Planche n o 2. Raisonnement par récurrence : corrigé

Transcription

1 Plache o Raisoemet par récurrece : corrigé Exercice o Motros par récurrece que : N, > Pour 0, 0 > 0 L iégalité à démotrer est doc vraie quad 0 Soit 0 Supposos que > et motros que > par hypothèse de récurrece > N, > Exercice o Motros par récurrece que :,! Pour,! 3 et 6 Puisque > 6, l iégalité à démotrer est doc vraie quad Soit Supposos que! et motros que!!! par hypothèse de récurrece Or, et doc puis!,! Exercice o 3 Motros par récurrece que :, est divisible par au mois u ombre premier est divisible par qui est u ombre premier La propriété à démotrer est doc vraie quad Soit Supposos que pour tout k,, k est divisible par au mois u ombre premier et motros que est divisible par au mois u ombre premier Si est u ombre premier, admet au mois u diviseur premier à savoir lui-même Sio, est pas premier Das ce cas, il existe deux etiers a et b élémets de, tels que a b Par hypothèse de récurrece, l etier a est divisible par au mois u ombre premier p L etier p divise l etier a et l etier a divise l etier Doc l etier p divise l etier Das tous les cas, l etier est divisible par au mois u ombre premier O a motré par récurrece que tout etier supérieur ou égal à est divisible par au mois u ombre premier Exercice o Motros par récurrece que : N, u u 0 et 3 u L égalité à démotrer est doc vraie quad 0 et Soit 0 Supposos que u 3 et que u 3 et motros que u 3 u u 6u par hypothèse de récurrece http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

2 N, 3 Exercice o 5 Motros par récurrece que :, Pour, Soit Supposos que k k k et motros que k k k par hypothèse de récurrece, k O peut doer plusieurs démostratios directes ère demostratio Pour k, k k k et doc k ou ecore k ou efi ème demostratio O écrit k k k k 3 S S et e additioat verticalemet, o obtiet S }{{} démostratio s écrit avec le symbole sigma : S k k termes k k ce qui s écrit d où le résultat La même 3ème demostratio O compte le ombre de poits d u rectagle ayat poits de large et poits de log Il y e a Ce rectagle se décompose e deux triagles isocèles coteat chacu poits D où le résultat ème démostratio Das le triagle de Pascal, o sait que pour et p etiers aturels doés, Doc, pour le résultat est clair pour, p p p http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

3 C k C k C k C k k Pour k, k 3 k 3 3k 3k Doc, pour : D où, 3 k 3 k k 3 k 3 3 et doc k ,, k 6 Pour k, k k k 3 6k k Doc, pour, o a D où : k 3 6 k k k k k 3, k 3 k Pour k, k 5 k 5 5k 0k 3 0k 5k Doc, pour, D où : 5 k 0 k 3 0 k 5 k k 5 k k Fialemet, N, k N, k 6 N, k 3 k N, k http ://wwwmaths-fracefr 3 c Jea-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

4 Exercice o 6 Motros par récurrece que, Pour, Soit Supposos que kk kk et la formule proposée est vraie pour kk et motros que kk kk kk par hypothèse de récurrece, kk Démostratio directe Pour k, et doc, kk k k kk k k, Motros par récurrece que, Pour, Soit Supposos que kk k k kkk 6 3 kkk kkk k kkk 3 k et la formule proposée est vraie pour k 3 et motros que kkk 3 kkk 3 3 par hypothèse de récurrece http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

5 , kkk 3 Démostratio directe Pour k, kkk k k kkk et doc, Exercice o 7 kkk kk kk kk kk 3, kk k 3 kk Motros par récurrece que, pour, H peut s écrire sous la forme p q où q est u etier pair et p est u etier impair la fractio précédete état pas écessairemet irréductible mais à coup sûr pas u etier Pour, H 3 et H est bie du type aocé Soit Supposos que pour tout etier k tel que k, o ait H k p k q k où p k est u etier impair et q k est u etier pair et motros que H p q où p est u etier impair et q est u etier pair Recherche L idée H p q p q e marche à coup sur que si p q est impair ce qui q est assuré si est impair et doc si est pair er cas Si est pair, o peut poser k où k N Das ce cas, H p q k kp q k kq est p sot impairs et doc kp est impair puis kp q est impair car q est pair D autre part, q est pair et doc kq est pair H est bie le quotiet d u etier impair par u etier pair ème cas Si est impair, o pose k où k de sorte que k 3 H k i k i i k i i e séparat les fractios de déomiateurs pairs des fractios de déomiateurs impairs k k i i k H k i i Maiteat, e réduisat au même déomiateur et puisque u produit de ombres impairs est impair, o voit que k i est du type K K où K et K sot des etiers Esuite, puisque k k, par hypothèse de récurrece, H k p k q k où p k est u etier impair et q k u etier pair Après réductio au même déomiateur, o obtiet H p k q k K K K p k Kq k q k K Kq k est u etier pair et K p k est u etier impair e tat que produit de deux ombres impairs Doc le umérateur est bie u etier impair et puisque qkk est u etier pair, H est ecore ue fois de la forme désirée O a motré par récurrece que pour tout aturel, H est le quotiet d u etier impair par u etier pair et e particulier est pas u etier http ://wwwmaths-fracefr 5 c Jea-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés