E3 Régimes transitoires

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1 I Défnons E3 égmes ransores I.1 égme lbre, régme ransore e régme conn Défnon : On appelle réponse lbre o régme lbre d n crc, l évolon de cel-c en l absence de o généraer. e régme d crc es d conn o saonnare) lorse oes les granders élecres d crc nensés, ensons) son des consanes d emps). Enre le momen où oes les sorces son éenes e cel où le régme conn es éabl, on a n régme ransore. e résea éan lnéare, l évolon de oe grander élecre nensé, enson, charge d n condensaer...) es décre par ne éaon dfférenelle lnéare à coeffcens consans de la forme : d n x D n d n +D d n 1 x n 1 d n D dx 1 d +D x = f) où l ordre n de l éaon dfférenelle défn l ordre d crc. Nos éderons les crc d ordre 1 e d ordre 2. Ex : rc d 1 er ordre rég par l éaon : d d + = e) On monre, en mahémaes, e la solon générale d ne elle éaon se me ojors sos la forme : e) ) = }{{ G } + }{{ P } régme lbre ransore) régme forcé mposé par la sorce Où : - G es la solon générale de l éaon homogène.e. éaon sans second membre) : elle correspond a régme lbre d crc absence de sorce de enson o de coran). - P es ne solon parclère de l éaon avec second membre : elle correspond a régme forcé mposé par la sorce. Tan e G ) P, on es dans le domane d régme ransore. orse G P, le régme forcé es éabl c, régme conn). I.2 Échelon de enson Un généraer délvre n échelon de enson lorse la enson à ses bornes a la forme svane : e) E { por < : e) = por > : e) = E Une elle enson provoe dans n crc l apparon d n régme ransore ps d n régme permanen conn. ee évolon d crc pore le nom de réponse à n échelon de enson o réponse ndcelle.

2 E3 II. rc sére II rc sére II.1 Éde héore de l évolon d coran : Nos allons éder la réponse ndcelle d n crc sére, ps son régme lbre. a Monage : Dans le crc c-conre, la lo des malles s écr : e++ d d =. So : d d + e) = E) es ne éaon dfférenelle lnéare d 1 er ordre à coeffcens consans e avec 2 nd membre. e Défnon: homogénéédelarelaonmpose = homogèneànemps: c es le emps caracérse / consane de emps d crc. b Éablssemen d coran : { < : e) = e) es n échelon de enson, so : e) = E À, l éaon dfférenelle s écr : d d + = E 1) a solon de 1) s écr : = G + P. e) E dx appel : d +kx = x G = Ae k avec A. Ic : G = Ae = Aexp ) e P = ce pse le second membre de 1) es consan) Donc P do vérfer d P d + P = E, d où P = E. Fnalemen : = E +Ae. Por déermner la consane d négraon A, on a beson d ne condon nale.i.), c es-à-dre la valer de l nensé à ne dae donnée. On noe la dae «Jse avan =» comme s : =. On noe la dae «Jse après =» comme s : = +. On sppose, par exemple, en = l n y a acn coran dans le crc. a condon nale s écr donc : ) = =. Or, on sa e le coran raversan ne bobne es ne foncon conne d emps f ors) D où : + ) = ) = =, par conné de l nensé. { ) = = On a donc : + ) = = + ) = E E +Ae A =. onclson : = E 1 e ) orse, E = I : le régme ransore s efface e lasse place a régme permanen conn. I = E ) égme ransore ~5 égme forcé conn 2 hp ://aelerprepa.over-blog.com/ Qadr J.-Ph. PTSI

3 29-21 II. rc sére E3 Par se : d d = E ) d e, so = E d Donc, l éaon de la angene à la corbe en O,) es : y = E. = On a y = I = E por = E E = =. Propréé : On se rend compe e = donne n ordre de grander de la drée d régme ransore. { 1 Ordre de grander : 3 H s...c es rès fable : le régme ransore s éen» rapdemen. Ω eprésenaon de enson ax bornes de la bobne : = d d = E e, so : = E e = E exp ). Pendan le régme ransore, la bobne cherche à conrer la enson d généraer en mposan ne enson de sens opposé lo de enz). En régme éabl régme permanen conn), =. On rerove en régme conn la bobne se compore comme n fl condcer. E ) égme ransore ~5 égme forcé conn c Exncon de la sorce éde d régme lbre) : e) E Por smplfer les calcls, on rénalse le emps : { por < : e) = E por : e) = e monage se ramène alors à a lo des malles s écr, por : d + = E). d es ne éaon dfférenelle lnéare d 1 er ordre à coeffcens consans e sans 2 nd membre. a solon s écr : = Be avec B. De pls, par conné de l nensé raversan la bobne, on a : { + ) = ) = I = E = + ) = B d où : B = E. Fnalemen : ) = E e. l : donc la enson ax bornes de la bobne es : = d d = E e ), so : = E e. On se rend compe e le régme lbre es n régme ransore de drée de l ordre d emps caracérse d crc sére = : a bo de «eles», e. Qadr J.-Ph. PTSI hp ://aelerprepa.over-blog.com/ 3

4 E3 II. rc sére ) I -E II.2 Éde énergée a Pssance nsananée reçe par la bobne : a pssance forne par le généraer a rese d crc va : P forne = e. On sppose la sorce de enson déale, donc sans réssance nerne.) e D après la lo des malles : e = + d d, d où : ) P forne = }{{} 2 d 1 + d 2 2 pssance dsspée par effe Jole dans }{{} P pssance reçe par la bobne b Éablssemen d coran : on défn ; ans, à la dae, on es en régme conn, so : ) = I. alcl de l énerge emmagasnée E par la bobne enre = e : On a, par défnon : P = de E = P d = d d d ) d = = 1 2. ) 2 = 1 2 I2 E = 1 2 I2 Propréé : ee énerge es sockée dans la bobne an on es en régme permanen conn. c Exncon de la sorce : no on rénalse le emps : ans, la dae = correspond à l exncon de la sorce, so : = ) = I. ee fos, à =, l nensé es nlle. ) I alcl de l énerge E dsspée dans par effe Jole enre = e : > À o nsan, on a la relaon : P J = 2 = de d. Par se : E = E ) de ) = d = P Jole d = d 2 d 4 hp ://aelerprepa.over-blog.com/ Qadr J.-Ph. PTSI

5 29-21 III. rc sére E3 Or le crc es évalen a crc c-conre. Donc : = d d 2 =. d d = d d Fnalemen : E = d d ) ) d = = 12 ) I2 l : E = 1 2 I2 = E. propréé : Toe l énerge sockée dans la bobne déale es négralemen resée e a éé c) dsspée par effe Jole. III rc sére III.1 Éde héore de la charge e de la décharge d n condensaer a Monage : a lo des malles s écr : e++ =, avec = d d. e) es dex éaons se combnen por donner : d d + 1 = e es ne éaon dfférenelle lnéare d 1 er ordre à coeffcens consans e avec 2 nd membre. Défnon : homogénéé de la relaon mpose = homogène à n emps : c es le emps caracérse / consane de emps d crc sére. b Mse en foncon de la sorce : Il y a charge d condensaer sos la enson e) elle e : { por < : e) = E e) por : e) = E Por, l éaon dfférenelle s écr : d d + 1 = E 1) a solon de 1) es : = G + P sol. générale de l é. sans 2 nd membre + sol. parclère de l é. avec second membre). avec : G = λe = λexp ) So : ) = λe +E P = E Por déermner λ, on sppose par exemple) e por <, le condensaer n es pas chargé = ) = = ). De pls, la conné de la charge ax armares d condensaer f ors)mpose : = + ) = = ). Qadr J.-Ph. PTSI hp ://aelerprepa.over-blog.com/ 5

6 E3 III. rc sére { Donc : + ) = ) = = + so : λ = E ) = λ+e. Ans : ) = E 1 e d ) e ) = d = I e avec I = E E = ) égme ransore égme forcé conn I = E ) égme ransore égme forcé conn ~5 ~5 Propréé : On remare e le régme conn es aen lorse le condensaer a aen sa charge maxmale sos la enson E ; alors, le coran ne crcle pls. En régme conn, le condensaer se compore comme n nerrper over. c Exncon de la sorce : On rénalse le emps por smplfer les calcls : Il y a décharge d condensaer lorse on éen e) : { por < : e) = E por : e) = Por, l éaon dfférenelle s écr : e) E d d + 1 = 2) de solon : = μe = μexp ) avec μ Déermnaon de μ : - Por <, = E car on sppose le condensaer complèemen chargé sos la enson E ). - Par conné de la charge, nos obenons : = + ) = = ), { so : = + ) = ) = E = + d où : μ = E ) = μ. Ans : ) = E e e ) = d d = I e en posan : I = E. E régme lbre ransore ) régme lbre ransore I : < car la décharge se fa dans le sens opposé a sens posf convenonnel d schéma. III.2 Éde énergée a pssance forne a crc par le généraer, de réssance nerne néglgeable, va : 6 hp ://aelerprepa.over-blog.com/ Qadr J.-Ph. PTSI

7 29-21 III. rc sére E3 P f ) = e)) = + ) avec = d, l ven : = d d d = d ) 1 d 2 2. e) d où : P f = }{{} 2 d 1 2 ) + d 2 dsspée par effe Jole ds }{{} emmagasnée dans à la dae a harge d condensaer : On calcle l énerge emmagasnée par le condensaer enre = e = avec. Par défnon, l énerge emmagasnée E enre = e es la varaon d énerge élecrosae E ) = d condensaer : E = Δ E ) = E ) E ) = 1 2 E2, o encore : E = Δ E ) = Donc : E = d d de ) = ) d = d 1 2 P reçe par d 2 ) = E ), so : E = 1 2 E2 Propréé : ee énerge E es emmagasnée par le condensaer : elle n es pas dsspée perde), mas sockée an e le régme es conn. b Décharge d condensaer : Por smplfer le problème, on rénalse le emps a déb de la décharge = es désormas l nsan où on éen la sorce aparavan ava chargé le condensaer à sa charge maxmale E ). a lo des malles donne + =, so : = =. a pssance reçe par la réssance pendan la décharge va : P reçe par ) = = = d 1 2 ). d 2 ee pssance reçe es négralemen dsspée par effe Jole. énerge dsspée par effe Jole enre les nsans = e c es-à-dre d déb à la fn de la décharge, es donc l énerge reçe par la réssance, E, enre = e avec : P J = P reçe par = de d ; d où : E = P J d = d d ) d = E Fnalemen : E = 1 2 E2 = E. Propréé : ors de la décharge d condensaer, oe l énerge sockée es dsspée dans la réssance par effe Jole. Applcaon : cee énerge pe aconner le flash d n apparel phoo o n moer par ex. Qadr J.-Ph. PTSI hp ://aelerprepa.over-blog.com/ 7

8 E3 IV. rc sére IV rc sére 8 hp ://aelerprepa.over-blog.com/ Qadr J.-Ph. PTSI

9 29-21 IV. rc sére E3. Qadr J.-Ph. PTSI hp ://aelerprepa.over-blog.com/ 9

10 E3 IV. rc sére IV.2 éponse ndcelle d n crc Sére réponse à n échelon de enson) dans o ce paragraphe, on sppose le condensaer nalemen déchargé : = ) = = + ) = =. On ferme l nerrper K à l nsan =. la enson ) ax bornes d crc ) sére es n échelon de enson., on apple la lo des malles : )++ +d = ; avec = d d d, so : Ans : d2 d 2 +d d + = ) d 2 d 2 + d d + 1 ) = E K ) E e) + d2 d 2 + ω d Q d +ω2 = ) e crc es rég par ne éaon dfférenelle d 2 nd ordre à cœffcens consans avec 2 nd membre. Por, on pe écrre : d2 d 2 + ω d Q d +ωo2 = E Solon générale de E) : ) = G )+ P ), avec : - G solon générale de l éaon sans 2 nd membre; elle correspond a régme lbre d crc ) es ransore f. IV.1) ; - P solon parclère de l éaon avec 2 nd membre; ce second membre rad la présence d ne sorce mpose n régme forcé a crc ) ; s la f.é.m. es conne, ce régme forcé es permanen conn. On cherche P sos la forme d ne foncon consane pse le 2 nd membre es consan ; E) deven : ++ω 2 P = E E). E) P = E ω 2 = E So : P = E Tros cas se présenen por la solon G : ls corresponden ax ros régmes lbres ransores possbles : α) égme lbre apérode ; β) égme lbre cre e γ) régme lbre psedo-pérode Exemple : cas γ) le régme lbre ransore es psedo-pérode : Δ < e Q > 1 2. es racnes de l éaon caracérse de l éaon sans 2 nd membre son des racnes complexes conjgées, on pe écrre sos la forme r 1/2 = 1 ±jω e donc : G ) = Acosω+Bsnω)exp ) avec : = 2Q e ω = ω 4Q ω 2Q 2 1 = ω 1 1 4Q 2 Alors, la solon générale de E) s écr : ) = p P + G ) = E +Acosω+Bsnω)exp ) [ ) = Bω A ) cosω Aω B ) ] sn ω exp ) 1 hp ://aelerprepa.over-blog.com/ Qadr J.-Ph. PTSI

11 29-21 IV. rc sére E3 Dans les expressons précédenes, A e B son dex consanes d négraon fxées par les ondons Inales; chosssons le cas nal svan : { ) = = ; ) = = }. Dès lors : - la conservaon { de la charge ax bornes d condensaer se rad par : + ) = ) = = = + ) = E +A A = E - la conservaon { de l nensé raversan la bobne se rad par : ) = = + ) = = + ) = A +Bω B = A ω = E ω Fnalemen : ) = E [1 cosω+ 1 ) ω snω exp )] 1 : On pe remarer e : ω = 4Q : f. Doc 9 e 11 por les cas α) e β). expresson fnale de ) perme de rerover celle de l nensé dans le crc : = d [ d = E ) cosω+ ω 1 ) ] 2 snω exp ) ω So : ) = E exp ) ω + 1 ) 2 sn ω ) ω ) f. Doc 1 e : f. Doc 14 où l évolon de ) es donnée par ) e Doc 13 por le cas α)). ommenares : 1) On pe prévor, avan de fare les calcls, les valers des granders, ne fos le régme ransore passé, car le régme es alors conn. - En régme conn, le condensaer se compore comme n nerrper over D où : = e donc = = V por. - En régme conn, la bobne se compore comme n fl, donc la enson à ses bornes es nlle : = V e on a : E = + + = = So : = E por. l : ec correspond ben a comporemen asympoe de ) e )! Tojors penser à vérfer ce comporemen par cee méhode smple. 2) On déd de la remare précédene e = 2Q = 2 ω d régme ransore. es ben l ordre de grander de la drée IV.3 Éde énergée a En régme lbre :, on apple la lo des malles : + + = + +d d = avec = d d. En mlplan l éaon par : 2 + d d +d d = ) + Qadr J.-Ph. PTSI hp ://aelerprepa.over-blog.com/ 11

12 E3 IV. rc sére So : d d ) 2 2 = 2 On a v e : - E ) = 1 2 es l énerge élecrosae emmagasnée par le condensaer à l nsan ; 2 - e E ) = es l énerge emmagasnée par la bobne à l nsan ; Donc E) E )+E ) es l énerge emmagasnée dans le condensaer e la bobne à l nsan. onclson : ors d régme lbre, l énerge emmagasnée E) dmne a cors d emps : elle es dsspée par effe Jole dans la réssance. b rc sére branché sr n généraer : de) d = 2 < o des malles : e++ +d d =. En mlplan chae membre de cee éaon par l nensé, l apparaî la pssance forne par le généraer spposé déal) a rese d crc : e) + So : P f = 2 + d d P f = e = 2 + d d +d d ) 2 2 = P J + d d E )+E )) = P J + de) d emare : Nos n avons pas spposé e la f.é.m. éa conne ; a pror elle pe êre varable. Mas ben sûr, en régme permanen conn e) = E ), la relaon précédene es vérfée : - a bo de eles, =, c es-à-dre : - P J = e de même P f =, - e comme E) = 1 2 E2, on a égalemen : de d =. IV.4 eor sr le facer de alé Q e le régme psedo-pérode a Facer de alé Q : Q = ω = 1 ω ans : Q lorse. En régme lbre, nos avons v e : de d = 2 = ω Q.2 Il apparaî e por des expérences de drées Δ denes, la pere d énerge emmagasnée d crc ΔE lorse, c es-à-dre lorse Q. Donc : - pls es grand e pls le crc es amor, pls l perd rapdemen son énerge ; - pls Q es grand e mons le crc perd rapdemen son énerge. Q, facer de alé d crc ) es n nombre sans dmenson perme d évaler la capacé d crc à conserver l énerge l a emmagasnée. 12 hp ://aelerprepa.over-blog.com/ Qadr J.-Ph. PTSI

13 29-21 IV. rc sére E3 b Peres relaves d énerge por n sére en régme lbre psedo-pérode sr ne psedo-pérode : E) = E )+E ) = Pere d énerge sr ne psedo-pérode : ΔE = E) E+T). Pere d énerge relave sr ne psedo-pérode : ΔE E. ) À chae nsan, on a : +T) = )exp d où : E+T) = 1 2 +T) T) = d où : appel de mahs : x 1 e x 1+x. T e +T) = )exp T ) [ 1 2 ) ) ]exp 2T = E)exp 2T ΔE E) = E) E+T) = 1 e 2T E) Dans le cas des «grands» facers de alé 1, on a T 2π ω = T 2Q 4Q 2 1 T, ce perme d écrre : 2T 2T ω T = 2Q Q = 2π Q. ω ) Donc, por Q 2π : e 2T e 2π Q 1 2π Q D où : ΔE E 2π Q 1. l sff d avor Q > 4 comme on l a v en IV.1.a.γ), emare4). Qadr J.-Ph. PTSI hp ://aelerprepa.over-blog.com/ 13