Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites"

Transcription

1 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 43 Chapitre 4: Croissace, divergece et covergece des suites 4.1 Quelques défiitios Défiitios : Ue suite est croissate si chaque terme est supérieur ou égal à so précédet : u +1 u ou: Ue suite est décroissate si chaque terme est iférieur ou égal à so précédet : u +1 u ou: Ue suite est mootoe si elle est croissate ou si elle est décroissate. De maière aalogue, o défiit ue suite strictemet croissate, strictemet décroissate ou strictemet mootoe lorsque l'iégalité qui lie ses termes est stricte. Ue suite est costate si tous ses termes sot égaux. Exemples : a) La suite 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, est ue suite croissate. b) La suite 1, 1 2, 1 3, 1, est ue suite strictemet décroissate. 4 c) Observer la croissace de la suite u = 4, IN * Cette suite 'est i croissate i décroissate. O dira cepedat que cette suite est strictemet croissate à partir de so terme de rag 4. d) La croissace ou la décroissace d'ue suite (u ) peut être détermiée par l'étude du sige de u +1 u. La suite (u ) doée par u = est strictemet croissate, car pour tout IN * u +1 u =

2 44 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Exemples : e) La suite (u ) doée par est décroissate, car u 1 =1 u +1 = u 3 2 pour 1 u +1 u = Exercice 4.1 : Les suites (u ) suivates sot-elles croissates? décroissates? a) u =1 1, IN * b) u =1+ ( 1), IN * c) u = , IN d) u = cos π, IN 2 u 0 = 3 e) u +1 = u 2, 0 3

3 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 45 Défiitios : Ue suite (u ) est majorée s'il existe u ombre réel M tel que chaque terme de la suite est iférieur ou égal à ce ombre. Das ce cas, le ombre M est appelé u majorat de la suite. La bore supérieure de la suite est le plus petit majorat de cette suite. Ue suite (u ) est miorée s'il existe u ombre réel m tel que chaque terme de la suite est supérieur ou égal à ce ombre. Das ce cas, le ombre m est appelé u miorat de la suite. La bore iférieure de la suite est le plus grad miorat de cette suite. Ue suite est borée si elle est à la fois majorée et miorée. Exemples : La suite: 1 ; 1,1 ; 1,11 ; 1,111 ; 1,1111 ; est ue suite strictemet croissate qui 'atteidra jamais la valeur 2. Elle est dite majorée par 2. Trouver d'autres majorats de cette suite et quel pourrait être le plus petit de tous les majorats? Théorème : Toute suite majorée possède u plus petit majorat. De même, toute suite miorée admet u plus grad miorat. Preuve Nous admettos ce théorème sas démostratio. Vous le démotrerez qu ue fois votre maturité e poche. Exercice 4.2 : Exercice 4.3 : Repredre les suites de l exercice précédet ; sot-elles majorées? miorées? Idiquer les évetuelles bores. Idicatio : esquisser rapidemet ces suites. Soit ( u ) la suite défiie pour tout etier > 0 par : u 1 = 0,1 ; u 2 = 0,11 etc u = 0,1 1 ( chiffres 1) a) Motrer que cette suite est strictemet croissate. b) Cette suite semble-t-elle coverger vers ue valeur? c) Motrer que u peut s écrire comme ue somme de termes qui formet eux-mêmes ue suite géométrique. d) Trouver le terme gééral de la suite u. e) Détermier la bore supérieure de cette suite f) Qu e est-il de la suite 1 ; 1,1 ; 1,11 ;

4 46 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Exercice 4.4 : O cosidère la suite ( u ) IN * défiie par u = a) Motrer que (u ) est strictemet croissate. b) Démotrer que cette suite admet -1 pour miorat c) Quelle est la bore iférieure de la suite? Exercice 4.5 : Démotrer que 1/2 est u miorat de la suite IN * Exercice 4.6 : O cosidère la suite ( u ) IN * défiie par : u 1 = 2 u +1 = 2u, 1 a) Écrire les quatre premiers termes de cette suite, puis les exprimer e puissace de 2. b) Exprimer u, u +1 puis u +1 u e foctio de. c) E déduire que cette suite est croissate et majorée. Exercice 4.7 : O cosidère la suite ( s ) IN de terme gééral : s = a) Calculer s 1, s 2, s 3 et s 4 b) Détermier le plus petit terme figurat das la somme défiissat s. c) Détermier le plus grad terme figurat das la somme défiissat s. d) E déduire l ecadremet suivat : + 1 s

5 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE "Covergece" d ue suite vers + ou - : Exemple d itroductio : Cosidéros la suite h = 5. Existe-t-il ue valeur que h e puisse dépasser? Disos u milliard pour se fixer les idées.

6 48 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Défiitio : Ue suite (u ) est dite "covergete" vers + si et seulemet si, pour tout réel positif A, il existe u etier N tel que pour tout etier supérieur ou égal à N, o a u > A. E repreat l exemple précédet et e appliquat la défiitio précédete : u N2 A 2 u N1 A 1 u N 1 N 2 Quelle que soit la hauteur A de la "barre", à partir d u certai idice N, o est sûr que les termes de la suite serot toujours audessus de A. Remarquos que la valeur de N déped de la hauteur A que l o veut dépasser. Traduite e lagage symbolique, la défiitio précédete deviet : Défiitio : Exemple: A IR +, N IN * lim u =+ + tel que N u > A O cosidère la suite ( u ) IN * défiie par u = Calculer le plus petit etier aturel N tel que : N u >1'000

7 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 49 Exercice 4.8 : O cosidère la suite ( u ) IN * > 1 défiie par u = Calculer le plus petit etier aturel N tel que : N u > Exercice 4.9 : Détermier u ombre etier aturel N tel que : a) N (1,1) >1'000 b) N (0,5) < 0,05 Ces suites sot-elles "covergetes" vers +? Exercice 4.10 : O cosidère la suite défiie par u = pour 1 a) Calculer les 5 premiers termes de la suite et e doer des valeurs approchées à 10-2 près. b) Motrer que cette suite est mootoe croissate. ( ) IN *, c) E observat la représetatio ci-dessous de la suite u quelle cojecture peut-o faire sur la limite de cette suite? d) O cosidère la bade ]10 ; + [. Motrer qu à partir d u certai idice 0 à détermier, tous les termes de la suite appartieet à cet itervalle. e) Effectuer de même avec la bade ]A ; + [ avec A > 10. Motrer qu à partir d u certai idice 0 à détermier e foctio de A, tous les termes de la suite appartieet à cet itervalle. f) Que pouvez-vous affirmer au sujet de la covergece de la suite u?

8 50 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Exemple: Motrer que la suite (h ) de terme gééral h = 5 2 est "covergete" vers +. Exercice 4.11 : Motrer que la suite (u ) de terme gééral u = "covergete" vers +. est Défiitio : Ue suite (u ) est dite "covergete" vers - si ses termes devieet et restet iférieurs à tout ombre égatif doé arbitrairemet. Exercice 4.12 : Doer la défiitio précédete e lagage symbolique e l accompagat d ue figure d étude covaicate. Exercice 4.13 : O cosidère la suite ( u ) IN * {1} défiie par u = 2 1. a) Motrer que la suite (u ) est décroissate b) Calculer le plus petit etier aturel N tel que : N u < 1'000 c) Calculer le plus petit etier aturel N tel que : N u < A

9 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 51 Exercice 4.14 : O cosidère la suite ( u ) IN défiie par : u 0 = 4 u +1 = 2u 2 3 u + 2 pour 0 a) Motrer que u > 3 IN b) Motrer que u +1 3 > 3 2 (u 3) IN c) Motrer que u > IN * ( ) IN est-elle covergete, c est-à-dire existe-t-il u d) La suite u ombre réel A tel que lim u = A Covergece d ue suite vers u ombre Exemple d itroductio : Cosidéros la suite ( u ) IN * doée par u = Calculer les termes d idice = 1, 2, 3, 10, 100, 1'000. Quelle cojecture peut-o effectuer? Esquisser cette suite : O observe que les termes de cette suite u ( ) s approchet de plus e plus du ombre 1/2 lorsque l idice deviet grad.

10 52 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Exemple (suite) : Détermier les idices pour lesquels la différece etre 1/2 et u est iférieure à 1/100, puis 1/1000, puis ( ) IN * ue suite. U ombre réel A est appelé limite de la Défiitio : Soit u suite ( u ) et o ote A = lim u, si u est arbitrairemet proche + de A dès que est suffisammet grad. Lorsqu ue suite admet u ombre limite A, o dit qu elle coverge vers ce ombre. A ε N Défiitio équivalete : O dit qu ue suite ( u ) IN * coverge vers le réel A si et seulemet si tout itervalle ouvert coteat A cotiet aussi tous les termes de la suite à partir d u certai rag. Traduites e lagage symbolique, les défiitios précédetes devieet : Défiitio : ε IR + *, N IN * lim u = A + tel que N A ε < u < A + ε Le ombre ε est u ombre strictemet positif, il est arbitrairemet petit. L etier N idique u rag à partir duquel ( N) tous les termes u sot «das la bade» de demi-largeur ε cetrée e A.

11 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 53 Remarque: Ue suite qui est pas "covergete" vers + ou - et qui est pas covergete est appelée ue suite divergete. Exercice 4.15 : O cosidère la suite ( u ) IN * représetée ci-dessous. a) Vers quelle valeur cette suite semble-t-elle tedre? Sachat que lim u =1, détermier N tel que : + b) N les u sot compris das ue bade de demi largeur ε = 0,4 c) N les u sot compris das ue bade de demi largeur ε = 0,2 Exemple : La suite représetée das l exercice précédet est u = 1. Sachat que lim + u =1, a) détermier N tel que : N les u sot compris das ue bade de demi largeur ε =10 9. b) détermier N tel que : N les u sot compris das ue bade de demi largeur ε

12 54 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Exercice 4.16 : O cosidère la suite ( u ) IN * dot le terme gééral est : u = + 3 a) Vers quelle valeur cette suite semble-t-elle tedre? Sachat que lim u = 1, détermier N tel que : + b) N les u sot compris das ue bade de demi largeur ε = 0,1 c) N les u sot compris das ue bade. de demi largeur ε Exemple : O cosidère la suite ( u ) IN * dot le terme gééral est doé par u = 2 1. a) Vers quelle valeur semble coverger cette suite? b) E utilisat la défiitio symbolique de la covergece d ue suite, motrer que lim u = 2 +

13 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 55 Exercice 4.17 : O cosidère la suite ( u ) IN * défiie par u = a) Écrire sous forme décimale les 1 er, 10 ème, ème et ème termes de la suite. E déduire la valeur probable de lim u + b) E utilisat la défiitio de covergece e lagage symbolique, détermier N IN * tel que : N, A ε < u < A + ε pour u ε IR + * Théorème : Démotrer que la suite ( u ) IN * dot le terme gééral est u = 1 coverge vers 0. Exercice 4.18 : Exercice 4.19 : Démotrer le théorème précédet Étudier la covergece de la suite ( u ) IN *de terme gééral : u = ( 1) 1 Et si vous cosidériez la suite v = u Exercice 4.20 : Étudier la covergece de la suite ( 1) + 1 IN * Exercice 4.21 : Das la littérature, la défiitio symbolique de la covergece d ue suite est : ( ) u ε IR + *, p IN * lim u = a + tel que > p u a < ε Motrer que cette défiitio est équivalete à celles proposées das le cadre de ce cours. ( ) Exercice 4.22 : O cosidère la suite u covergete vers a. Motrer que la suite v ombre dot o précisera la valeur. ( ) défiie par v = u +1 coverge vers u

14 56 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE Critères de covergece Théorème : Ue suite croissate et majorée coverge. Ue suite décroissate et miorée coverge. Ue suite mootoe et borée coverge. preuve : majorat bore supérieure A ε N Théorème : Si ue suite (u ) coverge vers A alors A est uique. O l appelle doc la limite de la suite (u ). A 2 Exercice défi : Démotrer le théorème précédet e supposat par l absurde qu elle puisse coverger vers 2 ombres différets A 1 et A 2 et e costruisat ue cotradictio à l aide de la figure ci-cotre. d A 1 N 2 N 1 Théorème : Démotrer qu ue suite (u ) coverge vers 0 si et seulemet si la suite u ( ) coverge vers 0. Exercice défi : Démotrer le théorème précédet.

15 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 57 Théorème : Les puissaces successives d u ombre réel strictemet positif et iférieur à 1 formet ue suite covergete. preuve : Théorème : Ue suite covergete est borée.

16 58 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Remarque : Du théorème précédet, o e déduit u critère de divergece : Ue suite qui est pas borée diverge. Cette deuxième affirmatio s appelle la cotraposée du théorème ci-dessus. D ue implicatio, o peut toujours e proposer ue deuxième qui s appelle la cotraposée : Si A B alors o B o A Si A implique B alors o B implique o A Exemple : Proposez la cotraposée des affirmatios suivates au sujet d u quadrilatère ABCD : Si ABCD est u rectagle alors il admet u agle droit. Si ABCD est u parallélogramme alors AB = DC. Théorème : Ue suite borée est pas écessairemet covergete. Exercice 4.23 : a) Proposer ue figure d étude permettat de visualiser le théorème précédet. b) Que pouvez-vous affirmer au sujet de la suite u = ( 1), IN? c) L affirmatio suivate est-elle exacte : ( u ) borée u ( ) covergete ( ) et ( v ) sot deux suites qui coverget respectivemet Théorème : Si u vers a et b, et si λ est u ombre réel, alors : 1. la suite de terme gééral u + v coverge vers a + b. 2. la suite de terme gééral λu coverge vers λa. 3. la suite de terme gééral u v coverge vers a b. 4. la suite de terme gééral u v coverge vers a b, si b 0 et v 0 pour tout.

17 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 59 Exercice 4.24 : Exercice 4.25 : ( ) coverge vers a et ( v ) coverge vers b, motrer que ( ) coverge vers a + b. a) Si u u + v ( ) est borée et ( v ) coverge vers 0, motrer que ( ) coverge vers 0. b) Si u u v c) E déduire que : ( ) coverge vers a et ( v ) coverge vers b, alors ( u v ) Si u coverge vers a b. Idicatio : Commecer par motrer que : u v a b = u (v b) + (u a) b afi d e déduire que ( u v a b)coverge vers Motrer que la propositio suivate est fausse. ( ) est borée et ( v ) coverge vers b, motrer que ( ) coverge. Si u u v Applicatios : 1 Rappelos que la suite coverge vers 0 et que toute suite IN * costate (u = λ) coverge vers λ. Vers quelles valeurs coverget les suites dot o doe le terme gééral : a) u = 3 +1 b) u = c) u = 3 2 d) u =

18 60 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Exercice 4.26 : Étudier la covergece des suites (u ) défiies par leur terme gééral : a) u = b) u = c) u = 1 2 Idicatio : motrer que 2 > IN puis utiliser le théorème des 2 gedarmes. d) u = k, k IR e) u = cos π 2 f) u = ( 1) + 1 Exercice 4.27 : Détermier si les suites suggérées ci-dessous coverget ou diverget. Si elles coverget, trouver vers quelle valeur. 7 a) 11, 9 21, 11 31, 13 41, 15 51, 4 b) 1, 3, 9 5, 16 7, 25 9, c) 5 6, 25 36, , Exercice 4.28 : Soit ( u ) IN la suite doée par so terme gééral : u = a) Cojecturer la limite de la suite à l aide de la calculatrice. b) E déduire que u = 6 et déduisez-e la limite. 1+ 6/ +1 Exercice 4.29 : O cosidère la suite ( s ) IN de terme gééral : a) Motrer que s + 1 b) Motrer que s s = k=1 2 + k c) Après avoir observé que + 1 s 2 2, e déduire la + 1 limite de ( s ) IN Exercice 4.30 : Pour IN *, o pose s = k= k Démotrer que ( s ) coverge vers ue limite que l o précisera.

19 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE Covergece d ue suite du type u +1 = f (u ) Exemple d itroductio : De ombreux algorithmes itératifs sot fodés sur des suites du type : u 0 = a (valeur iitiale) u +1 = f (u ), pour 1 où f est ue foctio réelle. Pour f (x) = cos(x), o peut visualiser graphiquemet les premiers termes de la suite (u ) sur le graphique ci-dessous a) Quelle cojecture peut-o faire au sujet de cette suite? La représetatio graphique de la suite u semble-t-elle cofirmer votre cojecture? b) À la solutio de quelle équatio va correspodre lim + u?

20 62 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Exercice 4.31 : Effectuer la même démarche avec f (x) = 4(x x 2 ) représetée cidessous : Exemple d itroductio : O a représeté ci-dessous la foctio f (x) = x x + 3 O cosidère la suite u 0 = 5 u +1 = f (u ) a) Doer ue valeur approchée à 10-3 près de u 1, u 2, u 3, u 4. b) Costruire sur le graphique la droite d d équatio y = x. c) E vous aidat de la droite d, représeter sur l axe des abscisses du graphique les 5 premiers termes de la suite (u )

21 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 63 Exemple (suite) : d) Détermier les coordoées des poits d itersectio etre la courbe de f et la droite d. e) Motrer que IN, u 1/3. f) Motrer que la suite (u ) est décroissate. g) Quelle cojecture peut-o faire e ce qui cocere la limite de la suite (u )?

22 64 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Exercice 4.32 : Exercice 4.33 : Soit la suite défiie par u 1 =1 u +1 = 3u + 2 u + 2 a) Doer ue valeur approchée à 10-3 près de u 2, u 3, u 4, u 5. b) Motrer par récurrece que si 0 u 2, alors 0 u c) Résoudre x 2 + x + 2 0, puis exprimer u +1 u e foctio de u. Déduire de ce qui précède que u +1 u 0 pour tout. d) E déduire que cette suite est covergete. e) E posat a = lim u, Justifier que cette suite coverge vers la + solutio de l équatio : a = 3a + 2, que l o calculera. a + 2 u 1 =1 Soit la suite défiie par 1 u +1 = 1+ u a) Doer ue valeur approchée à 10-3 près de u 2, u 3, u 4, u 5. b) Démotrer par récurrece que 0 u 1. c) Cette suite est-elle décroissate? d) Cette suite semble-t-elle covergete? Si oui, calculer lim u. + 1 e) Estimer le ombre suivat : p =

23 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 65 Exercice 4.34 : O a représeté ci-dessous la foctio f (x) = x l(x) O cosidère la suite u 0 = 7 u +1 = f (u ) a) Au moye du graphique ci-dessus (ou mieux algébriquemet), détermier le miimum de f sur ]0 ; + [, e déduire que pour tout etier aturel, o a u 1. b) Exprimer u +1 u e foctio de u. Motrer que (u ) est mootoe décroissate. c) Costruire sur le graphique la droite d d équatio y = x. d) E vous aidat de la droite d, représeter sur l axe des abscisses les ciq premiers termes de la suite (u ). e) Motrer que cette suite est covergete et calculer lim u. + Exercice 4.35 : Soit (u ) la suite défiie par : u 0 =1 u +1 = u +1 O ote f la foctio défiie sur [-1 ; + [ par f (x) = x +1 a) Représeter la courbe y = f (x), la droite y = x et les premiers termes de la suite u. b) Quelles cojectures peut-o faire à partir de la représetatio précédete? c) Motrer par récurrece que pour tout : 0 u < 2. d) Motrer par récurrece que (u ) est croissate. e) Motrer que (u ) est covergete. f) E s aidat de la représetatio graphique, détermier lim + u g) Estimer le ombre suivat :

24 66 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4

Chapitre 0: Suites de nombres réels

Chapitre 0: Suites de nombres réels CHAPITRE 0 SUITES DE NOMBRES REELS I Chapitre 0: Suites de ombres réels 0.1 Défiitios de base et premiers exemples Itroductio : Les suites réelles sot liées à la mathématique de la mesure (mesures d'u

Plus en détail

TS Limites de suites (3)

TS Limites de suites (3) TS Limites de suites (3) I. Rappels sur les suites majorées, miorées, borées ) Défiitio (suite majorée, miorée, borée) 5 ) Propriété Si u réel M est u majorat d ue suite u, alors tous les réels supérieurs

Plus en détail

Analyse 5 SUITES REELLES

Analyse 5 SUITES REELLES Aalyse chap 5 /6. GENERALITES SR LES SITES. Défiitios Défiitio : e suite est ue foctio, défiie sur ue partie D de. O ote () =, o lit «idice». O dit que est le terme gééral de la suite, ou terme de rag.

Plus en détail

Limites de suites et de fonctions

Limites de suites et de fonctions TermS Limites de suites et de foctios I ] Suites ) Défiitio : Ue suite réelle est ue foctio de! das!, défiie à partir d'u certai rag 0. Notatio : u = lire "u idice " = terme d'idice, ou de rag = terme

Plus en détail

Suites numériques 1 / 12 A Chevalley

Suites numériques 1 / 12 A Chevalley MT8 A 03 Suites umériques Aleth Chevalley. Rappels.. Défiitio O appelle suite umérique réelle, toute applicatio f : ϒ qui à tout etier aturel, fait correspodre le ombre réel f() et o désige la suite par

Plus en détail

LIMITES DE SUITES. n ) u n = 2 n pour n IN 5 ) u n = 2n + 1 n - 5 pour n ³ 6 6 ) u n = (-1)n pour n IN

LIMITES DE SUITES. n ) u n = 2 n pour n IN 5 ) u n = 2n + 1 n - 5 pour n ³ 6 6 ) u n = (-1)n pour n IN LIMITES DE SUITES I Limites fiies ou ifiies Exercice 1 Pour chacue des suites, e calculat différets termes, cojecturer la valeur limite de u quad deviet ifiimet grad (c'est-à-dire quad ted vers + ). 1

Plus en détail

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propriété P() dépedat de l idice Si les propositios ()

Plus en détail

1 Propriétés - Suites monotones

1 Propriétés - Suites monotones Uiversité d Aix-Marseille Licece de Mathématiques Semestre 06-07 Aalyse Plache - Suites umériques Propriétés - Suites mootoes Exercice Soiet les suites défiies, pour tout, par u = et v = Vérifier qu elles

Plus en détail

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite Eseigemet spécifique Chapitre 1. Les suites umériques Pricipe de récurrece Limite d ue suite I. Rappels sur les suites umériques 1. géérale Ue suite umérique est ue foctio défiie de N vers R, elle peut

Plus en détail

1. Limite d'une suite... p2. Suites convergentes

1. Limite d'une suite... p2. Suites convergentes Suites covergetes 1.... p2 4. Cas particuliers... p9 2. Limites et comparaiso... p6 5. Suites mootoes... p11. Opératios sur les limites... p7 1. Limite d'ue suite 1.1. Limite ifiie a) Défiitios O dit que

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

Auteur : Simplice TANKOUA Activités de mise en place de la leçon.

Auteur : Simplice TANKOUA Activités de mise en place de la leçon. Auteur : Simplice TANKOUA (stakoua@yahoofr) Cours SUITES NUMÉRIQUES Leço : GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES Activités de mise e place de la leço Activité : (formule explicite) Exercice O cosidère la liste ordoée

Plus en détail

«J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion» (Stendhal)

«J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion» (Stendhal) Lycée Stedhal (Greoble) Niveau : Termiale S Titre Cours : Chapitre 0 : Les suites Aée : 204-205 «J'aimais et j'aime ecore les mathématiques pour elles-mêmes comme 'admettat pas l'hypocrisie et le vague,

Plus en détail

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propositio P() dépedat de l etier () la propositio est

Plus en détail

Compléments sur les suites Suites adjacentes

Compléments sur les suites Suites adjacentes DERNIÈRE IMPRESSION LE 7 février 07 à 6:3 Complémets sur les suites Suites adjacetes I Ecadremet d ue suite EXERCICE ) Motrer que pour tout k N et pour tout x [k ; k+], o a : k+ k+ k x dx k ) O pose u

Plus en détail

SUITES (Partie 2) = 3u n. et u 0. q n na (inégalité de Bernoulli), a pour limite car lim 4 n = +.

SUITES (Partie 2) = 3u n. et u 0. q n na (inégalité de Bernoulli), a pour limite car lim 4 n = +. SUITES (Partie ) I Comportemet à l'ifii d'ue suite géométrique ) Rappel Défiitio : Ue suite (u ) est ue suite géométrique s'il existe u ombre q tel que pour tout etier, o a : u + = q u Le ombre q est appelé

Plus en détail

Comportement asymptotique des suites

Comportement asymptotique des suites Comportemet asymptotique des suites Table des matières 1 Itroductio 2 2 Limite d ue suite 2 2.1 Limite fiie d ue suite........................................... 2 2.2 Limite ifiie d ue suite..........................................

Plus en détail

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1 Correctio Exercice 1 O cosidère la suite (v ) défiie par v 0 = 3 et pour tout 1, v +1 = v 2 3v +4. 1. Démotrer que la suite est croissate. v +1 v = v 2 4v +4 = (v 2) 2 0 quelque soit etier. Doc (v ) est

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u :

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u : SUITES NUMERIQUES Coteus : Capacités attedues : Commetaires : Suites Limite d ue suite défiie par so terme gééral Notatio lim u Suites géométriques : - somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique

Plus en détail

Limite d'une suite. soit n > 9

Limite d'une suite. soit n > 9 Limite d'ue suite I) Limite d'ue suite : a) ite ifiie : défiitio : Ue suite (u ) a pour ite + quad ted vers + si tout itervalle de la forme ]A; +[ (A état u réel) cotiet tous les termes u à partir d'u

Plus en détail

Suites numériques. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés

Suites numériques. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Suites umériques. 1. Mode de géératio des suites... p2 4. Le raisoemet par récurrece... p4 2. Relatio de récurrece... p3 5. Ses de variatio des suites... p6 3. Suites arithmétiques, suites géométriques...

Plus en détail

Feuille d Exercices : Suites, suite!

Feuille d Exercices : Suites, suite! ECS 1 Dupuy de Lôme Semaie du 6 décembre 004 Feuille d Exercices : Suites, suite! Exercice 1 : Pour tout etier, o défiit u = 1. Motrez que u est mootoe.. Motrez que v est géométrique. k= 3. E déduire l

Plus en détail

TD 2 : Suites numériques réelles

TD 2 : Suites numériques réelles Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée Licece L Maths/Ifo d semestre 0/0 Aalyse TD : Suites umériques réelles Exercice Cours) Motrer que si ue suite réelle u ) N coverge, alors toute sous-suite de u ) coverge

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1 Etudier la mootoie des suites a ) 0 défiies par : a) a = b) a = + 1) + ) + ) c) a =! d) a = α + 1) α réel positif) Soit a, la suite de terme gééral a = 3 + 1 3 + Trouver

Plus en détail

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel,

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel, Exercices aales corrigés : Suites Sujet atioal septembre 007 ( bac blac 008) La suite u est défiie par : = et = pour tout etier aturel a O a représeté das u repère orthoormé direct du pla doé ci-dessous,

Plus en détail

Chap2 Les suites : Raisonnement par récurrence limites de suites

Chap2 Les suites : Raisonnement par récurrence limites de suites I Rappels de première Chap2 Les suites : Raisoemet par récurrece limites de suites II Suites majorées, miorées, borées Défiitios : O dit qu ue suite ( u ) est majorée lorsqu il existe u réel M tel que

Plus en détail

Comportement d une suite

Comportement d une suite CHAPITRE 6 Comportemet d ue suite ACTIVITÉS Activité L aire ajoutée (celle d u carré compese exactemet l aire elevée a p 6 ; p 5 ; p 6 6 b La suite (p est géométrique de raiso car la logueur de la lige

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k SÉRIES NUMÉRIQUES K désige le corps R ou C. Gééralités. Défiitios Défiitio. Série Soit (u ) 0 ue suite umérique (i.e. à valeurs das K). O appelle série de terme gééral u la suite (S ) 0 où 0, S = u k Cette

Plus en détail

Suites de réels. Contents. 1 Retenez au moins ça 3

Suites de réels. Contents. 1 Retenez au moins ça 3 Suites de réels Cotets 1 Reteez au mois ça 3 Bore supérieure 3.1 Déitios.......................................... 3.1.1 Relatio d'ordre sur u esemble E....................... 3.1. Ordre total.....................................

Plus en détail

Suites numériques. I/ Définition, propriétés globales Résumé du cours de MPSI

Suites numériques. I/ Définition, propriétés globales Résumé du cours de MPSI Ξ 2 Suites umériques 2016-2017 Résumé du cours de MPSI I/ Défiitio, propriétés globales 1/ Défiitio Ue suite de complexes u est ue applicatio de N das C Notatios : L'image d'u etier par u se ote u( ou

Plus en détail

Limites de suites, cours, terminale S

Limites de suites, cours, terminale S Limites de suites, cours, termiale S Covergece de suites Déitio : Soit (u ) ue suite. O dit que (u ) coverge vers u réel l ou a pour limite l lorsque tout itervalle ouvert A coteat l, cotiet tous les termes

Plus en détail

Ch.1 ( ) ( ) + 9 ( ) ( ) = n ( n + 1 )( n + 2) ( )? ( ) ( ) ( )( n + 2) SUITES PARTIE 1 récurrence et suites bornées

Ch.1 ( ) ( ) + 9 ( ) ( ) = n ( n + 1 )( n + 2) ( )? ( ) ( ) ( )( n + 2) SUITES PARTIE 1 récurrence et suites bornées Termiale S Ch1 SUITES PARTIE 1 récurrece et suites borées Das tout le chapitre, les etiers cosidérés sot aturels, c'est-à-dire positifs ouls I Raisoemet par récurrece 1 / Itroductio Exercice 1 : soit u

Plus en détail

Exercices. Limites de suites. Limite d une suite Dans les exercices suivants, déterminer la limite de la suite (u n ) en précisant le théorème

Exercices. Limites de suites. Limite d une suite Dans les exercices suivants, déterminer la limite de la suite (u n ) en précisant le théorème Exercices Limites de suites Exercice Limite d ue suite Das les exercices suivats, détermier la limite de la suite (u ) e précisat le théorème utilisé. ) u = + + + + ) u = cos(), N 3) u = + cos 4 3 4) u

Plus en détail

Chapitre Rappels sur les suites

Chapitre Rappels sur les suites Chapitre Séries umériques. Rappels sur les suites Défiitio.. (i) Ue suite (a ) N de réels (ou de complexes) est covergete vers ue limite a si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a a

Plus en détail

TS Exercices sur les limites de suites (1)

TS Exercices sur les limites de suites (1) TS Exercices sur les limites de suites () Soit u ue suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q. Das chacu des cas suivats, doer la limite de la suite u. ) u0 ; q ) u 0 ; q ) 0 4 ) u0 6 ; q )

Plus en détail

Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math. ; 9) U n = 2! ! U n.

Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math. ; 9) U n = 2! ! U n. Lycée secodaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math Exercice Das chacu des cas suivats, calculer la limite de la suite ( U ) lorsque + ) U = 3 + ; ) U = si π =

Plus en détail

TD1 - Suites numériques

TD1 - Suites numériques IUFM du Limousi 2008-09 PLC1 Mathématiques S. Viatier Exercices TD1 - Suites umériques Exercice 1 Soit α > 0, étudier la covergece des suites déies par u = ( ) 1 + si α, v = 3 + cos α ( ) 1 + α. 3 + Idicatio

Plus en détail

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE. Exercice. Ue suite de réels positifs qui coverge vers 0 est décroissate à partir d u certai rag. C est faux. Pour costruire u cotre-exemple, o pourrait cosidérer

Plus en détail

L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites numériques

L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites numériques L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites umériques Eocés Exercice Les assertios suivates sot-elles vraies ou fausses? Doer ue démostratio de chaque assertio vraie, et doer u cotre-exemple de chaque

Plus en détail

4 ème aée Maths Limites Cotiuité et dérivabilité Octobre 9 A LAATAOUI Eercice : La figure ci cotre est la représetatio graphique d ue foctio f défiie et cotiue sur IR O ote que (ζf) admet au voisiage de

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

STAGE DE MISE A NIVEAU EN MATHEMATIQUES

STAGE DE MISE A NIVEAU EN MATHEMATIQUES STAGE DE MISE A NIVEAU EN MATHEMATIQUES Les foctios racie carrée, valeur absolue ou partie etière Eercice Détermier la limite de + + quad ted vers Eercice Vérifier que ( 5) = 6 5 A-t-o l'égalité 6 5 =

Plus en détail

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand?

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand? Exercice : Détermier la limite de chaque suite (u ). a) u = si π b) u = () c) u = + d) 0,5 + cos(π) Exercice 2 : la costate d Apéry Pour tout etier, u = 3 + + 2 3 +. + 3 ) Doer u miorat de cette suite.

Plus en détail

Cours de Mathématiques : Polynômes et Suites

Cours de Mathématiques : Polynômes et Suites Uiversité de Cergy-Potoise Départemet de Mathématiques L MIPI - S2 205/206 Cours de Mathématiques : Polyômes et Suites - Polycopié d Exercices Chapitre : Nombres complexes Exercice a) Détermier la partie

Plus en détail

Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques et géométriques «I» : Suites arithmétiques 1/ Défiitio Suites arithmétiques et géométriques La suite (u ) est arithmétique de raiso r sigifie que : Pour tout etier aturel : u +1 = u + r Exemple : La suite ( ; 5 ; 8 ;

Plus en détail

Bac blanc TS Non spécialité maths L usage de la calculatrice est autorisé

Bac blanc TS Non spécialité maths L usage de la calculatrice est autorisé Bac blac TS No spécialité maths L usage de la calculatrice est autorisé EXERCICE : (5 poits) Le pla complee est rapporté au repère orthoormal direct (O ; u, v ) O cosidère le poit I d affie i et le poit

Plus en détail

Fiche 2 : Les fonctions

Fiche 2 : Les fonctions Nº : 300 Fiche : Les foctios Calculer des limites O commece par aalyser f (). Peut o directemet appliquer l u des théorèmes du cours (limites et opératios, théorèmes de comparaiso)? Das la égative, il

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. Archimède a défini dans les années 220 avant J.-C. deux suites permettant d'obtenir de très bonnes valeurs approchées de π.

SUITES NUMERIQUES. Archimède a défini dans les années 220 avant J.-C. deux suites permettant d'obtenir de très bonnes valeurs approchées de π. Quelques repères historiques SUITES NUMERIQUES Archimède a défii das les aées 220 avat J.-C. deux suites permettat d'obteir de très boes valeurs approchées de π. Héro d'alexadrie au premier siècle après

Plus en détail

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 206 Eocés Etude asymptotique de suites de solutios d ue équatio Exercice [ 02289 ] [Correctio] Soit u etier aturel et E l équatio x + l x = d icoue x R +.

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES SÉRIE S

BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES SÉRIE S Lycée Fraçais d Agadir Termiales SA SB 216-217 BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES SÉRIE S DUREE DE L EPREUVE : 4 HEURES Utilisatio de la calculatrice autorisée Ce sujet comporte 7 pages umérotées

Plus en détail

D.S. nº4 : Suites, Probabilités, Complexes, exponentielle. Samedi 15 décembre 2012, 3h, Calculatrices autorisées. Ce sujet est à rendre avec la copie.

D.S. nº4 : Suites, Probabilités, Complexes, exponentielle. Samedi 15 décembre 2012, 3h, Calculatrices autorisées. Ce sujet est à rendre avec la copie. D.S. º4 : Suites, Probabilités, Complexes, expoetielle TS1 Samedi 15 décembre 01, h, Calculatrices autorisées. Ce sujet est à redre avec la copie. Nom :.................... Préom :................. Commuicatio

Plus en détail

Cours I : SUITES NUMERIQUES. I Quelques rappels

Cours I : SUITES NUMERIQUES. I Quelques rappels Agrocampus Ouest ENIHP ère aée p. Cours I : SUITES NUMERIQUES / Défiitio I Quelques rappels Défiitio : Ue suite u est ue applicatio de l esemble N ou ue partie de N das R qui à chaque élémet de N associe

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths (TS) Suites numériques

Synthèse de cours PanaMaths (TS) Suites numériques Sythèse de cours PaaMaths (TS) Suites umériques Das ce chapitre, le terme «suite» désige ue suite umérique (c'est-à-dire, das le cadre du programme de Termiale S, ue suite de réels). Ue telle suite sera

Plus en détail

France métropolitaine Juin 2010 Série S Exercice 1. Restitution organisée de connaissances

France métropolitaine Juin 2010 Série S Exercice 1. Restitution organisée de connaissances Frace métropolitaie Jui 200 Série S Exercice Restitutio orgaisée de coaissaces Démotrer, à l aide de la défiitio et des deux propriétés cidessous que si ( u ) et ( v ) sot deux suites adjacetes, alors

Plus en détail

Chapitre 13 Comportement d une suite. Table des matières. Chapitre 13 Comportement d une suite TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 13 Comportement d une suite. Table des matières. Chapitre 13 Comportement d une suite TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 13 Comportemet d ue suite TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 13 Comportemet d ue suite Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1 2................................................

Plus en détail

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A AVRIL CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie A CORRIGE DE LA ère COMPOSITION DE MATHEMATIQUES Eercice. Calculer, e, la dérivée de : Arc ta( ) Soit f ( ) Arc ta( ), alors f ( ) Arc ta( )

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes UE7 - MA5 : Aalyse SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes I. Gééralités Défiitio Etat doée ue suite (u ) de ombres réels ou complexes, o appelle série de terme gééral u la suite (S ) défiie par : () S

Plus en détail

Suites. =3v n pour = 5.

Suites. =3v n pour = 5. Suites 1 Gééralités 11 Défiitio Défiitio : O appelle suite ue foctio sur N ou sur ue partie de N das R Exemples: Les foctios: u : +1 ; v : sot des suites Notatio : Soit u ue suite défiie sur D partie de

Plus en détail

Chapitre 5 : Suites classiques

Chapitre 5 : Suites classiques Chapitre 5 : Suites classiques Objectifs : Révisios sur les suites arithmétiques et géométriques. Révisio du théorème de croissace comparée. Savoir exprimer e foctio de les termes d ue suite récurrete

Plus en détail

1 ) si la suite (u n ) diverge, alors la suite ((u n) )... n... n+2

1 ) si la suite (u n ) diverge, alors la suite ((u n) )... n... n+2 Javier 06 ( heures et 30 miutes). a) Défiir: - sous-esemble fermé de IR et sous-esemble ouvert de IR - poit itérieur de A, sous-esemble o vide de IR ( pt.) b) Démotrer que si A est u esemble ouvert, alors

Plus en détail

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation).

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation). T ale S Chapitre. Résumé page 3.. Pricipe de récurrece. a. Exemple. 3 + 3 = + 8 = 9 = ( + ) 3 + 3 + 3 3 = + 8 + 7 = 36 = ( + + 3) O voudrait démotrer la propriété géérale : P() : quelque soit etier aturel

Plus en détail

TD n o 1 : suites numériques

TD n o 1 : suites numériques MAT232 : séries et itégrales gééralisées Uiversité Joseph Fourier 23-24 Greoble TD o : suites umériques Rappel importat : il existe u cours de L e lige, ititulé M@ths e Lge, à l adresse : http://ljk.imag.fr/membres/berard.ycart/mel/

Plus en détail

Août 2017 (1 heure et 45 minutes)

Août 2017 (1 heure et 45 minutes) Août 017 (1 heure et 45 miutes) 1. a) Soit A, sous-esemble majoré o vide de IR. Défiir: - poit d accumulatio de A - supremum et maximum de A (1 pt.) b) Compléter chaque lige du tableau suivat par u sous-esemble

Plus en détail

. En déduire la limite de f 1 en +. F 1 (x) = e 2 2 4

. En déduire la limite de f 1 en +. F 1 (x) = e 2 2 4 Atilles-Guyae septembre 5 EXERCICE 6 POINTS Commu à tous les cadidats 6 poits Soit u etier aturel o ul. O cosidère la foctio f défiie et dérivable sur l esemble des ombres réels par f (x) = x e x O ote

Plus en détail

Révisions d analyse (corrigé des indispensables).

Révisions d analyse (corrigé des indispensables). Révisios d aalyse (corrigé des idispesables). Limites des foctios de variable réelle à valeurs das ou.. a. La foctio f est le produit d e foctio borée sur ( a si ) et d e foctio qui ted vers 0 e 0 ( a

Plus en détail

I- Nombre dérivé de f en a

I- Nombre dérivé de f en a I- Nombre dérivé de f e a Défiitio 1: Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I, a I et h R* tel que a+h I f est dérivable e a I, si, et seulemet si, ( a + h) f ( a) Cette limite est le ombre dérivé de

Plus en détail

question-type-bac.fr

question-type-bac.fr BAC S 4 Mathématiques - Frace métropole Eseigemet spécifique et de spécialité Ce documet est bie plus qu u simple corrigé de sujet de baccalauréat. Grâce aux solutios claires et détaillées, aux démarches

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs Séries à termes positifs Das toute la suite N désigera les etiers aturels positifs 0,,,..., Z tous les etiers aturels...,,, 0,,, 3,... et Q les ombres ratioels. Efi R désigera les réels, et C les complexes.

Plus en détail

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin MVA101 - Aalyse et calcul matriciel 2012 2013 T. Horsi (thierry.horsi@cam.fr) Attetio: Ce documet est ue base de travail qui peut coteir des coquilles. Les zoes e bleus sot, de loi, hors programme, et

Plus en détail

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013 Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 202/203 ANALYSE 2 Fiche de Mathématiques 4 - Séries umériques Soit E u espace vectoriel sur le corps K = R ou C Pour toute famille fiie

Plus en détail

( ) ( ) ( ) ( 4) Terminale S Exercices sur le chapitre «Suites numériques» Page 1. deux nombres réels. Initialisation Récupérer la valeur de M

( ) ( ) ( ) ( 4) Terminale S Exercices sur le chapitre «Suites numériques» Page 1. deux nombres réels. Initialisation Récupérer la valeur de M Termiale S Exercices sur le chapitre «Suites umériques» Page Exercice : O cosidère la suite ( p ) défiie sur N par ) O cosidère l algorithme suivat : Variables u etier aturel et deux ombres réels Iitialisatio

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Eocés Calcul de limites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la limite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = +

Plus en détail

( 2) e x. x + d x. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

( 2) e x. x + d x. Donner une interprétation graphique de cette intégrale. EXERCICE : (6 poits) Commu à tous les cadidats Les deux parties de cet exercice sot idépedates. Partie A O cosidère l équatio différetielle (E) : y ' + y e x. ) Motrer que la foctio u défiie sur l esemble

Plus en détail

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites 12 Cours - Suites.b 1/11 Suites I) Gééralités 1) Défiitio 2) Notatio 3) Commet peut être défiie ue suite 4) Suites et ordre 5) Propriété vraie à partir d u certai rag 6) Exercice 7) Suites arithmétiques,

Plus en détail

) sur l axe des abscisses ( on tracera les droites d équations y = x et y = x + 1 )

) sur l axe des abscisses ( on tracera les droites d équations y = x et y = x + 1 ) Exercice Suites umériques u O cosidère la suite ( u ) défiie pour tout par u = et u = + u + O admettra que pour tout etier aturel, u >. a) Calculer u et u b) Cette suite est-elle arithmétique? Est-elle

Plus en détail

Exercices. Exercice 1 (Suites adjacentes) On considère les suites (u n ) n N et (v n ) n N définies par: 1 k u n = n 3, v n = u n + 1 n 1 2n 2

Exercices. Exercice 1 (Suites adjacentes) On considère les suites (u n ) n N et (v n ) n N définies par: 1 k u n = n 3, v n = u n + 1 n 1 2n 2 Exercices Exercice (Suites adjacetes) O cosidère les suites (u ) N et (v ) N défiies par: u 3, k3 k 2 + v u + 2 2 Motrer que (u ) N et (v ) N sot adjacetes. Exercice 2 Soiet les deux suites (u ) et (v

Plus en détail

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )]

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )] PC - DS N 6 - U corrigé Questios de cours QC..a L assertio a. est fausse. Par exemple, la suite + ted vers 0, alors que la série harmoique + est divergete. QC..b L assertio b. est vraie. Supposos que la

Plus en détail

Suites et limites. Chapitre Exercices. 1. Calcul des limites I. (r) Calculer. sin 1 2 n. (l) Calculer lim n( n 4 + 4n + 5 n 2 ).

Suites et limites. Chapitre Exercices. 1. Calcul des limites I. (r) Calculer. sin 1 2 n. (l) Calculer lim n( n 4 + 4n + 5 n 2 ). Chapitre Suites et ites Exercices Calcul des ites I (a) Calculer (b) Calculer (c) Calculer (d) Calculer (e) Calculer (f) Calculer (g) Calculer (h) Calculer (i) Calculer (j) Calculer (k) Calculer + + 4

Plus en détail

b) Par définition, ln 1 est le nombre dont l'exponentielle est 1. Or e = 1. Donc ln 1 = 0 2) Traduction de la définition.

b) Par définition, ln 1 est le nombre dont l'exponentielle est 1. Or e = 1. Donc ln 1 = 0 2) Traduction de la définition. Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page sur 2 I) Défiitio et propriétés algébriques : ) La foctio : Défiitio : La foctio logarithme épérie, otée, est la foctio défiie sur ;+ qui, à tout réel >

Plus en détail

b) Calculer la dérivée de la fonction. La fonction est dérivable sur comme quotient de deux fonctions dérivables sur.

b) Calculer la dérivée de la fonction. La fonction est dérivable sur comme quotient de deux fonctions dérivables sur. DST 6 Correctio Exercice 1 (5 poits) (Asie, jui 11) Le pla est rapporté à u repère orthoormal. 1) Étude d ue foctio. O cosidère la défiie sur l itervalle par. O ote la foctio dérivée de la foctio sur l

Plus en détail

i. En déduire une mesure de l angle ( BD, PΩ ).

i. En déduire une mesure de l angle ( BD, PΩ ). Polyésie septembre EXERCICE Pour chacue des propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse et doer ue démostratio de la répose choisie Ue répose o démotrée e rapporte aucu poit O cosidère la

Plus en détail

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Cours Termiale S La foctio logarithme épérie O a vu das u chapitre précédet que la foctio epoetielle est cotiue et strictemet croissate sur R et que l image de R par cette

Plus en détail

Exercices sur les fonctions trigonométriques réciproques

Exercices sur les fonctions trigonométriques réciproques Eercices sur les foctios trigoométriques réciproques O cosidère la foctio f défiie par f Arcta ) Détermier l esemble de défiitio D de f ) Simplifier l epressio de f pour D Idicatio : Poser y Arccos Soit

Plus en détail

x 0 h a (x) ln (2 a ) h a 2 a Justifier, par le calcul, le signe de h' a (x) pour x appartenant à ] 0 ; + [. b. Rappeler la limite de ln x x

x 0 h a (x) ln (2 a ) h a 2 a Justifier, par le calcul, le signe de h' a (x) pour x appartenant à ] 0 ; + [. b. Rappeler la limite de ln x x EXERCICE (6 poits) Commu à tous les cadidats Soit f la foctio défiie sur l itervalle ] ; + [ par f () = l Pour tout réel a strictemet positif, o défiit sur ] ; + [ la foctio g a par g a () = a O ote C

Plus en détail

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM Chapitre 2 Séries etières Cotets. Gééralités sur les séries etières 2.. Défiitio

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) une suite décroissante de réels telle que

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) une suite décroissante de réels telle que [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 7 août 07 Eocés Calcul asymptotique Comparaiso de suites umériques Eercice [ 08 ] [Correctio] Trouver u équivalet simple au suites u suivates et doer leur limite :

Plus en détail

Les suites réelles. Copyright Dhaouadi Nejib Dhaouadi Nejib

Les suites réelles. Copyright Dhaouadi Nejib Dhaouadi Nejib Les sites réelles Copyright Dhaoadi Nejib 009 00 http://wwwsigmathscocc Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page : Sites Réelles Das ce chapitre I désige l esemble des etiers 0 ( 0 N ) I Rappels et complémets

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k. Exo7 Suites et séries de foctios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

Partie B u. 4 Soit (u n ) la suite définie par : pour tout entier naturel n 0, u

Partie B u. 4 Soit (u n ) la suite définie par : pour tout entier naturel n 0, u Exercice 1 (6 poits) Commu à tous les cadidats O cosidère la foctio f défiie et dérivable sur l itervalle [ 0 ; + [ par : f (x) = 5 l ( x ± 3 ) x. 1. a. O appelle f ' la foctio dérivée de la foctio f sur

Plus en détail

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC1, groupe 1 Exposé 64

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC1, groupe 1 Exposé 64 Sylvai ETIENNE 3/4 IMAGE D UN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE, IMAGE D UN SEGMENT. CONTINUITE DE LA FONCTION RECIPROQUE D UNE FONCTION CONTINUE STRICTEMENT MONOTONE SUR UN INTERVALLE. Niveau : Complémetaire.

Plus en détail

Suites réelles ou complexes

Suites réelles ou complexes 3 Suites réelles ou complexes 3. Prérequis L esemble R des ombres réels est supposé costruit avec les propriétés suivates : c est u corps commutatif totalemet ordoé ; il cotiet l esemble Q des ombres ratioels

Plus en détail

France métropolitaine Enseignement spécifique

France métropolitaine Enseignement spécifique Frace métropolitaie 202 Eseigemet spécifique EXERCICE 3 (6 poits (commu à tous les cadidats Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie

Plus en détail

s'exprime en fonction de u 10. Calculer u n ). u et on étudie son signe. = 2. Déterminer le sens de variation de cette suite.

s'exprime en fonction de u 10. Calculer u n ). u et on étudie son signe. = 2. Déterminer le sens de variation de cette suite. Première S / mathématiques Préparatio Termiale S Mme MAINGUY Défiir ue suite umérique Sythèse Ê SUITES NUMÉRIQUES u s'exprime e foctio de Cette suite est défiie par u = f ( ) Ê par ue formule explicite

Plus en détail

Terminale S Chapitre 2 : Fonctions, continuité et TVI Page 1 sur 5 ( ) = ( )

Terminale S Chapitre 2 : Fonctions, continuité et TVI Page 1 sur 5 ( ) = ( ) Termiale S Chapitre : Foctios, cotiuité et TVI Page sur 5 Ce que dit le programme : Défiitio Soiet f ue foctio défiie sur u itervalle I de R et a = O dit que f est cotiue e a si lim f x f a O dit que f

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique

EXERCICES SUR LES SUITES NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique EXERCICE : EXERCICES SR LES SITES NMÉRIQES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique I) r désigat respectivemet le premier terme, le ième terme, la raiso et la somme des premier termes d ue suite arithmétique,

Plus en détail

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne.

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne. 1 Séries umériques Das toute cette sectio, si cela est pas précisé, E désigera l espace R m, m 1, et la orme euclidiee. 1.1 Gééralités Défiitio 1.1. Soit (x ) N ue suite de E et pour chaque N, o défiit

Plus en détail

Terminale S mai Exercice 2. On considère les complexes z 1 de. = est la droite d équation y = x. Exercice 3. On considère le point A d affixe

Terminale S mai Exercice 2. On considère les complexes z 1 de. = est la droite d équation y = x. Exercice 3. On considère le point A d affixe Termiale S mai 6 Cocours Fesic Calculatrice iterdite ; traiter eercices sur les 6 e h ; répodre par Vrai ou Fau sas justificatio + si boe répose, si mauvaise répose, si pas de répose, bous d poit pour

Plus en détail

CH5 Algèbre : Suites numériques

CH5 Algèbre : Suites numériques ème Scieces CH5 Algèbre : Suites umériques Décembre 9 A LAATAOUI I Présetatio des suites umériques : Défiitio d ue suite : Ue suite (u ) est ue foctio défiie sur l'esemble N qui à tout etier aturel associe

Plus en détail