l équation ax n by n = 1

Transcription

1 Uiversité Paris 7 Deis Diderot UFR de Mathématiques Mémoire de Master 2 Sous la directio de Marc Hidry U exemle d alicatio de techiques d aroximatio diohatiee : l équatio ax by = Lioel Poto lioel.oto@gmail.com Javier 203

2 Table des matières Préambule Notatios Itroductio Fractios cotiuées Les cas = et = Fractios cotiuées Défiitio et covergece Meilleures aroximatios Nombres irratioels quadratiques Le cas = Le cas = L équatio de Pell-Fermat Les équatios de Pell-Fermat gééralisées L équatio E U lemme fodametal Aroximats de Padé d ue famille de foctios biomiales : la costructio de Hermite-Mahler Gééralités Aroximats de Padé simultaés de foctios biomiales Exressio itégrale de la foctio reste Costructio ar la formule des résidus U exemle Ue roriété d idéedace liéaire Le théorème d Evertse Les cas a b Présetatio des résultats Proriétés arithmétiques d aroximats de Padé d ue foctio biomiale Cas articuliers et lemmes rélimiaires Démostratio du théorème Alicatio à l équatio E Démostratio du corollaire Le cas = Le cas =

3 4 Mioratio de formes liéaires de logarithmes : le théorème de Lauret, Migotte et Nestereko Les cas a = b + et Eocé du résultat Résultats rélimiaires Ue remière majoratio Démostratio du théorème Le théorème de Beett Les cas a = b + et Itroductio U lemme d aroximatio diohatiee Majoratio de R i z, r et A ij z, r e foctio de z < Majoratio de R i z, r Majoratio de A ij z, r Majoratio de m,,r Proriétés arithmétiques des coefficiets des A ij Ue remière majoratio de m,,r Estimatio «à la Tchebychev» our les ombres remiers e rogressio arithmétiques Majoratio de m,,r Démostratio du théorème Alicatio à l équatio F Coclusio A Sur ue remarque de Mahler B Résultats umériques du chaitre C Résultats umériques du chaitre Bibliograhie

4 Préambule Ce mémoire a été rédigé das le cadre du Master 2 de mathématiques arcours «Eseigats» roosé ar l Uiversité Paris 7 Deis Diderot. Lorsque j ai cotacté le rofesseur Marc Hidry our lui faire art de mo souhait de travailler sur u sujet d arithmétique, il m a immédiatemet réodu de faço ositive. Il m a laissé ue grade liberté das le choix de mo sujet et, suite à otre discussio, m a roosé d étudier l article de Beett [5] qui fait l objet du chaitre 5 de ce mémoire. Quad je lui ai roosé d élargir le sujet au-delà des cas traités ar Beett, Marc m a souteu et ecouragé das cette voie. Pour so accueil et sa disoibilité, je teais à le remercier très sicèremet. Au fial, le réset travail tete de faire la sythèse des riciaux travaux utilisat des techiques d aroximatio diohatiee et qui ot coduit à motrer que l équatio doée e titre admet au lus ue solutio o triviale our 3. Pour l essetiel, il s agit des articles d Evertse [3], Beett et de Weger [6] et, bie sûr, l article [5] de Beett. Certais cas e sot as étudiés ici car ils s auiet sur des techiques algébriques. Nous les abordos e quelques mots das l itroductio. Ce mémoire e cotiet as de résultats fodametalemet ouveaux mais il roose, ceedat, quelques amélioratios à certaies roriétés déjà établies. E articulier, das le chaitre, ue étude comlète de l équatio ax 2 by 2 = est roosée avec otammet u algorithme ermettat d étudier l existece de solutios et, le cas échéat, de détermier les remières solutios théorème.3.4 les costates roosées ar Evertse [3], théorème 2. ot été améliorées de faço très ette das les cas = 3 et = 4 lorsque c = théorème 3.. ; quelques résultats élémetaires du chaitre 4 ermettet d itégrer le cas b = aisi que le cas = 347 à l étude roosée ar Beett et de Weger [6], théorème 4..2, ce qui était as le cas das l article origial. De lus, l amélioratio des costates d Evertse ermet d utiliser directemet la méthode décrite ar Beett et de Weger sas avoir à faire ael à d autres résultats d aroximatio diohatiee sauf our quelques valeurs de b et de. Lioel Poto Javier 203. Si les équatios de Pell-Fermat sot largemet étudiées das la luart des ouvrages de théorie des ombres, l équatio ax 2 by 2 = est que très raremet abordée et je ai trouvé aucue référece e roosat la résolutio comlète. Si les résultats roosés ot ullemet la rétetio d être origiaux, ils sot, e tout cas, le fruit d ue recherche ersoelle. 4

5 Notatios E désige l équatio ax by = où a, b et sot des etiers aturels o uls. F désige l équatio b + x by = où b et sot des etiers aturels o uls. P F d désige l équatio de Pell-Fermat x 2 dy 2 = avec d etier. P F d,m désige l équatio de Pell-Fermat gééralisée x 2 dy 2 = m avec d et m des etiers remiers etre eux. x désige la artie etière d u réel x i.e. l uique etier k tel que k x < k +. {x} désige la artie fractioaire d u réel x i.e. {x} := x x. α = [a 0, a,..., a,...] désige le déveloemet e fractio cotiuée d u irratioel α voir la otatio..6. α = [a 0, a,..., a N, a N, a N+,..., a N+T ] désige u déveloemet e fractio cotiuée ériodique à artir du rag N our u irratioel quadratique α voir la otatio..2. degp désige le degré d u olyôme P. ordf désige l ordre d ue foctio aalytique e 0 voir la otatio 2... f ω désige la foctio défiie our tout z ] ; [ ar f ω z = z ω où ω est u réel. A k z ω ω m et R z ρ ρ m ω ω m désiget resectivemet le k ième olyôme ρ ρ m e z et la foctio reste associée à ue famille de [ρ, ρ 2,..., ρ m ] aroximats de Padé d u système de foctios biomiales f ωk k,m où ω, ω 2,..., ω m sot des réels voir 2.. C = C] ; [, R est l esemble des foctios cotiues défiies sur ] ; [ et à valeurs das R. J et J ρ α : voir la otatio Γ désige la foctio Gamma d Euler défiie our tout réel x > 0 ar Γx = qu o eut rologer à C rivé des etiers égatifs ou uls ar Γz = E articulier, Γk = k! our tout k N. z zz z k + Γz + = = k k! Γk + Γz k + lim + our z C \ Z et k N. + 0 t x e t dt! z zz + z +. PGCDr, t désige le lus grad diviseur commu des etiers o uls r et t. r + δ r est le ombre ratioel r + r r PGCD r, r! our des etiers r et r + r 3. voir 3.4. v x est la valuatio adique d u ratioel x our u ombre remier i.e. v x est la uissace de das la décomositio de x e roduit de facteurs remiers si x est etier et, si r et t sot des etiers, o ose v r t = v r v t. 5

6 { } Φ m,,r := max 2 r, 2 m m+ r m où m, et r sot des etiers tels que > m 2 et r voir la roositio m,,r est le quotiet du P.P.C.M. des déomiateurs des coefficiets de tous les A ij ar le P.G.C.D. des umérateurs de ces mêmes coefficiets les olyômes A ij, qui déedet des etiers, m et r, état défiis ar Ω m,,r := max{ r + + m, 2} où m, et r sot des etiers tels que > m 2 et r voir 5.6. d a,µ := mi k+µ t k où les t k sot défiis ar 5.7 voir k m θx,, a = x l où la somme orte sur les ombres remiers cogrus à a modulo et a [] iférieurs ou égaux à x avec a et etiers aturels o uls. πx désige le ombre de ombres remiers iférieurs ou égaux au ombre réel x. Ls, χ := + u= χu u s est la série de Dirichlet associée au caractère χ. πx,, a désige le ombre de ombres remiers a [] tels que x x R. 6

7 Itroductio L objet de ce mémoire est l étude du ombre de solutios de l équatio diohatiee E : ax by = où, a et b sot des etiers aturels o uls et les icoues x et y sot des etiers aturels. Aisi, das toute la suite, «x, y est ue solutio de E» sigifiera «x, y est u coule d etiers aturels tels que ax by =». Par ailleurs, il est immédiat qu ue coditio écessaire our que E admette des solutios est que a et b soiet remiers etre eux. O fera doc das toute la suite cette hyothèse. Lorsque a =, E admet ue solutio évidete qui est x, y =, 0. Nous aelleros, das ce cas, cette solutio la solutio triviale de E O remarquera égalemet que x, y est solutio de bx ay = si et seulemet si y, x est solutio de E doc o eut gééraliser sas difficulté les résultats obteus our E à l équatio ax by =. Si est u etier comosé et k est u diviseur strict de i.e. si o eut écrire = kd avec k et d comris etre 2 et et si x, y est ue solutio de E alors ax d k by d k = ax by = doc x d, y d est ue solutio de E k. Aisi, toute solutio de E fourit ue solutio de E k et doc le ombre de solutios de E est boré ar le ombre de solutios de E k. E articulier, our motrer que E a qu ue seule solutio, il suffit de motrer que E k a qu ue seule solutio, ce qui ermettra de se restreidre, lorsque ce sera écessaire, aux cas où est ombre remier imair ou = 4. O e eut as ceedat se restreidre aux seuls ombres remiers car o verra que le cas = 2 est très différet des cas remiers imairs. Plus récisémet, l équatio E admet toujours ue ifiité de solutios 2. Sa résolutio s auie sur l algorithme d Euclide, le théorème de Bézout et le lemme de Gauss 3. Pour l équatio E 2, les choses sot déjà u eu mois simles. U cas articulier imortat et largemet abordé das la littérature est l équatio de Pell-Fermat qui corresod à a, b =, d où d est u etier o carré. Ces équatios ot toujours ue ifiité de solutios. Il existe lusieurs faços de le voir dot deux sot classiques : utiliser le ricie des tiroirs our motrer le théorème de Dirichlet ou utiliser le déveloemet e fractio cotiuée des ombres irratioels quadratiques i.e. les ombres irratioels qui sot racies de triômes du secod degré à coefficiets etiers. Cette deuxième méthode à l avatage de s étedre aux équatios de Pell-Fermat gééralisées et de doer u critère de résolutio de l équatio E 2 dot l esemble des solutios est soit vide soit ifii. Les deux aroches évoquées de l équatio de Pell-Fermat résetet ue différece fodametale : le théorème de Dirichlet est o effectif e ce ses qu il ermet d assurer l existece d ue solutio fodametale mais sas la doer exlicitemet méthode exlicite i même doer ue algorithme ermettat de la calculer méthode effective cotrairemet à l utilisatio des fractios cotiuées qui ermet d obteir u résultat effectif. Avec ces équatios et cette double aroche, o aborde les remiers asects de l aroximatio diohatiee. 2. Avec, évidemmet, l hyothèse PGCDa, b =. 3. Nous doos, das le chaitre, ue méthode de résolutio qui s auie sur les fractios cotiuées mais qui fait aelle, à bie y regarder, aux mêmes «igrédiets». 7

8 L objet de l aroximatio diohatiee est l étude de l aroximatio des ombres réels ar les ombres ratioels. O sait évidemmet que Q est dese das R et qu il est doc ossible d arocher tout réel x ar u ratioel r = q avec ue récisio arbitrairemet etite. Ceedat, cette récisio a u «rix» qui est la taille des ombres etiers et q. L aroximatio diohatiee s itéresse lus articulièremet au lie etre la récisio x r de l aroximatio et le déomiateur q du ratioel r. O cosidère traditioellemet que l acte fodateur de l aroximatio diohatiee est le théorème suivat dû à Liouville 4 : Théorème de Liouville 844. Soit θ R u ombre algébrique irratioel. Alors, il existe ue costate exlicite K telle que, our tout ombre ratioel q tel que q > 0, θ q Kq. La démostratio de ce théorème est très simle. Cosidéros u ratioel r = q tel que Z et q N. Si θ q > alors évidemmet θ q > q. Sio, otos P le olyôme miimal sur Q de θ. Comme θ est de degré, P est u olyôme de degré à coefficiet ratioels. Soit k le P.P.C.M. des déomiateurs des coefficiets de P et P := kp. Alors, P est u olyôme de degré de Z[X]. Comme θ est irratioel, 2 et comme P est irréductible sur Q, q est as ue racie de P et doc P q 0. Aisi, q P θ P q est u etier o ul doc q P θ P i.e. q P θ P q q. Or, comme θ q, ar le théorème des accroissemets fiis, il existe u réel c [θ ; θ + ] tel que et P c 0 car 0 = P θ P P θ P = q P c θ q q. Aisi, e osat M := max θ q = P θ P P c q x [θ ;θ+] Mq. P x, o e déduit que Fialemet, e osat K := max{, M}, o eut affirmer que, das tous les cas, θ q Kq. Cette démostratio est istructive à deux iveaux. D abord, elle utilise u argumet tout aussi trivial que cetral e aroximatio diohatiee : tout etier aturel o ul est au mois égal à. O verra que toutes les démostratios, sas excetio, des riciaux théorèmes de ce mémoire utiliset ce résultat. Esuite, ce théorème a l avatage d être exlicite i.e. de doer ue exressio exlicite de la costate K. Ue alicatio historique du théorème de Liouville est la costructio exlicite de ombres trascedats et même de toute ue classe de ombres trascedats, aelés ombres de Liouville et 4. Joseh Liouville,

9 ce ue tretaie d aées avat la théorie de la cardialité de Cator qui motrera que les ombres trascedats formet u esemble ifii o déombrable. L exemle doé ar Liouville est celui du ombre + α := 0!. =0 O vérifie simlemet que, our tout k N, e défiissat k q k = 0 < α k < q k q k k k =0 0! avec q k = 0 k!, o a et doc, si α était algébrique de degré d, o aurait, d arès le théorème de Liouville, our tout k N, α k < Kq d k ce qui aboutit à absurdité e faisat tedre k vers +. Le théorème de Liouville coduit à ue questio légitime : est-il ossible de trouver u exosat lus faible que das l iégalité θ q? Cette questio e amèe aturellemet ue autre : Kq quelle est le bore iférieure de tels exosats? Ceci coduit à la défiitio suivate. Défiitio 5. Soit x u ombre réel. O dit qu u réel λ est ue mesure d irratioalité de x s il existe ue costate réelle K = Kx, λ > 0 telle que, our tout ratioel q x avec q > 0, o ait x q Kq λ. La bore iférieure de l esemble des mesures d irratioalité de x est aelée la mesure otimale d irratioalité et o la otera µx avec la covetio habituelle µx = + si x admet as de mesure d irratioalité. Cette otio de mesure d irratioalité traduit, e u certai ses, u degré d irratioalité de x. Si x = s t est u ratioel écrit sous forme irréductible, our tout ratioel q s x t, o a = sq t q k q k k q tq tq q car sq t 0. Aisi, µx. De lus, ar le théorème de Bézout, o eut trouver ue suite avec lim q = + telle que, our tout N, sq t = et doc x q = tq. Ceci imose que µx. O e déduit que la mesure otimale d irratioalité d u ratioel est. Par ailleurs, il suit de la roositio..7 que si x est irratioel et si R = q est la ième réduite das le déveloemet e fractio cotiuée de x alors x R < doc, si λ est ue mesure d irratioalité de x alors q 2 < doc q λ 2 Kx,λq λ q 2 Kx,λ ce qui assure que λ 2 car lim q = +. Aisi, si x est irratioel alors µx 2. E rereat la même démarche que récédemmet avec α, o motre simlemet que q les ombres de Liouville i.e. les ombres réels x tels qu ils existet ue suite de ratioels avec q > vérifiat l iégalité 0 < x q < q our tout à artir d u certai rag ot ue mesure otimale d irratioalité égale à Il semble qu il y ait as de réel cosesus sur la défiitio de mesure d irratioalité. Certais auteurs e la défiisset que our des x irratioels, d autres imoset as q > 0 mais seulemet q > q 0 our u certai q 0 ce qui reviet à admettre qu u ombre fii de ratioels x euvet vérifier q q <. Das la défiitio que ous adotos, Kq λ x eut être ratioel et, le cas échéat, c est le seul réel que ous autorisos à vérifier x q < 9 Kq λ.

10 Le théorème de Liouville motre que si x est irratioel algébrique de degré alors µx. L amélioratio de ce théorème et la détermiatio de la mesure otimale d irratioalité d u ombre irratioel algébrique ot été la source de ombreux travaux au cours de la remière moitié du XXe siècle. La valeur de Liouville a été successivemet améliorée ar Thue 6 µx 2 +, 908, Siegel 7 µx 2, 92, Dyso 8 et, idéedammet, Gel fod 9 µx 2, 947 avat que Roth 0 e motre le théorème qui lui a valu la médaille Field e 958. Théorème de Roth 955. Soit x u ombre irratioel algébrique. Alors, our tout ε > 0, il existe ue costate K = Kx, ε telle que, our tout ratioel q avec q > 0, o ait x q > Kq 2+ε. Autremet dit, la mesure otimale d irratioalité de tout ombre irratioel algébrique est 2. Toutes ces amélioratios ot ue caractéristique commue : elles sot ieffectives i.e. leurs démostratios assuret l existece de la costate Kx, λ mais e doet as de moye de détermier celle-ci. C est u réel roblème lorsqu o veut aliquer ces théorèmes d aroximatio à la résolutio d équatios diohatiees, d autat que le seul théorème de Liouville est isuffisat. Par exemle, si x, y est ue solutio o triviale de ax by = et si a > b alors o motre iégalité que a b y x < bx. Dès lors, si o coait ue mesure d irratioalité λ de a b, o e déduit que Kx, λx λ > bx. Si λ, o e eut e tirer aucue iformatio sur x doc, e articulier, le théorème de Liouville est isuffisat. E revache, si λ <, o e déduit u majorat de x Kx, λ λ x <. b Si o e coait as exlicitemet Kx, λ, o e eut rie e déduire si ce est que x est boré et, ar suite, que E a qu u ombre fii de solutios car by = ax doc y < x b a boré. C est d ailleurs u cas articulier très simle d u résultat motré ar Thue. est égalemet Théorème de Thue 909. Si F est u olyôme homogèe de Z[X, Y ] de degré 3 irréductible sur Q alors, our tout m N, l équatio F x, y = m a qu u ombre fii de solutios x, y Z 2. De ce fait, avec des résultats o effectifs d aroximatio diohatiee, o obtiet des bores o effectives our les solutios d équatio diohatiee. Dès lors, arallèlemet aux résultats que ous veos de citer, des travaux ot été meés our détermier des bores effectives our ces solutios ou, à défaut, le ombre de ces solutios. Ces recherches se sot orietées das trois directios riciales.. Détermier des mesures d irratioalité exlicites. Pour les équatios E et doc our les ombres irratioels a b, ceci asse otammet ar l utilisatio d aroximats de Padé qui sot itimemet liés aux foctios hyergéométriques méthode dite hyergéométrique. 6. Axel Thue, Carl Ludwig Siegel, Freema J. Dyso, é e Alexadre Ossiovitch Gel fod, Klaus Friedrich Roth, é e

11 2. Améliorer le ricie de démostratio iitié ar Thue et reris ar Siegel qui, même s il se base sur ue méthode o effective our les mesures d irratioalité, ermet d obteir des bores exlicites our le ombre de solutios d équatios diohatiees méthode dite de Thue-Siegel. Pour les équatios E, elle utilise égalemet des aroximats de Padé de foctios biomiales. 3. Utiliser les mioratios de formes liéaires de logarithmes. Déveloée ricialemet ar Baker, cette méthode a otammet ermis à ce derier de doer la remière versio exlicite du théorème de Thue. Ces différetes méthodes ot ermis d avoir ue coaissace de lus e lus récise du ombre de solutios des équatios du tye F x, y = m et otammet des équatios E. Par la méthode de Thue-Siegel, Siegel [39] motre e 937 que, si a, b et c sot des etiers aturels o uls tels que ab 2 4c 2 2 alors l iéquatio ax by c admet au lus ue solutio e etiers aturels o uls et remiers etre eux. Si o suose remier, o eut remlacer la coditio récédete ar le critère lus ratique : ab 88c 4. Par la suite, Domar [0] améliore la démostratio de Siegel et obtiet que l équatio E a au lus deux solutios e etiers strictemet ositifs si 5. Das sa thèse [3], toujours suivat la méthode de Thue-Siegel, Evertse détermie des costates exlicites µ et α telles que l iéquatio ax by C où x et y sot des etiers strictemet ositifs remiers etre eux admet au lus ue solutio telle que max{ax, by } µ C α. Ces costates sot suffisammet etites our motrer que E a au lus ue solutio e etiers strictemet ositifs si 5 et a b +. La résolutio des cas restats a demadé de faire ael aux autres techiques. Migotte a été le remier das [26] à détermier u majorat absolu de e l occurece 600 au-delà duquel l équatio F : b + x by = a as d autres solutios que x, y =,. Il utilise our cela u théorème de mioratio de formes liéaires de logarithmes dû à Lauret, Migotte et Nestereko. Beett et de Weger, utilisat à la fois des méthodes algébriques our les etites valeurs de et des méthodes diohatiees otammet la méthode de Migotte, motret que F a as d autre solutio que, sauf évetuellemet si est u ombre remier etre 7 et 347 et 2 b mi{0,3, 83}. Efi, Beett traite les cas restats e utilisat la méthode hyergéométrique das so article [5]. Aisi, quasimet tous les cas ot u être traités ar des méthodes d aroximatio diohatiee. Les seuls qui échaet à la règle sot les équatios E 3, E 4 et E our remier etre 5 et 3, a = b+ et b reat u ombre fii de valeurs. Tous ces cas ot été traités ar des méthodes algébriques faisat iterveir les uités fodametales das des cors de ombres 2. Le remier résultat e ce ses est dû à Delauay 3 [9] our l équatio x 3 + dy 3 = où d est as le cube d u etier. L idée est la suivate : o se lace das le cors cubique K = Q[ 3 d] et o cosidère so aeau des etiers Z[ 3 d]. Par défiitio, les uités de Z[ 3 d] sot les élémets iversibles de Z[ 3 d]. Si o cosidère la orme sur K défiie ar Nx + y d + z d 2 = x 3 + y 3 d + z 3 d 2 3xyzd, o motre que η Z[ 3 d] est ue uité si et seulemet si Nη = ±. Par ailleurs, o motre égalemet qu il existe ue uité ε ]0 ; [, aelée. Ala Baker, é e O eut égalemet traiter les équatios de Pell-Fermat ar ue telle méthode. 3. Boris Nikolaïevitch Delauay, O trouve das la littérature le om Delauay qui est la fracisatio ou le om Deloe qui est la traslittératio du cyrillique. Il semble que lui-même référait le remier qui redait hommage à ses origies fraçaises.

12 uité fodametale, telle que l esemble des uités s écrive {±ε Z}. Aisi, u coule x, y N 2 est solutio de x 3 + dy 3 = si et seulemet si Nx + y 3 d = i.e. si et seulemet si x + y 3 d est ue uité ositive de Z[ 3 d]. Ue telle uité est aelée uité biomiale. La reuve de Delauay cosiste e ue série de lemmes techiques qui ermettet de voir que la seule uité de Z[ 3 d] qui eut être biomiale est l uité fodametale. Il s esuit que l équatio x 3 + dy 3 = admet au lus ue solutio o triviale das N 2 et o e déduit immédiatemet qu il e est de même our l équatio x 3 dy 3 =. Par la suite, Nagell 4 [30] a gééralisé la méthode de Delauay et motré que l équatio E 3 admet au lus ue solutio e etiers strictemet ositifs. Efi, Tartakovskii 5 [40] et Ljuggre 6 [23] ot traité de même le cas = 4. * * * Comme ous l avos dit e réambule, ous e ous itéresseros das ce mémoire qu aux résultats démotrés ar des techiques d aroximatio diohatiee. E articulier, ous admettros les résultats de Nagell et Ljuggre à savoir que les équatios E 3 et E 4 admettet au lus ue solutio o triviale our toutes valeurs de a et b aisi que les résultats similaires de de Weger et Beett our les équatios F : b + x by = lorsque est u ombre remier comris etre 5 et 3. Dès lors, our motrer que E admet au lus ue solutio o triviale our tout 5, o eut se restreidre au cas où est remier. Nous démotreros alors le théorème ricial de ce mémoire. Théorème. Si 3 alors l équatio E admet au lus ue solutio o triviale. L étude qui suit se découe e 5 chaitres qui s orgaiset comme suit :. Das le chaitre, ous raelos la défiitio et les riciales roriétés des fractios cotiuées et ous aliquos celles-ci à l étude des équatios E et E 2 que ous résolvos comlètemet. Nous termios ce chaitre ar u lemme fodametal our la suite. 2. Das le chaitre 2, ous résetos brièvemet les aroximats de Padé d u système de foctios aalytiques au voisiage de 0 uis ous détaillos la costructio due à Mahler rereat ue idée de Hermite our la costructio exlicite des aroximats de Padé d u système de foctios biomiales. Nous exlicitos, e articulier, l exemle des aroximats de Padé diagoaux de la foctio x x. 3. Cet exemle est utilisé das le chaitre 3 où ous rereos la démostratio d Evertse basée sur la méthode de Thue-Siegel et qui ous ermet de motrer que l équatio E admet au lus ue solutio o triviale si 5 et a b + mais aussi de borer b das les autres cas. 4. Das le chaitre 4, ous suivos la démarche de Beett et de Weger elle-même isirée de celle de Migotte qui s auie sur la mioratio des formes liéaires de logarithmes our motrer que, our tout 347, l équatio F : b + x by = a as d autre solutio que,. Cela ermet doc de e laisser qu u ombre fii de cas restats. 5. Ces cas sot traités das le chaitre 5 e suivat la démarche de Beett qui utilise la méthode hyergéométrique. L essetiel de cette artie est cosacrée à la majoratio du P.P.C.M. des déomiateurs des coefficiets des aroximats de Padé de la famille de foctios biomiales costruits das le chaitre Trygve Nagell, Vladimir Abramovich Tartakovskii, Wilhelm Ljuggre,

13 Chaitre Fractios cotiuées Les cas = et = 2 L algorithme des fractios cotiuées ermet d obteir de «très boes» aroximatios ratioelles d u irratioel α. E u certai ses, il fourit même les «meilleures aroximatios ossibles» comme o le verra au travers des roositios..7 et..8. Ceci est itimemet lié à la résolutio de l équatio ax by = car o rouvera lemmes.3.7 et.4.2 que, e gééral, toute solutio de cette équatio fourit ue «très boe» aroximatio de a b dès que 2.. Fractios cotiuées.. Défiitio et covergece Notatio... Etat doé u réel quelcoque a 0, o ose [a 0 ] := a 0 et, si a, a 2,..., a sot des ombres réels strictemet ositifs, o ose [a 0, a,..., a ] := a 0 +. a + a a Remarquos que, ar défiitio, our tout réel y > 0, [ [a 0, a,..., a, y] = a 0, a,..., a, a + ].. y Lemme..2.. Soit a ue suite d etiers strictemet ositifs à artir du rag et et q les suites d etiers défiies ar : { { 0 = a 0, = a a 0 + q 0 =, q = a et..2 N, +2 = a N, q +2 = a +2 q + + q. La suite q est croissate et, our tout N, q Φ où Φ := + 5 est le ombre d or Pour tout N, q + + q = + et q q = + a Pour tout N et our tout réel y > 0, [a 0, a,..., a +, y] = +y + q + y + q. 4. Pour tout N, q est l écriture sous forme de fractio irréductible de [a 0, a,..., a ]. 3

14 Preuve. Remarquos que, ar ue récurrece immediate, our tout N, q. La croissace viet du fait que q = a = q 0 et, our tout, q + = a + q + q > q car a + et q. Il y a doc croissace stricte à artir du rag. Efi, q 0 = Φ, q = a 0 Φ 0 et, ar récurrece, our tout N, q +2 = a +2 q + + q q + + q Φ + Φ = Φ +. Aisi, le résultat est démotré our tout N. 2. O raisoe ar récurrece sur. Pour = 0, q 0 q 0 = a a 0 a a 0 + = doc la roriété est vraie. Suosos que, our u certai N, q + + q = +. Alors, q q + = a +2 q + + q + a q + = q + + q = + = +2 ce qui motre que la roriété est vraie au rag + et aisi l égalité est établie our tout N. Par suite, our tout N, ce qui motre la secode églité. q q = a +2 q + + q a q = q + + q a +2 = + a O raisoe ici aussi ar récurrece sur. Soit y > 0. Etat doé que y + 0 = a a 0 + y + a 0 q y + q 0 a y + = a 0 + y a y + = a 0 + a + y, o a bie y + 0 q y + q 0 = [a 0, a, y]. Suosos la roriété vraie our u certai N et our tout y > 0. Alors, e utilisat. et e aliquat l hyothèse de récurrece à a +2 +, il viet y [a 0, a,..., a +2, y] = ce qui achève la récurrece. [ a 0, a,..., a +, a +2 + ] + = y a +2 + y q + a +2 + y + + q = + a +2 y + + y q + a +2 y + + q y = a y + + a +2 q + + q y + q + = +2y + + q +2 y + q Soit N. La remière relatio établie au oit 2. motre que et q sot remiers etre eux. Si = 0 alors 0 = a 0 q 0 = a 0 = [a 0 ] et si = alors = a a 0 + = a 0 + = [a 0, a ]. Si 2, q a a e aliquat le oit 3. avec y = a, il viet [a 0, a,..., a, a ] = a + 2 = ce qui q a + q 2 q ermet de coclure.. O eut remarquer que la croissace est stricte dès le rag 0 si a >. Il e est d ailleurs de même our la suite à coditio cette fois que a 0 0. E effet, das ce cas, il est clair que est à valeurs ositives, que = a a 0 + > a 0 = 0 et esuite o raisoe comme our q. 4

15 Défiitio..3. Soit x u ombre réel quelcoque. O associe à x deux suites évetuellemet fiies : ue suite a de ombres etiers aturels et ue suite x de ombres réels ositifs à artir du rag = défiies ar { x 0 := x et, our tout N, si x N, le rocessus s arrête, sio, o ose a 0 := x x + := x a a + := x + Le ratioel R := [a 0, a,..., a ] est alors aelé la ième réduite das le déveloemet e fractio cotiuée du réel x et les ombres a 0, a,..., a sot aelés les coefficiets de R. Le réel x est aelé le ième quotiet comlet das le déveloemet de x e fractio cotiuée ou lus simlemet le ième quotiet comlet de x et le ombre a est aelé le ième quotiet artiel das le déveloemet de x e fractio cotiuée ou lus simlemet le ième quotiet artiel de x. Lemme..4. O coserve les otatios de la défiitio récédete.. Soit N tel que x existe. Alors, x = [a 0, a,..., a, x ]. 2. La suite x est fiie si et seulemet si x Q. Preuve. O raisoe ar récurrece sur. Si = 0 alors, ar défiitio, x = x 0 = [x 0 ]. Suosos que, our u certai N, [ x = [a 0, a,..., a, x ] et que x + existe. Alors, e remarquat que [a 0, a,..., a, x + ] = a 0, a,..., a, a + ] et que, ar défiitio, a + = x, o x + obtiet [a 0, a,..., a, x + ] = [a 0, a,..., a, x ] = x. 2. Si x est fiie alors il existe u rag N N tel que x N N et alors x = [a 0, a,..., a, x N ] Q. Réciroquemet, suosos que x Q. O va motrer qu il existe u rag k tel que x k N ce qui équivaut à dire que x est fiie. Ecrivos x = N 0 sous forme irréductible et effectuos la D 0 divisio euclidiee de N 0 ar D 0 : il existe deux etiers Q 0 et D tels que N 0 = Q 0 D 0 + D et 0 D < D 0. Alors, x = Q 0 + D avec 0 D <. Aisi, a 0 = Q 0 et ou bie D = 0 i.e. D 0 D 0 x 0 = x N ou bie x = D D 0. O réitère alors le rocédé. La divisio euclidiee de D ar D 0 fourit deux etiers Q et D 2 tels que x = Q + D 2 D avec 0 D 2 < D. Alors, a = Q et ou bie D 2 = 0 et x N ou bie x 2 = D D 2. O costruit aisi deux suites d etiers Q et D telles que x = Q + D + D x + et 0 D + < D < < D 0. Aisi, D est ue suite d etiers aturels strictemet décroissate doc il existe u etier k N tel que D k = 0 et alors x k = Q k N. Aisi, la suite des réduites d u ombre est fiie si et seulemet si ce ombre est ratioel. E articulier, la suite des réduites d u irratioel est ifiie. O va motrer que das ce cas, cette suite ted vers x ce qui justifie a osteriori le terme de déveloemet de x e fractio cotiuée et que cette suite fourit de «très boes» aroximatios de x. 5

16 Proositio..5. Soit x u ombre irratioel et R la suite des réduites de x. Alors,. les suites R 2 et R 2+ sot adjacetes et coverget vers x ; 2. la suite R coverge vers x ; Preuve. Pour tout N, o ote f la foctio défiie sur ]0 ; + [ ar f x = [a 0, a,..., a, x] de telle sorte que f 0 x = x. La relatio. imlique alors que, our tout x > 0, f + x = f a +. x Aisi, état doé que f 0 est croissate et que x c + est décroissate our toute costate x c > 0, o obtiet ar récurrece que f est croissate si est air et décroissate si est imair. Notos que, ar défiitio, our tout N, R = f a et, d arès le lemme..4, our tout N, f x = x. De lus, ar défiitio, our tout N, a = x x. Aisi, our tout N, R 2 = f 2 a 2 f 2 x 2 = x et R 2+ = f 2+ a 2+ f 2+ x 2+ = x i.e. R 2 x R 2+. E écrivat R = sous forme irréductible, il découle du oit 2. du lemme..2 que, our q tout N, R R +2 = + a +2 ce qui assure que R 2 est strictemet croissate et que q +2 q R 2+ est strictemet décroissate. De lus, d arès le lemme..2, our tout N, R 2+ R 2 = 2+ 2 q 2+ = q 2+ q 2 Φ 4 ce qui motre que lim R 2+ R 2 = 0. O déduit que les deux suites R 2 et R 2+ sot + adjacetes. Elles coverget doc vers ue même limite. Mais, état doé que, our tout N, R 2 x R 2+, cette limite commue est x. 2. Par u résultat classique sur les suites extraites, o e déduit que lim + R = x. q 2 Notatio..6. Si x est irratioel et si a est la suite des coefficiets des réduites de x, o ote x = [a 0, a,..., a,...] our traduire l égalité x = lim R. O dit alors que [a 0, a,..., a,...] est le + déveloemet de x e fractio cotiuée...2 Meilleures aroximatios Les résultats de ce aragrahe serot tout à fait essetiel ar la suite. O motre e substace que la suite des réduites doe les meilleures aroximatios d u irratioel x ar des ratioels roositio..7 et qu e articulier, si u ratioel est ue «très boe aroximatio» de x alors ce ratioel est écessairemet l ue des réduites de x roositio..8. Proositio..7. Soit x u irratioel et R la suite de ses réduites écrites sous forme irréductible R =. Soit r = u ratioel écrit sous forme irréductible. Alors, q q. our tout N, q q + q + < x R < ; q q + 2. s il existe u etier m N tel que q < q m+ alors x R m q q m x r avec égalité si et seulemet si r = R m. 6

17 Preuve. Soit N. Il découle de la roositio..5 que, our tout k N, R 2k < R 2k+2 < x < R 2k+3 < R 2k+ i.e. 2k q 2k < 2k+2 q 2k+2 < x < 2k+3 q 2k+3 < 2k+ q 2k+. Aisi, e séarat les cas = 2k et = 2k +, il s esuit que x < + q = q + + q = q q + q q + q q + d arès le oit 2. du lemme..2. De même, x > +2 q = q q = q q +2 q q +2 a +2 q a +2 q + + q toujours d arès le oit 2. du lemme..2. Comme, de lus, a +2 et comme la foctio x x est croissate sur [ ; + [, il s esuit q xq + + q x q > q q + + q. 2. Cosidéros le système d icoues X et Y suivat : { m+ X + m Y = q m+ X + q m Y = q. Le détermiat de ce système est m+ q m q m+ m = m+ Z doc ce système admet ue uique solutio u, v Z 2 \ {0, 0}. De lus, v est o ul. E effet, si v = 0 alors R m+ = m+u q m+ u = q = r et, comme les fractios sot irréductibles, q m+ = q ce qui est exclu car q m+ > q. Si u est ul alors de la même faço, R m = r et o obtiet le cas d égalité. Sio, u et v sot o uls et état doé que 0 < q = uq m+ + vq m < q m, u et v sot de siges cotraires. Comme x R m+ et x R m sot égalemet de siges cotraires, les ombres ux R m+ et vx R m sot de même sige. Il s esuit qu il e est de même our uq m+ x m+ et vq m x m. E utilisat le fait que qx = uq m+ +vq m x u m+ +v m = uq m+ x m+ +vq m x m, o e déduit que qx = uq m+ x m+ + vq m x m v q m x m > q m x m ce qui ermet de coclure. La roositio récédete imlique e articulier que, our toute réduite R de x, x R < q 2 car q q +. O a e fait u résultat lus fort qui est ue versio effective du théorème de Dirichlet corollaire.3.2. Proositio..8. Soit x u irratioel et R la suite de ses réduites écrites sous forme irréductible R = q.. Pour tout N, l iégalité x R k < 2q 2 k est vraie our au mois u etier k {, + }. Autremet dit, armi deux réduites successives, l ue au mois vérifie l iégalité récédete. 2. Si u ratioel r = q écrit sous forme irréductible vérifie x q < 2q 2 alors r = R où est l uique etier tel que q q < q +. 7

18 Preuve. Soit N. O a déjà vu que x R et x R + sot de siges oosés. Il s esuit, e utilisat aussi le lemme..2, que x R + x R + = R R + = q + + q q q + = q q +. Or, our tous réels a et b, ab 2 a2 + b 2 doc, e reat a = q et b = q +, il viet x R + x R + < 2q 2 + 2q+ 2 ce qui imose que x R < 2q 2 ou x R + < 2q Comme la suite q est croissate et ted vers + et comme q 0 = q, il existe u uique etier N tel que q q < q +. Alors, e utilisat la roositio..7 et le fait que q q, q q x q + x q + q x q q < q + q q 2q 2 qq doc q q = qq q < et, comme le terme de gauche est u etier, il est doc ul ce qui imlique que q = comme q aocé...3 Nombres irratioels quadratiques Défiitio..9. U ombre irratioel est dit irratioel quadratique s il est racie d u olyôme de degré 2 à coefficiets etiers. Autremet dit, α est irratioel quadratique s il existe des etiers a, b et c tels que aα 2 + bα + c = 0 avec a 0 et := b 2 4ac u etier aturel qui est as u carré arfait. Comme 0, le olyôme P = ax 2 + bx + c admet ue autre racie otée α. Le ombre α est aelé le cojugué algébrique de α 2. Efi, o dit que α est irratioel quadratique réduit si α est u irratioel quadratique tel que α > et < α < 0. q O va à réset caractériser les irratioels quadratiques et les irratioels quadratiques réduits ar leur déveloemet e fractio cotiuée. Proositio..0. Euler 3, 748 Soit α u irratioel et α = [a 0, a,..., a,...] so déveloemet e fractio cotiuée. Si la suite a est ériodique à artir d u certai rag N alors α est u irratioel quadratique. O dit alors que la fractio cotiuée [a 0, a,..., a,...] est ériodique à artir du rag N. 2. Comme α est de la forme α = + q d où d est sas facteur carré, α Q[ d] et alors α est le cojugué de α das Q[ d]. La cojugaiso état u Q automorhisme de Q[ d], o a e articulier α + β = α + β et = α α. 3. Leohard Euler,

19 Preuve. Suosos que a est ériodique à artir du rag N i.e. qu il existe u etier T > 0 4 tel que, our tout N, a +T = a. Notos α N = [a N, a N+,..., a +T,...] le N ième quotiet comlet. Puisque, our tout N, a +T = a, o a égalemet α N = [a N+T, a N+T +,...] doc, e vertu du lemme..4, α N = [a N, a N+,..., a N+T, α N ]. Notos, our tout N, déveloemet de α N. O déduit alors du oit 3. du lemme..2 que α N = T α N + T 2 q T α N + q T. 2 q la ième réduite das le Il s esuit que α N est racie du olyôme q T X2 + q T 2 T X T 2 i.e. α N est le forme +q d où et q sot ratioels et d est u etier sas facteur carré car α N est irratioel. Remarquos alors que, de la même faço, α = [a 0, a,..., a N, α N ] doc, e otat la ième q réduite de α, α = N α N + N 2 = N + q d + N 2 q N α N + q N 2 q N + q = t + r d d + q N 2 t + r d où r, t, r et t sot des etiers. Il s esuit que α = t + r dt r d t 2 dr 2 = tt drr + rt tr d t 2 dr 2 = u + v d où u et v sot des ratioels. O e déduit l existece de trois etiers m, a et b tels que mα = a + b d et alors α est racie du triôme m 2 X 2 2amX + a 2 b 2 d doc α est quadratique. Proositio... Lagrage 5, 768. Soit α u irratioel quadratique. Alors, le déveloemet e fractio cotiuée de α est ériodique à artir d u certai rag. Preuve. Ecrivos le déveloemet de α e fractio cotiuée α = [a 0, a,..., a,...]. Comme α est quadratique, il existe u olyôme P = ax 2 + BX + c Z[X] de degré 2 tel que P α = 0. Notos = b 2 4ac so discrimiat. Pour tout etier 2, d arès le lemme..2, doc e substituat das P α = 0, o obtiet A α 2 + B α + C = 0 avec α = [a 0, a,..., α ] = α + 2 q α + q 2 A = a 2 + b q + cq 2 B = 2a 2 + b q q + 2cq q 2. C = a b 2q 2 + cq 2 2 Si A était ul alors q serait ue racie de P ce qui est exclu car α est quadratique. Aisi, A 0 doc P := A X 2 + B X + C est u olyôme de degré 2 de Z[X] qui aule α. O vérifie ar u simle calcul que := B 2 4A C = b 2 4acq 2 q 2 2 = b 2 4ac = e vertu du lemme..2. Aisi, les olyômes P ot tous le même discrimiat que P. 4. Quitte à remlacer N et T ar N + 2 et 2T, o eut toujours suoser N et T au mois égaux à 2, ce qui ermet das la suite de cosidérer des termes d idices N 2 et T Joseh-Louis Lagrage,

20 O va motrer que les suites d etiers A, B et C e reet qu u ombre fii de valeurs. Pour cela, il suffit de motrer qu elles sot borées. Soit 2. D arès la roositio..7, q α < doc il existe u réel δ tel que = q α + δ et δ <. Il q q q s esuit que A = a q α + δ 2 + b q α + δ q + cq 2 q q = aα 2 + bα + cq 2 + 2aδ α + a δ2 q 2 + bδ = 2aδ α + a δ2 q 2 + bδ car P α = 0 doc A < 2 aα + a + b. Aisi, la suite A est borée. Comme, our tout 3, C = A, il s esuit que C est égalemet borée. De lus, our tout etier, = doc B 2 = 4A C + ce qui imlique de B est aussi borée. Aisi, le trilet d etiers A, B, C e red qu u ombre fii de valeurs lorsque arcourt l esemble des etiers suérieurs ou égaux à 2 doc o eut trouver trois idices j < k < l tels que A j, B j, C j = A k, B k, C k = A l, B l, C l. Alors, P j = P k = P l doc α j, α k et α l sot des racies de P j. Comme ce derier est de degré 2, cela imlique que deux au mois de ces trois ombres sot égaux. O eut suoser sas uire à la gééralité que α j = α k i.e. [a j, a j+,...] = [a k, a k+,...]. Alors, e osat T = k j > 0, our tout j, a = a +T ce qui motre que la suite a est ériodique à artir du rag j. Notatio..2. Soit α u irratioel quadratique et α = [a 0, a,..., a,...] so déveloemet e fractio cotiuée. Si la suite a est ériodique de ériode T à artir du rag N, o otera α = [a 0, a,..., a N, a N, a N+,..., a N+T ]. Proositio..3. Galois 6, 828 U réel α est irratioel quadratique réduit si et seulemet si so déveloemet e fractio cotiuée α = [a 0, a,..., a,...] est uremet ériodique i.e. si et seulemet si la suite a est ériodique à artir du rag = 0. Preuve. Soit α u irratioel et α = [a 0, a,..., a,...] so déveloemet e fractio cotiuée. Suosos que α est irratioel quadratique réduit. Motros que tous ses quotiets comlets α = [a, a +,...] sot égalemet des irratioels quadratiques réduits. Comme le déveloemet e fractio cotiuée de α est le même que celui de α aux remiers termes rès, celui-ci est ériodique à artir d u certai rag doc tous les α sot irratioels quadratiques. Motros ar récurrece qu ils sot tous réduits. Pour α 0 = α, c est vrai ar hyothèse. Suosos que α soit réduit. Alors, α > et α ] ; 0[. Ecrivos α = a + avec, raelos-le, a = α. Alors, α + α + = > car 0 < α a <. De lus, α > doc a et aisi, état doé que α a α = a + 7, = α a < car α < 0. Il s esuit que α+ ] ; 0[ et doc α + est α + α + réduit ce qui achève la récurrece. Aisi, e articulier, our tout N, α + 6. Evariste Galois, Voir ote 2 age 8. = a α avec 0 < α < doc a = α+. 20

21 Raisoos ar l absurde e suosat que le déveloemet de α est as uremet ériodique. Notos T la lus etite ériode de ce déveloemet et N le remier idice de la remière ériode. Aisi, α = [a 0, a,..., a N, a N,..., a N+T ] avec a N a N+T et N. Par défiitio de T, o a α N = [a N, a N+,..., a,...] = [a N+T, a N+T +,..., a +T,...] = α N+T doc αn = αn+t et, aisi, a N = α N = α +T = a N+T ce qui fourit la cotradictio souhaitée. Aisi, le déveloemet de α est bie uremet ériodique. Réciroquemet, suosos que le déveloemet e fractio cotiuée de α est uremet ériodique i.e. qu il existe u etier T > 0 tel que α = [a 0, a,..., a T ]. Alors, a 0 = a T 0 doc α > a 0. Motros que α ] ; 0[. E rereat le début de la démostratio de la roositio..0 et e remarquat qu ici N = 0 doc α N = α 0 = α, o e déduit que α est racie du olyôme P := q T X 2 + q T 2 T X T 2 où est la ième réduite de α. Comme α >, our motrer q que α ]0 ; [, il suffit de motrer que P admet ue racie das cet itervalle. Or, P 0 = T 2 < 0 et P = q T q T 2 + T T 2. De lus, et q sot croissate car a 0 0 voir la ote age 4 doc P 0 et si P était ul alors o aurait q T q T 2 = T T 2 = 0 doc les réduites R T et R T 2 seraiet égales ce qui est imossible. Aisi, P > 0 et o coclut à l aide du théorème des valeurs itermédiaires. Cette roriété des irratioels quadratiques réduits va servir our étudier le déveloemet e fractio cotiuée de d où d est u etier qui est as u carré arfait e fourissat u algorithme ermettat de détermier la ériode et de calculer les réduites de ce déveloemet. Proositio..4. Soit d u etier aturel qui est as u carré arfait. O ose α := et o ote α la suite des quotiets comlets de α. d + d. Le déveloemet e fractio cotiuée de d est ériodique à artir du rag. Plus récisémet, ce déveloemet est de la forme d = [ a0, a, a 2,..., a T, 2a 0 ]. 2. Il existe deux suites d etiers aturels o uls u et v telles que, our tout etier N, α = u + d v avec u a 0 et v qui divise d u La lus etite ériode T das le déveloemet d est le remier idice k tel que a k = 2a S il existe u etier N, T tel que v N divise u N alors T = 2N et, e articulier, T est air. Preuve. Notos d = [a 0, a,..., a,...] le déveloemet e fractio cotiuée de d. O a doc, e d articulier, a 0 =. Ecrivos, de même, α = [a 0, a,..., a,...] le déveloemet de α. Remarquos que α est irratioel quadratique car α est racie de X a 0 2 d. De lus, ar défiitio, α > car, 0 et état des carrés arfaits, d 2 et α = a 0 d ] ; 0[ uisque d a 0 =. Aisi, α est réduit. O déduit alors de la roositio..3 que so déveloemet est uremet [ ériodique. ] De lus, comme a 0 = α = 2a 0, ce déveloemet est de la forme α = 2a 0, a,..., a T. Preos our T la lus etite ériode de ce déveloemet. O e déduit que le déveloemet de [ ] d = α a 0 est a 0, a, a 2,..., a T, 2a 0 = [ ] a 0, a, a 2,..., a T, 2a 0 car, ar costructio de α, our tout, a = a. 2

22 2. Costruisos les suites u et v ar récurrece. Pour = 0, α 0 = α = a 0 + d doc u 0 = a 0 et v 0 =. Suosos qu o a costruit u et v. Alors, e raelat que a = α, α = u + d = a + u a v + d = a + u + + d v v e osat u + := a v u et, ar suite, α = a + d u 2 + v u + + d = a + u + + d d u 2 + v = a + v u + + d v + e osat v + := d u2 +. Aisi, o eut affirmer que α + = u + + d. Par défiitio, u + v v + est u etier. De lus, comme u a 0 < d, α = u + d > 2u doc, comme α > 8, v v a > α 2 > u ce qui assure que u + > 0. Par ailleurs, u + = a v v u < α v u = d doc u + a 0. Il e reste lus qu à motrer que v divise d u 2 + ce qui rouvera à la fois que v + est etier et que v + divise d u 2 +. Pour le voir, il suffit d écrire d u2 + = d a v u 2 = d u 2 v a 2 v 2a u et d utiliser le fait que, ar hyothèse de récurrece, v divise d u Motros que T est le remier idice tel que a T = 2a 0. Il est équivalet de motrer qu aucu des coefficiets a, a 2,..., a T est égal à 2a 0. Pour cela, remarquos tout d abord que, our tout j, T, α j α. E effet, das le cas cotraire, o aurait α = [2a 0, a,..., a j, α] = [ 2a0, a,..., a j ] et doc le déveloemet serait ériodique de ériode j < T ce qui cotredit la défiitio de T. Suosos alors que j est u idice quelcoque tel que a j = 2a 0. Aisi, comme j, a j = a j doc a j = 2a 0 et aisi u j+ = 2a 0 v j u j. Or, u j a 0 et u j+ a 0 doc v j = et u j+ = u j = a 0. O coclut doc que α j = a 0 + d = α et aisi, d arès la remarque récédete, j /, T ce qui achève la démostratio. 4. Suosos que N, T soit tel que v N divise u N. O va motrer ar ue récurrece fiie que, our tout j 0, N, o a les égalités u N+j+ = u N j, v N+j+ = v N j et a N+j+ = a N j.3 Pour j = 0, sachat que v N divise u N, 2u N est etier. Or, u N < d doc 2u N < u N + d v N v N v N et, comme o l a vu das la reuve de la roositio..3, αn = u N d est u irratioel v N quadratique réduit doc u N d ] ; 0[. Dès lors, u N + d = 2u N u N d < 2u N +. v N v N v N v N v N Il s esuit que a u N + d = = 2u N. Or, ar défiitio, u N+ = a N v N v v N u N doc u N+ = u N. N De lus, sachat que u 2 N+ + v N+v N = d = u 2 N + v Nv N, o eut affirmer que v N+ = v N. Dès lors, a N+ = α N+ = Or, u N = a N v N u N doc a N+ = a N u N d v N u N+ + d u N + d =. v N+ v N = a N α N = a N 8. E effet, α est quadratique réduit d arès la démostratio de la roositio

23 car αn est réduit doc strictemet comris etre et 0. Suosos que les relatios.3 soiet vraies our u certai j 0, N 2. Alors, u N+j+2 = a N+j+v N+j+ u N+j+ = a N j v N j u N j = a N j v N j a N j v N j u N j doc u N+j+2 = u N j. Par suite, e écrivat que u 2 N+j+2 v N+j+2 v N+j+ = d = u 2 N j + v N j v N j 2 = u 2 N+j+2 + v N+j+ v N j 2, o est assuré que v N+j+2 = v N j 2. Efi, e raisoat comme récédemmet, a u N+j+ + d u N j + d N+j+ = α N+j+ = = v N+j+ v N j = a N j u N j d = a N j α N j v N j et doc a N+j+ = a N j car α N j ] ; 0[ ce qui achève la récurrece. Si o alique ceci our j = N, o obtiet, e articulier, que a 0 = a 2N i.e. comme N, 2a 0 = a 2N. Or, d arès le oit 3., sachat que 2 2N 2T < 2T, o e déduit que 2N = T. Exemle..5. Pour u etier qui est as u carré arfait doé d, la démostratio ous doe o seulemet u critère our détermier ue ériode miimale das le déveloemet e fractio cotiuée de d o s arrête dès qu u coefficiet d ue réduite est égale à 2 d mais, qui lus est, il fourit u algorithme our détermier ce déveloemet. Par exemle, si d = 2, o art de α = = uis o écrit successivemet : α = = = 8 + α α = α 2 = α 3 = α 4 = α 5 = = = = = = = = + α 2 2 = = + α 3 2 = = 2 + α 4 20 = = + α 5 = = + α doc α = [8,,, 2,,, α] = [ 8,,, 2,, ] et aisi 2 = [ 4,,, 2,,, 8 ]..2 Le cas = Etat doé deux etiers aturels a et b remiers etre eux, il est classique de résoudre l équatio diohatiee E : ax by = e cherchat ue solutio articulière grâce à l algorithme d Euclide uis l esemble des solutios à l aide du lemme de Gauss. O roose ici ue autre faço de faire mais qui, à y regarder de rès, est sesiblemet la même e utilisat des fractios cotiuées. 23

24 Proositio.2.. Soit a et b deux etiers aturels o uls et remiers etre eux. Alors, l équatio E : ax by = admet ue ifiité de solutios das N 2. Plus récisémet,. si b = alors l esemble des solutios de E das N 2 est {k, ka + k N} ; 2. sio, o ote R m = m q m l avat-derière réduite das le déveloemet e fractio cotiuée du ratioel a b et alors l esemble des solutios de E das N 2 est {kb m q m, ka m m k K m } où K m = N si m est imair et K m = N si m est air. Preuve. Soit x, y N 2 ue solutio de E.. Si b = alors y = +ax doc le coule x, y est de la forme k, ka+ où k N. Réciroquemet, tout coule de cette forme est ue solutio das N 2 de E. 2. Si b, osos r = a b et otos R m la derière réduite das le déveloemet e fractio cotiuée de r de sorte que r = R m = m q m et doc, uisque les écritures sot irréductibles, a = m et b = q m. Comme b, r est as etier et doc m. Dès lors, d arès le lemme..2, aq m b m = m+ doc ax + m q m = by + m m. Comme a et b sot remiers etre eux, o e déduit qu il existe u etier relatif k tel que x = kb m q m et y = ka m m. O cherche de lus x et y das N doc cela imose k m q m et b k m m a. Or, comme a 0 = 0 et q m = b, les suites et q sot strictemet a b croissates 9 doc 0 < m = m < et 0 < q m = q m < et aisi les coditios sur k a m b q m se réduiset à k si m est air et k 0 si m est imair. Réciroquemet, o vérifie que tous les coules aisi obteus sot solutios de E. Exemle.2.2. Cosidéros l équatio 2x 8y =. Comme 2 8 = = = = , + 2 a b = R 4 = [2,,,, 2]. Aisi, = 4, R = R 3 = [2,,, ] = 8 3 solutios de 2x 8y = das N 2 est {8k 3, 2k 8 k N }. et est air doc l esemble des.3 Le cas = 2.3. L équatio de Pell-Fermat O aelle équatio de Pell-Fermat l équatio d icoue x, y N 2 P F d : x 2 dy 2 = où d est u etier relatif. 9. E tout cas, au mois à artir du rag m, voir la ote age 4. 24