CHAPITRE 4-1 L'ANALYSE DES TABLEAUX DE CONTINGENCE

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1 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence CHAPITRE 4-1 L'ANALYSE DES TABLEAUX DE CONTINGENCE Plan Introducton Qu'est-ce qu'un tableau de contngence? L'analyse des tableau de contngence arm les méthodes d'analyse multvarée Règles de résentaton d'un tableau de contngence Fréquences relatves et robabltés dans un tableau de contngence Test de l'hyothèse d'ndéendance dans un tableau de contngence Présentaton ntutve Mêmes données, nouvelle queston... même réonse?! Généralsaton : l'ndéendance statstque dans un tableau de contngence Un autre test : le test du raort de vrasemblance Un regard arofond sur le Kh-deu de Pearson Les mlle et une alcatons du test du Kh-deu de Pearson au tableau de contngence Condtons de valdté du test du Kh-deu de Pearson Quelques rorétés numérques du Kh-deu de Pearson Post Scrtum : un nouveau regard sur le quotent de localsaton Mesures de l'ntensté de la relaton entre deu varables catégorques Mesures dérvées du Kh-deu de Pearson Autres mesures (tau et lambda) Les varables de contrôle dans les tableau à lus de deu dmensons 38

2 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence CHAPITRE 4-1 L'ANALYSE DES TABLEAUX DE CONTINGENCE Introducton QU'EST-CE QU'UN TABLEAU DE CONTINGENCE? Un tableau de contngence est une façon de résenter des données d'énumératon (de comtage) d'ndvdus classés en catégores. C'est donc dre qu'un tableau de contngence est déà le résultat d'un tratement des données, usque les ndvdus (observatons) ont dû être réalablement classés, us comtés. La forme du tableau est détermnée ar le schème de classement utlsé. Le schème de classement dot être consttué de catégores mutuellement eclusves et l dot être ehaustf : dans le langage de la théore des ensembles, les catégores dovent consttuer une artton de l'unvers, de sorte que chaque ndvdu aartenne à une, et à une seule catégore. Les catégores sont défnes au moyen d'une ou de luseurs varables de classement (varables catégorques), qu corresondent à autant d'attrbuts (dmensons) des ndvdus. Chacun des ndvdus observés est décrt au fns du classement ar les valeurs de ses attrbuts. Tous les ndvdus ayant la même descrton (les mêmes valeurs d'attrbuts) sont comtés et leur nombre est nscrt dans la cellule correondante du tableau de contngence qu en résulte. Le tableau de contngence a autant de dmensons qu'l y a de varables de classfcaton et autant de cellules qu'l y a de combnasons de catégores. Voyons un ett eemle de constructon d'un tableau de contngence à artr de données brutes. Sot le tableau d'observatons suvant, où les observatons ont déà été classées ar see, us ar couleur d'yeu : Couleur Prénom See d'yeu 1 Bernadette F Bleus 6 Sohe F Bleus 4 Mare F Nors Jean-Perre M Bleus 3 Marc M Nors 5 Perre M Nors

3 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence On reconnaît dans le tableau qu récède la structure matrcelle des données brutes. De ces données, on eut trer un tableau de contngence de la couleur des yeu ar see : See Couleur d'yeu F M Total Bleu 1 3 Nors 1 3 Total Ce tableau de contngence a auss une structure matrcelle, mas l ne s'agt lus de données brutes : le tableau de contngence est le résultat d'un tratement. On remarque qu'un tableau de contngence à une seule varable catégorque est tout bonnement un tableau de fréquences.

4 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence Tableau 1 Poulaton actve emloyée dans la Régon métrooltane de Montréal Zone de résdence Zone de résdence, selon le see et la rofesson, 1991 Drecteurs, gérants, admnstrateurs et assmlés Professonnels, ensegnants et cols blancs sécalsés Professons Emloyés de bureau et travalleurs dans la vente Ouvrers Travalleurs sécalsés dans les servces, ersonnel d'elotaton des transorts, etc. TOTAL toutes rofessons Femmes Vlle de Montréal Reste de la CUM Couronne Nord Couronne Sud Hors RMR Total Femmes Hommes Vlle de Montréal Reste de la CUM Couronne Nord Couronne Sud Hors RMR Total Hommes Total hommes et femmes Vlle de Montréal Reste de la CUM Couronne Nord Couronne Sud Hors RMR Total H + F Source : Statstque Canada, Recensement de 1991 Ce tableau de contngence a tros dmensons : la zone de résdence, la rofesson et le see. La zone de résdence comrend 5 catégores, la rofesson en comrend 5 et l y a sees. Le tableau content donc cellules, auquelles s'aoutent les lgnes et colonnes de totau et sous-totau.

5 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence L'ANALYSE DES TABLEAUX DE CONTINGENCE PARMI LES MÉTHODES D'ANALYSE MULTIVARIÉE L'analyse multvarée, au sens large, désgne l'ensemble des méthodes d'analyse statstque qu tratent smultanément lus d'une varable. C'est à l'analyse multvarée que l'on recourt notamment our mesurer le degré d'assocaton entre deu ou luseurs varables ; estmer les aramètres d'une relaton entre deu ou luseurs varables ; évaluer à quel ont les dfférences entre deu ou luseurs groues d'observatons sont sgnfcatves ; tenter de rédre à quel groue aartent un ndvdu, à artr de ses autres caractérstques ; essayer de dscerner une structure dans un ensemble de données. Pluseurs technques d'analyse multvarée dstnguent les varables déendantes et les varables ndéendantes. Les varables déendantes sont celles dont on veut rédre la valeur ; les autres varables sont aelées ndéendantes 1. On eut classer les méthodes d'analyse multvarée selon le nombre de varables déendantes et ndéendantes, et selon que les unes et les autres sont des varables dscrètes ou contnues. Le tableau suvant résente un classement des méthodes qu sont abordées dans ce manuel. 1 Les termes «varable déendante» et «varable ndéendante» vennent des scences eérmentales où le chercheur fe de manère «ndéendante» la valeur de certanes varables (comme, ar eemle, le dosage d'un tratement), our observer ensute l'effet sur la varable «déendante». Les varables ndéendantes sont arfos aelées «elcatves». Cette eresson dot ceendant s'emloyer avec rudence, à cause de la connotaton de causalté qu'elle véhcule. Dans un modèle à une seule équaton, la varable déendante s'aelle auss «endogène», c'est-à-dre détermnée à l'ntéreur du modèle, tands que les varables ndéendantes sont «eogènes», c'est-à-dre détermnées à l'etéreur du modèle. On aelle auss les varables ndéendantes «stmul» ; les varables déendantes sont alors des «réonses». En anglas, on trouve les coules redctor/crteron, stmulus/resonse, task/erformance, nut/outut. Cela découle de l'échelle de mesure assocée à chaque varable : les varables catégorques sont dscrètes, alors que les varables ratonnelles et les varables d'ntervalle sont tratées le lus souvent comme contnues. Pour ce qu est des varables ordnales, l este eu de méthodes qu leur soent sécfquement adatées ; en ratque, on les trate souvent comme contnues, mas alors l'nterrétaton des résultats dot tenr comte de la nature ordnale des varables.

6 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence Varable déendante Varables ndéendantes Méthode Aucune varables catégorques Plus de var. catégo. Analyse de tableau de contngence... à dmensons... à lus de dmensons Contnue Contnues ou dscrètes Dscrètes Régresson multle Analyse de varance Catégorque catégores Contnues ou Logt ou... bnomal Plus de cat. dscrètes robt... multnomal Ce chatre aborde l'analyse des tableau de contngence. Cette méthode ermet d'eamner les relatons entre luseurs varables catégorques. Dans l'analyse des tableau de contngence, aucune des varables ne oue le rôle de varable déendante RÈGLES DE PRÉSENTATION D'UN TABLEAU DE CONTINGENCE Le rnce général de résentaton d'un tableau de contngence est le même que our n'morte quel tableau : tout dot être ms en oeuvre our que le lecteur sache arfatement de quo l s'agt. On ourrat dre que les données du tableau dovent être accomagnées des métadonnées ndsensables à leur comréhenson. Les rncales règles de résentaton à resecter généralement sont les suvantes : 1. Le tableau est coffé d'un ttre qu... dentfe la oulaton (au sens statstque) ou, le cas échéant, l'échantllon auquel se raorte le tableau (c, la oulaton actve emloyée dans la RMR de Montréal en 1991) ; noter que l'dentfcaton de la oulaton comrend, lorsque c'est ertnent, une référence à la zone géograhque et à la érode de tems ; ndque quelles sont les untés de mesure utlsées (mllers de ersonnes, mllons de dollars ou... ; cet élément eut être oms c, usqu'l s'agt du nombre de ersonnes) ; dentfe les dmensons du tableau (varables catégorques de classement ; c, la zone de résdence, le see et la rofesson).

7 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence. Des «sous-ttres» ndquent à quelle varable corresondent les dfférentes dmensons du tableau (c, les lgnes corresondent au zones de résdence, les colonnes au rofessons et le tableau est dvsé en artes selon la trosème dmenson, le see) ; 3. L'entête de chaque colonne, lgne ou arte du tableau ndque à quelle catégore de la varable corresond cette colonne, lgne ou arte du tableau ; 4. Le tableau content des lgnes et colonnes de totau, ans que le grand total ( ) ; les lgnes et colonnes de totau sont clarement dentfées et mses en relef (c, ar l'utlsaton de caractères gras) ; de même, toute la trosème arte du tableau, nttulée «Total hommes et femmes» est consttuée des totau des cellules corresondantes des deu remères artes. 5. Enfn, la source des données est ndquée (c, en termes générau ; l'déal est de donner une référence bblograhque comlète). Un tableau de contngence eut auss contenr les éléments suvants : des roortons ou des ourcentages des sous-totau des renvos et les notes corresondantes S le tableau content des roortons ou des ourcentages, l faut qu'l sot évdent s'l s'agt de roortons (fractons comrses entre zéro et un) ou de ourcentages (comrs entre zéro et cent). De lus, l faut ndquer clarement ar raort à quel total ont été calculés les ourcentages ou roortons (ourcentage de quo?). Une façon de le fare est d'nscrre «100 %» là où cela s'alque. Enfn, l faut évter de surcharger un tableau au ont d'en rendre la lecture dffcle : meu vaut arfos résenter deu tableau, un our les nombres et un second our les ourcentages. Il en est de même des sous-totau. Par eemle, dans le tableau récédent, on ourrat uger utle de résenter le sous-total our la CUM (somme des deu remères lgnes de chaque arte). Les sous-totau dovent être lbellés de telle façon que le lecteur sache eactement ce qu a été addtonné. Et l faut évter de surcharger le tableau. À cet égard, l est arfos référable de résenter les mêmes données en deu tableau : un remer tableau détallé (arfos relégué en annee) et un second, lus agrégé (où les agrégats sont des sous-totau). Les notes ermettent de récser les ttres, sous-ttres ou entêtes sans les allonger ndûment. Elles euvent auss être utlsées our donner la défnton de certans termes ou our énoncer des formules emloyées dans le calcul des chffres du tableau.

8 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence Enfn, aoutons qu'l y a luseurs façons de structurer un tableau à lus de deu dmensons. Dans l'eemle récédent, la trosème dmenson, le see, corresond au dfférentes artes du tableau. On eut auss utlser la technque de la subdvson des lgnes ou des colonnes ; la subdvson des colonnes est llustrée schématquement c-arès. Schéma d'un tableau de contngence avec subdvson des colonnes Zone de résdence Montréal Total Professon, see Drecteurs, gérants, admnstrateurs et assmlés Professonnels, ensegnants et cols blancs sécalsés TOTAL toutes rofessons F H T F H T F H T Il est recommandé, lorsqu'on utlse cette méthode de résentaton, de rarocher vers l'ntéreur les varables dont on veut eamner l'nteracton. La structure rerésentée dans le schéma qu récède convendrat ben à l'étude de l'nteracton entre see et zone de résdence, la rofesson ouant le rôle d'une varable de contrôle (les varables de contrôle sont dscutées c-arès, en 6) ; le format antéreur est meu adaté à l'eamen de la relaton entre rofesson et zone de résdence, alors que le see est rs comme varable de contrôle Fréquences relatves et robabltés dans un tableau de contngence Ben que les méthodes qu vont être résentées se généralsent au tableau de lus de deu dmensons, nous allons nous en tenr c à l'analyse des tableau à deu dmensons, lus smle. Nous allons donc rédure le tableau récédent à deu dmensons en surmant la dmenson see 3. Pour cela, l sufft de fare la somme des femmes et des hommes, comme dans le tableau suvant, où les nombres sont dentques à ceu de la trosème arte du tableau 1. 3 Il faut ceendant être conscent du fat que cela détrut de l'nformaton. Cette ratque est donc à évter en recherche et elle n'est tolérable c que our des motfs édagogques.

9 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence Tableau Poulaton actve emloyée dans la Régon métrooltane de Montréal Zone de résdence Drecteurs, gérants, admnstrateurs et assmlés Zone de résdence selon la rofesson, 1991 Professonnels, ensegnants et cols blancs sécalsés Emloyés de bureau et travalleurs dans la vente Professons Ouvrers Travalleurs sécalsés dans les servces, ersonnel d'elotaton des transorts, etc. TOTAL toutes rofessons Réartton ( ) Vlle de Montréal ,9 Reste de la CUM ,3 Couronne Nord ,1 Couronne Sud , Hors RMR ,05 Total ,00 Réartton ( ) 0,15 0, 0,8 0,0 0,15 1,00 Nous allons utlter la notaton suvante : nombre d'observatons de la colonne dans la lgne nombre total d'observatons de la colonne nombre total d'observatons de la lgne nombre total d'observatons dans le tableau Cette notaton alque la conventon selon laquelle une sommaton sur l'une ou l'autre des dmensons se rerésente en remlaçant l'ndce corresondant ar un ont. Par eemle, dans le tableau de la oulaton actve ar zone de résdence et ar rofesson, nous avons : , le nombre d'emloyés de bureau habtant la CUM hors Montréal , le nombre d'emloyés de bureau emloyés dans la RMR 3

10 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence , le nombre de ersonnes emloyées dans la RMR habtant la CUM hors Montréal , le nombre total de ersonnes emloyées dans la RMR L'analyse d'un tableau de contngence orte sur la structure des données davantage que sur l'ordre de grandeur des nombres. C'est ourquo les analyses sont généralement formulées en termes des fréquences relatves. Celles-c se calculent tout smlement en dvsant les nombres ar le total ertnent Les fréquences relatves s'nterrètent comme des robabltés. Ans, 0, est la robablté qu'un ndvdu tré au hasard arm les ersonnes emloyées dans la RMR fasse arte de la rofesson Ouvrer et qu'l habte la Couronne Nord. Au dénomnateur de la fréquence relatve, on trouve donc le nombre d'ndvdus arm lesquels se fat le trage ( ) et au numérateur, on a le nombre d'ndvdus arm ceu-c qu ossèdent la ou les caractérstques eamnées (74 87). Dfférents calculs de fréquences relatves corresondent au dfférents concets de robablté. On eut ans calculer des robabltés conontes, margnales ou condtonnelles. est la robablté cononte d'aartenr à la fos à et à E. : 34 0, 048 est la robablté de fare arte de la rofesson Ouvrer et d'habter la Couronne Nord. est la robablté margnale d'aartenr à. E. : , est la robablté d'habter la Couronne Nord, quelle que sot la catégore rofessonnelle. est la robablté margnale d'aartenr à E. : 0, 05 4 est la robablté d'aartenr à la rofesson Ouvrer, quelle que sot la zone de résdence.

11 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence est la robablté condtonnelle d'aartenr à, étant donné que l'on aartent à. E. : , est la robablté d'aartenr à la rofesson Ouvrer, étant donné que la zone de résdence est la Couronne Nord. est la robablté condtonnelle d'aartenr à, étant donné que l'on aartent à. E. : , est la robablté d'habter la Couronne Nord, étant donné que l'on aartent à la rofesson Ouvrer. Naturellement, ces robabltés ou fréquences relatves s'addtonnent à 1 lorsque la sommaton couvre l'ensemble des ossbltés : Test de l'hyothèse d'ndéendance dans un tableau de contngence PRÉSENTATION INTUITIVE Le tableau 3 donne, our chaque rofesson, la dstrbuton des ndvdus entre les zones de résdence. On constate sans tro de surrse que les ndvdus aartenant à des rofessons dfférentes se réartssent dfféremment dans l'esace, entre les zones de résdence. Mas ces dfférences sont-elles sgnfcatves?

12 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence On eamne cette queston en comarant les dstrbutons observées avec une dstrbuton qu serat hyothétquement la même our toutes les rofessons ; cette dstrbuton est smlement donnée ar la dstrbuton de l'ensemble (dernère colonne du tableau). Mas comment décder s les dfférences sont «sgnfcatves» ou non? On rocède our cela à un test d'hyothèse (our une dscusson arofonde des tests d'hyothèse, vor le chatre -3). L'hyothèse à tester est que les dstrbutons sont dentques, et que les dfférences observées ne sont que des «accdents» dûs au hasard. Tableau 3 Poulaton actve emloyée dans la Régon métrooltane de Montréal Réartton entre les zones de résdence selon la rofesson, 1991 Zone de résdence Drecteurs, gérants, admnstrateurs et assmlés Professonnels, ensegnants et cols blancs sécalsés Emloyés de bureau et travalleurs dans la vente Professons Ouvrers Travalleurs sécalsés dans les servces, ersonnel d'elotaton des transorts, etc. TOTAL toutes rofessons Vlle de Montréal 0,41 0,334 0,74 0,81 0,37 0,91 Reste de la CUM 0,64 0,4 0,46 0,189 0,199 0,9 Couronne Nord 0,14 0,175 0,16 0,34 0,07 0,09 Couronne Sud 0,3 0,01 0,19 0,17 0,1 0,16 Hors RMR 0,049 0,048 0,044 0,080 0,055 0,055 Total 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 Ce test comorte tros étaes : 6. mesurer l'écart entre ce qu est observé et l'hyothèse ; 7. détermner quelle est la robablté qu'un écart auss grand ou lus grand sot l'effet du hasard (lus l'écart est grand, mons l est robable qu'l sot unquement dû au hasard) ; 8. rendre une décson.

13 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence Premère étae : mesurer l'écart Pour mesurer l'écart entre les observatons et l'hyothèse, l faut d'abord se donner une rerésentaton eacte de l'hyothèse. On calcule donc les fréquences que l'on devrat théorquement avor s les dstrbutons étaent dentques (tableau 4). Tableau 4 Poulaton actve emloyée dans la Régon métrooltane de Montréal Zone de résdence Fréquences théorques dans l'hyothèse de dstrbutons dentques Drecteurs, gérants, admnstrateurs et assmlés Professonnels, ensegnants et cols blancs sécalsés Emloyés de bureau et travalleurs dans la vente Professons Ouvrers Travalleurs sécalsés dans les servces, ersonnel d'elotaton des transorts, etc. TOTAL toutes rofessons Vlle de Montréal , , , , , ,0 Reste de la CUM , , , , , ,0 Couronne Nord 48 97, , , , , ,0 Couronne Sud , , , , , ,0 Hors RMR 1 765, ,7 3 87, , , ,0 Total , , , , , ,0 Les fréquences théorques sont calculées smlement en alquant au total de chaque colonne la dstrbuton de l'ensemble (dernère colonne du tableau des réarttons) : où l'astérsque sert à dstnguer les fréquences théorques des fréquences observées. Par eemle, , , Dans la formule qu sut, la valeur de la robablté est rerésentée à 7 décmales, de façon à obtenr des fréquences théorques eactes étant donné que le multlcateur est de l'ordre des centanes de mlle. Cette récson est souhatable c our rendre lus clar le déveloement qu sut, mas en ratque, elle n'est as nécessare.

14 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence On remarque que les totau de lgnes et de colonnes du tableau 4 sont égau à ceu du tableau des valeurs observées. Ce n'est as un accdent : cela découle de la formule de calcul. Une fos calculées les fréquences théorques, l faut mesurer l'écart entre l'ensemble des fréquences théorques et l'ensemble des fréquences observées. Pour ce fare, on alque la formule X ( ) Cette statstque s'aelle le Kh-deu de Pearson, auss dénotée X comme dans la formule. Tableau 5 Poulaton actve emloyée dans la Régon métrooltane de Montréal Zone de résdence Drecteurs, gérants, admnstrateurs et assmlés Calcul du Kh-deu Professonnels, ensegnants et cols blancs sécalsés Emloyés de bureau et travalleurs dans la vente Professons Ouvrers Travalleurs sécalsés dans les servces, ersonnel d'elotaton des transorts, etc. TOTAL toutes rofessons Vlle de Montréal 051,7 134,6 444,4 11,9 998, ,1 Reste de la CUM 1 09,3 5,0 554,5 316,5 900,1 5 3,4 Couronne Nord 4, ,6 103,3 949,6 5,1 996, Couronne Sud 301,7 333,4 4,0 1,9 13,9 675,0 Hors RMR 118,5 300,8 853, ,7 0, ,5 Total 3 706, , ,6 7 14, , , Les valeurs du tableau 5 sont les contrbutons des cellules ndvduelles au Kh-deu.

15 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence Ans, our la cnquème cellule de la quatrème colonne, ( ,4) 17 47, ,7 Le Kh-deu est smlement la somme de tous les éléments de ce tableau : 19 66, Deuème étae : détermner la robablté Pourquo cette formule-là en artculer? La réonse à cette queston relève de la théore de l'nducton statstque. Cette formule est utlsée arce que, grâce à la statstque mathématque, on connaît la dstrbuton de robablté du Kh-deu ans calculé. Celu-c a en effet une dstrbuton asymtotque ben connue : c'est la Lo du χ (on dt «Kh-deu», usque le symbole χ est la lettre grecque «kh»). Ce résultat s'alque à la condton que l'on se stue dans le cadre d'un certan modèle d'échantllonnage ; un modèle d'échantllonnage est un modèle qu décrt le rocessus aléatore ar lequel on suose que sont générés les écarts des fréquences observées ar raort au fréquences théorques (vor le chatre -). Nous n'eamnerons as ce modèle c ; nous nous contenterons de dre qu'l est assez général our que l'on usse alquer le test d'hyothèse du Kh-deu de Pearson à une grande varété de stuatons (vor c-arès, 4-1.4). Il morte de récser c que, lorsque l'on utlse la Lo du χ, l faut tenr comte de ce que l'on aelle le nombre de degrés de lberté, arce que les robabltés données ar la Lo du χ en déendent. Pour le test d'hyothèse du Kh-deu de Pearson, le nombre de degrés de lberté est égal à (C 1) (L 1), où C est le nombre de colonnes et L, le nombre de lgnes du tableau. Dans notre eemle (tableau à 5), C est le nombre de rofessons et L, le nombre de zones ; le nombre de degrés de lberté est donc égal à (5 1) (5 1) 16 Une arenthèse sur le nombre de degrés de lberté. La Lo du Kh-deu est rerésentée ar une courbe dont la forme vare légèrement selon le nombre de valeurs que le hasard est, our ans dre, «lbre» de erturber. Dans le tableau de contngence, les totau de lgnes et de colonnes sont fés. Ans, dans chacune des C colonnes, une fos que (L 1) valeurs ont été erturbées «lbrement» ar ce dable de hasard, la dernère valeur de la colonne est détermnée ar la dfférence entre le total et les (L 1) autres valeurs ; de même, dans chacune des L lgnes, une

16 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence fos que (C 1) valeurs ont été erturbées «lbrement», la dernère valeur de la colonne est détermnée ar la dfférence entre le total et les (C 1) autres valeurs. Donc, dans l'ensemble du tableau, une fos que (C 1) (L 1) «erturbatons» ont été ntrodutes, les autres valeurs sont détermnées ar la nécessté de resecter les totau margnau. À l'ade d'une table du Kh-deu ou de la foncton Lo.Khdeu du tableur Ecel (Chdst en anglas), on eut mantenant détermner la robablté que l'écart mesuré entre les fréquences observées et les fréquences théorques sot s grand : la valeur de Lo.Khdeu(1966 ;16) est nféreure à, Trosème étae : rendre une décson Une robablté de, , c'est une robablté ben mnce! Il est etrêmement mrobable que les dévatons des fréquences observées ar raort au fréquences théorques soent unquement dues au hasard. En fat, cela est tellement mrobable que, à mons de crconstances ecetonnelles, la bonne décson à rendre est de reeter cette hyothèse et de conclure au contrare qu'l y a décdément un raort entre la rofesson et la zone de résdence MÊMES DONNÉES, NOUVELLE QUESTION... MÊME RÉPONSE?! Nous venons d'eamner la queston de savor s les ndvdus aartenant à des rofessons dfférentes se réartssent entre les zones de résdence de façon sgnfcatvement dfférente. Nous allons mantenant nous demander s la comoston rofessonnelle de la oulaton emloyée est sgnfcatvement dfférente d'une zone de résdence à l'autre. Les données ertnentes se trouvent dans le tableau 6 c-arès, qu donne, our chaque zone de résdence, la dstrbuton des ndvdus entre les rofessons. Plus récsément, nous voulons tester l'hyothèse qu'l n'y a as de dfférence sgnfcatve entre les zones du ont de vue de la comoston rofessonnelle des ersonnes emloyées qu y demeurent. On comare donc, dans le tableau 6, les dfférentes dstrbutons à celle que l'on devrat théorquement avor s les dstrbutons étaent dentques, qu est la dstrbuton de l'ensemble (dernère lgne).

17 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence Tableau 6 Poulaton actve emloyée dans la Régon métrooltane de Montréal Zone de résdence Comoston rofessonnelle des zones de résdence, 1991 Drecteurs, gérants, admnstrateurs et assmlés Professonnels, ensegnants et cols blancs sécalsés Emloyés de bureau et travalleurs dans la vente Professons Ouvrers Travalleurs sécalsés dans les servces, ersonnel d'elotaton des transorts, etc. TOTAL toutes rofessons Vlle de Montréal 0,14 0,49 0,64 0,197 0,166 1,000 Reste de la CUM 0,17 0,9 0,301 0,168 0,19 1,000 Couronne Nord 0,153 0,181 0,90 0,9 0,147 1,000 Couronne Sud 0,161 0,0 0,85 0,06 0,146 1,000 Hors RMR 0,135 0,189 0,7 0,99 0,149 1,000 Total 0,150 0,17 0,80 0,05 0,148 1,000 On constate qu'l y a en effet des dfférences entre les zones de résdence quant à la comoston rofessonnelle. Pour vor s ces dfférences sont sgnfcatves, on rocède de la même manère qu'auaravant, en commençant ar calculer des fréquences théorques. Mas, oh, surrse! les fréquences théorques auquelles on arrve sont dentques à celles qu avaent été calculées our eamner la queston de la dstrbuton entre les zones our les dfférentes rofessons (le lecteur eut le vérfer ar lu-même). Inutle de contnuer : la concluson sera forcément la même. Évdemment ren de cela n'est un accdent. Dans le remer cas, nous avons 54 Par eemle, , , 4 Dans le cas résent, Par eemle, , , 4 5 4

18 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence Les deu formules donnent le même résultat numérque arce qu'elles sont strctement équvalentes : D'alleurs, dans les calculs ratques, on asse généralement drectement du tableau des fréquences observées à celu des fréquences théorques, au moyen de la formule Le tableau des fréquences théorques est donc b-roortonnel : les colonnes sont roortonnelles entre elles, et les lgnes auss GÉNÉRALISATION : L'INDÉPENDANCE STATISTIQUE DANS UN TABLEAU DE CONTINGENCE L'analyse d'un tableau de contngence reose sur le ostulat que le nombre d'ndvdus observés dans les cellules du tableau déend d'une structure sous-acente. L'analyse a our but de découvrr cette structure. Nous évoquerons lus lon, brèvement, le modèle loglnérare qu sert à rerésenter cette structure. Nous nous enchons our le moment sur un asect artculer de cette structure, l'ndéendance statstque. Qu'est-ce que l'ndéendance statstque? En théore des robabltés, un événement aléatore A est ndéendant d'un autre événement B s la robablté que l'événement A se roduse demeure la même, que l'événement B se roduse ou non. Par eemle, dans le tableau de la oulaton actve ar zone de résdence et ar rofesson, l y a ndéendance entre les varables zone de résdence et rofesson s, our un ndvdu chos au hasard, la robablté d'habter dans une zone donnée est la même, quelle que sot la rofesson de cet ndvdu ; symétrquement, l y a ndéendance s la robablté d'aartenr à un groue rofessonnel donné est la même, quelle que sot la zone de résdence de l'ndvdu. Par eemle, dsons que l'événement A est «l'ndvdu habte la Couronne Nord» et l'événement B est «l'ndvdu est un emloyé de bureau» ; s'l y avat ndéendance, la robablté qu'un ndvdu chos au hasard habte la Couronne Nord (robablté de l'événement A) est la même, que cet ndvdu sot emloyé de bureau (événement B) ou non.

19 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence Eamnons de lus rès comment l'ndéendance se manfeste dans un tableau de contngence. Pour le vor, l faut d'abord nterréter les fréquences relatves du tableau comme des robabltés observées, que l'on confrontera au robabltés théorques du modèle ou de l'hyothèse. Ans, our un ndvdu chos au hasard arm les travalleurs recensés de la RMR, la robablté qu'l sot un ouvrer et qu'l habte la Couronne Sud est donnée ar ,044 On calcule suvant le même rnce les robabltés margnales observées. Ans, la robablté qu'un ndvdu chos au hasard arm les travalleurs recensés de la RMR sot un ouvrer est donnée ar ,05 Et la robablté qu'un ndvdu chos au hasard arm les travalleurs recensés de la RMR habte la Couronne Sud est donnée ar ,16 Et l'ndéendance? S la robablté d'être ouvrer est ndéendante de la zone de résdence, la fracton d'ouvrers dans chaque zone devrat être égale à que la fracton des travalleurs qu habtent la Couronne Sud est égale à, c'est-à-dre à 0,5 %. Sachant, c'est-à-dre à 1,6 %, alors, arm les travalleurs recensés de la RMR, ceu qu sont ouvrers et qu habtent la Couronne Sud devraent rerésenter 0,5 % de 1,6 % du total, c'est-à-dre 0,05 0,16 0, Cela, ben sûr, sous condton que les deu événements (être ouvrer et habter la Couronne Sud) soent ndéendants. En l'occurrence, l se trouve que le résultat est très roche de la valeur de 44, ce qu lasse crore qu'en effet, les deu événements ourraent être ndéendants. Mas cette analyse est ncomlète, arce que chacune des deu varables, zone de résdence et rofesson, comrend lus de deu catégores. De façon lus générale, donc, s deu varables sont ndéendantes, on s'attend à ce que la robablté observée d'aartenr à la fos à la 4 4

20 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence catégore de la remère varable et à la catégore de la seconde sot égale au rodut des robabltés margnales :, our toutes les ares, Un autre chemnement On eut arrver à la même concluson ar un autre chemn, à artr de la même défnton, à savor : «Un événement A est ndéendant d'un autre événement B s la robablté que l'événement A se roduse demeure la même, que B se roduse ou non». Dans le langage de la théore des robabltés, cet énoncé équvaut à dre que la robablté condtonnelle de A est égale à sa robablté margnale, c'est-à-dre, dans un tableau de contngence à dmensons :. Pusque, cela mlque, c'est-à-dre. De façon équvalente, les varables catégorques sont ndéendantes s :. Pusque, cela mlque, c'est-à-dre. Volà la défnton eacte de l'ndéendance statstque entre deu varables catégorques. Il saute au yeu que cette défnton est arfatement symétrque ar raort au deu varables. On eut également constater que les fréquences théorques dont l a été queston récédemment sont celles que l'on s'attendrat à vor dans l'hyothèse de l'ndéendance statstque. En effet, Le tableau des fréquences théorques (tableau 4) est donc une rerésentaton eacte de l'hyothèse d'ndéendance. Mas ourquo s'ntéresser à l'hyothèse d'ndéendance? Parce que, s deu varables sont ndéendantes, aucune des deu ne eut être consdérée comme ayant une nfluence sur l'autre (noter que, dans cette formulaton, aucune des deu varables n'est dentfée comme devant ouer le rôle de varable ndéendante ou «elcatve»). Il eut arrver que des données se conforment arfatement à l'hyothèse d'ndéendance. Le lus souvent ceendant, les données seront dfférentes de ce que rédt le modèle

21 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence d'ndéendance. S les données ne s'en écartent «as tro», le modèle ourra être ugé accetable, ourvu que l'on admette qu'l n'est qu'une aromaton et qu'entre la réalté et le modèle, l ntervent un élément aléatore, que nous avons aelé «erturbaton due au hasard». Les hyothèses que l'on fat quant à cet élément aléatore ermettent de balser l'ncerttude quant au «vra» modèle. Le test d'hyothèse que nous avons décrt récédemment est donc une rocédure d'nducton statstque qu encadre la décson de reeter ou non le modèle de l'ndéendance statstque UN AUTRE TEST : LE TEST DU RAPPORT DE VRAISEMBLANCE On utlse auss la statstque du raort de vrasemblance (lus eactement, mons deu fos le logarthme du raort des fonctons de vrasemblance). Cette statstque est défne our un tableau rectangulare ar 5 G ln G ln Comme le Kh-deu de Pearson, G a une dstrbuton asymtotque χ avec, sous contrante de l'hyothèse d'ndéendance, (L 1)(C 1) degrés de lberté 6. Le calcul de cette varable-test est llustré c-arès our le tableau de la oulaton actve selon la rofesson et la zone de résdence. 5 La formule donnée c-arès est ben la bonne. Elle dffère de la défnton nformelle qu'en donne Uton (1981,. 36, défnton du Y ). 6 Que X et G aent toutes deu la même dstrbuton asymtotque n'mlque as qu'elles aent la même valeur.

22 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence Tableau 7 Poulaton actve emloyée dans la Régon métrooltane de Montréal Zone de résdence Calcul de la statstque du raort de vrasemblance G Drecteurs, gérants, admnstrateurs et assmlés Professonnels, ensegnants et cols blancs sécalsés Emloyés de bureau et travalleurs dans la vente Professons Ouvrers Travalleurs sécalsés dans les servces, ersonnel d'elotaton des transorts, etc. TOTAL toutes rofessons Vlle de Montréal , ,0-7301,1-3307,6 8687,8 878,0 Reste de la CUM 863,4 4548,4 7730, ,9-644, 675,5 Couronne Nord 111, ,5 316,5 845, -49, ,8 Couronne Sud 4049,5-4765,5 1517,9 36, -86,5 337,6 Hors RMR -1168,8-00,5-4057, 9699, 34,0 306,7 Total 1 888,0 484, , ,1 960, ,6 Les valeurs du tableau 7 sont les contrbutons des cellules ndvduelles au G. Ans, our la cnquème cellule de la quatrème colonne, ln 9 699, 17 47,4 Le G est smlement égal au double de la somme de tous les éléments de ce tableau : ,. La robablté crtque corresondante est nféreure à, Un regard arofond sur le Kh-deu de Pearson LES MILLE ET UNE APPLICATIONS DU TEST DU KHI-DEUX DE PEARSON AUX TABLEAUX DE CONTINGENCE Test sur une seule cellule du tableau Chacun des termes de la double sommaton qu forme le Kh-deu eut être nterrété comme la «contrbuton» de la cellule corresondante au Kh-deu. Cela ermet de reérer les cellules les lus «dévantes» ar raort à l'hyothèse.

23 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence On eut même tester formellement l'hyothèse qu'une cellule en artculer du tableau est sgnfcatvement «dévante». Il sufft our cela de construre un tableau où sont agrégées toutes les autres lgnes et colonnes. Par eemle, s l'on veut fare le test our la cellule [h, k], on construt un tableau agrégé sur le modèle suvant hk h k h k On alque ensute à ce tableau le test du Kh-deu de Pearson avec 1 degré de lberté : (L 1) (C 1) ( 1) ( 1) 1 Consdérons ar eemle, la fracton des emloyés qu habtent à l'etéreur de la RMR et qu aartennent au rofessons Travalleurs sécalsés dans les servces, ersonnel d'elotaton des transorts, etc. Dans le tableau 5, on vot que cette cellule du tableau ne contrbue que our 0,1 à la valeur totale du Kh-deu. On eut tester l'hyothèse que cette dévaton n'est as sgnfcatve ar raort à l'hyothèse d'ndéendance. À artr du tableau de contngence, on construt le tableau agrégé qu sut. Tableau 8 Tableau agrégé Poulaton actve emloyée, Régon métrooltane de Montréal Zone de résdence, selon le see et la rofesson, 1991 Toutes rofessons sauf Travalleurs sécalsés dans les servces, ersonnel d'elotaton des transorts, etc. Total RMR Hors RMR Total Source : Statstque Canada, Recensement de 1991 La valeur du Kh-deu calculé à artr de ce tableau est de 0,11, ce qu est ben lon du 19 66, obtenu avec le tableau détallé. La robablté crtque assocée à 0,11 est de 74 %, ce qu ne ermet décdément as de reeter l'hyothèse d'ndéendance dans le tableau agrégé.

24 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence Test d'homogénété entre deu ou luseurs groues ou échantllons Il arrve souvent que l'on at à analyser des tableau qu comarent deu groues d'ndvdus réarts entre luseurs catégores. Pour deu groues, le tableau de contngence rend la forme suvante : Groue A Groue B Total A+B Catégores Total Un test d'homogénété entre deu ou luseurs groues vse à détermner s, du ont de vue de leur réartton entre les catégores d'une varable de classfcaton donnée, les deu groues sont sgnfcatvement dfférents ou non. La clé our alquer le test du Kh-deu à une telle stuaton est de vor que le groue d'aartenance est une seconde varable catégorque. On ourrat voulor comarer, ar eemle, la réartton des hommes et des femmes entre les rofessons. On reconnaîtra faclement que la queston de savor s la réartton des femmes entre les rofessons est sgnfcatvement dfférente de celle des hommes n'est ren d'autre que la queston de l'ndéendance entre la varable Professon et la varable See. Test d'homogénété entre une sous-oulaton et le reste de la oulaton Le test d'homogénété sert notamment à comarer un groue artculer avec le reste de la oulaton. On l'utlse en artculer our comarer un échantllon à la oulaton dont l est tré, our vor s l'échantllon est rerésentatf de certanes caractérstques connues de la oulaton. Suosons ar eemle que l'on fasse un sondage en ntervewant des résdants de Montréal choss au hasard à l'ntersecton des rues Sante-Catherne et Jeanne-Mance. S la varable lngustque est mortante au fns de l'étude, on voudra vérfer à la fn s la roorton de francohones et d'anglohones nterrogés est rerésentatve de la comoston lngustque de Montréal. Pour ce fare, on construra un tableau selon le schéma suvant : Groue A Reste de la oulaton Total

25 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence Catégores Calculer ar soustracton Total Pour notre eemle, les catégores ertnentes sont naturellement Francohone, Anglohone et Autre 7. Les données relatves au Groue A sont celles de l'échantllon ou autre groue artculer à l'étude ; celles de la colonne Total euvent être obtenues de sources offcelles, comme le Recensement. On calcule les chffres du Reste de la oulaton ar soustracton 8. Test de l'hyothèse d'une dstrbuton artculère De façon lus générale, le test du Kh-deu eut servr à évaluer n'morte quelle hyothèse sur la dstrbuton d'un ensemble d'ndvdus entre des catégores 9. Pour ce fare, on trate l'ensemble d'ndvdus étudé comme un échantllon tré d'une oulaton nfne qu est dstrbuée selon l'hyothèse à évaluer. Par eemle, selon le recensement de la oulaton de 1984 au Costa Rca, ce ays comtat alors hommes et femmes (tableau 9). Confrontons ces chffres à l'hyothèse d'une dstrbuton entre les sees. Tableau 9 Poulaton masculne et fémnne, Costa Rca, 1984 Données du recensement Fréquences théorques Hommes Femmes Total Source : htt://oul.eest.ucr.ac.cr/observa/estma/cuadro1.htm On calculera la valeur du Kh-deu comme 7 Nous assons c sous slence la dffculté qu'l y a à défnr l'aartenance lngustque de façon oératonnelle et la dffculté, lus grande encore, de trouver dans les données du Recensement de Statstque Canada l'nformaton ertnente (la formulaton des questons du Recensement qu ortent sur l'aartenance lngustque est vvement crtquée). 8 S le Groue A ne rerésente qu'une fracton mnme de l'ensemble, on eut en ratque calculer le Kh-deu entre le Groue A et l'ensemble, même s ce n'est as théorquement eact. 9 Blalock (197,.31), Eercce No 3.

26 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence X ( ) ( ) ,85 La robablté crtque, avec 1 degré de lberté, est égale à 7, , ce qu condut à reeter l'hyothèse que la dstrbuton de la oulaton entre hommes et femmes n'est as sgnfcatvement dfférente de la dstrbuton En aarence, cette rocédure dffère de celle qu a été utlsée usqu'c. Mas l n'en est ren. C'est que ce test reose sur la comarason mlcte entre la oulaton étudée et une oulaton hyothétque de talle nfne, qu resecte la dstrbuton hyothétque à tester. De façon elcte, voc le tableau de contngence sous-acent à ce test. Tableau 10 Poulaton masculne et fémnne, Costa Rca, 1984 Poulaton Costa Rca 1984 Reste Poulaton hyothétque nfne Hommes ,5 Y ,5 Y Femmes ,5 Y ,5 Y Total Y Y Source : htt://oul.eest.ucr.ac.cr/observa/estma/cuadro1.htm Calcul des fréquences théorques Hommes Femmes Poulaton Costa Rca 1984 ( ) Reste {(0,5 Y ) [ 0,5 ( Y ) ]} ( ) ,5 ( Y ) {(0,5 Y ) [ 0,5 ( Y ) ]} 0,5 ( Y ) ( ) 0,5 ( Y ) ( ) 0,5 ( Y ) S Y est nfnment grand, la contrbuton de la colonne Reste à la valeur du Kh-deu est néglgeable (nfnment ette), usque le dvseur 0,5 (Y ) est nfnment grand, de sorte que le calcul se ramène à ce qu avat été énoncé récédemment. Par alleurs, le nombre de degrés de lberté est ben égal à (C 1) (L 1) Il y a des stuatons où le calcul des fréquences théorques est soums à lus d'une contrante. Le nombre de degrés de lberté se calcule alors dfféremment. Vor Blalock (197, Eercce No 3,.31).

27 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence CONDITIONS DE VALIDITÉ DU TEST DU KHI-DEUX DE PEARSON Le test du Kh-deu de Pearson est basé sur une aromaton : la dstrbuton du χ est la dtrbuton asymtotque de la statstque du Kh-deu de Pearson. Pour que le test sot valde, l faut que l'aromaton sot suffsamment bonne. En général, on consdère que l'aromaton est suffsamment bonne et que le test est valde, s le nombre total d'observatons resecte la condton > 10 L C, où C est le nombre de colonnes et L, le nombre de lgnes du tableau (Legendre et Legendre, 1998,. 18). En ratque, la luart des auteurs affrment que le test du Kh-deu de Pearson rsque de ne as être valde s'l a une ou luseurs cellules dont la fréquence théorque est nféreure à 5 (Freund et Wllams, 1973,. 379). Pour Legendre et Legendre (1998,. 18), le test ourrat ne as être valde s < 5 L C. Cette condton est étrotement aarentée à la récédente : lorsque cette condton se réalse, l y a nécessarement au mons une cellule de fréquence théorque nféreure à 5, tel qu'l est démontré dans l'encart c-arès. On a : MIN [ ] et [ ] C L MIN, de sorte que [ ] ( ) MIN, L C, c'est-à-dre MIN, L C Il en découle que, s < 5 L C, c'est-à-dre s < 5, L C alors la lus ette fréquence théorque sera nféreure à 5.

28 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence Par contre, Cochran (1954) et Segel (1956), ctés ar Legendre et Legendre (1998,. 18) énoncent les condtons suvantes, mons restrctves, sous lesquelles le test du Kh-deu ne serat as valde : Il y a une ou luseurs cellules dont la fréquence théorque est nféreure à 1; Pusque, cette condton équvaut à dre qu'l y a au mons une lgne et une colonne telles que <. ou ben Il y a 0 % des cellules dont la fréquence théorque est nféreure à 5. Selon d'autres auteurs, même la dernère restrcton énoncée (0 % des cellules...) serat encore tro sévère. Legendre et Legendre (1998,. 18) ctent Fenberg (1980), selon qu le test est valde à un seul de sgnfcaton de 5 %, ourvu que toutes les fréquences théorques soent suéreures à 1. En résumé, on retendra que, lorsque l'on alque le test du Kh-deu à un tableau de contngence, l faut se méfer des résultats lorsque certanes des fréquences théorques sont tro ettes. Que fare s l'on a des rasons de crore que le test du Kh-deu n'est as valde? Une remère soluton consste à regrouer des catégores our que soent fusonnées des lgnes ou des colonnes ne contenant qu'un ett nombre d'observatons. On aura ans des fréquences théorques lus élevées dans les cellules fusonnées. Il ne faut ceendant as fusonner les catégores n'morte comment! Le regrouement des catégores revent à modfer la manère d'oératonnalser l'hyothèse (vor le début du chatre -). Cela dot donc être ustfé en foncton du modèle concetuel sous-acent à l'étude. Par alleurs, l est souvent référable de carrément écarter de l'analyse des catégores qu se rêtent mal à l'nterrétaton (ar eemle, les réonses «Ne sat as» dans les données d'enquête). On songera même arfos à écarter des catégores eu nombreuses qu ne sont as déourvues de contenu analytque, mas qu ne euvent as être regrouées avec d'autres our former de nouvelles catégores qu sont ertnentes ar raort au modèle concetuel.

29 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence QUELQUES PROPRIÉTÉS NUMÉRIQUES DU KHI-DEUX DE PEARSON Le Kh-deu de Pearson ossède notamment les rorétés suvantes : 9. Kh-deu est non négatf 10. Kh-deu est nul quand our toutes les cellules, du tableau. 11. Kh-deu augmente avec le nombre d'observatons 1. X Mn( L 1, C 1) où C est le nombre de colonnes et L, le nombre de lgnes du tableau et ( 1) où l'eresson Mn L 1, C rerésente la lus ette valeur arm (L 1) et (C 1). Les deu remères rorétés sont relatvement évdentes lorsqu'on eamne la formule de calcul X ( ) La trosème rorété est llustrée ar l'eemle suvant.

30 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence Tableau 11 Sensblté du Kh-deu au nombre d'observatons Illustraton numérque Tableau de contngence , , , , , , ,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Fréquences théorques 1,5 1, ,5 1, Calcul du Kh-deu 0,5 0, ,5 0,5 1 1 Kh-deu Kh-deu 4 Kh-deu 8 n.lgnes n.lgnes n.lgnes n. col. n. col. n. col. d.l. 1 d.l. 1 d.l. 1 Prob.crt. 0,157 Prob.crt. 0,046 Prob.crt. 0,005 Les tros tableau de contngence c-haut ont des structures dentques. La seule chose qu les dstngue est le nombre total d'observatons : 5, 50 et 100. Le test du Kh-deu condut à reeter l'hyothèse d'ndéendance dans le trosème cas et, de façon mons catégorque dans le second ; dans le remer cas ceendant, on décderat généralement que l'hyothèse ne eut as être reetée, du mons selon les crtères habtuellement utlsés en scences socales. De façon lus générale, lorsque, our une structure donnée, le nombre d'observatons augmente roortonnellement dans toutes les cellules, la valeur du Kh-deu augmente dans la même roorton. Formellement, lorsque le nombre d'observatons est multlé ar α, on a :

31 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence ( ) ( ) α α α ( ) α α α Pourquo s'ntéresser à cette rorété? Parce que s le nombre total d'observatons grand, on eut être condut à reeter l'hyothèse d'ndéendance (et donc, à consdérer que les dfférences entre les dstrbutons sont statstquement sgnfcatves), alors qu'elles ne sont as nécessarement scentfquement sgnfcatves. Inversement, l eut arrver que des dfférences réelles aarassent comme non sgnfcatves statstquement, s le nombre d'observatons est ett. Suosons, ar eemle, qu'au leu d'utlser des données du Recensement sur la rofesson et la zone de résdence, on renat un échantllon de 1 sur Suosons auss que, ar le lus heureu des hasards, l'échantllon reflète au lus rès la oulaton, de sorte que les fréquences observées de l'échantllon soent égales à un mllème des fréquences observées du Recensement, à une erreur d'arrondssement rès (usque l'on ne eut as avor des fractons de ersonnes dans l'échantllon). On obtendrat alors le tableau suvant. est

32 Méthodes quanttatves, André Lemeln, L'analyse des tableau de contngence Tableau 1 Échantllon fctf Poulaton actve emloyée dans la Régon métrooltane de Montréal Zone de résdence Zone de résdence selon la rofesson, 1991 Drecteurs, gérants, admnstrateurs et assmlés Professonnels, ensegnants et cols blancs sécalsés Emloyés de bureau et travalleurs dans la vente Professons Ouvrers Travalleurs sécalsés dans les servces, ersonnel d'elotaton des transorts, etc. TOTAL toutes rofessons Vlle de Montréal Reste de la CUM Couronne Nord Couronne Sud Hors RMR Total Eh ben, avec les données de cet échantllon fctf, ourtant émnemment rerésentatf, la valeur du Kh-deu de Pearson n'est lus que de 19,79 et la robablté corresondante est de 0,3 : on ne eut as reeter l'hyothèse d'ndéendance! Nous revendrons sur ce ont à roos des mesures de l'ntensté de la relaton entre deu varables catégorques. D'alleurs, la quatrème rorété du Kh-deu de Pearson, X Mn ( L 1, C 1) ntervent dans la défnton de certanes de ces mesures. Démonstraton de X Mn( L 1, C 1) La démonstraton de cette dernère rorété fat ael à une formule de calcul du Kh-deu autre que celle que nous avons donnée récédemment. Cette nouvelle formule est dérvée de la remère :