Dérivation des fonctions

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1 TS I Dérvablté e u réel ) Déto (octo dérvable e u réel ; ombre dérvé) I est u tervalle (o vde et o rédut à u sgleto) est ue octo dée sur I a est u réel é das I a dt que est dérvable e a lorsque a a I Cette te est appelée le ombre dérvé de e a ; o le ote ) Remarques este et est u réel () ' a (otato de Lagrage) Le résultat de la te est S le résultat de la te est égal à + ou à, alors la octo est pas dérvable e a La déto sert surtout à étuder la dérvablté e u réel partculer et à démotrer des téorèmes 3 ) utre écrture du ombre dérvé ' a Passage de l ue à l autre a a a 4 ) Hstorque a I a a a a Fermat Lebz Calcul tésmal (problème des tagetes) d d XVII e -XVIII e sècle Newto Calcul déretel (problème des vtesses stataées) u XVIII e sècle, D lembert pose la déto modere Lagrage motre au XVIII e sècle l térêt des dérvées pour détermer le ses de varato d ue octo à l ade du sge de la dérvée (prcpe de Lagrage) Fermat (Le Grad Téorème de Fermat) Dérvato des octos 4 ) Vocabulare a a : tau de varato de etre et a a 5 ) Dérvablté à drote ou à gauce e u réel Dérvablté à drote ; ombre dérvé à drote : Dérvablté à gauce ; ombre dérvé à gauce : d ' a II Eemples d étude de dérvablté par métode drecte g a a a ) étode a cerce la te quad a du rapport a a a ou la te quad du rapport S le résultat de cette te est, alors est dérvable e a et ' a a ' a est égal à cette te S cette te este pas ou est e, alors est pas dérvable e a et l y a doc pas de ombre dérvé e a ) Eemple : a é est dée e a et das u vosage de a est-elle dérvable e a? a a pose a a a a a Le résultat de cette te est doc est dérvable e a et ' a a retrouve as le résultat be cou doat la dérvée de la octo carrée

2 3 ) Cotre-eemples a) : est dée e et das u vosage à drote de est-elle dérvable e (à drote)? pose Le résultat de cette te est pas doc est pas dérvable e à drote b) : III Tagete à ue courbe ) Déto (tagete) et coséqueces I est u tervalle est ue octo dée sur I et a u réel é de I est le pot de C d abscsse a a ; a Lorsque est dérvable e a, la courbe C admet pour tagete T, e, la drote passat par et de coecet drecteur ' a Par déto, ' a (ombre dérvé de e a) = coecet drecteur de la tagete T au pot d abscsse a (drote o parallèle à l ae des ordoées) La tagete T admet pour vecteur drecteur le vecteur Formule u ; ' a Ue équato de la tagete T à la courbe C au pot d abscsse a s écrt y ' a a a Représetato covetoelle est dée e et das u vosage de est-elle dérvable e? pose ) Justcato (oto tutve ; l dée de tagete) Pett scéaro qu permet de compredre l dée de tagete à ue courbe Be dstguer ce qu est e : le pot ; la tagete T e de ce qu est moble : le pot ; la drote () Le résultat de cette te est doc est dérvable à drote e et Le résultat de cette te est doc est dérvable à gauce e et ' d ' g d g ' ' doc est pas dérvable e 4 ) Remarque utlsera cette métode qu e des réels partculers (où l y a u problème) utlsera la plupart du temps les ormules de dérvato 3 4

3 C D C D C a ue dem-tagete à drote lorsque la octo est dérvable à drote mas pas à gauce 4 ) llure de la courbe au vosage de la tagete T Pot ordare Pot d leo J J J Les pots d leo serot étudés das le paragrape XV Quad o a ue dem-tagete à gauce et ue dem-tagete à drote, o parle de pot aguleu D est sécate à la courbe Coecet drecteur de D a a La tagete comme posto te des sécates est plus statque mas moble D pvote autour de a at tedre vers a Quad ted vers a, se rapproce de La drote D ted à être tagete e à la courbe 5 ) Tagete ou dem-tagete vertcale (Ne pas coodre avec V aucu rapport) La tagete e est la «posto te» des sécates () quad ted vers a Tagete < lat «tagere» = toucer À l orge au XVII e sècle, o e parlat pas de tagete mas de «toucate» : I a I 3 ) Déto (dem-tagete) Lorsque est dérvable à drote e a, la courbe C admet pour dem-tagete au pot d abscsse a la demdrote d orge drgée par le vecteur u ; ' a d Lorsque est dérvable à gauce e a, la courbe C admet pour dem-tagete au pot d abscsse a la dem-drote d orge drgée par le vecteur u ; ' a Représetato covetoelle g Ue seule lèce Reter qu ue dem-tagete est ue dem-drote 5 6

4 Hypotèse Iterprétato grapque La courbe de la octo race carrée admet ue dem-tagete vertcale e (cette dem-tagete au pot est la dem-drote [y)) est cotue e a à drote a a a a j a j C est cotue e a à drote a a a a est cotue e a à gauce a a a a j j a a est pas dérvable e mas C présete ue dem-tagete vertcale au pot d abscsse a (d équato rédute a ) Ue dem-tagete est représetée par ue seule lèce NB : Il est be évdet que la ormule y ' a a a ue dem-tagete vertcale) 6 ) Règles de tracés des courbes commece par tracer les tagetes ou dem-tagetes partculères : ' a - orzotales - vertcales - d leo est plus applcable pour ue tagete (ou e respectat la posto relatve de la courbe par rapport à ces tagetes au vosage du pot est cotue e a à gauce a a a a j Les drotes asymptotes (H, V, ) ou courbes asymptotes (toujours e + ou e ) utlse esute le tableau de varato et évetuellemet u tableau de valeurs Vércato sur calculatrce grapque ou sur ordateur a IV ppromato ae tagete E gééral, le tableau de varatos doe l allure de la courbe au vosage du pot Eemple : Représetato grapque de la octo race carrée à l orge peut vérer le résultat e utlsat Geogebra dét la octo : tape Tagete[,] (o veut tracer la dem-tagete à la courbe au pot ) Re e se passe : Geogebra e trace pas les tagetes vertcales Itérêt de ce paragrape : téorque plus que pratque ) Proprété (Formule d appromato ae tagete) : I a I é S est dérvable e a, alors l este ue octo dée das u vosage de telle que, pour tout réel, a a ' a o at et (Formule d T e a ou au vosage de a) Recoper le e rouge (varable tads que a est e das cette ormule) ) pplcato au calcul umérque approcé êmes ypotèses qu au ) 7 8

5 Pour «proce» de, o a : a a ' a Be are la dérece etre la ormule d T doée au ) sous orme d ue égalté et cette ormule (doée avec le sge ) 3 ) Démostrato pose a a 'a s a a a ' ' et Pour tout assez proce de, o a a a ' a a P C ' a a a : erreur P Géométrquemet, cela cosste à remplacer au vosage du pot d abscsse a la courbe par u morceau de tagete 4 ) Itérêt e T ale ormule d't - calcul metal (calcul umérque approcé) : calcul complqué calcul smple - démostratos des proprétés d opératos sur les octos dérvables (ous e le eros pas cette aée) - métode d Euler pour les équatos déretelles (vor plus tard et Cours de Pysque) 5 ) Eemples ; appromatos aes tagetes à coaître ' avec a a a : : ' a a a a : a : s a ' avec ' ' a avec avec T : y ' a a a a ' s avec Das les autres cas, l y a aucu térêt à eplcter pplcato umérque,, applque la ormule d T pour,, doc,999, avec, Quelle est l erreur? vec la calculatrce, o trouve :,99999, Doc pour,, o a :,99 (erreur) vot doc l térêt des appromatos pour le calcul metal 6 ) ppromatos o aes (ormules admses sas démostrato) Pour proce de, o a : Ce sot des appromatos o aes mas plus précses Elles sot très utlsées e matématques et e pysque NB : La calculatrce octoe e appromato o ae (La calculatrce utlse des ormules de ce type mas avec plus de termes pour eectuer des calculs) ppromatos utlsées e pysque (par eemple, lors de la dracto de la lumère) s pour proce de ta pour proce de ( e radas) La coassace eplcte de la octo e présete aucu térêt Néamos, das le er cas, doc das ce cas : 9

6 7 ) Récproque de la proprété Éocé : : I a I é S l este u ombre et ue octo dée das u vosage de telle que, a a, pour tout réel, o at et alors est dérvable e a et Démostrato : assez asée ' a Itérêt : démotrer qu ue octo est dérvable e u réel V Le etre la cotuté et la dérvablté ) Proprété S est dérvable e a, alors est cotue e a S est cotue e a, alors est pas orcémet dérvable e a utremet dt, dérvable e a cotue e a (récproque ausse) (Ça e marce que das ce ses-là) ) Démostrato (RC) Focto cotue e a a a Hypotèse : est dérvable e a But : o veut démotrer que est cotue e a D \ a a a a a pred la te des deu acteurs a a a ' a a D où : a a doc par te d'u produt a Focto dérvable e a a La te de este quad a este a et est e a Das ce cas, ' a a a a Doc est cotue e a NB : o pourrat auss utlser la ormule d T 3 ) Cotre-eemples La octo est cotue e mas est pas dérvable e La octo est cotue à drote e mas est pas dérvable à drote e Il este même des octos cotues e tout réel mas dérvables e aucu réel 4 ) Cotraposée dérvable e a cotue e a Cotraposto o cotue e a o dérvable e a P Q Cotraposto (o Q) (o P) (égatos) Traducto e lagage courat «S l pleut, alors je preds mo paraplue» «S je e preds pas mo paraplue, alors l e pleut pas» VI Focto dérvée Passage local global ) Déto est ue octo dée sur u tervalle I dt que est dérvable sur I lorsque est dérvable e tout réel de I La octo dérvée de la octo est la octo Eteso de la déto ' : I ' Lorsque est dée sur u domae D qu est la réuo de pluseurs tervalles, o dt que est dérvable sur D pour eprmer qu elle est dérvable sur tous les tervalles qu costtuet D La dérvée de est alors dée sur D ) Le etre octo dérvable et octo cotue (résulte du V )) S est dérvable sur I, alors est cotue sur I

7 3 ) Dérvées usuelles Esemble de déto Esemble de dérvablté ' k k 3 3 * * * * * * cos s s cos ta \ k,k a b / a b cos a s a a b c d \ k,k / a b ta cos a a b b a s a b b a cos a b d c \ c (Démostratos : vor cours de ère ) 4 ) Domae de dérvablté Déto C est l esemble des réels e lequel la octo est dérvable Eemple : octo race carrée : D * ; D d \ c ad bc c d Remarque Le domae de dérvablté peut être plus pett que le domae de déto VII pératos algébrques sur les octos dérvables ) Règles d opératos u et v sot deu octos dées sur u tervalle I k est u réel é Somme Produt par u réel Produt Iverse Quotet utre ormulato (e raças) : Verso locale S u et v sot dérvables e a I, alors u v est dérvable e a et u v ' a u ' a v ' a S u est dérvable e a I, alors ku est dérvable e a et ku ' a ku ' a S u et v sot dérvables e a I, alors uv est dérvable e a et uv ' a u ' a v a u a v ' a S u est dérvable e a I et u a, alors est dérvable e a et u u ' a ' a u ua S u et v sot dérvables e a I et va, alors u v u u ' ava u av ' a ' a v va est dérvable e a et Verso globale S u et v sot dérvables sur I, alors u v est dérvable sur I et u v u v ' ' ' S u est dérvable sur I, alors ku est dérvable sur I et ku' ku ' S u et v sot dérvables sur I, alors uv est dérvable sur I et uv' u ' v uv' S u est dérvable sur I et e s aule pas sur I, alors u est u ' dérvable sur I et ' u u S u et v sot dérvables sur I et v e s aule pas sur I, alors u v est dérvable sur I et u u ' v uv' ' v v La somme de deu octos dérvables sur u tervalle I est dérvable sur I et la dérvée est égale à la somme des dérvées Le produt de deu octos dérvables sur u tervalle I est dérvable sur I Le quotet de deu octos dérvables sur u tervalle I, la octo du déomateur e s aulat pas sur I, est dérvable sur I ) Démostrato (pour la somme) RC H : u est dérvable e a H : v est dérvable e a 3 4

8 Démotros que u + v est dérvable e a et u v' a u ' a v ' a u va u va pose u a u a v a v a u a u a D'après H u ' a va v a D'après H v' a doc u ' a v' a Le résultat de cette te est doc u v est dérvable e a et u v ' a u ' a v ' a utre métode : avec la ormule d T 3 ) Corollare Les octos polyômes sot dérvables sur Les octos ratoelles sur leur esemble de déto 4 ) Remarque grapque S est dérvable sur u tervalle I, alors C admet ue tagete e tout pot d abscsse a I 5 ) Pot-métode : commet démotrer qu ue octo est dérvable e u réel, est dérvable sur u tervalle dérvable e u réel a a Il aut étuder la te de quad ted a a a vers a (ou de quad ted vers ) et l aut regarder s elle est e adapte pour la dérvablté à drote et pour la dérvablté à gauce VIII Notato de Lebz (déretelle) ) Notato ' d d (Newto : ) dérvable sur u tervalle I (c est-à-dre dérvable e tout réel de l tervalle I) applque les téorèmes d opératos (somme, produt, quotet et composée) Cas partculer : octos polyômes et ratoelles ) Eemples dcos s d d s cos d d e at ae at 3 ) Itérêt Permet de précser par rapport à quelle varable o dérve Vtesse volumque de réacto : d v V dq Itesté : 4 ) rge de la otato y y a m a a a alors : remplacé par d a d ' a d (E pysque, passage du macroscopque au mcroscopque : N dn t ; N N ; d N N ) IX Dérvées successves ) Déto est ue octo dée et dérvable sur u tervalle I Lorsque la octo est dérvable sur I, alors o peut dér la dérvée secode de : '' Lorsque la octo est dérvable sur I, alors o peut dér la dérvée trosème de : ' ' 3 ''' '' ' NB : L ordre de dérvato se met etre paretèses (pour e pas coodre avec u eposat de pussace) ) Eemple : 5 4 D = 3 Notato de Lagrage 5 6

9 Calculer les dérvées successves de est dérvable sur comme octo polyôme ' 3 4 est dérvable sur comme octo polyôme '' 6 est dérvable sur comme octo polyôme ''' ) Notato déretelle de Lebz («de proce e proce») d ' d d '' (atteto à la place du ; pas de sgcato algébrque) d d d 4 ) Utlsato e pysque E mécaque d Vtesse stataée : v dv d ccélérato : a X Dérvée d ue composée dq Itesté d d q q E électrcté ) Téorème de composto verso locale et ormule de dérvato d ue composée et g sot deu octos S est dérvable e a et g est dérvable e sur u tervalle coteat ) Justcato (pas RC mas à coaître) pose b a a b a a q a ( état dée sur u tervalle coteat a et g état dée a ), alors g o est dérvable e a et g o ' a ' a g ' a (tau de varato de e a) g g b g (tau de varato de g e b) b g o g o a g o (tau de varato de g o e a) a cerce g o a eectue ue réécrture de g o à l ade de et g g g b g o a g g b b b a g H : est dérvable e a doc ' a a H : g est dérvable e b doc g ' b b utlse la te d ue composée a b (car H etrae que est cotue e a) a b g ' b (H ) b Par te d ue composée, g g ' a e dédut que g ' b ' a g o a b g ' a ' a La démostrato rgoureuse utlse la ormule d T 3 ) Téorème de dérvato d ue composée verso globale et ormule de dérvato d ue composée est ue octo dée et dérvable sur u tervalle I à valeurs das u tervalle J g est ue octo dée et dérvable sur J La octo g o est dérvable sur I et I g o ' ' g ' 4 ) pplcatos : ormules dédutes du téorème (à utlser drectemet e eercces sas les redémotrer) u est ue octo dée sur u tervalle I Formule * S u est dérvable sur I, alors la octo u est dérvable sur I et u ' u ' u 7 8

10 Formule S u est dérvable sur I et s I u (égalté strcte), alors la octo u est dérvable sur I et u ' u ' u Formule 3 S u est dérvable sur I, alors les octos cosu et s u sot dérvables sur I et cos u ' u 'su s u ' u 'cosu et Formule 4 * S u est dérvable sur I et s I u, alors la octo u Formule 5 S u est dérvable sur I et a et b sot deu réels, alors la octo : u a b tervalle de déto et ' a u ' a b Démostrato de la ormule eprme la octo u I u X v X X v o u v u comme composée de deu octos u est dérvable sur I à valeurs das J v est dérvable sur J et v' Doc d après le téorème de composto, v o u est dérvable sur I I v o u' u ' v' u u ' u u ' u XI Étude de la dérvablté d ue octo sur u tervalle ) Foctos usuelles : polyômes ou ratoelles 3 Eemple : : 3 5 est dérvable sur comme octo polyôme u ' est dérvable sur I et u u est dérvable sur so ' ) pératos algébrques (sommes, produts, quotets) Eemples : : 3 cos est dérvable sur car les octos 3 + et cos sot dérvables sur (règle sur la somme) 3 ) Composées (octos avec radcau) Eemple : : este ce qu est toujours vra D = pose u u et u est dérvable sur Doc est dérvable sur ' ' ' u Eemple : : ' u este SGN de + + SGN de + + SGN de D ; (ermé) pose + u ; u et u est dérvable sur Doc est dérvable sur ; (ouvert) La règle permet de dre que est dérvable sur ; mas o e sat pas s est dérvable e ou e 9

11 Pour l esemble de déto, le radcade dot être post ou ul Pour l esemble de dérvablté avec la règle, le radcade dot être strctemet post ; ' ' u ' u ' Il reste à étuder drectemet (avec le tau de varato) la dérvablté de à gauce e et à drote e Das ce cas, la règle sur u e s applque pas (car l s agt de valeurs qu aulet u) démotre e at que est pas dérvable à gauce e et à drote e (Comme la octo est pas dée à drote de, o étude pas la dérvablté à drote ; comme la octo est pas dée à gauce de, o étude pas la dérvablté à gauce de ) XII Dérvée et ses de varato ) Téorème (adms sas démostrato) Prcpe de LGRNGE est ue octo dée et dérvable sur u tervalle I est crossate sur I s et seulemet s I est décrossate sur I s et seulemet s I est costate sur I s et seulemet s I ) Téorème (adms sas démostrato) ' ' ' est ue octo dée et dérvable sur u tervalle I S est strctemet postve sau évetuellemet e des réels solés où la octo dérvée est ulle, alors est strctemet crossate sur I S est strctemet égatve sau évetuellemet e des réels solés où la octo dérvée est ulle, alors est strctemet décrossate sur I Fgure 3 ) Tableau de varato à la légede! Das u tableau de varato, o e met que des valeurs eactes Pas de barres smples sur la derère lge d u tableau de varato ; que des doubles barres Das u tableau de varato, o lassera toujours les valeurs eactes des etremums Les tableau de varatos dovet comporter les tes au bores ouvertes de so esemble de déto cerce les valeurs carères 4 ) Varatos des octos trômes du secod degré : a b c a est dérvable sur comme octo polyôme ' a b a b b a Tableau de varato Sge de ' Varatos de sge de a = sge de a a b a + b a a b a Sge de ' + Varatos de b a b La octo : a b c ( a ) admet u etremum global sur obteu pour : a - mmum s a - mamum s a Sge de ' Varatos de b b C est ue parabole de sommet S ; tourée a a vers le aut s a vers le bas s a

12 C admet ue tagete orzotale au sommet et admet la drote d équato lorsque le repère est ortogoal b pour ae de symétre a ) Lecture grapque de la tagete (tracés rapdes de paraboles par octos assocées : y 3 ; y 3 ; y ; y ; évetuellemet, sute de trasormatos) C B T XIII Etremums : I dérvable sur I I ouvert ' ) Proprété B' S admet u etremum local e a I, alors ' a C admet ue tagete orzotale au pot d abscsse a ) Proprété S s aule et cage de sge e a, alors admet u etremum local e a ta T 3 ) Esemble de déto ta este cos k ( k ) D \, k k 4 ) Parté Sge de ' Varatos de a + a mmum local XIV Étude de la octo tagete ) Déto appelle octo tagete la octo s : ta cos Sge de ' + Varatos de a a mamum local D est cetré e (s D, alors D ta est mpare s cos s cos ta D ) Vsualsato sur le cercle trgoométrque 3 4

13 C B T peut doc étuder sur u tervalle d ampltude, par eemple ; De plus, comme est mpare, o peut rédure l tervalle d étude à ; 6 ) Dérvée ' B' ' est dérvable sur D (règle sur les quotets) D ' ' cos cos s s cos cos s cos T' cos s ta cos 5 ) Pérodcté démotre que T est ue pérode de S D, alors D Reter cos D ta s cos s cos ta ta ' s ta cos Suvat les cas, l est plus commode d utlser l ue ou l autre 7 ) Varatos est pérodque de pérode T D ' Doc est strctemet crossate sur les tervalles qu costtuet D C B T SGN de Var de + ' ' ' B' 8 ) Lmtes? est dée das u vosage à gauce de sau e 5 6

14 s s doc par te d u quotet cos cos ta ) Tagete à l orge ta' ta La tagete e a pour coecet drecteur Nous admettros que C présete u pot d leo e (c est-à-dre que la courbe traverse la tagete) De même, Doc la courbe C SGN de cos + ta admet les drotes d équatos rédutes et pour V ) Proprétés de la courbe C admet l orge du repère comme cetre de symétre car la octo tagete est mpare C est globalemet varat par la traslato de vecteur u car est pérodque de pérode Coséquece : C admet les drotes d équatos rédutes XV Complémets : pots d leo d ue courbe k k pour V 9 ) Représetato grapque y ) Déto dt qu u pot d ue courbe est u pot d leo lorsque la posto relatve de la courbe par rapport à cette tagete cage ; o dt auss que la courbe «traverse» sa tagete e ce pot parle alors de tagete d leo ) Proprété j est ue octo dée et deu os dérvable sur u tervalle I o vde de ote C sa courbe représetatve das le pla mu d u repère est u réel é das I S '' s aule e et cage de sge au vosage de, alors le pot de C d abscsse est u pot d leo de la courbe C ta ta 4 3 ) pplcato : métode pratque pour détermer les pots d leo d ue courbe calcule la dérvée secode de la octo étude so sge das u tableau de sge 4 ) Eemple 3 cosdère la octo : La courbe représetatve de admet l orge du repère pour pot d leo E eet, ' 3 '' 6 et s aule et cage de sge e 7 8

15 Sge de + '' + er cas : Sge de '' '' + s aule et cage de sge e C Varato de ' Sge de ' + + Varato de j Sge de + Posto de C par rapport à T C est au-dessous de T C et T sot sécates C est au-dessus de T est pot d leo de la courbe C 5 ) Démostrato L équato rédute de la tagete T à C au pot s écrt y ' C et T sot sécates au pot La posto de C par rapport à T cage au vosage de doc est u pot d leo e cas : trate de maère smlare le cas où '' est d abord postve pus égatve Il s agt d étuder la posto relatve de C et de T va étuder la octo dée par ' (repasser e rouge la varable ; observer que et ' est dée sur I et est deu os dérvable sur I comme I ' ' ' (o predra garde que ', I '' '' et sot des costates) au vosage de sot des costates) va dresser les tableau de varato correspodat au deu cas possbles otera que ' et que ' ' ' 9 3

16 XVI Complémet sur les braces es ) But est octo telle que C présete ue brace e lorsque Etuder la brace e j est u pot quelcoque de C d abscsse La drote () est ue sécate y y Le coecet drecteur de () est égal à m ) Étude de cas Lorsque Lorsque () lorsque, o dra que C présete ue brace parabolque de drecto (y) lorsque et a, o dra que C présete ue brace parabolque de drecto Lorsque a et a, o dra que C présete ue brace parabolque de drecto : y a lorsque Das tous les cas, o e parle pas d asymptote mas de drecto asymptotque 3 ) Remarque Ue brace parabolque, ça e peut être qu e ou e 3