I - ENSEMBLES FINIS ET CARDINAL

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1 Séciales PSI LYCÉE BUFFON COURS Probabilités 1 Déombremet I - ENSEMBLES FINIS ET CARDINAL 1 DÉFINITION DÉFINITION 1 U esemble E o vide est dit fii s il existe u etier aturel o ul et ue bijectio de 1, sur E Cet etier est aelé le cardial de E O le ote Card(E), E ou #E Par covetio, o dira aussi que l esemble vide est fii, de cardial 0 U esemble est dit ifii s il est as fii Table des matières I - Esembles fiis et cardial 1 1 Défiitio 1 2 Sous-esembles d u esemble fii 1 3 Cardial et oératios sur les esembles fiis 1 4 Alicatios etre esembles fiis 2 II - Déombremet 2 1 Esembles de -listes 2 2 Alicatios 3 3 Arragemets 3 4 Combiaisos 3 III - Esembles déombrables 5 REMARQUE : Soit E est u esemble fii, de cardial 1 Ue bijectio i a i de 1, sur E ermet de uméroter les élémets de E et d écrire E= {a 1, a 2, a } EXEMPLES : Pour tout N, l esemble 1, est de cardial car l alicatio idetité est ue bijectio de 1, sur 1, Soit (m,) u coule d etiers relatifs tel que m Quel est le cardial de m,? 2 SOUS-ENSEMBLES D UN ENSEMBLE FINI PROPOSITION 1 Soit E u esemble fii Soit F E Alors { F est fii et CardF CardE F E F=E CardF = CardE REMARQUE : Pour démotrer l égalité etre deux esembles fiis, il suffit de motrer ue iclusio et l égalité des cardiaux COROLLAIRE 1 Si F est iclus das E et si F est ifii, alors E est ifii PROPOSITION 2 (Cardial de P (E)) Soit E u esemble fii de cardial Alors l esemble P (E) des arties de E est fii et a our cardial 2 3 CARDINAL ET OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES FINIS PROPOSITION 3 Si A et B sot deux esembles fiis et disjoits, alors A B est fii et o a : Card(A B)=Card A+CardB Page 1

2 Probabilités 1 Déombremet COROLLAIRE 2 (Comlémetaire) Soit A u sous esemble d u esemble E fii et A so comlémetaire das E, o a : Card A=CardE Card A COROLLAIRE 3 Si A 1, A 2,, A sot des esembles fiis, deux à deux disjoits, alors l esemble A 1 A 2 A est fii et l o a : Card(A 1 A 2 A )= Card A i PROPOSITION 4 (Réuio) Si A et B sot des esembles fiis, alors A B est fii et o a : Card(A B)=Card A+CardB Card(A B) EXERCICE : Soit A 1, A 2,, A des arties d u esemble fii E Démotrer : Card(A 1 A 2 A ) Card(A i ) MÉTHODE : Pour démotrer ue formule de la forme S=a 1 +a 2 + +a, das laquelle S, a 1,, a sot des etiers aturels, ar ue méthode autre qu u calcul, o eut evisager d aliquer le corollaire 3 de la age 2, c est-à-dire exhiber u esemble de cardial S qui est l uio de sous-esembles disjoits de cardiaux resectifs a 1, a 2,, a EXERCICE : Pour et etiers aturels, avec o ul, o ote u, le ombre de - listes (x 1,, x ) d etiers aturels telles que x 1 + x x Motrer que, our tout 2 et N : u, = u 1, PROPOSITION 5 (Produit cartésie) Soiet E 1, E 2,, E des esembles fiis Alors E 1 E 2 E est fii et : Card(E 1 E 2 E )= CardE Soit E est u esemble fii et N, alors Card(E )= (CardE) 4 APPLICATIONS ENTRE ENSEMBLES FINIS i=1 i=1 =1 De cette roositio se déduiset les résultats suivats Séciales PSI LYCÉE BUFFON 1 S il existe ue alicatio f surjective d u esemble fii E das u esemble fii F, o a alors CardF CardE E effet, das ce cas, f (E) = F 2 S il existe ue alicatio ijective f d u esemble fii E das u esemble fii F, o a alors CardE CardF E effet, das ce cas, CardE=Card f (E) CardF A cotrario, si f est ue alicatio d u esemble fii E das u esemble fii F, avec CardE < CardF, alors f e eut as être ijective : il y a deux élémets disticts de E qui ot même image THÉORÈME 1 Soiet E et F deux esembles fiis o vides, de même cardial, f ue alicatio de E das F Il y équivalece etre : f est ijective f est surjective f est bijective II - DÉNOMBREMENT 1 ENSEMBLES DE -LISTES DÉFINITION 2 (-listes) Ue -liste d élémets de E est u élémet de E O l aelle égalemet -ulet PROPOSITION 7 (Nombre de -listes) Le ombre de -listes d u esemble de cardial est Card(E )= EXERCICE : Ue uce se délace sur u cube Chaque délacemet la mèe d u sommet à u autre relié ar ue arête Elle fait délacemets e tout Combie y a-t-il de trajets ossibles? EXERCICE : E utilisat l alhabet usuel de 26 lettres, combie eut-o former de mots de ciq lettres (ayat u ses ou as) das lesquels figuret das l ordre ue cosoe, ue voyelle, deux cosoes et efi ue voyelle EXERCICE : Combie de mots de lettres (ayat u ses ou as) eut-o former avec u alhabet de lettres? PROPOSITION 6 Soiet E et F deux esembles o vides, avec E fii Soit f ue alicatio de E das F, alors l esemble f (E) est fii et Card f (E) CardE De lus, Card f (E) = CardE f est ijective Page 2

3 Probabilités 1 Déombremet 2 APPLICATIONS PROPOSITION 8 (Nombre d alicatios) Soiet E et F des esembles fiis de cardiaux resectifs et o uls Alors l esemble F E des alicatios de E das F est u esemble fii et : Card(F E )= = (CardF) CardE REMARQUE : C est le résultat de la roositio 8 qui exlique la otatio F E our l esemble des alicatios de E das F EXERCICE : Quel est le ombre de faços de rager objets disticts das tiroirs, chaque tiroir ouvat recevoir autat d objets que l o veut? EXERCICE : Soit N 1 Combie y a-t-il de surjectios de 1, das 1,2? 2 Combie y a-t-il de surjectios de 1, das 1,3? 3 ARRANGEMENTS DÉFINITION 3 (Arragemet) Soit u etier aturel o ul et E u esemble O aelle -arragemet d élémets de E, toute -liste d élémets de E deux à deux disticts REMARQUE : Si le cardial de E est strictemet iférieur à, o e eut as trouver élémets disticts das E Il y a doc as de -arragemet d élémets de E PROPOSITION 9 (Nombre d arragemets) Soit E u esemble de cardial et u etier aturel o ul Le ombre de - arragemets d élémets de E est :! A si = ( 1) ( + 1)= ( )! 0 si > 1 O ose ar covetio A 0 = 1, ce qui est comatible avec la formule our = 0 2 Si <, cette formule doe 0, car est u des facteur du roduit, ce qui est bie le résultat attedu 3 Pour calculer u coefficiet A, la formule ( 1) ( + 1), roduit de etiers cosécutifs dot le lus grad est, est lus efficace que la formule avec les factorielles EXEMPLES : Séciales PSI LYCÉE BUFFON 1 Le ombre de mots de lettres distictes qu o eut former avec u alhabet de lettres est A 2 Ue course de chevaux comorte 20 artats Le ombre de résultats ossibles de tiercés das l ordre est A 3 20 = = 6840 PROPOSITION 10 Le ombre d ijectios d u esemble E de cardial das u esemble F de cardial est A COROLLAIRE 4 Si CardE=CardF=, le ombre de bijectios de E sur F est! COROLLAIRE 5 Le ombre de ermutatios d u esemble de cardial est! EXERCICE : U groue de 2 ersoes comred hommes et femmes 1 Combie y a-t-il de maières de les disoser autour d ue table rode, e e teat comte que de leurs ositios relatives (deux disositios sot idetiques si chaque ivité a le même voisi à sa gauche et le même voisi à sa droite)? 2 Même questio si l o veut resecter l alterace homme-femme? 3 Même questio si o veut resecter l alterace homme-femme et que de lus Madame X soit à côté de Mosieur Y? 4 COMBINAISONS O raelle que, our tous etiers aturels et : ( 1) ( + 1) =! O remarque que l o a, our tous etiers aturels et, = A! THÉORÈME 2 Soit et des etiers aturels Le ombre de sous-esembles de cardial d u esemble E de cardial est 1 Si et sot des etiers tels que 0, le ombre de sous-esembles de cardial! d u esemble de cardial est doc!( )! Page 3

4 Probabilités 1 Déombremet 2 Si <, alors = 0 E effet, das u esemble de cardial, il y a as de sousesemble de cardial strictemet lus grad Nous feros la covetio que = 0 si < 0, ce qui ermet de garder leur validité à certaies formules, das des cas articuliers (formule de Pascal ar exemle) EXERCICE : O tire 8 cartes das u jeu de 32 cartes 1 Combie y a-t-il de tirages ossibles? 2 Combie y a-t-il de tirages coteat deux carrés (u carré est u esemble de quatre cartes de même hauteur, ar exemle quatre as)? EXERCICE : Soit et des etiers aturels o uls Combie y a-t-il de listes d etiers (i 1,i 2,,i ) telles que 1 i 1 < i 2 < <i La différece etre arragemet et combiaiso tiet à ce que l u est ordoé et l autre as EXEMPLE : O désire orgaiser des matchs etre 2 équies de baset, chacue disutat u match De combie de faços u eut-o orgaiser ces matchs, c est-à-dire aarier les équies deux à deux? 2 O choisit 2 équies ( choix) our former u remier match, uis 2 équies armi les restates ( choix) our former u deuxième match,, efi 2 équies armi 2 les 2 restates our faire u derier ( match )( O ) a( aisi ) : = (2)! choix Mais o a aisi costruit des listes (M 1,M 2,,M ) de matchs, alors que ce que l o cherche à comter ce sot les esembles {M 1,M 2,,M } de matchs, sas ordre Pour obteir le ombre cherché, il faut doc diviser ar!, le ombre de faços de ermuter M 1,M 2,,M O obtiet : u = (2)! 2! EXERCICE : O garde les otatios de l exemle récédet Motrer que our 2, o a u = (2 1)u 1 (o ourra rivilégier ue des équies) Retrouver aisi le résultat récédet EXERCICE : Aagrammes État doé u mot m, o aelle aagramme de m tout mot formé des mêmes lettres que m (u mot est simlemet ue liste de lettres) 1 Quel est le ombre d aagrammes du mot orage? 2 Quel est le ombre d aagrammes du mot aaas? 3 Quel est le ombre d aagrammes d u mot coteat 1 fois la lettre l 1, 2 fois la lettre l 2,, fois la lettre l? Séciales PSI LYCÉE BUFFON MÉTHODE : Souvet, our déombrer, lusieurs méthodes sot ossibles La méthode adotée eut meer directemet à u déombremet exact Mais arfois elle coduit à comter tous les objets cosidérés lusieurs fois Si chaque objet est comtés exactemet fois our u certai etier, il suffit de diviser le ombre trouvé ar Cela arrive e articulier quad le déombremet amèe à créer u ordre sur des objets qui étaiet as a riori ordoés Proriétés des coefficiets PROPOSITION 11 Si et sot des etiers tel que 0, o a PROPOSITION 12 (Formule de Pascal) Si et sot des etiers tels que 1, o a 1 1 = + 1 O ote que la formule reste vérifiée our > EXERCICE : Formule de Pascal gééralisée E utilisat la formule de Pascal, démotrer que, ( our) et etiers tels que 0, o a : + 1 = + 1 a) Formule du biôme PROPOSITION 13 Soiet a et b deux ombres comlexes aisi que u etier aturel (a+ b) = a b = b) Alicatios de la formule du biôme EXEMPLE : E reat a = b = 1, o obtiet = 2 Cela doe ue ouvelle démostratio du fait que, si CardE =, alors CardP (E)=2 E effet si l o ote, our 0, P (E) l esemble des arties de E de cardial, alors P (E) est la réuio disjoite de P 0 (E), P 1 (E),, P (E), doc : CardP (E)= CardP (E)= = 2 Page 4

5 Probabilités 1 Déombremet EXERCICE : Soit u etier aturel o ul E cosidérat (1 1), motrer que tout esemble de cardial ossède autat de arties de cardial air que de arties de cardial imair EXERCICE : Formule de Vadermode Soit m, et trois etiers aturels Démotrer que ( : ) m m+ O eut cosidérer u esemble de cardial m+, réuio d u esemble de cardial m et d u esemble de cardial et utiliser la méthode exosée age 2 E déduire que l o a, our tout etier aturel : 2 2 EXERCICE : Soiet, et des etiers tels que 0 E déombrat de deux maières les coules (A,B) de arties d u esemble de cardial telles que Card A=, CardB= et A B, motrer que : = 1 La formule démotrée das l exercice eut aussi s obteir simlemet e écrivat les deux termes de l égalité sous forme de factorielle et e simlifiat 2 E reat = 1, o obtiet 1 = 1, formule bie utile comme le motret les calculs qui suivet EXERCICE : Soit u ( etier ) aturel 1 Calculer, ( 1), 2 2 Retrouver les deux remières formules e déveloat (x+ 1) ar la formule du biôme et e dérivat MÉTHODE : Pour résoudre u roblème de déombremet, il faut commecer ar réfléchir à la ature des objets à déombrer : sot-ils ordoés ou o ; les élémets qui les comoset sot-ils disticts ou as, et essayer de se rameer au comtage d élémets simles : roduits cartésies, alicatios, ermutatios, arragemets, combiaisos Esuite, reste à élaborer ue stratégie qui assure que tous les objets cosidérés serot bie comtés ue et ue seule fois DÉFINITION 4 U esemble E est dit déombrable s il existe ue bijectio de E sur N Séciales PSI LYCÉE BUFFON REMARQUE : U esemble déombrable eut-être décrit e extesio sous la forme {x, N} C est vrai aussi our u esemble fii Ce qui ous coduit à la défiitio suivate DÉFINITION 5 U esemble E est au lus déombrable s il existe ue suite (x ) N telle que E={x, N} O dit aussi que E est u esemble fii ou déombrable EXEMPLE : L esemble des uissaces d u même réel q est au lus déombrable PROPOSITION 14 Toute artie ifiie d u esemble déombrable est déombrable COROLLAIRE 6 Ue artie de N est fiie ou déombrable EXEMPLE : L esemble N 2 est déombrable E effet, il est ifii et l alicatio de N 2 das N qui, à u coule (, q) associe l etier 2 3 q est ijective ar uicité de la décomositio e roduit de facteurs remiers PROPOSITION 15 L esemble Z est déombrable EXERCICE : Motrer que N 2 est déombrable e mettat e lace ue umératio sur u dessi, uis e exlicitat celle-ci PROPOSITION 16 Le roduit cartésie de deux esembles déombrables est déombrable COROLLAIRE 7 Les esembles N 2 et Q sot déombrables III - ENSEMBLES DÉNOMBRABLES Des esembles o vides E et F ot le même cardial s il existe ue bijectio de E das F Des esembles tels que N, Z, Q, R, C sot ifiis, mais ot-ils le même cardial? EXEMPLE : N et N ot le même cardial EXERCICE : Prouver que N et 2N ot le même cardial EXEMPLE : L esemble N 3 est déombrable uisque c est le roduit cartésie de N et N 2 Plus gééralemet si E est u esemble déombrable, E m l est aussi our tout etier aturel m o ul REMARQUE : L esemble R est o déombrable Commet le démotrer? Page 5