Traitement du signal - généralités

Transcription

1 Cours de mthémtiques du sigl I - Les séries clssiques : ) Les défiitios : ritemet du sigl - géérlités Défiitio : Soit (u ) ue suite umérique et (s ) l suite des sommes prtielles : s O ppelle série de terme géérl (u ) que l'o ote : (s ) u i u lim i u i i i l limite (si elle eiste) de l suite Les u sot les termes de l série, l limite (si elle eiste) est l somme de l série... Remrque : Eemple : Si l suite (s ) coverge vers S lors : u S Si l suite (s ) diverge vers ou - lors l série est divergete vers ou - Si l suite (s ) ' ps de limite lors l série est ussi divergete Cosidéros l suite (u ) des omres impires qui est ue suite rithmétique de premier terme et de riso lors u. u i. Alors s u u ( ) et doc lims i i i i i i et l série est divergete.. Eemple : Cosidéros l suite géomètrique (u ) de premier terme et de riso q ( q ±) lors : i q u q et s q i q Si q < lors u et l série coverge q Si q > lors u et l série diverge Si q < lors u ' ps de limite et l série diverge Aée uiversitire Pge :

2 Cours de mthémtiques du sigl ) Propriétés : héorème : (i) Si u est covergete lors lim u (coditio écessire mis o suffiste) (ii) Si lim u lors l série u est divergete (iii) Si u et v sot covergetes lors : ( u v ) covergetes et ( ) u v u v et λu λ et u λu (λ R) sot (iv) Si, à prtir d'u certi rg, u v et si pour toutes vleurs de : u v lors (v) Si, à prtir d'u certi rg, u v w et si lors v u v u v u coverge lors ) et w u est covergete(si de plus pour toutes vleurs de u v w lors v w ) (vi) Si l suite (s ) des sommes prtielles est ue suite croisste mjorée lors coverge (si de plus coverge vers le même limite u covergete (ce ser le cs e prticulier pour les séries à termes positifs, uquel cs l croissce est ssurée) Remrque : les critères clssiques de covergece serot vus ultérieuremet ds le cours de mthémtiques... 3) Les séries solumet covergete : est Défiitio : Ue série u est solumet covergete si : u est ue série covergete Remrques : - toute série solumet covergete est évidemmet covergete - l coditio (vi) du théorème précédet doe ue coditio de covergece solue qui permet de coclure rpidemet ds l pluprt des cs, il suffir e effet de chercher u mjort (idépedt de ) des sommes prtielles s solumet covergete. Aée uiversitire Pge : i u i pour motrer que l série est

3 Cours de mthémtiques du sigl - Attetio : il eiste des séries covergetes mis o solumet covergetes... II - Les séries de foctios : ) Géérlités : Le terme géérl d'ue série peut dépedre de l vrile réelle. O lors ue série de foctios u ( ). Pour chque vleur de, o est rmeé à ue série umérique ordiire. Si, pour chque pprtet à u esemle D, u ( ) est covergete lors l série défiit D R ue foctio : f f( ) u( ) Eemple : Cosidéros l série de foctios : u ( ) défie sur R* lors pour chque vleur de (u ()) est ue série géomètrique de premier terme l foctio u () et de riso q. D'près l'étude fite u premier prgrphe l série géomètrique coverge pour q < c' est à dire pour > ( D ] ; [ ] ; [ ) Sur D o : f() u ( ) Remrque : Le terme géérl de l série est défii sur R* et l somme de l série sur D ] ; [ ] ; [ sous esemle de R* α Défiitio : O dit qu'ue série de foctios u ( ) est mjorle sur u domie D si et seulemet si il eiste ue série umérique covergete telle que : N D u ( ) α (e d'utres termes chque foctio u () est mjorée pr le terme costt d'ue série umérique covergete) Aée uiversitire Pge : 3

4 Cours de mthémtiques du sigl ) Propriétés héorème : (i) Si l série de foctios (u ()) est mjorle sur D sur lequel les foctios u () sot défiis et cotiues lors l série u ( ) est covergete sur D vers ue foctio f cotiue sur D (ii) Si f( ) u ( ) sur D et si les foctios u () sot défiies et dérivles et si l série u' ( ) est mjorle lors l série u' ( ) est covergete sur D vers f' foctio dérivée de f'( ) u' ( ) (iii) Si u ( ) est ue série de foctios cotiues et mjorle sur D lors u ( ) d est covergete et égle à : u ( ) d u ( ) d u ( ) d Remrque : Attetio cette iversio des symoles de sommtios 'est vlle que lorsque l série est mjorle... III - Clcul de quelques itégrles : ) Formules de trigoomètrie et lyse de fourier cos( ) cos cos si si cos( ) cos cos si si si( ) si cos cos si si( ) si cos cossi cos cos [ cos( cos( ) ] sisi [ cos( ) cos( ) ] si cos [ si( ) si( ) ] cos cos ² si² cos ² si ² cos ² ( cos ) ( cos ) et si² si si cos cos si ² ² cos( ϕ) vec t ϕ Aée uiversitire Pge : 4

5 Cours de mthémtiques du sigl ) cos pcosqd (p et q étt deu etiers) ) p#q cos pcosqd cos( p q) d cos( p q) d si( p q) si( p q) p q p q si( p q)( ) si( p q) si( p q)( ) si( p q) p q p q p q p q )pq# cos pcos qd pour p q cos pd cos pd d [ si p] [ ] [ si p( ) sip] p p c)pq cos ²pd cos cos d cos( ) d cos( ) d d d 3) sip siqd (p et q étt deu etiers) ) p#q sipsiqd cos( p q) d cos( p q) d si( p q) si( p q) p q p q si( p q)( ) si( p q) si( p q)( ) si( p q) p q p q p q p q sipsiqd pour p q )pq# si pd cos pd d [ sip] [ ] [ si p( ) sip] p p Aée uiversitire Pge : 5

6 Cours de mthémtiques du sigl si pd c)pq sisid cos( ) d cos( ) d d d 4) cos psiqd (p et q étt deu etiers) ) p#q sip cosqd si( p q) d si( p q) d cos( p q) cos( p q) p q p q cos( p q)( ) cos( p q) cos( p q)( ) cos( p q) p q p q p q p q si p cos qd pour p q )pq# si p cos pd si pd [ cos p] p c)pq sicos d sid si p cos pd Remrque : sip cosqd pour p et q quelcoque IV - Les foctios de vrile réelle à vleurs ds C ) Eemples : Vous coissez les foctios clssiques de R vers R mis o peut ussi défiir des foctios de R vers C (foctios de vrile réelle à vleurs complees) Eemple : f()e i cosisi est l plus clssique f()l-i(tsi) Aée uiversitire Pge : 6

7 Cours de mthémtiques du sigl Remrque : oute foctio de R vers C s'écrit sous l forme f()g()ih() où g et h sot deu foctios de R vers R g est l foctio prtie réelle et h l foctio prtie imgiire... ) Défiitio et clcul d'itégrles de foctio de R ds C : Pr défiitio si f est ue foctio de R vers C o pose : f( ) d g( ) d i h( ) d (g et h sot deu foctios réelles de l vrile réelle) Eemple : i e d cos d i sid [ si] i[ cos ] (si si ) i( cos cos ) i( ) i i e d [ ] [ ] ( ) i e i i e i e i i i ik e ik ik O utiliser fréquemmet : e d [ ] d'ue epoetielle ds R... formule logue u clcul de l primitive Aée uiversitire Pge : 7

8 Cours de mthémtiques du sigl Séries de Fourier I - Géérlités : ) Les séries de Fourier : Défiitio : O ppelle série de Fourier ou série trigoométrique toute série de foctios défiie pr : u (t) cos t si t pour tout élémet de N E tout poit t où l série coverge o ote S(t) s somme... S (t) cost si t cost si t Remrque : si l foctio S eiste lors elle est écessiremet périodique ) Des eemples : Eemple : Cosidéros l série de Fourier : u (t)cos tsi t Détermiez le domie de covergece D de cette série? Ett doé que lim u (t) vide! pour toute vleur de t réelle le domie de covergece D est cos t Eemple : Cosidéros l série de Fourier : u (t)! Détermiez le domie de covergece D de cette série? O remrque "imméditemet" que : (t) u cost pour tout t réel et que l série de!! terme géérl α! est ue série covergete vers e doc l série (u (t)) est mjorle et covergete sur R II - Développemet e série de Fourier d'ue foctio : Le prolème de l décompositio e séries de Fourier est l'iverse du précédet c'est à dire étt doé ue foctio périodique peut-o trouver ue série trigoométrique dot l somme est l foctio f doée... L répose géérle est NON... et oui vec certies coditios que l'o ppelle les coditios de Dirichlet Aée uiversitire Pge : 8

9 Cours de mthémtiques du sigl ) Les coefficiets : Soit (t) u sigl périodique, supposos qu'il eiste ue décompositio e série de Fourier de (t) mjorle lors : p (t) p cos pt p si pt doc (t)dt et doc : dt p cos ptdt p p p (t) dt si ptdt Soit u etier fié supérieur ou égl à : (t) cos tdt cos et doc : tdt (t) cos tdt costdt p p cos pt cos tdt p p si pt cos tdt Soit u etier fié supérieur ou égl à : (t) si tdt si tdt p p cos pt si tdt p p si pt si tdt si tdt et doc : (t) si tdt Remrque : Si f est développle e série de Fourier lors l série est uique Si (t) est pire les coefficiets sot uls e effet (t)si(t) est ue foctio impire itégrée sur ue période de plus (t) cos tdt e effet (t)cos(t) est ue foctio pire itégrée sur ue période Aée uiversitire Pge : 9

10 Cours de mthémtiques du sigl Si (t) est impire les coefficiets sot uls e effet (t)cost est ue foctio impire itégrée sur ue période de plus (t)si tdt e effet (t)sit est ue foctio pire itégrée sur ue période ) héorème de Dirichlet : Soit (t) u sigl périodique. Si (t) est de clsse C pr morceu sur R lors l série de Fourier coverge vers (t) si (t) est cotiue e t et vers ( (t ) (t )) si (t) 'est ps cotiue e t. Eemple : Défiitio : Si u sigl (t) est développle e série de Fourier lors : h (t) cos t si t est l ième hrmoique du sigl (>) 3) Des eemples : h (t) cos t si t est le fodmetl (t)- sur ]-,[ et (t) sur [,[, (t) est cotiue pr morceu sur [-,] et dérivle à guche et à droite e tout poit, d'utre prt (t) est impire doc tous les coefficiets sot uls. Si Si p est pir lors : p est impir lors 4 si t Doc (t) Remrque : p 4 ( ) ( ) Pour o otiet et p et doc :- 3 Eemple : (t) si tdt 5 p si 3t 3 si tdt : p 4 (p ) si 5t si( p )t p p ( ) p 4 cos t p Aée uiversitire Pge : cos ( ( ) (t)t² sur [-,], (t) est cotiue pr morceu sur [-,] et dérivle à droite et à guche e tout poit de plus (t) est pire doc les coefficiets sot uls... )

11 Cours de mthémtiques du sigl ² t²dt 3 t 4 4 t²cos tdt t si t cost cos ( ) près deu itégrtios pr prties successives permettt d'isser le degré de l prtie polyomile, o otiet lors : 4 4 (t) t² 4cos t cost cos 3t cos 4t... ( ) cos t Remrque : e pret des vleurs prticulières de t o otiet des sommes de séries clssiques... Eemple 3 : (t) t sur [-,], (t) est cotiue sur R et dérivle à guche et à droite e tout poit doc (t) vérifie les coditios de Dirichlet de plus (t) est pire doc les coefficiets sot uls... tdt t costdt Si p est pir lors: t costdt (cos ) (( ) p 4 Si p est impir lors: p (p ) (t) cost cos3t cos5t... cos(p )t (p ) 4) rsformtio de l'écriture de l'hrmoique de rg : ) (itégrtio pr prties) h (t) cos t si t A cos(t ϕ ) vec tϕ et A (t) pprît doc comme l somme : d'u terme costt qui représete l vleur moyee de (t) sur ue période d'ue ifiité de sigu siusoïdu de pulstios,,...,,... et d'mplitudes A,A,...,A,... qui sot les hrmoiques de rg L représettio e âtos des vleurs de A e foctio de est le spectre d mplitude du sigl. L représettio e âtos des vleurs de ϕ e foctio de est le spectre de phse du sigl 5) Forme complee d'ue série de Fourier : Aée uiversitire Pge :

12 Cours de mthémtiques du sigl it it it it e e e e (t) cost si t i vec : i it i it it it it e e c e ce ce c c ( i ) c- c ( i ) c c et ic ic et Ré(c ) et Im( c ) de plus : c ( i ) (t) cos tdt i c tous les cs, c'est à dire pour quelcoque etier reltif : ( i ) (t) cos tdt i (t) si td (t)si td (t)e (t)e it it dt dt doc ds c f(t) c (t)e e it it dt Z Remrques : Vous pouvez clculer les coefficiets de Fourier et OU clculer c sous forme complee à prtir de l formule précédete, le résultt est évidemmet idetique - A c et ϕ Arg( c ) III - Propriétés fodmetles : ) Formule de Prsevl : Si (t) u sigl périodique développle e série de Fourier (t) cost si t lors : (t)dt c c Démostrtio : it it (t)dt (t) c e dt c (t)e dt c c c c Remrque : cette formule trduit le fit que l'éergie du sigl est égle à l somme des éergies des hrmoiques... ) Quelques défiitios utilisées e électroique : c Aée uiversitire Pge :

13 Cours de mthémtiques du sigl Fcteur de forme d'u sigl : F f f f eff moy c u d'odultio : β c u de distriutio hrmoique : Z c c 3) Cs d'u sigl périodique de période quelcoque : Les coditios de décompositio de Dirichlet sot évidemmet idetiques sur [,] Soit (t) u sigl périodique défiissos le sigl t y(t) vec ω lors le sigl ω t t t y(t) est périodique e effet y (t ) y(t) lors : ω ω ω ω y (t) cost si t cos t si t et (t) y(tω) cosωt si ωt vec : t ω ( ) ( ) y(t)dt dt u du u du e post ω u t ω et du dt ω post y(t) cos tdt u t ω et du dt ω t cos tdt ω ω ( u) cosωudu ( u ) cos ωudu e post u t ω y(t) si tdt et t si tdt ω du dt o otiet filemet : ω ω ( u) si ωudu ( u) si ωudu e (t) dt Aée uiversitire Pge : 3

14 Cours de mthémtiques du sigl (t)cos ωtdt (t) si ωtdt et : (t) cosωt si ωt cos ωt si ωt vec Remrque : pr u clcul logue o otiet : c iωt (t)e dt et (t) c e Eemple : (t) si -5 t et (t)3 pour <t<5 ( ) Détermier l série de Fourier de (t). 5 (t)dt (t)dt 5 5 3dt (t)cos tdt cos tdt si t (t) si tdt si tdt cos t 5 5 p Pr coséquet si est pir lors et si est impire lors 6 ω iωt ( ) ( cos) ( ) 3 doc (t) 3 6 t 3t 5t si si si ) Séries de Fourier e cosius et sius : Le développemet d'u sigl périodique (t) e série de Fourier e cosius, est u développemet où seuls sot présets les termes e cosius. Pour oteir ce gere de développemet o décompose y(t) défiie pr y(t)(t) sur [,/] et y(t)(-t) sur [-/,] le sigl y(t) est lors pir ( ) il e reste doc que les coefficiets : (t) dt ; 4 (t)cos ωtdt et (t) cos ωt 4 Remrque : Pour ue décompositio e sius : (t) si ωtdt et (t) si ωt Aée uiversitire Pge : 4

15 Cours de mthémtiques du sigl Eemple : décomposer le sigl (t)si t e ue série de Fourier e cosius et ω ( et ) doc pour # si t cos tdt si t t si { ( ) ( t t )} ( ) ( ) ( ( ) est impir lors et si est pir lors ( 4 (t) cost cos4t... sur [,/] 4 ) ) 4 ( ) cos dt et doc ( t t ) cos( t t ) Si Aée uiversitire Pge : 5

16 Cours de mthémtiques du sigl Les séries de Fourier (D) I - O cosidère le sigl périodique (t) défii pr : (t) t Détermier so développemet e série de Fourier II - O cosidère le sigl périodique (t) défii sur ue période pr : (t) - t ) Détermier le développemet e série de Fourier du sigl (t) ) E déduire les vleurs des sommes des séries : p ( ) - et p p p p ( ) - III - O cosidère le sigl périodique (t) défii sur ue période pr : A (t) ) Détermier le développemet e série de Fourier du sigl (t) -A / t ) Clculer et représeter grphiquemet le spectre de ce sigl IV - O cosidère le sigl périodique (t) défii sur ue période pr : B (t) / t ) Détermier le développemet e série de Fourier du sigl (t) ) Clculer et représeter grphiquemet le spectre de ce sigl -B Aée uiversitire Pge : 6

17 Cours de mthémtiques du sigl V - O cosidère le sigl périodique (t) défii sur ue période pr : (t) E << t ) )Détermier le développemet e série de Fourier du sigl (t) ) Que deviet ce développemet lorsque ted vers? vers? ) Clculer et représeter grphiquemet le spectre de ce sigl VI - O cosidère le sigl périodique (t) défii sur ue période pr : ) Détermier le développemet e série de Fourier du sigl (t) /4 / 3/ t ) Clculer et représeter grphiquemet le spectre de ce sigl VII - O cosidère le sigl périodique (t) défii sur ue période pr : 3) Puissce de ce sigl t (t) cos ωt ) Détermier le développemet e série de Fourier du sigl (t) ) Clculer et représeter grphiquemet le spectre de ce sigl -/ -/4 /4 / 3) Puissce de ce sigl VIII - O cosidère le sigl périodique (t) si t ) Détermier le développemet e série de Fourier du sigl (t) ) Détermier le développemet se série de Fourier de s dérivée IX - O cosidère le sigl -périodique défii sur ue période pr : (t) X - O cosidère le sigl -périodique (t) défii de l mière suivte : ) Détermier, e utilist l ottio complee, le développemet e série de Fourier du sigl (t) ) Déduire du résultt précédet le fcteur de forme, de distorsio et d odultios. (t) Aée uiversitire Pge : 7

18 Cours de mthémtiques du sigl Détermier l série de Fourier de ce sigl /3 /3 t Aée uiversitire Pge : 8

19 Cours de mthémtiques du sigl L trsformée de Fourier I - Géérlités : ) Le produit de covolutio : Défiitio : Soiet (t) et y(t) deu sigu défiis sur R et à vleurs ds C, o ppelle produit de covolutio de pr y, l foctio, si elle eiste défiie pr : ( * y)(t) (t τ)y( τ) dτ Eemple : clculer le produit de covolutio de y(t) si t< et y(t) e -t pour t pr (t) si t<- ou t> et (t) pour - t (sigl rectgle) L foctio (t-τ) est le sigl trslté de t et symétrique du sigl rectgulire cetré à l origie. er cs : t < t < t- t t τ (t-τ)y(t) et (*y)(t) ième cs : t et t- t ( * y)(t) t- t t τ (t τ)y( τ)dτ t e τ dτ τ t t [ e ] e Aée uiversitire Pge : 9

20 Cours de mthémtiques du sigl 3 ième cs : t-> t > t- t t τ ( * y)(t) (t τ)y( τ)dτ Représettio de (*y)(t) : t t e τ dτ τ t t t [ e ] e e t - t Propriétés élémetires : O motre isémet à prtir de l défiitio que lorsque le produit de covolutio eiste : *yg*f *(y*z)(*y)*z *(yz)*y*z ) Des sigu prticuliers : ) Le sigl epoetiel : Il est défiit pr : (t) pour t< et (t)ce t pour t ) L'échelo uité : Il est défiit pr : Γ(t) pour t< et Γ(t) pour t Remrque : (t)ce t Γ(t) permet de défiir glolemet le sigl epoetiel Aée uiversitire Pge :

21 Cours de mthémtiques du sigl c) L'impulsio de Dirc : L'impulsio de Dirc 'est ps ue foctio à propremet prler mis ue "distriutio" qui u esemle plus vste que celui des foctios. O peut l défiir ituitivemet comme l limite lorsque ted vers d'u "sigl porte" défii pr : (t) pour t et (t) pour lequel : ( t) dt et lim ( t) pour t et lim ( t), o dmettr doc que t t l'impulsio de Dirc oté d est égl à l'ifii e, ulle illeurs et que δ( t) dt Remrques : - l'itégrle e sigifie rie u ses de Riem, puisque δ 'est ps ue foctio.. - o défiit δ(t-t ) comme le trslté de δ e t - o coviet de représeter ue impulsio de Dirc pr ue flèche verticl de logueur égle à Propriétés : (i) Pour toute foctio f idéfiimet dérivle : (t) δ (t)dt () et (ii) Pour tout etλ réel o ul : *δδ* Démostrtio : (i) (t) δ(t)dt lim (t) (t)dt lim t ( * δ)(t) (théorème de l moyee) δ(t τ)( τ)dτ lim ( * ) δ(t τ)( τ)dτ (t) ( t)dt lim (t) lim (t τ) ( (t )) t lim (u)du lim (t ) lim (t ) (t) cr t - t t t Remrque : δ(t) d Γ( t ) t et Γ(t) δ( t) dt dt (ii) *δ δ* résulte du résultt précédet et de l commuttivité de * lim (t ) () ( τ)dτ lim (t τ)dτ II - rsformtio de Fourier : ) Défiitio : Aée uiversitire Pge :

22 Cours de mthémtiques du sigl (i) Soit (t) ue foctio de R vers C telle que (t) dt < (sigl à éergie fiie) ; o ift ppelle trsformée de Fourier de (t), l foctio : F( )( f) $( f) ( t) e dt (ii) O ppelle trsformée de Fourier iverse de $ l foctio défiie pr : ift y( t) $( f) e df Remrques : - y(t)(t) si est cotiue e t, si f dmet ue limite à droite et à guche e t lors y(t) ( t ) ( t ) - L coditio (t) dt < est ue coditio suffiste d eistece de l trsformée de Fourier (héorème de Plcherel) elle implique e prticulier que : lim (t) t ± - De omreu sigu de crré o itégrle dmettet cepedt des trsformées de Fourier (sigu périodiques, impulsio de Dirc ) qui e sot plus des foctios clssiques mis des distriutios. - Le sigl (t) est ds le "domie" temporel et l trsformée de Fourier permet de voir le même sigl ds le "domie spectrl" ; cette trsformtio de multiples pplictios otmmet e élécommuictio... Eemple : Soit (t) défii pr : (t) si t> ou t<- et (t) pour - t lors : if if $( f ) e dt [ ] ( ) si si i f e e e i ft i ft if if e e f c(f) if if f si e défiisst l foctio sic(t) (sius crdil) pr : si c( ) (#) prologée pr cotiuité pr si c() Eemple : (t)e -t pour t et (t) pour t< F ( )( f ) e e dt e dt lim i f e i f cr t i f e tt e lim if t t ift t ift t ift t ift ) Propriétés et défiitios immédites : Soit (t) u sigl réel ou complee dmettt ue trsformée de Fourier lors : Aée uiversitire Pge :

23 Cours de mthémtiques du sigl i ft i ft (i) F()( f ) (t)e dt (t)e dt ( F()(f) ) (ii) F()(f ) ift ˆ(f ) (t)e dt (t)cos iftdt i (t) si iftdt ˆ(f )e iθ()(f ) $( f) est le spectre d mplitude du sigl θ( )( f ) est le spectre de phse du sigl 3) Propriétés de l trsformée de Fourier : (i) L trsformée de Fourier est liéire : Pour tous réels et et sigu et y :F(y)F() F(y) (ii) rsformée de Fourier et covolutio : Pout tous sigu et y : F(*y) F() F(y) (iii) rsformée de Fourier et dérivtio : Pour tout sigl fois dérivle : F( () )(ip f) F() E prticulier : F( ' ) (if)f() (iv) héorème du retrd : Pour tout sigl et tout réel : F((t-)) e -ip f F((t)) (v) Produit pr ue epoetielle : Pour tout sigl et tout réel : F((t)e -ip t )(f)f((t))(f)) (vi) Produit pr le temps : Pour tout sigl :F(t(t))- d( F( ))( f ) i df (vii) Chgemet d'échelle : Pour tout sigl et tout réel o ul : F((t)) F(f ) Démostrtio : (i) L liérité se motre simplemet e utilist l liérité de l'itégrle Aée uiversitire Pge : 3

24 Cours de mthémtiques du sigl (ii) ift ift ift [ ] [ ] if ( u v) ifv ifu ifv ifu [ ] [ ] F( * y)( f ) ( * y)( t) e dt ( t u) y( u) du e dt ( t u) e dt y( u) du $( f)$( y f) ( v) e dv y( u) du ( v) e dv e y( u) du ( v) e dv e y( u) du [ ] ift ift ift $'( f ) ' ( t) e dt (t) e i (t) e dt i (f) $ ift ift (iii) cr u' '( t) et v e lors u (t) et v' -ife (ité grtio pr prtie) et ift lim (t) e lim (t) cr l' itégrle (t ) dt est covergete Pr dérivtio successive o otiet l formule prévue (iv) i ft i f( u) i f i fu i f $( t )( f) ( t ) e du e du e e du e (u) (u) $( t)( f) cr u t - et t u (v) ( ) F ( ( t ) e it ))( f ) ( t) e i t i ft i t f e dt e (t) dt F ((t))( f) (vi) ift ( ) ift d( e ) df ( )( f ) d ( t ) e dt ift ( t) dt i t( t) e dt i F ( t( t )) df df df (vii) Défiitio : i f i ft F ( (t))(f ) (t)e dt (u)e u t lors du dt (iversio des ores u du suivt le sige de ) 3) Corréltio, reltio de Prsevl et dulité : ) Corréltio,desité spectrle d éergie : f (( t)) (i) O ppelle foctio d'itercorréltio de deu sigu réels et y de crré sommle : φy ( τ) (t)y( t τ) dt et foctio d'utocorréltio : φ ( τ) (t)(t τ) dt (ii ) O ppelle desité spectrle d éergie ou spectre d éergie du sigl réel l trsformée de Fourier de l foctio d utocorréltio: Remrques : Φ X (f) φ (t)e ift Aée uiversitire Pge : 4 dt

25 Cours de mthémtiques du sigl - L foctio d utocorréltio est pire e effet : φ ( τ) (t)(t τ)dt (u τ)(u)du φ - L vleur à l origie (τ) de l foctio d utocorréltio est égle à l éergie du sigl : φ () (t)(t)dt (t) ²dt W - D'près l défiitio du produit de covolutio : φ ( τ) ( τ)* y( τ) et φ ( τ) ( τ)* ( τ) y - Les foctios d iter et d uto-corréltio de sigu périodiques de période sot églemet périodique de même période Propriété fodmetle : Pour tout sigl : F (f) F((t))(f)) ² Ce qui peut s eprimer pr : l desité spectrle d éergie d u sigl est égle u crré du module de s trsformée de Fourier ( τ) E effet : Ö ( f ) F( φ ( τ))( f ) F ( ( τ) * ( τ))( f ) F( ( τ))( f ) F( ( τ))( f ) F( ( τ)) F( ( τ)) F ( ( τ))( f ) ) Reltio de Prsevl : Pour tous sigu à éergie fiie : D près l défiitio de l desité spectrle : φ ( ) ( f ) df W ( t) dt F Φ ( f ) df ifτ ( τ) F ( Φ (f))( τ) Φ (f )e dτ d utre prt : φ () (t)(t )dt (t) ²dt W etφ Aée uiversitire Pge : 5 i ( ) Φ (f )e f df Φ O otiet lors : W (t) dt Φ (f ) df or d près le prgrphe précédet : F ( ) (f ) df Remrques : Φ (f ) df filemet : W (t) dt F( ) (f ) df (f ) df Φ (f ) df - L éergie totle du sigl se clcule soit e itégrt s distriutio temporelle (t) ² ou e itégrt s desité spectrle d éergie : Φ (f) - De l reltio Φ ( f ) F()(f ) o e déduit que l desité spectrle d éergie est idépedte du spectre de phse, doc isesile, e vertu du théorème du retrd à toute trsltio du sigl sur l e des temps.

26 Cours de mthémtiques du sigl - L desité spectrle est ue foctio positive - L foctio d utocorréltio est pire pr coséquet l desité spectrle d eergie est ussi ue foctio réelle pire. c) Dulité : D près l défiitio de l trsformée de Fourier et de s réciproque o otiet le «Pricipe de dulité» : si F((t)) y(f) lors F (y(t)) (-f) Applictio du pricipe de dulité : F(.y) F()* F(y) 4) Les eemples fodmetu : ) rsformée d'ue feêtre rectgulire : ) rsformée des impulsios : rité e eemple : F ( Rect) si c( f) F( δ)(f) c) rsformée d'ue costte : e i ft δ(t)dt e if E toute rigueur, ue costte ' ps de trsformée de Fourier u ses des foctios puisque ue foctio costte 'est ps itégrle sur R, cepedt elle dmet ue trsformée de Fourier u ses des distriutios à svoir : Soit (t)e t itégrle sur R, lors lim ( t) pour tout t réel. $ ( f ) e e dt e e dt e dt e dt i f e i f e t ift t ift t ift t ift t ift t i ft i f or lim i f f pour f et lim f pour f de plus 4 4 df [ ] 4 f df f u du Arc u f df t vec u et du Pr coséquet : si désige l foctio costte égle à : F()δ Remrque : o otiet ce résultt de fço plus évidete pr dulité d) rsformée de l foctio sige : Aée uiversitire Pge : 6

27 Cours de mthémtiques du sigl L foctio sige est défiie pr : Sg(t) si t> et Sg(t)- si t<. De même que pour l foctio costte, il 'y ps de trsformée de Fourier u ses des foctios cepedt l démrche d'pproimtio précédete peut être utilisée et o otiet pr u clcul logue : F(Sg(t)) i f e) rsformée de l'échelo : L'échelo oté Γ(t) est défii pr : Γ(t) si t< et Γ(t) si t. De même que pour l foctio costte ou l foctio sige, il 'y ps de trsformée de Fourier u ses des foctios cepedt Γ(t) Sg( t) doc pr liérité et d'près le clcul précédet : F(Γ(t)) F(sg(t)) F() δ if F(Γ(t)) if δ f) rsformée du sigl hrmoique : - Commeços pr détermier l trsformée de Fourier de (t)e i f t : F((t))(f) F(e i f t )(f) F()(f-f ))δ f f - Le résultt de ce clcul et les formules d'euler permettet d'écrire : F(cos(f t) F e e ift ift δ δ filemet : f f f f F(cos(f t)) δ δ f f f f st g) rsformée de : (t)e Γ( t ) (s est réel ou complee) s t i ft s t i ft e e dt e s i f ce clcul 'est possile que pour if s F((t))(f ) Réel(s )< fi que l limite e soit ulle. Remrque : Ds le cs ou Réel(s ) (s if ) - Si est réel strictemet positif : F(e i f t Γ(t))(f) F(Γ(t))(f-f )) i ( f f ) δ(f f ) Aée uiversitire Pge : 7

28 Cours de mthémtiques du sigl - Si est réel strictemet positif : F(e t Γ(t))(f) if F(e t if cos (f t) Γ(t))(f) ( i f ) ( f ) Remrque : les trsformées de omreu utres sigu se clculet à prtir des foctios fodmetles et des propriétés... Aée uiversitire Pge : 8

29 Cours de mthémtiques du sigl 5) leu récpitultif : Sigl rsformée de Fourier Commetire δ(t) Le sigl est ps ue foctio δ () (t) (if) Le sigl est ps ue foctio ² ( f)² e t e t e f L trsformée de Fourier eiste que pour > Sigl Gussie δ(f) rsformée de Fourier u ses des Sg(t) e i f t if distriutios rsformée de Fourier u ses des distriutios δ(f-f ) rsformée de Fourier u ses des distriutios Le sigl est le peige de Dirc rsformée de Fourier u ses des distriutios rsformée de Fourier u ses des distriutios δ( t ) δ( f ) cos(f t) δ( f f) δ( f f) si(f t) δ( f f) δ( f f) i i Rect(t/) sic(f) Feêtre rectgulire sic(t)sit/t f sic(f t) Rect(f/f ) Γ(t) e st Γ(t) δ(f ) if if s e -t Γ(t) i f te -t Γ(t) i f ² ( ) f si(f t) Γ(t) [ δ(f f ) δ(f f )] e i f t e -t si(f t) Γ(t) e -t cos(f t) Γ(t) f ² f ² Γ(t) δ( f f ) 4i i f f ( ) f i f ( f ) ( if ) (f ) f rsformée de Fourier u ses des distriutios rsformée de Fourier u ses des distriutios L trsformée de Fourier eiste u ses des foctios pour Re(s)< (s est u complee) L trsformée de Fourier eiste u ses des foctios pour > ( réel) L trsformée de Fourier eiste u ses des foctios pour > ( réel) rsformée de Fourier u ses des distriutios rsformée de Fourier u ses des distriutios L trsformée de Fourier eis te u ses des foctios pour > ( réel) L trsformée de Fourier eiste u ses des foctios pour > ( réel) rsformtio de fourier (D) Aée uiversitire Pge : 9

30 Cours de mthémtiques du sigl I ) O cosidère le sigl (t) défii pr : (t) si t > et (t) si t Détermier à prtir de l défiitio le produit de covolutio * ) E déduire l trsformée de Fourier du sigl : II - O cosidère les sigu (t) et y(t) défiis de l mière suivte : - (t) t - y(t) t - Clculer les trsformées de Fourier de (t) et de y(t). III - Clculez e utilist les propriétés clssiques, les trsformées de Fourier de : t t t t te e t t² ; t t² ; ( t²) ; si ; ; si t IV - Clculer les produits de covolutio suivts : t t ) ² t² * ² t² ; si * si t t ) (t) * (t) lorsque (t) 3) h(t) e t - t - e e t -. Aée uiversitire Pge : 3

31 Cours de mthémtiques du sigl V - Soit (t) e -t Ã(t) z(t)(t)-(-t) (>) où Γ(t) est l échelo uité et soiet les sigu y(t)(t)(-t) ) ) Détermiez les grphes et les trsformées de Fourier de, y et z cosωt t siωt ) E déduire l vleur des itégrles : dt; dt; t² t² ) Détermier l foctio d utocorréltio φ 3) Clculer l desité spectrle d éergie de (t) et verifier l formule : F ( ) (f ) Ö (f ) VI - O cosidère les sigu et y défiis pr : [, [ -t -t (t) e et y(t) e pour vec > ) Clculer l foctio d itercorréltio : φ y et le produit de covolutio *y ) Clculer l desité iterspectrle d éergie des sigu et y, c est à dire clculer l trsformée de Fourier de l foctio d itercorréltio de et y VII - Motrez qu u sigl (t) et (t-t ) ot l même foctio d utocorréltio... Aée uiversitire Pge : 3

32 Cours de mthémtiques du sigl - ABLE DES MAIERES - RAIEMEN DU SIGNAL - GENERALIES... I - Les séries clssiques :... ) Les défiitios :... ) Propriétés :... 3) Les séries solumet covergete :... II - Les séries de foctios :... 3 ) Géérlités :...3 ) Propriétés...4 III - Clcul de quelques itégrles :... 4 ) Formules de trigoomètrie et lyse de fourier...4 ) cos pcosqd 3) sip siqd 4) cos psiqd (p et q étt deu etiers)...5 (p et q étt deu etiers)...5 (p et q étt deu etiers)...6 IV - Les foctios de vrile réelle à vleurs ds C... 6 ) Eemples :...6 ) Défiitio et clcul d'itégrles de foctio de R ds C :...7 SERIES DE FOURIER... 8 I - Géérlités :... 8 ) Les séries de Fourier :...8 ) Des eemples :...8 II - Développemet e série de Fourier d'ue foctio :... 8 ) Les coefficiets :...9 ) héorème de Dirichlet :... 3) Des eemples :... 4) rsformtio de l'écriture de l'hrmoique de rg :... 5) Forme complee d'ue série de Fourier :... III - Propriétés fodmetles :... ) Formule de Prsevl :... ) Quelques défiitios utilisées e électroique :... 3) Cs d'u sigl périodique de période quelcoque :...3 4) Séries de Fourier e cosius et sius :...4 LES SERIES DE FOURIER (D)... 6 LA RANSFORMEE DE FOURIER... 9 I - Géérlités :... 9 ) Le produit de covolutio :...9 ) Des sigu prticuliers :... II - rsformtio de Fourier :... ) Défiitio :... ) Propriétés et défiitios immédites :... 3) Propriétés de l trsformée de Fourier :...3 3) Corréltio, reltio de Prsevl et dulité :...4 4) Les eemples fodmetu :...6 5) leu récpitultif :...9 RANSFORMAION DE FOURIER (D)... 9 Aée uiversitire Pge : 3

33 Cours de mthémtiques du sigl Aée uiversitire Pge : 33