Équations différentielles linéaires
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- Quentin Abel Mongrain
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1 UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universiaire Licence d économie Cours de M. Desgraupes MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES DYNAMIQUES Corrigé du TD Équaions différenielles Équaions différenielles linéaires Corrigé ex. 30: Équaions d ordre à coefficiens consans Équaion y 2y = 7 Soluion pariculière : v() = 7 2 Soluion de l équaion homogène : w() = C e 2 Soluion de l équaion générale : y() = v() + w() = C e Soluion de l équaion générale avec y(0) = 5 : y() = 7 2 e2 7 2 Équaion 2y + 3y = 3 Soluion pariculière : v() = 2 3 Soluion de l équaion homogène : w() = C e 3 2 Soluion de l équaion générale : y() = v() + w() = C e Soluion de l équaion générale avec y(0) = 3 : y() = e
2 Équaion y 3y = 2e 3 + Soluion pariculière : v() = 3 (e 3 + ) Soluion de l équaion homogène : Soluion de l équaion générale : w() = C e 3 y() = v() + w() = C e 3 3 (e 3 + ) Soluion de l équaion générale avec y(0) = 0 : y() = 2 3 e3 3 (e 3 + ) Équaion my y = e 2 On commence par supposer que m 2. Soluion pariculière : Soluion de l équaion homogène : Soluion de l équaion générale : v() = e2 2m w() = C e /m y() = v() + w() = C e /m + Soluion de l équaion générale avec y(0) = 0 : y() = e2 e /m 2m e2 2m Dans le cas où m = 2, on rouve la soluion pariculière v() = 2 e2. On a alors : y() = v() + w() = (2 + C) e 2 Avec la condiion iniiale y(0) = 0, la soluion es finalemen y() = 2 e 2. 2
3 Corrigé ex. 3: Équaions d ordre à coefficiens variables Résoudre les équaions différenielles à coefficiens variables suivanes : Équaion y 2y = 4 Soluion pariculière : v() = 2 Soluion de l équaion homogène : w() = C e 2 Soluion de l équaion générale : y() = v() + w() = C e 2 2 Équaion y my = β α Soluion pariculière : v() = βα α m lorsque m α. Dans le cas pariculier où m = α, on obien y = β α log. Soluion de l équaion homogène : w() = C m Soluion de l équaion générale (lorsque m α) : y() = v() + w() = Dans le cas où m = α, on a y() = α (β log + C). Équaion ( 2 )y y = m βα α m + C m Soluion pariculière : v() = m L équaion homogène se décompose sous la forme On en dédui que (log w ) = w w = ( 2 ) = ( log + 2 log + ) ( 2 log + = log 2 Finalemen la soluion de l équaion homogène es (en supposan que 0) : 2 w() = C ) 3
4 Soluion de l équaion générale : 2 y() = v() + w() = C m Corrigé ex. 32: Équaions d ordre 2 à coefficiens consans Dans oues les équaions qui suiven, on uilise les mêmes condiions iniiales y(0) = y (0) =. Équaion y + 3 y + 2 y = e Soluion pariculière : v() = 2 (2 2 ) e Soluion de l équaion homogène : w() = λ e + µ e 2 Soluion de l équaion complèe avec les condiions iniiales : y() = 2 (2 2 4) e + e 2 Équaion y 4 y = 0 Soluion pariculière : v() = 5 2 Soluion de l équaion homogène : w() = λ e 2 + µ e 2 Soluion de l équaion complèe avec les condiions iniiales : y() = e e2 5 2 Équaion y 6 y + 9 y = 2 e 3 Soluion pariculière : v() = 2 e 3 Soluion de l équaion homogène : w() = (λ + µ) e 3 Soluion de l équaion complèe avec les condiions iniiales : y() = ( ) e 3 Équaion y + 2 y + 5 y = e + sin(2) 4
5 Soluion pariculière : v() = Soluion de l équaion homogène : sin(2 ) 4 cos(2 ) 7 + e 4 w() = e ( λ sin(2 ) + µ cos(2 ) ) Soluion de l équaion complèe avec les condiions iniiales : 64 sin(2 ) 69 cos(2 ) sin(2 ) 4 cos(2 ) y() = e + + e Équaion 8 y 4 y + 3 y = 3 e Soluion pariculière : Soluion de l équaion homogène : ( w() = e 4 v() = 5 e λ sin ( 5 ) + µ cos 4 ( 5 ) ) 4 Soluion de l équaion complèe avec les condiions iniiales : y() = 4 5 e 4 ( cos ( 5 ) + ( 5 ) ) 5 sin e Corrigé ex. 33: Équaion dépendan d un paramère (E) y + 4 y + m y = e ) L équaion homogène associée (H) es : Le discriminan es : (H) w + 4 w + m w = 0 = 4 m -a ) La forme de w() dépend du signe du discriminan. Si m < 4 alors > 0 e on a deux racines réelles disinces r e r 2. La soluion de (H) s écri : w() = k e r + k 2 e r2 Si m = 4 alors = 0 e on a une racine réelle double r. La soluion de (H) s écri : w() = (k + k 2 )e r Si m > 4 alors < 0 e on a deux racines complexes conjuguées qu on écri sous forme algébrique z = α + iβ. La soluion de (H) s écri : w() = e α ( k cos(β) + k 2 sin(β) ) 5
6 -b ) La condiion nécessaire e suffisane pour que oues les foncions w() enden vers 0 lorsque + es donnée par les condiions de sabilié. Résula de cours : si l équaion es noée w + a w + b w = 0, les condiions de sabilié s exprimen par les relaions suivanes { a > 0 b > 0 Dans le cas présen, cela se ramène à m > ) 2-a ) La valeur d équilibre es une soluion pariculière de (E). On cherche a priori v() = C e 2. On en dédui que v () = 2C e 2 e v () = 4C e 2. D où, en remplaçan dans l équaion (E) : 4C e 2 + 4( 2C e 2 ) + mc e 2 = e 2 On en ire C = lorsque m 4. m 4 Dans le cas où m = 4, il fau chercher v() sous la forme v() = C 2 e 2. Tou calcul fai, on rouve C = /2 e donc v() = 2 2 e 2. 2-b ) La naure de l équilibre a éé discuée à la quesion précédene : l équilibre es sable si e seulemen si m > 0.. Corrigé ex. 34: Soluion d équilibre (E) m y + 3 (m ) y + 3 y = ) On cherche une soluion pariculière de (E) de la forme v() = K. On a alors v () = v () = 0 e, en reporan dans l équaion (E), on obien K = 2 quelle que soi la valeur de m ) La valeur d équilibre de (E) es la soluion pariculière rouvée à la quesion précédene ) Condiion nécessaire e suffisane pour que ce équilibre soi sable. Pour uiliser les condiions de sabilié, on doi mere le membre de gauche de l équaion sous la forme y + a y + b y : y + 3 m m y + 3 m y e alors les condiions s exprimen par les relaions { a > 0 b > 0 Ici on obien les condiions m m > 0 3 m > 0 6
7 ce qui impose finalemen m > ) 4-a ) Pour que oues les soluions de (E) présenen des oscillaions, il fau e il suffi que le discriminan de l équaion caracérisique associée soi négaif. On a : On calcule P (r) = m r (m ) r + 3 = 0 = 9 (m ) 2 2 m = 3(3m 2 0m + 3) = 3(m 3)(3m ) Le discriminan es négaif lorsque /3 < m < 3. 4-b ) Pour que les oscillaions soien amories, il fau que l équilibre soi sable. On a vu, en discuan les condiions de sabilié, que la condiion es m >. Compeenu du résula précéden, on obien < m < 3. Corrigé ex. 35: Soluion pariculière y 4 y + 4 y = e m On cherche une soluion pariculière sous la forme v() = (a + b) e m. On calcule : v () = m (a + b) e m + a e m v () = m 2 (a + b) e m + 2 a m e m En reporan dans l équaion, on obien : [ a (m 2) 2 + b (m 2) 2 + 2a(m 2) ] e m = e m Par idenificaion, on rouve : { a (m 2) 2 = b (m 2) 2 + 2a(m 2) = 0 D où finalemen, lorsque m 2 a = (m 2) 2 2 b = (m 2) 3 Dans le cas où m = 2, on doi chercher la soluion pariculière sous la forme v() = C 3 e 2. Tou calcul fai, on rouve v() = /6 3 e 2. Soluion générale de l équaion homogène : w() = (k + k 2 ) e 2 Finalemen on reconsiue y() = w() + v(). Naure de l équilibre obenu : l équilibre es insable à cause du erme e 2 qui fai diverger la foncion w() représenan les écars à l équilibre. 7
8 Corrigé ex. 36: Équaion vérifiée par une foncion 36- ) Pour chacune des foncions y ci-dessous, on cherche une équaion différenielle homogène du second ordre don y soi soluion générale : Foncion y = λe + µe 5 Un polynôme caracérisique don les racines son e 5 es P (r) = (r )(r 5) = r 2 6r + 5 La foncion y vérifie donc l équaion différenielle homogène associée y 6 y + 5 y = 0 Foncion y = λe 5 + µe 5 Un polynôme caracérisique ayan 5 comme racine double es P (r) = (r 5) 2 = r 2 0r + 25 La foncion y vérifie donc l équaion différenielle homogène associée y 0 y + 25 y = 0 Foncion y = e 2 (λ cos 3 + µ sin 3) Un polynôme caracérisique don les racines son 2 ± 3i es P (r) = ( r (2 + 3i) )( r (2 3i) ) = r 2 4r + 3 La foncion y vérifie donc l équaion différenielle homogène associée y 4 y + 3 y = 0 Foncion y = λ + µe 5 Un polynôme caracérisique don les racines son 0 e 5 es P (r) = r(r 5) = r 2 5r La foncion y vérifie donc l équaion différenielle homogène associée y 5 y = ) Consruire des équaions différenielles du second ordre avec second membre ayan pour soluion générale les foncions y données. Dans chaque cas, on commence par rouver une équaion homogène, puis on calcule le second membre correspondan à la soluion pariculière donnée. Foncion y = λe 5 + µe Un polynôme caracérisique ayan 5 comme racine double es P (r) = (r 5) 2 = r 2 0r
9 La foncion w vérifie donc l équaion différenielle homogène associée w 0 w + 25w = 0 On calcule les dérivées de y en foncion de w : y = w + 3 = y = w, y = w e on remplace dans l équaion : y 0 y + 25y = w 0 w + 25(w + 3) = w 0 w + 25w + 75 = 75 L équaion recherchée es donc : y 0 y + 25y = 75 Foncion y = λe 5 + µe 5 + 2e La parie correspondan à l équaion homogène es la même que dans l exemple précéden. On uilise donc le même polynôme caracérisique. On calcule les dérivées de y en foncion de w : y = w + 2e = y = w + 2(e + e ) En subsiuan dans l équaion, on obien : = y = w + 2(2 e + e ) y 0 y + 25y = w + 2(2 e + e ) 0 (w + 2(e + e )) + 25(w + 2e ) = w 0 w + 25w 6e + 32 e = 6e (2 ) L équaion recherchée es donc : y 0 y + 25y = 6e (2 ) Foncion y = λ + µe 5 + Un polynôme caracérisique don les racines son 0 e 5 es P (r) = r(r 5) = r 2 5r La foncion w vérifie donc l équaion différenielle homogène associée w 5 w = 0 On calcule les dérivées de y en foncion de w : y = w + = y = w +, y = w e on remplace dans l équaion : y 5 y = w 5(w + ) = w 5 w 5 = 5 L équaion recherchée es donc : y 5 y = 5 9
10 Foncion y = e 2 (λ cos 3 + µ sin 3) + 4 Un polynôme caracérisique don les racines son 2 ± 3i es P (r) = ( r (2 + 3i) )( r (2 3i) ) = r 2 4r + 3 La foncion y vérifie donc l équaion différenielle homogène associée w 4 w + 3 w = 0 On calcule les dérivées de y en foncion de w : y = w + 4 = y = w, y = w e on remplace dans l équaion : y 4 y + 3 y = w 4 w + 3 (w + 4) = 52 L équaion recherchée es donc : y 4 y + 3 y = 52 Corrigé ex. 37: Recherche d un soluion maximale I y () 3 y() + 2 = 0 (E) 37- ) Trouver oues les soluions de (E) définies sur R +. On cherche une soluion pariculière de la forme v() = a 2 +b+c. En remplaçan dans (E), on rouve facilemen a =, b = c = 0, d où v() = 2. L équaion homogène es w 3w = 0. On en ire w w = 3 (log w ) = (3 log()) = ( log( 3 ) ) pour > 0. D où log w = log( 3 ) + C e finalemen Les soluions son finalemen de la forme : w() = ±e C 3 = K 3 y() = K ) De manière analogue sur R, c es-à-dire pour < 0, on rouve : y() = K ) Quelles son les soluions de (E) sur R? Les soluions rouvées aux quesions précédenes vérifien y(0) = 0. Auremen di elles se raccorden en 0. Sur R enier, on peu donc recoller les morceaux e écrire les soluions de la manière suivane : { K si 0 f() = K si 0 Noer que les consanes K e K 2 ne son pas nécesairemen égales car l équaion ne donne aucun renseignemen sur les dérivées en 0. 0
11 Corrigé ex. 38: Recherche d un soluion maximale II y () y() = (E) 38- ) Sur R +, l équaion s écri y () y() =. Une soluion pariculière évidene es v() =. L équaion homogène es w w = 0. On en ire w w = ( (log w ) = 2 ) pour > 0. D où log w = 2 + C e finalemen Les soluions son finalemen de la forme : w() = ±e C e 2 = K e 2 y() = Ke ) Sur R, on remplace par. On rouve finalemen y() = Ke ) Pour rouver une soluion de (E) sur R, il fau pouvoir raccorder en 0 les soluions rouvées aux quesions précédenes sur R + e sur R. En = 0, les soluions rouvées valen K. Pour qu elles se raccorden, il fau prendre la même valeur de K pour les deux branches. Corrigé ex. 39: Recherche d un soluion maximale III (4 2 ) y () + y() = ) Cherchons une soluion pariculière de la forme v() = a + b. En remplaçan dans l équaion, on rouve immédiaemen a = /2 e b = 0. D où v() = 2. L équaion homogène es (4 2 ) w + w = 0. On en ire w w = 2 4 (log w ) = ( ) 2 log 2 4 On en ire log w = 2 log C = log C e finalemen w() = ±e C log 2 4 = K log 2 4 En ajouan la soluion pariculière, on obien : y() = 2 + K log 2 4
12 Si K 0, cee soluion n es pas définie en = ±2 (car le logarihme n es pas défini en 0) e on doi disinguer les rois inervalles délimiés par ces deux valeurs. Sur chaque inervalle, la soluion s écri comme précédemmen mais pas nécessairemen avec la même valeur de K ) À cause du problème de définiion en = ±2, on es obligés de prendre K = 0 pour obenir une soluion de (E) définie sur R enier. La soluion es alors unique y = 2. Méhode de variaion de la consane Corrigé ex. 40: Variaion de la consane à l ordre Résoudre les équaions différenielles suivanes par la méhode de variaion de la consane. Équaion 2 y y = 4 On commence par résoudre l équaion homogène associée : 2 w w = 0 w w = 2 pour 0 (log w ) = ( ) D où log w = + C e finalemen w() = ±e C e = K e Noer que cee soluion es définie sur R e que la consane K peu différer selon que x es posiif ou négaif. On va mainenan faire varier la consane, c es-à-dire chercher une soluion de l équaion complèe (e non plus de l équaion homogène) qui soi de la même forme avec un K qui dépend de. Auremen di, on cherche une soluion y de la forme : En dérivan cee relaion, on obien : On repore dans l équaion complèe : y() = K() e y () = K () e + K() e 2 2 (K () e + K() e Les ermes en K se simplifien e il rese : 2 K () e = 4 K () = 4e En définiive, la soluion es : y() = Ce 4 ) 2 K() e = 4 2 K() = 4e + C Équaion cos()y sin()y = 2
13 On commence par résoudre l équaion homogène associée : cos()w sin()w = 0 w w = sin() cos() (log w ) = ( log cos() ) D où log w = log cos() + C = log w() = + C e finalemen cos() K cos() Noer que cee soluion es définie seulemen pour les valeurs de qui n annulen pas le cosinus, c es-à-dire π/2 + kπ. On va mainenan faire varier la consane, c es-à-dire chercher une soluion y de l équaion complèe de la forme : En dérivan cee relaion, on obien : y() = K() cos() y () = K () cos() + K() sin() cos 2 () On repore dans l équaion complèe : ( K ) () cos() + K() sin() cos() cos 2 sin() K() () cos() = Les ermes en K se simplifien e il rese : En définiive, la soluion es : K () = K() = C y() = C cos() Équaion ( 2 )y y = m On commence par résoudre l équaion homogène associée : ( 2 )w w = 0 w w = ( 2 ) = 2 ( + ) + 2 ( ) D où, par inégraion, log w = 2 log + log + 2 log + C = log ( 2 En prenan l exponenielle des deux membres, on obien 2 w() = K 3 ) + C
14 Noer que cee soluion es définie seulemen pour 0. Pour simplifier les calculs qui suiven, on va supposer que 2 0 (il faudra raier ensuie le cas conraire). On va mainenan faire varier la consane, c es-à-dire chercher une soluion y de l équaion complèe de la forme : 2 y() = K() En dérivan cee relaion e en reporan dans l équaion complèe,les ermes en K se simplifien e on obien : K () (2 ) ( ) 2 = m K m m () = ( 2 ) = 3/2 2 On en ire que K() = m + C e finalemen la soluion es : 2 y() = m + C 2 Corrigé ex. 4: Variaion de la consane à l ordre 2 Résoudre l équaion différenielle d ordre 2 y + 5y + 6y = (2 + 3) e par la méhode de variaion de la consane. On commence par résoudre l équaion homogène associée : w + 5w + 6w = 0 Elle es linéaire à coefficiens consans. L équaion caracérisique es r 2 + 5r + 6 = 0 qui a pour racines -2 e -3. On rouve donc w() = C e 2 + C 2 e 3 = C y + C 2 y 2 en noan y () = e 2 e y 2 () = e 3. Le principe de la méhode de variaion de la consane à l ordre 2 consise à faire varier les deux consanes en imposan les deux relaions suivanes : { y = C () y () + C 2 () y 2 () y = C () y () + C 2 () y 2() ( ) Cela donne { y = y = C () e 2 + C 2() e 3 2C () e 2 3C 2 () e 3 En dérivan la première des équaions ( ) e en comparan avec la deuxième, on obien la relaion : C () e 2 + C 2() e 3 = 0 () Mainenan on dérive la deuxième des équaions ( ) pour avoir une expression de y : y = 2C () e 2 + 4C () e 2 3C 2() e 3 + 9C 2 () e 3 En reporan dans l équaion complèe les expressions obenues pour y e y, ous les ermes en C e C 2 se simplifien e il rese seulemen : 2C () e 2 3C 2() e 3 = (2 + 3) e (2) 4
15 Par combinaison des équaions () e (2), on peu éliminer le erme en C () e il rese seulemen : C 2() = (2 + 3) e 2 Par inégraion par parie, on en ire : C 2 () = ( + ) e 2 + k 2 De la même manière, en éliminan le erme en C 2(), on rouve : C () = (2 + 3) e = C () = (2 + ) e + k On repore ces valeurs dans l expression de y : y() = ( (2 + ) e ) + k e 2 ( ( + ) e 2 ) + k 2 e 3 En définiive, la soluion es y() = e + k e 2 + k 2 e 3 Équaions différenielles non linéaires Le premier exemple es corrigé en déail. Pour les aures, on indique seulemen la soluion. Corrigé ex. 42: Équaions à variables séparables Équaion y 2 = 2 y L équaion condui à y = 2 (y + ) e donc y y + = 2 (log y + ) = ( 3 3 ) log y + = C D où finalemen y = K e 3 3 Équaion y = y Soluions : y = ± 2 + C définies pour 2 < C. Équaion y = y log() Soluions : log y = K e définies pour > 0. Équaion ( ) y = 2 y 5
16 Soluions : y = K ( ) 2 Équaion ( + ) y = y 2 Soluions : y = log + + C Équaion cos() y sin() y = 0 Soluions : y = C cos() définies pour les valeurs de elles que cos() 0, c es-à-dire π/2 + kπ. Équaion cos 2 ()y y = 0 Soluions : y = K e an() Équaion ( + 2 ) y = y 2 Soluions : y = sin ( arcan() + C ) que Remarque : ici il fau savoir que es la dérivée de la foncion arcan(). + 2 es la dérivée de la foncion arcsin() e 2 Corrigé ex. 43: Équaions à variables homogènes Les équaions différenielles homogènes son celles de la forme y = f ( y ). On les résou au moyen du changemen d inconnue z = y, ce qui implique que y = z e donc y = z + z. L équaion devien donc : z + z = f(z) z = f(z) z qui es une équaion à variables séparables (voir l exercice 42). Le premier exemple ci-desous es corrigé en déail. Pour les aures, on indique seulemen la soluion. Équaion y = y 6
17 En divisan par, on obien y = y z + z = z Par inégraion des deux membres, on obien : z 2z = 2 log 2z = log + C log 2z = log 2 + 2C On en dédui que 2z = K 2, d où z = K définies pour 0. Équaion y = y y = 2 + K 2 e finalemen, puisque y = z, Soluions : y = ( C log ) définies pour 0. Équaion y y = 2 + y 2 Soluions : y = ± log( 2 ) + C Équaion y y = ( + y) Cee équaion n es pas homogène à propremen di mais, par chance, se résou au moyen du même changemen d inconnue z = y. Soluions : y = ( C e ) Équaions différenielles linéarisables Corrigé ex. 44: Linéarisaion 44- ) On considère l équaion différenielle y () = 2 y() (3) On l écri sous la forme y y = 2 e on rouve facilemen la soluion y() = C 2 R. qui es définie sur R e à valeurs dans 7
18 44-2 ) On considère l équaion différenielle Soluion pariculière : y () = 2 y() e 2 (4) v() = 2 (2 ) e 2 La soluion de l équaion homogène a éé obenue à la quesion précédene. Finalemen la soluion de l équaion complèe (4) es : y() = 2 (2 ) e 2 + C ) On considère l équaion différenielle 2 z () = 2 z() e 2 z() (5) On effecue le changemen d inconnue y = z 2. On a alors y = 2 z 2 z. En reporan y e y dans l équaion (4), on obien l équaion (5). Les soluions posiives z de l équaion (5) se déduisen finalemen des soluions y de (4) par la relaion z = y 2. 8
19 Corrigé ex. 45: Équaion de Bernoulli ( 2 + )y = 4y + 4 y (6) 45- ) On suppose y > 0 e on uilise le changemen d inconnue z = y. On a donc y = z 2 e y = 2z z. En reporan dans l équaion (6), on obien : qui se simplifie en ( 2 + )2 z z = 4 z z ( 2 + ) z = 2 z + 2 (7) Cee dernière équaion es linéaire (à coefficiens non consans). C es une équaion à variables séparables : z z + = Par conséquen On en dédui que e donc dz z + = d log z + = log( 2 + ) + C = z + = K( 2 + ) z() = K( 2 + ) Finalemen, on fai le changemen d inconnue en sens inverse y = z 2 pour rouver les soluions y posiives de l équaion (6) : y() = ( K( 2 + ) ) 2 Remarque : voici une aure méhode de résoluion de l équaion (7). On voi facilemen qu une soluion pariculière de cee équaion es v() = L équaion homogène associée ( 2 + )w = 2w s écri w w = On rouve donc w = K( 2 + ) e, par conséquen, la soluion de l équaion (7) es (comme rouvé précédemmen) : z() = w() + v() = K( 2 + ) 45-2 ) Quesion faculaive : on cherche ous les couples ( 0, y 0 ) qui peuven servir de condiion iniiale à l équaion différenielle. On doi donc discuer la relaion y( 0 ) = y 0 e voir dans quel cas elle condui à une soluion unique. Elle es équivalene à : Cela impose évidemmen y 0 0. y 0 = ( K( ) ) 2 9
20 On en ire : K = ± y Si y 0 0, on rouve deux valeurs de K mais, comme z = y, z doi êre posiif e donc il fau K( ). Cela élimine le signe moins e on a seulemen la valeur y0 + K = Dans ce cas, la soluion s écri : y() = [ ] y (2 + ) Corrigé ex. 46: Équaion de Bernoulli 2 On considère l équaion différenielle suivane : 2 y + y = 2( + ) y (8) avec > ) On fai le changemen d inconnue z = y = y 2. On a z = 2 y 2 y. Par subsiuion dans l équaion () e simplificaion, on obien : 2 2 z + z = 2( + ) (9) C es une équaion différenielle linéaire d ordre à coefficiens non consans ) Résolvons l équaion homogène associée à l équaion (9) : 2 2 w + w = 0 On a : w w = 2 On en dédui, compe-enu du fai que > 0 par hypohèse : e finalemen ( ) ( log w = ) 2 log() w = C On fai mainenan la méhode de la variaion de la consane en posan : z = C() Par dérivaion, on a z = C 2 2 C 3 2. En remplaçan dans l équaion (9), on obien : C = 2( + ) = 2( 2 + ) D où C () =
21 e par inégraion : C() = log() K = log() + K Finalemen : z() = C() = ( log() 2 ) + K (0) 46-3 ) Soluions de l équaion iniiale (). Le changemen d inconnue implique que y = z 2 e par conséquen : y = ( log() 2 ) 2 + K 46-4 ) Soluion correspondan à la condiion y() =. En subsiuan la valeur =, on obien y() = ( 2 + K) 2 = ce qui condui à K = ou K = 3. On doi éliminer la valeur car elle conduirai à une valeur négaive pour z() dans (0) alors qu il doi êre posiif puisque z = y. On a finalemen seulemen K = 3 e la soluion es donc y() = ( log() 2 ) Corrigé ex. 47: Modèles économiques de ype Bernoulli Les équaions de Bernoulli son de la forme : a y + b y = c y α () où a, b e c son des foncions. On les résou en uilisan le changemen d inconnue z = y α. En dérivan, on a donc z = ( α) y α y. Si on divise les deux membres de l équaion () par y α, on obien : Par conséquen qui es une équaion différenielle linéaire. Équaion y () = a y() b y() 2 a y y α + b y α = c a α z + bz = c Cee équaion consiue le modèle de Malhus. On a ici α = 2 e a, b son des consanes. Changemen d inconnue : z = y = z = y 2 y 2
22 Équaion en z : z = az + b Soluion en z : z = b a + Ce a Soluion en y : y = z On rouve finalemen : y() = b a + Ce a Équaion y () = y() + y() On a ici α =. Changemen d inconnue : z = y 2 = z = 2yy Équaion en z : 2 z z = Soluion en z : z = Ce 2 2 Soluion en y : y() = z On rouve finalemen : y = Ce 2 2 [ Équaion y () = y() + ] y() On a ici α =. Changemen d inconnue : z = y 2 = z = 2yy Équaion en z : 2 z z = Soluion en z : z = Ce 2 Soluion en y : y = z On rouve finalemen : y = Ce 2 Équaion y () = 2 y() 6 3 y() 2 On a ici α = 2. Changemen d inconnue : z = y = z = y 2 y Équaion en z : z + 2 z =
23 Soluion en z : z = Ce 2 + 3( 2 ) Soluion en y : y = z On rouve finalemen : y() = Ce 2 + 3( 2 ) Équaion y () = s y() r n y() Cee équaion consiue le modèle de Solow/Cobb-Douglas. On a ici α = r e on suppose que r. Changemen d inconnue : z = y r = z = ( r)y r y Équaion en z : r z + n z = s Soluion en z : z = Ce ( r)n + s n Soluion en y : y = z r On rouve finalemen : y() = [ Ce ( r)n + s ] r n Corrigé ex. 48: Modèle Solow/CES [ (a Équaion y () = s 2 n ) ] y() + 2 a y() + s NB : cee équaion n es pas à propremen parler du ype Bernoulli à cause de la consane s. Elle consiue une variaion du modèle de Solow/Cobb-Douglas : elle représene le modèle de Solow pour la foncion de producion CES (Consan Elasiciy of Subsiuion). Elle dépasse le cadre de ce cours mais on donne néanmoins ici une méhode de résoluion pour les éudians curieux... On commence par faire un changemen de noaion concernan les paramères de cee équaion. On pose : n A = a s n B = a + s On remarque que AB = a 2 n e A + B = 2a. L équaion se facorise donc de s la manière suivane : y = dy d = s(a y + )(B y + ) 23
24 C es une équaion die séparable, c es-à-dire don on peu séparer les variables dans deux ermes différens, comme ceci (en mean les y à gauche e les à droie) : dy (A y + )(B = s d (2) y + ) On procède alors par inégraion : dy (A y + )(B y + ) = s d (3) L inégrale de gauche se calcule en décomposan la foncion de y à parir de l idenié suivane : A y + B y + = (B A) y (A y + )(B y + ) n On a B A = 2, donc en muliplian les deux membres de l équaion (2) par s n/s, on obien [ ] 2 y A y + B y + dy = ns d Par inégraion, on en dédui : A log(a y + ) B log(b y + ) = ns + C où C es une consane quelconque. On ne rouve pas une soluion qui donne expliciemen la soluion y() en foncion de mais en quelque sore le conraire ( en foncion de y!). Si on prend mainenan l exponenielle des deux membres de la relaion précédene, on obien : ( A y + ) A ( B y + ) B = e ns+c = De ns avec D = e C. Si on suppose que y prend la valeur y 0 au emps = 0, on calcule la consane D = (A y 0 + ) A (B y 0 + ) B e finalemen : [ ] [ ] A y + A B y + B A y 0 + B y 0 + = e ns Corrigé ex. 49: Équaions de Riccai Les équaions de Riccai son de la forme : y () + a() y 2 () + b() y() + c() = 0 (4) 49- ) On posan y = a u. En dérivan, on obien : u y = a u u u (a u + a u ) a 2 u 2 24
25 En subsiuan ces expressions dans l équaion (4) e en simplifian, on aboui à l équaion suivane en u : a u + (ab a ) u + a 2 c u = 0 (5) C es une équaion linéaire homogène du second ordre. On cherche alors sa soluion u e on en dédui y par le changemen d inconnue uilisé. Lorsque la coefficien a es consan, l équaion se simplifie comme ceci : u + b u + ac u = 0 (6) 49-2 ) On applique cee echnique aux équaions différenielles de Riccai suivanes : Équaion y () = y() 2 + m On a ici a =, b = 0 e c = m. L équaion en u s écri donc : u + mu = 0 Supposons que m soi posiif. Le polynôme caracérisique P (r) = r 2 + m a deux racines complexes conjuguées r = ±i m. On obien donc u = k cos( m) + k 2 sin( m) On en dédui y = u u = k sin( m) k2 cos( m) k cos( m) + k 2 sin( m) La condiion iniiale y(0) = 2 implique que k 2 k = 2. En divisan le numéraeur e le dénominaeur par k, on rouve finalemen : y = sin( m) 2 cos( m) cos( m) + 2 sin( m) Si on suppose mainenan que m es négaif, le polynôme P (r) = r 2 + m a deux racines réelles disinces opposées r e r avec r = m. On obien donc On en dédui u = k e r + k 2 e r y = u u = rk e r + rk 2 e r k e r + k 2 e r En enan compe de la condiion iniiale y(0) = 2, on rouve finalemen : y = r (r + 2)er + (r 2)e r (r + 2)e r + (r 2)e r Équaion y () = y() 2 2/ 2 On a ici a =, b = 0 e c = 2/ 2. L équaion en u s écri donc : u 2 2 u = 0 25
26 On en dédui (en faisan un changemen d inconnue u = v ) : Finalemen y = u u s écri : u = k 2 + k 2 y = 2k 3 k 2 (k 3 + k 2 ) Équaion y () = b y() a y() 2 On a ici a() = a, b() = b e c() = 0. L équaion en u s écri donc : u b u = 0 En inégran membre à membre, on obien : u b u = C C es mainenan une équaion d ordre qui condui à une soluion de la forme : u = k e b + k 2 avec k 2 = C si on suppose b (le cas b = es laissé en exercice...). b Finalemen la foncion y = u a u s écri : y = k e b k e b + k 2 Avec une valeur iniiale y(0) = y 0, on obien : y = y 0 e b y 0 + y 0 e b Remarque L équaion différenielle précédene es qualifiée de modèle logisique ou encore modèle de Verhuls. C es un sysème dynamique qui ser à modéliser la croissance d une populaion. Pour plus d informaion, voir la page Wikipedia : Modèle de Verhuls. 26
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