LIMITES DE SUITES. n ) u n = 2 n pour n IN 5 ) u n = 2n + 1 n - 5 pour n ³ 6 6 ) u n = (-1)n pour n IN

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1 LIMITES DE SUITES I Limites fiies ou ifiies Exercice 1 Pour chacue des suites, e calculat différets termes, cojecturer la valeur limite de u quad deviet ifiimet grad (c'est-à-dire quad ted vers + ). 1 ) u = 1 pour ³ 1 2 ) u = 22-1 pour IN 3 ) u = 2 pour IN ) u = 2 pour IN 5 ) u = pour ³ 6 6 ) u = (-1) pour IN Exercice 2 O cosidère la suite u défiie par récurrece par u = 4 et u +1 = 1 2 u + 1 pour tout IN 1 ) Calculer u 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4 ; u 5. 2 ) E utilisat ue calculatrice ou u ordiateur, doer u tableau des valeurs approchées à 1-3 près de u 1 à u 1. Cojecturer la valeur limite l de la suite (u ). 3 ) E utilisat u algorithme détermier le premier etier pour lequel o a u < 2,1 Exercice 3 O cosidère la suite u défiie par u = 1 et u +1 = 3 5 u ) E utilisat ue calculatrice ou u ordiateur, doer des valeurs approchées de u 1 à u 1 puis des valeurs approchées de u 2 et de u 5. Emettre ue cojecture sur la valeur limite de la suite (u ). 2 ) Soit h u réel strictemet positif. Motrer que si 5 - h < u < 5 + h alors 5 - h < u +1 < 5 + h. 3 ) Démotrer par récurrece que pour tout ³ 8 o a 4,9 u 5,1 4 ) Détermier u etier N tel que pour tout ³ N o ait 4,999 u 5,1 Défiitio ( voir aimatio ) Soit (u ) ue suite et l u ombre réel. Si tout itervalle ouvert coteat l cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag, o dit que la suite (u ) a pour limite l, ou que la suite (u ) coverge vers l. O écrira = l. u 1 u u 5 u 2 u 6 u 7 u 4 u 3 O e peut evisager la otio de limite d'ue suite que lorsque ted vers +. état u etier la otio de limite lorsque ted vers ou lorsque ted vers 5 (par exemple) 'a pas de sigificatio. Dire qu'ue suite a pour limite u ombre réel l reviet aussi à dire que so terme gééral u est aussi proche de l que l'o veut à partir d'u certai rag. Dire qu'ue suite a pour limite u ombre réel l reviet aussi à dire que tout itervalle ouvert coteat l cotiet tous les termes de la suite sauf u ombre fii d'etre eux. l Propriété (voir démostratio 1) Si ue suite (u ) a pour limite u ombre réel l, alors cette limite est uique. TS Limites de suites page 1 / 9

2 Exercice 4 O cosidère la suite défiie pour tout IN * par : u = 1 1 ) Détermier u etier aturel N tel que : pour tout ³ N u ]-,1 ;,1[. 2 ) Justifier e utilisat la défiitio que =. Exercice 5 O cosidère la suite défiie par u = pour ³ 1. 1 ) Calculer u 1, u 2... u 1 et e doer des valeurs approchées à 1-2 près. 2 ) Observer la représetatio graphique de la suite (u ) doée par ue calculatrice ou u ordiateur. Quelle cojecture peut-o faire sur la limite de la suite (u )? 3 ) O cosidère l'itervalle ouvert de cetre 2 et de rayo,1, c'est-à-dire l'itervalle ]1,99 ; 2,1[. Motrer qu'à partir d'u certai rag à détermier, tous les termes de la suite (u ) appartieet à cet itervalle. 4 ) O cosidère l'itervalle ouvert de cetre 2 et de rayo r, c'est-à-dire l'itervalle ] 2 - r ; 2 + r [. Motrer qu'à partir d'u certai rag à détermier e foctio de r, tous les termes de la suite (u ) appartieet à cet itervalle. 5 ) Démotrer que = 2. Soit (u ) ue suite. Défiitio Si tout itervalle de la forme ]A ; + [ cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag, o dit que la suite (u ) a pour limite +. O écrira = +. Si tout itervalle de la forme ]- ; A[ cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag, o dit que la suite (u ) a pour limite -. O écrira = -. Dire qu'ue suite a pour limite + reviet aussi à dire que so terme gééral u est aussi grad que l'o veut à partir d'u certai rag. Dire qu'ue suite a pour limite + reviet aussi à dire que tout itervalle ]A ; + [ cotiet tous les termes de la suite sauf u ombre fii d'etre eux. Das le cas où ue suite a ue limite l fiie, o dit parfois que la suite coverge vers l, mais o 'utilise pas le terme de covergece das le cas d'ue limite ifiie. Exercice 6 O cosidère la suite (u ) défiie par u = pour ³ ) Doer, e utilisat ue calculatrice ou u tableur, des valeurs approchées à 1-2 près de u 1, u 2... u 7. 2 ) Observer la représetatio graphique de la suite (u ) doée par ue calculatrice ou u tableur. Quelle cojecture peut-o faire sur la limite de la suite (u )? 3 ) O cosidère A u ombre réel. E utilisat u algorithme, détermier, das les différets cas cidessous, le premier etier pour lequel u appartiet à l'itervalle ]A ; + [. A ) Soit A u ombre réel supérieur ou égal à 1. Motrer qu'à partir d'u certai rag à détermier e foctio de A, tous les termes de la suite appartieet à l'itervalle ]A ; + [. Les valeurs trouvées pour correspodet-elles au tableau de la questio précédete? 5 ) Quelle est la limite de la suite (u )? TS Limites de suites page 2 / 9

3 Exercice 7 O cosidère la suite (u ) défiie par u = 6 et pour tout IN u +1 = 7u ) Doer les valeurs exactes de u 1 ; u 2 ; u 3, puis e doer des valeurs décimales à 1-2 près. 2 ) E utilisat ue calculatrice ou u tableur, doer ue valeur approchée à 1-2 près de u 1 et u 2. 3 ) O cosidère A u ombre réel. E utilisat u algorithme, détermier, das les différets cas ci-dessous, le premier etier pour lequel u appartiet à l'itervalle ]A ; + [. A ) Cojecturer la limite de la suite (u ). Exercice 8 Justifier que la suite (-1) 'a pas de limite. Exercice 9 Soit a u ombre réel strictemet positif. 1 ) Démotrer que pour tout etier aturel : (1 + a) ³ 1 + a. 2 ) Soit A u réel. Justifier que pour assez grad, 1 + a > A. 3 ) E déduire que si q > 1, lim q = +. II Limites et ordre Propriété (voir démostratio 2) Soiet (u ) et (v ) deux suites et soit u etier aturel. Si pour tout ³ u v ; si = l et si lim v = l' alors l l'. La propriété ci-dessus 'est pas vraie avec des iégalités strictes. Si u < v alors o e peut pas e déduire l < l', mais seulemet l l'. Par exemple e preat u = et v = 1 ; o a u < v pour tout ³ 1 mais = et lim v =. La propriété ci-dessus permet de comparer deux limites, mais elle e permet pas de démotrer l'existece de la limite d'ue suite. (Cette propriété 'est utilisable qu'à coditio d'être certai que les deux suites ot ue limite) Exercice 1 O cosidère les suites (u ) et (v ) défiies par : u = -1 et pour tout IN u +1 = 3 5 u + 2 ; v = 4 et pour tout IN v +1 = 3 5 v ) Démotrer par récurrece que pour tout IN, o a u < v. 2 ) Si les suites (u ) et (v ) ot des limites fiies l et l' que peut-o dire de l et l'? 3 ) E utilisat u tableur, cojecturer la limite de chacue des suites. Propriété (voir démostratio 3) Soiet (u ) et (v ) deux suites et soit u etier aturel. Si pour tout ³ u ³ v et si lim v = + alors = +. TS Limites de suites page 3 / 9

4 Cette propriété se traduit par : "ue suite supérieure à ue suite tedat vers + ted aussi vers + ". O a ue propriété similaire pour ue suite qui ted vers - : Soiet (u ) et (v ) deux suites et soit u etier aturel. Si pour tout ³ u v et si lim v = - alors = -. Cette propriété se traduit par : "ue suite iférieure à ue suite tedat vers - ted aussi vers - ". Exercice 11 O cosidère la suite (u ) défiie par u = - 8 pour tout IN. 1 ) E écrivat u sous la forme u = ( - 8), détermier u etier tel que u > pour tout ³. 2 ) E déduire la limite de la suite (u ). Propriété (théorème des gedarmes) (admis) Soiet (u ), (v ) et (w ) trois suites et soit u etier aturel. Si pour tout ³ v u w et si lim v = lim w = l alors = l. Exemple O cosidère la suite (u ) défiie pour ³ 1 par u = cos. O sait que pour tout réel x, o a -1 cos x 1 La suite (u ) est doc ecadrée par les deux suites (v ) et (w ) défiies par v = - 1 et w = 1. O a lim v = et lim w =. O peut doc e déduire que =. Exercice 12 O cosidère la suite (u ) défiie pour ³ 1 par u = si 1 ) E utilisat u tableur, cojecturer la limite de la suite (u ). 2 ) Démotrer que pour tout ³ 1, o a 1 2 < u. (O dit que la suite (u ) est miorée par 1 2 ) 3 ) Démotrer qu'à partir d'u certai rag, o a u < ) Justifier que = 1 2. Exercice 13 O cosidère la suite (u ) défiie par u = ) Doer, e utilisat ue calculatrice, des valeurs décimales approchées de u, u 1,..., u 1 et u 1. 2 ) Motrer que pour tout IN, o a -1 u 3. O dit que la suite (u ) est miorée par -1 et majorée par 3. 3 ) Étudier le ses de variatio de la suite (u ). 4 ) Démotrer que pour suffisammet grad o a u > 2,999. Que peut-o peser de la limite de (u )? Défiitio Si pour tout etier o a u M, o dit que la suite (u ) est majorée par M. M est u majorat de la suite (u ). Si pour tout etier o a m u, o dit que la suite (u ) est miorée par m. m est u miorat de la suite (u ). Lorsqu'ue suite est majorée et miorée, o dit qu'elle est borée. TS Limites de suites page 4 / 9

5 Exemple La suite défiie das l'exercice 13 est miorée par -1 et majorée par 3. C'est ue suite borée. Lorsqu'ue suite est majorée, elle 'a pas u uique majorat. Par exemple si (u ) est majorée par 3, elle est, a fortiori, majorée par 4. Il e est de même pour les miorats. Propriété (admise) Ue suite croissate majorée est covergete (c'est-à-dire qu'elle a ue limite fiie). La propriété ci-dessus permet de justifier qu'ue suite a ue limite fiie, mais elle e permet pas de doer la valeur de cette limite. D'après les propriétés vues sur les limites, si ue suite est majorée par K, sa limite, si elle existe, est écessairemet iférieure ou égale à K. De la même faço o admet la propriété : Ue suite décroissate miorée est covergete. Exercice 14 O cosidère la suite (u ) défiie par u = et u +1 = 1 2 u + 1 pour tout IN. 1 ) Calculer u 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4 ; u 5. Placer les poits correspodats sur ue droite graduée. 2 ) Démotrer que la suite (u ) est majorée. 3 ) Démotrer que la suite (u ) est croissate. 4 ) Justifier que la suite (u ) a ue limite fiie. Que peut-o peser de la valeur de cette limite? Remarque Lorsqu'ue suite défiie par récurrece a ue limite fiie l, o admettra que la relatio de récurrece permet de détermier ue relatio vérifiée par la limite l. Attetio éamois, il faut être certai que la suite a bie ue limite fiie. Propriété (voir démostratio 4) Soit (u ) ue suite croissate telle que = l. Alors pour tout etier o a u l. Propriété (voir démostratio 5) Ue suite croissate o majorée a pour limite +. De même ue suite décroissate o miorée a pour limite -. Attetio, ue suite o majorée mais qui 'est pas croissate 'a pas écessairemet ue limite (et de même pour ue suite o miorée mais qui 'est pas décroissate). C'est le cas par exemple de la suite (u ) défiie par u = (-2). Ue suite croissate a doc toujours ue limite, c'est soit ue limite fiie (das le cas où la suite est majorée), soit + das le cas où la suite 'est pas majorée (et de même ue suite décroissate a toujours ue limite). Exercice 15 O cosidère la suite (u ) défiie par u = 1 et pour tout N u +1 = 2u ) Doer des valeurs approchées à 1-3 près de u 1 ; u 2 ;... ; u 1. 2 ) Démotrer que pour tout IN u 3. 3 ) Démotrer que la suite (u ) est croissate. 4 ) Justifier que la suite (u ) a ue limite fiie. Quelle est cette limite. TS Limites de suites page 5 / 9

6 III Opératios sur les limites Propriétés Soiet (u ) et (v ) deux suites. (admises) Si (u ) a pour limite fiie l et si (v ) a pour limite fiie l', alors (u + v ) a pour limite fiie l + l' (u x v ) a pour limite fiie l x l' si l', u v a pour limite fiie l l'. Exercice 16 E utilisat les propriétés précédetes et e sachat que lim 1 =, détermier la limite des suites : 1 ) ³1 2 ) ) ³1 1 2 ³1 4 ) 1-2 ³1 Remarque Les tableaux suivats permettet de doer, das certais cas, la limite de la somme et du produit de deux suites (u ) et (v ) lorsqu'o coaît la limite de chacue des deux suites et la limite de l'iverse d'ue suite (u ) dot o coaît la limite. La plupart des résultats se compreet de faço ituitive. Ils peuvet tous être démotrés e utilisat les défiitios doées précédemmet. l et l' désiget des ombres réels. Limite d'ue somme Si (u ) a pour limite l l l Si (v ) a pour limite l' Alors (u ) + (v ) a pour limite l + l' pas de résultat gééral Limite d'u produit Si (u ) a pour limite l l Si (v ) a pour limite l' Alors (u x v ) a pour limite l x l' pas de résultat gééral Limite d'u iverse Si (u ) a pour limite l Alors 1 u a pour limite 1 l supérieures iférieures + ou TS Limites de suites page 6 / 9

7 Exercice 17 Détermier das chacu des cas la limite de la suite (u ) défiie par : 1 ) u = ) u = ( - 1) 3 ) u = 2-4 ) u = 3-2 Remarque Les résultats des deux tableaux précédets permettet de trouver les résultats pour u quotiet. Limite d'u quotiet Si (u ) a pour limite l l l Si (v ) a pour limite l' Alors u v a pour limite l l' + ou - supérieures ou iférieures pas de résultat gééral supérieures ou iférieures l' pas de résultat gééral Remarque Lorsque le tableau e doe pas de résultat gééral, o parle souvet de «forme idétermiée». Les formes idétermiées sot de 4 types exprimés sous forme abrégée par : + - x Ces otatios, icorrectes, sot à proscrire das u devoir rédigé. Exercice 18 Détermier das chacu des cas la limite de la suite (u ) défiie par : 1 ) u = ) u = (- 1) 1 3 ) u = ) u = Soit q u ombre réel. Si q > 1 alors Propriété (voir démostratio 6) lim q = + Si q = 1 alors lim q = 1 Si -1 < q < 1 alors lim q = Si q -1 alors q 'a pas de limite. Exemples O a lim 3 = + ; lim 1 = ; 2 lim - 99 = ; (-5) 1 'a pas de limite. Exercice 19 1 ) Soit (u ) la suite arithmétique de premier terme u = 3 et de raiso -5. Détermier l'expressio de u e foctio de. E déduire la limite de (u ). 2 ) Soit (v ) la suite géométrique de premier terme v = -5 et de raiso 2. Détermier l'expressio de v e foctio de. E déduire la limite de (v ). 3 ) Soit (w ) la suite défiie par w = x 2. Détermier la limite de (w ). 3 TS Limites de suites page 7 / 9

8 Exercice 2 O cosidère u triagle équilatéral de côté 1. O cosidère la trasformatio qui cosiste à couper chaque segmet e trois segmets égaux et à remplacer la partie cetrale par deux segmets de même logueur. O répète cette trasformatio et o appelle F la figure obteue après trasformatios. O appelle Floco de Vo Koch la figure obteue après u ombre ifii de trasformatios. F F 1 F 2 Soit p le périmètre de la figure F. 1 ) Détermier p et p 1. 2 ) Justifier que la suite (p ) est ue suite géométrique dot o détermiera la raiso. 3 ) Exprimer p e foctio de. Doer des valeurs approchées de p 1 et p 5. Détermier lim p. Exercice 21 U escargot grimpe le log d'u troc d'arbre. La 1 ère heure il grimpe de 1 mètre, la 2 ème heure, fatigué, il e grimpe que de,5 m et aisi de suite : à chaque heure passée il grimpe deux fois mois que l'heure d'avat. 1 ) De quelle distace a-t-il grimpé e 5 heures. 2 ) Pour IN, exprimer e foctio de la distace d dot l'escargot a grimpé e heures. 3 ) Détermier lim d. Que peut-o e coclure? Exercice 22 O cosidère la suite (u ) défiie par u = 18 et u +1 = 1 2 u ) Calculer les valeurs exactes de u 1, u 2, u 3., puis détermier des valeurs approchées de u 4, u 5,..., u 2. 2 ) Motrer que la suite (u ) est décroissate et miorée. Que peut-o e déduire? 3 ) O cosidère la suite (v ) défiie par v = Calculer v, v 1, v 2, v 3. 4 ) Exprimer v +1 et 1 2 v + 3 e foctio de. Que peut-o e coclure? Détermier. Exercice 23 O cosidère la suite (u ) défiie par u = 1 et u +1 = u pour tout IN. 1 ) Calculer u 1 ; u 2 ; u 3. La suite (u ) est-elle arithmétique? géométrique? 2 ) Soit (v ) la suite défiie par v = u + 1 u - 3. a) calculer v ; v 1 ; v 2 ; v 3. b) Exprimer v +1 e foctio de v. Que peut-o e déduire pour la suite (v )? 3 ) Exprimer u e foctio de. Détermier. Exercice 24 O cosidère la suite (u ) défiie par u = 8 et u +1 = 2u - 3 pour tout IN et la suite (v ) la suite défiie pour tout IN par v = u ) Calculer u 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4 et v ; v 1 ; v 2 ; v 3 ; v 4. 2 )Exprimer v +1 e foctio de v. Que peut-o dire de la suite (v )? 3 ) Doer l'expressio de v e foctio de et e déduire l'expressio de u e foctio de. 4 ) Justifier que tous les ombres u, sauf u, ot ue écriture décimale se termiat par le chiffre 3. TS Limites de suites page 8 / 9

9 Exercice 25 ( voir aimatio ) O cosidère la suite (u ) défiie par u = 4 et u +1 = u + 1 pour tout IN. O cosidère la foctio f défiie par f(x) = x + 1. O admettra que f est croissate. 1 ) Tracer das le repère ci-dessous, la courbe (C) de f, et la droite D d'équatio y = x. Placer sur l'axe (Ox) le poit A d'abscisse u. 2 ) Placer sur la courbe (C) le poit B d'abscisse u. Quelle est l'ordoée de B? (o doera la valeur exacte et ue valeur approchée). Tracer la droite parallèle à (Ox) passat par B. Cette doite coupe D e u poit C. Quelles sot les coordoées de C? Tracer la droite parallèle à (Oy) passat par C. Cette droite coupe (Ox) e u poit A 1. Justifier que A 1 a pour abscisse u 1. 3 ) Repredre la méthode de la questio 2 ) pour costruire les poits B 1, C 1, A 2, puis les poits B 2, C 2, A 3. 4 ) Cojecturer, à l'aide du graphique, la limite l de la suite (u ). 5 ) E utilisat ue calculatrice ou u ordiateur, cojecturer ue valeur approchée à 1-6 près de l. Doer la valeur exacte de l. 6 ) La valeur de l sera-t-elle différete si o chage la valeur du premier terme u? Exercice 26 ( voir aimatio ) O cosidère la suite (u ) défiie par u = 4 et u +1 = 1 2 u + 1 pour tout IN. O cosidère la foctio f défiie par f(x) = 1 2 x ) Tracer das u repère orthoormal d'uité 1cm, la courbe ( ) de f, et la droite D d'équatio y = x. 2 ) E utilisat la méthode de l'exercice 25, costruire les poits de l'axe (Ox) d'abscisses u 1 ; u 2 ; u 3.; u 4. 3 ) Calculer u 1 ; u 2 ; u 3.; u 4. 4 ) Cojecturer, à l'aide du graphique, la limite l de la suite (u ). 5 ) E utilisat la suite (v ) défiie par v = u - 2, détermier l'expressio de u e foctio de. Démotrer que (u ) a ue limite et doer la valeur de cette limite. TS Limites de suites page 9 / 9