Chaîne de Markov - Télétrafic - Files d'attente

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1 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS Chaîe de Marov - Télétrafc - Fles d'attete Verso 5 Mchel Terré lectroque L terre@camfr lectroque B

2 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS Raels de robablté Le dmesoemet d'u réseau de Télécommucatos demade quelques calculs de robabltés élémetares Il 'est as écessare de déveloer ue théore très comlète our suvre ces calculs Il est ceedat écessare de savor calculer quelques robabltés codtoelles et quelques momets statstques Ce aragrahe raelle les otos de robablté écessares our ce cours Les lecteurs coassat be le domae euvet doc asser drectemet au aragrahe véemets et robablté Cosdéros le cas d'ue arte de roulette à 6 cous chaque tetatve l y a 6 sortes ossbles O déft as l'esace des résultats ossbles : S { } O eut alors défr u évéemet comme u sous esemble de S s l'évéemet { 4} sortes ou 4 de la roulette O eut alors défr l'évéemet comlémetare { 3 5 6} corresod aux Deux évéemets sot dts exclusfs s ls 'ot aucu ot commu C'est à dre s la réalsato d'u des évéemets red l'autre mossble L'évéemet { 3 6} B est as exclusf ar raort à l'évéemet De la même maère, et sot exclusfs O déft la somme ou l'uo de deux évéemets comme l'esemble des valeurs des deux évéemets s e trodusat { 3} C, l'évéemet D B C rerésete l'esemble les valeurs { 3 6} D O déft l'tersecto de deux évéemets comme l'esemble des valeurs qu sot commues aux deux évéemets s B C est costtué ar l'esemble des valeurs { 3} Ue mesure de robablté P ou lus smlemet ue robablté est ue alcato qu assoce à chaque élémet de S u réel comrs etre et et qu vérfe les rorété suvates : [ ] P : S, chaque évéemet aarteat à l'esemble S o assoce sa robablté P () Cette robablté est ostve est féreure ou égale à P( ) P ( ) et P ( S ) Pour tous les évèemets et B tels que B alors P ( B) P( ) P( B) dédut alors : Pour deux évèemets quelcoques : P P ( ) P( ) ( B) P( ) P( B) P( B) lectroque B

3 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS f, s l'o cosdère ue famlle d'évéemets exclusfs et : xemle : alors : j cec j P Pour le cas de la roulette cosdérée chaque valeur a ue robablté de "sortr" La robablté de est P ( ) 6 6 et la robablté de B, et B état exclusfs est doée ar : P ( ) 3 P ( B) Cosdéros mateat des esembles quelcoques, c'est à dre as oblgatoremet exclusfs, et laços ous das le cas de deux évéemets et B j Das le cas gééral o écrt : ( ou, et) P( P(,B j ) P( B j ) B j ) P( ) P( B j ) P( B j ) Probabltés codtoelles O déft auss les robabltés codtoelles C'est à dre la robablté d'avor u évéemet évéemet B j est vérfé Cette robablté codtoelle s'écrt P B ), et elle s'obtet au moye de l'équato : ( j O eut écrre l'équato das l'autre ses, o obtet alors : xemle : P(, B j ) P ( B j ) P( B ) P(, B j ) P ( B j ) P( ) rereat les cas de la roulette évoquée récédemmet, l vet : P ( C B) j 3 sachat qu'u autre lectroque B 3

4 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS Idéedace L'déedace statstque de deux évéemets sgfe que la robablté d'u des deux évéemets 'est as fluecée ar la réalsato ou o réalsato de l'autre évéemet Das le cas de deux évéemets déedats doc : P ( B j ) P( ) O e dédut alors au moye des robabltés codtoelles : P (, B j ) P( ) P( B j ) et B j, o a Varable léatore, desté et focto de réartto Varable aléatore S l'o cosdère u esace S et u élémet s S, o eut défr ue focto X (s) dot le domae est S et qu est à valeurs réelles La focto X (s) est aelée ue varable aléatore xemle : Cosdéros ue arte de le ou face L'esace S cotet deux ots P(le) et F(ace) S { P F} O eut alors défr ue focto X (s) de la maère suvate : ( s P) X ( s) ( s F) Les exemles résetés jusqu'alors ot toujours cosdéré u esemble S comortat u ombre f de valeurs O arle alors de varables aléatores dscrètes Ceedat l'esemble S eut très be être costtué de valeurs cotues O arle alors, our X (s), de varable aléatore cotue Focto de réartto O cosdère alors des évéemets du tye { X x}, exresso das laquelle x est ue valeur réelle etre [ ] La robablté de cet évéemet s'écrt alors : F( x) P( X x) O arle auss de focto de réartto our la focto F (x) 3 Desté de robablté O déft la desté de robablté (x) de la varable aléatore X comme la dérvée de la focto de réartto F (x) ar raort à x ou ecore x) df( x) dx ( x [ ] x F x) ( u) du ( x [ ] Lorsque l'o est cofroté au roblème d'estmer la robablté our qu'ue varable aléatore X sot comrse das u tervalle ( ) x x, avec x > x, o cosdère les deux évéemets suvats : lectroque B 4

5 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS { X x } et { X x } O eut alors décomoser l'évéemet { X x } e deux évéemet exclusfs { X x } et { x < X x } O a alors l'équato de robablté suvate : D'où : 3 Momets statstques P ( X x ) P( X x ) P( x < X ) F P x ( x ) F( x ) P( x < X ) x ( x < X x ) F( x ) F( ) x x ( x < X x ) P ( x) dx S l'o cosdère ue varable aléatore de desté de robablté (x), o déft la moyee ou l'esérace de X de la maère suvate : O déft la varace de X ar : ( X ) m x X x( x) dx Var( X ) σ ( ) X X m X ( x m X ) ( x ) dx déveloat l'exresso récédete, o motre que ( ) X σ X X m O démotre faclemet les rorétés suvates : Sot X u esemble de varables aléatores, alors : trodusat u coeffcet scalare α, o a : Das le cas de varables aléatore Var X X déedates : Var ( X ) ( α X ) α( ) X ( α X ) α Var( X ) X Var ( X ) 4 Quelque los usuelles 4 Varable aléatore uforme Ue varable aléatore uformémet réarte etre [ a] est ue varable aléatore cotue à valeurs das [ a] dot la desté de robablté est de la forme : lectroque B 5

6 Le calcul de l'esérace doe : ( x), x a ( x), x ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS [ a] [ a] ( X ) a a x x( x) dx xdx a a a Le calcul de la varace doe : Var ( X ) x ( x) dx a a a 3 x x dx a 3 a 3 4 Varable aléatore gaussee Ue varable aléatore gaussee est ue varable aléatore cotue reat valeur das [ ] et dot la desté de robablté est de la forme : ( x) πσ ( xm ) X X σ e, X La desté gaussee est exrmée au moye de la moyee moyee est ulle et rédute s la varace est égale à x [ ] m X et de la varace X σ La lo est dte cetrée s la 43 Varable aléatore exoetelle Ue varable aléatore exoetelle est ue varable aléatore cotue reat valeur das [ ] et dot la desté de robablté est de la forme : ( x), x < ( x) e x, x Le calcul de la moyee et de la varace sot résetés das le cours sur les modèles de trafc 44 Varable aléatore bomale Var( X ) ( X ) ( X ) ( X ) ( X ) Ue varable aléatore bomale est ue varable aléatore dscrète reat valeur das { } défe ar les robabltés suvates : Le calcul de l'esérace doe : P( X P( X ) ) lectroque B 6

7 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS ( X ) ( ) ( ) ( ) ( ) Var( X ) Chaîe de Marov U rocessus stochastque { X ( t) } t T exérece aléatore chaque stat t T, ( t) est ue focto du tems dot la valeur à chaque stat déed de l'ssue d'ue X est doc ue varable aléatore S l'o cosdère u tems dscret o ote alors { X } u rocessus stochastque à tems dscret S l'o suose ef que les varables aléatores X e euvet redre qu'u esemble dscret de valeurs, o arlera de rocessus à tems dscret et à esace d'état dscret Ce aragrahe va aborder les rocessus à tems dscret et à esace d'état dscret Le chatre sur le télétrafc abordera our sa art les rocessus à tems cotu et à esace d'état dscret Défto d'ue chaîe de Marov { X } est ue chaîe de Marov à tems dscret s et seulemet s : P ( X j X, X,, X ) P( X j X ) ème La robablté our que la chaîe sot das u certa état à la étae du rocessus e déed doc que de l'état du ème rocessus à l'étae récédete (la ) et as des états das lequel l se trouvat aux étaes atéreures O défra ue chaîe de Marov comme homogèe lorsque cette robablté e déed as de O eut alors défr la robablté de trasto d'u état vers u état j otée j : ( X j X ) trodusat l'esemble des états ossbles oté, o a : P O déft alors la matrce de trasto [ ], j j P j j j P M M 3 K 3 O K O lectroque B 7

8 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS Rerésetato sous forme de grahes Les chaîes de Marov euvet être rerésetées grahquemet sous la forme d'u grahe oreté O assoce alors u œud à chaque état et u arc oreté à la robablté de trasto xemle Das cet exemle o a : L'esemble des état est {,, 3, 4} L'aalyse du grahe ermet de détermer mmédatemet : 3 4 s que : 4 et 3 33 La matrce de trasto s'écrt : 4 P 3 33 Régme trastore L'aalyse du régme trastore d'ue chaîe de Marov cosste à détermer le vecteur () des robabltés d'être das u état j à l'étae : Ce vecteur de robabltés déed : de la matrce de trasto P du vecteur de robabltés tales () [ ( ) ( ) ( )] ( ) K Card( ) Pour étuder ce vecteur de robablté o eut fare les remarques suvates : or ce qu s'écrt ecore : ce qu eut s'écrre matrcellemet : [ X j] j ( ) P [ X j] P[ X j X ] P[ X ] P j ( ) j ( ) ( ) ( ) P lectroque B 8

9 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS utlsat fos cette exresso, l vet : ( ) ( ) P O eut auss trodure la robablté de trasto de l'état à l'état j e m étaes, otée [ X j X ] ( m) j P m (m) j : 3 Classfcato des états Ue chaîe de Marov est dte rréductble s et seulemet s de tout état o eut attedre tout état j e u ombre f d'étaes :, j, m > / ( m) j Ue chaîe de Marov est dte absorbate s l exste ue sous chaîe d'états dot o e eut lus ressortr Toute chaîe o, rréductble ossède doc au mos ue sous chaîe absorbate 4, 5 : La chaîe suvate ossède ue la chaîe absorbate { } Sous chaîe absorbate U état j est érodque s o e eut y rever qu'arès u ombre d'étaes multle de > : ( m) jj > / our m o multle de La érode d'ue chaîe de Marov est le PGCD de la érode de chacu de ses états Ue chaîe de Marov est dte érodque s sa érode est suéreure à Das le cas cotrare, elle est dte aérodque 4 Quelques robabltés () O trodut la robablté f jj qu est la robablté de rever à l'état j, étaes arès l'avor qutté La robablté f jj de rever e j arès l'avor qutté s'écrt alors : f jj f ( ) jj O eut alors trodure le tems moye de retour à l'état j, M : j lectroque B 9

10 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS M j () O trodut la robablté f j qu est la robablté d'aller de l'état à l'état j e exactemet étaes (s'e reasser de maère termédare ar j) O a alors de maère mmédate : ( ) f j j ( ) ( ) fj f j, j O trodut ef la robablté f j d'aller de l'état à l'état j e u ombre quelcoque d'étaes : utlsat les équatos récédetes, l vet : f f j f j ( ) jj ( ) f j f ( ) j f ( ) j f f j j j j j j f f ( ) j ( ) j f j j j f j 5 Régme ermaet L aalyse du régme ermaet cosste à s téresser à la lmte, lorsque ted vers l f du vecteur des robabltés () Cette lmte exste-t-elle et commet la calculer? Pour réodre à cette questo, l faut calculer le vecteur ( ) ( ) P et fare tedre vers l f Pour calculer P, l eut être avatageux de dagoalser la matrce P : P UDU exresso das laquelle U rerésete la matrce des vecteurs rores de P et D la matrce dagoale des valeurs rores assocées Il est alors asé d obter : P UD U Le régme statoare exste s lm ( ) UD U exste O eut motrer (la démostrato est as résetée das ce olycoé), que our ue chaîe de Marov rréductble et aérodque, le vecteur des robabltés lmtes j lm j ( ) exste toujours et est déedat du vecteur des robabltés tales () lectroque B

11 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS Récatulatf j robablté de trasto de l'état à l'état j P [ j ] matrce des robabltés trasto () vecteur de robabltés d'états arès étaes () vecteur de robabltés d'état à l'orge ( ) ( ) P () j robablté d'aller de l'état à l'état j e étaes () f jj robablté de rever e j, étaes arès l'avor qutté M j tems moye de retour e j () f j robablté d'aller de à j, e exactemet étaes, c'est à dre s'e reasser de maère termédare ar j f j robablté d'aller de l'état à l'état j e u ombre quelcoque d'étaes : 3 Télétrafc Ce chatre résete les rcaux résultats qu ermettet de dmesoer les équemets d'u réseau de Télécommucatos D'u ot de vue ratque, o mage be que, lorsqu'u cetral téléhoque (commutateur local CL) regroue les lges d'u esemble d'mmeubles das ue vlle, ce cetral e ossède as autat de lges allat vers le réseau que de lges allat vers les dfférets artculers qu'l dessert Cetral Téléhoque M lges <M lges O eut doc légtmet se demader de combe de lges o a beso our desservr tous ces aboés O eut tutvemet révor que ce ombre de lges va étrotemet déedre du ombre d'aboé mas auss du taux d'occuato de leurs lges téléhoque O eut doc défr our chaque usager ce taux d'occuato de sa lge téléhoque trodusat η our reréseter ce taux, o eut le défr de la maère suvate : Das cette exresso η a Da 4 36 a rerésete le ombre d'aels assés ou reçus ar jour, D a rerésete la durée moyee d'u ael e secodes f 4 36 rerésete la durée d'ue jourée e secodes O déft as l'occuato de sa lge ar l'aboé L'uté reteue our η est l'rlag qu est oté et η rerésete le trafc de l'usager s u trafc de rlag ( ) corresod à ue lge de téléhoe occuée 4 heures sur 4 O cosdère e gééral que les usagers résdetels d'u réseau téléhoque ot u trafc d'evro 5 Sot doc ue occuato de leur lge téléhoque edat 5 % de la jourée, sot evro h' ar jour Pour dmesoer so réseau, l'oérateur va doc devor calculer le ombre de ressources à mettre e œuvre our qu'avec ue robablté extrêmemet roche de, u usager qu décroche so téléhoe usse dsoser d'u crcut Pour cela l va fallor déveloer quelques formules de robablté de blocage Ces formules vot demader ue lectroque B

12 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS modélsato statstque des stats de début et de f d'aels as que des durées de ces aels Les aragrahes qu suvet vot doc trodure les los de robabltés utlsées our ces dmesoemets 3 Lo de robablté de modélsato des stats d'arrvée d'ael Cosdéros des aels qu débuteraet de maère aléatore Preos esute u tervalle de tems t et dvsos cet tervalle e sous tervalles de durée t t t O chost suffsammet grad our que les codtos suvates soet resectées : t - Ue seule arrvée d'ael eut surver das u tervalle - Les stats d'arrvée d'aels sot déedats les us des autres - La robablté qu'u ael arrve das u sous tervalle est roortoelle à la durée du sous tervalle O écrt alors t ( ) Das cette exresso, () rerésete la robablté d'arrvée d'u ael das u sous tervalle Le terme rerésete le coeffcet de roortoalté etre la robablté et la durée t du sous tervalle L'hyothèse de déart cosstat à cosdérer comme ulle la robablté d'avor luseurs aels das u sous tervalle s'écrt alors : ( ) 3 ( ) ( ) ( ) La robablté de 'avor aucu ael durat u sous tervalle de tems t s'écrt doc : déveloat o obtet : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) et e utlsat la rorété éocée juste au dessus : ( ) ( ) La robablté d'avor arrvées d'aels durat tervalles de tems s'obtet alors e cosdérat le ombre de maères de chosr tervalles arm Pour chacue de ces solutos o aura tervalles avec ue arrvée d'ael et lectroque B

13 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS tervalles avec aucue arrvée d'ael La robablté d'u de ces cas sera doc égale à robablté globale s'obtedra e sommat les robabltés de tous les cas O obtedra falemet : ( ) C ( ) ( ) Ou ecore, e remlaçat les robabltés ar leurs valeurs e focto de, t et : ( ) t t C ( ) ( ) La (rael : C ) ( ) La lmte de la robablté () lorsque ted vers l'f va être égale à la robablté d'avor arrvées d'ael durat u tervalle de tems t O ote cette robablté : lm ( ) rereat alors les dfférets termes de l'exresso de l'f, l vet : t t ( ) C et e fasat tedre vers t t ( ) L ( ) e e t t t t e e t C ( ) ( t) ( t) ( )( ) K( ) ( t) d'où : ( t) t e Cette formule extrêmemet mortate rerésete la robablté d'observer arrvées d'aels das u tervalle de durée t Il s'agt d'ue dstrbuto de Posso Le aramètre est le taux moye d'arrvée d'aels Tyquemet l s'agra d'u ombre moye d'aels ar secodes O eut vérfer que ce aramètre rerésete be le ombre moye d'aels durat ue durée t effet, our obter le ombre moye, ayat la dstrbuto de robablté, l faut calculer l'esérace statstque : [ ] O raelle que l'esérace, das le cas d'ue lo dscrète (c'est à dre our ue varable e reat que des valeurs etères, comme c'est le cas c our le ombre d'aels arrvat durat u tervalle t), s'écrt : rereat alors l'exresso de, l vet : [ ] [ ] ( t) e t lectroque B 3

14 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS recoassat le déveloemet de [ ] t e, l vet : La varace s'exrme de la maère suvate : ( t) t t e ( ) t t [ ] t e e t [ ] [ ] ( ) Var( ) Var( ) Var( ) Var( ) ( ) ( )( t) t ( t) ( t) ( t) ( ) ( t) ( t) ( t) t e Var( ) t e e e t ( ) ( t) t ( t) ( t) ( t) Var( ) t t ( t) ( t) ( t) e t ( t) Tems moye etre aels O trodut mateat la varable aléatore τ rerésetat le tems séarat deux arrvées d'aels τ τ τ 3 tems arrvée d'ael arrvée d'ael arrvée d'ael arrvée d'ael O trodut la robablté (t) qu est la robablté que le tems τ sot féreur ou égal à ue valeur t : O a doc : ( t) Prob ( τ t) ( τ t) ( t) Prob > Or Prob ( τ > t) rerésete la robablté qu'l 'y at aucue arrvée d'aels durat u tems t Cette robablté a justemet été étable au aragrahe récédet : O e dédut doc : ( τ > t) Prob Prob t ( τ > t) e t ( t) e lectroque B 4

15 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS O eut auss trodure la desté de robablté de la varable aléatore τ O raelle que la desté s'obtet smlemet e dérvat la robablté ar raort à t O obtet as : d'où : ( t) a( t) t t a( t) e Remarque : O recotre lus souvet le calcul verse, c'est à dre comte teu d'ue desté de robablté a (t), t ( t) a( u) du O art de car l s'agt d'ue durée etre deux aels O eut vérfer que l'tégrale doe alors ( t) u t t [ e ] e L'exresso de la desté de robablté ermet de calculer la durée moyee [ τ] [ τ] t a( t) dt τ etre deux arrvées d'ael : tégrat ar arte, l vet : [ τ] te t dt D'où : t t [ τ] t e e dt [ τ] O obtet doc que, our u taux d'arrvée d'aels de aels ar secodes, le tems moye etre ael est égal à bsece de mémore du rocessus d'arrvée d'aels O eut remarquer que, our ue lo exoetelle égatve, le ombre d'aels qu ot u arrver jusqu'à u tems t 'a as d'fluece sur le ombre d'aels qu vot arrver arès t Suosos qu'aucu ael e sot arrvé jusqu'à u tems t et calculos la robablté qu'u ael arrve durat ue durée t arès le tems t O dot doc calculer la robablté d'avor ue durée etre deux aels féreure à t t tout e état suéreure à t Cette robablté s'écrt : rob ( τ t τ > ) robabltés codtoelles ( ( B) P( ) P( et B) ) Cette robablté eut ecore s'écrre P, l vet : rob ( τ t t τ > t ) rob t t ( t < τ t t ) ( τ > t ) rob utlsat la formule de Bayes sur les lectroque B 5

16 rob rob ( τ t t τ > t ) ( τ t t τ > t ) rereat les exressos des dfféretes robabltés : D'où falemet : rob ( τ t t τ > t ) rob ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS rob rob ( τ t t ) rob( τ t ) rob( τ > t ) ( τ t t ) rob( τ t ) - rob( τ t ) ( t t e ) e -t - e t ( τ t t τ > t ) e O vot doc que la robablté d'aarto d'u ael durat u tems t arès ue durée t edat laquelle aucu ael 'est arrvé est la même que la robablté d'aarto d'u ael edat ue durée t, déedammet de ce qu a u arrver avat O cosdère doc que la desté exoetelle égatve est sas mémore t 3 Lo de robablté de modélsato des durées d'aels Pour étuder les los de robablté qu modélset les durées des aels o rocède comme récédemmet O cosdère doc u tervalle de tems de durée t que l'o décomose e sous tervalles de durée t O chost de telle sorte que les hyothèses suvates restet justfées : - La robablté qu'u ael se terme durat u sous tervalle est roortoelle à la durée du sous tervalle O t otera cette robablté, exresso das laquelle rerésete le coeffcet de roortoalté - La robablté qu'u ael se terme durat u sous tervalle est déedate du sous tervalle cosdéré O trodut alors ue varable aléatore θ rerésetat la durée d'u ael O trodut alors la robablté H (t) que la durée d'u ael sot féreure ou égale à t H ( t) Prob ( θ t) La robablté qu'u ael ayat débuté à t e se terme as avat t s'écrt alors : Prob ( θ > t) H (t) cette robablté est égale à la robablté que l'ael e se terme das aucu des sous tervalles de durée t t H ( t) fasat alors tedre vers l'f, o obtet : t H ( t) lm D'où t t L H ( t) lm e lm e t H ( t) e lectroque B 6

17 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS O obtet doc l'exresso de la robablté qu'u ael at ue durée féreure ou égale à t : t H ( t) e O eut e dédure la desté de robablté assocée, otée h (t) : H ( t) h( t) t t h( t) e De la même que das les aragrahes récédets, la durée moyee [ θ] θ d'ael s'obtet e calculat : tégrat ar arte o obtet : t h( t) [ θ] [ θ] dt cocluso o a aels qu cesset ar secodes et o a ue durée moyee d'ael égale à Les robabltés d'aarto d'aels et de f d'aels qu ot été déveloées das les deux aragrahes récédets ermettet de modélser le rocessus comlet d'aarto et de f d'aels 33 Modélsato des rocessus d'aarto et de f d'aels chaque stat u certa ombre d'aels vot aaraître et d'autres vot se termer O eut doc modélser l'état où l'o se trouve à u stat doé comme ue chaîe d'états Chaque état rerésete le ombre de commucatos e cours O coçot doc be que s, à u stat doé, l y a commucatos o e eut asser que das deux états adjacets qu sot les états et O recoaît alors ue chaîe de Marov La dfférece ar raort au chatre vet c du fat que cette chaîe est à tems cotu La robablté de asser d u état à u état j edat u tems dt sera doc otée j (dt) O trodut alors les robabltés de trasto d'état suvates : tat das l'état, la robablté, ( dt) our asser à l'état durat u tervalle de tems dt s'écrt dt tat das l'état, la robablté, ( dt) our asser à l'état durat u tervalle de tems dt s'écrt dt tat das l'état, la robablté, ( dt) our asser à l'état durat u tervalle de tems dt s'écrt dt tat das l'état, la robablté, ( dt) our asser à l'état durat u tervalle de tems dt s'écrt dt dt dt - dt dt lectroque B 7

18 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS Les gradeurs et sot des taux d'aarto et de f d'aels du même tye que ceux utlsés lors des aragrahes récédets La seule dfférece tet au fat que ces taux ot e dce l'état où se trouve le système O eut alors trodure la robablté d'état, c'est à dre la robablté d'être das u état à u stat t otos (t) cette robablté (à rarocher de la otato j () utlsée our les chaîes de Marov à tems dscret lors du chatre ) La varato de cette robablté durat u tervalle de tems dt est alors égale à la robablté de rejodre cet état e "veat" d'u état ou d'u état mos la robablté de "qutter" cet état our aller vers u état ou vers u état O a doc : ( dt dt) t d ( t) dt ( t) dt ( t) ( suosat le système stable, c'est à dre e suosat qu'l se stablse sur des robabltés d'état fxes lorsque le d tems ted vers l'f, o eut écrre ( t) dt O eut alors oter (t) D'où falemet : lorsque t ( ) Cette équato est vérfée our tout avec les codtos, et La stablté des robabltés sgfe qu'l y a ue robablté égale de qutter l'état écrvat le système d'équato récédet, o trouve : résolvat le système o trouve : ( ) ( ) O trouve alors assez faclemet la forme géérale : ( ) ( ) Le système se trouvat oblgatoremet das u des états o a : que de le rejodre lectroque B 8

19 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS remlaçat das l'équato récédete, o obtet : 34 Probablté de blocage et formule d'rlag B O s'téresse c à u système dsosat de caaux de commucatos S les caaux sot occués, les aels qu arrvet alors sot erdus (absece de toalté ou toalté d'occuato ar exemle) O arle alors de blocage du système O va chercher à estmer cette robablté de blocage e focto du ombre de caaux dsobles et du trafc Comte teu de ce qu a été éocé sur le caractère sas mémore du rocessus d'arrvée d'aels, o eut cosdérer que la robablté Pour la robablté de f d'ael o a ar cotre : dt et déedate de l'état du système, d'où : dt dt, dt dt, < Cette robablté de trasto tradut juste que s aels sot e cours chacu a ue robablté dt de se termer, d'où la somme qu doe dt toute rgueur l faudrat soustrare à cette robablté les robabltés corresodates à luseurs aels qu se termet das l'tervalle dt car alors, o asse drectemet à u état lus C élogé Ceedat o admettra que l'o eut églger ces robabltés qu sot de la forme ( dt) utlsat ces exressos de et de das les équatos doat et, l vet : ( ) trodusat alors la varable : qu rerésete le ombre d'aels qu aarasset sur le ombre d'aels qu se termet edat u tervalle de tems, ce qu rerésete e fat tout smlemet le trafc, l vet : ou ecore e trodusat le das la sommato : reortat alors das l'exresso de, l vet : lectroque B 9

20 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS lectroque B La robablté de blocage d'u système dsosat de caaux et our u trafc s'écrt alors ( ),, elle est égale à la robablté de se trouver das l'état ( ), et elle s'obtet grâce à l'équato suvate : ( ), ( ) ( ) ( ),,, Cette formule est très mortate e Télécommucatos et elle orte le om de : formule d'rlag-b Pour les grades valeurs de o eut arocher le déomateur ar e et la formule devet : ( ) e, 35 Probablté de mse e attete et formule d'rlag C S l'o cosdère u système our lequel les aels bloqués euvet être ms e fle d'attete avat d'être servs, o eut alors défr ue robablté d'être ms e attete vec ce système o a toujours dt dt mas, our la robablté de f d'ael o a ar cotre : dt dt dt,, utlsat : O obtet, our > : ) ( D'où falemet : >,, utlsat l'exresso de :

21 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS lectroque B et e décomosat la sommato, l vet : ( ) ) ( or < doc La robablté de mse e fle d'attete se ote ( ) C, et elle est égale à D'où : ( ) C, Cette formule est auss très mortate et elle orte le ome de : formule d'rlag-c 36 Cas d'ue oulato fe et dstrbuto d'gset Les calculs récédets ot cosdéré le cas d'u trafc de tye Posso gééré ar ue oulato fe S l'o cosdère mateat le cas d'ue oulato fe costtuée de M clets, la robablté d'aarto d'aels et focto du ombre d'aels déjà e cours O se retrouve alors avec la cofgurato suvate (o se relace c das u cas sas mse e fle d'attete, où les aels sot erdus lorsque tous les caaux sot occués et avec M>) : ( ) dt M dt, La robablté de f d'ael reste chagée : dt dt <, La robablté devet alors :

22 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS lectroque B M ) ( ) ( M M ) ( D'où : M C Pour, o obtet : M ) ( ) ( d'où : C Sot e remlaçat das l'exresso de : M M C C Cette formule rerésete la dstrbuto d'gset 4 Fles d'attete 4 Fle d'attete smle Les remers aragrahes de ce documet ot essetellemet, à l'exceto de l'aalyse de la mse e fle d'attete, cosdéré u trafc de ature téléhoque S l'o s'téresse mateat à u trafc de doées o eut cosdérer que das u échage d'formatos etre deux alcatos o va souvet recotrer u écart de débt etre les systèmes locaux et les les d'tercoexo Les messages e ourrot as tous être trasms et vot être ms e fle d'attete Les fles d'attete sot e gééral décrtes au moye d'ue otato dte de Kedall qu est la suvate : lcato lcato B

23 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS /B/C/K/m/Z Sx facteurs sot as récsés : : qu rerésete le rocessus d'etrée B : qu rerésete le rocessus de servce C : qu rerésete le ombre de serveurs K : qu rerésete la caacté maxmale m : qu rerésete la oulato des usagers Z : qu rerésete la dscle de servce Pour décrre les rocessus d'etrée (lettre ), o utlse les otatos suvates : GI : lo géérale déedate G : lo géérale H : lo hyerexoeetelle d'ordre : lo d'rlag M : lo exoetelle D : lo costate O s'téressera essetellemet c à des arrvées de tye exoetelle et de aramètre Les autres los d'arrvée ot mos d'térêt das le cadre de ce cours Il a été vu que la lo exoetelle état sas mémore et que le rocessus d'arrvée ouvat doc être cosdéré comme u rocessus Marove C'est cette rorété qu exlque l'emlo de la lettre M our la lo exoetelle Les rcales méthodes de servce sot les suvates : PPS : remer arrvé, remer serv (terme aglas FIFO, frst frst out) DPS : derer arrvé remer serv (terme aglas LCFS, last come fsrt served) : aléatore (terme aglas FIRO : frst radom out) Lorsque les tros derers élémets de la otato de Kedall e sot as récsés, l est sous etedu que ZPPS, m et K S les stats d'arrvée suvet u lo exoetelle de aramètre, l e est de même our les stats de déart des doées e sorte de la fle d'attete Ces stats formet auss u rocessus Marove f das le cas où l'o suose ef qu'l 'y a qu' seul rocesseur our gérer la fle d'attete, cette derère est dte de tye : M/M/ Das u système M/M/, o déft le tems de queue t q comme état la somme du tems d'attete t a et du tems de servce t s t q ta t s lectroque B 3

24 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS fle d'attete uté de tratemet t a t s O déft alors la charge c du système comme le raort etre le ombre d'tems à trater dvsé ar la caacté de tratemet du système e tem Cette caacté de tratemet est auss aelée le taux de servce : S C'est tout smlemet l'verse du tems de servce O a doc : S et t s c t s O raelle que est le aramètre de la lo des stats d'arrvée et que c'est auss le taux d'arrvée de aquets ar secodes das la fle d'attete S o trodut la caacté de tratemet du système D e bts/sec et que L rerésete la talle moyee des aquets e bts, alors : S remlaçat das l'exresso de la charge c, o obtet : ts L c D O eut motrer que le tems d'attete das la fle d'attete t a se dédut du tems de servce t s et de la charge c ar la formule suvate : D L c ta t s c S l'o cosdère le tems assé das la queue t q, o obtet falemet : c tq ta t s t s t s c c L D O suose c que le débt D e bts/sec est suéreur au taux d'arrvée d'attete déborde et le tems das la queue 'est lus détermé O recotre assez souvet cette formule sous la forme : t q L D L D L L e bts/sec Das le cas cotrare la fle lectroque B 4

25 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS t q D L 4 Fle d'attete e sére t q : tems assé das la queue e secodes D : débts de trasmsso e bts ar secodes L : talle moyee des aquets e bts : taux d'arrvée de aquets e aquets/sec Lorsque deux fles d'attete sot e sére, s la remère fle d'attete est du tye MM alors les stats d'arrvée suvet ue lo exoetelle et les stats de sorte auss L'etrée de la deuxème fle d'attete est auss u rocessus Marove O a doc deux fles MM Le tems de queue global est la somme des tems de chaque fle 43 Fle d'attete à etrées multles S o cosdère ue fle d'attete coectée à luseurs sources de trafc alors, à codto d'avor des messages de même logueur sur toutes les etrées, o eut calculer le tems das la queue e utlsat ue aramètre égal à la somme des des dfféretes etrées 5 Cocluso Ce cours a réseté u aerçu des méthodes de modélsato du trafc et des fles d'attete U certa ombre de formules ot été trodutes lles ermettet de dmesoer u réseau de Télécommucatos Les calculs de robablté qu y coduset restet falemet assez smles 6 Référeces [] Foudato of Moble Rado geerg, Mchel Daoud Yacoub, CRC Press, 993 [] Dgtal Commucatos, JG Proas, Mc Graw Hll, 995 [3] utoformato e télécoms et réseaux, Maxme Mama, Claude Serv, Iterdtos, 998 [4] Théore des fles d'attete, Bruo Bayat, Hermès, [5] Probabltés, o Boccara, llses, 995 lectroque B 5

26 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS Table d'rlag B ombre de veau de servce ( taux de blocage admssble ) ombre de caaux % % 3% 5% % % caaux lectroque B 6

27 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS 7 xercces xercce Démotrez que ( X ) our ue varable aléatore de desté exoetelle et de aramètre xercce O cosdère u loto avec des trages de uméros de à 43 Calculez la robablté d'avor u uméro qu se terme ar 7 sachat que c'est u uméro mar qu a été tré xercce 3 O cosdère le mot de verroullage de trame suvat : - moyee, au bout de combe de tems, rsque t o de recotrer ue séquece de bts detque au mot de verroullage de trame lorsque l'o cosdère ue trasmsso à bts/s - Pour évter ue telle fausse détecto, le mot est réété tous les bts et o e verroulle la trame que s o le recotre 3 fos successvemet Quelle est la robablté de fare ue fausse détecto? xercce 4 Les chaîes de Marov suvates sot-elles érodques : Chaîe Chaîe Chaîe lectroque B 7

28 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS xercce 5 O cosdère la chaîe de Marov suvate : Doer sa matrce de trasto P La chaîe est elle rréductble? La chaîe est elle aérodque? S elle exste doez la valeur lmte du vecteur des robabltés d états : lm ( ) Devor Ue etrerse dustrelle du secteur de l automoble fat rocéder à ue equête aurès des rorétares d automobles Cette equête cocere les tetos d achat Les rorétares d automobles sot regroués das tros classes suvat la cyldrée de leur véhcule Classe : ette cyldrée Classe : moyee cyldrée Classe 3 : grosse cyldrée Sur rorétares de la classe : 6 resterot fdèles à la ette cyldrée 4 achèterot ue moyee cyldrée Sur rorétares de la classe : resterot fdèles à la moyee cyldrée 4 achèterot ue grosse cyldrée 4 achèterot ue ette cyldrée Sur 5 rorétares de la classe 3 : 9 resterot fdèles à la grosse cyldrée 6 achèterot ue moyee cyldrée Iterrétez les résultats de cette equête à l ade d u rocessus stochastque Justfez que ce rocessus est ue chaîe de Marov Doez le grahe assocé et la matrce de trasto P crre P sous la forme P UDU O suose la dstrbuto tale des robabltés d état () coue Que devet ce vecteur de robabltés au bout de étaes Vers quelle soluto coverge ce vecteur lorsque ted vers l f lectroque B 8

29 ITRODUCTIO UX TLCOMMUICTIOS xercce 6 La caacté d'u autocommutateur ublc est de 5 rlags Il dessert des aboés résdetels et rofessoels resectvemet de 4 et 6% O sat qu'u rofessoel a u trafc, à l'heure de ote, 3 fos suéreur à celu d'u résdetel qu est suosé égal à rlag Quel est le ombre d'aboés desservs xercce 7 U système à refus (formule d'rlag-b) dsose de M crcuts Quel est le trafc offert our que la robablté de refus sot de %, %, 5%, lorsque M est resectvemet égal à,5 ou? (Utlsez l'abaque four e dehors du oly) xercce 8 Deux systèmes de commutato sot relés ar deux fasceaux de crcuts chacu suosat u taux de erte de %, o demade : le trafc autorsé ar chaque fasceau as que le redemet de la lge le trafc total autorsé ar les deux fasceaux o regroue les deux fasceaux e u seul de crcuts, e suosat le même taux de erte, quels sot le ouveau trafc autorsé et le redemet ar lge xercce 9 Ue PM de 5 ersoes souhate chager so autocommutateur (PBX) et l'affecter uquemet à la téléhoe lle dsose des doées suvates : - l y a 4 ostes téléhoques - le trafc mesuré à l'heure de ote raorté au oste est le suvat - 5 m / heure our les aels sortat - 3 m / heure our les aels retrat - le trafc moye est la moté du trafc de ote - l'actvté de l'etrerse est de 8 heures/jour et de jours/mos Détermez - le trafc total e rlag - le ombre de crcuts écessares our écouler ce trafc avec u taux de erte de % maxmal xercce O cosdère u système de trasmsso ayat ue caacté de bts/s O demade le tems assée das la queue d'ue fle d'attete MM our u taux d'arrvée 4 xercce s et ue talle moyee de aquet égale à 4 bts O cosdère u système das lequel ue alcato dalogue avec ue alcato B à travers ue laso sécalsée de débt D Détermez le tems de réose (ou tems de queue) lorsque les messages allat de vers B ot ue talle moyee de 9 octets et que ceux de B vers ot ue talle moyee de octets O récse qu'l y a trasactos ar heure et que le débt de la lge est égal à 9 bts/s O admettra que la sgalsato accomagat les doées rovoque ue augmetato de % du volume des doées échagées lectroque B 9