les zones ransores permera de mere en évdene l nérê d ne ehnqe de mallage adapaf afn de aprer de manère aomaqe les zones de fores varaons de la solon. Dans la deème pare, ne ehnqe de mallage adapaf sera don proposée. Dfférenes sraéges de oplage ehnqe de mallage adapaf/pgd seron présenées. Les réslas obens por haqe sore de la haler ans qe l nflene de paramères de mallage adapaf seron dsés. B.I La PGD dans le as d problème de la haler ransore D Dans ee pare, la résolon de l éqaon de la haler ave la PGD sera o d abord présenée sos la forme dsrèe lassqe [Ammar 7] e ps sos la forme ensorelle [Chnesa a, Prlère a]. Qelqes remarqes onernan l lsaon de la mnmsaon d résd e d n shéma emporel onssan seron apporées. Les réslas seron dsés por ros sores de haler dfférenes. B.I. Formlaon d problème B.I.. Formlaon de la PGD progressve pondérée L éqaon de la haler D édée s ér sos la forme svane: ρ C λ dv grad f B.I-, y,. ρ où la empérare es ne fonon salare dépendan de l espae e d emps,.e. représene la densé, C la haler spéfqe, haler. Le problème es défn sr n domane l espae y e le emps. λ la ondvé hermqe e f la sore de Ω Ω Ω Ω q orrespond respevemen à l espae, Por smplfer l érre, on onsdère des ondons a bords e nales nlles ans qe des paramères maéra onsans ρ, C e λ onsans. Le problème B.I- présene n emps araérsqe lé a rappor ρ C / λ lorsqe le domane spaal es fé. Ce rappor ans qe la sore de haler nflenen les pares ransores de la solon. L dée prnpale de la PGD es d eprmer la solon omme ne ombnason lnéare de fonons à varables séparées. Comme nos l avons présé dans le hapre prééden, por la résolon de problèmes ransores, la PGD pe êre applqée de de façons : y - Shéma de déomposon parelle. Dans e as, la déomposon PGD es applqée sr les varables spaales nqemen e y e n shéma nrémenal en emps lassqe es onservé par eemple n shéma eple, mple o enore de Cran-Nholson [Dmon a, b]. La PGD es don nrémenale. 46

57 Problème de la haler ransore D - Shéma de déomposon omplèe. Dans e as, le emps es raé de la même façon qe les varables d espae. Nos avons don ne déomposon selon les varables,y e. La PGD es onsdérée omme ne méhode non nrémenale. Rappelons qe d ares varanes de la méhode onssen à ne pas déomposer de manère omplèe les varables spaales. On porra er noammen les rava de Bogne e al. [Bogne ] dans le as de géoméres omplees mas erdées selon l épasser por laqelle nos avons ne déomposon, y z. Cela perme de dérre des géoméres omplees. Noons qe por applqer la PGD, l fa avor ne géomére séparable. Des rava son ass menés por applqer la PGD à des domanes ares qe reanglares o bqes [Gonzalez ]. Dans le adre de ee hèse, nos spposons qe le domane es reanglare e nos hosssons ne déomposon omplèe des varables y. En effe, les applaons vsées à long erme néessan de prendre en ompe des emps araérsqes foremen dfférens, es l aspe non nrémenal en emps q nos néresse. La solon es don reherhée sos la forme : n y,, α F G y H B.I- où n es le nombre fnal de rples de fonons reqs por dérre ave ne préson donnée, l amplde e F, G y, H les fonons à varables séparées q on appellera modes en espae, y e en emps. α La PGD es onsdérée omme ne méhode de rédon de modèle a pror ar les fonons F, G y, H son spposées nonnes a déb e déermnées a fr e à mesre d all. Elles son défnes sos forme dsrèe en len ave n mallage spéfqe en, y e. Noons N respevemen M n veer onenan les valers des fonons de forme de l espae dreon respevemen y e L n veer onenan les valers des fonons de forme d emps. Ces fonons son hoses lnéares por l espae ans qe por le emps. les valers nodales des fonons séparées assoées a fonons de forme. F, G e H son L epresson de Eq. B.I- à l éraon n s ér sos la forme dsrésée svane : n N F M G L H, y, α B.I-3 Por applqer la PGD, nos spposons qe la sore de haler s ér ass sos la forme d ne fonon à varables séparées: n f f, y, β f f y f B.I-4 y Elle s ér don sos la forme dsrésée : n f N f f M f f y L f f f, y, β B.I-5 47

58 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE où N f ; M f e L f son les veers q onennen les fonons de forme por la sore e y f, f, f les valers nodales assoées. Les fonons de forme de la sore son dfférenes de elles de la empérare. Dans la se de la hèse, es fonons son défnes sr le même mallage qe el de mas onraremen a fonons de forme de, elles présenen des omposans a bords en espae e à l nsan nal. Cela perme de dérre ne sore non nlle a bords e non nlle à l nsan nal. La onsron de la solon ave la PGD onsse en ne proédre érave omposée à haqe éraon par ros éapes : l enrhssemen de la base, le all des oeffens e le all d résd. Consdérons l éraon. o d abord, l enrhssemen de base nos donne les fonons à varables séparées svanes F G y ; H ;, ense les oeffens α son allés por oes les fonons à varables séparées obenes por,..., +. E enfn, le résd es allé. La proédre érave es répéée sq à onvergene. La onvergene es aene por ne valer sffsammen pee d résd. Déallons manenan les ros éapes por ne éraon. a Eape d enrhssemen de la base A parr des fonons à varables séparées e lers oeffens assoés, les fonons à varables séparées R S y P son allées. Elles son solon de la formlaon varaonnelle de Galern lée à Eq. B.I- : * * * ρ C dω λ dv grad dω f dω B.I-6 Ω Ω * ave n hamp réel e n hamp vrel. Après négraon par pares e prse en ompe des ondons a lmes, ee éqaon s ér: * * * * ρ C dω + λ + dω f dω B.I-7 y y Ω Nos onsdérons les hamps réels e vrels svans : Ω, y, α F G y H + R S y P B.I-8 * * * *, y, R S y P + R S y P + R S y P B.I-9 Ω Ω Cela mène à la résolon d n sysème non lnéare en R, S y e P. Comme proposé par [Ammar 7], e sysème es résol par la méhode de pon fe à dreons alernées. Cee méhode onsse en ne proédre érave où la solon d ne varable es reherhée en mposan la valer des ares : 48 - rover R Spposons onn S y e P, e q mplqe n hamp vrel * * *, y, R S y P psqe S y e P s annlen. L éqaon B.I-7 s ér don: *

59 Problème de la haler ransore D 49 Ω Ω Ω Ω Ω Ω + Ω Ω Ω + + Ω d H y y G F P y y S R H y G F P y S R d H y G F P y S R C d y f P y S R d P y y S R P y y S R P y S R P y S R d P y S R P y S R C,, * * * * * * * α α λ α ρ λ ρ * R B.I- On oben ans n sysème lnéare à résodre por déermner R q s ér sos la forme dsrésée: Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω A B C C C C C C C C C C C D E + + A B C C C C C C C C C C C D E + + n f f y f F d NN H d LdL P G dy MM S C F d NN H d LL P G dy dmdm S F d dndn H d LL P G dy MM S f d NN f d LL P f dy MM S R d NN P d LdL P S dy MM S C d NN P d LL P S dy dmdm S d dndn P d LL P S dy MM S y y y f y y y y ρ λ λ α β ρ λ λ B.I- L éqaon B.I- pe êre eprmée sos la forme :,,,,,, P S H G F P S P S R 3 U U U B.I-

60 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE D où : R U S, P B.I-3 - rover S y Spposons onn R e P, e q mplqe n hamp vrel * *, y, R S y P. De la même manère qe préédemmen, nos obenons n sysème lnéare à résodre por déermner S : S U R, P B.I-4 - rover P Spposons onn R e S y, e q mplqe n hamp vrel * *, y, R S y P. Nos obenons là enore n sysème lnéare à résodre por déermner P : P U 3 R, S B.I-5 ème A la l sos éraon, le résd -après es allé. La proédre de pon fe s arrêe lorsqe e résd es sffsammen pe o lorsqe le nombre mamal de sos éraon l ma es aen. fe N l fe R l S l P l R l S l P l ε es n paramère fé par l lsaer ans qe le nombre mamal de sos éraons. ε fe B.I-6 Après onvergene, les novea modes F +, G + y, H + son obens en normalsan les fonons R, S y e P ave la norme L. Le AB. B.I- monre l algorhme de l éape d enrhssemen de la résolon PGD. : an qe l lma e N fe > ε fe : Call de R S, P l l l l U l l l U 3 : Call de S R, P l l l P 3 4 : Call de U R, S 5 : Call de 6 : fn an qe 7 : Normalsaon l N fe + F R R AB. B.I- + ; G fare S S ; + H P P Algorhme de l éape d enrhssemen 5

61 Problème de la haler ransore D 5 Remarqe. Il es possble de herher plsers rples de fonons smlanémen. La alle d sysème non lnéare à résodre va agmener dans e as, proporonnellemen a nombre de rples. La résolon de e sysème pe êre oûese e la onvergene de la méhode de pon fe pe s avérer beaop pls lene. Dans le adre de ee hèse, nos herhons n sel rple de fonon à haqe éape d enrhssemen. b Eape de proeon all des oeffens Ean donné qe les fonons H y G F ; ; por +,..., son manenan onnes, les oeffens α son solon de la formlaon varaonnelle de Galern B.I-7 ave les hamps réels e vrels svans : + H y G F y,, α B.I-7 + H y G F y,, * * α B.I-8 L éqaon B.I-7 s ér don : Ω + Ω Ω + + Ω Ω + + Ω d f y H y G F d H y y G F H y y G F H y G F H y G F d H y G F H y G F C * * * * α α α α α λ α α ρ * α B.I-9 Dans le adre de l éqaon de la haler, ela reven à la résolon d n sysème lnéare por déermner les α : A B C C C D E A B C C C D E A B C C C D E V V K K K K α α B.I- où les omposans de la mare K e d veer V son défns par :

62 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω d H H dy y G y G d F F C d H H dy y y G y y G d F F d H H dy y G y G d F F K y y y, ρ λ λ n f p p p y p p f H y f y G f F V β + B.I- Noons qe os les oeffens son reallés à haqe éape de proeon e non pas selemen le derner oeffen. Cela perme d obenr des oeffens q on porra dre opma por les modes obens. Eape de all d résd La solon es manenan obene sos la forme Eq. B.I- ave + modes. Le résd relaf noé RRe lé à Eq. B.I- es défn par : f f grad dv C RRe λ ρ B.I- où sgnfe la norme L. Ce résd es allé à haqe éraon. La proédre érave es soppée lorsqe RRe es sffsammen pe. Dans e q s, nos allons présener la formlaon ensorelle de la PGD por le problème de la haler ransore D. Cee érre fale l mplémenaon de la méhode. Elle a éé présenée dans [Chnesa a, Prlère a]. B.I.. Formlaon ensorelle La empérare es reherhée omme ne somme de n prods ensorels enre les veers F, G e H e pondérée par des oeffens noés α. Elle s ér : n H G F α B.I-3 La formlaon varaonnelle d problème B.I-7 pe êre ére sos la forme dsrésée svane : * * B.I-4 ave e * les hamps réel e vrel.

63 Problème de la haler ransore D e son obens à parr des représenaons dsrèes des opéraers dfférenels e de la sore dans la formlaon varaonnelle Eq. B.I-7. On pe les représener sos la forme séparée : A B n A n B a A b A y y A B.I-5 où les omposans de A s érven n A 3 orrespond a 3 opéraers apparassan dans la formlaon varaonnelle : A A y A a Ω 3 dndn d Ω y Ω MM dy LL d λ Ω Ω y Ω NN d dmdm dy LL d λ Ω Ω y Ω NN d MM dy LdL d ρ C AB. B.I- Composans de A e les omposans de B s érven n n orrespond a nombre de ermes séparés néessares por dérre orreemen la sore de haler : B f B B y B b AB. B.I-3 n f NN Ω MM Ω y LL Ω f f f β d f dy f d f y Composans de B Nos présenons l érre ensorelle des ros éapes a, b e por la onsron de. Spposons qe nos sommes à l éraon + es-à-dre les fonons à varables séparées e lers oeffens assoés son onns. a Eape d enrhssemen de la base Dans ee éape, les fonons à varables séparées + R S P son allées. Elles son solon de la formlaon varaonnelle de Galern lée à B.I- ave les hamps réels e vrels svans : 53

64 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE 54 P S R H G F + α B.I-6 * * * * P S R P S R P S R + + B.I-7 Cela mène à la résolon d n sysème non lnéare en R, S, P q es résol à l ade de la méhode de pon fe à dreons alernées. Rappelons q elle onsse en ne proédre érave don les dfférenes éapes s érven sos forme ensorelle omme s : - rover R Spposons onn S e P, e q mplqe n hamp vrel P S R * *. L éqaon B.I-4 s ér don: + n f y y y b A A A a A A A a 3 3 P S R H P G S F R P P S S R R * * * α * R B.I-8 On oben ans le sysème lnéare en R svan: 3 3 y n y y A A A a b A A A a f H P G S F P S R P P S S B.I-9 D où:, P S R U B.I-3 - rover S Spposons onn R, P, e q mplqe n hamp vrel P S R * *. L éqaon B.I-4 s ér don: + n f y y y b A A A a A A A a 3 3 P S R H P G S F R P P S S R R * * * α * S B.I-3 Ans, on oben le sysème lnéare en S svan: 3 3 y n y y A A A a b A A A a f H P G F R P R S P P R R B.I-3

65 Problème de la haler ransore D D où: S U R, P B.I-33 3 n f * P - rover P a b Spposons onn R, S, e q mplqe n hamp vrel B.I-4 s ér don: 3 * + A A A a A A * R R S S P P α R F S G P R S * P y y y * * R S P. L éqaon A H B.I-34 Ans, on oben le sysème lnéare en P svan: 3 n f a b R A R S R S A S A P 3 a R A F S A G A H y y y B.I-35 D où: P U 3 R, S B.I-36 ème A la l sos éraon, le résd -après es allé. La proédre d pon fe s arrêe lorsqe e résd es sffsammen pe o lorsqe le nombre mamal de sos éraon l ma es aen. l N fe l l l où ε fe es n paramère fé par l lsaer. l l l R S P R S P ε B.I-37 fe Les novelles fonons de base son défnes après normalsaon des veers R, S e P par : + F R R ; + G S S ; + H P P B.I-38 b Eape de proeon all des oeffens Ean donné qe + veers F, G, H por,..., + son manenan onns, les oeffens α son solon de la formlaon varaonnelle de Galern assoée à Eq. B.I-4 ave les hamps réels e vrels svans : 55

66 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE + + * α F G H B.I-39 * F G H α B.I-4 Dans le adre de l éqaon de la haler, ela reven à la résolon d sysème lnéare svan : K V ave { } α,...,α + B.I-4 où les omposans de la mare K don la alle es + + e e de V don la alle es + s érven: K 3 p a p p p p F A F G A G H A H, + n f p p y p p p F B G B H B V b + y B.I-4 Eape de all d résd Le résd lé à Eq. B.I-4 es défn à parr de : + n f y 3 + A F A G A H Res b a α B.I-43 Ce résd pe s érre sos la forme : + n C y Res C C C B.I-44 ave nc n f où + es le nombre de modes obens e orrespondans. y son les oeffens La norme eldenne de e résd noé RV es allée à haqe éraon: RV + nc n C n C y C C C < C, C > < C, C > < C, C > B.I-45 y y Remarqe. Ce résd es relaf à l éqaon varaonnelle de Galern, es don n résd a sens fable alors qe le résd présené sos forme dsrèe éa el lé a problème onn for. Le all de e résd RV es pls fale à mplémener e mons oûe qe le résd d problème for Eq. B.I-. De pls, l pe êre éend falemen a problème oplé qe l on va onsdérer. Dans la se de la hèse, le résd RV es don lsé por vérfer la onvergene. La proédre érave es soppée lorsqe le a de rédon d résd RV deven spérer à n sel ε RV fé par l lsaer so enore le rappor enre de résds onséfs es spérer à ε RV : 56

67 Problème de la haler ransore D + + RV τ RV > ε RV RV B.I-46 Por n mallage donné, on noera RV le résd nal es-à-dre el oben ave mode por leqel sele la sore es prse en ompe. Il orrespond don a all de : RV n f B b B.I-47 y L algorhme AB. B.I-4 résme les dfférenes éapes de la résolon PGD d ne éqaon a dérvées parelles por laqelle l nonne noée es déomposée selon 3 varables. RV : an qe ma e ε RV RV : On pose α F G H fare a Eape d enrhssemen de la base 3 : an qe l lma e N fe > ε fe fare 4 : Call de R S, P l l l l U l l l U 5 : Call de S R, P l l l P 3 6 : Call de U R, S 7 : Call de l N fe 8 : fn an qe 9 : Normalsaon + F R R ; + G S S ; + H P P b Eape de proeon : Call des oeffens { α },...,α + Eape de all d résd : Call d résd : RV + : + 3: fn an qe AB. B.I-4 Algorhme de la résolon par la PGD Dans la se de la hèse, le nombre de sos éraons mamal l ma es hos égal à e ε fe es prs égal à 4 saf menon onrare. 57

68 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE En général, por les problèmes raés, la PGD onverge rapdemen après qelqes éraons. On hos don omme nombre mamal de modes. ma B.I..3 Mnmsaon d résd Noons qe l opéraer relaf à l éqaon B.I- es non symérqe, Por eranes valers des paramères maéra, la formlaon présenée -desss ne onverge pas. Il es don néessare d applqer ne ehnqe appelée mnmsaon d résd [Ammar b, Noy a, Ladeveze ]. Elle onsse à symérser les opéraers. Dans le adre de l éqaon de la haler, lorsqe le oeffen de la dérvée emporelle λ deven prépondéran par rappor à el de la dérvée spaale ρ C, la méhode de pon fe à dreons alernées pe mener à des as de non onvergene o de onvergene rès lene por ne préson demandée. Prlère [Prlere a] onsae q ave la mnmsaon d résd, la onvergene es amélorée por n opéraer non symérqe. L dée de ee méhode es de mnmser le résd d problème pré ondonné svan ér sos forme ensorelle: B.I-48 La formlaon varaonnelle d problème s ér : où les omposans d opéraer son manenan svane: B n A n A n n A B a * a a b * B.I-49 e. Ils s érven sos la forme séparée A A A A A A A A y y y y A B.I-5 La solon es ense onsre à l ade de la proédre érave omposée à haqe éraon par les ros éapes : l enrhssemen de la base, le all des oeffens e le all d résd omme présenée dans B.I... Noons qe dans e as le résd es allé en s appyan sr le problème d orgne Eq. B.I-4 e non le problème symérsé. Noy [Noy a] démonre q l y a ne dérossane monoone d résd lorsq on enrh la solon. B.I..4 Shéma emporel onssan L lsaon de la ehnqe de mallage adapaf présenée par la se néesse l lsaon de dsrésaons rréglères. Por des rasons de onssane d shéma emporel, Ammar e al. [Ammar 7] on proposé d lser la formlaon Perov-Galern pwnd. Cee formlaon a éé mse en plae dans le as d ne dsrésaon réglère e es éende dans le as d ne dsrésaon rréglère. En lsan 58

69 Problème de la haler ransore D ne fonon d nerpolaon de emps modfée ~ L dld orresponden ros ermes non nls : ~ L L + h dl, à la lgne de la mare d négraon ~ L dld h ~ + ; L dl+ d h + F dl d + h ~ L ~ + ; B.I-5 En lsan le fa qe le erme L dl + d do êre nl, on en déd la valer de h en fonon de l nervalle de emps onsdéré, ans h +. 59

70 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE B.I. Réslas Dans ee seon, les réslas obens por ros sores de haler son dsés. Por os Ω Ω π ; + π. Les paramères ρ, C les as de smlaon, le domane spaal onsdéré es : [ ] e λ son spposés onsans e éga à. y B.I.. Smlaon ave ne sore de haler bmodale La sore de haler bmodale es ne fonon onne q a por epresson : [ ] 8 sn sn y os e + sn sn y os e f, y, B.I-5 Cee sore es omposée de de ermes, 8 f sn sn y os e e f sn sn y os e. Elle génère ne réponse ave plsers ransores selon les pons de l espae onsdérés e néesse don l lsaon de mallages de densés dfférenes mallages rréglers. La solon analyqe eae a por epresson : e 8 [ sn y sn e + sn sn y sn e ] sn B.I-53 Noons qe la solon analyqe es ne fonon à varables séparées q ompore de modes. La PGD devra don permere de aper ee solon en de modes. Afn de valder les développemens nmérqes, l errer enre la solon nmérqe e la solon eae noée NRE es allée omme s : NRE Por ee sore, le domane emporel hos es [ ;] e B.I-54 e Ω s. Remarqons qe la représenaon de ee sore de haler bmodale néesse n mallage sffsammen dense. Une premère smlaon es menée ave des dsrésaons réglères en espae e en emps de pons por, y e respevemen. Le rère d arrê de la PGD s appe sr n a de rédon d résd ε 95% Eq. B.I-46. RV La solon nmérqe es obene ave de modes. Les oeffens son els qe α 9. 5,. e le résd fnal es de.47. La FIG. B.I- monre qe les de modes por l espae F, [ ] F por e G, eae Eq. B.I-53. Les fonons d emps G por y on la forme des fonons sns omme aend f. la solon H, H présenen des pares ransores rès loalsées FIG. B.I-. Elles ne porron don êre apées qe s la dsrésaon lsée es sffsammen fne e q es le as por ee smlaon pas de emps de.5s por des zones ransores éendes sr envron 3s. Sr la FIG. B.I- a e b, nos voyons qe les modes spaa son égalemen loalsés. Le hamp de empérare à égal.5 s es représené FIG. B.I- d e me en évdene les syméres de la solon. Por e as de es, l errer par rappor à la solon eae NRE es de.83. Ce éar es assez fable e perme de valder l mplémenaon de la PGD. 6

71 Problème de la haler ransore D.5 F F.5 G G m s a H H y m y m 4 3 3,y,.5 b m d 3 3 FIG. B.I- Fonons de bases por les varables a, y b e. d Dsrbon de la empérare en espae a emps.5 La FIG. B.I- à gahe monre l évolon de la empérare en fonon d emps a pon,y -.5,.6 por la solon nmérqe e la solon eae. On remarqe qe la solon présene ne pare ransore por [ ; 3] e ne pare saonnare por [ 3;]. Dans la pare saonnare, les de solons oïnden. Néanmons, des éars esen dans la pare ransore d où la valer non nlle d résd NRE. Ce éar es sûremen lé a mallage lsé. Le pas de dsrésaon emporelle de.5 semble nsffsan por dérre présémen le régme ransore. Ans, omme monre la FIG. B.I- à droe, l éar en espae es assez mporan à l nsan Solon nmérqe Solon eae 4 3,y,.5 e,y, C , y -.5,.6 y s FIG. B.I Evolon de la empérare en fonon d emps a pon,y-.5,.6 por la solon nmérqe e la solon eae gahe, e are d éar en espae a pon.5 droe.5 6

72 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE Remarqes onernan le mallage emporel. Analysons manenan l nflene d pas de dsrésaon emporel sr la prédon de la solon. La FIG. B.I-3 représene l évolon de l errer relave NRE en fonon d nombre de pons en emps por ros mallages emporels dfférens mas onenan le même nombre de pons. La dfférene enre es mallages es la poson des pons. La dsrésaon rréglère onen les 9/ de es pons dans la zone ransore de la solon enre e 3 seondes, la dsrésaon rréglère onen nqemen 5 pons dans la zone ransore e os les ares pons dans la zone saonnare. Même s on agmene le nombre de pons, le résd NRE ne dmne pas dans le as de la dsrésaon rréglère psqe les pons son aoés dans la zone saonnare. En revanhe, la dsrésaon rréglère onen pls de pons dans la zone ransore a fr e à mesre qe le mallage es densfé, es por ee rason qe le résd dmne lorsqe le nombre de pons agmene. Le résd dmne pls ve qe lorsqe le mallage es régler. Noons qe por os es as de smlaon, la solon PGD es obene ave modes. Cela me en évdene le len enre le graden dans la pare ransore e le ho d mallage : l es néessare d avor pls de pons dans les zones ransores afn d obenr ne solon pls prése por n nombre de pon fé e par se n emps de all rasonnable. Néanmons, l fa onnaîre les zones ransores a pror e q es raremen le as. Il sera don néressan de opler la méhode PGD ave ne ehnqe de mallage adapaf por aper aomaqemen les zones ransores. C es e qe nos déallerons dans la seon svane Dsrésaon réglère Dsrésaon rréglère Dsrésaon rréglère NRE Nombre de pons en emps FIG. B.I-3 Evolon de NRE en fonon d nombre de pons en emps por dfférenes dsrbons de pons B.I.. Smlaon ave ne sore de haler de ype éhelon La Sore es ne sore de haler q ne dépend qe d emps. Elle onsse en ne monée de égal à s ps n paler sq à s FIG. B.I-4. Por ee sore, le domane emporel hos es [ ;] Ω s. Por dérre présémen la sore, n mallage emporel mnmm rrégler de ros pons es néessare n pon à, e. Nos l appellerons mallage de la sore. 6

73 Problème de la haler ransore D 8 f s FIG. B.I-4 Sore de ype éhelon Por ee sore, la solon nmérqe obene par ne smlaon lsan le ode Elémen Fns MEF Abaqs Sandard qe l on noera es lsée por évaler la solon nmérqe obene ave la PGD. L éar enre les de solons nmérqes es allé omme s : E MEF na na na y PGD p na na y na MEF,,,, MEF,, B.I-55 où na, na y, na son les nombres de nœds orrespondans en espae, y e en emps q son lsés por la smlaon ave la MEF. PGD p es l nerpolaon lnéare de la solon PGD onne sr le mallage PGD sr le mallage Elémens Fns Abaqs M. MEF La solon de référene es la solon "onvergée" Abaqs M q a éé obene sr n mallage régler, y e. Comme por la sore préédene, nos allons o d abord regarder la solon obene ave n mallage régler en emps e en espae de pons por, y e respevemen. Le rère d arrê de la PGD s appe sr n a de rédon d résd ε 95%. α La solon PGD es obene ave 5 modes e des oeffens 8.3, 7.4,.4, 3.34, Les modes F, G e H son représenés FIG. B.I-5. [ ] On vo qe la valer d oeffen d premer mode es prépondérane. Même s les oeffens ne fon pas qe déroîre, le résd déroî selon le nombre de modes de la façon svane RV [.94, 3.,.4,.93,.6,.4]. La he d résd es beaop pls marqée ave l ao d premer mode par rappor à l ao des svans. RV 63

74 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE.5.5 F F F 3 F 4 F G G G 3 G 4 G m a H.5 H H 3 H 4 H y m 4,y, b 5 y m s FIG. B.I m d Modes spaa selon, y e emporels selon. Dsrbon spaale de la empérare a emps L éar enre la solon PGD ave 5 modes e la solon Abaqs M E es de.36. Sr la FIG. B.I-6 à gahe son représenées les solons obenes ave la PGD e la MEF en fonon d emps por n pon de l espae,y,. Les de orbes se sperposen e la solon présene n régme permanen por spérer à s. La FIG. B.I-6 à droe monre l éar de de solons à l nsan s en fonon de l espae. L éar es rès fable e aen son mamm a enre où la empérare es pls élevée. MEF C Solon PGD Solon MEF,y, s y m 4 PGD MEF m FIG. B.I-6 Evolon de la empérare en fonon d emps a pon,y, por la solon PGD e por la solon MEF gahe e éar enre de solons à droe 64

75 Problème de la haler ransore D Remarqes onernan le emps araérsqe. L éqaon de la haler fa apparaîre n emps araérsqe lé a rappor ρ C / λ qe nos noerons par abs de noaon τ. Nos allons éder l nflene d emps araérsqe sr la solon en omparan l évolon de la empérare en fonon d emps a pon,y, por dfférenes valers de τ. Por modfer e emps araérsqe, nos allons fare varer ρ C en fan λ à o enore fare varer λ en fan ρ C à. Les réslas obens son donnés FIG. B.I-7 e FIG. B.I-8 respevemen. Sr la fgre FIG. B.I-7, on vo q ave n emps araérsqe rès pe, l évolon de la empérare es qas-denqe à elle de la sore. En effe, ela reven à onsdérer qe la dffson de la haler es qas-nsananée. En revanhe, pls le emps araérsqe agmene, pls la empérare évole lenemen. Dans e as, son régme ransore agmene. 5 C 5 τ. τ τ5 τ τ 5 ; y s FIG. B.I-7 Evolon de la empérare en fonon d emps a pon,y, por dfférenes valers de τ λ fé S manenan, on fe la valer de ρ C e on modfe la valer de λ, l amplde de la sore hange elle ass. Dans e as, on vo FIG. B.I-8 qe por ne valer de τ fé, sele l amplde de la zone ransore es modfée. Ans, le nombre de modes por dérre la solon es le même qe dans le as où λ es fé. Néanmons, les oeffens des modes son modfés. Dans la se de ee hèse, por éder l nflene d emps araérsqe, on se plaera oors à λ fé e égal à. En résmé, la PGD es robse por prendre en ompe la réponse ransore por 4 déades de emps de τ égal. à τ égal. 65

76 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE τ. τ τ5 τ τ C 4 3 ; y s FIG. B.I-8 Evolon de la empérare a pon,y, en fonon d emps por dfférenes valers de τ ρ C fé B.I..3 Smlaon ave ne sore de haler de ype mplsonnelle Une sore de haler de ype mplsonnelle es hose. Elle es omposée de de yles n yle monée-paler-desene omme le monre la fgre -après. 5 f s FIG. B.I-9 Sore de ype mplsonnelle Por ee sore, le domane emporel hos es [ ;] éhelon. Ω s omme el de la sore de ype Cee saon es lsée dans le b d obenr ne solon ave plsers zones ransores. Por dérre orreemen ee sore, n mallage rrégler de 9 pons es néessare. La qalé de la solon es qanfée ave l éar par rappor à ne solon "onvergée" Abaqs M Eq. B.I-55. Por ee sore, la solon "onvergée" Abaqs M MEF noée es obene sr n mallage régler pons en, y e.

77 Problème de la haler ransore D m a.6.4. H H H 3 H 4 H 5 F F F 3 F 4 F y m b 4,y, 5 y m G G G 3 G 4 G s FIG. B.I m d Modes spaa e emporels e dsrbon spaale de la empérare a emps égal à La FIG. B.I- monre la solon PGD obene ave n mallage régler en espae e en emps de pons. Le rère d arrê de la PGD s appe sr n a de rédon d résd ε 95%. La solon PGD es obene ave 5 modes e des oeffens RV α [ , 7.964, ,.764,.583] es : RV [ 6.9,.4,.76,.8,.9,.85].. L évolon d résd selon le nombre de modes 5 4 PGD MEF C 5 5 Solon PGD Solon MEF,y, y m s m.5 FIG. B.I- Evolon de la empérare en fonon d emps a pon,y, por la solon PGD e la solon MEF gahe e éar enre de solons à en fonon de l espae droe 67

78 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE Sr la FIG. B.I- à gahe son représenées les solons obenes ave la PGD e ave Abaqs M en fonon d emps por n pon de l espae. Les orbes se sperposen parfaemen dans la zone saonnare [ ; ]. Par onre, l y a n éar dans la zone ransore. L éar PGD-MEF noé E MEF es de.643. La FIG. B.I- à droe monre l éar enre de solons à l nsan égal. On vo qe la valer de l éar es assez mporane. Un mallage emporel régler de pons ne sff don pas por dérre présémen la solon, alors qe, préédemmen ave la sore de ype éhelon, e nombre de pons sffsa. Cela es lé a fa qe la solon présene de pls fores varaons. Noons qe la solon présene de zones ransores omme la sore mas sa zone ransore es pls éende envron s qe elle de la sore s. Remarqes onernan la onvergene de la méhode. Nos allons dser manenan la onvergene de la méhode PGD en fonon d mallage nal e d sel por le rère d arrê. Sr la FIG. B.I- es représenée l évolon d résd RV por dfférens mallages emporels en fonon d nombre de modes PGD. Les mallages emporels hoss son réglers e permeen os de dérre orreemen la sore. On onserve le même mallage spaal qe préédemmen pons Noons qe la valer d résd RV dépend à la fos d mallage onsdéré mas ass d nombre de modes. Selon la valer d sel ε RV Eq. B.I-46 sohaée, le nombre de modes vare en fonon des mallages emporels. On vo qe la onvergene es dfférene sr haqe mallage. Le pon de dépar de haqe orbe orrespondan a résd ave mode RV. Remarqons qe ee valer vare selon le mallage onsdéré. Comme la sore es ben dére ave es ros mallages, RV dmne lorsqe le mallage se densfe n n n 5 5 RV Nombre de modes FIG. B.I- Evolon d résd RV sr dfférens mallages emporels 68

79 Problème de la haler ransore D De pls, on vo qe le graden des orbes es dfféren, par eemple a passage de modes à 3 modes. Ans, ave ne même valer d sel de rédon d résd ε RV Eq. B.I-46, la solon PGD pe êre obene ave dfférens nombres de modes sr dfférens mallages. Dans le ablea AB. B.I-5, es présené le nombre de modes en fonon d nombre de pons d mallage emporel e de la valer d a de rédon d résd ε RV hos. On vo qe sr n mallage pls fn, le nombre de modes pe êre pls fable por aendre n même sel. Par eemple ave ε RV égale à 95%, on oben 5 modes ave le mallage de 5 pons a le 8 modes ave le mallage de pons. Même sr n mallage pls fn, l es envsageable q ne solon onenan mons de modes so beaop mons prése. Ce pon sera dsé dans la pare svane lors d n proédé de mallage adapaf. ε RV n n n 5 n n 5 95% % % % AB. B.I-5 Nombre de modes oben por dfférens mallages en fonon des valers de ε RV Nos reendrons qe por aendre n eran nvea de préson sr la solon, on pe so densfer le mallage so aoer des modes. B.I..4 Smlaon ave la mnmsaon d résd Avan de onlre ee seon, nos allons présener n as de smlaon por leqel la mnmsaon d résd do êre applqée. Les paramères de la smlaon son les svans : ρ C, λ e la sore de ype éhelon. Le mallage lsé es de por, y e. Le a de rédon ε RV es de % por le as sans mnmsaon d résd. La solon es obene ave 5 modes. Dans le ablea -après son reporés, por es 5 modes, les réslas obens dans le as sans mnmsaon d résd e le as ave mnmsaon d résd. Por es 5 enrhssemens, le nombre de sos éraons de la méhode de pon fe à dreons alernées e la valer d résd son donnés. On vo qe dans le as sans mnmsaon d résd, le nombre de sos éraons mamal rappelons l ma égal es aen por plsers éapes d enrhssemens. C es e qe nos avons appelé non onvergene. Ce son les as où sos éraons ne sffsen pas por aendre la 4 préson ε de 3 B.I-37. En effe, por es modes, sele ne préson de es aene. fe Par onre, dans le as ave la mnmsaon d résd, haqe mode es oben ave la préson sohaée. Noons q à parr de l enrhssemen 6, le nombre de sos éraons es rès pe. La valer d résd dmne pls rapdemen lorsqe la mnmsaon d résd es lsée. Por 5 modes, la mnmsaon d résd perme d obenr ne valer de résd pls fable,4 fos alors qe por 4 modes, elle es à pene pls fable.4 fos. 69

80 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE Eape d enrhssemen Sans mnmsaon d résd Nombre de soséraons Résd Ave mnmsaon d résd Nombre de soséraons Résd AB. B.I-6 Comparason des réslas obens sans e ave mnmsaon d résd Nos noerons néanmons qe le résd dmne même dans les as de non onvergene. Néanmons, le nombre de modes por aendre ne erane valer d résd sera pls élevé. On parle ans de onvergene lene. Dans e as, la mnmsaon d résd semble êre ne solon effae. oefos, la formlaon ave la mnmsaon d résd néesse n oû de all pls mporan [Ladeveze, Noy a]. En effe, le all des omposans de e B.I-54 pe êre rès oûe lorsqe le nombre d opéraers agmene. De pls, Chnesa [Chnesa a] remarqe qe, dans erans as, la mnmsaon d résd pe générer beaop pls de fonons de base qe la solon eae. Dans le adre de ee hèse, ompe en des valers des paramères maéra lsés, nos lserons la méhode sans mnmsaon d résd. Conlson de la seon Dans ee seon, la résolon de l éqaon de la haler ransore D a éé présenée. Cee résolon es sse des rava de [Ammar 7] por lesqels la PGD éa applqée nqemen à des dsrésaons réglères en emps. Nos avons éend l applaon de la PGD à des dsrésaons rréglères en modfan la mare emporelle por onserver la onssane d shéma d négraon emporel. Nos avons ms en évdene l nérê d lser la mnmsaon d résd por eranes valers des paramères maéra. Néanmons, dans la se de la hèse, nos lserons la formlaon sans mnmsaon d résd. 7

81 Problème de la haler ransore D L mplémenaon nmérqe a éé valdée por ros sores dfférenes par omparason ave so ne solon analyqe so ne solon EF Abaqs M "onvergée". De pls, en édan es sores por lesqelles les réponses ransores éaen dfférenes, nos avons v qe la PGD permea de aper présémen la solon en fonon d mallage onsdéré e d nombre de modes. Por amélorer la solon, l es don possble de oer sr les de paramères : densfer le mallage e agmener le nombre de modes e q reven à dmner le résd d rère d arrê PGD. Néanmons es de paramères son lés. De pls, nos avons v q l n éa pas sffsan de densfer le mallage. Les pons doven êre posonnés dans les zones de fors gradens snon ela ne perme pas d amélorer la solon. De pls, selon le emps araérsqe onsdéré lé a rappor ρ C / λ e la sore hose, les zones ransores peven évoler foremen e nos ne povons pas les onnaîre a pror. Il n es don pas possble de hosr n mallage adapé de manère a pror. Cela me en évdene la néessé de opler ne ehnqe de mallage adapaf à la PGD. L obef d ne elle ehnqe sera de déermner aomaqemen les zones ransores e mnmser le nombre de pons dans le mallage por ne préson donnée de la solon. Grâe à la séparaon de varables lée à la PGD, nos povons onsdérer selemen des mallages ndmensonnels e q fale le proédé de mallage adapaf e rend ee dée vable. Dans ee hèse, la ehnqe de mallage adapaf sera développée e applqée à la varable emporelle. Nos présenons dans la seon q s ommen opler ne ehnqe de mallage adapaf à la PGD. 7

82 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE B.II Mallage adapaf por la résolon d n problème ransore ave la PGD Dans ee seon, ne méhode de mallage adapaf permean de aprer de manère aomaqe les ransores de la solon lorsqe elle- es reherhée ave la PGD es nrode. Nos regropons sos le erme de ehnqe de mallage adapaf l esmaer d errer a poseror e la proédre d adapaon d mallage. Nos allons o d abord présener la ehnqe de mallage adapaf ps nos proposerons dfférenes sraéges de oplage PGD/ehnqe de mallage adapaf. Les réslas obens por les 3 sores de haler présenées préédemmen seron dsés en fonon des sraéges de oplage onsdérées. B.II. Présenaon de la ehnqe de mallage adapaf L esmaer d errer a poseror L esmaer d errer es n ol néressan por denfer dans qelles zones l es néessare de raffner le mallage. Rappelons qe la solon d problème es reherhée ave la PGD, ela nos perme don de onsdérer n esmaer d errer ndmensonnel. Nos proposons n esmaer loal smple, relaf a résd a sens fable. L esmaer es présené por la varable emporelle. Ce même esmaer porra êre lsé por la varable o enore la varable y. Il paraî mporan de rappeler qe nore obef premer es de aper "aomaqemen" les réponses ransores d problème e d évaler e oplage enre la PGD e la méhode de mallage adapaf. L obef n es pas de dser d ho de l esmaer. D ares esmaers araen p êre lsés [Ladeveze, Ammar ], mas nos avons hos ne poson pls pragmaqe dans le onee général de e raval. L esmaer lsé dans ee hèse es lé a résd RV Eq. B.I-45. Néanmons, a le d êre global es-à-dre allé sr o le domane, l es loal psq l es allé por haqe élémen emporel. Lorsqe la solon PGD es dére ave + modes, le résd loal relaf à l élémen emporel δ ; s ér : m [ ] m m m+ Res n + m f b m y m m m 3 + a α A F A G A H y m m B.II- où les omposans emporels loa de m e m s érven: A m δ m m LL LL d ; A δ m f m δ m d f m 3 LL d ; A m n δ f m LdL d B.II- ave H m + e f m n f les valers nodales des modes emporels e des omposans emporels de la sore dans l élémen m. 7

83 Mallage adapaf / PGD L esmaer résd loal q sera noé par la se m en allan la norme eldenne de + m Res. + RL m es déermné por haqe élémen emporel Noons qe, por haqe élémen emporel, e esmaer prend en ompe les errers spaales de manère globale e non loale omme por le emps psqe l on nègre sr l ensemble d domane spaal e y. Noaons lsées dans la se de la hèse : Par la se, por alléger les noaons, nos noerons e résd RL m mas nos garderons en mémore q l dffère selon le nombre de modes PGD. Le résd loal RL regrope l ensemble de os les résds loa emporels RL m. La proédre d adapaon d mallage A parr de la dsrbon d résd loal RL en fonon d emps, le mallage emporel es raffné. Dans le adre de ee hèse, on lse la h-adapaon, q onsse à raffner le mallage en aoan des pons. Por n mallage fé, des pons son aoés dans l élémen m s le rère svan es vérfé : RL m RL RL ma ε B.II-3 où RL ma es la valer mamale d résd loal RL sr e mallage e ε RL es n a fé par l lsaer. os les élémens son passés en reve à haqe proédre d adapaon de mallage. Par so de smplé, dans la se, n sel pon es aoé a enre de l élémen sasfasan le rère B.II-3. Il porra êre néressan de dser le nombre e le le des pons mas e n es l obe de ee hèse omme nos l avons déà présé. B.II. Sraéges de oplage PGD / ehnqe de mallage adapaf Dans ee pare, de sraéges dsnes de oplage enre la PGD e la ehnqe de mallage adapaf noée RPGD son présenées. La premère sraége onsse à séparer es de méhodes alors qe la deème sraége onsse à nlre la ehnqe de mallage adapaf à l nérer des éraons PGD. B.II.. RPGD_S os les modes son reallés La premère sraége noée RPGD_S onsse à realler enèremen la solon à parr de la solon nlle sr haqe novea mallage. Présons e qe ela sgnfe. o d abord, la solon PGD es allée sr le mallage nal por n a de rédon ε RV Eq. B.I-46 fé par l lsaer. Spposons qe la solon es obene ave n fonons de base e les oeffens assoés. Le résd es ense allé. Rappelons q l es lé a mallage e a nombre de modes. 73

84 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE S le sel sohaé n es pas aen par le résd, n novea mallage es réé à l ade de la ehnqe de mallage adapaf. Sr e novea mallage M, la solon PGD es allée à parr de la solon nlle es-à-dre les fonons de base son enrhes à parr de la solon nlle. Spposons qe elle es obene ave n modes, le proesss de mallage adapaf es répéé sq a momen où le résd es sffsammen pe. Nos noerons le nombre oal de modes q es le nombre oal de modes mlé e es dsn d nombre de modes sr n mallage donné : n RPGD _ S où es le nombre de raffnemen de mallage. Le nombre d éapes de mallage adapaf es don égal à +. n B.II-4 L algorhme de ee sraége es dér -dessos : : : Mallage nal M : 3 : Call de la solon PGD de n modes 4 : an qe Crère d arrê n es pas sasfa 5 : Call de la dsrbon de l esmaer RL 6 : Ao des pons 7 : + 8 : Mallage M : 9 : Call de la solon PGD à parr de la solon nlle n modes : fn an qe AB. B.II- Algorhme de la sraége RPGD_S Remarqe. La méhode PGD regrope les éapes 3 e 9 f. AB. B.I-4 e la ehnqe de mallage adapaf regrope les éapes 5 à 8, ave éape 5, le all de l esmaer d errer e, éape 6 à 8, la proédre d adapaon de mallage. B.II.. RPGD_S erans modes son onservés La deème sraége onsse à enrhr la solon PGD por haqe novea mallage à parr des modes obens sr le prééden mallage. Por haqe novea mallage, les modes préédens son rélsés por déermner les novea modes. Il es don néessare de les proeer sr le novea mallage, les normalser e realler les oeffens. De novea modes son ense allés. 74

85 Mallage adapaf / PGD : L algorhme de ee sraége es dér -dessos: : Mallage nal M : 3 : Call de la solon PGD n modes 4 : an qe Crère d arrê n es pas sasfa 5 : Call de la dsrbon de l esmaer RL 6 : Ao des pons 7 : + 8 : Mallage M : 9 : Inerpolaon des modes obens : Normalsaon des modes nerpolés : Call à novea des oeffens : Call de la solon PGD à parr des modes obens n modes aoés 3 : fn an qe AB. B.II- Algorhme de la sraége Remarqe. La prnpale dfférene ave la sraége RPGD_S es dans les éapes 9 à. A l éape 9, l nerpolaon lsée por proeer les anens modes vers le novea mallage es l nerpolaon lnéare. A l éape, de varanes son édées : - varane noée RPGD_S où n es-à-dre sel mode es allé sr haqe mallage, - varane noée RPGD_S où n es fé par le a de rédonε RV. Dans e as, plsers modes peven êre enrhs sr haqe novea mallage. B.II..3 Dssson Por aendre ne erane préson de la solon, nos avons v q l éa possble so de densfer le mallage so d agmener le nombre de modes. Selon les sraéges de oplage onsdérées, l ne o l are de es façons es prvlégée. Ave la sraége, on hos de densfer le mallage, e de realler os les modes à haqe éape de mallage adapaf. Cela perme don d avor n nombre de modes "opmal". Dans le as de la sraége, on hos d agmener le nombre de modes en onservan les modes allés préédemmen. La varane où plsers modes son aoés à haqe éape perme d amélorer la solon en prvlégan l ao des modes. La varane a por b d amélorer la solon en ombnan les de sraéges : le mallage es densfé e n mode es aoé sr haqe mallage. Dans la se, ne évalaon de es dfférenes sraéges es présenée. 75

86 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE B.II.3 Réslas La ehnqe de mallage adapaf es applqée a ros sores de haler présenées à la seon préédene B.I. afn de eser la ehnqe por dfférenes réponses ransores. Rappelons avan de présener les réslas, les dfférens paramères à rensegner por les smlaons. Comme dans la seon préédene, les paramères de smlaon ρ, C e λ son prs éga à f. Eq. B.I- e la dsrésaon spaale es fée à pons. Le paramère relaf à la résolon PGD sr haqe mallage es le a de rédon Eq.B.I-46 q es prs égal à 95%. Les paramères relafs à la ehnqe de mallage adapaf son : - le mallage nal, - la valer d sel d ao de pons, ε RL Eq. B.II-3, es hose égale à 75%. Les paramères relafs à la sraége de oplage son : - la sraége o, - le rère d arrê s appe sr ne valer fée d résd RV. Por haqe sore de haler, les réslas son dsés en fonon de la sraége de oplage PGD / ehnqe mallage adapaf lsée. ε RV B.II.3. Sore bmodale Les smlaons ave la sore de haler bmodale son effeées ave n mallage nal emporel régler onsé de pons so n nervalle de emps de s. La valer d sel de résd RV por l arrê de la proédre es hose égale à a Réslas dans le as RPGD_S Por ee smlaon, le sel d résd es aen après 6 éapes de mallage adapaf. Chaqe éape néesse a mamm de modes Eq. B.I- ave n por dérre la solon PGD. L évolon de la empérare e elle de l esmaer RL en fonon d emps son représenées AB. B.II-3. La empérare a éé représenée a pon -.5,.6 de l espae ar e pon perme d obenr ne llsraon représenave des apaés de l algorhme. En effe, en e pon, la empérare présene de zones ransores rapprohées f. FIG. B.I-. Par so de laré, selemen les éapes de mallage adapaf nméro ; 3 ; 4 ; 5 ; 5 ; 5 son représenées. De l éape à l éape 4, la poson d premer ransore es apée de pls en pls présémen. A l éape 5, ne seonde fore varaon loalsée es déeée aomaqemen a pon égal à.6 s. Ense, la desrpon de es de zones es présée a ors des éapes de mallage. Rappelons qe la solon analyqe eae Eq. B.I-53 possède de zones ransores q on ben éé apées par e esmaer alors q ave le mallage nal onenan selemen pons sele ne zone ava éé repérée Eape - AB. B.II-3. Ce résla monre la apaé d proédé à aper de manère aomaqe les pares ransores. Noons ass qe la valer des résds loa dmne a ors d proédé de mallage adapaf. Por aper la seonde varaon éape 5, on vo qe le résd à l éape 4 présene n p por des valers rès prohes de mas l nensé de e p rese nférer à elle des ps de l éape préédene.

87 Mallage adapaf / PGD Eape mallage nal Eape 3 Eape 4.5 pons.5 6 pons.5 7 pons C -.5 C -.5 C s s s.5..6 RL s RL s RL s Eape 5 Eape 5 Eape 5.5 pons.5 85 pons pons C Seonde fore varaon loalsée C C s s s RL. RL RL s s s AB. B.II-3 Eape d proédé de mallage adapaf, 3, 4, 5, 5, 5 La FIG. B.II- llsre la onvergene globale de la solon a ors des éapes de mallage adapaf en regard des de résds svans : l éar par rappor à la solon eae NRE Eq. B.I-54 à gahe e le résd RV Eq. B.I-45 à droe. On vo qe es résds dmnen après haqe éape de la même manère. La prédon de la solon es don ben amélorée lorsqe le mallage es raffné. Enre l éape e 6, les de zones ransores on éé apées, ela se rad par ne fore dmnon de NRE e RV. Ense es de résds dmnen beaop pls lenemen. 77

88 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE NRE Eape de mallage adapaf RV Eape de mallage adapaf FIG. B.II- Evolon de l errer NRE gahe e d résd RV droe en fonon de l éape de mallage adapaf por la sraége RPGD_S Comparons les réslas obens ave n mallage ss de la ehnqe de mallage adapaf qe nos appellerons mallage raffné e ave de mallages réglers. Les réslas son reporés AB. B.II-4. Le premer mallage régler es le mallage noé q onen le même nombre de pons qe le mallage raffné so 365 pons. Le seond mallage noé onen 4 pons. Son pas de emps orrespond a pas mnmm d mallage raffné. L errer NRE es la même por le mallage raffné e le mallage alors qe le nombre de pons es 8 fos mons mporan por le mallage raffné. Le mallage régler mène à ne errer.5 fos pls mporane. Rappelons qe le rère d arrê de la PGD es ε RV 95%, e q mène à ne solon ave de modes. Même s on agmena ee valer sel, le nombre de modes agmenera mas l errer ne sera pas dmnée. Le raffnemen de mallage perme ben d avor n mallage opmm vs-à-vs d nombre de pons por ne préson donnée sr la solon. Mallage raffné Mallage régler Mallage régler Nombre fnal de pons por le emps L nervalle la pls fable NRE AB. B.II-4 Comparason enre les réslas obens por le mallage raffné e des mallages réglers Les réslas obens ave la ehnqe de mallage adapaf on éé présenés por n pon parler de l espae, y -.5,.6 présenan de zones ransores por lesqelles ne elle densé de mallage éa néessare. Sr la fgre FIG. B.II-, la solon obene ave e mallage por de pons parlers de l espae le pon,y-.5,-.5 à gahe e le pon,y-.57,-.57 à droe es présenée. On pe remarqer la présene d ne sele zone ransore, q es ben représenée ave e mallage même s el- semble rop dense. Ce es dû a fa qe la PGD onsse à reherher la solon omme somme de prods de fonons de haqe varable. 78

89 Mallage adapaf / PGD C.5 C s s FIG. B.II- Evolon de la empérare a pon,y-.5,-.5 gahe e,y-.57,-.57 droe en fonon d emps dans le as RPGD_S Remarqe. Un paramère mporan de la ehnqe de mallage adapaf es la valer d sel Eq. B.II-3 q donne l endro où les pons son aoés. Edons manenan l nflene de e paramère par rappor à la solon e à la ehnqe de mallage adapaf. Le AB. B.II-5 réaple les réslas obens por qare valers dfférenes de ε RL. Nombre d éapes Nombre de pons d Nombre oal mallage fnal d enrhssemens ε RL ε RL ε RL ε RL AB. B.II-5 Inflene de ε RL ε RL Ce résla llsre ben la balane enre densfer le mallage / agmener le nombre de modes por amélorer la solon. Lorsqe la valer d sel ε RL es pls fable, le nombre d éapes de mallage adapaf es pls pe. Cela es dû a fa q à haqe éape, n pls grand nombre de pons es aoé. Nos voyons qe lorsqe ε RL es pls fable, le nombre de pons d mallage fnal es pls mporan. Comme nos l avons déà menonné, ela se rad par n nombre oal de modes mons élevé. Por ε RL égal à.5, le nombre de pons d mallage es doblé par rappor a as.9 mas le nombre oal de modes es dmné d n faer 5 omme le nombre d éapes de mallage adapaf. Il fa don rover n omproms enre le nombre de modes, le nombre d éapes de mallage adapaf e le nombre de pons. C es la rason por laqelle, dans la se de ee hèse, nos prendrons ε RL égale à

90 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE b Réslas dans le as RPGD_S Nos présenons manenan les réslas obens ave la deème sraége de oplage PGD/ ehnqe de mallage adapaf RPGD_S. Dans ee sraége, après haqe éape de mallage, la PGD es allée à parr des anens modes. La FIG. B.II-3 monre l évolon de l errer NRE à gahe e d résd RV à droe dans le as de RPGD_S sel mode à haqe éape de mallage adapaf. Un résd RV de. es oben a bo de 33 éapes de mallage adapaf. L éar e le résd dmnen a ors des éapes de mallage adapaf. NRE Eape de mallage adapaf RV Eape de mallage adapaf FIG. B.II-3 Evolon de NRE gahe e RV droe en fonon des éapes de mallage adapaf dans le as RPGD_S La FIG. B.II-4 monre l évolon de l errer NRE à gahe e d résd RV à droe dans le as de RPGD_S plsers modes à haqe éape. Dans e as, le sel d résd RV es aen après 3 éapes de mallage adapaf NRE Eape de mallage adapaf RV Eape de mallage adapaf FIG. B.II-4 Evolon de NRE gahe e RV droe en fonon des éapes de mallage adapaf dans le as RPGD_S 8

91 Mallage adapaf / PGD La FIG. B.II-5 monre la solon obene sr le mallage fnal e sr le mallage nal dans le as RPGD_S à gahe e RPGD_S à droe. Comme dans le as RPGD_S, les zones ransores son ben apées e les régmes permanens présenen pe de pons. C C mallage fnal mallage nal s s FIG. B.II-5 Evolon de la empérare a pon,y-.5,.6 en fonon d emps dans le as RPGD_S gahe e RPGD_S droe sr le mallage fnal A re de omparason, les réslas obens ave les de sraéges en erme de nombre d enrhssemens, nombre de pons, nombre d éapes son réperorés AB. B.II-6. Dans le as de la sraége RPGD_S, l es noé le nombre d enrhssemens fnal, es-à-dre por la dernère éape de mallage adapaf e le nombre d enrhssemens mlé es-à-dre la somme des enrhssemens à haqe éape de mallage adapaf por les omparer à e obens ave la sraége RPGD_S. Nombre Nombre de pons d d enrhssemens mallage fnal Nombre d éapes RPGD_S 5 mlé fnal RPGD_S RPGD_S AB. B.II-6 Comparason des réslas des de sraéges de mallage adapaf Por es sraéges de oplage, le nombre de pons d mallage fnal es assez semblable. On onsae qe la sraége RPGD_S es pls effae en erme de nombre oal d enrhssemens. Elle es don a pror mons oûese en emps de all. Néanmons, le gan n es pas remarqable por ee sore de haler en omparason des ares sores omme nos le verrons. Ce es lé a fa qe la solon es obene ave de modes à haqe éape de mallage adapaf por la sraége RPGD_S. De e fa, le nombre de modes sr le mallage fnal es beaop mons élevé dans le as de la sraége qe la sraége 6 à 9 fos mons. Les réslas por ee sore de haler mènen à penser qe la sraége RPGD_S es pls performane d aan pls qe pe de modes son néessares por aper présémen la solon. La varane mode de la sraége RPGD_S néesse mons de modes qe la varane mas le nombre de pons e le nombre d éapes de mallage adapaf son agmenés. 8

92 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE B.II.3. Sore de ype éhelon Les smlaons ave la deème sore de haler son effeées ave le mallage emporel nal de la sore mallage rrégler omprenan 3 pons [,, ]. La valer d sel de résd RV es hose égale à.. a Réslas dans le as RPGD_S Por ee sore, les réslas obens ave la méhode RPGD_S son dsés en fonon d a de rédon ε RV Eq. B.I-46. Rappelons qe e a de rédon fe le nombre de modes PGD à haqe éape de mallage adapaf. Revenons o d abord à la remarqe qe nos avons abordé dans la pare B.I..3 onernan l nflene d a de rédon sr le nombre de modes obens à haqe mallage dans la sraége. Lors d n proédé de mallage adapaf, le résd RV es spposé déroîre. Poran, nos avons onsaé qe ela n es pas oors vra. Ce es lé a fa qe mons de modes peven êre obens noammen lorsqe le mallage es pls fn, e enraînan, dans erans as, ne agmenaon d résd RV. Afn d analyser e phénomène, le AB. B.II-7 monre l évolon d résd RV e d a de rédon d résd orrespondan τ RV f. B.I-46 en fonon d nombre de modes obens por les de mallages onséfs n 7 e n 8 dans le as RPGD_S. On vo q ave n sel ε 95%, 6 modes son obens sr le mallage n 7. La valer d résd fnal es RV.784. RV oefos, ave e rère d arrê ε RV 95%, sels modes son néessares por le mallage n 8 menan à n résd RV 6.689, pls mporan par rappor à el oben sr le mallage pls grosser n 7. AB. B.II-7 Modes RV n 7 n 8 τ RV % RV τ RV % Evolon d RV e τ RV en fonon d nombre de modes obens ave les de mallages onséfs n 7 e n 8 dans le as RPGD_S Le rère d arrê PGD lé a a de rédon ε RV 95% ne garan don pas la dérossane d résd RV, q l sgnfe l améloraon de la solon a ors d proédé de mallage adapaf. Nos proposons don d mposer n rère de dérossane de RV por le proédé de mallage adapaf ave la RPGD_S, es-à-dre le RV oben sr le novea mallage do êre nférer à el oben sr le mallage prééden. En mposan ee ondon, on oben ben ne dérossane de RV à haqe éape d proédé de mallage adapaf omme llsré FIG. B.II-6 à gahe. Le sel RV por l arrê d 8

93 Mallage adapaf / PGD proédé de mallage adapaf es oben après éapes d adapaon. Le mallage fnal onen a oal 7 pons. Sr e mallage, la empérare es dére ave 3 modes. Son amplde es mamale a pon,y, por leqel l évolon de la empérare en fonon d emps es représenée FIG. B.II-6 à droe mallage fnal mallage nal RV Eape de mallage adapaf C s FIG. B.II-6 Evolon d résd RV en fonon des éapes de mallage adapaf gahe e évolon de la empérare a pon,y, en fonon d emps droe dans le as RPGD_S On vo qe le mallage fnal présene beaop de pons dans la zone saonnare ;. Or e n es pas l obef de la ehnqe de mallage adapaf. Ce s eplqe par le [ ] fa qe, sr n mallage fé, svan la qalé de la solon PGD reqse valer d sel PGD ε RV, la valer de l esmaer RL dans la zone saonnare pe êre mporane. Ans, lors d proédé de mallage adapaf, les pons son aoés dans ee zone afn de refer l errer de la solon PGD lée a fable nombre de modes hos. Por llsrer e pon, la dsrbon de l esmaer RL obene respevemen ave modes, 6 modes, modes, 4 modes e 6 modes sr n même mallage de pons mallage oben à l éape nméro 6 de mallage adapaf es reporée FIG. B.II-7..5 RL.5 modes RV modes RV.4 modes RV modes RV modes RV s FIG. B.II-7 Dsrbon de l esmaer RL en fonon d nombre de modes sr n mallage fé 83

94 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE La dsrbon d résd loal dépend d nombre de modes, noammen dans le régme saonnare > s. S l on s arrêe ave modes o 6 modes, la valer d RL dans la zone saonnare es rès élevée par rappor a as ave pls de modes. Le mallage es don raffné dans ee zone e ela se rad par n mallage fnal rès dense dans la zone saonnare omme es le as FIG. B.II-6 à droe. Cela me en évdene le fa qe le proédé de mallage perme non selemen de raffner le mallage por appréhender la zone ransore mas ass por refer l errer lée a fable nombre de modes de la solon PGD. b Réslas dans le as RPGD_S La FIG. B.II-8 respevemen FIG. B.II-9 monre l évolon d résd RV en fonon des éapes de mallage adapaf à gahe e l évolon de la empérare a pon,y, en fonon d emps à droe dans le as RPGD_S respevemen RPGD_S mallage fnal mallage nal 4 5 RV 3 C Eape de mallage adapaf s FIG. B.II-8 Evolon d résd RV en fonon des éapes de mallage adapaf gahe e évolon de la empérare a pon,y, en fonon d emps droe dans le as RPGD_S mallage fnal mallage nal RV Eape de mallage adapaf C s FIG. B.II-9 Evolon d résde RV en fonon des éapes de mallage adapaf gahe e évolon de la empérare a pon,y, en fonon d emps droe dans le as RPGD_S 84

95 Mallage adapaf / PGD On onsae qe le résd RV dmne ave les éapes de mallage adapaf. Mons d éapes de mallage adapaf son néessares ave ee sraége en omparason de la premère sraége e mons d éapes por la varane plsers modes en omparason de mode omme réaplé AB. B.II-8. Comme dans le as RPGD_S, beaop de pons sbssen dans la zone saonnare. Por ee sore de haler en omparason de la préédene AB. B.II-6, le nombre d enrhssemens es beaop pls fable ave la sraége par rappor à la sraége 5 fos à 6.5 fos mons. Ce es dû a fa q ave ee sore, plsers modes son néessares por aper la solon sr haqe mallage ave la sraége. La deème sraége semble don êre pls avanagese dans le sens où elle lme le nombre oal d enrhssemens. Nombre Nombre de pons d Nombre d éapes d enrhssemens mallage fnal RPGD_S 74 mlé 3 fnal 7 RPGD_S RPGD_S AB. B.II-8 Comparason des réslas por les de sraéges de mallage adapaf Néanmons, la deème sraége néesse n mallage beaop pls dense par rappor à la sraége RPGD_S, e d aan pls ave la varane 4.5 fos pls. Ce es lée a fa qe lorsqe la sraége RPGD_S es lsée, la ehnqe de mallage adapaf raffne le mallage ass por orrger l errer lée a modes nerpolés Eape 9 - AB. B.II-, d aan pls lorsqe la solon es herhée ave n sel mode e s le mallage nal donne ne solon beaop rop élognée de la solon reherhée. Dans e as, l n es don pas avanage de garder les modes. Nos dserons e pon dans la pare svane de dssson B.II.4.. B.II.3.3 Sore de ype mplsonnelle Por ee rosème sore de haler, le mallage emporel nal es el de la sore mallage rrégler de 9 pons. La valer sel d résd RV es hose égale à.. a Réslas dans le as RPGD_S Comme por la sore de haler de ype éhelon, ne onrane de dérossane d résd RV es applqée. La solon es obene après éapes de mallage adapaf e le mallage fnal présene 66 pons. La FIG. B.II- à gahe llsre la onvergene d proédé. La FIG. B.II- à droe monre l évolon de la empérare a pon,y, en espae en fonon d emps. La solon es obene sr le mallage fnal ave 8 modes. On vo qe les pons son aoés prnpalemen dans les zones ransores por aper les fores varaons loalsées. La zone saonnare présene ee fos- qe rès pe de pons 6 pons. 85

96 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE RV C mallage fnal mallage nal 5 5 Eape de mallage adapaf s FIG. B.II- Evolon d résd RV en fonon des éapes de mallage adapaf gahe e évolon de la empérare a pon,y, en fonon d emps droe dans le as RPGD_S b Réslas dans le as RPGD_S Regardons manenan les réslas obens por la deème sraége RPGD_S. FIG. B.II- e FIG. B.II- son reporés les réslas obens ave la sraége RPGD_S e la sraége RPGD_S respevemen. Le nombre d éapes de mallage adapaf es de 3 por la RPGD_S e 5 por la RPGD_S. Noons qe dans os les as, les zones ransores son ben apées. Un grand nombre de pons dans la zone saonnare >s es obene prnpalemen dans le as RPGD_S. Ce es lé a fa qe le mallage nal onen selemen 9 pons e qe la solon obene sr e mallage es beaop rop élognée de la solon reherhée e don l n es pas néressan de onserver les modes omme nos le verrons après. Noons qe le nombre de pons dans la zone saonnare es pls mporan dans le as où plsers modes son onservés a le d n sel à haqe éape de mallage adapaf. RV C mallage fnal mallage nal 5 5 Eape de mallage adapaf s FIG. B.II- Evolon d résd RV en fonon des éapes de mallage adapaf gahe e évolon de la empérare a pon,y, en fonon d emps droe dans le as RPGD_S 86

97 Mallage adapaf / PGD RV C mallage fnal mallage nal Eape de mallage adapaf s FIG. B.II- Evolon d résd RV en fonon des éapes de mallage adapaf gahe e évolon de la empérare a pon,y, en fonon d emps droe dans le as RPGD_S Les réslas obens por les dfférenes sraéges son réperorés ablea AB. B.II-9. Comme dans le as de la sore, la résolon PGD sr haqe mallage ave la RPGD_S néesse plsers modes. Ans, le nombre oal d enrhssemens oben ave la RPGD_S es beaop pls fable par rappor à la premère sraége. Néanmons, le nombre d enrhssemens sr le mallage fnal dans le as RPGD_S es selemen de 8 a le de 3 e 4 dans le as RPGD_S. Le nombre de pons d mallage fnal dans le as RPGD_S es pls mporan vs-à-vs à la RPGD_S. Afn de me omprendre porqo le résla oben par la RPGD_S es ass élogné de el de RPGD_S, nos allons regarder en déal les éapes d proédé de mallage adapaf por es de sraéges dans la pare q s. Nombre Nombre de pons d d enrhssemens mallage fnal Nombre d éapes RPGD_S 3 mlé 8 fnal 66 RPGD_S RPGD_S AB. B.II-9 Comparason des réslas de de sraéges de mallage adapaf B.II.4 Dssson Dans ee pare, nos regardons pls en déal les paramères nflençan le résla d proédé de mallage adapaf, q semblen avor ne nflene se à l analyse des réslas sr les dfférenes sores. o d abord, les réslas obens lors des éapes de mallage adapaf enre RPGD_S e RPGD_S son déallés. Ense, l nflene d mallage nal es édée. Enfn, l nflene de l nerpolaon des anens modes dans le as RPGD_S e elle d emps araérsqe dans le as RPGD_S son dsées. La sore de ype mplsonnelle es lsée por llsrer ee pare de dssson. 87

98 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE B.II.4. Comparason des de sraéges en erme d évolon d mallage Revenons a as es présené préédemmen B.II.3.3. Afn d eplqer les dfférenes obenes enre les de sraéges RPGD_S e la sraége RPGD_S en erme de mallage e de nombre de modes, l évolon de la empérare a pon ; y e d résd loal RL en fonon d emps lors des éapes de mallage adapaf son données AB. B.II- à gahe por RPGD_S e à droe por RPGD_S. Par so de laré, selemen les éapes nméro ; ; 6 ; 8 ; 9 e l éape fnale son représenées. A l éape, la valer d résd loal RL es rès élevée por > s même s la solon fnale présene ne zone saonnare por > s f. la solon fnale FIG. B.II- à droe. Ce es lé a fa qe le mallage nal rès grosser dans ee zone ne perme pas de dérre orreemen la solon. De l éape à l éape 6, le proédé de mallage adapaf aoe don des pons dans ee zone. Pls présémen, à l éape, n pon es aoé à 55 q perme de rédre foremen le résd dans la 55 ;. zone [ ] es me apé e la valer d résd es manenan pls élevée dans la zone ransore omparée à elle dans la zone saonnare. Noons néanmons q à ee éape, la valer des résds loa dans la zone saonnare es beaop pls mporane dans le as RPGD_S. Ce es lé a fa qe, dans le as de la sraége RPGD_S, on garde les modes obens à haqe éape de mallage adapaf. Comme les modes obens sr le mallage nal ne permeen pas de ben prédre la solon f. représenaon de la solon à l éape, l errer générée par es modes es don oors présene e le proédé de mallage adapaf do la orrger. En e q onerne la RPGD_S, les modes son ms à or sr les novea mallages, e q perme d éver l errer perssane de a mallage nal. Dans le as de la RPGD_S, à parr de ee éape, on onsae qe les valers mporanes d résd loal orresponden a zones de fores varaons loalsées e don des pons son aoés sr ee zone. A l éape 6, por les de sraéges, le régme saonnare [ ;] Dans le as de la méhode RPGD_S, dans les éapes svanes à parr de l éape 8, des pons son aoés nqemen dans les zones ransores < psqe les résds s annlen dans la zone saonnare. En revanhe, dans le as RPGD_S, les pons son aoés à la fos dans les zones ransores e les zones saonnares. Par eemple, à l éape 8 on vo qe la valer d résd es pls élevée dans la zone saonnare. Ans, à l éape 9, n pon es aoé à s, pon q es ben sé dans ee zone. Cela se rad, à l éape fnale, par n mallage fnal beaop pls dense dans la zone saonnare. Cela eplqe don le nombre de pons beaop pls élevé dans le as RPGD_S par rappor a as RPGD_S q ava éé solgné. L analyse de es réslas me en évdene l mporane des premers modes e par se d mallage nal por la deème sraége où les modes son onservés a ors des éapes de mallage adapaf. Nos allons don manenan dser l nflene d mallage nal. 88

99 Mallage adapaf / PGD RPGD_S RPGD_S Eape mallage nal n 9 pons Eape mallage nal n 9 pons C C s s RL RL s s Eape n pons Eape n pons 3 C C s s 3 RL RL s s Eape 6 n 8 pons Eape 6 n 8 pons 3 3 C C s s RL.4 RL s s 89

100 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE RPGD_S Eape 8 n 5 pons RPGD_S Eape 8 n 5 pons 3 3 C C s s RL. RL s s Eape 9 n 34 pons Eape 9 n 3 pons 3 3 C C s s RL. RL s s Eape 9 mallage fnal n 66 pons Eape 4 mallage fnal n 494 pons 3 3 C C s s. 8-3 RL.5 RL s s AB. B.II- Eapes d proédé de mallage adapaf dans le as RPGD_S gahe e RPGD_S droe 9

101 Mallage adapaf / PGD B.II.4. Inflene d mallage nal Afn d éder l nflene d mallage nal sr la sraége de oplage, nos onsdérons ros mallages emporels dfférens : n mallage rrégler de la sore n 9 e de mallages réglers n e n pons. 5 5 n 9 n n C s FIG. B.II-3 Evolon de la empérare a pon,y, en fonon d emps por ros mallages emporels dfférens La FIG. B.II-3 monre l évolon de la empérare en n pon de l espae en fonon d emps por es 3 mallages ane ehnqe de mallage adapaf n es lsée. La solon ave le mallage n es onsdérée omme éan la solon de référene. La solon obene ave n es beaop pls prése qe elle por n 9, prnpalemen dans la zone saonnare. On pe don penser qe s on démarre la RPGD_S ave n mallage nal de 9 pons, l errer ommse par la proeon des anens modes pe êre prépondérane par rappor à elle lée à la mavase desrpon des zones ransores. E par se, les réslas obens ave la RPGD_S son don mons avanage qe e ave la RPGD_S. Afn de onforer ee dée, la ehnqe de mallage adapaf es esée por des mallages na beaop pls denses e pons. Les ares paramères des smlaons son les mêmes qe préédemmen. Le AB. B.II- monre les réslas obens ave n mallage nal régler de pons. Ils son omparés à e obens le AB. B.II-9 q orrespond a mallage nal grosser de 9 pons. Por les ros sraéges, le nombre d éapes de mallage adapaf es réd e par se le nombre d enrhssemen es pls fable. Comme aend, le nombre oal d enrhssemens de la RPGD_S es beaop pls fable qe el de la RPGD_S. Noons qe le nombre de pons d mallage fnal es pls prohe dans e as por les de sraéges. Le mallage fnal dans le as RPGD_S présene mons de pons par rappor a as RPGD_S e mons d éapes de mallage adapaf. La sraége RPGD_S es neemen avanagese dans le as où le mallage nal es sffsammen fn. Por e mallage de pons, le mallage nal onen des pons dans la zone saonnare 8 pons por >. Sr le mallage fnal, le nombre de pons es don pls élevé por la sraége 9

102 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE RPGD_S malgré ne basse d nombre d éapes de mallage adapaf en omparason a as ave n mallage nal de 9 pons la dfférene éan d allers de l ordre de 8 pons. Nombre Nombre de pons d Nombre d éapes d enrhssemens mallage fnal RPGD_S 95 mlé - 8 fnal 39 5 RPGD_S RPGD_S AB. B.II- Comparason des réslas por les de sraéges mallage nal régler de pons Les réslas obens ave n mallage nal enore pls fn pons son reporés AB. B.II-. Les réslas de la RPGD_S son enore pls avanage. Le nombre de modes sr le mallage fnal s approhe de el de la RPGD_S 8 modes. Por les de sraéges, omme nos l avons présé, le nombre de pons fnal es pls élevé à ase d mallage nal q présene des pons dans la zone saonnare. Nombre Nombre de pons d Nombre d éapes d enrhssemens mallage fnal RPGD_S 75 mlé 8 fnal 3 RPGD_S RPGD_S 9 33 AB. B.II- Comparason des réslas por les de sraéges mallage nal régler de pons En onlson, le ho de la sraége de oplage PGD/ehnqe de mallage adapaf dépend d mallage nal : - S la solon sr le mallage nal es prohe de la solon fnale, l es néressan de onserver les modes PGD à haqe éape de mallage adapaf ar ela perme de rédre le nombre oal d enrhssemens e par se le emps de all. - S le mallage nal es grosser, onserver les modes PGD obens pénalse le all psqe des pons son aoés por paller la mavase prédon de la solon. Dans e as la sraége RPGD_S es don pls néressane même s elle onsse à realler la solon PGD enèremen à haqe éape de mallage adapaf. Cependan, l n es pas oors évden noammen omme nos le verrons dans les as oplés de hosr n mallage nal q donne ne solon sffsammen prése. De pls, ommener par n mallage nal dense pe mener à n mallage rop fn dans la zone ransore e q n es pas opmal en erme de soage de données. Il nos para don assez narel de déber ave n mallage nal q permee de prédre orreemen la sore. Une sraége opmale onssera en n mélange des sraéges e e sera : - déber ave n mallage nal de la sore, - démarrer ave la premère sraége RPGD_S e, - à parr d ne erane valer d résd, onner ave la deème sraége. 9

103 Mallage adapaf / PGD Les réslas obens ave ee sraége son présenés -après AB. B.II-3. Consdérons le mallage nal de 9 pons de la sore. La smlaon démarre ave la sraége RPGD_S sq à l éape 6 de mallage adapaf. A ee éape, le mallage oben es de 8 pons FIG. B.II-4. Ense, la sraége RPGD_S es lsée sq à aendre n résd RV nférer à.. Cee novelle sraége es noée RPGD_S3. Eape de mallage adapaf AB. B.II-3 Nombre de pons emporels Nombre de modes Résd à la fn de haqe éape de mallage Réslas ave la RPGD_S3 RPGD_S+RPGD_S por n mallage nal grosser de 9 pons La solon es obene ave 3 modes a bo de éapes de mallage adapaf e n mallage de 66 pons. Par rappor à la sraége RPGD_S, le nombre oal d enrhssemens es foremen réd 33 a le de 3 por n même nombre de pons por mallage fnal. Par rappor à la sraége RPGD_S, le mallage fnal présene beaop mons de pons por ne même préson sr la solon. La FIG. B.II-4 monre la solon obene à l éape 6 sr le mallage de 8 pons avan de hanger de sraége de oplage. Cee solon es relavemen prohe de la solon fnale. C es la rason por laqelle le passage à la sraége RPGD_S s es avéré bénéfqe. Néanmons, ne éde pls possée devra êre menée afn de déermner le rère opmal por déermner l éape où l on pe hanger de sraége. Cee sraége n es pls évoqée dans la se de la hèse mas elle onse ne pse por opmser e oplage. 93

104 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE 5 Eape 6 : n 8 Eape 9 : n 66 5 C 5 FIG. B.II s Evolon de la empérare a pon,y, en fonon d emps à l éape 6 e à l éape fnale de mallage adapaf B.II.4.3 Inflene d ho de l nerpolaon dans le as RPGD_S Rappelons qe por la sraége RPGD_S, afn de onner le all sr ne novelle éape de mallage adapaf, les anens modes son proeés sr le novea mallage à l ade d ne nerpolaon lnéare f. Eape 9 algorhme de résolon AB. B.II-. Lors de ee éape, les novea modes onsrs à parr des modes nerpolés peven présener des flaons. La FIG. B.II-5 monre les qare premers modes emporels obens sr le mallage fnal dans le as de es prééden ave la sraége RPGD_S f. pare B.II.3.3b..3.. H H H 3 H mallage fnal s FIG. B.II-5 Qare premers modes emporels obens dans le as RPGD_S ave nerpolaon lnéare 94

105 Mallage adapaf / PGD Noons qe os les modes présenen des dsonnés ar ls son nerpolés lnéaremen. Ans, la forme d mode H sr le mallage fnal es la même qe elle sr le mallage nal de pons. Por les ares modes H 4 ler forme es elle sr le mallage où ls on éé générés. Les oeffens de es 4 premers modes son, sr le mallage fnal, [ 4.89, 6.78, 67.55, 56.8] α. Conraremen a as sans mallage o a as RPGD_S, le premer mode n es pas prépondéran f. pare B.I..3. Cela monre qe les oeffens son reherhés de manère à me représener la solon fnale ave les fonons de base obenes grâe à la mse à or des oeffens por os les modes f. Eape e l éape de proeon dans l éape - algorhme de résolon AB. B.II-. Regardons manenan ommen es flaons sr les modes nflenen la solon PGD fnale 3 modes. La FIG. B.II-6 monre la solon fnale obene ave les de sraéges RPGD_S e RPGD_S en fonon d emps por n pon parler en espae. Por e pon, on vo qe la solon obene ave la RPGD_S es n pe brée dans eranes zones emporelles..6 C C zoom RPGD_S RPGD_S s FIG. B.II s Evolon de la empérare a pon,y-.8,-.8 en fonon d emps obene par la RPGD_S e RPGD_S Les flaons son des a fa q à haqe ao d n novea mode e à haqe novea mallage, ne pare d seond erme es nerpolée à parr d n mallage pls grosser. Par eemple, plaçons nos à l éraon +. Afn de herher le novea mode emporel P, on es amené à résodre l éqaon lnéare svane Eq. B.I-35 : 3 n f a b préédemmen R A R S R S Le erme A H H A S A P 3 a R A F S A G A H y y 3, a seond membre, es lé à la dérvée emporelle des modes obenes. Comme es modes H son nerpolés lnéaremen à parr des 95 y

106 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE mallages pls grossers qe el onsdéré à ee novelle éraon, la valer des dérvées pe présener des sas mporans. Nos revendrons pls en déal sr es flaons dans le hapre D q onerne la résolon PGD des problèmes mlphysqes. Dans e as, nos verrons qe les oplages néessen n ransfer de données d n mallage sr n are lorsqe les physqes son défnes sr des mallages q ler son propres. Une méhode por lsser la solon en lsan l nerpolaon bqe Splne [Kno ] es proposée. La FIG. B.II-7 monre les 4 premers modes à gahe e la solon en n pon de l espae à droe lorsqe l nerpolaon bqe Splne es lsée por l eemple é préédemmen. Conraremen a as ave l nerpolaon lnéare les modes son pls réglers e la solon pls lsse. H s FIG. B.II-7 H H H 3 H 4 C C zoom.5..5 RPGD_S RPGD_S RPGD_S RPGD_S Splne Splne s s Qare premers modes emporels obens dans le as RPGD_S gahe. Evolon de la empérare a pon,y-.8,-.8 en fonon d emps obene par la RPGD_S e RPGD_S droe ave ne nerpolaon bqe Splne B.II.4.4 Inflene des emps araérsqes Nos allons manenan évaler l nflene des emps araérsqes sr la ehnqe de mallage adapaf en se lme à l éde de la sraége RPGD_S por les de e de paramères svans : a ρ C 5 ; λ e b ρ C. ; λ. Le sel d rère d arrê RV es fé à.. Le mallage nal es el de la sore. Por le as a, 8 éapes de mallage adapaf son néessares por obenr la solon. Cela mène a all de 4 enrhssemens a oal. Le mallage fnal onen 48 pons. Por le as b, selemen 8 éapes de mallage adapaf son néessares menan à n oal de 7 enrhssemens. Le mallage fnal onen nqemen 98 pons. La FIG. B.II-8 monre l évolon de la empérare a pon,y, en fonon d emps sr le mallage fnal dans es de as. Modfer le emps araérsqe modfe les zones ransores. Comme nos l avons déà solgné, ave ne valer de ρ C / λ pls mporane à gahe, es ee valer q governe la réponse ransore d sysème. Dans e as, la empérare évole don pls lenemen e la zone ransore es pls large. A onrare, ave ne valer de ρ C / λ pls fable, es la sore de haler q governe la réponse ransore d sysème. L évolon de la empérare end don vers la forme de la sore. La zone ransore es don rès prohe de la zone ;. ransore de la sore [ ] 96

107 Mallage adapaf / PGD ρc/λ 5 ρc/λ. C 6 C s s FIG. B.II-8 Evolon de la empérare a pon,y, en fonon d emps. Cas a ρ C 5 ; λ gahe e as b ρ C. ; λ droe Grâe à la ehnqe de mallage adapaf, on onsae qe les zones ransores son ben apées qel qe so ler forme. Cee ehnqe es don ben adapée por la prédon de nore problème. Conlson de la seon Dans ee seon, ne ehnqe de mallage adapaf a, o d abord, éé mse en plae por résodre des éqaons de la haler D. Elle s appe sr les fondemens de la PGD, es-à-dre la déomposon de la solon en prods de fonons à varables séparées e par se ne dsrésaon propre à haqe varable. Un esmaer ndmensonnel smple basé sr l esmaon d résd loal es esé. Des pons de dsrésaon son aoés a endros où les résds loa son sffsammen élevés. De sraéges de oplage enre la PGD e la ehnqe de mallage adapaf son esées. Elles se dfférenen par ler nrson dans l algorhme PGD. La premère sraége noée RPGD_S onsse à realler enèremen la solon PGD après haqe éape de mallage adapaf. Por la deème noée RPGD_S, les modes obens sr les anens mallages son onservés e son rélsés por enrhr les novea modes sr haqe novea mallage. Ces de sraéges on éé esées nqemen por la varable emporelle e por les ros sores onsdérées préédemmen. Qelle qe so la sraége lsée, ee ehnqe de mallage adapaf perme de aper de manère aomaqe les zones ransores. Elle es égalemen apable de refer l errer de à la mavase solon PGD obene dans l éape d enrhssemen. La deème sraége RPGD_S où l on enrh à la fos le mallage e les fonons de bases es parlère adapée lorsqe la résolon sr haqe mallage néesse n grand nombre de modes. Dans e as, le nombre oal d enrhssemens a foremen dmné. Ense, nos avons v qe le ho d mallage nal nflene foremen les réslas. S la solon sr le mallage nal es prohe de la solon fnale, les modes PGD obens peven êre onservés e rélsés por enrhr les novea modes. Dans e as, l lsaon de la deème sraége perme de rédre le nombre oal d enrhssemens o en généran n mallage ave n même nombre de pons. S le mallage nal es grosser, les modes PGD obens sr e mallage son rop élognés de la solon reherhés e don la sraége RPGD_S s avère pls avanagese. Une sraége oplan RPGD_S e RPGD_S a éé esée e semble êre néressane ar elle perme de rédre le nombre d éapes de mallage adapaf ans qe le nombre de pons d mallage fnal. Cee ehnqe de mallage adapaf nos a égalemen perms de aper les réponses ransores d problème lorsqe le emps araérsqe es modfé. 97

108 CHAPIRE B PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE LINEAIRE Conlson d hapre Dans la premère pare de e hapre, la PGD a éé lsée por la résolon de l éqaon de la haler D. La résolon PGD de l éqaon de la haler a éé déallée e n shéma onssan por des dsrésaons rréglères a éé proposé. Afn d analyser le omporemen de ee méhode, des smlaons por ros sores de haler dfférenes e des emps araérsqes dfférens on éé menées. L mplémenaon nmérqe a éé valdée par omparason à ne solon analyqe por la sore bmodale e des solons Elémens Fns Abaqs M por les sores de ype éhelon e de ype mplsonnelle. La solon PGD a perms de prédre la solon por es dfférens paramères e don des ransores foremen dfférens. Néanmons, l lsaon dans ee premère pare d n mallage régler néesse de onsdérer n nombre mporan de pons por aendre ne erane préson sr la solon. Dans la deème pare, l nos es don appar omme néessare de opler à la PGD ne ehnqe de mallage adapaf, afn d aendre ne erane préson sr la prédon de la solon ave n nombre lmé de pons. L obef prnpal es de aper aomaqemen, en paran d n mallage grosser, les zones ransores de la solon, es dernères povan êre governées par le emps araérsqe o enore les ransores lés à la sore. La ehnqe de mallage adapaf s appe sr n esmaer ndmensonnel smple q es basé sr le résd loal. Rappelons qe, dans ee hèse, e n es pas la ehnqe de mallage adapaf q es dsée mas la sraége de oplage ehnqe de mallage adapaf / méhode PGD. De sraéges de oplage enre la PGD e la ehnqe de mallage adapaf son esées. La premère sraége noée RPGD_S onsse à realler enèremen la solon PGD à parr de la solon nlle à haqe mallage alors qe la deème noée RPGD_S onsse à rélser les anens modes PGD. Applqées a ros sores de haler présenées dans la premère pare, nos avons onsaé q ave la ehnqe de mallage adapaf les réponses ransores d problème son ben apées. La ehnqe de mallage adapaf perme ass de refer ne pare de l errer de à la solon PGD obene dans l éape d enrhssemen. La premère sraége RPGD_S es pls performane dans la mesre où pe de modes son néessares sr le mallage fnal por dérre présémen la solon. De pls, l n y a pas d nerpolaon des anens modes e don pas de flaons sr les modes. Cependan, la sraége RPGD_S, por laqelle n nombre pls mporan de modes es néessare por dérre la solon fnale, perme de rédre foremen le nombre d enrhssemens mlé a ors de l ensemble d proédé de mallage adapaf. Comme nos l avons sgnalé, dans le as de l éqaon de la haler D, la réponse ransore es governée so par le emps araérsqe so par la sore. Il pe don paraîre asée de hosr le mallage appropré omme nos l avons présé. Néanmons, l obef prnpal de ee hèse es de qanfer l appor de la méhode PGD dans le as de problèmes mlphysqes oplés. Dans e as, la ehnqe de mallage adapaf prend o son sens psqe les zones ransores, povan êre lées a ermes de oplage, ne son pas onns a pror e ne ehnqe de mallage adapaf oplée à la PGD pe s avérer néessare. De pls, erans ermes de oplage peven fare apparaîre des non lnéarés q doven êre résoles ave la PGD. Nos allons ommener par aborder e pon dans le prohan hapre en esan le oplage enre la MAN e la PGD por ne non lnéaré dans le erme sore de haler. L applaon de la ehnqe de mallage adapaf sera ense abordée dans le hapre D. 98

109 Chapre C Coplage MAN PGD por la résolon d n problème ransore non lnéare Sommare C.I Résolon de l éqaon de la haler ransore D non lnéare... C.I. La PGD por les problèmes ransores non lnéares... C.I. La MAN por les problèmes ransores non lnéares... 3 C.I.. ehnqe de perrbaon... 4 C.I.. ehnqe de résolon oplée MAN-PGD... 7 C.I..3 ehnqe de onnaon... C.II Réslas... 7 C.II. Résolon d n problème ransore non lnéare par la MAN-PGD... 7 C.II.. Solon onvergée de référene par la méhode des dfférenes fnes... 7 C.II.. Réslas par la résolon MAN-PGD... 9 C.II..3 Sraége MAN-PGD modfée... 5 C.II. Domane de valdé... 7 C.II.. Domane de valdé... 7 C.II.. Inflene de la non lnéaré sr le domane de valdé... 3 C.II..3 Inflene d domane emporel sr le domane de valdé Conlson d hapre

110 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE L obef de e hapre es de ompléer les développemens préédens en se donnan la possblé de résodre des problèmes non lnéares ransores. L dée es de opler la PGD e la Méhode Asympoqe Nmérqe MAN. Dans le onee de la PGD, la résolon de problèmes non lnéares ransores a éé édée en lsan des sraéges de lnéarsaon [Ammar a, Prlere a]. oefos, omme nos allons le monrer dans la se, ee approhe présene erans nonvénens. Nos proposons don ne approhe alernave basée sr la MAN. La MAN [Coheln 7] es largemen lsée por résodre n grand nombre de problèmes non lnéares e en parler dans le adre de la méanqe des srres des problèmes d nsablé omme noammen le flambage [Azrar 993, Coheln 994, 7]. Dans le onee des méhodes de rédon de modèle, on pe er des rava oplan la MAN e la POD por la résolon de problèmes non lnéares [Yvonne 7, Nroomand ]. L dée de la MAN es de herher la solon sos la forme d ne sére enère de manère rérrene. L nrodon d développemen en sére enère mène à la résolon d n grand nombre de problèmes lnéares. Le oplage enre la MAN e la PGD onsse à lser la PGD por résodre es problèmes lnéares. La rérrene es lée a fa qe la résolon de la MAN por n ordre donné fa nervenr les solons a ordres préédens. L obe de e raval es de monrer qe le oplage MAN-PGD es possble por ne erane famlle de problèmes non lnéares. Ce hapre n a pas la voaon d êre d ne porée générale mas d évaler s la MAN es apable de résodre des non lnéarés emporelles. La MAN es applqée à l éqaon de la haler ransore D où la non lnéaré nerven dans le erme sore. Dans n premer emps, la mse en plae de la méhode es déallée ps le domane de valdé de la méhode es dsé. C.I Résolon de l éqaon de la haler ransore D non lnéare On herhe à déermner la fonon, défne sr le domane l espae D e le emps Ω Ω Ω [ ; L ] [ ; L ] elle qe : ρ C λ f + g C.I- où ρ es la masse volmqe, C la haler spéfqe, λ la ondvé hermqe, f la sore de la haler e g es ne fonon non lnéare q dépend de la empérare. La non lnéaré d problème es lée a erme g e la somme f + g pe êre onsdérée omme ne sore de la haler non lnéare. Por smplfer l érre, on onsdère des ondons a bords e nales nlles ans qe des paramères maéra onsans ρ, C e λ onsans. De pls, par so de smplé, nos allons onsdérer le as parler de la non lnéaré g. L éqaon C.I- s ér don : ρ C λ f + C.I- Dans e q s, nos allons o d abord présener la résolon par la PGD de e problème non lnéare afn de mere en évdene les nonvénens de e ype d approhe. Ense, ne méhode de oplage MAN-PGD es proposée.

111 Problème de la haler ransore D non lnéare C.I. La PGD por les problèmes ransores non lnéares La PGD présenée dans le hapre B es applqée por la résolon de l éqaon C.I-. Rappelons qe ee méhode onsse en ne proédre érave omposée à haqe éraon par ros éapes : l enrhssemen de la base, le all des oeffens e le all d résd. A l éraon +, l éape d enrhssemen onsse à reherher la solon, sos la forme séparée svane : où R e, α F H + R P C.I-3 P son les novelles fonons de base à déermner. Ave n hamp vrel : * * *, R P + R P C.I-4 e après la prse en ompe des ondons a bords, la formlaon varaonnelle de Garlern lée l éqaon C.I- s ér : * * * ρ C dω + λ dω f dω + dω C.I-5 Ω Ω * Ω Cela mène à la résolon d n sysème non lnéare en R, P. Comme nos l avons présé dans le hapre B, afn de déermner R e P la méhode de pon fe à dreons alernées es lsée por déermner R e P [Ammar 7]. Ω Remarqe. La méhode de pon fe mène à la résolon d éqaons lnéares lorsqe le problème es lnéare f. B.I.. Cee proédre de pon fe es déallée por le problème non lnéare onsdéré : - rover R : Spposons onn P, e q mplqe n hamp vrel de la forme, R P * * psqe P s annle. Comme l éqaon C.I-5 do êre sasfae qel qe so R, on oben n sysème non lnéare à résodre por déermner R : R U P U P U F, H, P + F, H, R, P C.I-6 3 U4 où le erme U F, H, R, P lé à la non lnéaré 4 es non lnéare en R. * * - rover P Spposons onn R, e q mplqe n hamp vrel de la forme, R P * psqe R s annle. On oben don n sysème non lnéare à résodre por déermner P : P U R U R U F, H, R + F, H, R, P C.I-7 3 U 4 où le erme U F, H, R, P lé à la non lnéaré 4 es non lnéare en P. * *

112 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE Comme on pova s y aendre, dans le as d n problème non lnéare, la méhode de pon fe mène à la résolon d éqaons non lnéares. Por les résodre, de sraéges de lnéarsaon on éé proposées par Prlère [Prlere a] e Ammar [Ammar a]. Il s ag de la sraége de lnéarsaon nrémenale e de la sraége de lnéarsaon de Newon. Elles onssen, oes les de, en ne lnéarsaon d erme non lnéare à l enrhssemen onsdéré + erme qe l on noera + : Por la sraége de lnéarsaon nrémenale, le erme + solon à l enrhssemen prééden : + es évalé à parr de la α F H C.I-8 Por la sraége de lnéarsaon de Newon, le erme + es évalé en lsan parellemen la solon à l enrhssemen prééden : + + R P + R P C.I-9 Ans, ave es de sraéges, le sysème à résodre par la méhode de pon fe Eq. C.I-6 e Eq. C.I-7 deven lnéare. Dans [Prlere a], ne are varane es proposée e onsse à érre e + + erme sos la forme :. Les aers monren qe les sraéges -desss onvergen e q l n y a pas de dfférene mporane en erme de nombre de modes e emps de all, même s la non lnéaré es me prse en ompe par la deème sraége. oefos, par omparason à ne solon analyqe, es de sraéges néessen n nombre de modes beaop pls mporan. Ce s eplqe par le fa qe le nombre de modes es lé à la onvergene d solver non lnéare q es lsé dans l éape de l enrhssemen. Pls le solver onverge lenemen, pls le nombre d éapes d enrhssemens es élevé e par se le nombre de modes. Une sraége de opmale a éé envsagée e onsse à reherher les novelles bases R e P P m à la sos éraon m noées R m e en lsan parellemen les fonons obenes à la sos éraon préédene m : + m m m m F H + R P α F H + R P α C.I- Cee sraége semble êre pls avanagese ar elle perme d aendre la préson demandée ave le même nombre de modes qe la solon eae. oefos, le oû de all es semblable par rappor a de premères sraéges. De pls, ave ee approhe, les opéraers dfférenels lés a nonnes R m e doven êre ms à or à haqe éraon. Aremen d, on do aalser les omposans de f. B.I.. à haqe éraon. Ce deven oûe s la alle d problème es mporane par eemple lorsqe la non lnéaré es pls omplee. P m Il semble don néressan d avor n nombre onsan d opéraer dfférenel. C es l avanage de la Méhode Asympoqe Nmérqe qe nos allons présener dans la pare svane.

113 Problème de la haler ransore D non lnéare C.I. La MAN por les problèmes ransores non lnéares Afn de résodre le problème Eq. C.I- ave la MAN, n paramère réel φ es nrod. Nos onsdérons don n sysème non lnéare omposé de l nonne e d paramère φ. ros sysèmes q se dfférenen par l nrodon d paramère φ peven êre envsagés: So φ es plaé devan la sore de la haler f : L éqaon à résodre deven don: C λ φ f + g ρ C.I- Cee approhe a por b d évaler l nflene d hargemen la sore f sr la réponse d sysème. Ave ee approhe, nos povons obenr la solon por dfférenes valers d hargemen. Dans la plpar des as, es ee approhe q es lsée, noammen dans le adre de la méanqe des srres lors de la résolon de problèmes d nsablé [Coheln 7]. So φ es plaé devan la non lnéaré g : L éqaon à résodre deven don: ρ C λ f + φ g Ave ee approhe, on analyse l nflene de la non lnéaré sr la réponse d sysème. C.I- So φ es plaé devan la sore oale f + g : ρ C λ φ f + g Ave ee approhe, on analyse l nflene de f e g smlanémen. C.I-3 Dans le adre de ee hèse, nos nos néressons à l nflene de la non lnéaré sr la réponse d sysème. Nos allons don onsdérer le sysème Eq. C.I-. L éqaon à résodre deven don : ρ C λ f + φ C.I-4 où les nonnes son la empérare e le paramère φ. Le prnpe de la MAN es de herher les solons e φ sos la forme de séres enères ronqées à n eran ordre. La MAN perme de ransformer le sysème non lnéare en n eran nombre de problèmes lnéares q dsposen des mêmes opéraers dfférenels. Comme nos allons vor dans la se, ls se dfférenen nqemen par le seond erme. Por déermner la branhe omplèe de solon,φ, la MAN onsse en ros ehnqes de base q son la perrbaon, la dsrésaon e la onnaon. La ehnqe de perrbaon es lsée por ransformer le problème non lnéare à résodre en ne se de problèmes lnéares. Le oplage MAN-PGD onsse à résodre es problèmes lnéares par 3

114 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE la PGD. La ehnqe de onnaon perme de déermner n novea morea de la solon. Dans e q s, nos allons déaller hane de es ehnqes. C.I.. ehnqe de perrbaon La ehnqe de perrbaon onsse à herher la solon de l éqaon C.I-4 sos la forme de séres enères ronqées en fonon d n paramère de hemn a : où l ordre p es hos par l lsaer. p p p φ p p + a + a + + a p a φ φ + aφ + a φ a φ a C.I-5... C.I-6 A parr d ne analyse a poseror q sera présenée dans la seon svane, l es onsaé qe le ople de solon φ, ér sos la forme de séres enères es valable nqemen dans n a ; a. La solon orrespondan φ a, a es de morea domane de valdé de a [ ] ma de la branhe de solon f. la FIG. C.I-. Noons qe le ople φ a, a φ, es le pon de dépar de e morea. Pon de dépar Morea de la branhe Fn d morea φ FIG. C.I- Un morea de la branhe de solon [Coheln 7] Remarqe. Les ondons a bords e nales on éé hoses nlles por. Ces mêmes ondons a bords e nales son égalemen applqées a éqaons à haqe ordre de la MAN p. Por résodre n problème ave d ares ondons a lmes, nos nos ramènerons, par hangemen de varables, à n problème ave des ondons a bords e nales nlles. Consdérons, par eemple, n problème don les ondons a bords son non nlles : 4 b Ω,, C.I-7 où la fonon b, es onne. En posan le hangemen de varables svan : b,, +, C.I-8 où, es nlle a bords e à l nsan nal, le problème onsdéré s ér don :

115 Problème de la haler ransore D non lnéare 5 C g f C b b b λ ρ φ λ ρ C.I-9 Comme la fonon b es onne, e sysème pe s érre sos la forme b b g f C + + φ λ ρ C.I- Ans, la même srre de développemen pe êre mse en plae. Ave la représenaon C.I-6, la non lnéaré g pe égalemen s érre sos la forme d ne sére enère ronqée à l ordre p : p g a g C.I- où : l l l g C.I- Remarqe. Cee représenaon deven omplqée s g es ne fonon pssane d ordre élevé n g ave n grand. Dans e as, de novelles varables v elles qe n n n v v,, v son lassqemen nrodes. Cela mène a novelles éqaons : + n v f C φ λ ρ n n v v v C.I-3 En applqan le ehnqe de développemen à l ensemble des varables v n e, on onsae q n sel prod de de séres enères ronqées es néessare. Néanmons, n ordre élevé pe fare eploser le nombre de ermes e d opéraons [Coheln 7]. A parr des représenaons C.I-5, C.I-6, C.I-, l éqaon C.I-4 pe s érre sos la forme svane : + p p p p g a a f a a C φ λ ρ C.I-4 so : + p p p g a f a a a C φ λ ρ C.I-5 Por qe l éqaon C.I-5 so sasfae qelle qe so la valer de a, + p problèmes lnéares por haqe ordre de a doven êre résols.

116 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE L ordre Le problème à l ordre s ér : C λ f + φ g f + φ ρ C.I-6 où les de nonnes son e φ. Spposons φ, es don la solon de l éqaon lnéare svane : ρ C λ f C.I-7 Rappelons qe le ople φ, es le pon de dépar d morea de la branhe de solon e φ, es ben la solon de l éqaon non lnéare C.I-4. L ordre p Le problème à l ordre p s ér : ρ C λ φ g C.I-8 où les de nonnes son e φ. On vo qe les ermes g ne dépenden qe des solons a ordres préédens f. Eq. C.I-. L éqaon C.I-8 orrespond don à l éqaon d n problème lnéare ransore. Paramère de hemn a 6 Remarqons q ave p ordres de la MAN, on a p nonnes q son,,..., p e φ, φ,..., φ p. Poran, l n y a qe p éqaons. Il fa don aoer ne ondon spplémenare à haqe ordre. Comme présé dans [Coheln 7], ee ondon s appe sr la défnon d paramère de hemn a q pe êre allé de la façon svane :, + φ φ, a C.I-9 φ Il s ag, dans e as, d ne psedo longer d ar. Elle orrespond à la proeon de la solon sr la dreon angene, φ. D ares ho son possbles e son présenés dans [Coheln 7] mas ls n on pas éé édés dans le adre de e raval. Ave ee défnon d paramère de hemn, nos obenons p ondons spplémenares q s érven: C, + φ, φ, + φ, φ B C.I-3..., + A p φ p, φ où, défn n prod salare. Le problème es manenan ben posé e nos povons don résodre les éqaons lnéares à haqe ordre de la MAN. C es l obe de l éape de résolon.

117 Problème de la haler ransore D non lnéare C.I.. ehnqe de résolon oplée MAN-PGD Dans le adre de la méanqe des srres, la MAN es lassqemen oplée ave la méhode des élémens fns MEF. Cela reven à lser la MEF por résodre les éqaons lnéares générées par la ehnqe de perrbaon. Nos proposons d lser la PGD. L nérê de l approhe MAN-PGD par rappor à l approhe MAN-MEF es lé a fa qe les éqaons ransores peven êre résoles dreemen. Dans l approhe MAN lassqe, n shéma emporel nrémenal do êre lsé [Coheln ]. La PGD éan ne méhode non nrémenale, la résolon des problèmes ransores lnéares ne pose ane dfflé e es rès rapde. Dans e q s, nos allons déaller la résolon oplée MAN-PGD à haqe ordre de la MAN. La résolon d n problème ransore lnéare par la PGD a éé présenée a hapre B, elle ne sera pas déallée. L ordre Rappelons qe le problème à résodre à l ordre s ér : ρ C λ f La solon par la PGD de ee éqaon s ér sos la forme : PGD α F H C.I-3 n où son les modes spaa, H les modes emporels, α les oeffens e n es le nombre de modes à l ordre. F L ordre A l ordre, on herhe à résodre l éqaon svane : C φ ρ λ g C.I-3 La solon de ee éqaon pe êre s érre sos la forme : PGD φ C.I-33 où PGD es la solon par la PGD de l éqaon svane: A l ade de la ondon : PGD On oben la valer de φ omme s : PGD ρ C λ g C.I-34 φ ±, + φ, φ C.I-35 PGD, PGD + C.I-36 7

118 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE Le sgne ± de φ ndqe le sgne d veer angen a pon de dépar φ, d morea de la branhe de solon. Il ser à svre ne branhe de solon dans le même sens, sans reor en arrère. Dans e q s, nos hosssons oors ne valer posve de φ ar nore b es de déermner la solon à φ ave por pon de dépar φ. La solon à l ordre pe don s érre sos la forme : PGD φ φ α F H C.I-37 n L ordre A l ordre, on herhe à résodre l éqaon svane : C ρ λ φg + g φ C.I-38 La solon de ee éqaon pe êre ére sos la forme : PGD PGD φ + φ C.I-39 où e PGD es la solon PGD de l éqaon svane: PGD PGD ρ C λ g C.I-4 PGD es la solon de l éqaon C.I-34 q a déà éé rovée lors de la résolon à l ordre prééden. La sore g éan omposée nqemen de la solon a ordres préédens, n sel problème lnéare do êre résol à e ordre. A parr de la ondon :, + φ, φ C.I-4 la valer φ es déermnée omme s : PGD PGD PGD φ, φ C.I-4 +, PGD Ense, la solon MAN à l ordre es allée à l ade de Eq. C.I-39. L ordre p De la même manère, la solon d problème lnéare à l ordre : es reherhée sos la forme : ρ C λ φ g C.I-43 8

119 Problème de la haler ransore D non lnéare PGD PGD PGD + + φ PGD + φ + φ... φ C.I-44 Elle mène à la résolon de problèmes lnéares parm lesqels problèmes on déà éé résols a ordres préédens. Il rese selemen à résodre nqemen l éqaon svane par la PGD: PGD PGD ρ C λ g C.I-45 don la sore g l l ne dépend qe des solons a ordres préédens. l A parr de la ondon : + φ, φ C.I-46 la valer φ es déermnée omme s : PGD, PGD PGD PGD PGD PGD φ, φ, φ C.I-47 +, Por onlre, on vo qe os les problèmes son résols de manère rérrene, la résolon de la MAN à n ordre donné fasan nervenr les solons a ordres préédens. Noons qe le nombre oal d enrhssemens por dérre la solon à l ordre p es égale à la somme des enrhssemens PGD effeés à haqe ordre : p n oal n C.I-48 Déomposon de la sore Por la résolon de hane des éqaons -desss ave la PGD, l es néessare de onsdérer ne représenaon séparée de la sore. A l ordre, la sore de l éqaon PGD à résodre s ér g l l. Elle dépend des solons a ordres préédens l l PGD l+ l φ l. Rappelons qe haqe solon PGD, m l, es ne somme de prods de modes spaa e emporels q s ér PGD m PGD m n m m m m α F H. ros méhodes peven pe êre envsagées por représener la sore sos la forme séparée : Eplemen : PGD Dans e as, la représenaon séparée de haqe solon m es onservée e la sore à l ordre de la MAN es omposée des prods de oes es solons. Ave ee méhode, la sore es dére omplèemen à haqe ordre de la MAN. Par onre, le nombre de ermes séparés por sa représenaon pe s avérer rès élevé por n ordre élevé de la MAN. 9

120 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE SVD : Dans e as, l s ag d lser la SVD f. Chapre A pare A.I.3.a por déomposer la sore à haqe ordre de la MAN. o d abord, la sore g es allée à haqe pon de dsrésaon, e es représenée par ne mare plene g, de alle n n. Cee mare es ense déomposée par la SVD : où Σ es ne mare dagonale de alle g, UΣV C.I-49 n n onenan mn n, n valers snglères q son rangées dans n ordre dérossan, U es ne mare de alle n n don les olonnes onsen ne base orhonormale de l espae e V es ne mare de alle n don les olonnes onsen ne base orhonormale d emps. Ans, haqe n SVD olonne de U e V orrespond respevemen à n mode spaal F e n mode SVD SVD emporel H. Chaqe valer snglère orrespond à n oeffen α. Nos onservons ense n eran nombre m de modes por lesqels le oeffen es sffsammen élevé. La sore à l ordre s ér don sos la forme séparée svane: g m SVD SVD SVD, F H α C.I-5 Ave ee méhode, le nombre de ermes por dérre la sore à haqe ordre de la MAN es fable. Dans le onee d n problème à varables,, q es le as édé, l lsaon de la SVD ne présene pas de dfflé parlère por le mallage onsdéré. Dans la se, nos hosssons don ee méhode por la déomposon de la sore. Por n mallage pls fn, l lsaon de la SVD pe êre oûese. De pls, omme nos l avons présé dans le hapre A, por des problèmes ave plsers varables, l lsaon de la SVD mldmensonnelle pe s avérer omplqée [Gonzalez, Kolda 7, Lahawer ]. Dans e as, la méhode PGD, présenée -après, pe êre lsée. PGD : Une are méhode onsse à lser la PGD por ompaer la sore rédre le nombre de ermes dans la sore. Ean donné qe la sore s ér sos la forme séparée de m ermes g m, F H α, le problème svan es résol par la PGD : PGD m I g, y α F H C.I-5 où I es l opéraer d dené. La solon, obene ave n eran résd, s ér sos la forme : g PGD PGD m PGD PGD, y α F H C.I-5 PGD où le nombre de modes m es nférer à m. Ave ee méhode, la sore à haqe ordre de la MAN es obene sos la forme séparée ave n fable nombre de ermes.

121 Problème de la haler ransore D non lnéare Le AB. C.I- es n ablea synopqe réaplaf de l algorhme de la résolon MAN- PGD oplée: PGD Ordre PGD Résodre ρ C λ f par la PGD Caller la solon MAN à e ordre PGD Préparer la sore por l ordre : Déomposer g Ordre Résodre PGD PGD λ g ρ C par la PGD Caller φ PGD, PGD + Caller la solon MAN à e ordre PGD φ Préparer la sore por l ordre : Déomposer g Ordre p PGD PGD Résodre ρ C λ g par la PGD φ Caller φ PGD, PGD φ PGD, PGD PGD, PGD Caller la solon MAN à e ordre φ Préparer la sore por l ordre svan : Déomposer PGD + g l AB. C.I- ablea réaplaf de l éape de résolon MAN-PGD oplée l l Grâe à la ehnqe de perrbaon e à la résolon MAN-PGD oplée, nos povons rover le ople, φ por haqe l ordre de la MAN. Remarqe. Il es onsaé dans [Coheln 7] qe, por erans problèmes don la dsrésaon es ndépendane des paramères de hemn a e φ, les éapes de perrbaon e résolon ommen. Por es problèmes, dsréser le problème avan de le perrber mène à la résolon des mêmes éqaons.

122 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE Une are approhe oplan la MAN e la PGD semble néressane. Elle onsse à o d abord applqer la PGD por séparer le problème en espae e en emps. Ense, la MAN lassqe es lsée por résodre des problèmes saonnares en espae. Cee approhe n es pas édée dans le adre de ee hèse. A parr des oples φ, obens, nos povons ense déermner la solon de l éqaon C.I-4, por ne valer d paramère φ sohaé, en résolvan l éqaon C.I-5 por rover a : p + p φ a φ + a φ a φ φ Par eemple, por l éqaon C.I-, on herhe à obenr la valer de a por φ. A parr de la valer de a, la solon MAN fnale ave p ordres es allée à l ade de l éqaon C.I-6 : + a + a a Remarqe. Cela monre ne propréé rès néressane de la MAN. Ave os les oples, φ obens, nos povons résodre a poseror n nombre nfn d éqaons spao-emporelles d ype C.I-4. Por haqe valer de φ, l sff de résodre ne éqaon polynomale por avor la solon orrespondane e pon sera déallé dans la se. p p p a C.I..3 ehnqe de onnaon Dans la pare préédene, nos avons présené la résolon d n problème hermqe ransore non lnéare por ne valer sohaée de φ grâe a développemens asympoqes. Néanmons, es développemens son valables nqemen dans n eran vosnage d pon de φ,, es-à-dre les valers de φ doven êre à l nérer d morea de la branhe de dépar solon [ φ, φ a ]. L nervalle [ ] ma ;a ma appelé le domane de valdé [Coheln 7] es la lme d paramère de hemn a por leqel la solon obene par la sére Eq. C.I-6 sasfa ne préson demandée. Afn d avor la solon por ne valer de φ à l eérer de [ φ, φ a ] ma, d ares morea de la branhe de solon doven êre reherhés, e q es l obef de la ehnqe de onnaon. Dans ee pare, ne méhode por déermner le domane de valdé es o d abord présenée. La résolon oplée MAN-PGD por la ehnqe de onnaon es ense déallée. Call d domane de valdé Dans le adre de ee hèse, nos allons lser la méhode proposée dans [Coheln 7] por aller la valer de a. Elle s appe sr la dfférene de la solon a ordres onséfs de ma la MAN. L dée es de déermner sffsammen pe : a ma en egean qe l éar enre de ordres onséfs so MAN p MAN p MAN p MAN δ C.I-53

123 Problème de la haler ransore D non lnéare MAN p MAN p où e son les solons MAN fnales à de ordres onséfs. es la norme d veer onsdéré e δ es n paramère hos par l lsaer. On a don a p a + a a p p déermner la valer de a ma par la formle svane : p δ. En approhan a a a p p par a, on pe a p δ C.I-54 ma p La valer de φ ma es ense allée par Eq. C.I-5 e mène à φ ama φ p ma. L éape de onnaon En applqan la ehnqe de perrbaon e la ehnqe de résolon, on oben le premer morea de la branhe de solon ave n domane de valdé [ ;a ma ] orrespondan. Por déermner le morea svan de la branhe de solon deème pas de onnaon, l sff d applqer à novea es de ehnqes à parr d novea pon de dépar défn omme s : φ φ a φ ma ama ma C.I-55 Ervons manenan les éqaons à résodre à haqe ordre de la MAN ave e novea pon de dépar. L ordre Le problème à l ordre s ér : ρ C λ f + φ g f + φ C.I-56 φ es solon d problème non lnéare Eq. C.I-4, l es ass solon d problème à l ordre défn -desss. On onsae qe, omme le novea pon de dépar, L ordre Le problème à l ordre s ér : so ρ C λ φg + φg φ + φg ρ C λ + φ φg C.I-57 C.I-58 3

124 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE On remarqe, omme dans le as prééden, qe le sysème à résodre es lnéare. Poran, l opéraer dfférenel d problème es dfféren de el à l ordre d premer morea de la branhe de solon Eq. C.I-3, lé a erme φ. La ehnqe de résolon oplée MAN-PGD présenée préédemmen es rélsée por ee éqaon. On réso o d abord l éqaon svane ave la PGD : PGD PGD PGD ρ C λ + φ g C.I-59 PGD On oben ans φ e on alle PGD φ. PGD, + L ordre Le problème à l ordre s ér : + φ g φ g ρ C λ φ g + φg + φ g φ + C.I-6 so ρ C λ + φ φ + φ + φ g g C.I-6 Noons qe l opéraer dfférenel es ee fos- le même qe el d problème à l ordre. La solon de ee éqaon es reherhée sos la forme : PGD PGD PGD φ [ ] + φ + φ C.I-6 où es la solon PGD de l éqaon svane: e 4 PGD [ ] PGD PGD [ ] [ ] PGD λ + φ [ ] ρ C C.I-63 PGD es la solon PGD de l éqaon svane: PGD PGD PGD ρ C λ + φ g C.I-64 PGD Noons qe es la solon de l éqaon C.I-59 q a déà éé résole. Il rese don de problèmes lnéares à résodre par la PGD Eq. C.I-63 e Eq. C.I-64. En omparason ave la résolon d premer morea de solon à l ordre, on onsae qe ee éape néesse la résolon de de problèmes a le d n sel. Noons ass qe les sores préédens. e g son omposées nqemen de la solon a ordres En raoan la ondon + φ, φ, on oben :,

125 Problème de la haler ransore D non lnéare 5 ] [,,,, PGD PGD PGD PGD PGD PGD PGD PGD + + φ φ φ C.I-65 La solon MAN à e ordre es ense allée d après Eq. C.I-6. L ordre p Le problème à l ordre s ér : l l l g g g C φ φ φ φ φ λ ρ C.I-66 so + + l l l g C φ φ φ λ ρ C.I-67 De la même manère qe préédemmen, la solon MAN à l ordre es reherhée sos la forme : ] [... PGD PGD PGD PGD φ φ φ φ C.I-68 On es amené à résodre + problèmes lnéares parm lesqels problèmes son déà résols a ordres préédens. Les novelles éqaons déres -après son résoles ave la PGD: + l l l PGD PGD PGD C ] [ ] [ ] [ φ λ ρ C.I-69 g C PGD PGD PGD + φ λ ρ C.I-7 où la sore l l l g ne dépend qe des solons a ordres préédens. Ave la ondon + φ φ,,, on oben : ] [,,...,,, PGD PGD PGD PGD PGD PGD PGD PGD PGD PGD φ φ φ φ C.I-7 La solon MAN à e ordre es ense allée d après Eq.C.I-68. Remarqe. Noons qe oes les éqaons résoles ave la PGD dsposen d même opéraer : I C φ λ ρ + C.I-7

126 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE De pls, avan d applqer la PGD, ne novelle représenaon séparée de la solon es déermnée à l ade de la SVD. Cela perme de lmer le nombre de modes por représener. Spposons qe s eprme sos la forme ensorelle svane: n α F H C.I-73 les omposans de A f. B.I.. s érven ans: A A a Ω Ω Ω + n dndn d NN d N F NN d Ω LL d λ Ω Ω LdL d L H LL ρ C φ α d Une fos os les oples φ, obens, le domane de valdé es à novea déermné à l ade de Eq. C.I-54. Le deème morea de la branhe de solon ans qe son domane de valdé son obens. S la solon ans générée n es pas sffsane, ee éape es à répéée à parr d n novea pon de dépar fn d morea prééden. La branhe omplèe de la solon es ans onsre en applqan à haqe morea les ros ehnqes q son la perrbaon, la résolon e la onnaon. A haqe éape de onnaon, n novel opéraer dfférenel do êre généré. 6

127 Réslas C.II Réslas Dans ee seon, nos présenons o d abord les réslas obens ave la MAN-PGD por la résolon d n problème non lnéare ransore. Ense, ne éde sr le domane de valdé es présenée. C.II. Résolon d n problème ransore non lnéare par la MAN-PGD On herhe à résodre l éqaon C.I- ave les paramères ρ ; C ; λ e ne sore onsane posve f. Rappelons qe la non lnéaré onsdérée es L éqaon C.I- s ér : + Le domane édé es Ω Ω Ω [ ; ] [ ; ] nlles.. C.II-. Les ondons a bords e nales son hoses La solon nmérqe obene ave la MAN-PGD es omparée à ne solon nmérqe obene DF par ne smlaon lsan la méhode des dfférenes fnes qe l on noera. Nos ommençons par présener ee solon. C.II.. Solon onvergée de référene par la méhode des dfférenes fnes La méhode des dfférenes fnes MDF [Allare 5] es lsée por résodre l éqaon,,..., n ayan n pas δ e n mallage régler en,,..., m ayan n pas δ son onsdérés. La solon a pon, es noée C.II-. Un mallage régler en espae emps n m ;. Une fos la solon a emps allé, le shéma emporel de Newon mple es hos por rover la solon a emps +. Por déermner la dérvée seonde en espae, le shéma enré à l ordre es lsé. Le erme non-lnéare emporel. L éqaon d problème es de la forme : es évalé à l nrémen + δ δ n ; m C.II- La solon à l nsan + es obene en résolvan le sysème lnéare svan : K + I δ δ... C.II-3 + n n n 7

128 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE où I es ne mare d dené e K es ne mare r bande elle qe: δ K δ Une fos les ondons a bords e nales applqées, la solon por haqe pon n m ; es obene. C.II-4 Por déermner le mallage à lser ave les DF, l nflene d mallage sr la solon DF es édée en allan la norme svane sr haqe mallage: n DF n m n m ans qe l éar enre la solon obene sr le mallage où n m n m es le mallage ommn de M l e M M M l e elle obene sr le mallage C.II-5 M : l el C.II-6 nm M. Le AB. C.II- réaple les valers des normes e éars obens sr dfférens mallages spaa por n mallage emporel fé à pons. On vo qe por n mallage onenan pls de pons en espae, la norme n DF vare rès pe. De pls, l éar l ordre de 4. l e es l ass rès fable de Mallage n m Norme n 3 DF Ear e Ear e Ear e Ear M :.59 M : M 3 : M 4 : M : AB. C.II- Valer de la norme n DF e de l éar e l por dfférens mallages spaa e n mallage emporel fé 4 e Le AB. C.II- monre les valers des normes e éars obens sr dfférens mallages emporels por n mallage spaal de pons. On vo q à parr d mallage de pons en 4 emps, la norme n DF ne vare pas beaop e l éar es rès fable de l ordre de. 8

129 Réslas Mallage n m Norme n DF Ear e Ear e Ear 3 e Ear M :.3 M : M 3 : M 4 : M : AB. C.II- Cee éde nos perme de hosr omme mallage afn d obenr la solon onvergée DF q sera noée dans la se. Elle es représenée sr la FIG. C.II-. l 4 e Valer de la norme n DF e de l éar e por dfférens mallages emporels e n mallage spaal fé FIG. C.II- Solon DF DF sr le mallage de C.II.. Réslas par la résolon MAN-PGD Dans ee pare, nos allons déaller les réslas obens ave la ehnqe de résolon MAN-PGD présenée préédemmen por la résolon de l éqaon C.II-. Paramères por la résolon PGD Rappelons q à haqe ordre de la MAN, la PGD es lsée por résodre les problèmes lnéares ransores. La smlaon PGD es effeée sr le même mallage qe el lsé dans la DF : n por l espae e n pons por le emps. Rappelons qe l algorhme de résolon PGD se rove hapre B AB B.I-. Les paramères de la résolon PGD lsés son les svans : - le rère d arrê por la méhode de pon fe es ε 4 o éraons por le rère d arrê por l éape d enrhssemen, - ε 95% por le rère d arrê onernan le nombre de modes. RV fe 9

130 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE L éar enre les de solons nmérqes MAN-PGD e DF es allé omme s : DF E DF n n DF,, n n DF, C.II-7 La proédre de résolon MAN-PGD présenée préédemmen es applqée à l éqaon C.II- : + φ C.II-8 ave les ondons a bords e nale nlles. A haqe ordre de la MAN, après avor oben oes les solons MAN, la solon de l éqaon C.II- es obene a poseror en mposan φ. Dans e q s, nos allons présener en déal les réslas obens por déermner la premère branhe de solon. L ordre L éqaon à résodre ave la PGD s ér: PGD PGD C.II-9 où les ondons a bords e nales son nlles. La solon PGD es obene ave 7 modes e les oeffens svans : α [ 8.673,.399,.389,.7,.668,.563,.64] Remarqons qe le premer mode es prépondéran. Les modes spaa e les modes emporels son représenés FIG. C.II-. Noons qe les modes spaa son symérqes. L évolon d résd selon le nombre de modes es : RV [.4,.6,.5,.47,.3,.4,.7,.5] F F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F H H 3 H 4 H 5 H 6 H 7 H m s FIG. C.II- Les modes spaa gahe e emporels droe à l ordre

131 Réslas La FIG. C.II-3 à gahe llsre la solon PGD à l ordre. La solon MAN à l ordre e la solon MAN fnale son ense allées. Por ee ordre de la MAN, elles son denqes à la PGD solon PGD. L errer obene par rappor à la solon de référene DF es de.9775 Eq. C.II-7. DF La FIG. C.II-3 à droe llsre la are d éar enre la solon MAN fnale e la solon. La solon à l ordre es foremen dfférene de elle obene ave la solon de référene DF dfférenes fnes. Ce éar es pls mporan dans la zone prohe de s. En effe, le régme permanen n es pas enore aen à l nsan. FIG. C.II-3 DF ma.439 Solon PGD à l ordre gahe e are d éar enre la solon MAN fnale à l ordre e la solon DF droe Une fos la solon à l ordre allée, la représenaon séparée d erme sore por l ordre, g, es allée ave la SVD sr forme Eq. C.I-5 : g g m SVD SVD SVD F H α. f. AB. C.I- e s ér sos la Rappelons qe nos avons hos d lser ee éape por lmer le nombre de ermes por représener la sore. La FIG. C.II-4 monre la dérossane des 5 premères valers snglères SVD α obenes. 5 α SVD -5 - FIG. C.II Evolon des valers snglères lors d n all SVD de la sore

132 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE Les valers snglères dérossen rès ve. Nos hosssons de garder nqemen les modes SVD don la valer snglère sasfa le rère svan: α α SVD SVD > Cela nos donne m 5 modes SVD dans e as FIG. C.II-5: 6 C.II F SVD F SVD F 3SVD F 4SVD F 5SVD H SVD H SVD H 3SVD H 4SVD H 5SVD m FIG. C.II s Modes SVD spaa gahe e emporels droe por la sore d problème à l ordre Noons qe s nos n avons pas lsé la SVD, nos arons dû onsdérer 7 modes. L ordre L éqaon à résodre ave la PGD s ér: PGD PGD 5 SVD SVD SVD α F H C.II- où les ondons a bords e nales son nlles. A e ordre, la solon PGD es obene ave 7 modes e des oeffens α [ 3.988,.4937,.33,.459,.59,.7,.37]. Le premer mode es là enore prépondéran F F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F H H 3 H 4 H 5 H 6 H 7 H m.5.5 s FIG. C.II-6 Les modes spaa gahe e emporels droe à l ordre

133 Réslas Les modes spaa e emporels obens son représenés FIG. C.II-6. L évolon d résd selon le RV.3,.4,.,.9,.4,.4,.,.. nombre de modes es [ ] Après avor oben la solon PGD à l ordre, la valer de φ es déermnée à l ade de Eq. C.I-36 : φ. 3. La solon MAN à l ordre es ense allée por préparer la sore de l éqaon à l ordre e ans de se. La FIG. C.II-7 llsre la solon PGD l ordre. PGD φ e es lsée PGD à gahe ans qe la solon MAN à droe à PGD FIG. C.II-7 Solon PGD à gahe e solon MAN à droe à l ordre Afn de aller la solon MAN fnale à l ordre : a + a, la valer d paramère de hemn a do êre déermnée. Comme nos l avons présé, la valer de a es allée en mposan φ dans l éqaon C.I-5. Por ela, nos résolvons l éqaon φ + a φ φ, e q donne a 36. La FIG. C.II-8 llsre la solon MAN fnale obene à l ordre à gahe DF ans qe la are d éar par rappor à la solon DF à droe. FIG. C.II-8 DF ma.439 Solon MAN fnale gahe e are d éar enre la solon MAN fnale e la solon DF droe à l ordre 3

134 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE L errer par rappor à la solon de référene DF Eq. C.II-7 es E DF.833. On vo qe la valer de l errer agmene e q sgnfe qe la solon MAN fnale à e ordre s éare de la solon DF. L amplde de l éar es pls mporane par rappor à elle à l ordre f. FIG. C.II-3 à droe. Ce éar es lé à la prse en ompe d erme non lnéare. Nos allons vor dans la se qe lorsqe l ordre de la MAN agmene, la solon end vers la solon de référene. La FIG. C.II-9 llsre l évolon de la solon MAN fnale a por les 6 premers ordres p sq à p 5. Ordre Ordre Ordre Ordre 3 Ordre 4 Ordre 5 FIG. C.II-9 Evolon de la solon MAN fnale 4

135 Réslas Il es mporan de remarqer q a premers ordres de la MAN, la forme de la solon es rès dfférene par rappor à la solon de référene. oefos, la méhode réss à orrger la solon a fr e à mesre après haqe ordre de la MAN. Cela monre la onvergene de ee méhode. En praqe, la MAN es développée sq à l ordre 5 o [Coheln 7]. Dans le adre de ee hèse, nos allons développer la MAN sq à l ordre 5. La FIG. C.II- monre l évolon de E DF Eq. C.II-7 por les 5 premers ordres de la MAN à gahe ans qe la are d éar enre la solon MAN fnale à l ordre 5 e la solon DF à droe..5.5 E DF L'ordre de la MAN DF ma.439 FIG. C.II- Evolon de l errer E DF en fonon de l ordre de la MAN gahe e are d éar por la solon obene à l ordre 5 droe Cee fgre monre la onvergene de la smlaon. A l ordre 5, E DF.48 e l éar mamal enre les de solons es selemen ~.5. Remarqe. A l ordre, afn d obenr la valer d paramère de hemn a, l nos fa résodre le polynôme en a svan: φ aφ a φ C.II- + Nos obenons valers de a. Par eemple, à l ordre 3, les 3 valers de a solons son : [ ; ; 89]. Comme la solon MAN fnale es ne ombnason lnéare de la solon à haqe ordre de la MAN e de a Eq. C.I-6, la valer de a do êre réelle. Nos prenons don la valer 89. Lorsqe plsers valers réelles de a son obenes, nos hossons la pls pee valer posve. Cela assre qe la valer de a se rove dans le domane de valdé. C.II..3 Sraége MAN-PGD modfée Nos avons v q à haqe ordre de la MAN, os les problèmes lnéares à résodre ave la PGD dsposen d n même opéraer dfférenel. Ces problèmes se dfférenen nqemen par le erme sore. 5

136 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE Lors de la résolon par la méhode des élémens fns dans l approhe lassqe de la MAN, ela mène à l nverson d ne sele mare q es rélsée por os les ordres de la MAN. Dans le onee de la PGD, nos povons égalemen rélser oes les mares d négraon allées, aremen d les omposans de A son allées ne sele fos por os les ordres de la MAN. La prnpale dfférene enre es de méhodes es d ne par qe la PGD es ne méhode non nrémenale e q en pls le all es pls rapde, d aan qe le nombre de dmensons onsdéré es élevé. Noons ependan qe le nombre oal d enrhssemens PGD pe devenr mporan s la résolon à haqe ordre de la MAN néesse plsers modes. Une are sraége es proposée por paller e défa. Elle es appelée MAN-PGD modfée. Cee sraége onsse à rélser les modes PGD obens a ordres de la MAN préédens por aller la solon PGD a novel ordre. L algorhme de ee sraége es dér dans le AB. C.II-3: : : L ordre de la MAN 3 : Call de la solon PGD n modes 4 : an qe < ma 5 : + 6 : L ordre de la MAN 7 : Les modes obens préédemmen son rélsés 8 : Call des novea oeffens 9 : Call de la solon PGD à parr des modes obens n modes aoés : fn an qe AB. C.II-3 Algorhme de la sraége PGD-MAN modfée A l éape 3 e à l éape 9, la solon PGD à haqe ordre de la MAN es obene por n a de rédon d résd ε RV de 95 %. A l éape 7, les modes PGD obens a anens ordres son rélsés por le novel ordre de la MAN. Lers oeffens son don reallés à l éape 8. Applqons ee sraége a problème prééden C.II- e omparons les réslas obens ave la sraége MAN-PGD normale présenée dans C.II.. e ave la sraége MAN-PGD modfée. La FIG. C.II- à gahe monre l évolon d nombre oal d enrhssemens Eq. C.I-48 ans qe l éar ave la solon DF en fonon de l ordre de la MAN e de la sraége lsée. L lsaon de la sraége MAN-PGD modfée perme foremen de dmner le nombre d enrhssemens par rappor à la sraége normale. Cependan, l éar oben ave la solon DF es pls élevé por n même ordre la MAN. Les de orbes d errer MAN-PGD normale e MAN- PGD modfée s éaren a fr e à mesre lorsqe l ordre de la MAN agmene. 6

137 Réslas.5 Nombre oal d'enrhssemens E DF.5.5 MAN-PGD 'normale' MAN-PGD 'modfée' 5 5 L'ordre de la MAN 5 5 L'ordre de la MAN FIG. C.II- Evolon d nombre oal d enrhssemens gahe e de l errer E DF droe en fonon de l ordre de la MAN por les de sraéges MAN-PGD Ce problème s eplqe par le fa qe même s les opéraers de haqe problème lnéare son les mêmes, la sore pe êre foremen dfférene. Ans, la solon de haqe résolon par la PGD es rès dfférene enre les dfférens ordres de la MAN. On vo par eemple, qe la solon PGD à PGD PGD l ordre la FIG. C.II-3 e la solon PGD à l ordre la FIG. C.II-7 son rès dfférenes. Cela mène don à des modes spaa e emporels dfférens enre haqe ordre de la MAN f. FIG. C.II- e FIG. C.II-6. Ans, l lsaon des modes PGD des ordres préédens de la MAN por enrhr la solon a novel ordre pe mener à ne mavase solon. De pls, omme la résolon à n ordre de la MAN fa nervenr la solon des ordres préédens, l errer se mle. C es la rason por laqelle la solon MAN-PGD modfée se dégrade de pls en pls qe l ordre de la MAN es élevé par rappor à la solon MAN-PGD normale. Cee méhode n es pas don reommandée dans e as. Dans la se de e hapre, nos lsons la méhode PGD normale. C.II. Domane de valdé Dans ee pare, ne éde sr le domane de valdé e sr la ehnqe de onnaon es présenée. Ense, nos allons regarder l nflene de la non lnéaré sr le domane de valdé ans qe elle d domane emporel. C.II.. Domane de valdé Commençons par évaler le domane de valdé a ma d premer morea de la branhe de solon d problème C.II-8. Il es allé à l ade de l éqaon C.I-54. La valer de φ ma es ense allée par Eq. C.I-5. Cee dernère dépend de la valer de préson hose δ. La FIG. C.II- monre l évolon de a ma à gahe e φ ma à droe por dfférenes valers de δ en fonon de l ordre de la MAN. Lorsqe la valer de δ dmne, les valers de a ma e φ ma son pls fables por n ordre fé de la MAN. Por ne valer donnée de δ, les valer de a ma e φ ma son de pls en pls mporanes en fonon de l ordre de la MAN. Cela rad le fa qe la qalé de la solon es amélorée en enrhssan la sére enère. 7

138 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE Por e premer morea de la branhe de solon e 5 ordres de la MAN, la valer de φ ma es.9 por δ 4. On pe don obenr la solon reherhée à φ ave ne préson δ 4. S l on hos ne valer pls fableδ 6, la valer de φ ma es selemen de.69. Por obenr la solon à φ, l nos fa so agmener l ordre mamal de la MAN so fare l éape de onnaon. C es e qe nos présenerons dans la pare svane. a ma φ ma δ - δ -4 δ L'ordre de la MAN 5 5 L'ordre de la MAN FIG. C.II- Evolon de a ma gahe e φ ma droe en fonon de l ordre de la MAN por dfférenes valers de δ Afn de me omprendre e qe sgnfe le domane de valdé, regardons manenan la empérare mamale ma 5, en fonon de la valer de φ por 5 ordres onséfs de la MAN p p 5 FIG. C.II-3. On vo qe les orbes se sperposen lorsqe la valer de φ es fable. Les orbes s éaren de pls en pls por ne valer de φ pls élevée. Cela sgnfe ben la non onvergene de la solon. 4 5 ; C Ordre Ordre Ordre 3 Ordre 4 Ordre φ FIG. C.II-3 Valer de la empérare a pon 5 ; en fonon de φ por le premer pas de onnaon a ordres p p 5

139 Réslas ehnqe de onnaon Consdérons ne préson δ 4. Nos venons de vor qe le premer morea de la branhe de solon orrespond à ne valer de φ ma. 9. A delà de e domane, la solon obene par les séres enères rovées dans C.II.. n es pls valable. Afn de onner à svre la branhe de solon, nos applqons manenan la ehnqe de onnaon présenée préédemmen C.I..3. Le pon de dépar d deème morea de la branhe de solon deème pas de onnaon es don : φ. 9 e es la solon MAN fnale à a 9. ma A l ade de la proédre présenée dans C.I..3, ne novelle base de solon MAN à haqe ordre es obene e noée 5. Cela nos perme de onsrre à novea la solon MAN fnale sos la forme d ne sére enère ronqée Eq. C.I-6. Cee novelle sére enère présene égalemen n domane de valdé q es allé à l ade de l éqaon C.I-54. Il es φ ma. 98 ave 4 δ f. la FIG. C.II ; C Ordre Ordre Ordre 3 Ordre 4 Ordre φ FIG. C.II-4 Valer de la empérare a pon 5 ; en fonon de φ por le deème pas de onnaon a ordres p p 5 Nos obenons don n deème pas de onnaon. Le pon de la fn de e pas es ense lsé omme le pon de dépar por déermner le pas de onnaon svan. En fasan sessvemen ee proédre, la branhe omplèe de la solon pe êre obene. La FIG. C.II-5 monre l évolon de la empérare a pon 5, en fonon de φ obene ave 5 ordres de la MAN. On vo q ave 3 pas de onnaon, on pe obenr la solon sq a φ 85.. Remarqons qe ela sgnfe q on pe obenr n nombre nfn de solons, de φ à φ 85., por le problème non lnéare onsdéré Eq. C.II-8. 9

140 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE Pon de dépar φ 5 ; C Fn d pas φ.9 Fn d pas φ.98 Fn d pas 3 φ φ FIG. C.II-5 Evolon de la empérare a pon 5, en fonon de φ à l ordre 5 de la MAN por 3 pas de onnaon déermnés par δ 4 Le AB. C.II-4 monre l errer E DF obene à la fn de haqe pas de onnaon. Les errers son assez fables e q monre la onvergene de la solon. On vo qe l errer es pls mporane por n pas de onnaon pls élevé. Ce s eplqe par le fa qe l errer es mlée ar la solon à la fn d n pas de onnaon es lsée omme le pon de dépar por le pas svan. δ 4 pas pas pas 3 E DF AB. C.II-4 Errer E DF à la fn des pas de onnaon por δ 4 La FIG. C.II-6 monre le nombre oal d enrhssemens PGD Eq. C.I-48 por le deème gahe e rosème droe pas de onnaon en fonon de l ordre de la MAN. Nombre oal d'enrhssemens L'ordre de la MAN Nombre oal d'enrhssemens L'ordre de la MAN FIG. C.II-6 Nombre oal d enrhssemens PGD por le deème gahe e rosème droe pas de onnaon en fonon de l ordre de la MAN 3

141 Réslas Le all d deème pas néesse 38 enrhssemens e el d rosème pas néesse 36 enrhssemens. On vo q à haqe ordre de la MAN, le nombre d enrhssemens vare de à 5 modes. Remarqe. Consdérons ne valer de δ pls pee δ 6. La FIG. C.II-7 monre les réslas obens ave 3 pas de onnaons dans e as. On onsae qe les pas de onnaons son pls ors par rappor a as prééden δ 4. Ave 3 pas de onnaon, la valer mamale de φ es selemen de 9.8, valer nférere à elle obene ave pas de onnaons dans le as δ Pon de dépar φ 5 ; C.5.5 Fn d pas φ.69 Fn d pas φ.6 Fn d pas 3 φ9.8.5 Fn d pas as δ 4 φ.9 Fn d pas as δ 4 φ φ FIG. C.II-7 Evolon de la empérare a pon 5, en fonon de φ à l ordre 5 de la MAN por 3 pas de onnaon déermnés par δ 6 oefos la solon es amélorée. Le AB. C.II-5 monre l errer fn de haqe pas de onnaon dans e as. On vo qe l errer de 5. à la fn d 3 ème pas de onnaon. E DF orrespondane obene à la E a éé dmnée d n faer δ 6 pas pas pas 3 E DF AB. C.II-5 L errer E DF à la fn des pas de onnaon por δ 6 DF Remarqe. Comme nos l avons présé, le domane de valdé o la longer d morea de la branhe de solon agmene ave l ordre mamal de la MAN. Par eemple, ave 3 ordres de la MAN, la valer es φ ma ave 4 δ por le premer pas de onnaon par rappor à φ ma.9 ave 5 ordres de la MAN. Ans, le nombre de pas de onnaon es pls fable por aendre ne même valer de φ. Néanmons, le nombre oal d enrhssemens agmene 3

142 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE n oal 5, e q mène à n emps de all pls mporan. On vo q l y a n ene enre l ordre de la MAN e le nombre de pas de onnaon. Ans, Il es néressan d opmser la valer d nombre d ordre de la MAN lorsqe le sysème es gros [Poer-Ferry 4]. Remarqe. Une améloraon onsse à lser les appromans de Padé [Coheln 7]. Dans e as, la longer des pas de onnaon es agmenée ave ne meller représenaon de la solon par séres enères. Cela porra êre envsagée dans la se. C.II.. Inflene de la non lnéaré sr le domane de valdé Dans ee pare, afn d éder l nflene de la non lnéaré sr le domane de valdé, le résla oben dans la pare préédene por le problème C.II- es omparé à el d problème svan: + + φ C.II-3 où la non lnéaré es +. Le ho de e erme sore a por b de raer n problème non borné. En effe, la empérare end vers l nfn lorsqe la sore end vers l nfn. os les ares paramères son denqes. Nos allons applqer la résolon MAN-PGD à e novea problème. Regardons o d abord les réslas obens por le premer morea de la branhe de solon. La longer d premer pas de solon es allée à l ade de l éqaon C.I-54. Por e problème, l es rès pe e va φ ma. por ne préson 4 δ. Por des ordres de la MAN élevés, les orbes s éaren foremen a-delà de φ. FIG. C.II-8. La solon por φ ne pe don pas êre obene ave n sel pas de onnaon. 5 ; C Ordre Ordre Ordre 3 Ordre 4 Ordre φ FIG. C.II-8 Valer de la empérare a pon 5 ; en fonon de φ por le premer pas de onnaon a ordres p p 5

143 Réslas Nos allons effeer 3 pas de onnaon. La FIG. C.II-9 monre l évolon de la empérare a pon 5, en fonon de φ obene ave 5 ordres de la MAN. La valer de φ n es pas aene ave 3 pas de onnaon. De pls, la solon de la empérare end vers l nfn e la longer d pas de onnaon agmene rès pe Fn d pas 3 φ.83 5 ; C Fn d pas φ. Pon dépar φ Fn d pas φ φ FIG. C.II-9 Evolon de la empérare a pon 5, en fonon de φ à l ordre 5 de la MAN por 3 pas de onnaon déermnés par δ 4 La valer φ ne pe don pas êre aene. Lorsq on lane la smlaon ave la méhode des dfférenes fnes, la solon ne onverge pas non pls. Ce s eplqe par le fa q ave la non lnéaré +, le sysème deven n sysème q s aoalmene dans le sens où lorsqe la sore agmene, la empérare agmene e q fa agmener ense la sore e ans de se. La empérare end rapdemen vers l nfn. On pe don obenr la solon d sysème Eq. C.II-3 por des fables valers de φ nqemen. La MAN nos perme don de déermner les valers de φ admssbles. Nos lserons ee possblé de la MAN a hapre svan. C.II..3 Inflene d domane emporel sr le domane de valdé Dans ee pare, nos allons éder l nflene d domane emporel sr le domane de Ω ;4. valdé. Consdérons manenan le problème C.II-8 sr n domane emporel pls large [ ] Le domane spaal es le même Ω [ ;]. Déermnons la solon por φ. La solon obene par la méhode des dfférenes fnes es représenée FIG. C.II-. Le régme permanen es oben après s. 33

144 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE FIG. C.II- DF Solon por φ sr Ω Ω [ ; ] [ ; 4] Il es don envsageable q ave la MAN, le domane de valdé e la longer d pas de Ω ;. onnaon so le même par rappor a as prééden où le domane emporel éa de [ ] Ce n es poran pas le as omme nos allons le vor. Consdérons le résla oben après le premer pas de onnaon. La valer de φ ma es selemen φ ma.53 por 4 δ φ. ma 9 dans le as prééden. La FIG. C.II- monre qe les orbes s éaren a-delà de ee valer de φ lorsqe l ordre de la MAN agmene. 8 5 ; 4 C Ordre Ordre Ordre 3 Ordre 4 Ordre φ FIG. C.II- empérare a pon 5 ; 4 en fonon de φ por le premer pas de onnaon a ordres p p 5 34

145 Réslas La solon por φ ne pe don pas êre aene ave ne préson δ 4. S l on lse les séres enères d premer pas de onnaon por aller la solon à φ, l errer E DF es de.38. Por obenr ne meller solon à φ, n deème pas de onnaon es allé. La longer d deème pas de onnaon es φ ma L errer E DF por φ es de E DF. 86, q es pls fable. Dans e eemple, le domane de valdé es pls pe ar on démarre ave n pon de dépar φ, beaop pls lon de la solon. La FIG. C.II- monre la solon de dépar solon de l éqaon C.II-9 e sa are d éar par rappor à la solon DF. FIG. C.II- DF ma.434 Solon MAN fnale à l ordre gahe e are d éar enre la solon MAN fnale e la solon DF à l ordre droe Par rappor a as prééden f. la FIG. C.II-3, l éar es pls mporan éar mamale de 6. a le de.57. Ce es lé a fa qe la solon de l éqaon lnéare n es pas enore en régme ;4. permanen sr [ ] Comme le pon de dépar es pls lon e qe les séres enères ne son valables qe dans n eran vosnage de e pon de dépar, pls de pas de onnaon son alors néessares por aendre ne même valer de φ. Conlson d hapre Dans e hapre, ne ehnqe oplan la MAN e la PGD a éé proposée por la résolon d n problème non lnéare où la non lnéaré es de ype. Le problème édé es le problème hermqe ransore ndmensonnel. Dans la premère pare, ros ehnqes de base: ehnqe de perrbaon, ehnqe de résolon MAN-PGD oplée e ehnqe de onnaon on éé déallées. A l ade de la ehnqe 35

146 CHAPIRE C MAN/PGD POUR UN PROBLEME RANSIOIRE NON LINEAIRE de perrbaon, la MAN mène à la résolon d n grand nombre d éqaons lnéares, la solon éan herhée sos la forme d ne sére enère ronqée. Ces éqaons lnéares ransores son ense résoles par la PGD à l ade de la ehnqe de résolon MAN-PGD oplée. L avanage de ee approhe es lé a fa qe la PGD es ne méhode non nrémenale par rappor à la MEF lassqe. Ans, la résolon de problèmes lnéares ransores es rès rapde. Enfn, la ehnqe de onnaon a éé présenée e perme de rover plsers morea de la branhe de solon, haqe morea éan valable dans son domane de valdé. Dans la deème pare, les réslas nmérqes on éé présenés. Après avor oben oes les solons à haqe ordre de la MAN, nos povons a poseror déermner la solon por n nombre nfn de problèmes. On rerove les apaés de la MAN mas por n problème ransore. La solon MAN-PGD a éé omparée à elle obene par la méhode des dfférenes fnes por n as de es e q a perms de valder la ehnqe de oplage. Une méhode PGD- MAN modfée, onssan à rélser les modes obens a ordres préédens de la MAN, a éé proposée. oefos, elle n es pas reommandée dans e as ar elle mène à des solons mons préses. Une éde sr le domane de valdé a éé présenée. Cela perme de déermner la longer mamale d paramère de non lnéaré φ por laqelle la solon es obene ave ne préson donnée δ. Afn de déermner la branhe omplèe de solon, plsers pas de onnaon doven êre effeés. L éde sr ne non lnéaré + nos a perms d évaler la lme de la valer de φ por n sysème non borné. Enfn, nos avons monré q en agmenan le domane emporel, le domane de valdé es dmné. Cela es lé a fa qe le pon de dépar des séres enères es pls lon de la solon. Il néesse don pls de pas de onnaon dans e as. Dans es développemens, ne forme parlère de non lnéaré a éé blée. L eenson de la méhode à d ares formes de non lnéaré va néesser n raval spéfqe por ehnqemen évaler la porée de ee assoaon MAN-PGD. Dans [Coheln 7], des ehnqes por prendre en ompe d ares famlles de non lnéaré, omme par eemple le as de l eponenelle g e o le as des fonons non réglères g o α g α R, on éé présenées. L applaon de es ehnqes es envsageable dans le onee MAN-PGD. Un domane d applaon évden sera l denfaon de paramères maéra o de sores. Dans le as présené, la MAN perme de générer des olleons de solon por dfférenes valers d paramère de non lnéaré φ e la reherhe d ne solon prohe de mesres epérmenales sr éhanllon es alors mmédae. Le onrôle es ass n domane q pe rer prof de ee ehnqe. Por amélorer la apaé d oplage MAN-PGD, erans pons ehnqes porron êre esées, noammen dfférens ho d paramère de onrôle a mas ass les appromans de Padé. Ense la MAN-PGD porra êre éende a problèmes mlphysqes. Ces problèmes meen en avan dfférenes spéfés : ls présenen n grand nombre de varables e par se de dmensons, ense les ermes de oplages onsdérés peven ndre des non lnéarés d ordre pls o mons élevé. L lsaon de la PGD oplée à la MAN semble êre ne bonne solon por les problèmes mldmensonnels, ompe en de la apaé de la PGD. Les non lnéarés présenes dans les problèmes oplés son de dfférenes nares soen hermodynamqes soen lées a paramères maéra. Ces dernères ne seron pas raées dans ee hèse mas ne approhe MAN-PGD semble êre approprée. A erme de e hapre, l es lar qe l assoaon Mallage adapaf-pgd o MAN-PGD son des solons por résodre effaemen des saons ransores. Nos allons manenan aborder, dans le hapre q s, la résolon des problèmes oplés ave la PGD en profan des réslas éabls dans e hapre. 36

147 Chapre D Résolon de problèmes mlphysqes ransores oplés ave la PGD Sommare D.I La PGD dans le as de problèmes mlphysqes ransores oplés D.I. Formlaon des problèmes mlphysqes D.I.. Problème parellemen oplé dffsohermqe D.I.. Problème foremen oplé hermovsoélasqe D.I. Réslas D.I.. Réslas d problème parellemen oplé dffsohermqe D.I.. Réslas d problème foremen oplé hermovsoélasqe D.II Sraéges de oplage PGD-ehnqe de mallage adapaf por des problèmes mlphysqes mlemps... 8 D.II. Présenaon de la ehnqe de mallage adapaf... 8 D.II.. Consron de mallage... 8 D.II.. Sraéges de oplage PGD - ehnqe de mallage adapaf RPGD... 8 D.II. Réslas D.II.. Réslas d problème parellemen oplé dffsohermqe D.II.. Réslas d problème foremen oplé hermovsoélasqe Conlson d hapre

148 CHAPIRE D PGD POUR DES PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOIRES COUPLES L obef de e hapre es la mse en plae de la méhode PGD por la résolon de problèmes mlphysqes oplés. Dans les pares préédenes, la PGD a éé applqée à l éqaon de la haler. Nos avons monré qe la qalé de la solon en empérare dépenda d mallage de ee physqe. Dans le as des problèmes mlphysqes oplés, la qalé de la solon dépend non selemen d mallage de la physqe onsdérée mas ass d mallage des physqes ave q elle nerag. Nos allons o d abord présener la formlaon de de problèmes oplés ans qe ler résolon ave la PGD. Le premer es n problème dffsohermqe parellemen oplé e le seond es n problème hermovsoélasqe foremen oplé. Les réslas des smlaons PGD son dsés en fonon de l nflene d erme de oplage, des emps araérsqes ans qe des mallages spéfqes à haqe physqe. Ils meen en évdene la fore neraon enre les physqes e l nflene d mallage lorsqe les réponses ransores son dfférenes. Il es don néressan d avor n mallage adapé à haqe zone ransore de haqe physqe. Néanmons, lorsqe les problèmes oplés, l n es pas évden de onnaîre a pror les zones ransores des dfférenes physqes. C es la rason por laqelle, dans la deème pare, la ehnqe de mallage adapaf présenée préédemmen seon B.II es éende a problèmes oplés afn de prédre présémen la réponse ransore d problème oplé en lsan des dsrésaons adapées à haqe phénomène. De méhodes de onsron de mallage e dfférenes sraéges de oplage ehnqe de mallage adapaf / PGD son présenées. Les réslas por les de problèmes oplés son présenés e la fasablé des dfférenes méhodes es dsée. D.I La PGD dans le as de problèmes mlphysqes ransores oplés Dans le adre de ee hèse, par so de smplé, des problèmes oplés mean en e nqemen de physqes son onsdérés. Néanmons, es problèmes présenen de emps araérsqes dfférens. Le premer as es n problème oplé enre la hermqe e la onenraon de gaz e le seond as envsagé es n problème oplé enre la hermqe e le déplaemen. L eenson de la PGD à n problème ayan pls de physqes ne pose pas d ares dfflés ompe en des sraéges de résolon reenes. Les éqaons de es problèmes son dédes à parr de elles des éqaons d modèle hermo-dffso-méanqe omplèemen oplé de Ramber e al. [Ramber ]. Comme nos l avons présé, dans ee hèse, seles les ermes de oplage dres son onsdérés. Pls présémen, nos allons résodre de problèmes ransores mlphysqes ave la PGD : n problème dffsohermqe e n problème hermovsoélasqe. Cela nos perme de dser la mse en plae de la PGD por des problèmes oplés où les éqaons mas ass les ermes de oplage son de nares dfférenes. Les oplages son de ompleé rossane : résolon d problème déoplé haqe physqe es ndépendane e résole séparémen, parellemen oplé selemen ne des physqes nflene l are e omplèemen oplé les de physqes s nflenen l ne e l are. D.I. Formlaon des problèmes mlphysqes Dans ee pare, nos allons présener la formlaon de la PGD por de problèmes oplés: le problème dffsohermqe où le oplage parel es onsdéré e le hermovsoélasqe où le oplage oal es onsdéré. 38

149 Formlaon d problème parellemen oplé dffsohermqe La PGD es mse en plae dans le as où haqe physqe es défne ave ses propres fonons de forme. Ave ee approhe, des mallages spéfqes peven êre lsés por haqe physqe. La mse en éqaon des problèmes oplés n es pas déallée. Por pls de déals à e se, le leer pe se référer à [Ramber ]. D.I.. Problème parellemen oplé dffsohermqe Les éqaons de hermodffson La PGD es applqée à n problème oplé ransore dffsohermqe à de dmensons. Il es omposé d n problème de dffson e d n problème hermqe q s érven de la manère svane: Problème de dffson : D dv grad A dv grad Problème hermqe: ρc λ dv grad f + B A B A B + dv grad + D D grad grad grad D.I- D.I- Dans l éqaon D.I- d problème de dffson, représene la onenraon de gaz e D es la dffsvé. Dans l éqaon D.I- de la haler, représene la empérare, ρ la masse volmqe, C la haler spéfqe, λ la ondvé hermqe e oeffens lés a ermes de oplage. Le problème es défn sr n domane :, l espae y e le emps. f la sore de la haler. y A e B son des Ω Ω Ω Ω q orrespond respevemen à l espae Por smplfer l érre de la PGD, les ondons nales en onenraon e en empérare son spposées nlles. En e q onerne les ondons a bords, la empérare es mposée nlle a bords. La onenraon es hose non nlle afn de dérre a me n mle non réaf. Elle s ér : Ω, y,, y Ω, g, y,. La fonon g, y, es hose omme dépendan y nqemen d emps g, y, g afn qe la prse en ompe de ee ondon dans D.I-4 ne modfe pas la nare de l éqaon. En posan le hangemen de varables svan :, y,, y, + g D.I-3 où, y, es nlle a bords e à l nsan nal. 39

150 CHAPIRE D PGD POUR DES PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOIRES COUPLES L éqaon de dffson s ér: dg Ddv grad + A dv grad d où la novelle nonne d problème vérfe des ondons a bords nlles. D.I-4 Par rappor à l éqaon de dépar D.I-, l apparaî n erme de pls dans le membre de droe dg / d q a n rôle de sore. Por l éqaon de la haler, le erme grad deven grad. Por ne pas alordr les noaons, on noera dans la se à la plae de la onenraon oale. e, y, + g Remarqe. La PGD a déà éé esée por des ondons a bords e nales non homogènes dans [Gonzalez, Bonhon ]. Ce sysème d éqaons présene de emps araérsqes : le rappor admensonné par ρc ne épasser né por la hermqe e le rappor por la dffson. La ompleé e la λ D nare d problème dépenden des valers des oeffens A e B q son posfs. S l n de es de oeffen s annle, on oben des problèmes parellemen oplés dans le sens où sele ne physqe nflene l are. S es de oeffens son non nls, le problème es foremen oplé. Dans e q s, nos allons éder nqemen le as des problèmes dffsohermqe parellemen oplés. Le as omplèemen oplé n a pas éé raé dans e raval, mas e manqe ne nra pas à la dssson. En revanhe, por éder ne saon foremen oplée, nos allons onsdérer le as d n problème hermovsoélasqe où les ermes oplés génèren des réponses néressanes omme nos le verrons après. Dans ee hèse, nos édons les de problèmes parellemen oplés svans. a. Le problème dffsohermqe ave A ; B dg D dv grad + A dv grad d ρ C λ dv grad f D.I-5 où sele la onenraon dépend de la empérare. Ce problème es noé Problème parellemen oplé -. b. Le problème dffsohermqe ave A ; B ρ C λ dv grad f + B grad dg D dv grad d D.I-6 où sele la empérare dépend de la onenraon. Ce problème es noé Problème parellemen oplé -. 4

151 Formlaon d problème parellemen oplé dffsohermqe Ces de problèmes se dfférenen par la nare d erme de oplage: A dv grad por le premer e B grad por le seond. Formlaon PGD des de problèmes dffsohermqe parellemen oplés: Les solons son reherhées sos la forme : n, y, α F G y H D.I-7 n, y, α F G y H D.I-8 où n e n son les nombres fna de rples de fonons reqs por dérre e ave ne préson donnée. Svan le emps araérsqe des phénomènes édés, les dsrésaons peven êre dfférenes por la empérare e la onenraon, en espae e en emps. Ces dsrésaons son hoses rréglères. On lse don des fonons d nerpolaon dfférenes por haqe physqe. N, M respevemen N, M son les veers q onennen la valer des fonons de forme en espae respevemen e y por la empérare respevemen la onenraon. L respevemen L son les veers q onennen la valer des fonons de forme en emps por la empérare respevemen la onenraon. Ces fonons d nerpolaon son hoses lnéares par morea por l espae ans qe por le emps. F, G, H respevemen F, G, H son les valers nodales des fonons séparées assoées a fonons de forme por la empérare respevemen la onenraon. Nos allons manenan présener sessvemen la formlaon PGD de han de es problèmes. Comme es problèmes son parellemen oplés, les éqaons son résoles l ne après l are ave la PGD en ommençan par l éqaon déoplée. La résolon de la PGD por hane de es éqaons es don menée de la même manère qe dans le as de l éqaon de la haler a hapre B. Les éapes enrhssemen-proeon-résd son répéées de manère érave sq à obenon d ne erane préson sr la solon. Por hane des éqaons de dffsohermqe, nos déallons nqemen l érre des opéraers A e B f. AB. B.I- e AB. B.I-3. a Problème parellemen oplé o - Dans e problème, l éqaon de la haler es déoplée e l éqaon de dffson dépend de la empérare. Dans n premer emps, l éqaon de la haler es résole ave la PGD omme dans le hapre B. La empérare s ér don sos la forme D.I-7 ave n fonons de base. Consdérons manenan l éqaon de dffson oplée. Por povor applqer la PGD, nos dg spposons qe le erme sore de ee éqaon noé f pe se mere sos la forme d d ne fonon à varables séparées : n f f β f f y f D.I-9 y 4

152 CHAPIRE D PGD POUR DES PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOIRES COUPLES e s ér sos la forme dsrèe: où n f N f f M f f y Lf f f β D.I- N f, M f e L f son les veers q onennen les fonons de forme por la sore e f, f, f les valers nodales assoées. Comme dans le as de la sore de la haler présenée y dans le hapre B, es fonons son défnes sr le même mallage qe el de, mas elles peven êre non nlles a bords e à l nsan nal. Comme la empérare es onne, le erme oplé A dv grad oe le même rôle qe la sore. Remarqe. Ave les fonons de forme lnéares en espae q on éé hoses, on ne pe pas représener e erme don la forme dsrèe s ér: A dv grad A + y D.I- n A α [ d N F M G L H + N F d M G L H ] En effe, ave e degré de fonon d nerpolaon, les dérvées seondes son nlles e par se le erme va. Por paller e problème, on hos d négrer par pares e erme afn de dmner l ordre des dérvées q nerven dans sa desrpon. La formlaon varaonnelle de Galern lée à l éqaon de onenraon s ér : * * dg D dv grad dω + A dv grad dω d Ω Ω D.I- * ave n hamp réel e n hamp vrel e le erme de oplage s ér après négraon par pares e prse en ompe des ondons a lmes: * * * * * Ω * dg D + dω + d dω + A + dω D.I-3 y y d y y Ω Ω Ω Le erme oplé ne néesse pls qe des dérvées d premer ordre por l espae. Les fonons de forme lnéares peven don êre lsées. Remarqons qe le nombre oal de modes por dérre le erme sore es : n + n s la empérare es dére ave n fonons de bases. Ω f La résolon PGD de e problème parellemen oplé es résmée à l ade de la formlaon ensorelle. La onenraon la empérare es reherhée omme ne somme de prods ensorels de 4 veers F F, G G e H H pondérés par des oeffens noés α α q s ér omme s: n α F G H, α F G H D.I-4 n

153 Formlaon d problème parellemen oplé dffsohermqe La formlaon varaonnelle D.I-3 lée à l éqaon de dffson pe êre ére sos la forme dsrèe svane : * * A B D.I-5 * ave e les hamps réel e vrel. A e B son obens à parr des représenaons dsrèes de l opéraer 3 opéraers e de la sore n n + n ermes d problème en formlaon varaonnelle D.I-3. On pe les représener sos la forme séparée : B f A B 3 a n B b n A α F A G y y A H D.I-6 où les omposans de A s érven : 3 A dn dn d N N d N N d y Ω A M M dy dm dm dy M M A Ω y Ω Ω y Ω L L d L L d L dl a D D AB. D.I- Composans de A Ω Ω Ω y Ω dy d e les omposans de B B y B b N Ω M Ω y B s érven : n f L Ω N M L f f f β d f dy f d f y n f + dn Ω M Ω y L Ω n dn M L A d F dy G d H α AB. D.I- Composans de B n + n N Ω dm Ω y L Ω f + N dm L A n d F dy G d H α 43

154 CHAPIRE D PGD POUR DES PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOIRES COUPLES Remarqe. On vo qe dans l évalaon des ermes oplés, on es amené à aller des mares oplées omposées des fonons de forme de la onenraon e de la empérare. Par eemple, por le emps, on a ne mare oplée à aller : L L d. Ω S les mallages de e son denqes, les mares oplées devennen des mares arrées q son les mêmes qe elles allées dans le as déoplé. Lorsqe e on hane ler propre mallage, le all de mares oplées néesse n ransfer des données enre les de mallages. Dans le adre de e raval, oes les varables son séparées. Le ransfer des données es don effeé nqemen à ravers des mallages ndmensonnels à l ade des mares oplées. Por le remplssage des mares oplées, l négraon nmérqe de Gass es lsée. Prenons l eemple de la mare emporelle oplée L L d. Elle es allée omme s : Ω L L d Ω δ L L d D.I-7 où δ es n élémen d mallage ommn des physqes appelé mallage de soage e noé q es réé par onaénaon des mallages de haqe physqe. Le erme L L d es non nl nqemen por les fonons L e L non nlles srδ. Il es don allé de la manère svane : - o d abord, on herhe les fonons d nerpolaon non nlles sr δ par eemple L e L. - Ans, dans la mare L L d, sels les omposans L L d L L d son δ δ δ non nls. Cee négrale es allée à l ade de l négraon nmérqe omme éan égale à la somme d prod L L à haqe pon de Gass sr. Le nombre de pons de Gass es déermné selon le degré d polynôme prod L L q, dans nore as, es de degré. Rappelons q ave n pons de Gass, on pe avor ne négraon nmérqe eae por des polynômes d ordre nférer o égal à n. De pons de Gass son don lsés afn d avor ne négraon nmérqe eae. δ δ Remarqes. Cee proédre a éé lsée afn de défnr les mares oplées omme des mares reses dans le b d opmser la plae mémore. La prnpale dfférene ave le as déoplé es l ao des ermes de oplage dans le seond membre B. Por déermner la solon, la résolon es fae de la même manère qe dans le hapre B. Comme les de éqaons déoplées son de même nare, le ho d lser des mallages dfférens por haqe physqe agmene le nombre d opéraers à soer. S les mallages son denqes, les omposans de A son les mêmes qe e de A. 44

155 Formlaon d problème parellemen oplé dffsohermqe 45 b Problème parellemen oplé De la même façon, nos povons érre la résolon PGD d deème problème parellemen oplé où le problème hermqe es oplé e el de dffson es déoplé. Spposons qe la sore de la haler s ér ass sos la forme d ne fonon à varables séparées: n f y f y f f y f,, β. Elle es représenée sos ne forme dsrèe : n f f y f f f L f M f N y f β,, D.I-8 où f N ; f M e f L son les fonons de forme por la sore. Comme por le as de la onenraon, es fonons son défnes, dans la se, sr le même mallage qe el de mas elles peven êre non nlles a bords e à l nsan nal. Le erme oplé grad B pe êre onsdéré omme ne pare de la sore, l s ér: [ ] [ ] [ ] [ ] n n n H L H L G dm G dm F N F N H L H L G M G M F dn F dn B H L G dm F N H L G M F dn B y B grad B α α α α α α D.I-9 Le nombre oal des ermes de la sore es : f n n + q pe êre rès élevé s le nombre de modes n es mporan. Une solon pe êre de fare ne SVD mldmensonnelle o ne PGD s le nombre de ermes s avéra beaop rop mporan e q a éé monré a hapre C. La formlaon ensorelle de l éqaon de hermqe oplée s ér de la manère svane : * * 3 y A A A a A B n y b B n H G F α D.I- où les omposans de A s érven:

156 CHAPIRE D PGD POUR DES PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOIRES COUPLES 3 A dn dn d N N d N N d y Ω A M M dy dm dm dy M A a Ω y Ω Ω y Ω L L d L L d L dl λ Ω λ AB. D.I-3 Composans de A Ω Ω y Ω M ρ C dy d e les omposans de B B y B b N Ω M Ω y L Ω N M L B s érven: f f f β n f d f dy f d f y n + n N Ω M Ω y L Ω f +, dn M L B F G H dn M L n α α d F dy G d H AB. D.I-4 Composans de B n + n + n N Ω M Ω y f +, L Ω N dm L B F G H N n dm L α α d F dy G d H Comme dans le as prééden, des mares oplées omposées des fonons de forme de la onenraon e de la empérare doven êre allées. Par eemple, por le emps, on a ne mare oplée à aller : L L H L d. Ω On vo qe ee négrale onen 4 enrées a le de por l éqaon de la dffson. Ce es lé à la nare d erme de oplage. Ave l négraon de Gass, le all de ee négrale ne pose pas de dfflé parlère somme d prod de 4 fonons sr les élémens. Le polynôme prod éan de degré 3, de pons de Gass son lsés là enore por obenr ne négraon nmérqe eae. Por le as des éqaons de hermodffson, nos avons eposé l érre de la PGD dans des as parellemen oplés, es-à-dre dans les as où les physqes povaen êre allées l ne après l are ave la PGD. De par ler nare, les ermes de oplages on p êre prs en ompe omme ne sore es-à-dre dans le erme de droe B. Lorsqe le problème es foremen oplé es-à-dre les de oeffens A e B son non nlles, d ares ermes de oplage doven êre prs en ompe D.I- & D.I-. Ces ermes ne fon apparaîre qe des gradens en espae. L obef de nore raval éan de se onenrer sr les performanes de la PGD vs-à-vs des varables emporelles, nos avons hos d éder n are ype de problème por le as foremen oplé q es n problème hermovsoélasqe. Nos allons vor qe e problème fa apparaîre des dérvées emporelles dans les ermes de oplage. De pls, ela nos perme de eser la apaé de la PGD à aper la solon d n problème oplé ave des éqaons de nares dfférenes. 46

157 Formlaon d problème foremen oplé hermovsoélasqe D.I.. Problème foremen oplé hermovsoélasqe Les éqaons de hermovsoélasé La PGD es applqée à n problème ransore hermovsoélasqe foremen oplé. Par so de laré, nos nos lmons à l éde d n as ndmensonnel en espae ave nqemen n oplage de ype hermodynamqe prse en ompe de la dlaaon hermqe sr la méanqe e la hermqe. La forme générqe d problème oplé es la svane : Problème méanqe vsoélasqe : λ + µ + λv + µ v ρ f + 3λ + µ α Problème hermqe : D.I- ρ C λ + 3λ + µ α f D.I- λ, µ, λ v, représene la masse volmqe, C la haler spéfqe, µ v son les oeffens de Lamé orrespondan à l élasé e à la vsoélasé. ρ de la haler e f le hargemen. λ la ondvé hermqe, f la sore α es le oeffen de dlaaon hermqe q perme de prendre en ompe les oplages enre les de physqes q son le déplaemen e la empérare. Lorsqe la empérare hange, elle modfe le déplaemen à ravers le erme 3 λ + µ α. Ce déplaemen nflene la empérare va le erme 3 λ + µ α. Les de physqes s nflenen don l ne l are. Il es don ben qeson d éqaons foremen oplées. Noons qe le erme de oplage dans l éqaon de la hermqe présene ne dérvée spaale e emporelle par rappor à la varable. Le problème ndmensonnel ransore hermovsoélasqe es défn sr le domane Ω Ω Ω [, L ] [, L ] e on onsdère des ondons a bords e nales nlles por le déplaemen e la empérare. Ce sysème présene de emps araérsqes : le rappor admensonné por ne épasser né por la hermqe ρ C λv + µ v e le rappor λ λ + µ por la méanqe. Afn d érre la formlaon PGD d problème oplé {D.I-, D.I-}, présons o d abord la formlaon varaonnelle de Galern d problème oplé. Elle s ér: Ω * * λ + µ + λv + µ v dω ρ f + 3λ + µ α dω Ω * ρ C λ + 3λ + µ α Ω dω Ω * f dω D.I-3 D.I-4 47

158 CHAPIRE D PGD POUR DES PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOIRES COUPLES ave les hamps réels, e les hamps vrels. Après négraon par pares e prse en ompe des ondons a lmes, on oben la formlaon svane: Ω * * * λ + µ λv + µ v dω ρ f + 3λ + µ α dω D.I-5 Ω Ω *, * * * * * ρ C + λ + 3 λ + µ α dω f dω D.I-6 Ω Formlaon PGD d problème hermovsoélasqe foremen oplé Les solons son reherhées sos la forme :,, n n α F H α F H D.I-7 où n e n son les nombres fna de oples de fonons reqs por dérre e ave ne préson donnée. Dans la se, nos allons présener ne résolon omplèemen oplée d problème ave la PGD. Ans le nombre de modes por dérre e le même qe el por. Remarqe. Dans le as prééden parellemen oplé, omme hane des physqes éa résole séparémen, le nombre de modes por les de physqes éa dfféren. On noera don dans la se n n n. Comme dans le as d problème dffsohermqe, des fonons d nerpolaons propres à haqe physqe e des dsrésaons rréglères son lsées. N N son les veers q onennen la valer des fonons de forme en espae e L L elles en emps por le déplaemen respevemen la empérare. Elles son égalemen hoses lnéares par morea por l espae ans qe por le emps. Nos spposons qe le hargemen e la sore de la haler peven se mere sos la forme d ne fonon à varables séparées e s érven sos la forme dsrèe: f f n f, β N f f Lf f n f, β Nf f Lf f D.I-8 où N f N f e L f L f son les fonons de forme en espae e en emps por le hargemen e la sore de la haler. Ces fonons son défnes sr le même mallage qe el de respevemen mas son non nlles a bords e à l nsan nal. 48

159 Formlaon d problème foremen oplé hermovsoélasqe La résolon PGD de e problème es présenée en formlaon ensorelle. La formlaon varaonnelle D.I-5 pe êre ére sos la forme dsrèe svane : * A * * * B D.I-9 Por le problème méanqe vsoélasqe, on oben: où les omposans de A B A s érven : n A a n B b n A α F A H A dn dn d dn dn A e les omposans de Ω Ω L Ω L d Ω a λ + µ λ + AB. D.I-5 Composans de A B s érven : L dl d v µ v d D.I-3 B B b N Ω L Ω N L f f n f ρ β d f d f AB. D.I-6 Composans de B N Ω n f + L Ω dn L n d F d H 3 λ + µ α α Por le problème hermqe, on oben: A B n A a n B b n A α F A H D.I-3 49

160 CHAPIRE D PGD POUR DES PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOIRES COUPLES où les omposans de Ω A s érven : Ω + n A dn dn d N N d N F dn N A a e les omposans de Ω L L d L dl d L H λ B s érven : AB. D.I-7 Composans de A Ω C Ω Ω dl L ρ 3 λ + µ α α d d B B b N Ω L Ω N L f f β n f d f d f AB. D.I-8 Composans de B Remarqe. Le erme oplé dans l éqaon de la méanqe es raé de la même manère qe dans le as d problème de hermodffson psq l es prs en ompe dans le seond membre B. Par onre, la nare d erme oplé dans l éqaon de la hermqe omme el- dépend ass de la empérare néesse de l érre dans l opéraer A. Nos arons p hosr d érre e erme dans le seond membre B. Dans e as, l ara fall évaler la empérare omme éan elle de l éraon préédene omme dans la méhode de lnéarsaon nrémenale f. seon C.I.. Les dfférenes éapes de la PGD dans le as foremen oplé Comme nos l avons présé, nos avons hos de résodre e problème foremen oplé en résolvan en même emps les de physqes e. Dans Bérngher e al. [Berngher ], e même problème hermovsoélasqe a déà éé résol ave la PGD. Conraremen a as où ne sele physqe es onsdérée o a as parellemen oplé hermodffson, l mène à la résolon d n sysème non lnéare lors de l éape de proeon e l éape d enrhssemen de la PGD. Dans e paper, la résolon des sysèmes non lnéares a éé menée à l ade d n algorhme de ype Newon. De ypes de résolon d sysème on éé raés : 5 - ne résolon fable q onsse à résodre ndépendammen hane des physqes, - ne résolon fore q onsse à résodre smlanémen les de physqes. Il a éé monré qe la résolon fable mène à n pls grand nombre de modes por dérre la solon fnale. Néanmons, omparé à ne résolon omplèemen oplée d sysème, ela perme de dmner la alle des sysèmes à résodre psq ne sele physqe es onsdérée à la fos.

161 Formlaon d problème foremen oplé hermovsoélasqe 5 Dans e q s, nos lsons don la résolon fore d sysème. Por paller le défa de la alle des sysèmes, la méhode de pon fe à dreons alernées es lsée à l éape d enrhssemen ans q à l éape de proeon. Les dfférenes éapes de la PGD son déallées après. a Eape d enrhssemen de la base A parr des fonons à varables séparées e lers oeffens assoés, les fonons à varables séparées + P R e P R son allées. Elles son solon de la formlaon varaonnelle de Galern lée à D.I-, D.I- ave les hamps réels e vrels svans : P R H F + α P R H F + α D.I-3 * * * P R P R + * * * P R P R + D.I-33 Cela mène à la résolon d n sysème non lnéare en R, P, R, P. Ce sysème es résol par la méhode de pon fe à dreons alernées. - Por le problème méanqe vsoélasqe o rover R Spposons onn P, e q mplqe n hamp vrel P R * *. On oben le sysème en R svan: + + Ω Ω + n f d L L d dn N A A a b A A a P P R H P F P R P P α µ λ α 3 D.I-34 q pe s érre sos la forme :,, P R P R U D.I-35 o rover P Spposons onn R, e q mplqe n hamp vrel * * P R. On oben le sysème en P svan: + + Ω Ω + n f d L L d dn N A A a b A A a P R R H F R R P R R α µ λ α 3 D.I-36 q pe s érre sos la forme :

162 CHAPIRE D PGD POUR DES PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOIRES COUPLES 5,, P R R P U D.I-37 Noons qe es sysèmes dépenden des nonnes lées à la empérare, P R. - Por le problème hermqe o rover R Spposons onn P, e q mplqe n hamp vrel P R * *. On oben le sysème en R svan: Ω Ω Ω Ω n f d L dl L d N dn N d L dl L d N dn N A A a b A A a 3 3 H P P F R P P P R R H P F P R P P α α µ λ α µ λ α D.I-38 q pe s érre sos la forme :,, P R P R 3 U D.I-39 o rover P Spposons onn R, e q mplqe n hamp vrel * * P R. On oben le sysème en P svan: Ω Ω Ω Ω n f d L dl L d N dn N d L dl L d N dn N A A a b A A a 3 3 H P F R R P P R R R H F R R P P R R α α µ λ α µ λ α D.I-4 q pe s érre sos la forme :,, P R R P 4 U D.I-4 Noons qe es sysèmes dépenden ass des nonnes en déplaemen, P R. Por prendre en ompe la dépendane de es sysèmes a nonnes lées à l are physqe empérare por le problème méanqe e déplaemen por le problème de hermqe, de ypes de résolon peven êre envsagées qe nos noerons méhode déoplée e méhode oplage oal.

163 Formlaon d problème foremen oplé hermovsoélasqe. Méhode déoplée : Le sysème non lnéare es déopé en de sysèmes non lnéares : n sysème non lnéare par rappor à R, P e n sysème non lnéare par rappor à R, P. Ces de sysèmes son résols à l ade de la méhode de pon fe à dreons alernées. A l éraon p, on do résodre séqenellemen les de sysèmes non lnéares svans : + Un sysème non lnéare par rappor à R, P Eq. D.I-35 e D.I-37 psqe R, P son spposés onns. Ce sysème es résol à l ade de la méhode de pon fe à dreons alernées. ème A l sos éraon, la proédre d pon fe es soppée lorsqe le nombre mamal de sos éraon l ma es aen o le rère svan es sasfa : où fe N l fe l l l l fe R P R P ε D.I-4 ε es n paramère fé par l lsaer. Les solons onvergées noé R, P son ense lsées por aller les novea modes. p p + Un sysème non lnéare par rappor à R, P Eq. D.I-39 e D.I-4 psqe R, P son spposés onns. Ce sysème es résol à l ade de la méhode de pon fe à dreons alernées. ème A l sos éraon, la proédre d pon fe es soppée lorsqe le nombre mamal de sos éraon l ma es aen o le rère svan es sasfa : fe N l fe l l l l R P R P ε D.I-43 où ε es n paramère fé par l lsaer. Les solons onvergées son noé R, P. fe p p Ces de éapes son répéées sq à la onvergene. La proédre es soppée lorsqe le nombre mamal de sos éraons p es aen o le rère svan es sasfa : N fe ma P R P R P R P ε l ma, p p p p p p p p R D.I-44 où ε fe es n paramère fé par l lsaer. fe 53

164 CHAPIRE D PGD POUR DES PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOIRES COUPLES Le AB. D.I-9 résme l algorhme de ee méhode. : an qe p pma e N l fe > ε fe fare : an qe l lma e N l fe > ε fe fare l l p p 3 : Call de R U P, R, P l l p p 4 : Call de P U R, R, P 5 : Call de 6 : fn an qe N l fe 7 : p l R R ; P P p l 8 : an qe l lma e N l fe > ε fe fare l l U 3 p p 9 : Call de R P, R, P l l P 4 p p : Call de U R, R, P : Call de : fn an qe l 3 : R R ; p N l fe p P P l 4 : Call de 5 : fn an qe N l fe AB. D.I-9 Algorhme de la méhode déoplée 54. Méhode de oplage oal : Le sysème es résol smlanémen par rappor a qare nonnes R, P, R, P par la méhode de pon fe à dreons alernées. Cela mène à la résolon de 4 sysèmes lnéares Eq. D.I-35,D.I-37, D.I-39 e D.I-4. ème A l sos-éraon, la proédre d pon fe es soppée lorsqe le nombre mamal de sos éraons l ma es aen o le rère svan es sasfa : N l fe l l l l l l l l ma R P R P, R P R P ε fe D.I-45

165 Formlaon d problème foremen oplé hermovsoélasqe où ε fe es n paramère fé par l lsaer. Le AB. D.I- résme l algorhme de ee méhode. : an qe l lma e N l fe > ε fe fare l l l l U : Call de R P, R, P l l l l U 3 : Call de P R, R, P l l l l U 3 4 : Call de R R, P, P l l l l P 4 5 : Call de U R, P, R 6 : Call de 7 : fn an qe N l fe AB. D.I- Algorhme de la méhode oplage oal + Les novelles fonons de base F, normalsan les veers R, P, R, P par la norme + H e L. + F, + H son ense obenes en Dans le adre de ee hèse, es la méhode de oplage oal q es lsée. b Eape de proeon all de oeffens Les + veers oeffens α e D.I- ave les hamps réels e vrels svans : F ; H, F ; H por,..., + son manenan onnes, les α son solon de la formlaon varaonnelle de Galern assoée à D.I-, * + α F + α F H H + * F α * + * F α H H D.I-46 D.I-47 Rappelons qe, onraremen a as des problèmes déoplés o parellemen oplés qe l on a édés, le sysème à résodre es non lnéare. + Por le all des oeffens Le sysème à résodre s ér : 55

166 CHAPIRE D PGD POUR DES PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOIRES COUPLES K V ave { } α,..., α + D.I-48 où les omposans de la mare K e e de V s érven: p p p K a F A F H A H p, + n f p p p V b F B H B + p + 3λ + µ α α F N dn d F H Ω Ω + Ce sysème es non lnéare ar + V dépend de { α,..., α }. L L d H D.I-49 + Por le all des oeffens Le sysème à résodre s ér : K V ave { } α,..., α + D.I-5 où les omposans de la mare + K e e de V s érven: p p p K a F A F H A H p 3 dl L d H ; + q q + q λ µ α α F N F dn N d F H L H q Ω Ω n f p p p V b F B H B p Ce sysème es l ass non lnéare ar + + K dépend de { α,..., α }. D.I-5 56 La méhode de pon fe à dreons alernées es lsée por aller les oeffens α e α por,..., + : + Spposons onn α, les valers de α es solon de l éqaon lnéare Eq. D.I Spposons onn α, les valers de α es solon de l éqaon lnéare Eq. D.I-5. Cee proédre es répéée sq à onvergene. Consdérons la pon fe es soppée lorsqe le rère svan es sasfa : l pro N où ε pro es n paramère fé par l lsaer. ème l sos éraon, la proédre d l l l l ma α α, α α < ε pro D.I-5

167 Formlaon d problème foremen oplé hermovsoélasqe Eape de all d résd Le résd lé à D.I-9 es défn à parr de : Res Res + + n C n C C C C C D.I-53 La onvergene es déermnée en allan la norme eldenne de es résds à haqe éraon: + + RV Res + + RV Res D.I-54 La proédre érave omposée des éapes d enrhssemen e de proeon es soppée lorsqe le a de rédon de es de résds deven spérer à n sel ε RV fé par l lsaer, so le rappor enre de RV onséfs de e es spérer à ε RV, e q s ér : RV mn RV + RV, RV + > ε RV D.I-55 L algorhme AB. D.I- résme les dfférenes éapes de la résolon PGD des éqaons d problème de hermovsoélasé oplé por lesqelles les nonnes noées e son déomposées selon les varables e. 57

168 CHAPIRE D PGD POUR DES PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOIRES COUPLES : : an qe ma e RV mn RV + RV, RV + ε RV fare 3 : On pose α F H e α F H a Eape d enrhssemen de la base 4 : an qe l lma e N l fe > ε fe fare l l l l U 5 : Call de R P, R, P l l l l U 6 : Call de P R, R, P l l l l U 3 7 : Call de R R, P, P l l l l P 4 8 : Call de U R, P, R 9 : Call de N l fe : fn an qe : Normalsaon + F R R ; + H P P e + F R R ; + H P P b Eape de proeon : an qe l lma e l pro N > ε pro fare 3 : Call des oeffens { α } +,..., α 4 : Call des oeffens { α },..., + α 5 : Call de 6 : fn an qe N l pro Eape de all d résd 7 : Call des résds : + RV e + RV 8 : + 9: fn an qe AB. D.I- Algorhme de la résolon par la PGD por le problème hermovsoélasqe oplé 58

169 Réslas d problème foremen oplé hermovsoélasqe D.I. Réslas La PGD es manenan lsée por résodre es problèmes mlphysqes. L nflene de la valer des paramères de oplage ans qe elle des emps araérsqes es dsée par omparason a réslas obens dans le as où hane des physqes es déoplée. Le b éan de vor ommen la PGD génère des solons dans es dfférens as de smlaon q, por erans d enre e, n on p êre résols par la méhode des Elémens Fns. Ense, la PGD sera évalée dans le as où des mallages spéfqes à haqe physqe seron onsdérés. D.I.. Réslas d problème parellemen oplé dffsohermqe Nos allons présener dans ee pare les réslas obens ave la PGD por les de problèmes parellemen oplés svans : Problème parellemen oplé. rover, y, e, y, els qe : dg D dv grad + A dv grad d ρ C λ dv grad f f. Eq. D.I-5 Problème parellemen oplé. rover, y, e, y, els qe : ρc λ dv grad f B grad + dg D dv grad d f. Eq. D.I-6 Les de problèmes son défns sr le même domane Ω Ω Ω Ω [ π ; + π ] [ ; ] ondons nales e a bords por e son nlles. Rappelons qe le problème à résodre es el qe la onenraon es non nlle a bords e qe nos l avons modfée por le résodre ave la PGD présenée dans le hapre B. La onenraon reherhée es la onenraon oale noée égale à, y,, y, + g. Por les smlaons, les paramères ρ, C, λ, D son prs éga à. y. Les La sore de la haler es : B f, y, 8 A f, y, 8 [ ; ] [ ; ] D.I-56 La ondon a bords de la onenraon es : B g 3 [ ; 6] A g 8 6 ; [ ] D.I-57 59

170 CHAPIRE D PGD POUR DES PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOIRES COUPLES Cela se rad dans l éqaon de dffson par l ao d erme d sore de onenraon : B dg C 3 d A dg C d [ ; 6] [ 6 ; ] D.I-58 Les dsrésaons son hoses réglères en espae e en emps : pons por, pons por y e pons por. Les paramères de la résolon PGD son les svans AB. B.I-4: - le rère d arrê por la méhode de pon fe es ε 4 o éraons por le rère d arrê por l éape d enrhssemen, - ε 95% por le rère d arrê onernan le nombre de modes. RV Ces mêmes paramères son lsés por les de physqes. fe Réslas d problème parellemen oplé Por e problème, la empérare es résole en premer ps sa solon es prse en ompe por la résolon d problème de dffson. Présenons d abord la solon obene dans le as où les de physqes son omplèemen déoplés A. La solon déoplée en empérare obene ave la PGD onen 5 modes. La FIG. D.I- monre la solon en espae à l nsan fnal à gahe e elle en emps por le pon, en espae à droe. En espae, la empérare mamale es obene a enre en, e dmne a fr e à mesre por s annler a bords. En emps, la empérare agmene o a long de la smlaon. Le régme permanen n es pas aen a bo de s. La solon en empérare es don ransore sr l ensemble d domane onsdéré. y m m 5 5 C s FIG. D.I- Cas déoplé - Evolon de la empérare en espae à gahe e en emps a pon,y, droe La solon déoplée en onenraon onen elle ass 5 modes. La FIG. D.I- monre la solon de la onenraon oale en espae à l nsan fnal s à gahe e elle en emps por le pon, en espae à droe. La fonon es non nlle a bords e es égale à la valer de la fonon g q va 8 a emps fnal. Ense, elle dmne e aen sa valer mnmale a enre. 6

171 Réslas d problème foremen oplé hermovsoélasqe En emps, agmene o a long de la smlaon. La solon en onenraon es don ransore sr l ensemble d domane onsdéré. 4 8 y m m MPa s FIG. D.I- Cas déoplé - Evolon de la onenraon oale en espae à gahe e en emps a pon,y, droe Ave e ho de paramères, les de physqes son en régme ransore dans le domane onsdéré e présene n sel ransore. Passons manenan a as oplé. Dans e as, la solon de la empérare en déoplé es lsée dans l éqaon de dffson. Nos monrons don les réslas obens por la onenraon. Inflene d erme de oplage Por éder l nflene d erme de oplage sr la solon, nos onsdérons dfférenes valers de A. Comme la solon es symérqe en espae, l évolon de la onenraon es représenée nqemen selon ne dreon. La FIG. D.I-3 monre l évolon de svan la dreon à gahe e svan le emps à droe selon les valers d oeffen A. MPa MPa 5 5 A A. A. A.3 y m; s -4-4 m m; y m s FIG. D.I-3 Evolon de la onenraon oale svan la dreon y, gahe e svan le emps, y droe por dfférenes valers d oeffen A 6

172 CHAPIRE D PGD POUR DES PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOIRES COUPLES On onsae qe lorsqe A agmene, l amplde de onenraon dmne. Ce es lé a fa qe le erme de oplage A dv grad es oors négaf, ompe en de l évolon spaale de la empérare. D n pon de ve physqe, lorsqe le fl de haler agmene, les moléles se déplaen pls rapdemen e par se la onenraon dmne. La forme de la solon n éan pas foremen modfée, la solon onen 5 modes por l ensemble des valers de A esées. Por la se des smlaons, A es fé à. afn qe la varaon d amplde lé a oplage n eède pas 5%. On défn le a d hangemen de oplage : oplé ma ma γ < 5% D.I-59 déoplé ma déoplé déoplé oplé où ma e ma son la valer mamale de dans le as déoplé e oplé. Le ho de la valer de 5% es n ho arbrare por qe le erme oplé ne devenne pas prépondéran, e q ne sera pls physqe. Inflene d emps araérsqe L éqaon de dffson fa apparaîre n emps araérsqe lé a rappor D. Compe en qe le domane es fé, nos nos permeons de noer e rappor τ. La FIG. D.I-4 représene les réslas de l évolon de por n pon en espae por dfférenes valers de τ. Les solons obenes dans le as déoplé son ass noées. MPa τ. déoplé τ. oplé τ déoplé τ oplé τ.5 déoplé τ.5 oplé s FIG. D.I-4 Cas déoplé e oplé A. - Evolon de la onenraon oale a pon,y, en fonon d emps por dfférenes valers de τ 6

173 Réslas d problème foremen oplé hermovsoélasqe Lorsqe le emps araérsqe es rès pe, la solon en onenraon es qas-denqe à la ondon mposée a bords, ela reven à onsdérer qe la dffson es qas-nsananée. La réponse ransore de la onenraon es don la même qe elle de la ondon a bords. Par onre, lorsqe le emps araérsqe agmene, la dffson es défavorable. Ans la onenraon évole pls lenemen e don son ransore agmene. Noons qe la PGD perme de prédre l ensemble de es solons ave n nombre de modes varan de 6 à 9. Inflene des mallages spéfqes à haqe physqe Nos allons manenan éder l mpa d mallage de sr la solon en onsdéran n mallage rès fn pons en emps por. La FIG. D.I-5 à gahe monre la solon obene por ros mallages emporels dfférens n mallage rrégler de 3 pons q perme de dérre orreemen la sore de la haler e de mallages réglers ayan e pons. La solon orrespondane es llsrée FIG. D.I-5 à droe. La solon en onenraon es mpaée par les mallages de. L errer por les dfférens mallages es mons mporane por la onenraon qe por la empérare, ar l mpa de la empérare sr la onenraon es nqemen dû a erme de oplage. Néanmons, on vo la rae de l errer de préson de la empérare sr la solon de onenraon. Cee remarqe es smlare à elle dans le as où on onsdéra ne sele physqe e qe la sore éa mal préde à ase d mallage "pavre" onsdéré. 3 4 C n 3 n n MPa s FIG. D.I s Evolon de la empérare gahe e de la onenraon oale droe por le pon,y, por dfférens mallages emporels por la empérare. Dans le as des problèmes oplés, l es néessare qe les de physqes soen orreemen prédes e don q n mallage adapé so lsé. Réslas d problème parellemen oplé Nos allons mener la même éde qe préédemmen. Por e problème, la onenraon es résole en premer e sa solon es prse en ompe por la résolon de la empérare. Noons qe l éqaon de dffson e de hermqe son de même nare. Néanmons, le erme de oplage es dfféren enre les de problèmes e es son mpa qe nos allons éder. 63

174 CHAPIRE D PGD POUR DES PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOIRES COUPLES Inflene d erme de oplage Por éder l nflene d erme de oplage, nos avons hos de onsdérer dfférenes valers por le oeffen B. La FIG. D.I-6 monre l évolon de la empérare svan la dreon à gahe e svan le emps à droe por es dfférenes valers B B. B. B C 5 C 5 5 y m ; s m ; y m m FIG. D.I s Evolon de la empérare svan la dreon y, e svan le emps, y por dfférenes valers d oeffen B Lorsqe B agmene, le erme de B grad agmene e ans la empérare agmene. D n pon de ve physqe, le fl de maère nd n déplaemen des moléles. Il y a don ne dsspaon hermqe q se prod qelqe so le sens d fl dans e as, le fl de maère se drge vers le enre en espae, ela enraîne n éhaffemen d maéra par dsspaon e par se ne élévaon de empérare. Lorsqe le oeffen es rès élevé B, on vo neemen apparaîre n ransore à 6 s q es la rae de el de la onenraon. Lorsqe B agmene, la forme de la solon emporelle éan modfée, la solon PGD de la empérare es obene ave 5 modes, 9 modes e 4 modes por B égal respevemen à.,. e. Por la se des smlaons, le oeffen oplage γ f. D.I-59 nférer à 5%. B es fé à. por avor n a d hangemen de 64 Inflene d emps araérsqe L éqaon de hermqe fa apparaîre n emps araérsqe lé a rappor ρ C. Compe λ en qe le domane es fé, nos noerons e rappor τ. La FIG. D.I-7 représene les réslas de l évolon de la empérare por n pon en espae por dfférenes valers de τ. Elles son omparées a solons obenes dans le as sans oplage. Comme nos avons présé dans le hapre B, afn de fare varer e rappor sans modfer por aan l amplde de la sore, nos avons hos de modfer nqemen la valer de ρ C. La valer de λ rese égale à. Lorsqe τ agmene, la empérare évole pls lenemen. Sa zone ransore agmene. Les dfférenes enre les solons oplées e déoplées son beaop pls marqées lorsqe dmne. Por τ égal à., on vo apparaîre le ransore de hangemen à 6 s lé à sa τ

175 Réslas d problème foremen oplé hermovsoélasqe sore. La PGD perme de prédre l ensemble de es solons ave n nombre de modes varan de 5 à 9 modes. τ. déoplé τ. oplé τ déoplé τ oplé τ 5 déoplé τ 5 oplé C s FIG. D.I-7 Cas oplé e as déoplé B. - Evolon de la empérare a pon,y, por dfférenes valers de τ Inflene des mallages spéfqes à haqe physqe Nos allons manenan éder l mpa d mallage emporel de sr la solon onsdéran n mallage rès fn pons en emps por. La FIG. D.I-8 à gahe monre la solon de la onenraon obene ave ros mallages emporels dfférens n mallage rrégler de 3 pons q perme de dérre orreemen la sore de la onenraon e de mallages réglers ayan e pons. La FIG. D.I-8 à droe monre la solon de orrespondane. La solon en onenraon es mpaée dans ne mondre mesre par les errers sr la solon de. Ce mpa éan d aan pls marqé qe les effes d oplage le son ass MPa 5 n 3 C 5 n n s FIG. D.I s Evolon de la onenraon oale gahe e de la empérare droe a pon,y, por dfférens mallages emporels por la onenraon 65

176 CHAPIRE D PGD POUR DES PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOIRES COUPLES Nos venons de vor qe la PGD perme de résodre des problèmes mlphysqes parellemen oplés por dfférenes valers des oeffens de oplage e dfférens emps araérsqes. Nos avons v ass qe les errers lées a mallage peven se réperer à ravers le erme de oplage. Le mallage des de physqes do êre adapé. Néanmons, dans les as eposés -desss, l nflene d erme oplé n éa pas rès marqée dans la mesre où les de solons éaen relavemen semblables. Are as es / problème parellemen oplé Revenons sr le problème parellemen oplé. Consdérons por l éqaon de la hermqe la sore bmodale édée dans le hapre B B.I... Rappelons qe dans e as, la empérare, q es obene ave de modes, présene de zones ransores q ne son pas vsbles sr n mallage grosser omme on le vo sr la fgre de gahe -après..4. n n 5 n n C..4.6 MPa ; y.6.5 ; y s s FIG. D.I-9 Evolon de la empérare à gahe e de la onenraon à droe en fonon d emps por le pon,y-.5,.6 La FIG. D.I-9 à droe monre la solon de la onenraon oale orrespondane. L apparon des zones ransores sr mpae de façon mporane la solon de la onenraon psqe de novelles zones ransores apparassen. Comparé a as prééden FIG. D.I-5, les errers sr la empérare on ee fos- n effe noable sr la solon en onenraon. Analysons en déal le as où la onenraon es orreemen préde n n. La FIG. D.I- à gahe monre l évolon d résd varaonnel en fonon d nombre de modes. Des hes brales de e résd son observées por 3 e 6 modes. Après 6 modes, le résd n évole pls beaop. Por omprendre ee he, la solon de la onenraon reonsre por, 3 e 6 modes es représenée FIG. D.I- à droe ans qe la solon déoplée. Ave mode, la solon es prohe de elle obene dans le as déoplé. Ave 3 modes, ne premère zone ransore de a oplage es apée. Ense, l fadra 6 modes por qe la deème zone so apée. 66

177 Réslas d problème foremen oplé hermovsoélasqe.5. 5 RV.5..5 MPa 5 déoplé oplé : mode oplé : 3 modes oplé : 6 modes nombre de modes FIG. D.I s Cas oplé. Evolon en fonon d nombre de modes d résd gahe e de la onenraon oale en fonon d emps a pon,y-.5,.68 droe. Comparason ave le as déoplé Les 7 premers modes emporels obens por la onenraon son représenés FIG. D.I- e les oeffens assoés α son donnés AB. D.I-. Comme on pova s y aendre, le 3 ème e 6 ème présene des ps a nvea des ransores. Les hes dans la forme des modes obens à 6 s ransrven l effe de la onenraon mposée a bords. A nvea des oeffens α, ela se rad par ne valer non néglgeable lorsqe les ransores son apés..5 Fonons de emps H H H3 H4 H5 H6 H emps s FIG. D.I- 7 premers modes emporels por la onenraon 67

178 CHAPIRE D PGD POUR DES PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOIRES COUPLES Nombre de modes PGD Veer de oeffens α AB. D.I- Valers des oeffens α en fonon d nombre de modes PGD Blan PGD / éqaons de hermodffson parellemen oplées Dans ee pare, nos avons monré qe la PGD perme de prédre la réponse d n problème parellemen oplé. La méhode es valdée dans dfférenes saons où le oplage ne présene pas les mêmes effes sr la solon herhée. Des ermes oplés de de nares dfférenes on éé envsagés même s ler prse en ompe dans la PGD éa denqe à ravers le seond membre. Noons qe dans le as où le erme oplé es a arré, le nombre de ermes séparés dans la sore es beaop pls élevé. Néanmons, omme e nombre de erme por dérre la empérare éa lmé 9 a mamm, ela n a pas fa eploser le emps de all des smlaons. Il paraî mporan de rappeler qe nore obef premer n es pas d opmser le emps de all des smlaons mas plô de prédre des solons de problèmes mlphysqes oplés por lesqelles la méhode des élémens fns porraen s avérer en dfflé e es d allers n de es eemples qe nos allons raer dans le as d problème foremen oplé hermovsoélasqe. De pls, nos avons v qe le erme de oplage a ne nflene sr la zone ransore de la physqe oplée e qe la PGD perme dans le as où les mallages son adapées de aper a fr e à mesre les ransores en enrhssan les fonons de base. 68

179 Réslas d problème foremen oplé hermovsoélasqe D.I.. Réslas d problème foremen oplé hermovsoélasqe Nos allons présener dans ee pare les réslas obens ave la PGD por le problème ndmensonnel foremen oplé svan : Problème foremen oplé. rover, e, els qe : λ + µ + λv + µ v ρ f + 3λ + µ α ρ C λ + 3λ + µ α f f. Eq. D.I- f. Eq. D.I- Le problème es défn sr le domane Ω Ω Ω [ ; ] [ ; ] bords por e son nlles. Por les smlaons, les valers des paramères son reporées AB. D.I-3. λ µ λ v µ C v λ. Les ondons nales e a AB. D.I-3 Paramères de smlaon Por smplfer, le hargemen méanqe es spposé répar nformémen e la sore de haler es homogène. Rappelons qe es éqaons fon apparaîre de emps araérsqes, l n lé a rappor λv + µ v ρ C noé τ e n lé a rappor noé τ. Por es valers de paramères, on a τ λ + µ λ égal à 5 e τ égal à.5. Les dsrésaons son hoses réglères en espae e en emps : pons en espae e pons en emps. Les paramères de la résolon PGD son les svans f. AB. D.I-: - le rère d arrê por la méhode de pon fe dans l éape d enrhssemen es o éraons, - le rère d arrê por onernan le nombre de modes es RV ρ f ε 95% Eq. D.I-55, ε fe f 4 - le rère d arrê por la méhode de pon fe dans l éape de proeon es ε 3 Eq. D.I-5. pro Comparason de la solon PGD à la solon Elémens Fns Abaqs M Por valder l mplémenaon d n as foremen oplé, la solon PGD es omparée à la solon obene ave la méhode des Elémens Fns, réalsée à l ade d ode de all Abaqs M Sandard. Les oplages ans qe la lo de omporemen vsoélasqe on éé mplémenés en mbrqan n sos programme lsaer HEVAL ave le sos programme UMA. Ce 69

180 CHAPIRE D PGD POUR DES PROBLEMES MULIPHYSIQUES RANSIOIRES COUPLES développemen s es avéré néessare ar Abaqs M n lse pas o à fa la même lo vsoélasqe e ne prend pas en ompe os les oplages d problème D.I- - D.I-. Por qe les réslas soen omparables, les ondons a lmes on éé hoses por avor nqemen ne déformaon longdnale dans la barre e l élémen fn oplé hermqe-déplaemen C3D8 lnéare en e es lsé. Le mallage por la résolon Elémens Fns es le même qe el lsé por la résolon PGD. Présenons o d abord la solon d problème déoplé α. La solon PGD es obene ave mode por e modes por. La FIG. D.I- monre la solon d déplaemen à gahe e la are d éar enre les solons PGD e MEF à droe en fonon de l espae e d emps. L éar es rès pe e q sgnfe qe les solons obenes ave la PGD e la MEF se sperposen. La FIG. D.I-3 monre la solon de la empérare à gahe e la are d éar enre les solons PGD e MEF à droe en fonon de l espae e d emps. L ordre de grander de l éar es sffsammen pe -3. Les valers les pls élevées son obenes dans la zone [ ; 3]. FIG. D.I- Solon PGD d déplaemen gahe e are d éar enre la solon PGD e la solon MEF droe en espae e en emps FIG. D.I-3 Solon PGD de la empérare gahe e are d éar enre la solon PGD e MEF droe en espae e en emps Noons q ave e e de paramères, le ransore de es dfféren de el de psqe aen son régme permanen après 3 seondes alors qe es enore dans le régme ransore a bo de s. Comparons manenan les réslas obens dans le as oplé où le oeffen de oplage α es prs égal à.. La solon PGD es obene ave 8 modes même nombre de modes por 7