Onzième Aventure DÉNOMBREMENTS A - PERMUTATIONS

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1 Ozième Aveture DÉNOMBREMENTS A - PERMUTATIONS Le Père Noël a offert à ma etite cousie Josette u jeu de cubes où sot iscrits les lettres de l alhabet. Très édagogue, je lui doe d abord les trois cubes A, B et C. Combie de «mots» de 3 lettres eut-elle alors former? Et si je lui e doe quatre? vigt-six? trete-deux? Moralité: avec u esemble (o ordoé {a,b,c} de trois élémets, je eux former listes (ordoées, comme ar exemle (a,b,c, (b,a,c, (c,b,a, etc. Je eux doc ermuter 3 cubes de maières différetes. Défiitio XI-1 Soit u etier aturel o ul. Le ombre ( est aelé factorielle. O ote! ( Covetioellemet, 0! 1. D arès otre etite étude, ous ouvos doc dire maiteat que Théorème XI-1 le ombre de ermutatios d u esemble coteat élémets est!. Exemles : il y a trete-deux chaises das ue salle. Déombrer toutes les maières ossibles our les élèves de TS 6 d occuer les chaises de la salle.

2 LES AVENTURES DE TÉHESSIN LE REZÉEN 1 Combie y a-t-il d aagrammes du mot ZOÉ? du mot ANA? B - COMBINAISONS Il y a as assez de gagats au loto. Les règles e sot doc modifiées. Il s agit maiteat de trouver 3 uméros armi 5. Combie y a-t-il de grilles (combiaisos ossibles? Par exemle, o ourrait dire que j ai ciq maières de choisir le remier uméro, quatre choix our le deuxième et trois choix our le troisième, doc il y a grilles différetes, MAIS Posos ue etite défiitio our clarifier les débats. Doos e fait u om à ue grille du loto, c est à dire à u sous-esemble (ue artie coteat élémets d u lus grad esemble coteat élémets. Défiitio XI-2 Soit et deux etiers aturels et E u esemble coteat élémets. U sous-esemble de E coteat élémets est aelé ue combiaiso de élémets de E ou ecore ue -combiaiso d élémets de E. Or ce qui ous itéresse, c est le ombre de ces combiaisos, doc itroduisos ue otatio Défiitio XI-3 Le ombre de -combiaisos d u esemble coteat élémets est oté ( ou ecore C Reveos à otre mii-loto. Cosidéros ue grille quelcoque (c est à dire ue 3-combiaiso de l esemble des 5 uméros: ar exemle {2,4,5}. Nous avos vu das le aragrahe récédet qu il y a 3! facos d ordoer ces ombres. Fialemet, il y a ( 5 3 3! suites de 3 ombres ordoées. Or ous e avos comtées tout à l heure. Nous e déduisos fialemet que ( ! Il est alors aisé de gééraliser la formule suivate: Proriété XI-1 ( ( 1 ( 2 ( ( 1!

3 2 DÉNOMBREMENTS d où Nous ouvos formuler cette roriété lus sythétiquemet. E effet ( ( 1( 2 ( + 1 ( ( 1( 2 2 1! ( ( 1( 2 2 1!!(! Théorème XI-2 (!!(! C - TRIANGLE DE PASCAL - BINÔME DE NEWTON C-1 : Raisoemet calculatoire À l aide des formules récédetes, établissez que Proriété XI-2 ( ( Établissez, toujours ar le calcul, la relatio suivate, dite Relatio de Pascal même si les mathématicies chiois l avaiet mise e évidece avat lui Proriété XI-3 ( ( 1 + ( 1 1 Cette relatio ermet de calculer les coefficiets biomiaux de roche e roche, ce qui s avère fort utile car la foctio factorielle croît extrêmemet raidemet et déasse vite les caacités d ue calculatrice de oche. Aisi, la rocédure suivate ermet de calculer les coefficiets biomiaux assez raidemet avec Male ou MuPad c:roc(, begi otio remember; if 0 the 1 elif > the 0 else c(-1,+c(-1,-1 ed_if ed_roc L otio remember demade au logiciel de se souveir des calculs qu il viet d effectuer, ce qui s avère utile das ue formule récursive qui déed des termes récédets déjà calculés.

4 LES AVENTURES DE TÉHESSIN LE REZÉEN 3 Mais que vieet faire les deux coditios : if 0 et if >? C-2 : Raisoemet esembliste Si je forme u groue de 3 élèves das la classe, j obties du même cou u groue de 20 élèves uisque vous êtes 23. Si l o comte le ombre de arties A ayat élémets das u esemble E, il reviet au même de comter le ombre de arties comlémetaires de A. E quoi ce raisoemet ous ermet-il d obteir ue des formules récédetes? Cosidéros la classe de TS1 et ses 23 élèves. Je veux déombrer les groues de trois élèves. O eut distiguer deux tyes de groues ceux qui e vous cotieet as : il faut doc former des groues de 3 avec les 22 élèves restat: ça fait combie? ceux qui vous cotieet: o vous ajoute aux groues de 2 formés avec les 22 élèves restat. Ça fait combie? Teez u raisoemet similaire our établir la relatio de Pascal. C-3 : Formule du biôme de Newto Sir Isaac a as fait que dormir sous u ommier. Il a ar exemle établi que Théorème XI-3 Soit a et b des ombres comlexes et u etier aturel o ul, alors (a + b 0 ( a b a + ( ( a 1 b + + ab 1 + b 1 1 Prouvez cette formule ar récurrece e remarquat que (a + b +1 a(a + b + b(a + b et e utilisat la relatio de Pascal au bo momet. Cette formule ous ermet doc d obteir de ouveaux «roduits remarquables», à coditios de coaître les coefficiets biomiaux. Testez la formule aux rags 2, 3, 4, 5. Disosez vos résultats das u tableau e écrivat que les coefficiets et cojecturer le triagle de Pascal...

5 4 DÉNOMBREMENTS D - EXERCICES Exercice XI-1 Coefficiets biomiaux 1 Doez ue exressio simle de ( ( 0, de ( 1, de (, de 1. Utilisez des simlificatios our calculer à la mai ( O doe ( et ( 13 6 ( Calculez alors à la mai 13 ( 8 et 14 9 Exercice XI-2 Ue vieille coaissace Doez ue ouvelle démostratio très raide de la formule bie coue: (1 + x > 1 + x Exercice XI-3 Nombre de arties Combie y a-t-il de arties d u esemble ayat élémets? Exercice XI-4 Tye Bac avec ROC 1 Démostratio de cours. Démotrer que, our tous etiers aturels et tels que 1 <, o a: ( ( 1 (. 2 E déduire que our tous etiers aturels et tels que 2 < 1, o a: ( ( ( 2 + (. 3 O cosidère deux etiers aturels et tels que 2 < 1. O disose d ue ure coteat boules idiscerables au toucher. Deux des boules sot rouges, les autres sot blaches. O tire au hasard et simultaémet boules de l ure. O aelle A l évèemet «au mois ue boule rouge a été tirée». a Exrimer e foctio de et de la robabilité de l évèemet A, cotraire de A. E déduire la robabilité de A. b Exrimer d ue autre maière la robabilité de l évèemet A et motrer, à l aide la formule obteue à la questio 2., que l o retrouve le même résultat. Exercice XI-5

6 LES AVENTURES DE TÉHESSIN LE REZÉEN 5 Périclès est goutteur d olives das ue usie grecque. U mati, il goutte cet olives au hasard et les relace das le réservoir. L arès-midi, l ouzo de l aéritif lui a fait erdre la mémoire. Il goutte à ouveau cet olives das le même réservoir. Douze d etre elles avaiet déjà été machées. O ote A l évéemet «il y a douze olives machées armi les cet choisies» et B l évéemet «il y a olives das le réservoir». O cosidère la foctio f défiie our les etiers suérieurs à cet ar f( B (A et la suite (u défiie our les etiers suérieurs à 100 ar 1 Comarez u à 1. u f( + 1/f( ( ( 100 ( ( ( ( u 2 Motrez que la foctio f atteit u maximum sur [[100, + [[. 3 O aelle maximum de vraissemblace m la valeur de corresodat à ce maximum. Détermiez m. Exercice XI-6 Le oer Réose: m 833 Ue mai au oer est costituée de 5 cartes tirées d u jeu de 52 cartes. Combie y a-til de mais coteat des carrés (XXXXY? des fulls (XXXYY? des brelas (XXXYZ? des doubles aires (XXYYZ? des aires (XXYZA? Deux lettres idetiques (ar exemle XX corresodet à deux cartes de même hauteur (ar exemle deux dames. Réose: 624 carrés, 3744 fulls, brelas doubles aires, aires. Exercice XI-7 L âge du caitaie Le caitaie des omiers de New-Yor réside à l agle de la 7 ème rue et de la 33 ème aveue. La casere se trouve à l agle de la 15 ème rue et de la 40 ème aveue. Il s y red tous les jours à ied et sas erdre de tems (i.e. das le ses des uméros croissats aussi bie our les rues que our les aveues. Sachat qu il a commecé à travailler le jour de ses 18 as, et sachat qu il est jamais assé deux fois ar le même chemi, quel est l âge maximum du caitaie? Exercice XI-8 Calcul de coefficiets biomiaux Réose: maximum 35 as. O cosidère 7 boules umérotées de 1 à 7. 1 O e tire simultaémet 3. Combie y a-t-il de tirages ossibles?

7 6 DÉNOMBREMENTS 2 Soit u etier vérifiat 3 7. Combie y a-t-il de tirages de 3 boules dot le lus grad uméro est? 3 E déduire ue exressio de 7 ( x 1 2 sous forme d u uique coefficiet biomial. 3