PCSI Les Ulis COURS Systèmes Linéaires Continus Invariants

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1 PCSI Les Ulis COURS Sysèmes Linéaires Coninus Invarians Modélisaion des Sysèmes Linéaires Coninus Invarians SOMMAIRE INTRODUCTION A L AUTOMATISME ET AUX SYSTEMES ASSERVIS 2. INTRODUCTION A L AUTOMATISME 2.2 NOTION DE COMMANDE 2.3 SYSTEME ASSERVI 2.4 PERFORMANCES D UN SYSTEME ASSERVI 3 2 PRESENTATION SLCI : 5 2. SYSTEMES LINEAIRES : SYSTEME CONTINU : SYSTEME INVARIANT : SYSTEMES NON LINEAIRES: 6 3 REPRESENTATION DES SLCI: 6 4 ENTREES TYPES 7 5 TRANSFORMATION DE LAPLACE: 7 5. TRANSFORMEE DE LAPLACE : A QUOI ÇA SERT? DEFINITION: PROPRIETES DE LA TRANSFORMEE DE LAPLACE: TRANSFORMEES DE FONCTIONS COURANTES: 9 6 FONCTION DE TRANSFERT D'UN SYSTEME: 6. GENERALITES 6.2 INTERET ERREUR! SIGNET NON DEFINI. 6.3 FONCTION DE TRANSFERT EN BOUCLE FERMEE D'UN SYSTEME ASSERVI: FONCTION DE TRANSFERT EN BOUCLE OUVERTE: 2 7 OPERATIONS SUR LES SCHEMAS BLOCS: 3 7. ÉLEMENTS DE BASE FONCTION DE TRANSFERT EN SERIE: FONCTION DE TRANSFERT EN PARALLELE: DEPLACEMENT D'UNE JONCTION: DEPLACEMENT D'UN SOMMATEUR: CAS DES SYSTEMES PERTURBES 4 8 SYSTEMES LINEAIRES FONDAMENTAUX: 5 8. FONCTION DE TRANSFERT REPONSE A UN ECHELON REPONSE A UNE IMPULSION REPONSE A UNE RAMPE 2 9 IDENTIFICATION D UN MODELE DE COMPORTEMENT A PARTIR D UNE REPONSE A UN ECHELON PRINCIPE IDENTIFICATION D UN PREMIER ORDRE NON RETARDE IDENTIFICATION D UN PREMIER ORDRE RETARDE IDENTIFICATION PAR UN 2 EME ORDRE APERIODIQUE IDENTIFICATION PAR UN 2 EME ORDRE PSEUDOPERIODIQUE 26 ANALYSE HARMONIQUE 27. PPRINCIPES 27.2 LIEUX DE TRANSFERT 28.3 PREMIER ORDRE 3.4 IDENTIFICATION D UN MODELE DU PREMIER ORDRE A PARTIR DE LA REPONSE HARMONIQUE 32.5 REPONSE HARMONIQUE D UN MODELE DU DEUXIEME ORDRE 33.6 IDENTIFICATION D UN MODELE DU DEUXIEME ORDRE A PARTIR DE LA REPONSE HARMONIQUE 36 Sciences Indusrielles our l Ingénieur Page

2 PCSI Les Ulis COURS Sysèmes Linéaires Coninus Invarians Inroducion à l auomaisme e aux sysèmes asservis. Inroducion à l auomaisme Différens yes d auomaismes : Sysèmes binaires, sysèmes coninus Dans le cadre du rogramme, deux rinciales sources d informaions conduisan à des aries commandes différenes e donc des modélisaions différenes seron éudiées : Enrées - Sories Logique ( ou ) Analogique Sysème combinaoire Sysème séqueniel Sysème asservi Relaion enrées sories A une combinaison de l éa des enrées corresond une unique A une combinaison de l éa des enrées corresond lusieurs La sorie du sysème évolue de façon coninue en foncion du niveau de combinaison de l éa des combinaisons de l éa des la grandeur d enrée sories (indéendammen sories (indéendammen du ems) du ems).2 Noion de commande Sysème de commande en chaîne direce : Un sysème foncionne en chaîne direce s il n y a as de conrôle sur la manière don la consigne a éé exécuée. Perurbaion : Une erurbaion es une aure cause agissan sur le sysème. C es une grandeur d enrée qui n es as conrôlée. Sysème de commande en chaîne fermée : Un sysème foncionne en boucle fermée si une mesure de la sorie es réalisée afin de la comarer à la consigne e d agir en conséquence..3 Sysème asservi Définiion d un sysème asservi Un sysème asservi es un sysème bouclé dans lequel la grandeur de reour es comarée à la grandeur d enrée ar élaboraion d un signal, aelé écar. Ce signal écar es adaé e amlifié afin de commander la arie oéraive. Un sysème asservi eu êre défini en rois oins : C es un sysème à reour : L évoluion de la grandeur de sorie es surveillée au moyen d un caeur qui la ransforme en une grandeur image aelée reour. Cee grandeur image doi êre de la même naure que la grandeur d enrée. C es un sysème généraeur d écar : La grandeur de reour, image de la sorie, es comarée à la grandeur d enrée ar élaboraion de la différence ou écar. C es un sysème amlificaeur : L écar es une grandeur d auan lus faible que la sorie es roche de l enrée e devien alors insuffisan our mainenir un signal de commande en sorie. L écar es donc, dans la luar des cas, amlifié e adaé. Srucure d un sysème asservi Un sysème asservi eu êre modélisé ar le schéma bloc suivan : Consigne + - Ecar ε Correceur Acionneur Effeceur Sorie mesure Caeur Figure : Schéma bloc d'un sysème asservi Sciences Indusrielles our l Ingénieur Page 2

3 PCSI Les Ulis COURS Sysèmes Linéaires Coninus Invarians Régulaeur ou sysème suiveur Une REGULATION es un sysème asservi desiné à mainenir en sorie une grandeur consane our une consigne consane (régulaion en eméraure d une enceine, régulaion en viesse d un moeur). Un Sysème SUIVEUR, es un sysème asservi don la consigne varie dans le ems. L objecif de ce sysème es d ajuser en ermanence le signal de sorie au signal d enrée. (radar de oursuie, fusée, )..4 Performances d un sysème asservi En foncion du régime du sysème (ransioire ou ermanen), il es ossible de définir quare crières ermean de mesurer les erformances d un sysème asservi suivan le oin de vue de l uilisaeur. Précision La récision qualifie l aiude du sysème à aeindre la valeur visée. Elle es caracérisée ar l écar enre la valeur visée e la valeur effecivemen aeine ar la grandeur de sorie. L écar évenuel s exrime dans la même unié que la grandeur de sorie. Ecar saique ε s Ecar dynamique εv e o e() s() écar ε s e() s() Ecar ε v O Le sysème es en mode régulaion (enrée fixe). On défini alors l'écar saique ε s comme l'écar enre la consigne fixe e e la réonse s() en régime ermanen. O Encore aelé écar de raînage ou écar de oursuie, il rerésene la différence enre la consigne variable e la réonse en régime ermanen. Raidié La raidié es caracérisée ar le ems que me le sysème à réagir à une variaion brusque de la grandeur d enrée. Ceendan la valeur finale éan le lus souven s aeine de manière asymoique on reien alors comme rincial crière d évaluaion de la raidié d un + n% sysème, le ems de réonse à n% (en raique le ems de réonse à 5%). -n% C es le ems mis ar le sysème our aeindre sa valeur de régime ermanen à ±5% rès e y reser. O n% Sciences Indusrielles our l Ingénieur Page 3

4 PCSI Les Ulis COURS Sysèmes Linéaires Coninus Invarians Sabilié Un sysème es insable si la grandeur de sorie ne converge as vers une valeur consane our une consigne consane e en absence de oue erurbaion. Oscillan non amori - Comoremen INSTABLE Non oscillan Comoremen INSTABLE bien amori ; sable Amorissemen L amorissemen es caracérisé ar le raor enre les amliudes successives des oscillaions de la sorie. Plus ces oscillaions s aénuen raidemen, lus le sysème es amori. sysème eu amori sysème foremen amori sysème bien amori Pour caracériser la qualié de l amorissemen on eu reenir deux crières : le aux de déassemen, qui caracérise l amliude maximale des oscillaions, le ems de réonse à 5 % qui corresond au ems de sabilisaion du sysème. s D.5.95 Il es à noer que our ceraines alicaions (l usinage ar exemle) un comoremen oscillan n es as auorisé e ou déassemen es inacceable. O 5% Comoremen d un sysème asservi Ces différens asecs, récision, raidié, sabilié e amorissemen, son éroiemen liés. En fai, la raidié d un rocessus es limiée ar l inerie rore du sysème. On ne eu donc esérer rendre lus raide le rocessus qu en agissan sur la loi de commande. Par exemle, si la loi de commande es de la forme u = K.ε, en renan K rès grand la réacion sera rès raide, mais euêre disroorionnée, d où un risque d insabilié du sysème. C es ce qui eu se asser lorsque l on donne des cous de volans ro brusques our recifier la rajecoire d un véhicule subissan des rafales de ven laéral. On s aerçoi égalemen que la récision es liée à l inensié de la commande. En suosan le sysème sable, si la commande es ro molle (K ei), l écar a endance à s accroîre (le véhicule a endance à s éloigner de la rajecoire désirée), ar conre si la commande es lus ferme (K grand), l écar diminue (les erurbaions dues au ven son "gommées"). Il faudra chercher un bon comromis uisque la boucle de reour du sysème asservi erme d améliorer la récision e la raidié mais eu nuire à la sabilié. Ceci nécessiera l inroducion dans la chaîne d élémens «correceurs» our obenir les erformances souhaiées Sciences Indusrielles our l Ingénieur Page 4

5 PCSI Les Ulis COURS Sysèmes Linéaires Coninus Invarians 2 Présenaion SLCI : Un sysème linéaire es rerésené sous la forme de schémas-blocs, les enrées (Causes) éan siuées généralemen à gauche e les sories (Effes) à droie. L inérieur du bloc conien une descriion du sysème éudié (Foncion de ransfer). e ( ) s ( ) SYSTEME LINEAIRE e n () () s k Cause Foncion de ransfer Effe Remarque : Dans les cas réels, k n, on arle alors de sysème causal: la cause e() récède l'effe s(). 2. Sysèmes linéaires : Un sysème es di linéaire si la foncion qui le décri es elle-même linéaire. Cee dernière vérifie alors le rincie de roorionnalié e de suerosiion: -Proorionnalié : Si s() es la réonse à l enrée e() alors λs() es la réonse à λe(). e() Sysème linéaire s() λ.e() Sysème linéaire λ.s() -Suerosiion : e () Sysème linéaire s () e 2 () Sysème linéaire s 2 () e () + e 2 () Sysème linéaire s () + s 2 () 2.2 Sysème coninu : Un sysème es coninu, ar oosiion à un sysème discre, lorsque les variaions des grandeurs hysiques le caracérisan son des foncions à ems coninu e que l on eu donc définir ces grandeurs à ou insan. On arle aussi dans ce cas de sysème analogique. La luar des sysèmes hysiques, du oin de vue macroscoique, son coninus. Un sysème informaique ar conre a besoin d un ems non nul our réaliser un raiemen de l informaion. On ne eu donc as le qualifier de sysème coninu, il ne eu que raier des échanillons des signaux coninus qui lui son soumis, on arle dans ce cas de sysème échanillonné. Sciences Indusrielles our l Ingénieur Page 5

6 PCSI Les Ulis COURS Sysèmes Linéaires Coninus Invarians 2.3 Sysème invarian : Un sysème es di invarian si on suose que les caracérisiques du sysème (masse, dimensions, résisance, imédance, ) ne varien as au cours du ems ("le sysème ne vieilli as"). Si s() es la réonse à l enrée e() alors s(-τ) es la réonse à e(-τ). 2.4 Sysèmes non linéaires: 2.4. Commen raier les non linéariés La luar des sysèmes hysiques ne son as linéaires sur oue la oalié de leur domaine d alicaion. Ceendan dans de nombreux cas, ils ne son uilisés que sur une lage réduie de leur domaine. Sous ces condiions, il es ossible en général d arocher le comoremen ar un modèle linéaire. Le sysème es di alors linéarisé Quelques non linéariés remarquables Les sysèmes réels résenen des non linéariés. Voici quelques cas rès courammen observés : Dénominaion Sauraion Seuil Hysérésis Schéma Exemles Buée mécanique, aimanaion, moeur élecrique Froemen Jeux mécaniques, maériaux (élasomère) 3 Rerésenaion des SLCI: En réalié, les sysèmes qu'on éudiera ne son ni coninus (oin de vue microscoique), ni invarians (vieillissemen), ni linéaires. En faisan des hyohèses simlificarices, on se ramène à ce cas, c'es-à-dire à des sysèmes don le comoremen eu êre rerésené ar des équaions différenielles à coefficiens consans: a d n s ( ) n n d a s( ) = b d m e ( ) m b e( ) m d Sciences Indusrielles our l Ingénieur Page 6

7 PCSI Les Ulis COURS Sysèmes Linéaires Coninus Invarians Deux modèles de sysèmes fondamenaux son à éudier dans le cadre des classes réaraoires : ds( ) o les sysèmes du remier ordre : τ + s() = K e() d 2 d s( ) ds( ) o les sysèmes du deuxième ordre : + 2 m ω 2 + ω 2 s() = K ω 2 e() d 4 Enrées Tyes d Foncion de Dirac (ou imulsion unié) δ(): δ() =, Cee foncion rerésene une acion s'exerçan endan un ems rès cour. Foncion échelon unié u(): u() = si < e u() = si δ() u() remarque : la réonse à l échelon unié es aelée réonse indicielle. Foncion rame de ene uniaire: f() = si < e f() = si donc f() =.u() Foncion sinusoïdale: f() = sin ω. u() f() f() 5 Transformaion de Lalace: 5. Transformée de Lalace : A quoi ça ser? Il s agi d une méhode de résoluion lus simle our résoudre les équaions différenielles : Afin de simlifier l'éude du modèle dynamique, on a recours à une ransformaion mahémaique qui va remlacer la résoluion de l'équaion différenielle ar l'éude d'une fracion olynomiale : la ransformée de Lalace. Méhode classique : Equaion différenielle avec second membre Equaion sans second membre Comosane ransioire Soluion oale Equaion ariculière Comosane ermanene Sciences Indusrielles our l Ingénieur Page 7

8 PCSI Les Ulis COURS Sysèmes Linéaires Coninus Invarians Méhode ar les ransformées de Lalace : Equaion différenielle avec second membre Transformaion de Lalace Equaion algébrique Condiions iniiales Décomosiion en formes «ye» Ecriure sous forma ye Transformaion de Lalace inverse Soluion oale Cee ransformaion va ermere de simlifier l équaion différenielle qui régi le sysème. Remarque : Dans la raique, on ne calcule que les ransformées de Lalace de foncions causales c'es-à-dire elles que f() = our <. Ces foncions f rerésenen des grandeurs hysiques: inensié, eméraure, effor, viesse, 5.2 Définiion: La ransformée de Lalace de la foncion f() es noée F() = L [f()]. Avec : es une variable comlexe. =a+jb f() es inégrable f() croi mois vie q une exonenielle Condiions de Heaviside : On di qu une foncion du ems f() vérifie les condiions de Heaviside si elle vérifie : + f ( ) = ' + f ( ) = '' + f ( ) =, Proriéés de la ransformée de Lalace: 5.3. Proriéés générales :, c es à dire si les condiions iniiales son nulles - Unicié: à f() corresond F() unique, à F() corresond f() unique. - Linéarié: L [f () + f 2 ()] = L [f ()] + L [f 2 ()] = F () + F 2 () L [λ f()] = λ L [f()] = λ F() -Transformée de la dérivée: Pour cela, inégrons ar arie : ' ' ' L f ( ) = e f ( ) d = e f ( ) ( e ) f ( ) d f() [ ] + + = e f ( ) d f ( ) = L f ( ) f ( ) Car la foncion f() es inégrable. Ainsi, nous avons de même, avec la même démarche : [ ] [ ] + ( ) = ( ) ( ) ' L f L f f L F() = '' 2 + ' + L f ( ) = L f ( ) f ( ) f ( ) e f ( ) d Sciences Indusrielles our l Ingénieur Page 8

9 PCSI Les Ulis COURS Sysèmes Linéaires Coninus Invarians Dans les condiions de Heaviside, une dérivaion dans le domaine emorelel revien à une mulilicaion ar dans le domaine symbolique de Lalace. -Transformée de l'inégrale: L [ f (u)du] = L [ f (u)du] = F() + g + ( ) -Théorème du reard: f() f(-τ) L [f(-τ)] = e f ( τ)d = L L [f(-τ)] = e -τ F() τ Théorème de la valeur iniiale: Ce héorème erme de déerminer la valeur iniiale du sysème. lim f ( ) = lim F( ) Théorème de la valeur finale: lim f ( ) = lim F( ) Remarque: ces deux derniers résulas n'on de sens que si les limies exisen. Remarque2: faire aenion au dans les héorèmes récédens. Ne as l oublier! Transformée de Lalace inverse : La ransformaion inverse de Lalace es définie ar une inégrale de conour que nous n aborderons as an elle déasse le cadre de ce cours. Nous nous conenerons d une méhode beaucou lus élémenaire car, dans la raique, il es rare d avoir à recourir au calcul de cee inégrale. Les ransformées de Lalace, renconrées dans la résoluion d équaions différenielles linéaires à coefficiens consans, son des fracions raionnelles en s. Il nous suffi donc de décomoser ces fracions raionnelles en élémens simless e d idenifier chaque erme obenu à des ransformées de foncions usuelles. La ransformaion de Lalace éan linéaire, la ransformaion inverse d une fracion raionnelle es ou simlemen égale à la somme des ransformaions inverse de chaque élémen de la décomosiion en élémens simles de cee fracion. 5.4 Transformées de foncions couranes: Concrèemen, our raiquer la ransformée de Lalace d une foncion courane, on ne la recalcule as à chaque fois, mais on se réfère au documen qui sui, dans lequel figuren la luar des ransformées de Lalace uilisées courammen. Remarque u(), la foncion échelon, es une foncion elle que Hyohèse qui nous erme d êre sûr de ravailler dans R+, condiion nécessaire our l alicaion des ransformées de Lalace. Sciences Indusrielles our l Ingénieur Page 9

10 PCSI Les Ulis COURS Sysèmes Linéaires Coninus Invarians Tableau des ransformées de Lalace usuelles f()u() F() f()u() F() K K cos( ω ) + ω K K sh( ω ) ω 2 ω a e ch( ω ) + a ω n a n e e τ sin( ω ) n! a e sin( ω ) n + ( + τ) n! ( a ) n+ ω ω 5.4. Foncion de Dirac (ou imulsion unié) δ(): e a ( ) cos( ω ) ar définiion δ() =, Cee foncion rerésene une acion s'exerçan endan un ems rès cour. δ ω ( + a) + ω + a ( + a) + ω δ = d'où L [δ()] = [ e ] ( d ) = L [δ ()] = Foncion échelon unié u(): u() = si < e u() = si L [u()] = e u()d = d e = e Foncion rame de ene uniaire: f() = si < e f() = si donc f() =.u() L [u ()] = df = u() L [.u()] = d U () f () + L [.u()] = Foncion sinusoïdale: f() = sin ω. u() F() = e sinω d qu'on inègre ar aries en osan du = sin ω d e v = e Foncion exonenielle: f() = e -a. u( L [sin ω.u()] = 2 ω + ω 2 L [e -a.u()] = + a Sciences Indusrielles our l Ingénieur Page

11 PCSI Les Ulis COURS Sysèmes Linéaires Coninus Invarians 6 Foncion de ransfer d'un sysème: 6. Généraliés noaion : Dans le domaine symbolique, la relaion enre l'enrée e la sorie s'écri donc E() H() S() S() = H().E() La foncion de ransfer d un SLCI es dans les condiions de Heaviside : On aelle foncion de ransfer H() du sysème: = = Démonsraion : Soi un sysème décri ar l'équaion différenielle: + + = + + On se lace dans le cas de condiions iniiales nulles (condiions d'heaviside): le niveau iniial du sysème imore eu, c'es sa réacion à une erurbaion à arir d'un éa sable que l'on souhaie éudier. On eu donc oujours se ramener à des condiions iniiales nulles avec un changemen d'origine. D'arès le héorème de la dérivée: L [ ] = n F On alique la ransformaion de Lalace à l'équaion différenielle: a n n S() + a S() = b m m E() + + b E() d où = = Cee relaion es rès uile our calculer des réonses emorelles de sysèmes à l aide de ransformée de Lalace. Il suffi de calculer le ransmiance du sysème, de rendre la ransformée de Lalace du signal d enrée e de faire le rodui de ces deux grandeurs. Une ransformée inverse donne enfin la réonse emorelle souhaiée. La foncion de ransfer rerésene le comoremen du sysème e s'exrime simlemen comme le raor de deux olynômes en (fracion raionnelle) consruis à arir des coefficiens de l'équaion différenielle régissan son évoluion. Forme canonique de la foncion de ransfer: avec n = ordre du sysème α = classe du sysème K = gain saique =!+ + ' ' * * En exlician les racines (comlexes évenuellemen) de ces olynômes, H() eu s'écrire: =! # # 2 # ' ( ) * les z i son les zéros e les i les ôles de la foncion de ransfer. Remarque: si l'enrée es une imulsion de Dirac, on a alors S() = H(). = H() La foncion de ransfer rerésene donc la ransformée de Lalace de la réonse "imulsionnelle". Malheureusemen, on ne sai as générer hysiquemen un el signal. Ceendan, cee roriéé es uilisée ar les logiciels de simulaion. 6.2 Alicaion La connaissance de la foncion de ransfer d un sysème erme de connaîre sa réonse à une solliciaion sans résoluion d équaions différenielles Eude du sysème moeur élecrique u() en V MCC ω() en rad/s Sciences Indusrielles our l Ingénieur Page

12 PCSI Les Ulis COURS Sysèmes Linéaires Coninus Invarians 6.3 Foncion de ransfer en boucle fermée d'un sysème asservi: E() A() S() B() A() H() = + A().B() On eu oujours se ramener à un sysème à reour uniaire: E() A() B() /B() S() H() = A().B(). + A().B() B() A().B() Sysème rédui de foncion de ransfer H r = + A().B() On noe FTBO la foncion de ransfer en boucle ouvere du sysème soi FTBO = A.B e on éudie la foncion de ransfer du sysème rédui soi FTBO FTBF = + FTBO Si on connaî la FTBO (en général simle à calculer), la FTBF se rouve en réalisan la ransformaion ci-dessus. 6.4 Foncion de ransfer en boucle ouvere: La foncion de ransfer en boucle ouvere es définie comme la foncion de ransfer du sysème lorsque le reour sur le sommaeur es coué. Elle comrend la chaîne d'acion e la chaîne de mesure. E() + - ε() H() S() E() FTBO S() M() G() Figure 2 : Sysème en boucle ouvere La foncion de ransfer en boucle ouvere s écri : M() FTBO= =H().K() E() Sciences Indusrielles our l Ingénieur Page 2