COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULCR) Optomécanique en cavité

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1 ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES CONCOURS D ADMISSION 016 FILIÈRE MP COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULCR) (Durée : 4 heures) L utlsaton des alulatres n est pas autorsée pour ette épreuve. Les résultats des applatons numérques seront donnés ave un hffre sgnfatf. Optoméanque en avté L optoméanque se onsare à l étude du ouplage de dspostfs méanques à une onde életromagnétque. Ce problème étude dfférents aspets d un système optoméanque modèle, à savor une avté résonante lnéare formée de deux mrors sem-réfléhssants parallèles se fasant fae, dont l un est moble. Dans la premère parte, on établt les équatons dynamques générales d une avté de longueur fxée, soumse à un hamp életromagnétque ndent. Dans la seonde parte, on étude le ouplage optoméanque en supposant que l un des mrors est lbre de se déplaer sous l aton de la fore d orgne életromagnétque mposée par le faseau ndent, et d une fore de rappel élastque applquée par le support sur lequel e mror est monté. Dans tout e problème, on utlse le sgne (plutôt que = ) pour défnr une grandeur. Dans les applatons numérques, on prendra m.s 1 pour la vtesse de la lumère dans le vde, π 3 et 0,9 0,9. 1. Cavté résonante de longueur fxée On onsdère une avté lnéare, d axe (Oz), délmtée par deux mrors (déletrques) sem-réfléhssants plans dentques, notés (M 1 ) et (M ). On admettra que les faes «nternes» des mrors (M 1 ) et (M ) est-à-dre les faes drgées vers l ntéreur de la avté (représentées en trat plen sur la fgure 1), ont même oeffent de réflexon en ampltude (pour le hamp életrque) prs égal à ( ρ), où ρ est supposé réel et postf ; le oeffent de réflexon des faes «externes» de (M 1 ) et (M ) est-à-dre les faes drgées vers l extéreur de la avté (représentées par les zones grsées sur la fgure 1), est quant à lu prs égal à ρ. On admettra auss que les deux mrors (M 1 ) et (M ) possèdent le même oeffent de transmsson en ampltude (pour le hamp életrque), noté τ, que l on suppose réel et postf ; e oeffent est dentque pour les deux sens de traversée des mrors. On admettra enfn que les oeffents (ρ,τ) ne dépendent pas de la pulsaton du hamp ndent, et que la relaton τ + ρ = 1 est vérfée. On note R ρ et T τ. Dans ette parte, on suppose les deux mrors fxes dans le référentel du laboratore et l on note L la dstane qu sépare (M 1 ) et (M ). On envoe vers la avté formée par (M 1 ) et (M ) une onde ndente plane progressve monohromatque se propageant selon l axe (Oz) et polarsée selon l axe (Ox), dérte par son hamp életrque : E (z,t) = R[E (z,t)] e x (1) E (z,t) = E exp ω t z )] () 1

2 FIGURE 1 Cavté résonante lnéare de longueur L, soumse à un hamp ndent (parte 1). où R désgne la parte réelle, E l ampltude de l onde ndente à l orgne des temps et des oordonnées, supposée réelle, et = 1. Vous admettrez que ette onde rée une onde réfléhe dans le dem-espae z < 0 de même dreton de polarsaton que l onde ndente, de sorte que le hamp total en amont de la avté (dans la zone notée I sur la fgure 1) s ért E I (z,t) = R[E (z,t) + E r (z,t)] e x (3) E r (z,t) = E r exp ω t + z )] (4) où E r désgne l ampltude de l onde réfléhe à l orgne des temps et des oordonnées, a pror omplexe. De même, le hamp réé à l ntéreur de la avté (zone II) prend la forme générale Enfn, le hamp au-delà de la avté (zone III) s ért E II (z,t) = R[E + (z,t) + E (z,t)] e x (5) E + (z,t) = E + exp ω t z )] (6) E (z,t) = E exp ω t + z )] (7) E III (z,t) = R[E t (z,t) e x ] (8) E t (z,t) = E t exp ω t z )] (9) Ces dfférents hamps sont représentés sur la fgure 1 ans que les veteurs d ondes assoés k = k + = k t = ω e z (10) k r = k = ω e z (11) 1) Que représentent les oeffents R et T? Que sgnfe physquement la relaton R + T = 1? ) Justfez la nature progressve hose pour le hamp E III (z,t).

3 3) Au moyen des oeffents de réflexon et transmsson, érvez tros relatons entre les ampltudes E,E +,E et E t tradusant la transmsson/réflexon en z = 0 et z = L. 4) Dédusez les ampltudes E +, E et E t en fonton de E, ω, L,, R et T. Vous mettrez le résultat sous la forme et vérferez que la fonton Θ(ω) prend la forme E + = Θ(ω) E (1) T ( R E = Θ(ω) T exp ωl ) E (13) E t = Θ(ω)E (14) T Θ(ω) ( 1 Rexp ωl ) (15) 5) Exprmez ( ) la fonton Θ(ω) et traez sa représentaton graphque pour R = 0,9 en fonton de la varable ωl rédute. 6) Montrez l exstene d une famlle dsrète de pulsatons ω n N du hamp ndent pour lesquelles Θ est maxmale. À quo es pulsatons orrespondent-elles physquement pour l ntensté transmse? 7) Montrez que l ntensté (moyennée sur une pérode) I II (z) à l ntéreur de la avté se met sous la forme I II (z) = 1 T Θ(ω) L (ω,z)i où I désgne l ntensté ndente et L (ω,z) un terme que vous exprmerez en fonton de R et ω (z L)/. 8) Traez les ourbes représentatves de L (ω n,z) pour R = 0,9 et n = 1, et 3 en fonton de la varable rédute (z/l). Même queston pour R = 1 ; quelle est la nature de l onde observée à l ntéreur de la avté dans e as? 9) On revent au as général (R < 1). En vous plaçant au vosnage d une pulsaton ω n détermnez une expresson approhée de la fonton Θ(ω) pus mettez la fonton Θ(ω) sous la forme Θ(ω) ( 1 ω ω n ω 1 ) (16) où ω 1 est un paramètre dont vous préserez l expresson et la sgnfaton physque. Donnez l expresson approhée de ω 1 dans la lmte T 1. 10) En vous servant des résultats préédents, établssez une analoge entre la avté étudée et des dspostfs renontrés dans un (d ) autre(s) domane(s) de la physque. À partr de ette analoge, défnssez un fateur de qualté pour la avté onsdérée et ndquez sa sgnfaton physque. Dans les questons 11 à 15, on herhe à reler le paramètre ω 1 au taux de perte en énerge de la avté. Pour e fare, on va suvre une approhe partulare. On rappelle qu une onde életromagnétque est omposée de photons, partules sans masse, dont la quantté de mouvement p et l énerge E sont données par les formules p = hω/ et E = hω, où ω est la pulsaton du rayonnement életromagnétque onsdéré. On admet que, lorsqu l attent l un des mrors (M 1 ) ou (M ), un photon est transms, sans modfaton de son énerge n de sa quantté de mouvement, ave la probablté T, tands qu l «rebondt», sans modfaton de son énerge mas ave une quantté de mouvement opposée, ave la probablté R. 11) Exprmez le temps t ms par un photon pour parourr une longueur de avté. 1) Durant et ntervalle de temps, omben un photon subt-l de rebonds sur les paros de la avté? 3

4 13) Quelle est la probablté pour e photon de qutter la avté pendant la durée t? 14) S la avté ontent, à l nstant t, n ph (t) photons, omben de photons auront qutté la avté à l nstant (t + t) (on suppose n ph 1)? 15) Relez l énerge életromagnétque E em (t) ontenue dans la avté au nombre de photons n ph (t). En supposant n ph 1, exprmez la varaton d énerge életromagnétque ( E em ) pertes entre t et t + t due aux pertes au nveau des mrors. En assmlant ( E em ) pertes et t à des éléments nfntésmaux exprmez le taux de perte de la avté γ 1 ( ) deem E em dt pertes. Fnalement, relez γ au paramètre ω 1 ntrodut à la queston 9. On suppose mantenant que les hamps sont quas-monohromatques, est-à-dre qu ls peuvent se mettre sous la forme de paquets d ondes E + (z,t) = 1 ˆ E + (ω)exp ω t z )] dω (17) σ E (z,t) = 1 ˆ E (ω)exp ω t z )] dω, (18) σ [ où les fontons E + (ω) et E (ω) ne prennent de valeurs sgnfatves que sur l ntervalle ω σ,ω + σ ] autour d une pulsaton ω = ω n où n N et σ π L. 16) Rappelez brèvement pourquo un paquet d ondes de la forme préédente onsttue une soluton des équatons de MAXWELL. 17) En utlsant la forme approhée pour Θ(ω) obtenue à la queston 9, établssez la relaton lnéare entre les omposantes E + (ω) et E (ω) dans le régme R 1. 18) Dédusez du résultat préédent l équaton dfférentelle vérfée par la fonton E + [ γ γ t E + ] ω E + + 4L E. (19) 19) On onsdère une avté de longueur L = 0,9 mm, onsttuée de deux mrors de même oeffent R = 0,99. Calulez ω 3000 ans que la longueur d onde assoée λ À quel type d onde életromagnétque a-t-on affare? Calulez ω 1 ans que le fateur de qualté Q Commenter la omparason aux ordres de grandeur aratérstques renontrés dans d autres domanes de la physque.. Cavté résonante à mror moble Dans ette parte, on suppose que le mror (M ) est lbre de se déplaer selon la dreton z. Il est soums à la fore mposée par le hamp életromagnétque à l ntéreur de la avté ans qu à une fore de rappel élastque lnéare modélsée par un ressort de radeur K et de masse néglgeable devant elle du mror (M ) qu on notera m. Expérmentalement, ette onfguraton peut être réalsée en suspendant le mror omme un pendule. On repère la poston de (M ) par son éart, noté ξ (t), à sa poston d équlbre à hamp ndent nul, orrespondant à une longueur de avté L (f Fgure ). On supposera que le mouvement de (M ) reste de fable ampltude devant la longueur ntale L de la avté. 0) Exprmez la longueur de la avté à la date t. 1) Donnez la nouvelle expresson ω (t) de la pulsaton ntrodute dans la premère parte. Calulez sa forme approhée au premer ordre en ξ /L. Vous ferez ntervenr les grandeurs ω nπ (appelée «onstante et G ω L L de ouplage életroméanque»). ) À quelle ondton (ntutve) l équaton dynamque (19) reste-t-elle valable? Pour répondre à ette queston, vous pourrez ntrodure l éhelle des varatons temporelles de la fonton ξ (t). 4

5 FIGURE Cavté résonante à mror moble (parte ). On suppose que le hamp ndent est monohromatque, de pulsaton ω L = ω +, ( E (z,t) = E exp [ω L t z )] (0) où E est une onstante réelle, et l on ért la omposante E + du hamp à l ntéreur de la avté sous la forme ( E + (z,t) = E + (t)exp [ω L t z )] (1) 3) Pourquo suppose-t-on, a pror, que E + (t) dépend du temps? Justfez qualtatvement que E + (t) ne vare pas de manère sgnfatve sur une pérode du hamp ndent. 4) Montrez que E + (t) vérfe d [ dt E + (t) ( + G ξ ) + γ ] E + (t) + γ 4L E () Dans les questons 5 à 34, on souhate détermner l expresson de la fore mposée au mror (M ) par le hamp életromagnétque en avté, appelée «fore de presson de radaton», en fonton des paramètres du problème et notamment du déplaement ξ (t). Pour e fare, on va suvre le même type d approhe partulare que dans les questons 11 à 15. 5) Exprmez la quantté de mouvement fourne au mror (M ) par un photon de pulsaton ω L lors d un rebond. Comme dans la premère parte, on supposera que e rebond ne modfe pas l énerge du photon de manère sgnfatve mas hange sa quantté de mouvement en son opposée. 6) En notant dn ph = π ph (t)dt le nombre de photons qu frappent le mror (M ) entre t et t + dt, donnez l expresson de la fore de presson de radaton due au hamp à l ntéreur de la avté. 7) Relez π ph (t) à la pussane életromagnétque, moyennée sur une pérode du hamp ndent, qu est réfléhe par le mror (M ) à l nstant t. 8) Montrez que, dans la lmte R 1, la fore de presson de radaton nstantanée prend alors la forme F pr (t) ε 0 S E + (t) (3) On ntrodut les nouvelles grandeurs a et a défnes par E + = a hω L ε 0 S L E = a hω L ε 0 S (4) (5) 5

6 9) Présez les dmensons respetves de a et a et expltez la sgnfaton physque des quanttés a et a. 30) Établssez l équaton régssant l évoluton de a. 31) Établssez l équaton méanque sur ξ (t) régssant le mouvement du mror. Vous ntrodurez la pulsaton propre de l osllateur Ω que vous relerez à la radeur K du ressort et la masse m de (M ). 3) On se propose d étuder le système dans le as γ Ω. Que sgnfe ette ondton physquement? 33) Montrez que, pour des temps t 1/γ, on peut alors érre γ a(t) [ + G ξ (t)] + γ a. (6) 34) Dans le régme onsdéré à la queston préédente, établssez l expresson de la fore de presson de radaton. Dans la sute du problème, on supposera toujours être dans les ondtons d applaton de la formule (6). Le but des questons 35 à 40 est d étuder les postons d équlbre méanque du mror moble (M ), ans que leur stablté. 35) Établssez la ondton d équlbre méanque du mror moble (M ) relant ξ à a. 36) En l absene de hamp ndent, détermnez le nombre et la nature (stable ou nstable) de ponts d équlbre du mror moble (M ). On onsdère mantenant le as d un hamp ndent non nul. 37) Mettez la ondton d équlbre dentfée à la queston 35 sous la forme Aξ = F (ξ ), où F est une fonton sans dmenson de maxmum unté et A une onstante qu s exprme en fonton des paramètres du problème, pus montrez omment détermner graphquement le(s) pont(s) d équlbre du mror (M ). 38) À l ade de la représentaton graphque de la queston préédente, montrez que le mror (M ) possède au plus tros ponts d équlbre et étudez leur stablté respetve. Justfez le nom de bstablté donné au phénomène observé. P t P t (sup) P t (nf) P (nf) P (nf) P FIGURE 3 Relevé expérmental de la pussane P t (représentée en ordonnée) transmse par une avté (L = 0,9 mm, m = 60 mg, R = 0,99) obtenu en fasant passer très lentement la pussane du hamp ndent P (représentée en abssse) de P (nf) = 1,1 W à P (sup) =, W et nversement. Lors du passage P (nf) P (sup), on sut la parte nféreure du yle d hystéréss (le nveau moyen du plateau nféreur est P (nf) t 0, mw) ; au ours du passage P (sup) P (nf), on sut la parte supéreure du yle (le nveau moyen du plateau supéreur est P (sup) t 5 mw). La fgure est extrate de A. DORSEL et al, Phys. Rev. Lett. 51, 1550 (1983). 6

7 39) À partr de la ondton d équlbre de la queston 35, montrez qu l est néessare de hosr < γ 3 pour obtenr plus d un pont d équlbre pour le mror (M ). 40) En supposant < γ 3, dentfez l ntervalle dans lequel a dot se stuer pour qu l exste plus d un pont d équlbre pour le mror moble (M ). Dans les questons suvantes, on onsdère une avté de longueur ntale L = 0, 9 mm, onsttuée d un mror massf (mmoble) et d un mror moble de masse 60 mg, tous deux possédant le même oeffent R = 0,99. La fgure 3 présente un relevé expérmental de la pussane transmse par la avté, notée P t et représentée en ordonnée, obtenu lorsque l on fat passer très lentement la pussane ndente P (représentée en abssse) de la valeur nféreure P (nf) vers la valeur supéreure P (sup), pus nversement. La ourbe obtenue, appelée yle d hystéréss, présente deux branhes dont le sens de parours est ndqué par des flèhes : durant la premère phase, est-à-dre lorsque l on augmente P de P (nf) deuxème phase, est-à-dre lorsque l on dmnue P de P (sup) à P (nf), on sut la parte supéreure du yle. à P (sup), on sut la parte nféreure du yle ; au ours de la 41) Établssez la relaton entre pussanes transmse et ndente fasant ntervenr la quantté ξ. 4) En vous appuyant sur les résultats des questons 37 et 38, donnez une nterprétaton qualtatve des résultats obtenus. Explquez notamment l exstene de deux plateaux pour la pussane transmse et le «passage» de l un à l autre de es plateaux. Vous pourrez vous ader de représentatons graphques de votre hox pour llustrer votre réponse. 7