Lois de base de l'électrocinétique

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1 Lois de base de l'élecrocinéique «Paience e longueur de emps Fon plus que force ni que rage.» Jean de La Fonaine, Fables, le Lion e le Ra. Résumé L élecrocinéique raie de la circulaion des charges élecriques dans les milieux conduceurs appelés réseaux ou circuis. Deux grandeurs essenielles dépendanes du emps son uilisés, le couran (débi de charges) e la ension (différence de poeniels enre deux poins d un circui). Ces grandeurs son repérées par rappor à un sens convenionnel choisi arbirairemen. Ces charges apparaissen dans des élémens élecriques appelés dipôles (résisances, sources de ension ou de couran, indépendanes ou liées, condensaeurs e inducances) qui son décris our à our. Les élémens de base, inerconnecés au sein des réseaux, son régi par les lois de foncionnemen de Kirchhoff (loi des nœuds, loi des mailles). Les dipôles élecriques e les réseaux peuven êre décris par leur comporemen énergéique. On défini alors la puissance e l énergie, ainsi que leur manifesaion au sein des élémens de base. Enfin, sans les éudier, les différens modes d éude des réseaux élecriques son inroduis : le régime ransioire enre deux régimes permanens. Sommaire I. Définiions... I.1. Les grandeurs élecriques... I.1.1. Le couran élecrique... I.1.. La ension... I.. Convenions d écriure... II. Réseaux de Kirchhoff... II.1. Les élémens de base... II.1.1. La résisance (Figure 7)... 3 II.1.. Sources indépendanes (Figure 9 e Figure 10)... 3 II.1.3. Sources dépendanes (Figure 13 e Figure 14)... 4 II.1.4. Condensaeur (Figure 15)... 4 II.1.5. Inducance ou self (Figure 17)... 4 II.. Règles de connexion...5 II.3. Loi des noeuds e loi des mailles...5 II.4. Méhodologie d éude e exemple...5 II.4.1. Méhodologie... 5 II.4.. Exemple : circui simple à sep élémens (Figure 0)... 6 III. Descripion énergéique des circuis élecriques... 6 III.1. Définiions...6 III.. Expression de la puissance e de l énergie pour les élémens définis...7 III.3. Lois de Kirchhoff au sens énergéique...7 IV. Du réseau à son éude suivan la naure des grandeurs... 7 V. Bibliographie... 8 décembre 99 V / 8 Lois de base de l'élecrocinéique

2 I. Définiions I.1. Les grandeurs élecriques De manière courane, à l échelle des circuis (e non à l échelle des maériaux), deux grandeurs élecriques essenielles inerviennen dans les circuis élecriques : le couran e la ension. I.1.1. Le couran élecrique Le couran élecrique (noé i) dans un conduceur es le débi de charges (dq/d). C es une grandeur algébrique don le signe marque le sens de déplacemen des charges. Il s exprime en ampères 1 (A). Le couran es noé par une flèche placée sur le conduceur marquan son sens (Figure 1). I.1.. La ension La ension élecrique (noée u) enre deux poins d un circui es la différence enre les poeniels (noés v) en ces deux poins. C es pour cela que la ension élecrique es aussi dénommée différence de poeniel (ddp) e s exprime en vols (V). La ension es indiquée par une flèche placée enre les deux poins du circui (Figure ). La différence es définie par rappor à un poeniel nul de référence pour le circui, la masse (Figure 3). La ension es donc une grandeur algébrique. v B I() v A V AB = v A - v B v B = v B v A = v 0 = 0 Figure 1 Figure Figure 3 I.. Convenions d écriure Dans un circui élecrique, on ne connaî pas, a priori, le signe du couran e de la ension. Il fau donc éablir une convenion de noaion de ces grandeurs : la convenion généraeur (Figure 4) e la convenion récepeur (Figure 5). I() A B I() A B Figure 4 : convenion généraeur. Figure 5 : convenion récepeur. II. Réseaux de Kirchhoff 3 Les réseaux élecriques son consiués d élémens que nous nous aacherons à définir. Il son inerconnecés e régis par des lois qui régissen ce assemblage. La finalié de cee démarche es de déerminer les grandeurs inconnues à parir de celles connues par l inermédiaires des lois de comporemen issues de l éude. II.1. Les élémens de base Les élémens disposen d un nombre fini de bornes desinées à éablir les connexions ( bornes = dipôle, 4 bornes = quadripôle, n bornes = mulipôle, ). Chacune des bornes es placée à un cerain poeniel andis qu elle véhicule un couran (enran ou soran). Ces deux grandeurs élecriques son des foncions réelles du emps (voir I.1 e I. pour les noaions e définiions). 1 Ampère (André-Marie), physicien Français ( ). de Vola (Alessandro, come), physicien ialien ( ). 3 Kirchhoff (Gusav), physicien allemand ( ). décembre 99 V.0.66 / 8 Lois de base de l'élecrocinéique

3 Pour un mulipôle, la somme des courans enrans es égale à la somme des courans sorans. Les ensions e les courans on un sens convenionnellemen choisi e invarian par la suie pour conduire à la noaion de la Figure 6. A i() B Dans le cas de ce dipôle, le couran i es posiif s il circule réellemen de A vers B, andis que la flèche représenan la ension es noée dans le sens conraire du couran pour représener v A > v B. Figure 6 II.1.1. La résisance (Figure 7) Loi de foncionnemen (loi d Ohm 4 ) : = Ri(). où R es la résisance élecrique en Ohms (Ω). u e i son exprimés respecivemen en Vols (V) e en Ampères (A). On écri aussi i() = G. où G ( = 1/R) es la conducance en Siemens (S). Symbole, schéma e noaions (conv. récepeur) R i() Figure 7 Si R (resp. G) es consane, on di que la résisance es linéaire. Dans le cas conraire, la résisance es non linéaire. La représenaion graphique i = f(u) es la caracérisique ensioncouran de la résisance. La loi d Ohm es illusrée praiquemen en monran l homoéie des relevés emporels sur la Figure 8. 1 ma 10 V i() Figure 8 : illusraion praique de la loi d'ohm. II.1.. Sources indépendanes (Figure 9 e Figure 10) i() es indépendane de i() : u es imposée. Figure 9 : généraeur de ension ; symbole, schéma e noaions. i() es indépendan de : i es imposé. Figure 10 : généraeur de couran ; symbole, schéma e noaions. Remarques (pour se souvenir des symboles) : généraeur de ension, r inerne faible, le rai raverse. généraeur de couran, r inerne élevée, rai inerrompu. u La ension u es consane quelquesoi le couran i. i i Le couran i es consan quelquesoi la ension u u Figure 11 : généraeur de ension consane. Figure 1 : généraeur de couran consan. On di que le généraeur de ension es éein lorsqu il es rédui à une ension ideniquemen nulle (équivalen à un conduceur). Pour le généraeur de couran, il es éein si le couran es ideniquemen nul (circui ouver). 4 Ohm (Georg), physicien allemand ( ). décembre 99 V / 8 Lois de base de l'élecrocinéique

4 II.1.3. Sources dépendanes (Figure 13 e Figure 14) i() es dépendane d une aure grandeur, u () ou i (), d un aure élémen du réseau : =α i () ou =β u () Figure 13 : généraeur de ension dépendan ; symbole, schéma e noaions Dans la praique, on noe la relaion de dépendance à coé du généraeur. i() es dépendan d une aure grandeur, u () ou i (), d un aure élémen du réseau : i()=δ i () ou i()=ε u () Figure 14 : généraeur de couran dépendan ; symbole, schéma e noaions II.1.4. Condensaeur (Figure 15) Loi fondamenale : i () = () C du d où C es la capacié en Farads 5 (F) du condensaeur, indépendane du emps. dém : q()= i()d e q() = C d où le résula en éliminan q. Symbole, schéma e noaions C i() Figure 15 Conclusion e conséquence praique : 1 A parir de la loi fondamenale, u( ) = u(0) + i( x) dx, la ension es une foncion coninue C 0 du emps. En conséquence, on n observe jamais de disconinuié de ension aux bornes d un condensaeur. i() Figure 16 : illusraion de la coninuié de la ension aux bornes d'un condensaeur. II.1.5. Inducance ou self (Figure 17) Loi fondamenale : u () = () L di d où L es l inducance du dipôle self en Henrys 6 (H), indépendane du emps. Symbole, schéma e noaions L i() Figure 17 5 de Faraday (Mickael), physicien anglais ( ). 6 Henry (Joseph), ingénieur-physicien américain ( ). décembre 99 V / 8 Lois de base de l'élecrocinéique

5 Conclusion e conséquence praique : A parir de la loi fondamenale, du emps. 1 i( ) = i(0) + u( x) dx, le couran i() es une foncion coninue L 0 En conséquence, on n observe jamais de disconinuié du couran raversan une inducance. i() Figure 18 : illusraion de la coninuié du couran raversan une inducance. II.. Règles de connexion Les différens élémens ( II.1) son assemblés au sein de réseaux. Ces derniers son composés de branches orienées relian deux poins appelés nœuds. Si les branches son adjacenes (à la queue leu-leu) on a alors affaire à un chemin. Si deux chemins disjoins de mêmes exrémiés son reliés, on obien une maille (ou cycle). Toues ces définiions son illusrées dans l exemple de la Figure 19. C 5 1 E B 7 F 8 A 10 Figure 19 : exemple de réseau. 3 D Ce réseau es un graphe. On y disingue : 6 noeuds, de A à F ; 10 branches, de 1 à 10 ; (4,, 3) es un chemin délimié par C e D. (8, 6, 5, 1, 3) es une maille. Dans la praique les branches son composées d un assemblage d élémens du II.1. II.3. Loi des nœuds e loi des mailles Loi des nœuds La somme algébrique des courans circulan dans les branches adjacenes à un noeud es nulle. On peu dire aussi que la somme algébrique des k courans enrans dans un noeuds es égale à la somme des l courans sorans (oues les charges apporées son exraies). i = k l k l Loi des mailles La somme algébrique des ensions renconrées en parcouran une maille (sens prédéfini) es nulle. ( ± ) = v vk es compée posiivemen si elle es dans le sens de parcours de la maille. k 0 v k es compée né gaivemen si elle es dans le sens conraire du parcours de la maille. i II.4. Méhodologie d éude e exemple II.4.1. Méhodologie De manière appliquée, pour effecuer la mise en équaion puis la résoluion d un circui élecrique, nous uiliserons la démarche suivane : dans un premier emps, numéroer les nœuds e les branches ; dans chaque branche du circui, noer les courans (flèche pour le sens convenionnel e nom) ; pour chaque élémen, noer la ension à ses bornes (flèche e nom) ; mere en équaion en uilisan deux groupes de relaions : décembre 99 V / 8 Lois de base de l'élecrocinéique

6 un pour les aspecs opologiques (organisaion du réseau) : (n-1) lois des noeuds pour n noeuds recensés e (m-1) lois de mailles pour m mailles indépendanes recensées, un second pour les relaions aachées à chaque élémen uilisé. poser les hypohèses simplificarices (courans ou ensions ideniques, conraines imposées par les élémens) ; simplifier les relaions en enan compe des hypohèses à ce sade on dispose d un sysème d équaions ; résoudre le sysème pour en exraire les grandeurs inconnues. Pour mere en oeuvre cee démarche, inéressons-nous à l exemple suivan. II.4.. Exemple : circui simple à sep élémens (Figure 0) Toues grandeurs son permanenes (pas de modificaion au cours du emps). On les noe donc en lere majuscules. On cherche à évaluer l expression du couran I dans la dernière résisance R. I 1 E 1 R 1 R I E R 3 I 3 I 3 I R Courans : I 1 (), I (), I 3 () e I(). Tensions : E 1, E, U, U 1, U, U 3 (élémens). Quare branches : celles de E 1, E, I 3 e U. Trois mailles indépendanes : (E 1, R 1, R), (E, R, R) e (I 3, R 3, R). Deux nœuds donc une seule loi des nœuds. Figure 0 1 loi des nœuds : I 1 + I + I 3 = I ; 3 lois des mailles : E 1 - R 1 I 1 = U ; E - R I = U ; E 3 (non imposée) - R 3 I 3 = U. On obien : E1R + ER1 + R1R I 3 I =. R R + RR + RR 1 1 III. Descripion énergéique des circuis élecriques III.1. Définiions Puissance La puissance élecrique insananée (exprimée en was 7, W)pénéran dans un élémen s exprime par : p ()= ui ()() Energie Si la puissance es inégrable sur ]-,] l énergie (exprimée en Joules 8, J) absorbée s exprime par : w( ) = p( x) dx = w(0) + 0 p( x) dx On remarquera qu il s agi de la variaion de l énergie depuis un emps rès long (infinimen reculé). Si l on respece les convenions de signe précédemmen éablies, l élémen es passif si w() es posiive ou nulle, sinon l élémen es acif. 7 de Wa (James), ingénieur écossais ( ). 8 Joule (James), physicien anglais ( ). décembre 99 V / 8 Lois de base de l'élecrocinéique

7 III.. Expression de la puissance e de l énergie pour les élémens définis Puissance Energie Résisance p R ( ) = u( ). i( ) = Ri ( ) 0 wr ( ) = R i ( x) dx 0 Condensaeur p C du u C du C () () () = () = 1 d d Inducance p L di i L di L () () () = () = 1 d d wc () = 1 Cu () 0 wl () = 1 Li () 0 On remarque que l énergie es oujours posiive, signifian que ces élémens son passifs. Cependan, la résisance ne peu qu absorber de la puissance (oujours posiive) e la dissiper de manière irréversible : c es un élémen dissipaif. La puissance pénéran dans le condensaeur e l inducance peu êre posiive ou négaive : ces deux élémens peuven emmagasiner e resiuer de la puissance. Ces élémens son non dissipaifs ou réacifs (ils peuven resiuer l énergie emmagasinée). III.3. Lois de Kirchhoff au sens énergéique Loi des nœuds En expriman la loi des nœuds sous forme de puissance, alors la puissance pénéran par un nœud es idenique à celle en soran. Loi des mailles La somme des puissances observées en parcouran une maille es nulle. Il en résule que la somme des puissances absorbées par oues les branches d un réseau es ideniquemen nulle. D aure par, l énergie fournie par les sources du réseau n es dissipée que par les élémens passifs. IV. Du réseau à son éude suivan la naure des grandeurs Nous venons de décrire les réseaux de Kirchhoff e proposer en ensemble de méhodes offran des ouils de mise en équaion des circuis pour exprimer les inconnues. Ce aspec esseniel nous garani les fondemens sur lesquels nous allons analyser les circuis en se référan, d une par, à la naure des signaux issus des généraeurs, mais aussi en enan compe de évoluion depuis leur naissance jusqu à un emps où ou es éabli. Nous allons mere en évidence ces aspecs sur un exemple élémenaire de circui (Figure 1). e() k u e () R i() C Le circui RC série peu êre mis sous ension à l insan =0 par le conac k. Suivan la naure du signal délivré par le généraeur de ension, commen va évoluer la u s () ension u S () aux bornes du condensaeur? Cee quesion à l apparene simplicié va rouver ses réponses à ravers différenes éudes. Figure 1 : circui RC série. Si le généraeur délivre une ension coninue (permanene), dès la fermeure de k la ension u S () iniialemen nulle à l insan = 0 va croîre pour se sabiliser à la ension du généraeur. Pendan une période après = 0, on observe un régime ransioire. Vien ensuie un régime éabli appelé aussi régime permanen (Figure ). décembre 99 V / 8 Lois de base de l'élecrocinéique

8 Régime ransioire Régime permanen Valeur E ension u e () u s () 0 τ Figure : réponse emporelle du circui RC. Si le généraeur délivre une ension sinusoïdale, il exise aussi un régime ransioire qui fini par laisser place au régime permanen. Bien enendu la forme des ensions n es plus la même que dans le cas précéden. Dès lors que l on connaî la opologie du circui, nous disposons des moyens pour le mere en équaion. Si la naure des signaux délivrés par les généraeurs es connue, la mise en équaions va nous conduire à un ensemble d équaions différenielles don la résoluion aboui aux résulas évoqués un peu plus hau. La résoluion de l équaion sans second membre fourni une soluion générale (SGESSM) décrivan le régime di libre, c es à dire le comporemen ransioire. La soluion pariculière de l équaion avec second membre (SPEASM) nous décri les signaux lorsque le généraeur aura réussi à s imposer, à forcer son régime, c es le comporemen permanen. La suie du cours suivra donc le fil conduceur suivan : connaîre les caracérisiques des signaux e en pariculiers des signaux usuels ; caracériser le comporemen ransioire de cerains réseaux ; s inéresser aux élémens soumis aux signaux sinusoïdaux de fréquence fixe ; s aacher au régime permanen pour des signaux sinusoïdaux de fréquence fixe ; généraliser l éude des réseaux soumis à des signaux sinusoïdaux de fréquence variable. V. Bibliographie [1] Boie R. e Neirynck J.. Théorie des réseaux de Kirchhoff. Traié d élecricié, d élecronique e d élecroechnique. Dunod décembre 99 V / 8 Lois de base de l'élecrocinéique

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