Ift Chapitre 7. Introduction. aux valeurs propres et aux vecteurs propres

Transcription

1 Ift 4 Chaptre 7 Itroducto au valeurs propres et au vecteurs propres Ift4 Chaptre 7

2 Défto : S A est ue matrce de, alors u vecteur o ul est dt vecteur propre de A s A est appelé valeur propre de A, et vecteur propre de A correspodat à Eemple : A 8 S > Dlatato S << Cotracto S < Chagemet de drecto Ift4 Chaptre 7

3 Calcul aalytque des valeurs propres et des vecteurs propres A ( I ) A Nous avos ue soluto o ulle ss ( I) det A Équato caractérstque de A Les valeurs satsfasat cette équato sot les valeurs propres de A Eemple : A I A det ( I A) det L équato caractérstque de A est + Ift4 Chaptre 7

4 Ift4 4 Chaptre 7 Eemple : trouver les valeurs propres de: A 5 et trouver les vecteurs propres de: A 7 6 det 7 6 Les valeurs propres sot:, 4 et

5 La localsato des valeurs propres : Théorème de Gerschgor A a pour à a ( a ) S ous chosssos tel que ma a a Posos a a r C est à dre la sommato des valeurs absolues des élémets de la lge sauf a a a Ift4 5 Chaptre 7

6 La localsato des valeurs propres Les dsques de Guerschgor sot défs par : { } D a r, à Théorème : Les valeurs propres de la matrce A sot élémets de l uo des dsques D S U D Note : O vérfe toutes les possbltés pour à qu pourraet vérfer (vecteur) propres ma pour chaque valeur Pusque les valeurs propres peuvet être complees, ous obteos des dsques das le pla complee S la matrce A est symétrque, les valeurs propres sot réelles et les dsques deveet de smples tervalles 4 a : cetre du dsque r : rayo du dsque Ift4 6 Chaptre 7

7 Eemple : 4 A 6 { } D a r, r a 4 peut être complee : + D : cetre (4,), rayo D : cetre (,), rayo D : cetre (-6,), rayo ( ) ( ) R 4 + ( ) ( ) R I 4 + ( ) ( ) R I I R I Ift4 7 Chaptre 7

8 Corollares : La localsato des valeurs propres Les valeurs propres de la matrce A sot auss élémets de l uo des dsques D T costrut à partr de sa trasposée A T : S T U D T Note : E effet, A et A T ot les mêmes valeurs propres Les valeurs propres de la matrce A apparteet doc à l tersecto de S et S T : ( S S T ) Ue bore supéreure pour la plus grade valeur propre est doc : m ma K a, ma K a Ift4 8 Chaptre 7

9 Eemple (sute) : pouvos ous amélorer le résultat? 4 A T 6 D T : cetre (4,), rayo D T : cetre (,), rayo D T : cetre (-6,), rayo ( S S T ) Note : corollare : { [ 6 8] [ 7 8] } m ma,,,ma,, Ift4 9 Chaptre 7

10 Démostrato du corollare A a pour à a Il y a u tel que : ma a a Nous e coassos pas le e questo, ous chosssos le ma des sommatos des élémets des lges ma a S ous cosdéros A T, la trasposée de A : ma a m ma K a, ma K a Ift4 Chaptre 7

11 Méthode des pussaces Supposos que ous cherchos la plus grade valeur propre de la matrce A ( ) et que cette matrce possède vecteurs léaremet dépedats,,, assocés respectvemet au valeurs propres,,, qu sot das l ordre > K > La valeur propre est dte domate Tout vecteur de R peut doc s écrre : c pusque les vecteurs propres de A formet ue base de R E multplat ce vecteur par A, ous obteos : ( ) ( ) A c A c S ous répétos cette opérato fos : ( ) ( ) ( ) A c c + c c + + K Ift4 Chaptre 7

12 Or ous avos < pour Doc le terme c devet domat dès que est assez grad Doc pour assez grad, ous avos : ( ) c ( ) + + c c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + A e chosssat composates, ous obteos : ( + ) ( ) Nous obteos doc la plus grade valeur propre et so vecteur propre e même temps Dépassemet de la capacté de l ordateur? Ift4 Chaptre 7

13 Pour évter de dépasser les capactés de l ordateur, ous avos térêt à ormalser les vecteur térés à chaque étape ; ous pouvos par eemple rameer à la plus grade composate (e valeur absolue) de, e applquat l algorthme : A y m ( ) ( ) ( ) Ay y m M ( ) ( ) ( ) Ay y m ( ) ( ) ( ) où m est la composate de de module mamum Das ces codtos, ous avos falemet, pour assez grad : M y + y m ( + ) m Ay + + doc m y Ay + Remarque : lm m lm y v r Ift4 Chaptre 7

14 Ift4 4 Chaptre 7 Eemple : A 7 6 ( ) r / /

15 Remarques : Nous avos : A A A A A A A Pour obter la plus pette valeur propre, ous pouvos doc utlser la méthode des pussaces sur a - S ( ), alors la covergece sera très lete car rapde << dot être vra pour avor ue covergece Le cho du vecteur tal fluece beaucoup la rapdté de la covergece S le vecteur tal est près du vecteur propre r alors les coeffcets c,, serot pett par rapport à c ( ) ( ) A c + c + K+ c Ift4 5 Chaptre 7

16 Eemple : A 7 6 A ( ) A A y A y A y Valeurs eactes : r 857 Ift4 6 Chaptre 7

17 Commet obter la deuème valeurs propres? Méthode de déflato a Calculer de et r par la méthode des pussaces b Costrure A : A A r r T ( ) r T r c Applquer à ouveau la méthode des pussaces sur A et r Remarque : A possède les mêmes que A sauf E effet : A r r T ( ) r r T r r ( ) r T r A r r r T r r r T ( ) r r T ( ) A A A T T r r r r r r r r r Ift4 7 Chaptre 7

18 Eemple : A 7 6 A A [ ] ( ) A A y M A y r 99 4 Ift4 8 Chaptre 7