DEVOIR EN TEMPS LIBRE A RENDRE LE 17 /02/11 ECS 2

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Lucie Gaudet
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1 DEVOIR EN TEPS LIBRE A RENDRE LE 7 /0/ ECS EX : : Le but de ce poblème (dot les tos pates sot dépedates) est l'étude du temps passé das ue mae pa u usage quad u ou pluseus guchets sot à la dsposto du publc, et que pluseus pesoes se pésetet e même temps Pate I Etude de deux guchets Das cette pate, l y a deux guchets à la dsposto du publc Tos pesoes A, A et A 3 etet e même temps das la salle A l'stat t= 0, A et A s'adesset smultaémet aux deux guchets A3 atted et s'adessea au peme guchet lbéé, sot pa A, sot pa A O suppose que : la duée de passage au guchet de A ( =, ou 3 ) est ue vaable aléatoe X qu sut la lo ufome su l'tevalle [0,] ; les vaables aléatoes X, X et X 3 sot mutuellemet dépedates; la duée du chagemet de pesoe à chaque guchet peut ête cosdéée comme ulle O pose : T3= f( X, X) + X3 ) Que epésete T 3 pou A 3? ) Calcule la focto de épatto de f( X, X ) E dédue que la focto f défe su R pa : x < 0, f ( x) = 0 ; x [0,], f ( x) = ( x) ; x >, f ( x) = 0 est ue desté de pobablté de cette vaable aléatoe Repésete gaphquemet f 3 ) ote que T 3 admet ue desté de pobablté que l o détemea ( o dstguea 4 cas ) Pate II Etude de guchets Das cette pate, guchets sot ouvets au publc pesoes A A,, A se pésetet à la mae à l'stat t = 0 et s'adesset à l'u des guchets (les guchets sot doc tous occupés à l'stat t = 0 ) O suppose que : la duée de passage au guchet de A ( ) est ue vaable aléatoe X qu sut la lo expoetelle de paamète λ stctemet postf doé ; les vaables aléatoes X X,,X sot mutuellemet dépedates ) O désge pa U la vaable aléatoe égale au temps passé au guchet pa la pesoe qu a, la pemèe, temé sa démache admstatve ( o a doc U = m( XX,, X ) ) Déteme la lo de U Quelle lo ecoaît-o? Doe so espéace et sa vaace ) O ote V la vaable aléatoe égale au temps passé au guchet pa la pesoe qu a, la deèe, temé sa démache admstatve Déteme la focto de épatto de V E dédue ue de ses destés de pobablté, et mote que so espéace mathématque est doée pa k ( ) E(V ) = λ k = 0 k + k + 3 ) Sot t u éel stctemet postf O désge pa W t la vaable aléatoe égale au ombe de pesoes ayat temé leu démache admstatve à l'stat t Doe la lo de W as que so espéace mathématque t

2 Pate III Etude d'u guchet Das cette pate, u seul guchet est ouvet au publc Il se pésete u ombe aléatoe N de pesoes, fot doc la queue, das cet ode, devat ce guchet O suppose que : la duée de passage au guchet de O pose : S = N X = A, A,,AN, à la mae à l'stat 0 t=, qu A ( ) est ue vaable aléatoe X qu sut la lo expoetelle de paamète λ stctemet postf doé ; N sut la lo géométque de paamète p (où p ]0,[ ) les vaables aléatoes N, X,X,,X sot mutuellemet dépedates As, S, qu est la somme d'u ombe aléatoe de vaables X, appaaît comme état le temps total passé à la mae pa la pesoe qu teme e dee sa démache admstatve ) Sot N * Rappele la fomule doat ue desté de pobablté de la vaable aléatoe X = ) Sot x u éel stctemet postf a) Expme, à l'ade d'ue tégale dot le calcul explcte (be que possble) 'est pas demadé, la pobablté que l'évéemet ( S x ) sot éalsé sachat que l'évéemet ( N= ) l'est b) E dédue, à l ade de la fomule des pobabltés totales, la focto de épatto de S (o admetta qu'l est possble de pemute les deux symboles + et x que l'o ecotea au 0 = cous du calcul) Doe ue desté de pobablté de S Recoaîte la lo de S c) ote que ES ( ) = EX ( ) EN ( ) EX : Le pélmae 'est utlsé qu'e (e) et (f) Toutes les vaables aléatoes sot défes su le même espace pobablsé ( Ω, T, P ) ) Pélmae : Sot ( Y ) I N * ue sute de vaables aléatoes admettat ue espéace E ( Y ) et ue vaace V ( Y ) O suppose e oute que lm E( Y ) = m et que lm V ( Y ) = 0 ( m état ue costate éelle ) a) ote que + + E( ( Y ) = V( Y) + ( E( Y) b) E dédue pa égalté de akov que pou tout ε > 0, P( V( Y ) + ( E( Y ) Y m ε ) ε c) ote alos que ( Y ) NI * covege e pobablté ves la vaable cetae égale à m Das la sute de cet execce o cosdèe ue sute ( X ) I N * de vaables dépedates et de même lo Pou tout ete atuel o ul, o ote la vaable aléatoe défe su Ω pa ( ω) = max X ( ω) ( ped doc pou valeu la plus gade des valeus pses pa X, X,, X = X ) et o a

3 )O suppose c que les vaables ( X ) NI * suvet la lo de Beoull de paamète p ] 0 ; [ Sot q = -p a) ote que ( = 0) = (( X = 0) ( X = 0)) et e dédue la lo de b) ote plus gééalemet que sut ue lo de Beoull de paamète q c) Soet et s deux etes tels que < s ote que s ( = ) alos ( = ) E dédue E s) = q (, pus calcule la covaace cov(, ) d) Doe la matce de vaace-covaace des vaables,,, ) ( e) Dédue du pélmae que ( ) NI * covege e pobablté ves la vaable cetae égale à f) ote que ( ( ) ) NI * covege e pobablté ves la vaable cetae égale à 0 3 )O suppose c que les ( X ) I N * sot des vaables à desté dépedates, de lo ufome su [ 0 ; ] a) Rappele la focto de épatto d'ue lo ufome su [ 0 ; ] b) E dédue que pou tout éel x de [ 0 ; ], ote que est ue vaable à desté c) Sot ε u éel de ] 0 ; ] Calcule P ( ε ) P ( x) = x d) E dédue que ( ) I N * covege e pobablté ves la vaable cetae égale à e) Sot α u éel postf e Sot u ete stctemet supéeu à α ote que P ( ( ) α ) = ( α ) e ote que α α lm ( ) = e + ( ( ) ) I N e3 E dédue que * covege e lo ves ue vaable qu sut ue lo expoetelle de paamète s s EX 3 : O étude das ce poblème le temps d attete d u quelcoque clet au guchet d ue admstato Sot u ete, 3 O mesue temps d attete choss au hasad Φ = 0,975 où Φ désge la focto de épatto de la lo omale cetée et édute O admetta que ( ) Pate A Das cette pate o suppose que l o e coaît pas la lo du temps d attete des clets Sot p la popoto des clets qu ot u temps d attete supéeu à 4 O obseve cette popoto su les temps d attete choss au hasad ) Su = 00 clets, 57 ot eu u temps d attete supéeu à 4 Doe ue estmato poctuelle de p et ue estmato de l tevalle de coface de p à 95% ) Déteme le ombe à pat duquel o peut affme que l o peut coaîte p à ± 0,04 pès avec au mos 95% de chaces de e pas se tompe

4 Pate B O ote X le temps d attete du ème clet et o pose S = X O supposea que les dfféets temps d attete des clets sot tous dépedats les us des autes et que les vaables X suvet la même lo d espéace m et de vaace σ O ote = X = ) Justfe que S = la moyee athmétque de ces temps d attete est u estmateu coveget et sas bas de m ) a ) O pose T = ( A l ade du théoème de la lmte cetée, mote que sute ( T ) σ covege e lo ves ue vaable aléatoe suvat la lo omale cetée et édute σ E dédue que pou assez gad la lo de peut ête appochée pa la lo omale N( m, ) b ) O suppose das cette questo que σ E utlsat cette appoxmato pa ue lo omale, évalue af que l o pusse affme avec u sque d eeu féeu à 5% que P m 0, 0 0,95 ) l o coaît m au cetème pès ( autemet dt af que ( ) Pate C : O admet das cette pate que le temps d attete X sut ue lo expoetelle de paamète λ O pose Y = et o se popose de vo s Y est, ou o, u estmateu coveget de λ Appelos f et F la desté et la focto de épatto de la lo Gamma, λ ) a ) Rappele la lo que sut la vaable S = X = ote que Y admet ue desté g telle que x > 0, g ( x) = f x x λ x > 0, f ( x) = f x E emaquat que Y =, mote à l ade du x S théoème du tasfet que la vaable aléatoe Y possède ue espéace et ue vaace b ) Véfe que ( ) et que l o a ( Y ) λ E = et ( Y ) λ V = ( ) ( ) ) a) Y est-l u estmateu coveget de λ? Est-l avec ou sas bas? b ) Déteme à l ade de Y u estmateu coveget et sas bas de λ =

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