DEVOIR DE SYNTHESE N 1
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- Henriette Dupont
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1 Lycée de Souassi DEVOIR DE SYNTHESE N 08//00 SECTIONS : 4 éme Scieces Expérimetales & 3 EPREUVE : Mathématiques DUREE : heures PROFESSEUR : Mr Wissem Fligèe Exercice : (3 pts) Pour chacue des questios, ue seule répose parmi les trois est exacte. Idiquer sur la copie le uméro de la questio et la répose choisie correspodate puis justifier cette répose. Ue répose o justifiée est cosidérée comme fausse. O doe le tableau de variatio d ue foctio défiie et dérivable sur + 3 ݔ (ݔ) 0 ) L équatio f ( x) 0 admet : A. ue solutio B. deux solutios C. trois solutios ) O ote f ' la dérivée de la foctio. O peut affirmer que : A. f '( ) f '() 0 B. f '() f '(5) 0 C. f '(4) f '(7) 0 3) O doe ci-dessous la courbe représetative de la foctio. Les droites et ' sot tagetes à la courbe aux poits d abscisses respectives et A. f '( ) 0 B. f '( ) f '() C. f '() f '( ) 4) Ue des trois courbes ci-dessous est la représetatio graphique de la foctio f '. Détermier laquelle. A. courbe C B. courbe C C. courbe C 3 Exercice : (5 pts) U 0 O défiit les suites ( ) et ( ) par et V 0 U V U V 3 U 4V 5 pour Page
2 O pose = pour. ) Démotrer que la suite ( ) est géométrique et préciser sa limite ) Exprimer e foctio de et e déduire que pour tout 3) Exprimer et e foctio de E déduire le ses de variatio des suites ( ) et ( ) 4) Justifier que ( ) et ( ) coverget vers la même limite. 5) O pose = 3 + 0, pour a) Démotrer que la suite ( ) est costate. b) E déduire la valeur de. Exercice 3 : (6 pts) = ݖ 4 ݖ (ܧ) O cosidère l équatio ) Calculer ൫ + 3൯ (ܧ) ) a) Résoudre das C l équatio b) Ecrire les solutios sous forme expoetielle. 3) Das le pla complexe mui d u repère orthoormé direct (, ሬ ݑ,,( ݒ o cosidère les poits = 3 i 3 ߚ = i 3 et ߙ d affixes respectives ܥ et ܣ a) Motrer que ܥܣ est u triagle rectagle b) Détermier l affixe du poit ܤ tel que ܥܤܣ soit u rectagle 4) Soit l équatio ܧ) ఏ ) : ݖ - -ݖ si ఏ ߠ = 0 ; avec q Î ]0, p [ a) Motrer que : si ఏ ߠ = ఏ b) Résoudre das C l équatio ܧ) ఏ ).O désigera par ݖ ᇱ la solutio ayat ue partie imagiaire égative et par ݖ ᇱᇱ l autre solutio c) Détermier ߠ pour que l o ait ݖ = a et ''ݖ = b Exercice 4 : (6 pts) Soit f la foctio défiie sur 0, par : (, ଓ, ଔ ) ) a) Etudier les variatios de f f ( x) et f sa courbe das u repère orthoormé x b) Motrer que f réalise ue bijectio de 0, sur u itervalle I que l'o précisera. c) Explicité f ( x ) pour tout x I. d) Motrer que l équatio f x) x ) Motrer que pour tout x,, o a : 3) Soit ( ) ( admet ue uique solutio,. f '( x) u la suite défiie sur par : u0 et u f ( u ) pour tout a) Motrer que : pour tout, u b) Motrer que pour tout, u u c) Motrer que pour tout, ue limite qu o précisera. u. E déduire que la suite ( u ) coverge vers Page
3 Solutio Solutio-Exercice ) B est strictemet croissate sur ], 3] et (], 3] ) = ], ] qui cotiet 0 D autre part est strictemet décroissate sur [3, + [ et ([3, + [ ) = ], ] qui cotiet 0 ( = 0 admet exactemet deux solutios : et ue autre qui appartiet à [3, + [ (, ૠ (ݔ) Doc ) C est strictemet décroissate sur [3, + [ doc < (ݔ) ᇱ 0 pour tout ݔ [3, + [ e particulier ( ᇱ(4) < 0 et ᇱ(7) < 0 doc ᇱ(4) ᇱ(7) 0 (, ૠ 3) B ( Graphiquemet : ᇱ( ) = et ᇱ() = doc ᇱ( ) = ᇱ() (, ૠ 4) C Sur ], 3], est strictemet croissate doc > (ݔ) ᇱ 0 et par suite la courbe de ' est au dessus de l axe des abscisses Sur [3, + [, est strictemet décroissate doc < (ݔ) ᇱ 0 et par suite la courbe de ' est e dessous de l axe des abscisses (doc la courbe ܥ est à écarter) D autre part ᇱ( ) = doc la courbe de ' passe par le poit de coordoées (,) qui est le cas ( ଷ (, ૠ ܥ de la courbe Solutio-Exercice ) = = ସ ହ ଷ Doc est ue suite géométrique de raiso ݍ = ହ = ],[ doc lim ହ ݍ ( = 0 (, = ଷ ହ ହ ( (, ૠ ( or = = doc = ቀ ହ ቁ (, ݍ = ) ( = = ቀ ହ ቁ 0 pour tout N doc (, 3) = ଷ = ( = ଷ ଷ (, = ସ ହ = ( ହ ହ (, = = ହ ( = ଷ 0 pour tout N doc ( ) est croissate (, ( = ହ 0 pour tout N doc ( ) est décroissate (, 4) * pour tout N * ( ) est croissate et ( ) est décroissate * lim ( ) = lim = 0 = ହ ( ) = ହ ( Doc ( ) et ( ) sot deux suites adjacetes doc elles coverget vers la même limite (, 5) a) = = + + ( + 4 ) = = ( doc ( ) est ue suite costate (, b) ( ) est ue suite costate doc = = = 3 doc = 3 d où ( 3+0l = 3 d où l = ଷ (, ଷ Page 3
4 Solutio-Exercice 3 ( ) ൫ + 3൯ = = + 3 (, ) a) = ; ᇱ= ; = 3-3 ᇱ = ᇱ = 4 ൫3-3൯= = + 3 = ൫ + 3൯ doc ߜ ᇱ = + 3 est ue racie carrée de ' = ᇲ ఋ ᇲ ݖ et ݖ = ᇲ ఋ ᇲ = ଷ = ଷ C = ቊ 3 = ଷ = ଷ ଷ ( 3 ቋ ( + 3 ; b) ݖ = ଷ ( = ଷ = cos ቀ గ ቁ+ si ቀ గ ቁ = ഏ య (, ଷ ଷ = ଷ ଷ ݖ ݖ ; = ቚ ଷ ଷ ቚ= 3 soit arg( ݖ [ߨ ]( doc cos = ଷ et si = d où = గ ; ݖ ഏ = 3 ల 3) a) * ière méthode : 3ห= 4 = ห + ߙ ߚ = ܥܣ 3 et = ߚ = ܥ ; = ߙ = ܣ est rectagle e O ܥܣ ² ܥܣ doc le triagle = ² ܥ + ² ܣ * ième méthode : ( (, ܣቀ ሬ, ሬ ܥ ቁ arg ൬ ݖ [ߨ ] ߨ [ߨ ] 3 ߨ + 6 ߨ [ߨ ] ߙ arg ߚ arg [ߨ൰[ ߙ ݖ ߚ arg ൬ [ߨ൰[ * 3 ième méthode : ൫ ሬ ൯ ൫ ሬ ൯ = ఉ ఈ = ଷ షഏ య ഏ ల = 3 ቀഏ ల ഏ మ ቁ = 3 ഏ మ = 3 : imagiaire pur doc ሬ ܥ ሬ ܣ ( cl : OAC est u triagle rectagle e O (, ૠ b) puisque OAC est u triagle rectagle e O alors il suffit que OABC soit u parallélogramme c.à.d. = ଷ ߚ + ߙ = ݖ ሬ sig ܥ + ሬ ܣ = ሬ ܤ + ଷ ଷ ( (, ૠ = 4) a) si ఏ ߠ = ഇ షഇ ( ఏ = ఏ = ఏ (, b) = ; ᇱ= ; = si ఏ ߠ ᇱ = ᇱ = + si ఏ ߠ = + ఏ = ఏ = ൫ ఏ ൯ doc ߜ ᇱ = ఏ est ue racie carrée de ' ᇲ ఋ ᇲ =ݖ = ఏ = cos ߠ si ߠ ou =ݖ ᇲ ఋ ᇲ ߠ si + ߠ ఏ = + cos + = or ܫ ( cos ߠ (ߠsi = si < ߠ 0 car q Î ]0,p [ ( ( {''ݖ ; ᇱ ݖ} = C et + ᇱᇱ = ࢠ et ᇱ = ࢠ doc = ߠ cos c) ݖ = a sig cos ߠ si ߠ = ଷ sig ቐ si ߠ = ଷ = ߠ + cos = ଷ + ଷ sig ቐ ߠsi + ߠ = b sig + cos ''ݖ si ߠ = ଷ comme q Î ]0,p [ alors q = గ ଷ ( (, ଷ cos ߠ = sig ቐ ߠsi = ଷ cos ߠ = sig ቐ si ߠ = ଷ Page 4
5 Solutio-Exercice 4 ) a) est dérivable sur [0, + [ (quotiet et composée) et ݔ + = (ݔ) ᇱ = ݔ + = ݔ + (ݔ + ( ൫ + ൯ݔ ଷ < 0 ( Doc est strictemet décroissate sur [0, + [ (, ૠ c) est cotiue et strictemet décroissate sur [0, + [ alors est ue bijectio de [0, + [ = ቃlim + [), 0 ]) ݎݑݏ ஶ ( (, ૠ ܫ = ]0,] (0)ቃ=, c) : ]0,] [0, + [ sigݔ = (ݕ) sig ݕ = (ݔ) ݔ sig ൬ ݔ = ඥ ௬ = ସ ௫² ݕ = ସ ௫² sig ݕ + ( (, ૠ ]0,] ݔ ; ସ = (ݔ) Doc ௫² ݔ (ݔ) = (ݔ) d) Soit est cotiue sur [,] ඥ ௬ ൰ ² ݔ sig ସ = ௬ ² ݔ sig = sig = ௬ ସ ௫² () () = ൫ ൯ቀ ଷ ቁ< 0 est dérivable sur [,] et (ݔ) ᇱ = < (ݔ) ᇱ 0 car < (ݔ) ᇱ 0 doc est strictemet décroissate sur [,] ( (, ૠ ],[ ߙ admet ue uique solutio ݔ = (ݔ) = 0 cad (ݔ) Alors l équatio ) (ݔ) ᇱ = ฬ ൫ ௫൯ య ฬ= ൫ ௫൯ య Or ݔ [,] doc ݔ sig +ݔ sig + ݔ sig + ݔ ൫ ൯ ଷ sig Doc pour tout ݔ [,], (ݔ) ᇱ ( (, 3) a) * pour = 0, ݑ = * o suppose que ݑ motros que ݑ et est strictemet décroissate sur [,] alors () ถ ݑ మ య doc ଷ ݑ d où ݑ ( (, ૠ ݑ N, * cl : pour tout b) est dérivable sur [,] pour tout ݔ [,], (ݔ) ᇱ (ߙ) ) ݑ) [,] alors ߙ et ݑ ߙ = (ߙ) or ߙ ݑ doc ݑ ߙ ( (, ߙ ݑ c) * pour = 0, ݑ ߙ ቀ ቁ = ) () ถ ݑ) * o suppose que ݑ ߙ ቀ ቁ, motros que ݑ ߙ ቀ ቁ ߙ ݑ ݑ ߙ ቀ ቁ doc ݑ ߙ ቀ ቁ * cl : ݑ ߙ ቀ ( ቁ pour tout N (, ૠ ቀ ቁ est ue suite géométrique de raiso ],[ doc lim ቀ ቁ = 0 ൫ ௫ ൯ య Page 5
6 ( (, ߙ = ݑ d où lim Page 6
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x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
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