Physique Générale IV Correction Séance 4

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Raymonde Marin
il y a 7 ans
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1 Professeur L. Forró et T. Lasser avril Physique Géérale IV orrectio Séace Théorie simplifiée de la formatio d u arc-e-ciel : A i B D r () D F E 1. alcul de l agle de déviatio D du rayo icidet : O suit la trajectoire de otre rayo icidet, il e découle : D = (AD,DF) = (AB,EF) = (AB,B) +(B,E) + (E,EF) = (i-r) + (π-r) + (i-r) Soit : D = π +i r (). alcul de la valeur de si(i) e foctio de l ice, pour laquelle la déviatio du rayo est miimale : O cherche tout d abord le miimum de la foctio D par rapport à i. Détermier les extremums d ue foctio reviet à calculer les valeurs aulat la dérivée première de celle-ci (par rapport à la variable cosidérée). Soit : dr dr = = 1 De plus la loi de la réfractio doe : si(i) =.si(r) E dérivat o obtiet : cos(i)=.cos(r)dr soit : doc : cos(i) = 1 cos(r) dr = cos(i).cos(r)

2 La foctio D admet u extremum lorsque : = Soit lorsque :.cos(r)= cos(i) ou ecore : Or : < pour i= et : > cos(i) cos(r) pour i =π/ = () O a doc bie affaire à u miimum de la foctio D lorsque la cotio () est respectée. Il reste maiteat à exprimer le si(i) e foctio de. Pour cela o utilise la relatio classique suivate : cos (θ)+si si (i) (θ) = 1, l expressio () deviet alors: si (r) =. si (i) D autre part, la relatio de la réfractio doe : si (r) = si (i) D où : si (i) = 1, après simplificatios o obtiet : si( i) ( ) Applicatios umériques : O a: α = π D = r-i si(i) si(r) α º º = (). O sait que l itesité de la lumière émergeate est maximum pour u agle D miimum (cf ref ). O admet que la variatio de l ice avec la logueur d ode o das le vide satisfait la loi de auchy : = +, o et état costates positives. O cherche das cette questio à expliquer la formatio d u arc-e-ciel, lorsque la lumière est blache, c est-à-re : lorsqu elle regroupe toutes les logueurs d ode du visible. Pour ce faire, o va détermier commet varie l agle α e foctio de la logueur d ode. O a : α = π D = r-i, d où : dα = dr () (o fixe la valeur i et o dérive par rapport à et r)

3 E dérivat de la même faço la relatio de la réfractio, o obtiet : si(r) d cos(r) = ta(r)d = - dr Doc l expressio () deviet : dα = ta(r). d ( ) Rappelos que ce qui ous itéresse est l expressio de la variatio de l agle α e foctio des fféretes logueurs d odes du visible. Il faut pour cela dériver la formule de auchy doée ci- d dessus : = + d =. 8 L expressio ( ) pred alors la forme suivate : dα = + ta(r).d (5) ette derière équatio motre bie que lorsque la logueur d ode augmete l agle α augmete lui aussi. Les fférets arcs de cercles cocetriques sot doc bie colorés du violet (α et plus «faible») à l itérieur au rouge à l extérieur (α et plus «grad»).. Das cette questio, o ous demade de justifier la formatio d u secod arc-e-ciel plus faible et iversé, e cosidérat ue secode réflexio a l itérieur de la goutte d eau. Pour cela u dessi s impose : β D A B réflexios O défiit otre ouvel agle de déviatio : D = (i-r) + *(π-r) + (i-r) = π + i 6r. *() O pose : β = D- π = (i-r) + π (agle iqué sur la figure). Il est demadé das u premier temps de calculer umériquemet cet agle, le raisoemet est idetique a celui de la questio : o cherche tout d abord à détermier e foctio de la valeur de si(i) pour laquelle la déviatio du rayo icidet est miimale.

4 Soit : dr cos(i) = 1 = 1.cos(r) Après applicatio de la loi de la réfractio et de quelques règles de trigoométrie élémetaire 1 (voir questio ), il découle: si( i) ( 9 ) Applicatio umérique : =. (6) 8 si(i) si(r) β º Pour iterpréter la formatio du secod arc-e-ciel, le raisoemet est cette fois similaire à la questio. O cherche à détermier la variatio de l agle β e foctio de la logueur d ode : 6 1 dβ = 6dr = + ta(r)d = (...) = ta(r)d (7) La foctio β( ) est bie décroissate sur l itervalle [ ;π/], c est-à-re que lorsque la logueur d ode o augmete, l agle β va miuer: QFD. E cosidérat ue secode réflexio à l itérieur de la goutte d eau, o justifie la formatio d u arc-e-ciel iversé (rouge à l itérieur et violet à l extérieur) mais de plus faible itesité. Remarque : quelques référeces 1. «Optique, fodemets & applicatios» J.P. Pérez, Duod Etio (otre exercice est tiré de cet ouvrage (page 19)). «Traité des couleurs» L. Zuppiroli & M.N. Bussac, Presses polytechiques & uiversitaires romades (pages 7-5 et : 5-1).

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