Plan d étude d une fonction

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1 Début de TS Pla d étude d ue octio ➀ Esemble de déiitio «eiste si et seulemet si» «eiste» A B eiste si et seulemet si B A eiste si et seulemet si A ➁ Parité - Périodicité Foctio paire D cetré e D C admet l ae des ordoées pr ae de symétrie das u repère orthogoal. Foctio impaire D cetré e D C admet l origie du repère pr cetre de symétrie das u repère quelcoque. Etude sur D * est périodique de période T T lorsque D T D D T Etude sur u itervalle d amplitude T C est globalemet ivariate par la traslatio de vecteur Ti. ➂ Dérivabilité ; dérivée Justiier la dérivabilité ' k ( k ) ( * ) ( * ) cos si si cos u v u' v' ku ku' uv u' v uv' u ( * ) u u v u' u u' u u' v uv' v

2 Si g a b, alors g' a ' a b. a b ' a a b cos a b' asi a b si a b' a cosa b ➃ Sige de la dérivée Pricipe de LAGRANGE (le sige de la dérivée doe le ses de variatio de la octio) Sige de a b Sige de a a b c du sige de a du sige de a à l etérieur des racies Si ', alors C admet ue tagete horizotale au poit de coordoées ; ➄ Limites si est pair ; ; si est pair si est impair ; si est impair si est impair.

3 Si a pr m m m Si g a pr Alors g a pr m F.I. Si a pr m m m m m Si g a pr Alors g a pr m. F.I. Si a pr Si g a pr Alors g a pr m m m m e restat positi m e restat égati m e restat positi m e restat égati F.I F.I Foctios polyômes et ratioelles o ulles e e : règle sur les moômes de plus haut degré La d ue octio polyôme o ulle e e est égale à la de so moôme de plus haut degré. La d ue octio ratioelle o ulle e e est égale à la du quotiet simpliié de ses moômes de plus haut degré. 4 types de F.I. cette aée :,,, (mais pas!) Braches iiies ; asymptotes ) Asymptote horizotale Lorsque La crbe C admet la droite d équatio a y a pr asymptote horizotale e + ) Asymptote verticale 3 ) Asymptote oblique a pr asymptote verticale a a b a b y a b pr asymptote oblique e + e N.B. : o peut voir ue asymptote oblique + e les deu ➅ Tableau de variatios Variatios, s, etremums N.B. : Das u tableau de variatio, o laissera tjrs les valeurs eactes.

4 ➆ Tagete à C au poit d abscisse y ' ( ' coeiciet directeur de la tagete au poit d abscisse ) ➇ Cetre et ae de symétrie Cetre de symétrie D est cetré e a a ; b a h a h Ae de symétrie Pr tt réel h tel que a h D, o a b : a D est cetré e a Pr tt réel h tel que a h D, o a a h a h ➈ Crbe représetative Tagetes horizotales Asymptotes Respecter les uités 4 «trucs» à e pas coodre D C la octio l image de par l esemble de déiitio la crbe variatio/mootoie (croissate, s cetré e a positio décroissate, mootoe) relative (au-dessus/au-desss) parité (paire/impaire) tagete etremum (miimum ; maimum) asymptote valeurs positives, égatives brache iiie ae/cetre de symétrie majorat, miorat (majorée, miorée, borée) esemble de déiitio ( est déiie sur ) dérivable ( est dérivable e / est dérivable sur ) octio costate périodique (période) Attetio : les mots «supérieur» et «iérieur» e s emploiet pas avec le mot «crbe».

5 Le pla est mui d u repère O, i, j. Si g a b Foctios associées., alors o passe de C à C g par la traslatio de vecteur ai b j Si g et que le repère est orthogoal, alors o passe de C à C g par la symétrie aiale par rapport à l ae des abscisses. Si g et que le repère est orthogoal, alors o passe de C à C g e coservat la partie de C située au-dessus de l ae des abscisses et e eectuat la symétrie aiale par rapport à l ae des abscisses de la partie située au-desss de l ae des abscisses. Si g et que le repère est orthogoal, alors o passe de C à C g par la symétrie aiale par rapport à l ae des ordoées. Si g k, alors o obtiet C g e multipliat par k les ordoées de ts les poits de C. et g sot deu octios. Foctios composées g o g g o eiste si et seulemet si D D g. Ses de variatio et opératios algébriques sur les octios La somme de deu octios croissates sur u itervalle I est croissate sur I. La somme de deu octios décroissates sur u itervalle I est décroissate sur I. Le produit de deu octios croissates qui sot à valeurs positives sur u itervalle I est croissate sur I. Le produit de deu octios décroissates qui sot à valeurs positives sur u itervalle I est décroissate sur I. u est ue octio déiie sur u itervalle I et k est u réel. v u k a le même ses de variatio que u sur I La octio v déiie par La octio v déiie par cotraire de u si k. v k u a le même ses de variatio que u sur I si k et le ses de variatio u est ue octio déiie sur u itervalle I à valeurs das u itervalle J ; v est ue octio déiie sur l itervalle J à valeurs das. Si u et v ot le même ses de variatio, alors v o u est croissate sur I. Si u et v ot des ses de variatio cotraire, alors v o u est décroissate sur I.

6 Foctio majorée, miorée, borée est miorée sur D sigiie qu il eiste u réel m tel que (O dit alors que m est u miorat de sur D) est majorée sur D sigiie qu il eiste u réel M tel que m. M. (O dit que M est u majorat de sur D). est borée sur D sigiie que est majorée et miorée sur D c est-à-dire qu il eiste deu réels m et M tels que m M. O peut aussi dire que est borée sur D sigiie qu il eiste u réel M positi ul tel que D M. Méthode pr démotrer qu ue octio est borée Il aut ecadrer par deu ombres ies. Eemples : Foctios sius et cosius cos et si. Foctios mootoes Foctio mootoe sur u itervalle I : octio qui e chage pas de ses de variatio sur I c est-à-dire octio croissate décroissate sur I. Foctio strictemet mootoe sur u itervalle I : octio strictemet croissate strictemet décroissate sur I. Systèmes liéaires de équatios à ices Déiitio Iterprétatio géométrique Détermiat Méthodes de résolutio par le calcul a by c ( S) a ' b' y c ' (a, b, c, a, b, c sot des réels appelés les coeiciets du système) ; ; a ' ; b' ;, itersectio des droites Si a b et D : a by c et D ': a ' b ' y c ' das le pla mui d u repère a b det S ab' a ' b a ' b' Si, alors il y a u uique cple solutio Si, il y a soit aucu cple solutio soit ue iiité de cples solutios substitutio combiaiso liéaire Das les cas, o procède par équivalece doc il y a pas de vériicatio à aire.