SOLUTION EXACTE DU PROBLEME INVERSE DE VALORISATION DES OPTIONS DANS LE CADRE DU MODELE DE BLACK ET SCHOLES

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1 SOLUTION EXACTE DU PROBLEME INVERSE DE VALORISATION DES OPTIONS DANS LE CADRE DU MODELE DE BLACK ET SCHOLES NIKOLAY SUKHOMLIN PHILIPPE JACQUINOT Le résultat prncpal e cette étue rése ans l expresson e la volatlté une opton en foncton es autres paramètres ntervenant ans le moèle classque e Black et Scholes. Cette expresson, exacte, est éute e manère analytque pus vérfée e manère numérque. Mots clés : Moèle e Black et Scholes, volatlté mplcte, problème nverse e valorsaton es optons. hal , verson - 4 May 007 EXACT SOLUTION OF THE INVERSE PROBLEM OF OPTION PRICING IN THE BLACK-SCHOLES MODEL The man result of ths stuy concerns the expresson of the volatlty of an opton as a functon of the other parameters ntervenng n the tratonal Black-Scholes moel. Ths expresson, exact, s frstly euce n an analytcal way an seconly verfe wth smulate ata. Key wors : Black Scholes moel, mple volatlty, nverse problem of opton prcng. Classfcaton JEL : G3, G5 INTRODUCTION Le moèle formulé en 973 par Black et Scholes est, epus l année e son nventon, emeuré la perre e touche e la théore es optons et e la pratque es marchés e prouts érvés. Il permet, ans es contons strctes, e valorser une opton en foncton e paramètres ont les valeurs sont connues ou observables, tels que le taux ntérêt, et un paramètre non observable : la volatlté. Très vte s est posée la queston u problème nverse vsant à connaître le paramètre non observable en foncton es paramètres habtuels, ont les valeurs sont connues ou observables, et e la valeur e l opton, également observable. Un gran nombre auteurs, parm lesquels Bouchouev et Isakov (997), Charella et al (003), Cont et al (004), Egger et al (006) se sont penchés sur la résoluton u problème nverse e valorsaton es optons. Ils se sont heurtés, ans leurs approches respectves, à es complcatons mportantes. D autres, tels que Hull (006), ont estmé, e manère plus racale, que cette nverson état mpossble. Department of Physcs, the Autonomous Unversty of Santo-Domngo; Department of Economy, the Pontfcal Catholc Unversty of Santo-Domngo, Domncan Republc, Unversté Pars, Pantheon Sorbonne, France. Chargé e cours vacatare ans les épartements e Scences Economques, e Scences e Geston et à l Insttut Amnstraton es Entreprses e Pars. ph.jacqunot@laposte.net ; phlppe.jacqunot@unv-pars.fr Auteur e corresponance : Nkolay Sukhomln w797865@gmal.com, ww797865@yahoo.fr, Department of Economy, the Pontfcal Catholc Unversty of Santo-Domngo, Domncan Republc, Ave. Abraham Lncoln, Esq. Romulo Betancourt, Ap. 748, Tel , ext 44, Fax: Copyrght : Sukhomln N., Jacqunot Ph. 04/05/007 /9

2 Les éveloppements qu suvent présentent la soluton analytque au problème e l nverson e la formule e Black et Scholes pus sa vérfcaton numérque. Nous partons es résultats es étues e symétres effectuées par Sukhomln (004, 006) et es approches quanttatves sur los e conservaton proposées par Sukhomln et Jacqunot (006). FORMULATION ANALYTIQUE EXPLICITE DE LA VOLATILITE L équaton aux érvées partelles e Black et Scholes est couramment exprmée e la manère suvante : V t + V V σ S + r S rv = 0, S S hal , verson - 4 May 007 où V est la valeur e l opton, S la valeur u sous-jacent à l nstant t, r le taux ntérêt sans rsque (supposé constant) et σ la volatlté (supposée constante). La conton aux bornes est : V = max (S - K; 0) à l échéance pour une opton achat e style européen 3 concernant un sous-jacent ne procurant pas e flux. Les constantes K et T représentent respectvement le prx exercce et l échéance ( t [ 0, T ]). La soluton classque e Black et Scholes s écrt : avec : V = S N ) F( t ) N ( ), F ( t) N( ) ( r ( T t ) K e, π e u / u, ln S ln K + ( β ), ln S ln K β, σ T t, () r β. () σ Etant onné que : = +, 3 Seule l étue es optons achat est présentée pusque tous les résultats peuvent être faclement étenus aux optons e vente. Copyrght : Sukhomln N., Jacqunot Ph. 04/05/007 /9

3 l est possble écrre 4 : S N ) = F( t) N ( ). Sot par alleurs la foncton : ( avec : V V () (), (3) V (), V / (ln S) () et V V / (ln S ). Compte tenu e la proprété e la lo normale : N ( ) = N ( ), l vent : = S N ( ), (4) hal , verson - 4 May 007 ou encore : Sot et = F ( t ) N ( ). E l élastcté e la foncton auxlare par rapport à S : E ln ln S = ln S ln K +, ( ) β ( E β ) = ln K ln S. (5) En remplaçant et β ans la relaton (5) par leurs expressons ans () et (), la volatlté peut alors rectement être exprmée e la manère suvante : σ = ln ( K / S) r ( T t) ( T t)( E ). (6) Dans cette formule, la volatlté est ans écrte en foncton u quotent entre le prx u sousjacent et le prx exercce, u taux ntérêt sans rsque, e la maturté et e l élastcté e la foncton auxlare. Cette ernère est une combnason e érvées premère et secone e la valeur e l opton par rapport au logarthme u sous-jacent. La volatlté est onc ben éfne e manère exacte en foncton es autres paramètres u moèle. Les valeurs e ces ernères sont connues, observables ou calculables à partr e onnées e marché. 4 Vor par exemple Wlmott et al (995). Copyrght : Sukhomln N., Jacqunot Ph. 04/05/007 3/9

4 VERIFICATION NUMERIQUE L objectf es propos qu suvent est e vérfer e manère numérque l expresson recte e la volatlté formulée à la fn e la secton précéente La méthoologe employée repose sur la smulaton e onnées. La valeur une opton achat V est calculée à l ae e la formule e Black et Scholes en utlsant une maturté (T-t), un prx exercce K, un taux ntérêt sans rsque r, une volatlté σ et un prx u sous-jacent S onnés. L opératon est répétée en onnant au sous-jacent es valeurs successves fférentes. On compare ensute la volatlté calculée en se fonant sur la formule (6) avec celle qu a serv pour smuler les onnées. De manère chffrée, les valeurs choses u sous-jacent vont e 95 à 05 par saut e 0,0, le prx exercce est égal à 00 (mleu e la plage es valeurs u sous-jacent), le taux ntérêt est égal à 4%, la maturté est égale à 0, et la volatlté est égale à 0%. hal , verson - 4 May 007 Pour chaque valeur S u sous-jacent, la valeur e est calculée en utlsant la formule qu sut : où [ 0;000 ] = π ln S ln K + ( β ) S e,, Ν, S = 0 95 ; S = et S = 0, + S 0. Cette formule est l expresson scrète e l égalté (4), après érvaton e la lo normale 5. La représentaton graphque e (fgure ) est une courbe concave. 500 Fgure Ks K= 00 r = 0,04 σ = 0, S T-t=0,0 T-t=0,40 T-t=0,60 5 Les calculs e sur onnées scrètes en partant e la formule (3) aboutt à es onnées vosnes au mllonème e la valeur approchée près. Copyrght : Sukhomln N., Jacqunot Ph. 04/05/007 4/9

5 Pour es maturtés plus mportantes que 0,, la courbe est mons élevée et plus aplate 6. L utlsaton e la formule (6) nécesste le calcul l élastcté e. Cec peut être fat, sur onnées scrètes, à l ae e la formule suvante : Ε ln( ) ln ( - ) = ln(s ) ln(s ) [ ;000 ]. - Afn apprécer vsuellement, l est possble e reformuler l expresson (6) comme sut : ln S ln K E = + β. (7) D après cette relaton, l élastcté est une foncton lnéare écrossante e ln (S/K) avec pour coeffcent recteur / et oronnée à l orgne β. hal , verson - 4 May 007 L élastcté étant un rapport e varatons entre eux ponts, l est nécessare pour représenter correctement l élastcté e assocer, pour chaque comprs entre et 000, E à ln( S ) + ln(s- ) ln K. Sur la fgure, l élastcté e calculée sur onnées smulées semble apparemment ben être une foncton lnéare écrossante e ln(s/k). E Fgure Elastcté e Ks K= 00 r = 0,04 σ = 0,,9,7,4, 0,8 βσ ( T t) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,8 -, β -,4 -,7 -,9 -, -,5 -,8 ln(s/k ) -0,00-0,05-0,00-0,005 0,000 0,005 0,00 0,05 0,00 T-t=0,0 T-t=0,40 T-t=0,60 6 La valeur u sous-jacent pour laquelle la valeur e Ks est maxmale peut être, selon la valeur e r, supéreure, égale ou nféreure au prx exercce. Copyrght : Sukhomln N., Jacqunot Ph. 04/05/007 5/9

6 En utlsant la même méthoe et en onnant es valeurs e 0,40 pus e 0,60 à la maturté, les eux courbes supplémentares obtenues sont vsuellement es rotes passant par la même oronnée à l orgne et ont la pente est mons négatve. Cec semble conforter la valté e la relaton (7). D un pont e vue ynamque, la rote tourne avec le passage u temps autour u pont fxe ( 0, β ), ans le sens es agulles une montre. La connassance e β permet asément e connaître la volatlté. La valté expérmentale e la relaton (6) peut être apprécée également en la réécrvant comme sut. ( ln K ln S) = 0 ( E β ). (8) En utlsant les onnées smulées, l est possble e calculer le résu ε éfn e la manère suvante : hal , verson - 4 May 007 ln(s ) + ln(s- ) ε = ( E β ) ln K. Sur la représentaton graphque e ε l n apparaît vsuellement aucune tenance. 0, , , Fgure 3 Expresson 8 : résus e calcul ε K = 00 r = 0,04 σ = 0, T t = 0, 0, c -0, , , S Les valeurs e ε parassent unformément répartes e part et autre e l axe es abscsses, sans évoluton apparente e la sperson. Dès lors que et son élastcté ont été calculés, l est possble e calculer la volatlté. Copyrght : Sukhomln N., Jacqunot Ph. 04/05/007 6/9

7 La relaton (6) peut être transcrte e la manère suvante : σ calc ln(s ) + ln(s- ) ln K r ( T t) = ( T t) ( E ) [ ;000 ]. On peut alors étermner l écart entre la volatlté calculée et la volatlté ayant serv pour la smulaton es onnées : ε = σ σ calc. Cet écart est représenté graphquement sur la fgure 4. Fgure 4 hal , verson - 4 May 007 0, , , , , , ε Volatlté - résus e calcul K= 00 r= 0,04 σ= 0, T t = 0, 0, S Les valeurs se partagent unformément e part et autre e l axe es abscsses, avec une sperson plus forte autour e la valeur u spot égale 99, qu correspon à la valeur e l élastcté e proche e 0,5. La formule (6) montre la forte sensblté au vosnage e cette valeur. L approxmaton lée au calcul sur onnées scrètes a onc es effets amplfés autour e ce pont. Un changement échelle permet observer e manère plus précse ce phénomène (vor fgure 5). Copyrght : Sukhomln N., Jacqunot Ph. 04/05/007 7/9

8 Fgure 5 hal , verson - 4 May 007 0, , , , , , , Volatlté - résus e calcul - zoom K= 00 r= 0,04 σ= 0, ε T t = 0, -0, S -0, ,5 99,0 99,5 00,0 L écart maxmal entre la valeur e la volatlté calculée à partr e la formule (6) et la valeur e la volatlté ayant serv à smuler les onnées est e l orre u mllarème e cette ernère. La formule (6) éute e manère analytque semble ans, à es seuls acceptables, être corroborée par les chffres. CONCLUSION Contrarement à un préjugé courant ans la lttérature fnancère, le problème nverse e valorsaton es optons u moèle e Black et Scholes peut être résolu e manère exacte. Dans la premère secton e ce ocument, la soluton analytque a été présentée. Dans la secone secton, elle a été vérfée e manère numérque par la smulaton e onnées. Plus largement, le résultat c obtenu a eu pour pont e épart l analyse e la symétre spécfque e la soluton classque e Black et Scholes trouvée par Sukhomln (006). La connassance e cette symétre cachée a perms la constructon une expresson e la volatlté mplcte en foncton es paramètres observables sur le marché va l ntroucton une nouvelle caractérstque «grecque». Cette approche peut s avérer fructueuse pour le égagement autres proprétés es systèmes ynamques fnancers. Les ébouchés futurs en matère e recherche théorque et applquée sont multples. D un pont e vue fonamental, les enchaînements analytques e cet artcle peuvent par exemple être utlsés pour extérorser la volatlté ans es moèles représentant es extensons u moèle classque e Black et Scholes. D un pont e vue pratque, les travaux peuvent porter sur l applcaton es formules théorques aux onnées réelles pour tenter e capter avec plus acuté qu actuellement la volatlté mplcte hstorque. Copyrght : Sukhomln N., Jacqunot Ph. 04/05/007 8/9

9 Remercements : Phlppe Jacqunot remerce vvement, e leur confance et e leur souten, les responsables es formatons où l ntervent. Nkolay Sukhomln exprme sa grattue à la fonaton e SEESCyT, à M Roberto Reyna et au Département e Physque e la UASD pour leur coopératon et l ae apportée. BIBLIOGRAPHIE : Black F., Scholes M. (973), The prcng of Optons an Corporate Labltes, Journal of Poltcal Economy, 8 (ma/jun), Bouchouev I. an Isakov V. (997), The nverse problem of opton prcng, Inverse Problems, v. 3, pp. -7 hal , verson - 4 May 007 Charella C., Craock M. an El-Hassan N., (003), An Implementaton of Bouchouev's Metho for a Short Tme Calbraton of Opton Prcng Moels, Computatonal Economcs, v., n. -3, pp Cont R., Tankov P., Voltchkova E. (004), Opton prcng moels wth jumps: ntegrofferental equatons an nverse problems. Publshe n : P. Nattaanmäk, T. Ross, S. Korotov, E. Onate, J. Péraux an D. Knorzer (Es.) European Congress on Computatonal Methos n Apple Scences (ECCOMAS 004)}, Jyväskylä. Egger H., Hen T. an Hofmann B. (006), On ecouplng of volatlty smle an term structure n nverse opton prcng, Inverse Problems, v., Hull J. (006), Optons, Futures an Other Dervatve Securtes, 6 th eton, Upper Sale Rver, N.J., Prentce Hall, 006 Sukhomln N. (004), Smetría y nuevas solucones e la ecuacón e Black Scholes, Boletín e la Asocacón Matemátca Venezolana, Vol. XI, No., pp Sukhomln N. (006), Ley e conservacón el preco fnal en el moelo e Black Scholes, Economía, Unversa e los Anes, Venezuela, n. 7-8, pp Sukhomln N., Jacqunot Ph. (006) Los e conservaton et moèle e Black et Scholes: généralsaton au cas u portefeulle mult-composants, Communcaton au XV è Symposum e Méthoes Mathématques Applquées aux Scences (SIMMAC), Unversté Antlles Guyane, Guaeloupe, France, 8- avrl 006 Wlmott P., Howson S., Dewynne J. (995), The Mathematcs of Fnancal Dervatves, Cambrge Unversty Press. Cambrge Copyrght : Sukhomln N., Jacqunot Ph. 04/05/007 9/9