SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1
|
|
- Marie-Agnès Moreau
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE. Exercice. Ue suite de réels positifs qui coverge vers 0 est décroissate à partir d u certai rag. C est faux. Pour costruire u cotre-exemple, o pourrait cosidérer la suite (u ) qui vaut u = pour les termes pairs et u = pour ceux d idice impair. Il s agit d ue suite de réels positifs qui est jamais décroissate car o a u k < u k+ pour tout k 3. Cépedat, cette série coverge vers 0, car 0 u pour tout.. Toute suite croissate et majorée est borée C est vrai, démotros-le. Soit (u ) ue suite réelle croissate et majorée. Cela sigifie que u u + pour tout et qu il existe u ombre réel M tel que u M pour tout. Puisque la suite est croissate, tous les termes sot plus grads ou égaux à u 0 et o a doc u 0 u M pour tout 0. Pour obteir ue bore, il suffit doc de choisir le maximum etre u 0 et M, autremet dit : u max{ u 0, M }. 3. Si la suite (u ) coverge alors u + u 0 quad +. C est vrai. E effet, supposos que la suite (u ) coverge vers la limite l. O va démotrer que, das ce cas, les différeces etre deux termes cosécutifs de la suite tedet vers 0. Pour faire cela o se sert de l astuce usuelle de sommer et de rester la valeur de l : u u + = u l + l u + u l + u + l. État doé ε > 0, posos ε = ε. Puisque la limite de la suite u est l, il existe u etier positif ε tel que, pour tout ε o a u l < ε. Par coséquet, si ε + u u + u l + u + l ε + ε = ε + ε = ε. Cela motre que u u + ted vers 0. Das la questio suivate o verra que la réciproque est pas vraie. 4. Si u + u 0 quad + alors (u ) coverge. C est faux. Suivos l idicatio de l éocé et cosidéros la suite u = l(). Par les propriétés usuelles de la foctio logarithme : ( ) + u + u = l( + ) l() = l.
2 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE Puisque la suite + coverge vers lorsque ted vers l ifii et que la foctio l(x) est cotiue e x =, o a u + u l() = 0. O dispose doc d ue suite telle que u + u ted vers 0. Mais u = l() e coverge pas, car le logarithme est pas boré.. Exercice. La suite u = est divergete : elle ted vers l ifii. E effet, état doée u ombre réel M quelcoque, le terme u [M]+ = [M] +, où [M] représete la partie etière de M, est plus grad que M.. Puisque ( + 3) pour tout et que l o viet de voir que cette derière suite ted vers l ifii, il e va de même pour u = ( + 3). 3. La suite u = ( ) est divergete. E effet, supposos par l absurde qu elle ait ue limite l. Preos ε =. Par défiitio, il existe tel que u l pour tout. Les seules valeurs possibles de la suite état et, la limite l doit apparteir e même temps à l itervalle de cetre et de rayo et à celui de cetre et de rayo, ce qui est impossible car ces itervalles e se coupet pas. 4. La suite u = est covergete : sa limite est 0. E effet, il s agit + d ue suite à termes positifs qui est toujours plus petite que, dot la limite est 0. Pour répodre aux questios qui restet, o va d abord éocer ue propositio qui ous sera utile : Propositio.. Soiet (u ) ue suite réelle qui coverge vers l R et f : R R ue foctio cotiue e l. Alors la suite f(u ) coverge vers f(l). 5. La suite u = l( ) est divergete : elle ted vers. O est teté d appliquer ici le critère que l o viet de voir. La limite de la suite u = lorsque est 0, mais la foctio logarihtme est pas défiie e 0. Cépedat, o sait que l(x) ted vers lorsque x La suite u = exp( ) est covergete : sa limite vaut. E effet, la + suite coverge vers 0 car elle satisfait aux iégalités 0 < < + + pour tout. Puisque la foctio expoetielle est cotiue e 0, o a exp( ) exp(0) = La suite u = si( ) est covergete : sa limite vaut 0. O suit le même schéma que das la questio précédéte : la suite ted vers 0 et puisque le sius est cotiu e 0, o a : si( ) si(0) = 0.. Plus gééralemet, ce raissoemet motre qu ue suite qui pred ue ifiité de fois deux valeurs distictes e peut pas être covergete.
3 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 3 8. La suite u = cos( π ) est divergete. Rappelos que le cosius est πpériodique, doc la suite e pred que les valeurs 0 (pour impair), (pour multiple de 4) et (pour pair, mais o multiple de 4). Ue telle suite e peut pas être covergete, comme o l a vu das la troisième partie de cet exercice. 3. Exercice 3 Pour résoudre les questios de cet exercice o utilisera pricipalemet le théorème qui affirme que la limite d ue somme (resp. d u produit) de suites covergetes est la somme (resp. le produit) des limites.. La suite u = ( ) + est divergete. E effet, o a vu e cours que si ue suite est covergete, alors toute sous-suite extraite est covergete de la même limite. Par coséquet, pour motrer que u est divergete il suffit d exhiber deux sous-suites extraites ayat des limites distictes : les termes pairs u = + coverget vers, tadis que ceux d idice impair, u + = + ot limite. +. La suite u = cos( ) + est covergete : sa limite vaut. D u côté, la suite coverge vers 0 et puisque la foctio cosius est cotiue e 0, o a : cos( ) cos(0) =. De l autre côté, 0 car le terme gééral est toujours positif et plus petit que. O e déduit que la somme de deux suites coverge vers + 0 =. 3. La suite u = 3i+4 + est covergete : sa limite est. Puisqu il s agit maiteat d ue suite complexe, o étudie séparémet la partie réelle et la partie imagiaire. O a u = a + b i avec a = 4 + et b = 3. État doé que a et que b 0, la suite u coverge vers le ombre complexe + 0i =. 4. La suite u = cos( )( + ) est covergete : sa limite vaut. Par le 3 même raisoemet que l o a utilisé das la deuxième partie, la suite cos( ). De l autre côté, +. Puisque les deux limites sot 3 fiis, la limite de u est le produit des limites, c est-à-dire :. =. 4. Exercice 4 Das cette partie, le critère fodametale pour démotrer la covergece d ue suite sera le théorème des gedarmes. Ceci affirme que lorsque a u b pour tout et que a et b coverget vers la même limite, disos l, la suite u est aussi covergete de limite l.. La suite u = ( ) est covergete : sa limite vaut 0. E effet, les suites et coverget vers 0 et l o a u pour tout.
4 4 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE. La suite u = si() est covergete de limite 0. O sait que le sius d u ombre réel pred des valeurs comprises etre et. Cela ous permet d obteir l ecadremet u. O e déduit que u 0 car les suites et coverget vers La suite u = cos()+3 est covergete : sa limite vaut 0. E effet, le cosius d u ombre réel preat des valeurs comprises etre et, o a u 4. Les suites et 4 coverget vers 0, doc il e va de même pour u. 4. La suite u = ei est covergete de limite 0. Pour le voir, o peut faire appel à l idetité e i = cos() + si()i. O doit alors traiter la suite complexe u = a + b i, où a = cos() et b = si(). Les questios précédetes motret que tat a que b coverget vers 0, doc u Exercice 5 Soit u = P () ue suite dot le terme gééral est défii comme u quotiet Q() de deux polyômes P et Q. E factorisat le umérateur et le déomiateur par la puissace la plus haute, o motre que : a. Si deg(p ) = deg(q), alors (u ) coverge vers le quotiet des coefficiets pricipaux de P et de Q. b. Si deg(p ) > deg(q), alors (u ) est divergete. E fait, la suite ted vers + si le quotiet des coefficiets pricipaux de P et Q est positif et vers sio. c. Si deg(p ) < deg(q), alors (u ) coverge vers 0. E pratique, pour calculer la limite d u quotiet de polyômes, il suffit de comparer les dégres du umérateur et du déomiateur.. La suite u = + est covergete de limite /. E effet, e divisat 3 tout par, o obtiet : u = +. D u côté, la limite de + est 3 ; de l autre côté, 3 ted vers. O e déduit que u.. La suite u = 3+ est covergete de limite 0 car le degré du déomiateur est plus grad que celui du 3 + umérateur. 3. La suite u = 5 +7 ted vers + car le degré du umérateur est supérieur au degré du déomiateur et que le quotiet des coefficiets 4 pricipaux est positif. 4. La suite u = +( ) est pas u polyôme e, mais o peut appliquer la même méthode pour calculer sa limite. E divisat par ( ) le umérateur et le déomiateur, o obtiet u = lorsque ted vers l ifii, doc (u ). ( ) + ( ), qui ted vers
5 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 5 6. Exercice 6. Ici o recotre u premier exemple de suite pour laquelle le théorème qui affirme que la limite d ue somme des suites est la sommes des limites doe ue répose idetermiée, à savoir. Das otre cas, la suite u = est divergete : elle ted vers. Pour le démotrer, o multiple et divise par + : = ( )( + ) + = = + +. Puisque la suite ( ) du umérateur ted vers et que le déomiateur coverge vers, o e déduit que ted vers.. La suite u =! est covergete : sa limite vaut 0. E effet, ue petite astuce ous permet d écrire le terme gééral sous la forme! ( )( ) = = ( )( ) ( ). Puisque tous les facteurs sot plus petits que, o peut remplacer les [ ] premiers par pour obteir l iégalité! [/] + < ( ) ( ). Esuite, o observe que si i /, alors i < / = /, doc les facteurs qui restet sot tous plus petit que /. Par coséquet : 0 <! ( ) [/] <. La suite majorate covergeat vers 0, il e va de même pour u. 3. La suite u = si(!) est covergete : sa limite est 0. E effet, + puisque le sius d u ombre réel est toujours compris etre et, o a si(!) et par coséquet le umérateur de la suite vérifie 3 si(!). O e déduit que 3 si(!) e o coclut grâce au théorème des gedarmes. 7. Exercice 7 Le but de cet exercice est de démotrer u critère de covergece pour les suites à termes positifs, à savoir : Propositio 7. (Règle de d Alembert). Soit (u ) ue suite de ombres réels strictemet positifs telle que la suite ( u + u ) coverge vers u réel a.
6 6 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE (i) Si a <, alors la suite coverge vers 0. (ii) Si a >, alors la suite ted vers +. O fera la démostratio e plusieurs étapes :. Doos des exemples de suites pour lesquelles a = 0, et. Premièremet, soit u = +!. Alors u + = + u ( + )! +! = + ( + ) coverge vers a = 0 car il s agit d u quotiet de polyômes dot le déomiateur est de degré plus grad que le umérateur. Deuxièmemet, preos u =, Alors u + = u + coverge vers a = lorsque ted vers l ifii. Troisièmemet, o peut cosidérer la suite u =. E effet : u + + lim = lim + u + + = lim + + =.. Supposos que u + u coverge vers a <. O utilisera d abord la défiitio de suite covergete pour coclure que (u ) est décroissate à partir d u certai rag. E effet, si l o pred ε = a, alors il existe u etier positif N tel que pour tout > N, u + u a a a a 3a < u + u < u + u < a + a < + a. Par hypothèse a <, doc +a <. Alors la deuxième iégalité etraîe que u + u < pour tout N, autremet dit la suite (u ) est décroissate à partir de l idice N. O a doc ue suite décroissate et miorée (par 0). D après le théorème que l o a vu e cours, (u ) coverge vers ue limite l 0 car tous les termes de la suite sot positifs. Supposos par l absurde que la limite était pas 0. Alors u + lim = lim + u + = l + u lim + u l =, ce qui cotredit l hypothèse a <. Par coséquet, (u ) est ue suite covergete dot la limite vaut 0.. Sigalos que, quad il s agit d étudier la covergece, la situatio est la même que si l o avait ue suite décroissate dès le début.
7 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 7 3. Supposos maiteat que a > et choisissos u ombre réel b tel que < b < a. Par défiitio de limite, il existe u etier positif 0 tel que u + u > b pour tout 0. E écrivat u sous la forme u = u u u u u 0 + u 0 u 0, o voit que u u 0 b 0 pour tout 0. Or la suite miorate est ue costate fois ue suite géométrique de raiso plus grad que, doc elle ted vers l ifii. O e déduit que u + elle aussi. 4. Lorsque a = o e peut rie dire sur la covergece de la suite. Cosidéros les exemples u =, que l o a déjà vu das la première partie, et v =. Das le premier cas, il s agit d ue suite de limite 0, tadis que das le deuxième la suite diverge. Par cotre, la limite des quotiets succesifs est das le deux cas : u + lim = lim + u + + = = lim + + v + = lim. + v 8. Exercice 8 Rappelos que l o dit que deux suites réelles (u ) et (v ) sot adjacetes si les trois propriétés suivates sot satisfaites : a. (u ) est croissate. b. (v ) est décroissate. c. v u coverge vers 0 lorsque ted vers l ifii. Comme o l a démotré e cours, si deux suites réelles sot adjacetes, alors elles coverget et ot la même limite. Das otre situatio, o a u = +! +! + +!, v = u +!. Vue la défiitio précédete, il faut d abord vérifier que la suite (u ) est croissate. E effet, [ u + u = +! + + ] (! + + ( + )!! + + )! = ( + )! > 0, doc u + > u pour tout et la suite est (strictemet) croissate.
8 8 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE Esuite, regardos ce qui se passe avec (v ). Calculos la différece [ ] ( v + v = u + + u + ) ( + )!! = (u + u ) + ( + )!! = ( + )!! = ( + )! 0 pour tout, doc v v + et il s agit d ue suite décroissate. Il e ous reste à prouver que la trosième coditio. O a v u = et la! limite de cette suite est bie 0 car 0 <.! Par coséquet, (u ) et (v ) sot des suites adjacetes. D après le théorème rappelé au début o e déduit qu elles coverget vers la même limite Exercice 9 Le but de cet exercice est de motrer que la suite défiie par u ombre réel u 0 > 0 et par la récurrece u + = ) (u + au, où a est u ombre réel positif quelcoque, coverge vers la racie carrée de a.. C est u simple calcul, qui utilise que les idetités pour le carré d ue somme et d ue soustractio : u + a = ( u + a ) a = ) (u + a + a a 4 u 4 u ) ) (u a + (u a au = (u a) = 4 u = 4 4u. Pour motrer que si > alors u a, il suffit d utiliser l idetité de la questio précédete. E effet, u + a = (u a) 0 4u car le terme á droite est le quotiet d u ombre réel o égatif par u ombre réel positif. Par coséquet, u + a pour tout 0, ce qui reviet à dire u a pour tout. Prouvos maiteat que la suite (u ) est décroissate. Comme d habitude, calculos la différece u + u = ) (u + au u = ( ) a u. u 3. C est le ombre e!
9 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 9 O viet de voir que u a, ce qui etraîe u a u a u a u u 0. O e déduit que u + u 0, doc (u ) est décroissate. 3. Le raissoemet ci-dessus motre que (u ) est ue suite décroissate et miorée par a. D après le critère de covergece que l o a vu e cours, (u ) est ue suite covergete. Notos l sa limite. Afi de calculer la valeur de l o utilise la relatio de récurrece. O a : ( ) lim u = lim u + = + + lim u + + a lim + u et par coséquet l satisfait à l équatio l = ( l + a ) l = l + a l l l = a, d où lim + u = a, ce que l o voulait démotrer. 0. Exercice 0 Das cet exercice o va travailler avec ue suite (x ) telle que x 0 = 0 et que le terme x + est l image du terme précédet par la foctio réelle f(x) = x3 9 + x Il s agit de motrer que cette suite coverge vers le seul poit fixe de la foctio f das l itervalle [0, /].. Soit g(x) = x 3 3x + = 0. C est ue foctio cotiue. Comme g(0) = > 0 et g(/) = (/) 3 3/ + = 3/8 < 0, le théorème de Bolzao 4 implique qu il existe ue racie α de l équatio x 3 3x+ = 0 das l itervalle [0, /]. Esuite, pour motrer qu il y e a pas d autres, il suffit de voir que la foctio g est décroissate etre 0 et /, ce qui découle du fait que la dérivée g (x) = 3x 3 es égative car x < si x [0, /].. E fait, l équatio f(x) = x équivaut à celle que l o viet d étudier : f(x) = x x3 9 + x = x x3 9 x = 0, ou ecore x 3 3x + = 0 e multipliat par 9 les deux termes. O e déduit que α est le seul poit fixe de f das l itervalle [0, /]. 4. Rappelos l éocé : Soit g : [a, b] R ue foctio cotiue. Si g(a) et g(b) e sot pas de même sige, alors il existe au mois u réel c [a, b] tel que g(c) = 0. C est u cas particulier du théorème des valeurs itermédiaires.
10 0 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 3. La coditio f(r + ) R + est triviale à vérifier : si x > 0 alors x 3 > 0 et x > 0, doc f(x) est la somme de trois termes positifs. Puisque x = f(0) = /9 > 0, tous les termes de la suite (u ) sot o égatifs. Motros maiteat que f est croissate. E effet, la dérivée f (x) = x état toujours positive, f est croissate sur tout R. E déduissos que la suite (x ) est croissate, c est-à-dire x x + pour tout 0, par récurrece sur. Il suffit doc de vérifier que cette propriété est vraie pour = 0 et que si elle est vraie pour u etier quelcoque, alors il va de même pour +. La premiére étape est déjà faite car x 0 = 0 < x = f(0) = /9. Supposos que x < x + pour u etier fixe. Puisque la foctio f est croissate, cela etraîe f(x ) < f(x + ), doc x + < x +. Cela motre que la suite (u ) est croissate. 4. Le calcul évidet motre que f(/) = ( ) = = 4 <. E déduissos que 0 x < / pour tout 0, à ouveau par récurrece. Das la première étape, il y a rie à faire car x 0 = 0 vérifie bie 0 x 0 < /. Supposos doc que 0 x < / pour u etier fixé. Alors 0 x + = f(x ) car la foctio f evoie des ombres o égatifs e des ombres o égatifs, et x + = f(x ) < f(/) < / car x < / par hypothèse et l o viet de démotrer que f est croissate. 5. Les questios 3 et 5 motret que (u ) est ue suite croissate majorée. Par coséquet, d aprés le critére que l o a vu e cours, elle est covergete. Sa limite l satisfait à la relatio l = lim x + = lim f(x ) = f( lim x ) = f(l), la derière égalité état justifiée par la cotiuité de la foctio f est cotiue. Doc f(l) = l, autremet dit l est u poit fixe de f. D u autre côté, l appartiet à l itervalle [0, /] à cause des iégalités 0 x < /. Par coséquet, la seule valeur possible de l est α, come o l a vu das la questio.
Limites des Suites numériques
Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet
Plus en détail. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1
Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S
Plus en détailChapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détailCHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES
CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.
Plus en détailSéries réelles ou complexes
6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés
Plus en détailx +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.
Plus en détailConvergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9
Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios
Plus en détail1 Mesure et intégrale
1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios
Plus en détail14 Chapitre 14. Théorème du point fixe
Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de
Plus en détailEtude de la fonction ζ de Riemann
Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice
Plus en détailSuites et séries de fonctions
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de
Plus en détailSéquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire
Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa
Plus en détailComportement d'une suite
Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **
Plus en détailIntégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :
Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +
Plus en détailExo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X
Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour
Plus en détailLes Nombres Parfaits.
Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailProcessus et martingales en temps continu
Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de
Plus en détailII LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009
M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted
Plus en détailDénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions
Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter
Plus en détailDes résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières
Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received
Plus en détailSÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1
Plus en détailGroupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que
Plus en détail4 Approximation des fonctions
4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour
Plus en détailPolynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.
Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités
Plus en détailDénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices
Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.
Plus en détailFEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue
Plus en détailSTATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES
STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................
Plus en détailSolutions particulières d une équation différentielle...
Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod
Plus en détailLES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.
Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la
Plus en détailIntroduction : Mesures et espaces de probabilités
Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,
Plus en détail20. Algorithmique & Mathématiques
L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus
Plus en détailCours de Statistiques inférentielles
Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios
Plus en détailConsolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe
Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das
Plus en détailSTATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES
STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie
Plus en détail16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.
16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme
Plus en détailTRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )
RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude
Plus en détailFormation d un ester à partir d un acide et d un alcool
CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester
Plus en détailExercices de mathématiques
MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris
Plus en détailPROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS
PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS ET APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES J. L. NICOLAS Cet article expose sup 3 e quelques iter'f~reces etre les pr'obl~res dloptimisatio e hombres etiers et la th~or-ie
Plus en détailUNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4
UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»
Plus en détailDeuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES
DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces
Plus en détailSéries numériques. Chap. 02 : cours complet.
Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm
Plus en détail55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.
55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique
Plus en détailProbabilités et statistique pour le CAPES
Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes
Plus en détailProcessus géométrique généralisé et applications en fiabilité
Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailModule 3 : Inversion de matrices
Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que
Plus en détailLa spirale de Théodore bis, et la suite «somme=produit».
Etde d e vrite de l spirle de Théodore, dot issce à e site dot les sommes prtielles sot égles x prodits prtiels. Mots clés : spirle de Théodore, théorème de Pythgore, site, série, polyôme. L spirle de
Plus en détailLe marché du café peut être segmenté en fonction de deux modes de production principaux : la torréfaction et la fabrication de café soluble.
II LE MARCHE DU CAFE 1 L attractivité La segmetatio selo le mode de productio Le marché du café peut être segmeté e foctio de deux modes de productio pricipaux : la torréfactio et la fabricatio de café
Plus en détailStatistique descriptive bidimensionnelle
1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets
Plus en détailUn nouvel opérateur de fusion adaptatif. A new adaptive operator of fusion. 1. introduction
A ew adaptive operator of fusio par Fraçois DELMOTTE LAMIH, Uiversité de Valeciees et du Haiaut-Cambrésis, Le Mot Houy, BP 3, 5933 Valeciees CEDEX 9 fdelmott@flore.uiv-valeciees.fr résumé et mots clés
Plus en détailPROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales
PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières
Plus en détail2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul
Plus en détailEXERCICES : DÉNOMBREMENT
Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris
Plus en détailPOLITIQUE ECONOMIQUE ET DEVELOPPEMENT
POLTQU ONOMQU T DVLOPPMNT TRUTUR DU MAR NATONAL DU AF-AAO T PR AU PRODUTUR MALAN Beïla Beoit osultat PD N 06/008 ellule d Aalyse de Politiques coomiques du R Aée de pulicatio : Avril 009 Résumé e papier
Plus en détailChapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction
Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats
Plus en détailChaînes de Markov. Arthur Charpentier
Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.
Plus en détailCours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE
Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-
Plus en détailUV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1
UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. remy.garadel@utbm.fr ) page SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau
Plus en détailUniversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015
Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir
Plus en détailStatistique Numérique et Analyse des Données
Statistique Numérique et Aalyse des Doées Arak DALALYAN Septembre 2011 Table des matières 1 Élémets de statistique descriptive 9 1.1 Répartitio d ue série umérique uidimesioelle.............. 9 1.2 Statistiques
Plus en détailLE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe
Plus en détailRésolution numérique des équations aux dérivées partielles (PDE)
Résolutio umérique des équatios au dérivées partielles (PDE Sébastie Charoz & Adria Daerr iversité Paris 7 Deis Diderot CEA Saclay Référeces : Numerical Recipes i Fortra, Press. Et al. Cambridge iversity
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailIntégrales généralisées
3 Iégrles géérlisées Pour ce chpire, les focios cosidérées so priori défiies sur u iervlle réel I o rédui à u poi, à vleurs réelles ou complees e coiues pr morceu. L défiiio e les propriéés de l iégrle
Plus en détailUNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce
UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce Aée Uiversitaire 2003 / 2004 Auditoire : Troisième Aée Études Supérieures Commerciales & Scieces Comptables DÉCISIONS FINANCIÈRES Note de cours N 3 Première
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus
Plus en détailRégulation analogique industrielle ESTF- G.Thermique
Chapitre 5 Stabilité, Rapidité, Précisio et Réglage Stabilité. Défiitio Coditio de stabilité. Critères de stabilité.. Critères algébriques.. Critère graphique ou de revers das le pla de Nyquist Rapidité
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailInitiation à l analyse factorielle des correspondances
Fiche TD avec le logiciel : tdr620b Iitiatio à l aalyse factorielle des correspodaces A.B. Dufour & M. Royer & J.R. Lobry Das cette fiche, o étudie l Aalyse Factorielle des Correspodaces. Cette techique
Plus en détailcapital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...
Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1
Plus en détailContribution à la théorie des entiers friables
UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN
Plus en détailLa France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe
1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios
Plus en détailc. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives
Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires
Plus en détailStatistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1
Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques
Plus en détailChap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)
Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie
Plus en détailIntégrales dépendant d un paramètre
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Iégrales dépeda d u paramère Covergece domiée Exercice [ 9 ] [correcio] Calculer les limies des suies do les ermes gééraux so les suivas : a) u = π/4
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailDETERMINANTS. a b et a'
2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio
Plus en détailSommaire Chapitre 1 - L interface de Windows 7 9
Sommaire Chapitre 1 - L iterface de Widows 7 9 1.1. Utiliser le meu Démarrer et la barre des tâches de Widows 7...11 Démarrer et arrêter des programmes...15 Épigler u programme das la barre des tâches...18
Plus en détailTerminale S. Terminale S 1 F. Laroche
Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailLes algorithmes de tri
CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS PARIS MEMOIRE POUR L'EXAMEN PROBATOIRE e INFORMATIQUE par Nicolas HERVE Les algorithmes de tri Souteu le mai JURY PRESIDENTE : Mme COSTA Sommaire Itroductio....
Plus en détail3.1 Différences entre ESX 3.5 et ESXi 3.5 au niveau du réseau. Solution Cette section récapitule les différences entre les deux versions.
3 Réseau Le réseau costitue u aspect essetiel d u eviroemet virtuel ESX. Il est doc importat de compredre la techologie, y compris ses différets composats et leur coopératio. Das ce chapitre, ous étudios
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailRenseignements et monitoring. Renseignements commerciaux et de solvabilité sur les entreprises et les particuliers.
Reseigemets et moitorig. Reseigemets commerciaux et de solvabilité sur les etreprises et les particuliers. ENSEMBLE CONTRE LES PERTES. Reseigemets Creditreform. Pour plus de trasparece. Etreteir des rapports
Plus en détailPrincipes et Méthodes Statistiques
Esimag - 2ème aée 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 15 x y Pricipes et Méthodes Statistiques Notes de cours Olivier Gaudoi 2 Table des matières 1 Itroductio 7 1.1 Défiitio et domaies d applicatio de la statistique............
Plus en détailS euls les flux de fonds (dépenses et recettes) définis s ent l investissement.
Choix d ives i s s eme e cer iude 1 Chapire 1 Choix d ivesissemes e ceriude. Défiiio L es décisios d ivesissemes fo parie des décisios sraégiques de l erepris e. Le choix ere différes projes d ivesisseme
Plus en détailPetit recueil d'énigmes
Petit recueil d'éigmes Patxi RITTER (*) facile (**) mois facile (***) pas facile (****) il faudra de l aide Solutios e rouge. 1) Cryptarithme (**) Trouvez la valeur de A, B et C satisfaisat l équatio suivate.
Plus en détailTélé OPTIK. Plus spectaculaire que jamais.
Télé OPTIK Plus spectaculaire que jamais. Vivez toute la puissace de la télévisio sur IP grâce au réseau OPTIK 1 de TELUS et découvrez-e l extraordiaire potetiel. Télé OPTIK MC vous doe la parfaite maîtrise
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailUniversité Pierre et Marie Curie. Biostatistique PACES - UE4 2013-2014
Uiversité Pierre et Marie Curie Biostatistique PACES - UE4 2013-2014 Resposables : F. Carrat et A. Mallet Auteurs : F. Carrat, A. Mallet, V. Morice Mise à jour : 21 octobre 2013 Relecture : V. Morice,
Plus en détail