Pilotage technique d un régime de rentes viagères : identification et mesure des risques, allocation d actif, suivi actuariel.

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1 Piloage echnique d un régime de renes viagères : idenificaion e mesure des risques, allocaion d acif, suivi acuariel. Frédéric Planche To cie his version: Frédéric Planche. Piloage echnique d un régime de renes viagères : idenificaion e mesure des risques, allocaion d acif, suivi acuariel.. Business adminisraion. Universié Claude Bernard - Lyon I, 006. French. <el > HAL Id: el hps://el.archives-ouveres.fr/el Submied on 6 Dec 009 HAL is a muli-disciplinary open access archive for he deposi and disseminaion of scienific research documens, wheher hey are published or no. The documens may come from eaching and research insiuions in France or abroad, or from public or privae research ceners. L archive ouvere pluridisciplinaire HAL, es desinée au dépô e à la diffusion de documens scienifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanan des éablissemens d enseignemen e de recherche français ou érangers, des laboraoires publics ou privés.

2 N d ordre : Année 006 THESE présenée devan l UNIVERSITE CLAUDE BERNARD - LYON ISFA pour l obenion du DIPLOME DE DOCTORAT (arrêé du 5 avril 00) présenée e souenue publiquemen le 0//006 par Frédéric PLANCHET Piloage echnique d'un régime de renes viagères : idenificaion e mesure des risques, allocaion d'acif, suivi acuariel. Direceur de hèse : Pr. Jean-Claude AUGROS JURY : Pr. Jean-Paul LAURENT (Présiden) Pr. Jean-Pierre AUBIN (Rapporeur) Pr. Jean-Claude AUGROS (Direceur) Pr. François DUFRESNE (Rapporeur) Version.7a / Novembre 006

3 Sommaire Inroducion... 5 Parie : Le passif, analyse des risques e modélisaion... 6 A. Présenaion générale... 9 Caracérisiques du porefeuille de renes... 9 Problémaique e méhodologie... 9 B. Revalorisaion, inflaion e aux echnique Conséquences financières d un choix de revalorisaion Lien enre le aux de croissance, le aux d inflaion e les aux d inérê... 6 C. Quanificaion du risque sysémaique de moralié pour un régime de renes en cours de service Risque associé aux flucuaions auour de la endance Cas d une moralié déerminise Modèle de moralié Applicaions numériques Cas d une moralié sochasique Modèle de moralié Applicaions numériques Un modèle alernaif Conclusion Mesure de l inceriude endancielle sur la moralié Modèle de moralié Applicaions numériques Tables prospecives Applicaion au régime de renes viagères Parie : L acif, analyse des risques e modélisaion D. Modélisaion de l inflaion Approche de Kaufmann e al Résoluion par les moindres carrés ordinaires Résoluion par la méhode des moindres carrés généralisés Modèle de Wilkie Descripion du modèle Exemple numérique : le cas du Royaume Uni Modèle de Ahlgrim e al E. Prise en compe des saus boursiers dans les problémaiques d'assurance Modélisaion de l acif risqué... 80

4 0. Présenaion du modèle Esimaion des paramères Méhode des momens Maximum de vraisemblance Tess de la validié du modèle Tes d adéquaion du Chi Tes «up and down» Tes du rappor de vraisemblances Applicaions Ajusemen du modèle à saus sur des cours boursiers Prix d une opion d acha européenne Solvabilié : impac sur le capial cible Absence de saus Prise en compe des saus Applicaion numérique Conclusion... 0 Parie 3 : Analyse des risques acif-passif F. Prise en compe du risque financier dans la gesion d un fonds collecif de reraie Modèle proposé Applicaions numériques Engagemen du régime Financemen via un fonds collecif... G. Renes en cours de service : un nouveau crière d allocaion d acifs Caracérisiques du porefeuille de renes Modèle proposé Dynamique du bilan de l assureur Descripion du marché financier Gesion des acifs... 7 Flux de presaions déerminises Probabilié de ruine Maximisaion des fonds propres économiques Conraines réglemenaires Fonds propres économiques Eude de sensibilié Flux de presaions aléaoires Analyse du risque Allocaion d acifs... 38

5 8.. Probabilié de ruine Maximisaion des fonds propres économiques Conclusion sur la prise en compe du risque de moralié Revalorisaion des renes Modélisaion de l inflaion Allocaion d acifs Probabilié de ruine Maximisaion des fonds propres économiques Conclusion Conclusion générale Annexe n : le disposiif Solvabilié Modèles proposés par le proje Solvabilié Elémens de solvabilié exisans Hisorique du proje Solvabilié Principes de Solvabilié Processus d élaboraion Mesurer le risque Value a Risk (VaR) Condiional Tail Expecaion e TVaR Comparaison des risques Provisions echniques Niveau des fonds propres Mise en perspecive avec les normes IFRS Analyse globale de la solvabilié : choix d un modèle acif/passif Applicaion numérique... 7 Annexe n : Normes IAS / IFRS Cadre général Norme IFRS Normes IAS 3 e Norme IAS Annexe n 3 : Organigrammes (moralié sochasique)... 8 Table des illusraions Bibliographie... 86

6 INTRODUCTION Les bouleversemens du conexe démographique e économique L espérance de vie à la naissance a progressé d environ un rimesre par an depuis une cinquanaine d années, e en 006 elle a franchi en France, pour les femmes, le seuil symbolique des 80 ans. Le ableau e le graphique suivan ci-dessous illusren ce mouvemen sur les dernières décennies : Femmes Hommes TV73/77 TV88/90 TV99/0 TD73/77 TD88/90 TD99/0 Espérance de vie à la Naissance 76,5 80, 8, 68,6 7,0 74,7 Espérance de vie à 60 ans 0,9 3,5 5 6, 8,3 9,9 Taux de décès à 60 ans 0,77% 0,57% 0,48%,90%,57%,8% Tab. : Evoluion de l espérance de vie Fig. : Evoluion de l espérance de vie à la naissance depuis 50 ans Tableaux de l Economie Française 006, INSEE

7 On consae en pariculier que l espérance de vie des femmes à 60 ans a augmené de 0 % sur la période , e celle des hommes de 3 %. Ces évoluions on des conséquences direces sur la charge financière que supporen les régimes de reraie, e, plus généralemen, les régimes de renes viagères. D une par le coû direc d une rene viagère s en rouve majoré en proporion de la majoraion de l espérance de vie e, d aure par, dans le cas des régimes de reraie publics, le rappor démographique diminue, augmenan ainsi a priori la charge du financemen des reraies pour les acifs. Rien n indique aujourd hui une aénuaion de ces endances, e l INSEE 3 prévoi ainsi que le nombre d acifs de moins de 60 ans rapporé au nombre d inacifs de plus de 60 ans, aujourd hui égal à, devrai progressivemen diminuer pour s éablir à,4 à l horizon 050. Par ailleurs, l environnemen économique s es égalemen modifié e, si pendan la période de fore croissance des «rene glorieuses», la dynamique économique associée à la gesion par répariion des régimes de reraie publics a pu compenser l évoluion démographique e, en un cerain sens, «masquer» le coû d un régime de reraie, la siuaion acuelle ne le perme plus. De plus, pour ce qui concerne les régimes de reraie d enreprises les conraines compables 4 on progressivemen condui à clairemen idenifier dans les compes la charge financière associée au régime, ce qui a conribué à la prise de conscience du coû de ces insrumens de gesion des ressources humaines. La maîrise des coûs des régimes de reraie supplémenaire e, plus largemen, de la proecion sociale complémenaire, es ainsi devenue un enjeu majeur de la «bonne gesion» de l enreprise. De la même manière, les réformes de la compabilié publique amènen l Ea à quanifier le monan des engagemens qu il pore envers les populaions de foncionnaires pour les presaions de reraie 5. On reiendra à ce suje que le monan de ces engagemens es esimé à environ 000 Md pour la seule foncion publique d Ea 6, ce qui représene un monan de l ordre de grandeur d une année de PIB. Enfin, les conraines réglemenaires auxquelles son soumis les assureurs on condui à des majoraions régulières e significaives des provisions consiuées en représenaion des Rappor des effecifs d acifs aux effecifs de reraiés. 3 Insee Première n 09 - juille 006 (hp:// 4 Avec l applicaion de la norme IAS 9. On pourra se reporer noammen à PLANCHET e THEROND [004b]. 5 Norme 3 de la compabilié publique. 6 E environ auan pour la foncion publique errioriale

8 engagemens pris dans le cadre de conras de renes viagères 7. On peu reenir comme ordre de grandeur des majoraions liées au seul changemen de able de moralié d environ 0 % en 993 e comprises enre 0 e 5 % au 0/0/007 (cf. C). Les bouleversemens de l environnemen législaif, réglemenaire e compable Les évoluions rappelées brièvemen ci-dessus se son accompagnées de nombreuses modificaions des environnemens législaif, réglemenaire e compable. Ces évoluions se poursuiven, e condiionnen de manière décisive les réflexions relaives au piloage d un régime de renes viagères. Les évoluions législaives : la Loi Fillon 8 du 5/08/003 a profondémen bouleversé le paysage des reraies en France ; elle inrodui pour la première fois sur ce suje la noion de piloage dynamique d un régime de reraie public en fixan comme objecif de mainenir consan le rappor de la durée de la vie acive à la durée de reraie 9 (avec /3 de la vie en période d acivié e /3 en période de reraie). D un poin de vue opéraionnel dans le conexe du présen ravail, on reiendra les aricles 5 e 6, le premier définissan sans ambiguïé le périmère des régimes d enreprise e le second organisan le ransfer des anciens «régimes spéciaux» (IRS) vers des conras d assurance. Ces deux aricles incien foremen à l exernalisaion des engagemens de reraie 0 e on des conséquences direces sur les praiques en maière de conras de reraie collecive qui seron décries supra. Les évoluions compables : L enrée en applicaion des normes IFRS a en premier lieu condui les enreprises à évaluer e à compabiliser de manière sysémaique la charge associée aux régimes de reraie supplémenaire (norme IAS 9) ; les organismes assureurs son quan à eux direcemen concernés par la norme IFRS 4 qui a des conséquences direces sur l évaluaion des provisions pour les conras de renes viagères qu ils assuren. On peu noer qu au ravers de la 7 Ar. A 335- du Code des Assurances. 8 Loi n du aoû 003 : loi poran réforme des reraies. 9 Ar. 5 de la Loi Fillon. 0 Voir par exemple l aricle de P. JUNGHANS dans la Tribune du 0/06/004 sur «La Loi Fillon pousse à l'exernalisaion». Inernaional Financial Reporing Sandard

9 norme 3 de la compabilié publique, l Ea connaî une évoluion comparable à celle des enreprises, avec la nécessié d évaluer les engagemens de reraie au ire des régimes de foncionnaires. Une présenaion sommaire des normes IAS / IFRS es fournie en annexe. Les évoluions réglemenaires : le disposiif prudeniel es en cours d harmonisaion au niveau européen dans le cadre du proje «Solvabilié» ; les nouvelles règles conduisen à revoir en profondeur les méhodes de provisionnemen e, surou, de déerminaion des fonds propres («capial de solvabilié», ou SCR 3 ). Compe enu de l imporance du proje Solvabilié, une présenaion déaillée en es proposée en annexe. On reiendra que, an pour l IFRS 4 que pour Solvabilié, le conexe d évaluaion des engagemens d un régime de rene passe d une logique acuelle de calcul de provisions sur la base d hypohèses prudenes auxquelles s ajouen des fonds propres direcemen proporionnels (e égaux à 4 % du monan des provisions mahémaiques) à une logique dans laquelle les provisions son évaluées sur la base d hypohèses «réalises» avec une quanificaion explicie des marges de risque, que ce soi au niveau de la provision ou au niveau des fonds propres 4. En praique, la déerminaion d une hypohèse de moralié réalise pour un régime de rene n es pas aisée, e le corollaire de ce changemen de poin de vue es la nécessié de la mise en place d un vériable piloage echnique du régime. Au surplus, le principe de base posé par le proje Solvabilié pour la déerminaion du niveau des fonds propres es le conrôle d une probabilié de ruine (à un an) ; ainsi, les événemens exrêmes, an au passif qu à l acif, prennen une imporance qu ils n avaien pas jusqu à présen. On sera donc condui à s inerroger sur la prise en compe d événemens els que les disconinuiés observées dans l évoluion du cours des acifs : cf. COMMISSION EUROPEENNE [003], [004], AAI [004] e CEIOPS [006]. 3 «Solvency Capial Requiremen». 4 cf. PLANCHET e al. [005]

10 Fig. : Evoluion disconinue du ire Mercer au mois d ocobre 004 On peu ajouer à ces évoluions, pour ce qui concerne les organismes d assurance, des évoluions parallèles sur le plan de la communicaion exerne avec la Loi sur la Sécurié Financière 5 (LSF) e sur le plan de la communicaion financière avec les démarches 6 d «European Embedded Value» (EEV) e de «Marke Consisen Embedded Value» (MCEV). Les évoluions sur les différens regisres, prudeniel, compable, de communicaion exerne e de communicaion financière son bien enendu inerconnecées. Les novaions assuranielles Les aricles 5 e 6 de la Loi Fillon, par leur inciaion à l exernalisaion des engagemens de reraie, ainsi que la norme IAS 9 qui perme d en déerminer les conséquences compables au niveau du bilan de l enreprise, on indui un cerain nombre de novaions au niveau des conras d assurance collecifs de reraie. Ces novaions poren sur la garanie de able, la garanie de revalorisaion e le ransfer inégral du risque vers l assureur. La garanie de able La garanie de able de moralié consise à prévoir conracuellemen une able de moralié unique d évaluaion des provisions mahémaiques quelles que soien les évoluions réglemenaires applicables aux organismes assureurs. Cee conracualisaion perme au souscripeur de ransférer à l organisme assureur oue évoluion défavorable de la moralié de la populaion assurée, conre le versemen d une prime addiionnelle à déerminer par 5 Voir par exemple l aricle de F. LUSSON dans la Tribune du 0/07/006 sur «Le conrôle inerne» e le décre du 3/03/ Voir le sie du CFO Forum à l origine de ces démarches hp://

11 l organisme assureur. La arificaion d une elle clause es délicae. En praique la prime unique ou la valeur acualisée des chargemens prélevés pourra êre déerminée par l inermédiaire d un abaemen applicable sur les aux de décès de la able de moralié conracualisée (ou, plus généralemen, d un posiionnemen par rappor à la able conracualisée). La problémaique es ramenée à reenir un abaemen ou un posiionnemen «adéqua» en foncion de la populaion à assurer. La garanie de revalorisaion On rappelle ou d abord que l organisme assureur s engage, dans un conra de reraie collecive, sur la base d un monan de rene déerminé. Néanmoins, de nombreux régimes de reraie d enreprises promeen a priori une revalorisaion des renes versées, ce engagemen reposan sur une référence «exérieure» don l employeur n a pas la maîrise (valeur de service du poin ARRCO, AGIRC, évoluion de la pension Sécurié Sociale, aux d inflaion ). Dans le cas où l enreprise souhaierai dès à présen obenir la garanie de revalorisaion des renes au niveau de l inflaion, un adossemen de l échéancier des presaions probables pourra êre réalisé à parir d acifs financiers don le rendemen réalisé es corrélé précisémen avec l inflaion. Les acifs financiers pourron êre des obligaions indexées sur l inflaion ou des produis srucurés composés d obligaions, d acions e de ou aure acif permean un adossemen des flux. L adossemen (e les évenuelles garanies associées) doi prendre en compe que les régimes prévoien généralemen que l évoluion des renes ne peu êre négaive (conrairemen à l inflaion au cours d une année donnée). Par ailleurs, l adossemen es difficilemen compaible avec un échéancier de presaions don le erme peu aller au-delà de 50 ans du fai de l absence d acifs financiers pour ces mauriés. La mise en place de elles garanies (basées sur un indice de référence) es nécessairemen condiionnée par la présence sur les marchés d acifs financiers corrélés avec le même indice (OATi, OAT i, )

12 Le ransfer inégral des risques La norme IAS 9 prévoi que les conras d assurance souscris par les enreprises au ire de couverure de passifs de reraie à presaions définies viennen minorer l engagemen à reenir dans les compes consolidés des enreprises. Le ransfer des risques d assurance d une par, e des risques financiers d aure par, peu, après accord des commissaires aux compes, permere de supprimer l engagemen exernalisé des compes de l enreprise. Ce ransfer peu s éendre, en plus de la populaion des allocaaires, à des préreraiés ne rendan plus de service à l enreprise. On remarquera que ce ransfer de risque n es a priori pas possible pour des acifs pour lesquels l enreprise pore in fine la responsabilié du paiemen des renes ou du capial consiuif de la rene au momen du dépar en reraie. En effe, de nombreux élémens de poliique sociale de l enreprise que l assureur ne maîrise pas (évoluion des rémunéraions, poliique de recruemen / licenciemen, ec.) peuven impacer foremen le niveau de l engagemen e le renden de ce fai difficilemen assurable. L assureur l inervien classiquemen en phase de consiuion que comme un gesionnaire financier. Il ne pore le risque viager qu une fois le capial consiuif de la rene prélevé dans le fonds des acifs pour êre ransféré dans le fonds des reraiés. Ces élémens renforcen le besoin de maîriser l évaluaion de l engagemen d un régime de renes viagères, au-delà du simple calcul «réglemenaire» effecué jusqu alors. L analyse des risques L un des appors sans doue majeur an de l IFRS 4 (au moins dans sa phase ) que de Solvabilié es d avoir conribué à srucurer la réflexion auour de la segmenaion des risques d une acivié d assurance (e donc en pariculier d une acivié d assurance-vie). L analyse des risques es dorénavan déclinée selon quare caégories principales : Le risque de marché («marke risk») modélise l inceriude associée au rendemen e à la valeur des acifs financiers, - -

13 Le risque de souscripion («underwriing risk») concerne esseniellemen l inceriude associée à la mesure des engagemens pris par le régime, Le risque de crédi («credi risk») s aache à prendre en compe le risque de défau des conre-paries (réassureurs e émeeurs d obligaions), Le risque opéraionnel («operaional risk») prend enfin en considéraion les risques associés aux procédures de gesion inernes de l assureur e aux conséquences d un dysfoncionnemen à ce niveau. Le présen ravail aborde le risque de marché pour ce qui concerne les placemens effecués par le régime e le risque de souscripion pour ce qui concerne l analyse du passif du régime. Le risque de crédi fai l obje d une approche générique qui n es pas propre aux problémaiques de renes, il ne sera pas abordé ici 7 ; il en es de même pour le risque opéraionnel. En ce qui concerne le risque de crédi on pourra noer que les echniques uilisées présenen de nombreuses similiudes avec la consrucion d une able de moralié, le défau pouvan êre analysé comme l éude du emps d aene avan le défau. On noera à ce sade que an l approche compable que l approche prudenielle privilégien via l évaluaion des provisions e des fonds propres la noion d engagemen au sens d un monan évalué à la dae d invenaire e «résuman» en un cerain sens l ensemble des flux fuurs promis par le régime. Dans cee approche le raisonnemen es condui sur la base de la populaion arrêée à la dae d invenaire («groupe fermé»). Dans le cas d un régime de rene, il apparaî souven perinen de prendre en considéraion la suie des flux fuurs e de raisonner dans le cadre d une approche «dépenses / ressources». Cee approche peu êre développée en groupe fermé ou en «groupe ouver», en enan compes des nouveaux enrans dans le régime. On noera d ors e déjà qu une adéquaion dépenses / ressources en groupe fermé es une condiion a minima de la pérennié du régime 8. Ce poin de vue sera noammen reenu dans le cadre de la déerminaion de l allocaion sraégique d acifs du régime (Parie 3). 7 LE PAGE [000] propose une synhèse assez complèe sur ce suje. On pourra aussi consuler JEANBLANC e RUTOWSKI [999]. 8 Des projecions de ce ype sur les régimes de reraie publics monren depuis rès longemps leur déséquilibre echnique. - -

14 Dans ce conexe on es amené à considérer dans le cas d un régime de renes viagères en cours de service, qui sera l esseniel du périmère de ce ravail, les élémens suivans : Les risques «classiques» de aux, de valeur de suppors de ype «acions» pour le risque financier ; Les risques de moralié (associé aux flucuaions d échanillonnage), de survie (pour l inceriude aachée à la durée résiduelle de survie) e d inflaion (qui doi êre prise en considéraion dans le cadre des disposiifs de revalorisaion des renes) pour le risque de souscripion. Le périmère de l éude On le voi, les évoluions démographiques, économiques, législaives, réglemenaires e compables de ces dernières années imposen de reconsidérer l évaluaion des risques associés aux régimes de renes viagères. Le champ d éude offer par ces régimes es poeniellemen rès éendu e peu êre segmené selon différenes clés : régimes publics versus régimes d enreprises, phase de consiuion des drois versus phase de resiuion, gesion en répariion versus gesion en capialisaion, régimes à coisaions définies versus régimes à presaions définies, ec.. On a ici délibérémen choisi de se resreindre au périmère sricemen délimié des régimes de renes viagères en cours de service dans le cadre d une analyse en groupe fermé. Des acifs en phase de consiuion seron ouefois pris en compe à la secion F dans le cadre de l analyse du risque financier pour un régime géré au ravers d un fonds collecif. Ce choix es moivé par le consa que l ensemble des élémens consiuifs des spécificiés d un régime de renes viagères se rerouve dans ce conexe e que la prise en compe d un périmère plus large ne vien pas modifier subsaniellemen les élémens de base de l analyse. En praique, on concenre l éude sur le risque viager e la prise en compe des spécificiés d un régime de renes viagères pour la déerminaion de l allocaion d acifs

15 L organisaion de la hèse Le présen ravail es esseniellemen consiué par le conenu des aricles e ouvrages publiés depuis 003 dans le cadre d une acivié d enseignemen e de recherche à l ISFA ; ceux-ci on éé adapés e pariellemen réécris pour préserver la cohérence d ensemble de cee hèse. Les aricles d origine son sysémaiquemen ciés en référence 9. Ce ravail prolonge e précise dans le cas d un régime de rene les approches générales décries dans les ouvrages PLANCHET e al. [005] e PLANCHET e THEROND [006]. Il es srucuré de la manière suivane : Dans une première parie on présene de manière déaillée l analyse du passif d un régime de reniers ; le risque sysémaique de moralié fai l obje d une aenion pariculière, compe enu de son appariion récene dans les problémaiques d évaluaion d engagemen d un régime de reraie e du peu de liéraure exisane dans ce conexe. On n aborde pas la problémaique du posiionnemen d une populaion par rappor à une référence de moralié donnée, qui relève de echniques classiques de modèles de durée qui dépassen le cadre de ce ravail. La seconde parie es consacrée à la présenaion des risques d acif ; compe enu de l abondane liéraure sur ce regisre, on se borne à présener quelques élémens imporans moins souven mis en avan, à savoir l imporance de la prise en compe d une modélisaion perinene de l inflaion (dans la perspecive de la prise en compe des disposiifs de revalorisaion) e le regain d inérê pour les modélisaions d acifs risqués non coninus 0, conséquence direce des réflexions en cours auour du disposiif Solvabilié. Enfin, la roisième parie présene les conséquences que l on peu irer des analyses précédenes en erme d adossemen acif / passif e, noammen, de déerminaion de l allocaion sraégique. Elle es égalemen l occasion d évoquer le cas d un régime en phase de consiuion e les problémaiques de financemen des renes. 9 La plupar des références ciées dans ce documen son disponibles en ligne sur le sie hp:// 0 On pourra sur ce suje consuler l ouvrage de vulgarisaion MANDELBROT [005] qui propose de nombreux exemples illusraifs

16 La liéraure e les ravaux, an académiques que professionnels, sur le hème des reraies son exrêmemen nombreux, e nous avons choisi ici de ne pas présener les élémens les plus classiques, préféran renvoyer aux références bibliographiques. Le présen ravail s efforce de présener un ensemble de réflexions e leurs conséquences en erme de modélisaion dans la perspecive d une mise en œuvre effecive, e non pour seulemen démonrer des résulas qualiaifs. Aussi, les approches par simulaion son privilégiées au dérimen de la recherche de formules fermées, celles-ci n éan accessibles que dans des versions rès simplifiées des modèles concernés. La monée en puissance des normes IFRS (en pariculier de l IFRS 4 phase ) e, demain, de Solvabilié, rend en effe indispensable la refone d une parie imporane des modélisaions uilisées jusqu à présen, e nous espérons que les réflexions présenées ici seron uiles dans ce cadre

17 PARTIE : LE PASSIF, ANALYSE DES RISQUES ET MODELISATION La modélisaion du passif d un régime de reraie es un suje classique d acuaria vie qui rouve son expression de base la plus connue dans la formule a x lx h h = + v ; cee l expression de l engagemen oal associé à une rene uniaire non réversible servie à une êe d âge x à la dae des calculs repose sur les hypohèses suivanes : x Le groupe es supposé de aille suffisane pour que les flucuaions d échanillonnage soien négligées ; Les aux de décès q x (ou, dans une version prospecive q x ) son déerminises e connus ; Enfin, le aux d acualisaion i el que v = + i es consan e déerminise. Le relâchemen des hypohèses de muualisaion parfaie e de aux d acualisaion déerminise es classique e condui à des analyses de la répariion du risque d assurance (associé aux flucuaions d échanillonnage) e du risque de aux au ravers de l équaion de décomposiion de la variance. Ce suje sera développé à la secion F. Après avoir fixé les grandes lignes du cadre d analyse à la secion A, on rappelle à la secion B quelques considéraions de naure macro-économique qu il es uile d avoir à l espri pour assurer la cohérence de long erme de la modélisaion en ce qui concerne les liens exisans enre le aux d inflaion, le aux d inérê e le aux de croissance de l économie. Les modélisaions du aux d inflaion propremen dies son présenées à la secion D de la parie suivane. La déerminaion des aux de décès supposés déerminises fai appel dorénavan de manière quasi-sysémaique aux modèles de moralié prospecifs don l ambiion es d aniciper, dans Cf. BOWERS e al. [986] pour des considéraions générales e PLANCHET e MAGNIN [000] pour un modèle comple e des exemples numériques

18 la mesure du possible, les évoluions fuures du aux de décès, q x es abondane.. La liéraure sur ce suje Plus récemmen cerains aueurs 3 on fai observer que les aux de décès brus calculés sur de rès grands groupes q x présenen des irrégulariés (comme foncion de ) qui conduisen à ne plus les supposer connus mais à considérer que le aux à une dae donnée es le résula d un irage aléaoire. Les conséquences de cee propriéé son exploiées dans de nombreux aricles pour la consrucion de modèles de arificaion de dérivés de moralié 4. Touefois, la prise en compe du caracère inrinsèquemen sochasique des aux de décès dans le cadre d un régime de renes viagères n es pas souven abordée ; cee quesion es évoquée dans Delwarde e Denui 5. La secion C propose des approches adapées au cas des renes viagères pour quanifier, dans une perspecive «Solvabilié», le risque sysémaique indui par le comporemen sochasique des aux de décès. Il es précisé que l on s inéresse ici à la déerminaion du passif au sens du monan de l engagemen oal du régime, sans considérer la quesion de la compabilisaion e donc la déerminaion de ce monan enre la par affecable au passé e la par représenaive de droi à acquérir dans le fuur 6. En effe, la déerminaion du monan à provisionner compore schémaiquemen deux éapes : L évaluaion de l engagemen oal, qui représene la conreparie financière de la globalié de la promesse faie par le régime ; La répariion de ce engagemen oal enre une par affecable au passé, représenaive de drois acquis, e la par complémenaire représenaive de drois fuurs, resan à acquérir. Voir noammen sur le modèle de Lee-Carer LEE e CARTER [99], LEE [000], SITHOLE e al. [000] e sur les modèles poissoniens BROUHNS e al. [00]. PLANCHET e THEROND [006] propose une présenaion e une discussion de ces modèles, e on pourra égalemen se reporer à DELWARDE e DENUIT [006] pour une présenaion complèe. 3 CURRIE e al. [004]. 4 Cf. CAIRNS e al. [004], DAHL [004] e SCHRAGER [004]. 5 DELWARDE e DENUIT [006]. 6 Voir sur ce poin PLANCHET e THEROND [004b]

19 La première éape relève de la compéence de l acuaire e me en jeu des echniques de projecion des monans financiers aléaoires associés au régime considéré. Elle condui à la noion de «valeur acuelle probable oale» (VAP oale) du régime, qui sera considérée ici. La seconde éape fai appel à un référeniel compable permean de fixer les modaliés de répariion de cee VAP oale enre le passé e le fuur ; elle condui en IAS 9 à la noion de «projeced benefi obligaion» (PBO), représenaive des drois passés. Il es à ce sade imporan de noer que la noion de VAP oale es déerminée en foncion de méhodes e de echniques esseniellemen indépendanes du référeniel compable uilisé, alors que la noion de PBO découle direcemen de l applicaion d un référeniel compable pariculier. Dans le cas de renes en cours de service les noions de VAP oale e de PBO coïnciden, l acquisiion de drois fuurs éan nulle. Au surplus, que l on considère un salarié en phase de consiuion des drois ou un renier en phase de resiuion, la VAP oale rese la mesure la plus objecive du coû mis à la charge du régime (indépendammen de la problémaique du financemen de cee charge)

20 A. PRESENTATION GENERALE CARACTERISTIQUES DU PORTEFEUILLE DE RENTES Dans la suie, nous uiliserons pour les applicaions numériques un porefeuille 7 consiué de 374 reniers de sexe féminin âgés en moyenne de 63,8 ans au 3//005. La rene annuelle moyenne s élève à 5,5 K. Le graphique infra présene les flux de presaions espérés en foncion du emps obenu à parir de la able de moralié TV k 000 k 500 k 000 k 500 k 0 k Fig. 3 : Flux de presaions espérées Avec un aux d escompe des provisions de,5 %, la provision mahémaique iniiale calculée avec la able prospecive consruie à la secion 5.., s élève à 38,0 M. On peu noer que dans Planche e Thérond 8, les calculs menés avec la able du momen féminine TV 000 conduisaien à une provision de 3,8 M. Cela me incidemmen en évidence l imporance d une approche prospecive de la moralié pour déerminer le niveau de l engagemen sans le sous-esimer exagérémen. PROBLEMATIQUE ET METHODOLOGIE Nous noerons dans la suie de ce chapire : 7 Les données uilisées pour les applicaions numériques son reprises de PLANCHET e THEROND [004]. 8 PLANCHET e THEROND [004]

21 L0 le monan des provisions mahémaiques à la dae iniiale, F ~ le flux de presaion (aléaoire) à payer à la dae, ( Φ ) la filraion décrivan l informaion disponible à la dae, i le aux (discre) d escompe des provisions mahémaiques, J l ensemble des individus, x(j) l âge en 0 de l individu j e r j le monan de sa rene annuelle, Π une surface de moralié, c es à dire la donnée d une famille de foncions de risque indicée par l âge à la dae des calculs μ x ( ). Le porefeuille es exclusivemen consiué de renes en cours de service supposées non réversibles. En 0, l assureur esime la suie de flux probables de sinisres que nous noerons ( ) F : avec : = ~ [ ] F E F, j J Φ 0 ~ F = r *, j ] [( T ) ; x( j) où T x(j) désigne la dae de décès (aléaoire) de la êe d âge x(j). Avec les noaions classiques de l assurance vie 9 : l F = r *. x( j) + j j J lx ( j) A parir de cee esimaion, l assureur déermine la provision mahémaique L 0 : = 0 = ( + ) L F i. Dans la suie on analysera le monan aléaoire de l engagemen, soi la variable aléaoire : Λ= F + i = r * T. ( ) = = ( + i) j J ] ; [( ( )) j x j 9 Cf. PETAUTON [996]

22 Cee variable aléaoire es elle que E( Λ ) = L0. Pour une analyse déaillée de la loi de Λ lorsque la moralié es connue (avec évenuellemen des aux d inérê sochasiques), on se reporera à Planche e Magnin 30. La loi de Λ n es pas simple dans le cas général. Son analyse peu êre simplifiée en observan que Λ= rjλx( j) avec : j J Λ x = = ( + i) ] ; [( Tx ) désignan l engagemen associé au versemen d une rene viagère uniaire à une êe d âge x à E Λ = a, la dae des calculs. Avec les noaions classiques de l assurance vie 3 on a ( ) annuié viagère sur une êe d âge x. Condiionnellemen au aux d inérê e à la surface de moralié, les variables Λx( j) son classiquemen supposées indépendanes. x x Le modèle peu êre égalemen écri dans une version coninue, qui simplifie l obenion de cerains résulas, mais ne sera pas développé ici, la version discrèe se prêan mieux à la mise en œuvre numérique via des echniques de simulaion, ce qui es le choix que nous avons effecué. On a alors : + Tx rtx e Λ = = = r r r e d e d { }. x Tx 0 0 On en dédui après quelques manipulaions simples que, condiionnellemen à la surface de moralié, on a : + x+ E Λx Π = r+ u du d 0 x exp μx+ u( ). 30 PLANCHET e MAGNIN [000]. 3 Cf. PETAUTON [996]. - -

23 avec μ x () le aux insanané de moralié pour un individu d âge x à l origine3. En d aures ermes le aux d acualisaion e le aux de hasard on des rôles complèemen symériques dans l expression de l engagemen condiionnel. Cee propriéé es uilisée de manière inensive dans les modèles de valorisaion de dérivés de moralié. Incidemmen l expression de l espérance condiionnelle ci-dessus fourni une expression de la ransformée de Laplace de la durée de vie résiduelle à parir de la foncion de risque, puisque rt ( x ) x ( ) ( ) E e = re Λ r. On soulignera ouefois que cee symérie formelle dissimule une asymérie imporane dans la naure des risques associés : le risque financier résule d une consrucion humaine 33 alors que le risque de moralié compore une composane biologique «objecive» essenielle. Les propriéés de Λ seron examinées dans un premier emps avec l hypohèse classique que la moralié fuure es connue (déerminise), via l uilisaion d une able prospecive, puis, dans un second emps, dans un conexe de moralié sochasique. Dans ce second cas on aura donc à considérer des surfaces de moralié sochasiques Π (la moralié fuure n es donc plus supposée connue avec ceriude) e, une surface éan donnée, la loi condiionnelle de l engagemen ΛΠ. Nous aurons recours aux echniques de simulaion, bien adapées au conexe éudié ici. Nous ne développerons pas la présenaion des echniques uilisées, en airan ouefois l aenion du leceur sur l imporance d un choix judicieux des méhodes. On pourra se reporer pour des développemens sur ce suje à Planche e Jacquemin, Planche e Thérond e Tenam 34. Il es imporan de simuler les durées de survie de manière efficace ; on uilise donc ici la «méhode d inversion» dans le conexe discre, qui repose sur le consa que si on défini la variable T par : T=0 si U < p0 T= si p0 U < p0 + p 3 Cee formule rese valable avec un aux d inérê non consan. 33 Voir sur ce poin e sur la perinence de la modélisaion financière l analyse de BERNSTEIN [996]. 34 PLANCHET e JACQUEMIN [003], PLANCHET e THEROND [005b] e TENAM [004]. - -

24 . T=j si j p U < p i i= 0 i= 0 j i avec U une variable uniforme sur [ 0, ], alors T es disribuée selon la loi (p n ) n 0. Le lien enre les probabiliés p i e les aux de décès déerminés précédemmen es donné par i ( ) p = q q i x+ i x+ j j= 0. Par rappor à l approche direce consisan à décider de la survie de chaque renier par un irage à chaque période, en comparan le résula obenu au aux de décès à l âge considéré, le emps de simulaion es divisé par un faceur de l ordre de l espérance de vie résiduelle à l âge moyen du groupe (soi dans nore exemple de l ordre de 0). Cee opimisaion es indispensable pour conserver un caracère opéraionnel au modèle dans le conexe de la moralié sochasique, examiné infra. La méhode reenue consise alors à simuler les durées de survie des reniers, à calculer : Λ= ( + i) = j J r *, j ] ; [( Tx( j) ) Tx( j), j J puis sur la base des réalisaions des Tx ( j ), j J obenues. On obien ainsi des réalisaions λ,..., λ n de Λ e on déermine la foncion de répariion empirique de l engagemen : N F ˆ ( λ ) = ( λ ) N., λn n= On calcule égalemen facilemen les esimaeurs empiriques des différenes grandeurs d inérê (espérance, variance e VaR pour l esseniel). On noera que dans le cas le plus général, le monan de la rene r j peu égalemen dépendre de. C es noammen le cas lorsque l on prend en compe une revalorisaion des presaions (cf. la secion 9)

25 B. REVALORISATION, INFLATION ET TAUX TECHNIQUE 35 Les bénéficiaires de renes viagères viven dans la sociéé parallèlemen aux acifs. Simulanémen, ils doiven au cours des années faire face à des acquisiions de biens de consommaion divers don le prix évolue au cours du emps. Dans ces condiions, se pose la quesion de ce qui doi apparaîre comme l objecif de revalorisaion des renes qu ils perçoiven. Deux soluions son envisageables selon que l on reien plus précisémen le premier ou le second des posiionnemens évoqués ci-dessous : Une revalorisaion qui soi corrélée avec les revenus des acifs, ce qui mainien la siuaion financière relaive des reraiés par rappor aux acifs, e se radui par une revalorisaion corrélée avec l évoluion des salaires nominaux, Une revalorisaion qui vise à mainenir le pouvoir d acha des reraiés, quie à ce que celui-ci régresse par rappor aux salaires nominaux versés aux acifs lorsque ces derniers obiennen des gains de pouvoir d acha suie aux effes de la croissance économique. Il s agi des deux formes de revalorisaions que l on observe le plus fréquemmen dans les régimes de pensions de reraie. Ainsi, les réformes de 993 sur le régime général des pensions on condui à une modificaion de l objecif de revalorisaion des pensions de reraie du régime général de Sécurié Sociale : celui-ci es passé d un objecif d évoluion corrélée avec les salaires à un objecif d évoluion corrélée avec le niveau des prix. A long erme, ce genre de disposiif n es pas neure puisque, pour auan que la croissance économique perdure, l évoluion des prix es généralemen inférieure à l évoluion des salaires nominaux. Donc, si l objecif assigné es un mainien de pouvoir d acha, cela se radui par une baisse du niveau de revenu relaif des pensionnés par rappor aux acifs comme cela devrai êre le cas en ce qui concerne les reraiés dans les années à venir par rappor aux acifs. 35 Ce exe es iniialemen paru dans PLANCHET e THEROND [005]

26 En erme d ordre de grandeur, on pourra reenir qu avec un aux annuel d inflaion de %, un panier de biens de valeur 00 à la dae de liquidaion de la rene voi son prix majoré de 50 % en 0 ans. Ainsi, l exisence d un disposiif de revalorisaion es un élémen cenral d un régime de renes viagères qui souhaie ne pas voir se dégrader rès sensiblemen le pouvoir d acha de ses bénéficiaires. 3 CONSEQUENCES FINANCIERES D UN CHOIX DE REVALORISATION Une fois l objecif de revalorisaion défini, se pose la quesion de la prise en compe echnique e financière de celle-ci au ravers des arifs e des provisions mahémaiques de renes à consiuer. On rappellera que les provisions mahémaiques se doiven de raduire, le plus fidèlemen possible, le poids financier des engagemens pris par la compagnie d assurance ou le régime 36. Deux approches son a priori possibles. La première consise simplemen à modifier les flux de rene pour les faire croîre au fil du emps en raison du aux de la revalorisaion aribuée. C es cee approche que l on reien par exemple à la secion 9. Elle présene l avanage de clairemen disinguer, dans le monan de la provision, ce qui relève de la revalorisaion e ce qui es à aribuer au «niveau aein» de le rene à la dae d invenaire. Mais les usages on mis en avan une seconde approche, consisan à diminuer le aux d acualisaion dans la mesure du aux echnique, sans modifier le monan de la rene. L idée sous-jacene es que la revalorisaion aribuée es in fine financée par les produis financiers réalisés au-delà du aux d acualisaion. Cee seconde approche présene l avanage de mere en évidence simplemen un cerain nombre de conraines sur les capaciés du régime à servir la revalorisaion prévue : Si l objecif assigné au régime es d assurer le mainien du pouvoir d acha des renes, alors le aux d inérê d acualisaion que l on peu reenir dans le calcul des provisions mahémaiques de renes ne peu pas êre supérieur au aux d inérê réel dans l économie sur une longue période. A ce ire, il convien de noer que sur longue période en France, la croissance économique annuelle es d environ % à,5 %. Sur ces bases, si un régime de renes a pour objecif de mainenir le pouvoir 36 Cf. Ar. R33-3 du code des assurances

27 d acha des reniers on ne saurai édicer un principe d acualisaion des provisions mahémaiques donc un aux echnique sur la base d un aux supérieur à % ou,5 %. On peu noer que ce niveau es aujourd hui cohéren avec la conraine de 60 % du TME imposée aux organismes assureurs pour le provisionnemen des engagemens de renes viagères. Si l objecif assigné au régime de renes viagères es d assurer une évoluion du pouvoir d acha des reniers parallèle à celle des salariés acifs, les principes d acualisaion ne sauraien conduire à préconiser un choix de aux d acualisaion supérieur à 0 %. Dans le foncionnemen d un régime de renes, il es indispensable de définir a priori les objecifs que l on assigne au régime en ermes de raiemen des reraiés par rappor aux acifs. On ne peu occuler le fai qu il enre dans ce choix une noion d équié enre différens groupes sociaux e enre les généraions successives d acifs e de bénéficiaires qui nécessie que des principes soien posés après une réflexion approfondie. Si les opions financières e echniques qui en découlen ne son pas univoques, il convien néanmoins de noer que la revalorisaion fuure des renes a un coû relaivemen élevé surou si l on a pour objecif de respecer les engagemens déjà pris, qu il s agisse d une évoluion en ermes de pouvoir d acha ou en ermes de niveau de vie relaif par rappor aux acifs. 4 LIEN ENTRE LE TAUX DE CROISSANCE, LE TAUX D INFLATION ET LES TAUX D INTERET A long erme, il es généralemen considéré qu il exise un lien éroi enre le aux d inérê nominal prévalan sur les marchés financiers, le aux d inflaion, c es-à-dire l évoluion de l indice des prix, e le aux d inérê réel. Plus précisémen, le aux d inérê nominal es égal à la somme du aux d inérê réel e du aux d inflaion : Taux d inérê Nominal = Taux d Inflaion + Taux d inérê Réel Simulanémen, il exise un lien éroi à long erme enre le aux d inérê réel e le aux de croissance réel de l économie. On considère ainsi que le aux d inérê réel ne peu êre longuemen rès différen du aux de croissance de l économie sauf à provoquer des arbirages - 6 -

28 enre acivié financière e acivié réelle d une par, enre invesissemen dans un pays e invesissemen dans d aures pays d aure par. On peu donc écrire : Taux d inérê réel à long erme = Taux de croissance réel à long erme Dans la mesure où ces deux règles fondamenales son observées sur une longue période, c es-à-dire l horizon sur lequel se pose la quesion de la revalorisaion des renes viagères, l objecif assigné au régime de reraie doi conduire à des règles de arificaion e de provisionnemen qui soien adapées. Le déba doi alors se porer sur le aux d acualisaion qui perme d éablir les liens enre flux présens e fuurs e surou de donner un arif e une valorisaion aux provisions echniques. On peu observer que l on a la conraine suivane : Taux d inérê echnique d acualisaion Taux d inérê réel à long erme En effe compe enu des règles évoquées ci-dessus, les invesissemens effecués dans le cadre du régime obiendron un rendemen qui sera généralemen proche des aux d inérê nominaux. Si le aux d inérê d acualisaion es égal au aux d inérê réel, cela signifie qu il es pré compé e qu il ne pourra donc pas êre servi une seconde fois, la paricipaion aux bénéfices aribuables aux iulaires de renes ne pourra donc excéder l évoluion de l indice des prix. Cela signifie qu il y aura mainien du pouvoir d acha de ceux-ci. Si l on ene de mainenir le pouvoir d acha relaif des acifs e des reraiés, l évoluion annuelle du pouvoir d acha des salariés acifs doi êre proche de celle des aux d inérê nominaux auxquels seron placés, en oue logique, les acifs représenaifs des provisions mahémaiques. On ne peu aendre une revalorisaion voisine de ce aux d inérê nominal fixé comme objecif que si le aux d acualisaion pris en compe, c es-à-dire pré compé, n es pas supérieur à 0 %. Si l on considère en ermes financiers ces deux principes de revalorisaion, les résulas pour l organisme gesionnaire ne son pas neures. On rappellera d ailleurs qu à l heure acuelle, les organismes d assurance son dans l obligaion de consiuer les provisions mahémaiques des renes viagères avec des aux d acualisaion qui ne doiven pas excéder,5 %. Cela signifie que lorsque le aux maximum es choisi par l organisme, sur une longue période, les renes viagères servies bénéficien d une revalorisaion équivalene à celle de l indice des - 7 -

29 prix 37 sauf performance excepionnelle de la gesion financière, ce qui ne saurai êre considéré comme une règle. Enfin, on soulignera que le poids financier d un disposiif de revalorisaion es rès imporan. Afin de mesurer ce poids financier, on considère à ire illusraif le cas d une rene en cours de service (non réversible) à un conjoin survivan de 55 ans ; une rene annuelle de 00 condui à une provision (au aux echnique de,5 % e en uilisan les ables TPG 993) de 45. En foncion des aux de revalorisaion, le coû de ce disposiif, exprimé en pourcenage des provisions mahémaiques, es le suivan : Taux de revalorisaion fuure % % 3% Coû (en ) Coû (en % de la provision) 7% 38% 65% Tab. : Poids de la revalorisaion cas d une rene de conjoin On peu illusrer graphiquemen l incidence de la revalorisaion sur les flux de presaions : Fig. 4 : Coû de la revalorisaion des renes Taux de revalorisaion = % Renes non revalorisées Renes revalorisées Impac de la revalorisaion fuure sur les flux de presaions On reiendra que pour des presaions de durée poeniellemen imporane la revalorisaion consiue une par imporane des provisions mahémaiques. 37 Cela a jusifié la consiuion de provisions de revalorisaion des renes dans le passé chez cerains organismes assureurs

30 C. QUANTIFICATION DU RISQUE SYSTEMATIQUE DE MORTALITE POUR UN REGIME DE RENTES EN COURS DE SERVICE 38 Depuis une quinzaine d années, les ables de moralié uilisées pour le provisionnemen e la arificaion des renes viagères s aachen à prendre en compe la dérive endancielle de la moralié, qui se radui par une croissance régulière de l espérance de vie. On consae ainsi en France depuis une renaine d année une augmenaion de l espérance de vie à la naissance d environ un rimesre par an. La nécessié d uiliser des ables de moralié prospecives inégran ce phénomène de dérive a éé prise en compe par le législaeur e des ables «de généraion» on éé homologuées 39 en 993. Ces ables 40, obenues sur la base de la moralié de la populaion féminine sur la période , serven depuis le er juille 993 à la arificaion e au provisionnemen de conras de renes viagères (immédiaes ou différées). De nouvelles ables 4 on éé consruies en 006 e on éé homologuées pour le 0/0/007. Des éudes récenes 4 fon ouefois apparaîre que l évoluion du aux insanané de moralié présene, aux différens âges, des variaions erraiques auour de la endance qui se dégage, variaions non expliquées par les flucuaions d échanillonnage ; Cairns e al. 43 fourni une analyse déaillée de ce phénomène. Sur les données INED uilisées dans le présen ravail (cf. la secion 5.. infra pour le descripif de ces données) on consae le même comporemen : 38 Ce exe es adapé de PLANCHET e al. [006] e PLANCHET e JUILLARD [006]. 39 Décre du 8 juille 993 (JO du 30/7/993) e Ar. A335- du Code des Assurances. 40 La consrucion de ces ables es présenée dans HIDALGO [99] qui les a consruies. 4 Voir la noe de présenaion de ces ables consruies par D. SERANT dans PLANCHET [006]. Elles son homologuées par l arrêé du 0/08/ CURRIE e al. [004]. 43 CAIRNS e al. [004]

31 Fig. 5 : Flucuaions des aux de décès auour de la endance de long erme Ces variaions affecen de manière sysémaique l ensemble des individus d âge fixé e ne se muualisen pas ; elles fon donc courir un risque poeniellemen imporan à un régime de renes, don l équilibre echnique es consrui sur la muualisaion du risque de survie de ses membres. On es donc condui à rechercher une modélisaion capable de rendre compe de ces flucuaions auour de la valeur endancielle e d en irer des conséquences sur le niveau des provisions mahémaiques que doi consiuer le régime pour assurer son équilibre echnique. De manière plus précise, il impore de quanifier la par dans le risque oal auquel es exposé le régime (selon une mesure à définir) de la composane non muualisable. Les modèles sochasiques de moralié fournissen un ouil bien adapé à cee analyse. Ils proposen en effe de considérer que le aux de moralié fuur μ ( x, ) es lui-même aléaoire, e que donc μ ( x, ) es un processus sochasique (comme foncion de à x fixé). Le aux de moralié effecivemen observé pour un âge e une année donnés es alors la réalisaion d une variable aléaoire : on peu noer l analogie avec les méhodes de lissage bayésiennes 44. Dans la liéraure, les modélisaions sochasiques des phénomènes de moralié son nombreuses. On ne considère pas ici les modèles d inspiraion financière nés de la 44 Sur ces méhodes de lissage, on pourra consuler TAYLOR [99]