1. Définition de la limite. Montrer à l aide de la définition de la limite 1
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- Hippolyte Giroux
- il y a 6 ans
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1 Chapitre 2 Suites et ites 2 Exercices Défiitio de la ite Motrer à l aide de la défiitio de la ite que = 0 2 Calcul des ites I Appliquer seulemet les ites, les règles de calcul pour les ites et les critères doés das les otes de cours et/ou des méthodes algébriques Pour les foctios trigoométriques, appliquer les iégalités de l exercice du chapitre et les formules d additio etc (a) Calculer (c) Calculer (d) Calculer (e) Calculer (f) Calculer (g) Calculer (h) Calculer (i) Calculer (j) Calculer (k) Calculer cos 3 si cos si 2 si(+2) si( 2) cos(+2)+cos( 2) cos(+)+cos( ) cos si ( (2 + )( + 4)) (l) Calculer ( ) (m) Calculer ( ) () Calculer 3 7 cos 2 39
2 CHAPITRE 2 SUITES ET LIMITES 40 (o) Calculer 2! (p) Calculer 2 e 2 (q) Calculer ( + 2 ) (r) Calculer ( ) (s) Calculer ( ) 2 (t) Calculer 3 ( cos ) si 3 Calcul des ites II (a) Calculer e foctio de x R : e foctio de x R : + 2 x 2 2 x x 2 ( x ) 2 (c) Calculer e foctio de x R, x : x + (d) Calculer e foctio de x > 0 : ( x ) k 2 (e) Pour 3 soit x = k 2 4 Motrer que les x coverget k=3 lorsque ted vers l ifii et calculer la ite (f) Pour 2 soit x = calculer sa ite k=2 k 3 k 3 + Motrer que x = (+) et 4 Covergece I* Soit (x ) ue suite covergete et (y ) la suite défiie par y = x + x Motrer à l aide de la défiitio d ue suite covergete que la suite (y ) coverge et doer sa ite 5 Covergece II* Doer u exemple d ue suite (x ) tel que la suite (y ) défiie par y = x + x coverge vers 0 mais la suite (x ) soit divergete 6 Covergece III* Soit (x ) N ue suite covergete telle que x = x Etudier la covergece des suites (µ ), (σ ) défiies par µ = x k, k= σ = (x k µ ) 2 k= 7 Covergece IV* Soit (x ) N la suite défiie par {, si {k x = 2 : k N } ; 0, autremet Avec les otatios de l exercice 6, motrer que µ = 0, et que (x ) N e coverge pas σ = 0
3 CHAPITRE 2 SUITES ET LIMITES 4 8 Mootoie* Soit (x ) N la suite défiie par x = ( + ) + 2 Motrer que cette suite est décroissate et calculer sa ite Idée : appliquer l extesio de l iégalité de Beroulli démotrée à l exercice 33 du chapitre 9 Formule de Stirlig - u premier pas Motrer à l aide de l exercice précédet que la suite (a ) N défiie par coverge a =! + 2 e 0 Noexistece d ue ite* Motrer que si existe pas Limite supérieure et ite iférieure Pour les suites suivates, doer sup et if (a) x = + ( 2) 2, N (b) x = [ ], N cos π (c) x = 05 + cos π, N 2 cos π (d) x =, N 2 + cos π 4 2 Foctio cotiue Motrer que f : R R défiie par f(x) = x x est ue foctio bijective et cotiue Doer sa foctio réciproque 3 La foctio partie etière Motrer que f : R R défiie par f(x) = [x] est cotiue e tout x / Z et discotiue e tout N Z 4 si Motrer qu il y a pas de a R tel que la foctio f : R R x défiie par { si f(x) = x, si x 0 ; a, si x = 0 est cotiue Motrer que pour tout y [, ] il existe ue suite (x ), x 0, telle que x = 0 et f(x ) = y pour tout 5 La foctio idicatrice de Q Motrer que χ Q (x) est ulle part cotiue 6 Propriétés des foctios cotiues* Soit c < a < b < d et f : [a, b] [c, d] ue foctio surjective et cotiue Motrer que f possède au mois u poit fixe 7 Calcul des ites III Calculer les ites suivates : (a) (b) ( ) cos
4 CHAPITRE 2 SUITES ET LIMITES 42 (c)! 2 8 Suite géométrique Soit (x ) la suite défiie par x + = qx et x 0 = a où a et q sot réels Motrer que x = aq pour tout N 9 Ue suite majorée par ue suite géométrique Soit (x ) N ue suite telle que pour tout etier aturel x + q x pour ue costate q ]0, [ Motrer par récurrece que pour tout etier aturel x q x 0 E déduire que (x ) coverge et doer sa ite 20 Suites récurretes oliéaires I (a) Calculer la ite de la suite (x ) défiie par x + = 5 (4x + ), x 0 = 0 la ite de la suite (x ) défiie par x + = 3 (x + 4), x 0 = 0 (c) Calculer la ite de la suite (x ) défiie par x + = x + 2x +, x 0 = (d) Calculer la ite de la suite (x ) défiie par x + = + 2x, x 0 = 0 (e) Calculer la ite de la suite (x ) défiie par x + = 2x, x 0 = 2 Soit a, b R + et (x ), 0, la suite défiie par la relatio de récurrece x + = ax 2, x 0 = b (a) Motrer par récurrece que la suite x est doée par e foctio de a et b x = a 2 b 2 x
5 CHAPITRE 2 SUITES ET LIMITES Soit (x ), 0, la suite défiie par la relatio de récurrece x + = 5x + 4, x 0 = 0 (a) Motrer par récurrece que la suite x est doée par x = ( 5) ( 5) + x 23 Soit (u ), 0, la suite défiie par la relatio de récurrece u 2 u + =, 0 < u u Motrer que 0 < u 2 2 u Suites récurretes liéaires d ordre 2 (a) Calculer la ite de la suite (x ) défiie par x + = 2 (x + x ), x 0 = 0, x = la ite de la suite (x ) défiie par x + = 3 (4x x ), x 0 = 0, x = (c) Motrer que la suite (x ) défiie par x + = 3x 2x, x 0 = 0, x = est divergete 25 Récurrece logistique - la route vers le chaos O cosidère la suite (x ) défiie par x + = µx ( x ), x 0 [0, ] pour u paramètre µ ]0, 4] Motrer que x [0, ] pour tout N (a) Exemple µ = Motrer que pour tout x 0 [0, ] x = 0
6 CHAPITRE 2 SUITES ET LIMITES 44 (b) Exemple µ = 2 Motrer que pour tout x 0 [0, ] la suite (x ) est doée par x = 2 2 ( 2x 0) 2 Motrer esuite que pour tout x 0 ]0, [ x = 2 (c) Exemple µ = 4 O défiit θ 0 par x 0 = si 2 θ 0 Motrer que pour tout x 0 [0, ] x = si 2 (2 θ 0 ) Calculer x pour tout θ 0 de la forme θ 0 = π et k N 2 k Calculer x pour tout θ 0 de la forme θ 0 = π et k N 3 2 k Doer la suite (x ) si x 0 = si 2 π 5, ie θ 0 = π 5 Facultatif pour aller plus loi : tudier umériquemet le comportemet de x pour d autres coditios iitiales x 0 26 Ue Applicatio cotractate* Soiet a, b > 0 et f : [0, [ [0, [ défiie par f(x) = Trouver ue coditio pour a, b telle que f est ax + b cotractate Das ce cas, e déduire la ite de la suite défiie par x + = f(x ), x Suites de ombres complexes I (a) Calculer (c) Calculer (d) Calculer (e) Calculer (f) Calculer (2 + 3i) + 5 (3 2i) + (7 + 0i) + (4 + 5i) + 2 (3 + 9i) + 3 (4 + 2i) + 7 (3 + 4i)2 + (5 + 7i) 2 (2 + i) + 3 (5 + 2i)2 + ( 3i) + 8 (2 3i) 7 (8 + 5i)2 + (2 + 7i) + 2 (2 + 7i) 9
7 CHAPITRE 2 SUITES ET LIMITES Suites de ombres complexes II Soit a, b R (a) Calculer (c) Calculer (d) Calculer (e) Calculer (f) Calculer e i(+a) e i( a) si ( e 2i(+a) + e 2i(a )) (2i + ) cos 2 (a + ib) (a + ib) ia (e ) ia (e e ib ) 29 Suites de ombres complexes III Soit ue suite (z ) N, z C telle que z = z C Motrer que z = z 30 Foctios complexes cotiues I Motrer que la foctio f : R C défiie par f(x) = e ipx p R est cotiue e tout x R 3 Foctios complexes cotiues II Motrer que les foctios f : C R défiies par (a) f(z) = z + z (b) f(z) = i(z z) (c) f(z) = zz (d) f(z) = z sot cotiues e tout z C 32 Foctios complexes cotiues III Soit f : C C cotiue e z 0 C (a) Motrer que f(z) est cotiue e z 0 (b) Trouver u exemple pour f tel que f soit discotiue e z 0 33 Foctios complexes cotiues IV Motrer que f : C\{Im(z) = 0, Re(z) 0} R défiie par f(z) = arg z est cotiue e tout z D f
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