Cours d analyse 1, semestre d automne. Hugo Duminil-Copin

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1 Cours d lyse 1, semestre d utome Hugo Dumiil-Copi 30 décemre 2013

2 Tle des mtières 1 Élémets de théorie des esemles Élémets de Logique L otio d esemle Logique élémetire et pricipes de démostrtio Reltios d ordre Applictios Défiitio Compositios des pplictios Ijectio-Surjectio-Bijectio Applictios croisstes, décroisstes et mootoes Etiers turels et esemles fiis Etiers turels Esemles fiis et otio de crdil Alyse comitoire sur les esemles fiis Esemles ifiis Les omres rtioels et réels L esemle des omres rtioels L esemle R Défiitios Pricipe d Archimède Vleur solue sur R Desité d u esemle ds R Résolutio des équtios du secod degré sur R Les omres complexes Équtios polyomiles d ue vrile complexe Cojuguiso et module d u omre complexe Argumet complexe, pplictios expoetielle et écriture polire Argumet d u omre complexe Défiitio de l foctio expoetielle complexe et écriture polire Rcies -ièmes Foctios trigoométriques cosius, sius et tgete Défiitio des foctios cosius et sius Propriétés du cosius et du sius L foctio tgete

3 TABLE DES MATIÈRES 2 5 Suites umériques Suites covergetes ds K Défiitio et premières propriétés Opértios sur les limites Suites à vleurs réelles et reltio d ordre Iéglité et limites Suites mootoes à vleurs ds R Vleurs d dhérece d ue suite Suites de Cuchy Suites à récurrece liéire Suites tedt vers l ifii et formes idétermiées Foctios Cotiues Limite d ue foctio e u poit Covergece e x Covergece e ± et covergece vers ± Cotiuité des foctios de l vrile réelle Défiitio de l cotiuité Mximum et miimum d ue foctio cotiue Opértios sur les foctios cotiues Théorème des vleurs itermédires Iverse d ue foctio cotiue Prologemet de foctios cotiues Notios reliées à l (otio de) cotiuité Cotiuité uiforme Cotiuité à droite et cotiuité à guche (pour votre culture) Foctios à vleurs ds C Foctios usuelles L foctio expoetielle Dérivtio des foctios sur R Dérivée d ue foctio e u poit Défiitio Accroissemets et dérivées Dérivées Successives Applictios Applictios ux foctios covexes (pour votre culture) Applictios à l étude des grphes de foctios Applictios ux iéglités Formes idétermiées Recherche de solutios d ue équtio foctioelle (pour votre culture) Itégrtio de foctios à vleurs réelles L itégrle sur u segmet Défiitio de l itégrle des foctios e esclier Itégrles des foctios réglées Vleur pprochée de l itégrle d ue foctio cotiue Primitive des foctios cotiues

4 Préfce Ces otes de cours présetet le coteu du cours d lyse premier semestre doé à l uiversité de Geève. Nous remercios les étudits et les ssistts qui ot cotriué pr leur relecture ttetive à l crétio de ces otes. Nous teos églemet à remercier tout prticulièremet Nicols Curie et Ruth Be Zio. Ces otes complètet les otes muscriptes présetées e cours. E ucu cs elles e les remplcet! Il est crucil de veir e cours et d écrire le cours préseté e clsse. Le processus cosistt à écrire le cours représete l première étpe de révisio. Le coteu exigile à l exme est le mtériel préseté e clsse (e prticulier, de omreuses prties du polycopié e serot ps discutées e clsse, et sot présetées pour votre culture). De plus, ces otes peuvet être modifiées (de fço mieure) à tout momet. Vérifiez doc que vous vez ie ue versio reltivemet récete. Les exercices présetés ds ces otes e correspodet ps écessiremet ux feuilles d exercices distriuées chque semie et dispoiles sur dokeos ds l rurique Alyse 1 (utome 2012). Comme pour le cours, les exercices de référece sot ceux des feuilles d exercices. Les exercices sot omreux et de iveu vrile. Nous e ous ttedos ps à ce que vous les réussissiez tous. Les exercices difficiles sot repérles grâce u sigle A (ces exercices représetet des chlleges dot l difficulté excède de loi le chmps de compétece requis pour vlider le cours). Les exercices des feuilles d exercices vec u sigle sot à redre pedt le cours du mercredi (ucue copie e ser cceptée près cette dte). Les copies serot corrigées et otées. Ces otes sur le semestre résulterot e ue ote sur 0.5 qui ser joutée comme ous à l ote file du semestre. U exme écrit de 4 heures viedr sctioer le semestre. Aucu documet est utorisé pedt cet exme. Ue questio de cours pouvt porter sur importe quelle prtie du cours préseté e clsse ser icluse ds l exme. Les théorèmes ecdrés sot solumet cruciux, et il est très importt de les coitre prfitemet. Les exercices porterot sur le coteu du cours mis e ferot ps écessiremet prtie des exercices préprés pedt l ée. 3

5 TABLE DES MATIÈRES 4 Cocert l lecture de ces otes, les ecdrés comportet des remrques, des stuces ou des pricipes géérux de démostrtio. Les rgumets repérés pr l metio "pour votre culture" e sot e ucu cs requis à l exme. Le cours commece pr ue descriptio succite de l théorie des esemles et de l logique. Cette prtie est destiée à poser les ses écessires pour rédiger ue preuve mthémtique correctemet. Elle offre églemet ue opportuité de découvrir les fodemets de otre disciplie. Les chpitres suivts itroduiset grduellemet les omres etiers, rtioels, réels et complexes. Nous étudios esuite l otio de suite et de limite. Ds u qutrième temps, ous proposos ue étude des foctios de l vrile réelle (cotiuité, dérivilité, itégrtio). Certies des otios étudiées ds ce semestre e vous sot ps icoues. Némois, ous les étudieros plus e profodeur, et prfois vec u gle d pproche différet de celui vec lequel vous les vez recotrées jusqu à préset. Le cours est complètemet uto-coteu et ucu pré-requis est écessire. U derier coseil, ous vous recommdos de prticiper ux répétitoires le mrdi et jeudi soir, que vous yez des difficultés ou o. Mis ces répétitoires e suriet remplcer le trvil persoel sur les exercices : il est très importt d essyer de fire les exercices seul. Boe lecture et o semestre Eseigt Hugo Dumiil-Copi Bureu 615, 2-4 rue du Lièvre Déprtemet de mthémtique Uiversité de Geève E-mil : [email protected]

6 Chpitre 1: Élémets de théorie des esemles 1.1 Élémets de Logique U éocé u ses mthémtique est u esemle de symoles uquel est ssocié ue vleur logique VRAIE ou FAUSSE. L costructio de tels éocés doit répodre à des règles précises, met isi à ue théorie cohérete ds lquelle l vleur logique de chque éocé est ou ie VRAIE, ou ie FAUSSE, mis jmis les deux à l fois. Ue ssertio est u éocé répodt à ces règles de costructio. Le cocept de vérité est ps uiversel, il déped des idividus. Afi de couper court à tout ritrire, ous désiros développer ue otio cocrète et ittqule de vérité mthémtique. Pour cel, u petit omre d ssertios, ppelées xiomes, sot supposées VRAIES priori. Il est ps écessire de les motrer. L esemle des ssertios vries est lors étedu u moye de démostrtios, c est à dire de règles de logique simples. Notos qu priori, ous vos ue lierté totle qut u choix des xiomes. Les xiomes costituet ue répose u prolème de l défiitio de vérité cr ils fourisset ue référece explicite que chque idividu peut utiliser fi de détermier si u éocé est vri ou fux. Plutôt que de dire "cet éocé est vri", il serit plus juste d ffirmer "cet éocé est vri si l o suppose les xiomes vris". Bie etedu, persoe utilise ce formlisme, et l o e fit ps référece ux xiomes lorsque l o prtique les mthémtiques. Némois, il est possile de se rmeer à ces xiomes si esoi est, et l otio de vérité mthémtique des ses cliremet étlies. Notos vt de commecer que vous recotrerez des xiomes différets, dus à Euclide, ds le cours de géométrie. Ces xiomes sot eucoup plus vieux (tiquité) que ceux que ous préseteros ds ce cours (déut du vigtième siècle) mis ils e couvret que l géométrie dite Euclidiee et e sot doc ps dptés à otre cotexte. 5

7 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES L otio d esemle L ojet mthémtique fodmetl est ppelé esemle. Grossièremet, u esemle est ue collectio d élémets. Pour u élémet x d u esemle E, otos x E. Les esemles sot turellemet muis d ue opértio, ppelée iclusio, défiie comme suit : Défiitio 1.1. Soiet E et F deux esemles, E est iclus ds F si pour tout x E, x F. L esemle E est lors ppelé ue prtie de F (oté E F ). Les esemles E et F sot dits égux si E F et F E. Si E, F, G sot trois esemles, lors E F et F G implique que E G. Remrquez que {1, 2, 3, 2, 1} et {1, 2, 3} sot deux esemles égux. L existece même d u esemle fit l ojet d u xiome. Bie etedu, cet xiome semle évidet, mis u xiome précis permet de couper court à toute pproximtio ds le développemet future de l théorie. Axiome 1 (xiome d existece) Il existe u uique esemle, l esemle vide, tel que quelque soit l ojet x, x. Trois utres xiomes permettet de costruire des esemles à prtir d utres. Axiome 2 (xiome de compréhesio) Soiet E u esemle et des ssertios A(x) idexées pr les élémets x de E, il existe u uique esemle F E tel que les élémets de F soiet exctemet les élémets de E qui stisfot A(x). Cet esemle est oté F = {x E tel que A(x)} ot. = {x E, A(x)}. Axiome 3 (xiome de puissce) Soit E u esemle, il existe u uique esemle dot les élémets sot exctemet les prties de E (c est doc u esemle d esemles). Cet esemle est oté P(E) ot. = {F, F E}. Axiome 4 (xiome de l uio) Soiet E et F deux esemles, il existe u uique esemle E F formé des élémets de E et des élémets de F. Noter que l éocé des xiomes est très précis, mlgré le fit qu ils semlet évidets. E effet, preez l exemple de l xiome 2. Il est tett de le remplcer pr l existece d esemles de l forme F = {x, A(x)}, où l o e restreit ps u fit que les x doivet pprteir à u esemle déjà existt E. Avec u tel xiome, o outirit à des prdoxes du type "Je suis u meteur" (méditer sur l existece de l esemle suivt E = {x, x x}) qui mèeriet à ue cotrdictio.

8 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 7 Les xiomes 2, 3 et 4 permettet de défiir d utres règles sur les esemles. Défiitio 1.2. Soiet E et F deux esemles, défiissos E F ot. = {x E, x F } E F ot. = {x E, x F } Lorsque E F, l esemle F E est ppelé complémetire de E ds F. Lorsque F est évidet ds le cotexte, l référece à F est ps précisée et F E est oté E c. Propositio 1.3 (Distriutivité). Soiet E, F, G trois esemles, lors 1. (E F ) (E G) = E (F G). 2. (E F ) (E G) = E (F G). Démostrtio. Ue preuve ps tout à fit rigoureuse mis visuelle cosiste à regrder l figure suivte. E E F G F G Pour les irréductiles, voici ue preuve mthémtique rigoureuse. Motros l première églité. Risoos pr doule iclusio, c est-à-dire motros (E F ) (E G) E (F G) et (E F ) (E G) E (F G). Soit x (E F ) (E G), x pprtiet à E F ou E G. Ds le premier cs, x E et x F F G. Aisi, x E (F G). Ds le deuxième cs, x E et x G F G. Aisi, x E (F G). Nous e déduisos que (E F ) (E G) E (F G). Soit x E (F G), lors x E et x F G. Si x F, lors x E F et doc x (E F ) (E G). Si x G, lors x E G et doc x (E F ) (E G). Nous e déduisos que E (F G) (E F ) (E G). L même méthode peut être utilisée fi de motrer l deuxième églité. Risoemet pr doule-iclusio Pour prouver que E et F sot égux, o motre que E F et F E. Ce risoemet doit être océ comme tel u déut de l démostrtio. Propositio 1.4 (loi de Morg). Soiet E, F, G trois esemles, lors 1. (E F ) (E G) = E (F G). 2. (E F ) (E G) = E (F G). Démostrtio. Ue preuve ps tout à fit rigoureuse mis visuelle cosiste à regrder l figure suivte. Augustus de Morg (glis )

9 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 8 E E F G F G À ouveu, voici ue preuve plus rigoureuse. Motros l première églité. Risoos pr doule iclusio, c est-à-dire motros (E F ) (E G) E (F G) et (E F ) (E G) E (F G). Soit x (E F ) (E G), lors x pprtiet à E F ou E G. Ds le premier cs, x E et x F. Aisi, x F G et doc x E (F G). Ds le deuxième cs, x E et x G. Aisi, x E (F G). O e déduit que (E F ) (E G) E (F G). Soit x E (F G), lors x E et x F G. Cel sigifie que x est ps ds F i ds G. Si x F, lors x E F et doc x (E F ) (E G). Si x G, lors x E G et doc x (E F ) (E G)). O e déduit que E (F G) (E F ) (E G). L même méthode peut être utilisée fi de motrer l deuxième églité. Doos u exemple plus complexe de règle sur les esemles. Soiet E et F deux esemles, défiissos le produit crtésie de E et F E F = {(, ), E, F }. U élémet de E F est ppelé u couple. L propriété crctéristique des couples est (x, y) = (x, y ) si et seulemet si x = x et y = y. Défiissos u -uplet comme u élémet de E 1 E 2 E = ( (E 1 E 2 ) ) E ). Les otios d uio et d itersectio peuvet être étedues ux esemles idexés pr u esemle I comme suit. Défiitio 1.5. Soiet E u esemle et (E i ) i I des prties de E idexées pr u esemle I. L réuio des E i est défiie comme étt l esemle E i = {x E, il existe i I, x E i } E. i I L itersectio des E i est défiie comme étt l esemle E i = {x E, pour tout i I, x E i }. i I Fiissos cette sectio sur les esemles pr u peu de voculire. Défiitio 1.6. Soiet (A i ) i I des prties de E et F E. 1. Les A i formet u recouvremet de F si F A i. i I 2. Les A i formet ue prtitio de E si les A i recouvret E et si pour tout i j ds I, A i A j =. L figure de guche motre u recouvremet. Chque élémet est ds u esemle, mis ces esemles peuvet priori se recouper. L figure de droite motre ue prtitio.

10 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 9 A 1 A2 A3 A 4 A 4 A 1 A2 A3 A 10 A 10 A 9 A 8 A7 A 5 A 6 A 9 A 8 A7 A 5 A Logique élémetire et pricipes de démostrtio À prtir d ssertios mthémtiques quelcoques, ous costruisos de ouvelles ssertios dot l vleur logique VRAIE ou FAUSSE déped de l vleur logique des ssertios origielles. Nous discutos églemet commet prouver des ssertios (ces pricipes de démostrtio reviedrot à de omreuses reprises ds le cours). Nous disposos de deux types d outils pour costruire de ouvelles ssertios : les opértios sur les ssertios et les qutificteurs. Commeços pr les premières. Opértios sur les ssertios Négtio. Si A est u ssertio mthémtiques, o A est défiie comme étt vrie lorsque A est fusse et réciproquemet, ce qui peut être résumé pr le tleu suivt, ppelé tle de vérité, A V F o A F V L égtio de mo cht est oir est mo cht est ps oir. L égtio de tous les chts sot oirs est il existe u cht qui est ps oir. Ou. Si A et B sot deux ssertios, l ssertio A ou B est défiie pr l tle de vérité suivte A B A ou B V F V V V V F F F F V V Notez que le ou mthémtique est ps exclusif : VRAIE ou VRAIE est VRAIE. De plus, l défiitio ous idique u pricipe de démostrtio : pour prouver que A ou B est VRAIE, o suppose que A est FAUSSE et à l ide de cel o motre que B est VRAIE. O peut ie etedu supposer que B est FAUSSE et motrer que A est VRAIE puisque cel reviet u même. Et. Si A et B sot deux ssertios, ssocios l ssertio A et B défiie pr l tle de vérité suivte A B A et B V F F V V V F F F F V F

11 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 10 Propositio 1.7. Soiet A et B deux ssertios, o(a ou B) est équivlete à oa et ob. De même, o(a et B) est équivlete à oa ou ob. Démostrtio. Il suffit de vérifier que les deux ssertios ot l même tle de vérité. Nous le fisos pour o(a ou B) et oa et ob. A B o A o B A ou B o (A ou B) (o A) et o B V F F V V F F V V F F V F F F F V V F V V F V V F V F F Implictio. Si A et B sot deux ssertios, ssocios l ssertio A implique B (otée A B) défiie pr l tle de vérité suivte A B A implique B V F F V V V F F V F V V Cotriremet à A ou B et A et B, l tle de vérité de A B est ps totlemet ituitive. E effet, si A est FAUSSE, lors l implictio est écessiremet VRAIE. E prticulier, FAUX implique FAUX est cosidéré comme VRAIE e mthémtique. Ce choix est e fit risole. Imgios pr exemple l ssertio suivte, "J i eu ue discussio vec u chie implique mo chie prle". Bie etedu, cette implictio est juste, mis i A i B e le sot. L tle de vérité de l implictio ous idique commet procéder pour motrer que A B est VRAIE : o suppose que A est VRAIE et o motre que B est VRAIE. E effet, si A est FAUSSE l implictio est de toute fço VRAIE et il y rie à prouver. Nous utiliseros souvet le voculire suivt, si A B est VRAIE, ous diros : si A lors B. L ssertio A est lors ppelée ue coditio suffiste pour B, et B ue coditio écessire pour A. Propositio 1.8. Les ssertios A B, (o B) (o A), (o A) ou B sot équivletes, ds le ses que quelque soit l vleur logique de A et B, ces ssertios sot vries ou fusses simultémet. Puisque A B est équivlete à oa et B, ous oteos que l égtio de A B est A ou ob. Démostrtio. Il suffit de vérifier que ces trois ssertios ot l même tle de vérité. A B A implique B o B o A (o B) (o A) (o A) ou B V F F V F F F V V V F F V V F F V V V V V F V V F V V V

12 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 11 L ssertio (o B) (o A) est ppelée l cotrposée de A B. Les ssertios A B et o A o B étt logiquemet équivletes, o peut prouver A B e suppost que B est FAUSSE et e motrt que A est FAUSSE. Ce risoemet est ppelé risoemet pr cotrposée et doit être océ comme tel u déut de l démostrtio. Attetio! Le risoemet pr cotrposée e doit ps être cofodu vec le risoemet pr l surde. Celui-ci repose sur u pricipe différet. Pour prouver que C est VRAIE, o suppose que o C est VRAIE et o motre que cel mèe à ue cotrdictio. Ds le cs où C = (A B), ous oteos que ous supposos A et ob et que ous motros que cel mèe à ue cotrdictio. Le risoemet pr l surde doit être océ comme tel u déut de l démostrtio. Équivlece. Soiet A et B deux ssertios, l ssertio A B sigifie (A B et B A). Propositio 1.9. L tle de vérité de A B est A B A B V F F V V V F F V F V F Démostrtio. Il suffit de clculer l tle de vérité ps à ps. A B A B B A [(A B) et (B A)] ot. = [A B] V F F V F V V V V V F F V V V F V V F F Deux ssertios sot doc équivletes si elles sot toutes deux vries ou toutes deux fusses. Si l ssertio A B est VRAIE, ous diros : A si et seulemet si B, ou A ssi B e rccourci. L ssertio A est ue coditio écessire et suffiste pour B (et réciproquemet B est ue coditio écessire et suffiste pour A). Pour prouver ue équivlece, ous disposos de deux possiilités. L première cosiste à risoer pr équivleces successives, e géérl plus simples à motrer. Cepedt, ce type de preuve est ps toujours à privilégier, o peut utiliser le fit que A B est équivlete à A B et B A. Motrer A B et B A séprémet s ppelle risoer pr doule implictio. Ce risoemet doit être océ comme tel u déut de l démostrtio. Qutificteurs U utre outil importt est l otio de qutificteurs. Soiet E u esemle et A(x) des ssertios idexées pr x E. L ssertio x E, A(x) est VRAIE si et seulemet si pour tout x E, A(x) est VRAIE. Le symole est ppelé qutificteur uiversel. L ssertio x E, A(x) est VRAIE si et seulemet si il existe x E tel que A(x) est VRAIE. Le symole est ppelé qutificteur existetiel.

13 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 12 Propositio L égtio de [ x E, A(x)] est [ x E, o A(x)] et l égtio de [ x E, A(x)] est [ x E, o A(x)]. Cette propositio peut être utilisée pour ier des ssertios plus compliquées. Pr exemple, x E, y F, z G, A(x, y, z) est u rccourci (ss les prethèses iutiles) pour l ssertio x E, ( y F, ( z G, A(x, y, z))). Aisi, l propositio utilisée trois fois de suite motre que l égtio de cette ssertio est x E, ( y F, ( z G, o A(x, y, z))). Il est crucil d être méthodique lorsque l o ie ue ssertio, cr il est très fcile d écrire u cotre-ses. Pour motrer x E, A(x), ous devos motrer A(x) pour x E quelcoque. O se doe doc u x E ritrire, et o motre A(x). O écrir doc systémtiquemet "Soit x E" u déut de l démostrtio, de telle sorte qu il ous suffit lors de motrer A(x). Pour motrer x E, A(x), ous devos trouver x E tel que A(x). Ces preuves reviedrot souvet (mis ps toujours) à costruire l oject x yt l propriété A(x). Metioos u derier type de démostrtio, ppelé preuve pr cotre-exemple. Afi de motrer que x E, A(x) est FAUSSE, if fut motrer que x E, o A(x). O dit lors que x E tel que o A(x) est VRAIE est u cotre-exemple. Ce risoemet doit être océ comme tel u déut de l preuve. Exemple : Cosidéros l ssertio x R, y R, [x < y z R, x < z < y]. Nios cette ssertio. Tout d ord, elle est de l forme x R, A(x) où A(x) est l ssertio y R, [x < y z R, x < z < y]. Aisi, l égtio ser de l forme x R, o A(x). Il ous fut doc ier A(x). Cette ssertio est de l forme y R, B(y) où B(y) est l ssertio [x < y z R, x < z < y]. L égtio ser doc de l forme y R, o B(y). Mitet, B(y) est ue implictio dot l égtio est x < y et o( z R, x < z < y), c est à dire x < y et z R, (x z ou y z). Nous vos utilisé le fit que x < z < y est équivlete à x < z et z < y et que o(a B) vut (A et ob). E coclusio, ous oteos que l égtio est x R, y R, [x < y et z R, x z ou y z]. Mitet, ous désiros prouver l ssertio. Elle commece pr x R, ous ous doos doc x R. Elle poursuit pr y R, ous ous doos doc y R. Esuite, pour motrer l implictio, ous supposos A, ie x < y et ous motros B, ie z R, x < z < y. il ous fut doc trouver u z tel que x < z < y. Il ous suffit de predre z = x+y. E coclusio, ue preuve de l ssertio serit : 2 "Soit x R. Soit y R. Supposos que x < y. Posos z = x+y. O ie x < z < y." 2 À prtir de mitet, l usge des symoles et est restreit ux ssertios. Ces symoles sot des qutificteurs, ils ot leur plce qu à l itérieur d ue ssertio. Ds ue phrse e frçis, ous préféreros l usge de pour tout et il existe. De même, ous utiliseros ps mis les termes lors ou doc. Exercice 1. Soiet A, B et C trois esemles. 1. Motrer que : (A = B) (A B = A B). 2. Motrer que : (A = B) (P(A) = P(B)). 3. Motrer que : (A B = A C et A B = A C) (B = C).

14 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 13 Exercice 2 (Différece symétrique). L opértio est défiie sur les esemles A, B E pr A B = (A B c ) (B A c ). 1. Motrer que A B = (A B) (A B). 2. Vérifier que (A B = ) (A = B). Exercice 3. E remrqut que { } est u esemle à u élémet, essyer de costruire à l ide des xiomes des esemles à 2,3 élémets. Pesez vous pouvoir costruire des esemles de tille fiie quelcoque? Exercice 4. U esemle d ssertios costitue ue théorie. Ue théorie est dite cotrdictoire si à prtir des xiomes et des règles de logique, il est possile de motrer qu ue ssertio A est à l fois VRAIE et FAUSSE. Motrer que ds ue théorie cotrdictoire, toute ssertio est VRAIE et FAUSSE. Remrquos qu il est possile d voir des théories o cotrdictoires pour lesquelles il est impossile de motrer si certies ssertios sot VRAIES ou si elles sot FAUSSES. Notez qu elles sot ie etedu soit vries soit fusses, mis leur vleur logique e peut ps être détermiée (prouvée) e utilist les xiomes et ue preuve. Ces ssertios sot dites idécidles et l théorie est lors icomplète. Ue théorie mthémtique devrit turellemet être i cotrdictoire, i icomplète. L ojectif de costruire ue telle théorie (de trouver les os xiomes e quelque sorte) fut u coeur des mthémtiques du déut du vigtième siècle. E 1930, Gödel motr u théorème d ue portée exceptioelle : toute théorie o cotrdictoire cotet l otio d etiers turels est icomplète. Il est doc vi de teter de créer u système d xiomes "prfit". Ce théorème s ppelle pompeusemet le théorème d icomplétude. Exercice 5. A Supposos que l xiome 2 soit mois précis. E cosidért l esemle E = {x, x x}, motrer que si E E, lors E E et que si E E, lors E E. Aisi, o otiet que E E et o(e E) sot VRAIES et FAUSSES, et l théorie deviet cotrdictoire. O compred doc mieux l utilité de préciser que x doit pprteir à u esemle F ds l formule E = {x F A(x)}. Le prolème créé pr u xiome 2 mois précis est ppelé prdoxe du meteur (u meteur dist "je suis u meteur"). Exercice 6. Motrer que l implictio est trsitive : [(A B) et (B C)] (A C). Exercice 7. Écrire l égtio des ssertios suivtes : 1. x, y E, xy = yx. 2. x E, y E, xy = yx. 3., A, [ = 0 ( = 0 ou = 0)]. 4. x R, y R, [x < y f(x) < f(y)] (où f est ue pplictio de R ds R). 5. ε > 0, N N, [ N u l < ε] (où (u ) est ue suite réelle et l R). 6. l R, ε > 0, N N, [ N u l < ε] (où (u ) est ue suite réelle). 7. x R, δ > 0, y R, [ x y δ f(x) f(y)] (où f est ue pplictio de R ds R). 8. x R, ε > 0, δ > 0, y R, [ x y < δ f(x) f(y) ε] (où f est ue pplictio de R ds R). 9. ε > 0, N N, x R, N, [ N f (x) f(x) < ε] (où f est ue pplictio de R ds R). 10. E N, [E ( E, m E, m )] 11. E R, [E R, (( E ) et ( ε > 0, E ε))] Exercice 8. Soiet E et F deux esemles et A(x, y) des ssertios idexées pr (x, y) E F. 1. Motrer que [ x E, y F, A(x, y)] [ y F, x E, A(x, y)]. 2. Motrer que [ x E, y F, A(x, y)] [ y F, x E, A(x, y)]. 3. Motrer e dot u exemple que x E, y F, A(x, y) est ps écessiremet équivlet à y F, x E, A(x, y). O dir que l o peut échger les qutificteurs djcets (ou les djcets), mis que l o e peut ps échger les qutificteurs et. Exercice 9. Quelle est l cotrposée des implictios suivtes? Même questio vec l égtio. 1. Si x > 0, lors f(x) Si = 0, lors ( = 0 ou = 0). 3. p divise implique (p divise ou p divise )

15 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES E implique qu il existe tel que = mi(e). Exercice 10. Expliquer e frçis ce que sigifiet les ssertios suivtes et écrire leur égtio. 1. 0, u < u +1 (où (u ) est ue suite réelle). 2. A R, x R, f(x) A (où f est ue pplictio de R ds R). 3. (x, y) Q 2, [x < y z Q x < z < y]. Exercice 11 (Lois de Morg géérlisées). Soiet I u esemle et (A i ) i I ue fmille de prties de E et A E. Motrer que A ( A i ) = (A A i ), A ( i I A i ) = i I (A A i ) i I i I A A i = A A i, A i I A i = i I A A i. i I i I (Idictio : puisqu il est difficile de dessier u omre ifii de pttes, o pourr d ord teter de prouver les lois de Morg clssiques à l ide de qutificteurs et de risoemets sur les esemles) Exercice 12 (Formules d ssocitivité). Soit E u esemle, (A i ) i I ue fmille de P(E) et (J k ) k K ue fmille icluse ds I et recouvrt I. Motrer que A i = A i et A i = A i. i I k K i J k i I k K i J k 1.2 Reltios d ordre Mitet que ous disposos d ue otio d ssertio, et d ue otio d esemle et d élémets de ces esemles, il est turel de comprer ces élémets etre eux. Nous itroduisos doc l otio de reltio d ordre. Ue reltio sur E, otée R, est u ojet pret deux élémets x, y de E et revoyt VRAI ou FAUX. O ote e géérl xry. Grossièremet, ue reltio d ordre ffirme si "x est plus petit que y", où petit peut être priori iterprété ds u ses très lrge. Les trois propriétés ci-dessous suivet l ituitio turelle. Défiitio Soit E u esemle, R est ue reltio d ordre si R est réflexive : x E, xrx. R est trsitive : x, y, z E, [(xry et yrz) xrz]. R est tisymétrique : x, y E, [(xry et yrx) x = y]. Nous oteros souvet à l plce de R et xry sigifie que "x est iférieur à y". Notos églemet x y si yrx et x < y si yrx et x y. Afi de motrer que R est ue reltio d ordre, il fut motrer que R est réflexive, trsitive et tisymétrique. Aisi, l preuve que R est ue reltio d ordre devr toujours être écrite de l fço suivte : 1. Motros que R est réflexive : soit x E "Prouver que xrx" 2. Motros que R est trsitive : soiet x, y, z E tels que xry et yrz "Prouver que xrz" 3. Motros que R est tisymétrique : soiet x, y E tels que xry et yrx "Prouver que x = y"

16 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 15 Exemple : L ordre u ses usuel sur R est ue reltio d ordre (puisque ous e l vos ps ecore défii, ous e le prouvos ps). Exemple : L reltio sur les prties d u esemle E doée pr F RG ssi F G est ue reltio d ordre. Démostrtio. Rppelos que F G si x F, x G. 1. Motros que est réflexive : soit F E. Puisque x F, x F, ous vos ie F F. 2. Motros que est trsitive : soiet F, G, H E tels que F G et G H. Si F est ue prtie de G et G est ue prtie de H, lors F est ie ue prtie de H. E effet, si x F, lors x G et doc x H. D où F H. 3. Motros que est tisymmétrique : soiet F, G E tels que F G et G F. Alors x F, x G et x G, x F. Aisi, x G ssi x H et doc F et G ot les mêmes élémets. D où F = G. Exemple : L reltio xry ssi x = y est ue reltio d ordre. U esemle mui d ue reltio d ordre est dit ordoé et est otée (E, ). Défiitio Soit (E, ) u esemle ordoé, F E et m, M E. M est u mjort de F si x F, x M. M est le supremum (ou l ore supérieure) de F si M est u mjort de F et pour tout M mjort de F, M M. Il est oté sup F. M est le mximum de F si M est le supremum de F et M F. Il est oté mx F. m est u miort de F si x F, m x. m est l ifimum (ou l ore iférieure) de F si m est u miort de F et pour tout m miort de F, m m. Il est oté if F. m est le miimum de F si m est l ifimum de F et m F. Il est oté mi F. Attetio, ces élémets existet ps toujours. Si F dmet u mjort, o dit qu il est mjoré. S il dmet u miort, il est dit mioré. S il est mioré et mjoré, o le dit oré. Pr cotre, le supremum est uique s il existe, idem pour le mximum, miimum, ifimum. De plus, le mximum et le supremum sot cofodus s ils existet tous les deux. O peut églemet motrer que le supremum est le miimum de l esemle des mjorts. Propositio 1.13 (Critère prtique pour l ordre usuel sur R). Soit F R et M R. Les deux propositios suivtes sot équivletes : (i) M est l ore supérieure de F ds R. (ii) x F, x M et y R, [y < M ( x F, y < x)].

17 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 16 Démostrtio. Si l o écrit (i) comme ue ssertio, ous oteos que (i) est e fit [ x F, x M] et [ y R, ( x F, x y) y M]. Puisque [( x F, x y) y M] est l cotrposée de [y < M ( x F, y < x)], ces deux ssertios sot équivletes et doc (i) et (ii) sot équivletes. Cette preuve foctioe e fit pour tout ordre dit totl, ie que x y ou y x (l iclusio est ps u ordre totl c o e peut ps forcémet comprer deux esemles pour l iclusio). Ds ce cs, l égtio de x y est ie y < x. Pour u ordre qui est ps écessiremet totl, o peut trsformer les ssertios e remplct < pr ps. Exercice 13. Motrer que l reltio sur les etiers défiie pr prq ssi il existe m N tel que q = mp est ue reltio d ordre. Coissez-vous le om de cette reltio? Exercice 14. Soiet F G E vec E ordoé. Motrer que sup F sup G et if G if F. Soit F E et E. Afi de motrer que sup F, il suffit de motrer que est u mjort de F, ie x F, x, puisque sup F est pr défiitio le plus petit des mjorts. Exercice 15 (Reltio d ordre totle ou prtielle, élémet mximl). Ue reltio d ordre est dite totle si x, y E, x y ou y x, sio l reltio d ordre est dite prtielle. Soit F ue prtie de E. 1. Motrer que les reltio suivtes sot des reltios d ordre. Lesquelles sot prtielles? () L iclusio sur E. () L divisiilité sur N. (c) L ordre usuel sur R. (d) L ordre lexicogrphique sur R 2 défii pr (x, y)r(, ) ssi x < ou x = et y. 2. U élémet m est u élémet miiml de F si x F, [m x x = m]. Motrer qu u miort de F est u élémet miiml. 3. Quelles sot les élémets miimux de N {0} pour l divisiilité sur N? Même questio vec N {0, 1}. Motrer qu u élémet miiml est ps forcémet u miort. 4. Motrer que si l ordre est totl, lors il existe u plus u élémet miiml pour F. Exercice 16. Détermier quelles sot les foctios ijectives, surjectives et ijectios prmi l liste suivte. Justifier vos ffirmtios. R {0} R {0} 1. f x 1 x N {0, 1} N 2. g le plus petit omre premier divist 3. (cette questio est ps à redre) Soit E u esemle, χ P(E) {0, 1} E A χ A où χ A est l foctio crctéristique de l esemle A (o pourr utiliser l exercice 8 de l série précédete). Détermier quelles sot les foctios croisstes et décroisstes prmi l liste suivte. Justifier vos ffirmtios. R R {x R x 0} R 1. h x x 2, même questio vec i x x 2 2. j N N π() où π() est le omre de omre premiers iférieurs ou égux à. 3. Soit B E. De l esemle ordoé (P(E), ) ds lui-même, k P(E) P(E) A A B 4. De R 2 mui de l ordre lexicogrphique (rppelos que, ds ce cs, (x, y)r(x, y ) ssi x < x ou [x = x et y y R ]) ds (R, ), l foctio l 2 R (x, y) xy Joh Dirichlet (llemd ) Il fut l u des pioers de l utilistio d outils d lyse complexe e théorie des omres. Cel le me à l preuve du théorème de l progressio rithmétique. O lui doit ussi le pricipe des tiroirs. Exercice 17. Trouver le supremum et ifimum de { 1 +( 1), N }. Est-ce que ce sot des mximums et des miimums?

18 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 17 Exercice 18. Soiet f E F et g F G deux foctios. 1. Supposos que g f est ijective, est-ce que f est ijective? Même questio vec g? 2. Supposos que g f est surjective, est-ce que f est surjective? Même questio vec g? 3. Est-ce que g f ijective implique f et g ijectives? Si l répose est oui, le prouver, sio, exhier u cotre-exemple. Exercice 19. A O dispose les élèves de l clsse e u rectgle de liges et p coloes. O repère le plus grd élève de chque lige et o retiet le plus petit de ces plus grds ; soit x s tille. Puis, o repère le plus petit élève de chque coloe et o retiet le plus grd de ces plus petits ; soit y s tille. Comprer x et y. 1.3 Applictios Nous e veos mitet à u ojet que vous vez déjà mipulé à mites reprises lors de votre cursus scolire, l otio de foctio (ou pplictio). Cotriremet à ce que l o pourrit croire, ue foctio est ps forcémet l doée d ue formule écrite vec les opértios usuelles +,,, /,, etc. L otio peut e fit être défiie de fço strite, et couvrir isi u grd omre de possiilités. L première ppritio de cette défiitio est prolemet due à Dirichlet (1837) Défiitio Défiitio Soiet E et F deux esemles et A E F. L esemle A est u grphe foctioel si x E,!y F, (x, y) A (ici,! sigifie qu il existe u uique élémet). Ue pplictio (ou foctio) est l doée de deux esemles E, F et d u grphe foctioel c est à dire ue prtie du produit crtésie E F. Ue pplictio f, qui est l doée de (E, F, A), est hituellemet otée f E F x f(x) = y où y est l uique élémet tel que (x, y) A. Grossièremet, ue pplictio etre E et F est u ojet qui ssocie à chque élémet de E u uique élémet de F. Exemple : (foctios usuelles) Les foctios usuelles de R ds R telles que x, x, x 2, cos x, si x, exp x peuvet toutes être écrites comme précédemmet. Exemple : L foctio t de R {..., 3π 2, π 2, π 2, 3π 2, 5π,...} ds R. 2 Veos-e à des exemples plus compliqués (voir exercices et ci-dessous), qui e peuvet ps s écrire e foctio de formules simples ivoqut +,,, /,, etc. Exemple : (foctio Dirc) Pour E u esemle quelcoque et E, défiissos Leopold Kroecker (llemd ) Célère pour so oppositio vec so étudit Ctor, dot il estime l démrche de ce derier sur l ifii o rigoureuse. Hilert commet : "persoe e ous chsser du prdis que Ctor ous créé." δ E {0, 1} x 1 si = x et 0 sio. Cette pplictio est ppelée l foctio de Kroecker, ou l foctio Dirc u poit. Exemple : π N N π() = omre d etiers premiers iférieurs ou égux à Pul Dirc (glis ) Mthémticie et physicie.

19 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 18 Exemple : Soit E u esemle. L idetité de E est l pplictio I E E E x x. Exemple : Ue pplictio de u N E est ppelée ue suite. L ottio (u ) N ser préférée à l ottio u : N u(). Exemple : Soit I u esemle, ue fmille idicée sur I est ue pplictio x dot l esemle de déprt est I. Au lieu de l oter x : i I x(i) o préfèrer, comme pour les suites, l ottio x = (x i ) i I. L esemle I est l esemle des idices de l fmille x. Itroduisos mitet u petit peu de voculire : 1. L élémet x est ppelé técédet de y pr f, et y est l imge de x pr f. 2. L esemle E est ppelé le domie de défiitio de f. L esemle F est le domie d rrivée de f. 3. Pour A E et B F. L imge directe de A pr f est f(a) = {f(x) F, x A}. L esemle f(e) est ppelée imge directe de f. L imge réciproque de B pr f est f 1 (B) = {x E, f(x) B}. Pr exemple, f 1 ({}) est l esemle des técédets de et est u sous-esemle de E. Il est défii pour toute foctio, cotriremet à f 1 (), qui est u élémet de E et est défii si et seulemet si f est ijective. 4. Soiet E et F deux esemles, F E désige l esemle des pplictios de E ds F. E A x f 1 (B) F f(a) f(x) B Défiitio 1.15 (Restrictio et prologemet). Soiet E et F deux esemles et A E. Soit f : E F ue foctio. Alors g A F x f(x) est ue foctio, ppelée restrictio de f à A et otée g = f A. Ds ce cs, f est u prologemet de g.

20 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 19 Pour motrer que deux foctios sot égles, o motre qu elles ot mêmes esemles de déprt et d rrivée et même grphe foctioel. Il est crucil de se rppeler qu ue pplictio est l doée de f(x) pour tout x, mis églemet d u esemle de déprt et d u esemle d rrivée. Pr exemples, les pplictios f R + R + x x 2 g R R + x x 2 h R R x x 2 sot toutes différetes. E prticulier, elles ot ps les mêmes propriétés (ijectivité, croissce, etc). Aisi, il fut toujours préciser les domies de défiitio et d rrivée de l pplictio Compositios des pplictios. Ue opértio, ppelée compositio, peut être défiie turellemet sur les pplictios. Défiitio Soiet f : E F et g : F G deux pplictios. L composée de g pr f est l pplictio g f défiie pr g f E G x g(f(x)). Propositio Soiet trois foctios f : E F, g : F G et h : G H. 1. L loi est ssocitive ie h (g f) = (h g) f, 2. I F f = f I E = f. Démostrtio. Motros 1. Tout d ord, h (g f) et (h g) f prtet de E et rrivet ds H. Soit x E, (h (g f))(x) = h(g f(x)) = h(g(f(x))) = (h g)(f(x)) = ((h g) f)(x). Motros 2. Tout d ord, I F f, f et f I E prtet de E et rrivet ds F. De plus, pour tout x E, (I F f)(x) = I F (f(x)) = f(x) = f(i E (x)) = (f I E )(x). L propriété d ssocitivité motre que les prethèses sot iutiles. O écrir doc h g f pour h (g f) = (h g) f (de même pour plus de trois foctios) Ijectio-Surjectio-Bijectio Défiitio Soit f : E F. 1. L foctio f est ijective si x, x E, [f(x) = f(x ) x = x ] 2. L foctio f est surjective si y F, x E, f(x) = y 3. L foctio f est ijective si f est ijective et surjective. L ijectivité est l propriété que chque élémet de F u plus u técédet. L surjectivité est l propriété que chque élémet de F u mois u técédet. L ijectivité est l propriété que chque élémet de F exctemet u técédet.

21 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 20 L ijectivité est souvet défiie pr l cotrposée de l défiitio fourie ici, c est-à-dire x, x E, [x x f(x) f(x )]. Nous utiliseros souvet cette défiitio pour dériver des coséqueces de l ijectivité d ue foctio. Pr cotre, pour prouver qu ue foctio est ijective, il est souvet stucieux d utiliser l défiitio doée plus hut. Il est e géérl plus fcile de prouver ue églité qu ue iéglité. Propositio Soiet f : E F et g : F G. 1. si f et g sot ijectives, lors g f est ijective. 2. si f et g sot surjectives, lors g f est surjective. 3. si f et g sot ijectives, lors g f est ijective. Démostrtio. Motros 1. Soiet x, x E tels que (g f)(x) = (g f)(x ), motros que x = x. Puisque g(f(x)) = g(f(x )) et g est ijective, ous déduisos f(x) = f(x ). Puisque f est ijective, x = x. Aisi, g f est ijective. Motros 2. Soit z G, motros qu il existe x E tel que z = (g f)(x). Puisque g est surjective, il existe y F tel que z = g(y). Puisque y F et f est surjective, il existe x E tel que y = f(x). Aisi, z = g(y) = g(f(x)) = (g f)(x). L propriété 3 est l comiiso de 1 et 2. Lorsque f : E F est ijective, l pplictio réciproque (ou iverse) de f est l pplictio f 1 F E y x tel que f(x) = y. Propositio () f 1 1 = f, () f 1 f = I E, (c) f f 1 = I F. 1. Soit f : E F ue pplictio ijective, lors 2. Soit f : E F ue pplictio ijective, f 1 est ijective. 3. (uicité de l iverse) Soiet f : E F et g : F E telles que f g = I F et g f = I E, lors g = f (compositio des iverses) Soiet f : E F et g : F G ijectives, lors (g f) 1 = f 1 g 1. Démostrtio. Motros 1(). f 1 1 prt ie de E et rrive ds F. Soit x E, ous vos que f 1 1 (x) est l uique y F tel que f 1 (y) = x, c est-à-dire (pr l défiitio de l iverse) l uique y F tel que y = f(x). Mis f(x) vérifie cette propriété ce qui permet de coclure que f 1 1 (x) = f(x). Motros 1(). f 1 f prt de E et rrive ds E. Soit x E, f 1 (f(x)) est l uique z E tel que f(z) = f(x). Pr ijectivité, z = x et doc f 1 (f(x)) = x. Motros 1(c). Cette propriété est l propriété () ppliquée à f 1 F E.

22 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 21 Motros 2. Commeços pr l ijectivité. Soiet x, y F tels que f 1 (x) = f 1 (y). O lors f(f 1 (x)) = f(f 1 (y)). Or f f 1 = I F, doc cette églité équivut à x = y. Prouvos mitet l surjectivité. Soit y E, cherchos x F tel que f 1 (x) = y. Mis f 1 (f(y)) = y d près (), doc f(y) est u técédet de y. Motros 3. Sous les hypothèses que f g = I F et g f = I E, motros que f est ijective. Commeços pr l ijectivité. Soiet x, x E tels que f(x) = f(x ). Aisi x = g(f(x)) = g(f(x )) = x. Mitet, motros l surjectivité. Soit y F, ous vos f(g(y)) = y et doc g(y) est u técédet de y pr f et f est surjective. Il ous est doc possile de cosidérer f 1. Pr (), ous oteos I E f 1 = g f f 1 = g I F = g. Motros 4. Grâce à (), ous vos (f 1 g 1 ) (g f) = I F. Grâce à (c), ous e déduisos I F (g f) 1 = (f 1 g 1 ) ((g f) (g f) 1 ) = (g f) 1. R R Exemple : L iverse de f est f lui-même. x x R Exemple : L iverse de g + R + x x 2 est g 1 R + R + x x. Z Z Exemple : L iverse de h + 1 est Z Z h 1 1. Exemple : L iverse de i Q Q r 2r est i 1 Q Q r r/2. Exemple : Soit P(E) l esemle des prties de E. L foctio j est ijective d iverse elle-même. P(E) P(E) F F c Applictios croisstes, décroisstes et mootoes Défiitio Soiet (E, ) et (F, ) deux esemles ordoés. f : E F est dite croisste si x, x E, [x x f(x) f(x )]. strictemet croisste si elle est croisste et ijective. O défiit de même l otio de foctio décroisste, strictemet décroisste, mootoe (ou ie croisste, ou ie décroisste), strictemet mootoe. Propositio Soiet E, F, G trois esemles ordoés. 1. Si f : E F et g : E F sot mootoes de même ses, lors g f est croisste. 2. Si f et g sot mootoes de ses cotrires, lors g f est décroisste. L démostrtio est lissée pour l exercice 21. Exercice 20 (Foctios crctéristiques χ A ). Soiet E u esemle et A E. L foctio crctéristique de A est défiie pr χ A E {0, 1} 1 si x A x E 0 sio. 1. Motrer que deux esemles sot égux si et seulemet si ils ot l même foctio crctéristique. 2. Que peut-o dire sur A et B si χ A (x) χ B (x) pour tout x E?

23 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES Motrer que χ A B = χ A χ B, χ A c = 1 χ A et χ A B = χ A + χ B χ A χ B. 4. Motrer les formules de Morg e utilist les foctios crctéristiques. Exercice 21. Prouver l propositio Le ut de l exercice suivt est de motrer le célère théorème suivt. Théorème 1.23 (Théorème de Ctor). Soit E u esemle. Il existe ps de surjectio de E sur P(E). Exercice 22 (Théorème de Ctor). Supposos qu il existe ue surjectio s : E P(E). E cosidért l esemle A = {x E, x s(x)} E, motrer que ous outissos à ue cotrdictio. Exercice 23. Soit f ue pplictio ijective et mootoe, est ce que f 1 est mootoe? Exercice 24 (Théorème de Ctor-Schröder-Berstei). A Soiet E et F deux esemles. Supposos qu il existe ue ijectio f de E ds F, et ue ijectio g de F ds E. Nous désiros motrer qu il existe ue ijectio de E ds F. Défiissos h P(E) P(E) pr h(x) = E g(f f(x)) pour toute prtie X E. 1. Motrer que h est croisste pour l iclusio. 2. Cosidéros l esemle Y = X h(x) X. Soit x Y, motrer que pour tout X tel que X h(x), x h(x). E déduire que x h(y ) et doc que Y h(y ). 3. Motrer que pour tout X tel que X h(x), lors X Y. Motrer que h(y ) h(h(y )). E déduire que h(y ) Y. 4. Motrer que Y = E g(f f(y )). 5. Motrer que pour tout x Y, il existe y F tel que x = g(y). Il est isi possile de défiir l pplictio Φ 6. Vérifier que Φ est ijective. E F f(x) x l uique y tel que g(y) = x si x Y si x Y

24 Chpitre 2: Etiers turels et esemles fiis 2.1 Etiers turels Erst Zermelo (llemd ) Comme vu ds l exercice 3, les xiomes permettet de costruire des esemle de tille fiie quelcoque. Pr cotre, ils e permettet ps priori de costruire u esemle ifii. Aisi, l esemle N e peut ps être costruit à prtir des xiomes et il est écessire de postuler so existece. Nous itroduisos doc u ouvel xiome. Avec ce ouvel xiome, les xiomes formet le système de Zermelo-Frekel (à vri dire, ps tout à fit, mis presque). Axiome 5 (xiome de Peo) Il existe u uique triplet (0, N, S) tel que 1. N est u esemle u élémet de N. N N 3. L foctio S S() () S est ijective, () S(N) = N {0}, stisfit les propriétés suivtes (c) Pour tout A N, si [0 A et N, ( A S() A)] lors A = N. Arhm Frekel (llemd puis isrelie ) Il précise le système d xiomes de Zermelo e 1919 et motre l idépedce de l xiome du choix sous certies coditios. Ces trvux serot repris pr Cohe. L imge S() de est ppelé so successeur. L esemle N est ppelé esemle des etiers turels. L esemle N {0} est oté N. Nous utilisos l ottio 1 = S(0), 2 = S(1), etc. Nous oteros églemet S() = + 1. Posos m, = {m, m + 1,..., }. L propriété 3(c) est prfois ppelée xiome de récurrece. Elle mèe u théorème suivt. Théorème 2.1 (Pricipe de récurrece). Soit H ue ssertio dépedt de N. Si l ssertio H 0 et [ N, H H +1 ] est VRAIE lors H est VRAIE pour tout N. Giuseppe Peo (itlie ) Père de l logique mthémtique, il est ussi cou pour l coure de Peo, ue coure cotiue dot l imge est tout le crré de coté 1. 23

25 CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 24 Démostrtio. Soit A = { N, H est VRAIE}. Puisque H 0 est VRAIE, 0 pprtiet à A. De plus, si A, H est VRAIE. De plus, H H +1 est VRAIE. Cel implique que H +1 est VRAIE. Aisi S() A. L propriété (c) implique que A = N et H est doc VRAIE pour tout N. Noter que l récurrece est doc xiomtique. L ssertio H est ppelée hypothèse de récurrece. Prouver H 0 est ppelé ps iitil. L implictio H H +1 est ppelée ps de récurrece. Puisque FAUX implique FAUX est VRAI, le fit que H H +1 est VRAIE pour tout N e permet de coclure que H est VRAIE que si H 0 est VRAIE. Il est doc primordil de vérifier le ps iitil, même si celui-ci peut pritre évidet! Doos quelques exemples d pplictios. Le sige i I i est u rccourci sigifit que l o somme tous les élémets i, pour i I. Le sige i est ppelé l vrile d idice ou plus simplemet vrile. L exemple le plus clssique étt ie etedu I = {1,..., }, ie que l o somme sur les premiers termes. Il y quelques petites choses à remrquer sur cette ottio, qui fût itroduite pr Fourier e Exemple : = i {1,...,} i. Tout d ord, l vrile i est dite muette, ds le ses que l o peut sommer sur quelque chose d utre, tt que l o somme les mêmes ojects. Plus précisémet, si σ est ue ijectio de J ds I, o que Exemple : i {1,...,} i = i I j {0,..., 1} i = σ(j). j J j + 1 = k {2,4,6,8,...,2} Exemple : Ds le cs prticulier de I = {0,..., }, o ote i=0 i. O ppelle l opértio de chgemet l vrile muette u chgemet de vrile. De fço évidete, i I ( i + i ) = i I i + i. i I Ue utre méthode importte s ppelle l sommtio pr pquets. Imgios que I = k K I k, et que les I k sot disjoits, ous vos lors i = i I k K j. j I k Ceci est prticulièremet itéresst lorsque I = J K, ds ce cs, ous trouvos que J K = j J {j} K, et doc (j,k) J K j,k = j J (j,k) {j} K Nous prlos lors d ue doule somme. Exemple : Pr exemple, ous vos k 2. j,k = j,k. j J k K i,j = i,j. (i,j) {0,...,} 2 i=0 j=0

26 CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 25 Propositio 2.2. Soit 0, ( + 1) 1. k = k=0 k=0 k=0 k 2 = k 3 = ( ( + 1)(2 + 1). 6 2 ( + 1) ) (somme géométrique) pour 1, k=0 k = Nous lissos l preuve de ce résultt pour l exercice 26. Remrque 2.3. Le risoemet pr récurrece peut être géérlisé comme suit. Soit A N. Si N, [( k A 0,, H k ) H ] est vrie, lors H est vrie pour tout A. Cette géérlistio permet de cosidérer A = {m, m + 1,...} ou A = 2N pr exemple. Si o se plce à 0 = mi A lors l ssertio à motrer deviet H 0 et o e reviet ecore u fit qu il fut toujours iitiliser s récurrece. Ds l suite, u risoemet pr récurrece doit toujours être océ, et préseté comme suit : Nous motros cette propriété pr récurrece. Défiissos pour tout A, Motros H 0 : H = écrire votre hypothèse de récurrece Préseter l preuve de H 0 Soit N. Supposos l hypothèse de récurrece H, motros H +1 : Préseter l preuve de H H +1. Mitet que ous disposos des etiers et du risoemet pr récurrece, les opértios + et peuvet être défiies pr récurrece comme des pplictios + N N N et N N N. Nous etros ps ds les détils de cette costructio et lissos l preuve e exercices. Afi de rccourcir les ottios, o pose +(m, ) = m + et (m, ) = m = m = m. Soiet, m N, l ordre usuel sur N est défii comme suit m d N, m = + d. Démostrtio. Théorème 2.4. Toute prtie o vide de N dmet u plus petit élémet. Nous motros ce résultt pr récurrece. Défiissos pour tout N, H : tout esemle A N cotet u etier k dmet u plus petit élémet. Motros H 0. Si 0 A, lors 0 est le plus petit élémet de A, puisque 0 est plus petit que importe quel etier. Pierre de Fermt (frçis -1665) juriste, mthémticie et mécèe. Célère pour le pricipe de Fermt e optique, isi que pr des questios lissées e susped. L plus coue est le théorème de Fermt, qui

27 CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 26 Soit N, supposos H et motros H +1. Soit A u esemle cotet k +1. Si k, lors e ivoqut H, ous oteos que A dmet u plus petit élémet. S il existe ps de k ds A, lors cel sigifie que + 1 A et que m A, m + 1. Aisi, + 1 est le plus petit élémet de A. Nous veos de motrer H +1. Corollire 2.5 (Pricipe de descete ifiie). Toute suite décroisste d etiers turels est sttioire. Démostrtio. Soit (u ) N ue suite décroisste d etiers turels. L esemle A = {u, N} dmet u plus petit élémet, qui est écessiremet de l forme u N pour u certi N N. Alors pour tout N, u u N cr (u ) N est décroisste. Mis puisque u N est le plus petit élémet de A, ous vos églemet u u N pour tout N. E prticulier, u = u N pour tout N et l suite est ie sttioire. O dit souvet qu il existe ps de suite strictemet décroisste d etiers turels, c est le pricipe de descete ifiie de Fermt. Ce pricipe fut utilisé fréquemmet e rithmétique, pr exemple pr Fermt et Euler. Il peut souvet être remplcé pr u utre type de risoemet et ous isisteros doc ps dessus. Fiissos cette prtie pr u utre exemple fodmetl d pplictio du pricipe de récurrece. Théorème 2.6 (Divisio Euclidiee). Soiet N et N, lors il existe u uique couple (q, r) N 2 vérifit = q + r vec 0 r <. Démostrtio. Commeços pr l uicité. Soiet (q, r) et (q, r ) tels que = q + r = q + r et supposos ss perte de géérlité que r r. Ceci implique 0 (q q ) = r r 1. Aisi, q = q écessiremet (sio (q q ) ) et doc r = r. Motros mitet l existece. Soit N. Nous procédos pr récurrece. Soit N, défiissos H : pour tout, il existe (q, r) N 2 tel que = q + r et 0 r <. Motros H 1. Ds ce cs, o pose q = 0 et r =. Soit 1. Supposos H et motros H +1. Soit + 1. Si, il suffit d utiliser H. Si = + 1, cosidéros 0. L hypothèse de récurrece implique l existece de q 1 et 0 r 1 < tels que = q 1 + r 1. O otiet lors = (q 1 + 1) + r 1. L preuve peut être coclue e post q = q et r = r 1. Ss retrer ds les détils, les etiers reltifs Z peuvet être défiis à prtir de N e ssocit à N so opposé pour +. Exercice 25. Motros que le plus grd etier turel strictemet positif est 1. E effet, soit le plus grd etier positif. Comme 1, ous trouvos 2. Mis puisque est le plus grd etier turel, 2 de sorte que 2 = et doc = 1 (puisque 0). Doc 1 est le plus grd etier turel strictemet positif. Où est l fute de risoemet? Exercice 26. Motrer pr récurrece que ( + 1) 1. k = pour tout 0. k= k 2 ( + 1)(2 + 1) = pour tout 0. k= k=0 k 3 = ( 2 ( + 1) ) pour tout 0. 2 k = (1 +1 )/(1 ) pour tout 1 et 0. k=0

28 CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 27 Le sige i I i est u rccourci sigifit que l o somme tous les élémets i, pour i I. De plus, sigifie k {0,...,}, o somme doc tous les élémets idexés pr k etre 0 et. k=0 Exercice 27. Motrer pr récurrece que est toujours divisile pr 7. Exercice Motrer que pour tout 0, < Soit (u ) 0 ue suite d etiers strictemet croisste, motrer que u pour tout N. 2.2 Esemles fiis et otio de crdil Le ut de cette sectio est de pouvoir "comprer" des esemles, otmmet leur tille. Défiitio 2.7. Soiet E et F deux esemles. Les esemles E et F sot équipotets s il existe ue ijectio f : E F. Deux esemles équipotets sot cosidérés comme étt de l même tille. Nturellemet, u esemle E est "plus petit" que F s il existe ue ijectio de E ds F. Si E est plus petit que F, et F est plus petit que E, ous imerios dire que E et F ot l même tille. Ce résultt est doé pr le théorème suivt. Théorème 2.8 (Ctor-Schröder-Berstei). Soiet E et F deux esemles, s il existe ue ijectio de E ds F et ue ijectio de F ds E, lors E et F sot équipotets. L preuve de ce théorème été proposée ds l exercice 24. Nous l dmettos ds ce cours. L esemle de référece pour compter est l esemle 1, pour N. Remrquos tout d ord que Propositio 2.9. Soiet m, N. 1. S il existe ue ijectio de E ds 1,, lors pour tout E, il existe ue ijectio de E {} ds 1, Il existe ue ijectio de 1, m ds 1, m. 3. Il existe ue surjectio de 1, m sur 1, m. 4. Il existe ue ijectio de 1, m sur 1, m =. Démostrtio. Motros 1. O peut s ispirer du dessi suivt. Georg Ctor (llemd ) Père de l théorie des esemles. Défiit les crdiux et ordiux, et formule l hypothèse du cotiu. Ses trvux, dot l dimesio dépsse les mthémtiques, e furet ps cceuillis uimemet pr les mthémticies de so époque, e prticulier Kroecker. S preuve du théorème d équipotece coteit ue lcue, tout comme celle de Schröder. Berstei fourit ue preuve complète ds s thèse. f g E f() f() {1,..., } {1,..., }

29 CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 28 Soiet E u esemle et f E 1,. Soit E. Noter que f() 1,. Costruisos l ijectio de g 1, 1, telle que g(f()) =, g() = f() et g(k) = k pour tous les utres élémets de 1, (cette ijectio iverse f() et ). L foctio g f est lors ue ijectio de E ds 1,. De plus, g f() =. Aisi, g f(e {}) = 1, 1. De plus, cette foctio est ijective. Aisi, l restrictio de g f à E {} est ue ijectio de E {} ds 1, 1. Motros 2. Motros l implictio iverse e premier. Si m, cosidérer simplemet l foctio I 1, m 1, telle que I(k) = k. Cette foctio est cliremet ijective. Motros mitet l implictio directe. O risoe pr récurrece sur m N. Soit m N, défiissos H m : Pour tout N, s il existe ue ijectio de 1, m ds 1,, lors m. L ssertio H 1 est cliremet VRAIE puisque 1 pour tout N. Soit m N. Supposos H m et motros H m+1. Soit f 1, m + 1 1, ue pplictio ijective. Tritos deux cs. Si f( 1, m + 1 ), lors f( 1, m ) 1, 1. E prticulier, l hypothèse de récurrece implique que m 1, qui implique m + 1. Si f( 1, m + 1 ), otos k 1, m + 1 l técédet de (c est-à-dire l etier k tel que f(k) = ). Notez que cet técédet est uique. D près l propriété 1, il existe ue ijectio g 1, m + 1 {k} 1, m. L foctio f g 1 1, m 1, 1 est doc ijective. L hypothèse de récurrece implique que m 1, ce qui peut être réécrit m + 1. Motros 3. Comme pour 2, l implictio réciproque est fcile. Si m, o peut simplemet cosidérer l foctio i 1, m 1, telle que i(k) = k pour k et i(k) = pour k >. Motros mitet l implictio directe. Risoos pr récurrece sur N. Soit N, défiissos H : Pour tout m N, s il existe ue surjectio de 1, m ds 1,, lors m. Motros H 1. Comme f 1, m 1, 1 est surjective, ous vos u mois u técédet de 1 pr f, et doc m 1. Soit N. Supposos H et motros H +1. Soit f 1, m 1, + 1 ue pplictio surjective. Puisque f est surjective, il existe l 1, m tel que f(l) = + 1. Si g 1, m 1 1, m {l} est ue ijectio (dot l existece est doée pr 1), f g est ue pplictio surjective de 1, m 1 ds 1,. Dès lors, m 1 pr hypothèse de récurrece, et doc e prticulier m + 1. L propriété 4 est ue coséquece fcile des propriétés 2 et 3. Défiitio Soit E u esemle. L esemle E est fii si E = ou s il existe N tel que E est e ijectio vec 1,. Ds ce cs, N est ppelé le crdil de E, et est oté Crd(E). Pr covetio, Crd( ) = 0. Si E est ps fii, E est dit ifii. Noter que l défiitio de Crd(E) écessite l uicité de, qui est doée pr les propriétés 2 et 3. Remrquez églemet que si E et F sot e ijectios, ils ot le même crdil. E effet, si g E 1, et f F E sot des ijectios, lors g f est ue ijectio de F ds 1,. L otio de crdil est très utile : elle permet d effectuer des risoemets pr récurrece sur le crdil des esemles.

30 CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 29 L otio d esemle fii est stle pr sous-esemle et pr imge. Propositio Soit E u esemle fii. 1. Soit f : E F ijective, lors F est fii et Crd(E) = Crd(F ). 2. Soit A E, lors A est fii et Crd(A) Crd(E). De plus Crd(A) = Crd(E) A = E. 3. Soit f : E F, où F est quelcoque, lors f(e) est fii. De plus, Crd(f(E)) Crd(E) vec églité si et seulemet si f est ijective. Démostrtio. Motros 1. Notos le crdil de E. Soit g E 1, ue ijectio. L foctio g f 1 est ue ijectio de F ds 1,, ce qui implique que F est fii et que = Crd(F ). Motros 2. Supposos tout d ord que E = 1, et motros le résultt pr récurrece sur. Soit H :"Pour tout esemle A 1,, A est fii et Crd(A)." Motros H 1. Si A {1}, ou ie A = ou A = {1}. Aisi, A est fii et Crd(A) 1. Soit 1, supposos H et motros H +1. Si A est iclus ds 1,, o otiet pr l hypothèse de récurrece que A est fii et Crd(A) + 1. L preuve est fii ds ce cs. O peut doc supposer que + 1 A. O otiet pr l hypothèse de récurrece que A {+1} 1, et doc A {+1} est fii de crdil iférieur à. Soit f ue ijectio de A { + 1} ds 1, Crd(A { + 1}). O costruit fcilemet ue ijectio de A ds 1, Crd(A { + 1}) + 1 e post f A 1, Crd(A { + 1}) + 1 f(k) si k ds A k Crd(A { + 1}) + 1 si k = + 1 Il est fcile de vérifier que f est ue ijectio. Ceci implique que A est fii de crdil Crd(A { + 1}) Mitet, soit A E. L esemle E est e ijectio vec 1, Crd(E). Soit f cette ijectio. L esemle f(a) est u sous-esemle de E, il est doc fii de crdil iférieur à Crd(E). Mis f A A f(a) est ijective. E effet, elle est surjective puisque f A (A) = f(a), et elle est ijective cr f A (x) = f A (x ) implique f(x) = f(x ) ce qui implique à so tour que x = x puisque f est ijective. O peut lors utiliser l propriété 1 pour coclure. Motros 3. Costruisos ue ijectio g etre f(e) et u sous-esemle de F. Procédos comme suit. Soit y f(e). Puisque y f(e), il existe x E tel que f(x) = y, que ous posos comme étt égl à g(y) (= x). Ceci défiit ue foctio g f(e) g(f(e)). Cette foctio est ijective. E effet, si g(y) = g(y ), lors y = f(g(y)) = f(g(y )) = y. De plus, elle est surjective puisqu rrivt ds g(f(e)). Noter que g(f(e)) E est fii de crdil iférieur ou égl à celui de E. Pr l propriété 2, f(e) est fii de crdil iférieur à celui de E. Supposos mitet que f est ijective, lors f E f(e) est ijective et doc Crd(f(E)) = Crd(E). Réciproquemet, si Crd(f(E)) = Crd(E). Nous svos que Crd(g(f(E)) = Crd(f(E)) = Crd(E) et doc pr l propriété 1, g(f(e)) = E. L foctio g est doc ijective et surjective, i.e. ijective. Aisi, f = g 1 est églemet ijective, et doc e prticulier ijective. Pul Erdös (hogrois ) Mthémticie le plus prolifique de tous les temps vec plus de 1600 rticles. Il est le père de l méthode proiliste e comitoires. Il prouv le théorème des omres premiers (i.e. que π() / log, où π() est le omre d etiers premiers iférieurs à, et sigifie équivlet, comme défii ds le derier chpitre du cours) de fço

31 CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 30 Le pricipe de démostrtio suivt est très utile. Il est ppelé pricipe des tiroirs. Corollire 2.12 (Pricipe des tiroirs). Soiet E et F deux esemles fiis et f : E F. Si Crd(F ) < Crd(E), lors f est ps ijective. Le om de ce pricipe viet du risoemet suivt. Si l o met + 1 chussettes ds tiroirs, u mois u tiroir cotiedr u mois deux chussettes. Démostrtio. Cel suit du fit que f ijective implique que Crd(f(E)) = Crd(E). Cocluos cette prtie pr ue utre pplictio que ous utiliseros très fréquemmet. Corollire Soiet E et F deux esemles fiis et f : E F. Supposos que Crd(E) = Crd(F ), lors les trois propositios suivtes sot équivletes : (i) f est ijective. (ii) f est surjective. (iii) f est ijective. Aisi, lorsque E est u esemle fii et f est ue pplictio de E ds E, il reviet u même de dire que f est surjective, ijective ou ijective. L preuve suivte cotiet ue stuce importte. Afi de motrer que trois ssertios sot équivletes, il suffit de motrer certies implictios. Pr exemple, ous motros que (i) implique (iii), que (iii) implique (ii) et que (ii) implique (i). Toutes les propriétés sot lors équivletes cr pr exemple (i) (iii) (ii). Démostrtio. Motros (i) implique (iii). L foctio f E f(e) est ijective et surjective (pr défiitio de f(e)). Elle est doc ijective, ce qui implique Crd(E) = Crd(f(E)). Puisque f(e) F et Crd(f(E)) = Crd(E) = Crd(F ), l propriété 1 de l propositio 2.11 ous doe que f(e) = F. Aisi, f E F est ijective. Le fit que (iii) implique (ii) est trivil puisque toute pplictio ijective est surjective. Motros que (ii) implique (i). Soit f E F ue pplictio surjective. Puisque f(e) = F, ous trouvos Crd(f(E)) = Crd(F ) = Crd(E). L propriété 3 de l propositio 2.11 implique que f est ijective. Exercice 29. Motrer qu u esemle fii totlemet ordoé dmet u plus grd et u plus petit élémet. Exercice 30. (extesio du pricipe des tiroirs) E utilist ue preuve pr cotrposée ou ue preuve pr récurrece, motrer que pour tout k 1 et 1, si k + 1 oules doivet être rgées ds tiroirs, il existe u mois u tiroir qui cotiet u mois k + 1 oules. Exercice 31. Cet exercice trite de quelques pplictios du pricipe des tiroirs (l difficulté ds l utilistio du pricipe des tiroirs est de trouver les os tiroirs). 1. U crâe humi cotiet u plus cheveux. Prmi les 12 millios de prisies, comie de persoes u miimum ot le même omre de cheveux. 2. Motrer que prmi 7 persoes il y e u mois 4 de même sexe. 3. Motrer que chque mti ds l clsse, il y deux élèves qui serret le même omre de mis.

32 CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS Soit A ue prtie de 1, 2 de crdil + 1. Motrer qu il existe, ds A premiers etre eux Motrer qu il existe deux etiers disticts et ds A tels que divise. Ces deux exercices sot dûs u mthémticie Pul Erdös qui imit les poser ux jeues mthémticies. Pour voir des idictios (ces deux questios sot difficiles, spécilemet l deuxième!), il vous fudr ttedre le déut du cours mercredi prochi, le professeur vous les doer. D ici là, à vous de jouer. 2.3 Alyse comitoire sur les esemles fiis Le ut de l lyse comitoire est de clculer le crdil d esemles turels. Le pricipe est de mettre e ijectio les esemles dot o désire clculer l tille vec des esemles simples. Théorème Soiet E et F deux esemles fiis. 1. Si E et F sot disjoits, lors E F est fii et Crd(E F ) = Crd(E)+Crd(F ). 2. Si E F, lors Crd(F E) = Crd(F ) Crd(E). 3. E F est fii et Crd(E F ) = Crd(E) + Crd(F ) Crd(E F ). 4. E F est fii et Crd(E F ) = Crd(E) Crd(F ). 5. F E est fii et Crd(F E ) = Crd(F ) Crd(E). Démostrtio. Motros 1. Notos m = Crd(E) et = Crd(F ). Commeços pr motrer que si E et F sot disjoits, lors Crd(E F ) = m +. Pour cel, oservos que si f E 1, et g F 1, m sot ijectives, lors est ijective. h E F 1, m + x f(x) si x E et g(x) + si x F Motros 2. Les esemles E et F E étt disjoits, Crd(F E) + Crd(E) = Crd(F ) d où Crd(F E) = Crd(F ) Crd(E). Motros 3. Les esemles E F, E (E F ) et F (E F ) sot disjoits et d uio E. D où Crd(E) = Crd(E F ) + Crd(E F ) + Crd(F E) = Crd(E F ) + Crd(E) Crd(E F ) + Crd(F ) Crd(E F ) = Crd(E) + Crd(F ) Crd(E F ). Les propriétés 4 et 5 sot lissées e exercice (exercice 32). O e déduit u priciple clssique de déomremet. Corollire 2.15 (Pricipe des ergers). Soit E u esemle fii, 1. Soit (E i ) i I ue prtitio de E, lors Crd(E) = Crd(E i ). i I 2. Soit f : E F, lors Crd(E) = Crd (f 1 ({y})). y F Blise Pscl (frçis ) mthémticie, physicie, théologiste, écrivi. Ses trvux les plus importts coceret les proilités et l otio de pressio, dot l uité de mesure possède so om. Il ivet l mchie à clculer (ppelée Psclie).

33 CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 32 Démostrtio. Motros l propriété 1. Le fit que les (E i ) formet ue prtitio sigifie qu ils sot disjoits et que E i = E. Les E i étt disjoits, ous oteos i I Crd(E) = Crd ( i I E i ) = Crd(E i ). i I L propriété 2 suit de l propriété 1 et du fit que (f 1 (y)) y F est ue prtitio. Motros ce derier poit. Tout d ord, pour tout y F, f 1 ({y}) E pr défiitio ce qui implique que f 1 ({y}) E. y F De plus, x E pprtiet à f 1 ({f(x)}) et doc E f 1 ({y}). y F Nous vos doc que (f 1 ({y})) y F est u recouvremet. Motros que les f 1 ({y}) sot disjoits deux à deux. Supposos que f 1 ({y}) f 1 ({y }). Ds ce cs, preos x ds l itersectio, ous oteos que f(x) = y (cr x f 1 ({y})) et f(x) = y (cr x f 1 ({y })). Ceci implique y = y. Aisi, l cotrposée de ce que l o viet de motrer doe y y implique f 1 ({y}) f 1 ({y }) = et l preuve est termiée. Doos mitet des exemples e clcult le crdil de certis esemles clssiques. O ppelle permuttio d u esemle E toute pplictio f : E E ijective. L esemle des permuttios de E est oté S (E). L fctorielle est défiie pour tout N pr l formule! ot. = ( 1) 2 1 et 0! = 1. Pour 0 p, défiit le symole p prmi (églemet ppelé coefficiet iomil) pr ( p ) ot. =! p!( p)!. Propositio Soiet E, F deux esemles fiis vec Crd(E) =. Soit p N. 1. Crd(P(E)) = Soit p. Le omre de p-uplets (x 1,..., x p ) E p tels que les x i sot tous disticts est doé pr! ( 1) ( p + 1) = ( p)!. 3. Crd(S (E)) =! 4. Le omre de sous-esemles à p élémets de E est doé pr ( 1) ( p + 1) p(p 1) 2 1 Démostrtio. Motros 1. L pplictio Φ (voir exercice 20). Aisi, = ( p ). Crd(P(E)) = Crd({0, 1} E ) = 2 Crd(E). P(E) {0, 1} E F χ F est ijective Motros 2. Nous prouvos ce résultt pr récurrece sur p. Défiissos H p Pour tout p, le omre de p-uplets (x 1,..., x p ) E p tels que les x i sot disticts est doé pr ( 1) ( p + 1) =! p!. L ssertio H 1 est évidete puisque ous vos choix pour x 1.

34 CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 33 Soit p 1. Supposos H p et motros H p+1. Soit p + 1. Les (p + 1)-uplets (x 1,..., x p+1 ) vec les x i tous disticts sot composés d u p-uplet (x 1,..., x p ) où les x i sot tous disticts, et d u élémet x p+1 E {x 1,..., x p }. Aisi, ous vos ( 1) ( p + 1) choix pour le p-uplets, et p pour le derier élémet. Le crdil recherché est doc ( 1) ( p). Motros 3. Les ijectios de E ds E sot e ijectio vec les -uplets d élémets disticts (exercice : expliciter l ijectio). Aisi, e ppliqut l formule précédete à p =, ous oteos le résultt. Motros 4. Soit p. Tout d ord, il existe ue ijectio etre les prties à p élémets de E et celles à p élémets de {1,..., }. Nous llos doc éumérer ces deriers. Notos A p, l esemle des p-uplets ordoés de {1,..., }. Notos P p, l esemles des prties à p élémets de {1,..., }. Pour chque prtie F à p élémets, o déote les élémets ds F pr x i1,..., x ip où i 1 < i 2 < < i p. L pplictio Ψ P p, S ({1,..., p}) A p, ({x i1,..., x ip }, σ) (x iσ(1),..., x iσ(p) ) est ue ijectio. Puisque Crd(S ({1,..., p}) = p! et Crd(A p, ), ous e déduisos! que Crd(P p, ) p! = ce qui doe le résultt imméditemet. ( p)! Décrivos mitet quelques propriétés du symole ( p ). Propositio Soit 0 p N, ous vos 1. ( p ) = ( p ) 2. Si 1 et p 1 lors p( p ) = ( 1 p 1 ). 3. (formule de Pscl) Soit p <, ( +1 p+1 ) = ( p ) + ( p+1 ) 4. (formule du iôme de Newto) pour tout, R, ( + ) = ( k )k k. Nous proposos deux preuves de 1, 3 et 4 : l ue pr le clcul, l utre pr u rgumet comitoire. Cette derière propriété peut être utile fi de se souveir des formules, et pour proposer des preuves rpides de résultts plus complexes. Démostrtio. Prouvos 1. Soit p. Nous vos ( p ) =! p!( p)! =! ( p)!( ( p))! = ( p ). U utre preuve cosiste à voir que ( ) est le omre de prties de crdil p ds. p Mis choisir ue prtie de reviet à choisir so complémetire (o otiet l même iformtio). Aisi, le omre de prties de crdil p est e fit égl u omre de prties de crdil p, et l églité suit. Prouvos 2. Soiet 1 p, ous trouvos p( p ) =! (p 1)!( p)! = ( 1)! (p 1)!( 1 (p 1))! = ( 1 p 1 ). Prouvos 3. Soit p <, ( p ) + ( p + 1 ) =! p!( p)! +! (p + 1)!( p 1)! = ( + 1)! (p + 1)!( + 1 (p + 1))! = ( + 1 p + 1 ). k=0 =!(p + 1) +!( p) (p + 1)!( p)!

35 CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 34 Il est souvet plus fcile de prtir de l expressio l plus complexe pour se rmeer à l expressio l plus simple. Cel viet du fit qu il est plus simple de fctoriser que de développer (ds ce derier cs, o est souvet meé à devier les termes à jouter). Proposos ue utre preuve. Remrquer que ( +1 ) est le omre de prties à p + 1 p+1 élémets de E. Choisissos E. Ue prtie à p + 1 élémets de E peut être de deux types : ou ie elle cotiet, et ds ce cs là, elle correspod à ue prtie à p élémets de E {}, qui élémets. Ou ie elle e cotiet ps. Ds ce cs, elle correspod à ue prtie à p + 1 élémets de E {}. Aisi, ( + 1 p + 1 ) = ( p ) + ( p + 1 ), le premier terme du memre de droite comptt le omre de prties du premier type, et le secod celles du secod type. Motros 4 pr récurrece. Soit N, défiissos H : Pour tout, R, ( + ) = ( k )k k. Pour = 0, le résultt est clir cr ( + ) 0 = 1 = ( 0 0 )0 0. Supposos H vrie et motros H +1. Nous vos ( + ) +1 = ( + )( + ) = ( + )( ( k )k k ) k=0 k=0 = ( k )k+1 k + ( k )k +1 k k=0 k=0 = ( k )k+1 +1 (k+1) + ( k )k +1 k k=0 k=0 = ( k )k+1 +1 (k+1) + ( k )k +1 k k=0 Ds l deuxième églité, ous vos utilisé H. Mitet, posos l pplictio ijective de {0,..., } ds {1,..., + 1} qui à k ssocie k = k + 1. E remplct k + 1 pr k ds l première somme, ous trouvos ( + ) +1 = +1 k =1 +1 = k=1 +1 = k=1 +1 = k=0 ( k 1 )k k=0 +1 k + ( k )k +1 k k=0 (( k 1 ) + ( k ))k +1 k + ( 0 )0 +1 ( + 1 k )k +1 k + ( )0 +1 ( + 1 k )k +1 k. Ds l troisième églité, ous vos utilisé l formule de Pscl et le fit que ( 0 ) = ( +1 0 ) = 1.

36 CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 35 L preuve précédete cotiet u rgumet clssique, mis très importt. Le chgemet d idices k k = k + 1 ds l somme est justifié comme ceci. Le sige i est u rccourci permettt d ffirmer que l o somme tous les i I élémets i, pour i I. Si l o se doe ue ijectio ϕ J I, lors j J ϕ(j) sigifie l somme de tous les élémets ϕ(j), pour j J. Mis ces élémets sot exctemet les i pour i I. O viet de fire u chgemet de vrile ds l somme. Nous recotreros de omreuses istces de ce pricipe. À chque fois, il est possile de l écrire comme suit : posos l ijectio ϕ J I, lors i I i = ϕ(j). j J L formule du iôme remote e fit à Pscl (1654). L preuve origile utilise le trigle de Pscl, qui est costruit comme suit ( 0 0 ) ( 1 0 ) (1 1 ) ( 2 0 ) (2 1 ) (2 2 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( p ) ( ) ( +1 0 ) (+1 1 ) (+1 2 ) (+1 p ) (+1 ) (+1 +1 ) Nous oteos doc Exercice 32. Soiet E et F deux esemles fiis. 1. Motrer que Crd(E F ) = Crd(E) Crd(F ) pr récurrece sur Crd(F ) 1. O pourr prouver puis utiliser le fit que pour tout E, E F et l uio de (E {}) F et F sot e ijectio. 2. Motrer que Crd(E F ) = Crd(E) Crd(F ) pr récurrece sur Crd(F ) 1. O pourr prouver puis utiliser le fit que pour tout F, E F et E F {} E sot e ijectio. Exercice 33. Soiet E et F deux esemles tels que Crd(E) = p et Crd(F ) =. Motrer que le omre d ijectios de E ds F est doé pr! ( 1) ( p + 1) = si p, ( p)! 0 si p >. Exercice 34 (Formule du Crile). A Soiet I = {1,..., } u esemle fii et (A i ) i I ue fmille de prties d u esemle fii. Motrer pr récurrece sur que Crd ( A i ) = i I ( 1) 1+Crd(J) Crd ( A i ). J I vec J i J Avec de l hitude, ous effectueros les chgemets de somme ss les justifier. Alexdre- Théophile Vdermode ( ) Il est ussi à l origie du détermit de Vdermode, que vous recotrerez souvet e lgère. Pul Cohe (mérici ) Il ivet l méthode du forcig e logique et l utilis cojoitemet vec les trvux de Frekel fi de motrer l idépedce de l xiome du choix et de l hypothèse du cotiu.

37 CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 36 Exercice 35 (Formule de Vdermode). Motrer e utilist ue récurrece sur q (trouver quelle est l oe hypothèse de récurrece) puis e utilist ue méthode pr ijectio que pour tout, p, q N tels que p + q, ( p k )( q k ) = (p + q ). k=0 Teter de fire ue récurrece sur. Est-ce plus difficile? Exercice 36. Soit Quel est le omre de couples (x, y) Z 2 tels que mx( x, y )? 2. Quel est le omre de couples (x, y) Z 2 tels que mx( x, y ) =? 3. Quel est le omre de couples (x, y) Z 2 tels que x + y? Exercice 37. Soit 2, posos E = {1, 2,... }. Comie existe-il de couples (x, y) E E tels que 1. x + y =? 2. x y? 3. x < y? Exercice 38. A Ue prtitio de e p etiers est u p-uplet ( 1,..., p) tel que p = (o rppelle que l ordre est importt ds u p-uplet). Motrer que le omre de prtitios de e p etiers vut ( +p ) (idictio : o pourr peser à l imge de p feuilles oires isérées etre oules p lches ligées). 2.4 Esemles ifiis Afi de mipuler efficcemet les esemles ifiis, ous vos mitet esoi d u ouvel et derier xiome. Celui-ci ffirme qu il est possile de choisir u élémet ds chque esemle d ue fmille quelcoque d esemle. Axiome 6 (xiome du choix) Soit (E i ) i I ue fmille d esemles o-vides, lors il existe ue fmille d élémets (x i ) i I telle que x i E i pour tout i I. E 1963, Cohe prouv que cet xiome est idépedt des xiomes présetés précédemmet. Certies persoes refuset l utilistio de cet xiome, qui est ps écessiremet ituitif (il implique certies propriétés ppelées prdoxes). Aisi, l xiome du choix illustre à merveille l ritrire du choix des xiomes. Pr exemple, les xiomes d Euclide, lorsque modifiés, mèet ux géométries hyperolique et sphérique. De même qu ue modifictio des xiomes d Euclide crée d utres géométries, différets xiomes de l théorie des esemles mèeriet à "différetes mthémtiques", ds lesquelles certis théorèmes vris ds otre cotexte pourriet deveir fux. Pour plus de détils, o pourr se reporter à l ouvrge "Le Vri, le Fux et l icerti" (Tgete hors série 15).

38 CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 37 L otio d équipotece est tout à fit vlle ds le cs des esemles ifiis. Deux esemles ifiis ot lors le même crdil s ils sot équipotets. Défiitio Soit E u esemle, E est déomrle s il existe ue surjectio de N ds E. Ds le cs cotrire, il est idéomrle. Aisi, E est déomrle si E est fii ou e ijectio vec N. De fço clire, toute prtie de N est déomrle. E utilist les propriétés des sectios précédetes, E est déomrle si et seulemet si il existe ue ijectio de E ds N. De plus, il est possile de motrer que tout esemle ifii cotiet u sous-esemle ifii déomrle (voir l exercice 40). D u certi poit de vue, les esemles ifiis déomrles sot les plus petits esemles ifiis. Propositio N 2 est déomrle. 2. Soiet E et F deux esemles déomrles, lors E F est déomrle. 3. Ue réuio déomrle d esemles déomrles est déomrle. Remrquer que l propriété 1 ffirme qu il y ps plus d élémets ds N 2 que ds N. Démostrtio. Motros 1. Nous llos costruire ue ijectio de N 2 ds N. Posos f N 2 N (m, ) (m + )(m + + 1) + m 2 Il est possile d iterpréter l iverse de cette ijectio comme ue idextio de N 2 (voir sur l figure suivte) : L foctio f est lors cliremet ijective (cel peut églemet être vérifié pr le clcul). Motros 2. Soiet f N E et g N F surjectives. Défiir h N N E F pr h(m, ) = (f(m), g()). Motros que h est surjective. Soit (x, y) E F. Puisque f est surjective, il existe m N tel que f(m) = x. De même, il existe N tel que f() = y. Nous e déduisos que h(m, ) = (x, y). Aisi, h est surjective et E F est déomrle.

39 CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 38 Motros 3. Soit E = i I E i ue réuio déomrle d esemles déomrles. Pr défiitio, pour tout i I, E i est déomrle doc il existe ue surjectio f i N E i. Défiissos F N I E pr F (, i) = f i (). Mitet, soit y E, il existe i tel que y E i, et doc N tel que F (, i) = f i () = y. Aisi, l foctio F est surjective. Puisque N I est déomrle, il existe ue surjectio G N N I. Alors, F G ous fourit u exemple de surjectio de N ds E. Ceci implique l déomrilité de E. Théorème 2.20 (Ctor, 1874). L esemle R est ps déomrle. Démostrtio. Nous présetos l rgumet de l digole de Ctor. C est u risoemet pr l surde. Supposos qu il existe ue ijectio f etre N et R. Écrivos chque réel f() e se 10 et itéressos ous ux chiffres près l virgule. Notos f 1 () le premier chiffre près l virgule, f 2 () le deuxième, ec... Notre ut est de costruire u omre réel qui est ps ds l imge de f, ce qui représeter ue cotrdictio puisque f est supposée ijective doc e prticulier surjective. Défiissos le réel x etre 0 et 1 dot le k-ième chiffre près l virgule est u chiffre x k choisis etre 0 et 8 et différet du k-ième chiffre près l virgule de f(k). Motros que x pprtiet ps à l imge de f. E effet, si x = f() pour u certi, o lors que le -ième chiffre près l virgule de x et de f() sot à l fois différets et égux, ce qui est surde. Ce risoemet très simple coclut l preuve. Expliquos rpidemet pourquoi ous vos choisi de e jmis predre 9 comme chiffre près l virgule pour x. E effet, cel viet du fit que = 1, Aisi, deux réels peuvet être égux ss que tous leurs chiffres près l virgule e le soiet (ie etedu, cel est vri que lorsque ous vos ue suite ifiie de 9). Vous discuterez le développemet déciml et ses sutilités plus trd ds votre cursus. L rgumet est ppelé rgumet de l digole de Ctor pour l riso suivte. Écrivos les décimles de f(1), f(2), etc ds u tleu :..., f 1 (1)f 2 (1)f 3 (1)... f k (1)......, f 1 (2)f 2 (2)f 3 (2)... f k (2)......, f 1 (3)f 2 (3)f 3 (3)... f k (3)......, f 1 (3)f 2 (3)f 3 (3)... f k (k)... O choisit lors x de telle sorte que x k est différet de f k (k) pour tout k, c est à dire qu il e correspod ps ux élémets de l digole. Ce théorème tiet ue plce prticulière ds l théorie mthémtique. Il relç l théorie des esemles décrite ds le chpitre précédet. Nous lissos l preuve de ce théorème e exercice 41. Pour l culture, metioos deux choses. Premièremet, le théorème 1.23 motre qu il y ps d esemle le plus gros. Deuxièmemet, l questio de l existece d u esemle de crdil strictemet "etre" les crdiux de N et R été cetrle ds les mthémtiques du vigtième siècle. Cohe motr filemet que l hypothèse du cotiu (c est à dire le postult qu il existe ps de crdiux itermédiires etre N

40 CHAPITRE 2. ENTIERS NATURELS ET ENSEMBLES FINIS 39 et R) est idépedt des xiomes de Zermelo-Frekel : il est impossile de motrer si l hypothèse est vrie ou fusse e utilist seulemet ces xiomes. Exercice 39. Motrer e justifit soigeusemet que N et 2N sot équipotets. Il y doc utt de omres etiers que de omres pirs. Exercice 40. Motrer que tout esemle ifii cotiet u sous-esemle ifii déomrle (utiliser l xiome du choix). Exercice 41 (R est ps déomrle). 1. Motrer que P(N) est ps déomrle. 2. AA E utilist le développemet e se 2 d u omre réel, motrer qu il existe ue ijectio de {0, 1} N ds [0, 1]. E utilist l ijectio etre les prties de N et les foctios crctéristiques, motrer qu il existe ue ijectio de P(N) ds [0, 1]. 3. E déduire que R est idéomrle. Exercice 42. Soit E u esemle, motrer que les trois propositios suivtes sot équivletes : (i) E est ifii. (ii) N s ijecte ds E. (iii) Il existe ue suite d élémets deux à deux disticts de E. (idictio : o pourr procéder e motrt (i) (ii), (ii) (iii), (iii) (i). Pour motrer (i) (ii), o pourr costruire l foctio pr récurrece.)

41 Chpitre 3: Les omres rtioels et réels 3.1 L esemle des omres rtioels L esemle Z le gros défut suivt : seuls = 1 et = 1 dmettet u iverse, c est-à-dire u élémet m Z tel que m = 1. Nous remédios à ce prolème e itroduist l esemle des omres rtioels. Défiitio 3.1. Il existe u esemle, oté Q, et des opértios +, et telles que 1. Les élémets de Q sot exctemet les élémets de l forme r = p où p Z et q q N. 2. Pour tout r = p q et r = p q ds Q, r + r = pq + p q qq et rr = pp qq et r r ssi pq p q. Il est e fit possile de costruire les omres rtioels à prtir des etiers reltifs et des xiomes. Propositio 3.2 (Propriétés de l ordre). Soiet,, x, y Q. 1. x y ou y x (o dit lors que est u ordre totl). 2. x y implique que x + y x 0 et y 0 implique que xy Si et si x y, lors + x + y. 5. Si > 0 et x y, lors x y. Si < 0 et x y, lors y x. 6. Si 0 et 0 x y, lors x y. 7. x et 1 sot de même sige. x 8. 0 x y implique 1 y 1 x. L preuve de cette propositio étt très simple, ous l lissos e exercice. Bie que Q it l ir eucoup plus grd que Z et N, ces trois esemles sot e fit équipotets. 40

42 CHAPITRE 3. LES NOMBRES RATIONNELS ET RÉELS 41 Théorème 3.3. L esemle Q est déomrle. Démostrtio. Il existe ue surjectio de Q ds Z 2 puisque ce derier est déomrle d près le chpitre précédet. Aisi, Q est déomrle. L esemle Q trois gros "défuts" que ous présetos mitet. 1. Certies équtios simples ot ps de solutio ds Q, l exemple le plus clssique étt x 2 = 2. Démostrtio. Pour cel, risoos pr l surde. Soiet p Z et q N tels que 2 = ( p q )2. Quitte à diviser pr l plus grde puissce de deux divist p et q, o peut supposer que p ou q est ps divisile pr 2. Mitet, l équtio se réécrit 2q 2 = p 2, ce qui implique que p 2 est divisile pr 2. Pr coséquet, p est divisile pr 2. Aisi, il existe p N tel que p = 2 p. E réijectt cette expressio ds l équtio, ous oteos 2q 2 = 4 p 2, ce qui ous mèe à q 2 = 2 p 2. Aisi, q 2 et doc q sot églemet divisiles pr 2, ce qui est e cotrdictio vec le fit que seul u des deux etiers p, q peut être divisile pr 2. Ce fit est souvet ppelé irrtiolité de 2. L légede voudrit qu u élève de l célère école Pythgoriciee (cel remoterit doc à l tiquité) urit découvert que 2 est ps commesurle, c est à dire rtioel e lgge modere, et qu il urit lors été expulsé de l école, tt l idée de omres o commesurles étit impesle à l époque. À vri dire, de omreuses stuces permiret ux mthémticies de trviller ss défiir correctemet les omres irrtioels pedt plus de 2000 s, et ces deriers e furet défiis qu u dix-euvième siècle. 2. Les omres rtioels sot ml dptés à l otio d ifii. E effet, Euclide cosider les suites x 0 = 1 et y 0 = 1 et x +1 = x + 2y y +1 = x + y fi d pproximer l digole d u crré. E effet, les grecs viet l ituitio que x y s pproche de plus e plus de 2. Nous imerios dire que cette suite coverge, mis mlheureusemet, ce est ps le cs ds Q. Les grecs résolvèret ce prolème e refust de cosidérer l ifii comme ue otio mthémtique, c est u dix-euvième siècle que les mthémticies se tourèret efi vers cette questio. 3. Certis esemles orés e possèdet ps d ifimum ou de supremum. Pr exemple, A = {x Q, x 2 2}. Nous lissos l preuve de ce résultt pour l exercice 44. Pour toutes ces risos, ous itroduisos u ouvel esemle, ppelé esemle des omres réels, ds l prochie sectio. Pythgore (grec BC) mthémticie et philosophe. Peu d iformtio survécu sur l école de pesée qu il fod, et il est ps certi que Pythgore it trvillé lui même sur le théorème de Pythgore. Exercice 43. Motrer que x 3 = 17 e possède ps de solutio ds Q. Motrer que x 2 + x + 1 = 0 e possède ps de solutio ds Q. Exercice 44. Motrer que {x Q, x 2 2} e possède ps de supremum ds Q.

43 CHAPITRE 3. LES NOMBRES RATIONNELS ET RÉELS L esemle R Défiitios Théorème 3.4. Il existe u esemle R, cotet Q et mui d opértios +,, et d u ordre totl qui prologet les opértios et l ordre de Q. De plus si E R est o-vide et mjoré, lors E dmet ue ore supérieure. L esemle R est ppelé le corps des omres réels. Les esemles suivts serot utilisés fréquemmet : R + ot. = {x R, x 0} R ot. = {x R, x 0} R ot. = {x R, x 0}. L preuve de ce théorème (il fut e effet motrer l existece u ses mthémtique, c est-à-dire à prtir des xiomes) remote à 1872 (Dedekid). L costructio utilisée pr Dedekid s ppelle l costructio pr les coupures. Cette costructio récocili efi l ituitio grec d ifii vec l rigueur écessire à l exercice des mthémtiques, et e prticulier du clcul différetiel. O prle prfois de R comme étt le premier esemle "cotiu". Les propriétés de l propositio 3.2 sot ecore vlides ds R. Notez que si ue prtie E de R est o vide et miorée, lors elle dmet ue ore iférieure. L crctéristio du supremum prouvé ds le premier chpitre etrie l crctéristio suivte sur R : α = sup E { x E, x α ε > 0, x E, α ε < x Pour u esemle F E et E, otos + F = { + x, x F } et F = {x, x F }. Propositio 3.5. Soiet F R o vide et mjoré et R. sup( + F ) = + sup F et sup(f ) = sup F si > 0. Démostrtio. Vérifios que + sup F stisfit l crctéristio précédete. Soit x + F, il existe y F tel que x = + y. Puisque y sup F, x = + y + sup F. De même, soit ε > 0. Pr l crctéristio de sup F, il existe z F tel que sup F ε < z. Aisi, + sup F ε < + z ce qui permet de coclure. L preuve pour F suit les mêmes liges. Défiissos mitet les itervlles. Soit R. Soiet deux réels, o pose De même, o pose [, ] ot. = {x R, x }, [, ) ot. = {x R, x < }, (, ] ot. = {x R, < x }, (, ) ot. = {x R, < x < }. [, ) ot. = {x R, x}, (, ) ot. = {x R, < x}, (, ] ot. = {x R, x }, (, ) ot. = {x R, x < }. Richrd Dedekid (llemd ) Propos l première costructio des omres réels pr l itermédiire de l otio de coupures. Il recotr Ctor plusieures ées plus trd, et fut l u de ses plus fervets défeseurs ds so oppositio vec Kroecker.

44 CHAPITRE 3. LES NOMBRES RATIONNELS ET RÉELS 43 Prfois, o utilise l ottio ], [ u lieu de (, ). Les deux ottios sot vlides. Les extrémités d u itervlle sot ses ores supérieures et iférieures. Lorsque < R, l logueur d u itervlle d extrémités et est. L esemle [, ] (respectivemet (, )) est ppelé l itervlle fermé (respectivemet ouvert) d extrémités et de logueur. Théorème 3.6. Soit I R. Les deux propositios suivtes sot équivletes : (i) I est u itervlle. (ii) α, β I, [α, β] I. Démostrtio. (i) implique (ii) est fcile. Motros (ii) implique (i). Si I =, lors I = (, ) pour tout R et ous vos fii. Supposos doc que I est o vide. Tritos le cs où I est mjoré et mioré, les utres cs se déduist fcilemet e utilist les mêmes rgumets. Ds ce cs I possède u supremum, oté et u ifimum, oté. Si =, I = {} et l preuve est fiie. Supposos doc <. Motros que (, ) I [, ], ce qui implique le résultt. Le fit que I [, ] est trivil pr défiitio de et. 1 2( ) Mitet, Fixos 0 < ε <. Pr défiitio de et, il existe α, β I tels que α < + ε < ε < β. Aisi, [ + ε, ε] [α, β] I. Puisque ce résultt est vri pour tout ε > 0, ous oteos que tout x (, ) est ds I Pricipe d Archimède Théorème 3.7. L esemle N est ps mjorée ds R. Démostrtio. Risoos pr l surde. Soir α = sup N. Nous utiliseros l crctéristio de supremum décrite ds l susectio précédete. Il existe N tel que > α 1, c est-à-dire + 1 > α, ce qui est cotrdictoire. Corollire 3.8 (Pricipe d Archimède). Soit ε > 0. Il existe N tel que 0 < 1 < ε. Démostrtio. Puisque N est ps mjoré, il existe > 1 ε. Nous vos lors 0 < 1 < ε Vleur solue sur R Soit x, y R les réels x si x y y mx(x, y) = mi(x, y) = y si x y x sot ppelés mximum et miimum de x et y. si x y si x y Archimede de Syrcuse (grec BC) Expliqu le pricipe du levier et de l poussée d Archimède (fi de mesurer le volume d u ts d or). Auteur de l exclmtio "Eurek!" Défiitio 3.9. Soit x R l vleur solue de x est doée pr x = mx(x, x). L défiitio même de ous idique commet prouver que x. Il fut motrer que x et x. Cette stuce utile est à reteir : ue iéglité ivoqut ue vleur solue se motre e motrt deux iéglités. O peut défiir l vleur solue de fço ltertive e post x si x 0 x = x si x < 0. Aisi, les vleurs solues mèet prfois à fire des risoemets pr distictio de cs.

45 CHAPITRE 3. LES NOMBRES RATIONNELS ET RÉELS 44 Propositio Soiet x, y R. 1. x = 0 x = 0 2. xy = x y 3. (Iéglité trigulire) x y x + y x + y Démostrtio. Motros 1. Puisque x = 0, ous vos x 0 et x 0, i.e. x 0 et x 0. Aisi, x = 0. Motros 2. Tritos différets cs selo les siges de x et y. Si x, y > 0, ous oteos x = x et y = y et l églité est clire. Si x, y < 0, ous oteos x = x et y = y et l églité est églemet clire. Les cs x > 0 et y < 0 ou x < 0 et y > 0 suivet ussi fcilemet. Motros 3. Commeços pr l iéglité de droite. Les iéglités x x et y y impliquet x + y x + y. De même, x x et y y impliquet (x + y) x + y. Aisi, x + y x + y. Pour l iéglité de guche, ppliquos l iéglité de droite à x = x et y = x + y fi d oteir y = x + y x + y = x + x + y qui se réécrit comme y x x + y. L iéglité x y y + x suit de l même preuve (pr symétrie de x et y). Esemles, ces deux iéglités impliquet x y x + y. R Les propriétés de l foctio d : 2 R e fot ue otio de "distce" (vous verrez l défiitio mthémtique de ces ojets plus trd). Aisi, ous (x, y) x y utiliseros l ituitio selo lquelle x y représete l distce de x à y ds R. x x y Metioos que x y ε est équivlet à x y ε et (x y) ε, ie x ε y x + ε Desité d u esemle ds R y R Défiitio Soit A R, A est dese ds R si pour tout x R et tout ε > 0 il existe A tel que x ε. E quelques mots, être dese sigifie que pour tout élémet x de R, il existe des élémets de A ritriremet proches de x. Exemple : R et R N sot deses ds R. Exemple : Si A est dese ds R et A B, lors B est dese ds R. Propositio Les deux propriétés suivtes sot équivletes : (i) A est dese ds R, (ii) Pour tout x < y R, il existe r A tel que x < r < y.

46 CHAPITRE 3. LES NOMBRES RATIONNELS ET RÉELS 45 Démostrtio. Motros que (i) implique (ii). E ppliqut (i) à = x+y 2 et 0 < ε < (y x)/2, il existe r A [ ε, + ε] (x, y), ce qui est l éocé. Pour motrer (ii) implique (i), ppliquer (ii) à x = et y = + ε. Propositio Les esemles Q et R Q sot deses ds R. Avt l démostrtio, itroduisos ue otio très utile lorsque l o mipule les omres réels. Défiitio Soit x R. Il existe u uique etier Z tel que x < + 1. L etier est ppelé prtie etière de x et est oté x. L justifictio de l défiitio proviet du fit que { N x} est mjoré et possède doc u plus grd élémet. Nous portos votre ttetio sur le fit que l iéglié de guche est lrge ( ) lors que celle de guche est stricte (<). Preuve de l propositio Motros que Q est dese ds R. Nous pourros ous ispirer de l figure suivte. 0 1/ x y Soit x < y. Le pricipe d Archimède ppliqué à ε = y x implique l existece de N tel que 0 < 1 x +1 < y x. E post r =, ous oteos x = x < x + 1 x + 1 = x + 1 < x + (y x) = y. Si Q est dese ds R, lors 2 + Q R Q est dese ds R (à motrer). Aisi, R Q est dese ds R. Al-Khowârizmî (perse ) fut logtemps cosidéré comme le père de l lgère (e fit, ses trvux sot prolemet ispirés de trvux plus gés de mthémticies idies et grècs). Metioos que lgère proviet du perse Al-jr Résolutio des équtios du secod degré sur R L résolutio des équtios du secod degré remote prolemet à plus d u milléire. Le premier muscrit cotet l solutio d ue équtio du secod degré dte de Il présete l solutio d Al-Khowârizmî à l équtio x x = 39. Le mthémticie procède géométriquemet. Il dessie u crré de côté x pour représeter ue ire x 2 et deux rectgles de côtés 5 et x juxtposés u crré de l fço décrite sur l figures suivte. L équtio motre que l ire hchurée est 39, pr coséquet, l ire du crré etier est = 64 = 8 8. Aisi, 5 + x = 8 ce qui doe x = 3. Différetes équtios peuvet écessiter des dessis différets. Nous présetos mitet l pproche modere, pûremet lgérique mis eucoup plus systémtique. Le premier mthémticie à utiliser ue théorie géérle est Frçois Viète e Frçois Viète (frçis ) Il itroduisit les lettres pour les vriles d équtios (cette ouveuté eut eucoup d importce pour le développemet de l lgère modere). x x 5

47 CHAPITRE 3. LES NOMBRES RATIONNELS ET RÉELS 46 Doos ous u triplet (,, c) R 3 vec 0 et cosidèros l équtio (E) x 2 + x + c = 0, d icoue x R. L qutité = 2 4c est ppelée discrimit de (E). Théorème Supposos > 0. Trois cs sot possiles : 1. < 0 : x 2 + x + c > 0, x R. E prticulier, (E) ps de solutio sur R. 2. = 0 : x 2 + x + c 0, x R. De plus, (E) ue uique solutio 2 sur R. 3. > 0 : x 2 + x + c pred des vleurs positives et égtives. De plus, (E) deux solutios x ± = ± 2 sur R. Pour le cs < 0, o iverse les siges. Démostrtio. Rppelos que > 0. Nous vos, x 2 + x + c = [(x + 2 )2 2 4c ] = [(x )2 4 ]. 2 E prticulier, si 0, lors x 2 + x + c 0. De plus, si > 0, x 2 + x + c = 4 < 0 e x = /(2) et x 2 +x+c 0 pour x ssez grd. Aisi, ous vos ie les chgemets de siges précisé ds l éocé. De plus (E) (x ) 2 4c 4 2 (2 (x + 2 )) 2 = Mitet, remrquez que le terme de guche est positif ou ul. Aisi, si < 0, l équtio ps de solutios. Si 0, il est possile de predre l rcie crrée et ous oteos le résultt. L sece de solutio ds le cs < 0 est u défut importt de R. Pr exemple, l équtio x = 0 ps de solutio sur R. Remrquos l oservtio suivte, à toujours grder ds le coi de l tête : l somme et le produit des solutios de l équtio peuvet être exprimés e foctios des coefficiets, et c. Augusti-Louis Cuchy ( ) pioier de l lyse (so "cours lyse" à d - l école polytechique est u clssique), il prouve rigoureusemet des théorèmes de clcul ifiitésiml et défiit l cotiuité. Il iflueç églemet l lyse complexe et l lgère. Il fut l u des mthémticies les plus prolifiques. Il étit tholique u c- fervet et u royliste forçoé, ce qui le me à de omreux coflits vec ses cotemporis. Herm Schwrz (llemd ) Cou priciplemet pour ses trvux e lyse complexe (pricipe de réflectio de Schwrz, foctios de Schwrz- Christoffel, etc). { x + x + = c x x + = Iversemet, pour x, y R, x et y sot les rcies de l équtio t 2 (x+y)t+xy = 0 d icoue t R. Metioos mitet ue iéglité fodmetle, qui ser utilisée ds différets cours le log de votre cursus.

48 CHAPITRE 3. LES NOMBRES RATIONNELS ET RÉELS 47 Théorème 3.16 (Iéglité de Cuchy-Schwrz.). Soiet 1,..., R et 1,..., R. Alors 2 ( i i ) ( 2 i ) ( 2 i ). i=1 i=1 De plus, il y églité si et seulemet s il existe x R tel que i = x i pour tout i 1,. i=1 Démostrtio. Cosidéros l équtio (E) d icoue x R, (E) i=1 ( i x i ) 2 = 0. Puisque le terme de guche est toujours positif ou ul, 0. Ici, 2 = ( i i ) ( 2 i ) ( 2 i ) 0 i=1 ce qui ous doe l iéglité imméditemet. De plus, = 0 ssi (E) dmet ue solutio qui so tour est équivlet à l existece de x R (ce ser l solutio de (E)) tel que ( i x i ) 2 = 0 pour tout i 1,. i=1 i=1 Exercice 45. Trouver les ores supérieure et iférieure ds R des esemles suivts. Préciser lorsque ce sot des miimums et mximums 1. [2, 3), [2, 3], (2, 3) et (2, 3]. 2. [ 2, 2] (5, 8). 3. { 1 N }. 4. {x 2, x [ 1, 4)}. 5. {4 + 1+( 1) N }. Exercice 46. Soiet E et F deux prties o vides et mjorées. Défiissos E+F = {x+y; x E; y F }. 1. Motrer que sup(e + F ) sup(e) + sup(f ). 2. E utilist l crctéristio du supremum ds R présetée e cours, motrer que pour tout ε > 0, il existe x E et y F tels que E déduire que 3. Coclure que sup(e) + sup(f ) x + y + 2ε. sup(e) + sup(f ) sup(e + F ) + 2ε. sup(e + F ) = sup(e) + sup(f ). Jco Beroulli (suisse ) Cou pour so trvil "Ars Cojectdi" sur l thérie des proilités et s découverte de e. L fmille Beroulli est remplie de mthémticies célères, so père yt iveté les omres de Beroulli, et so frère Joh yt été le précepteur d Euler. De omreux utres memres de l fmille prticipèret u développemet des mthémtiques de l époque. Exercice 47. Soit F E vec E o vide et orée. Supposos que F est o vide. Motrer que if E if F sup F sup E. Exercice 48. Trouver les ores supérieure et iférieure de { 1 + ( 1), N }. Exercice 49 (Sous-groupes dditifs de R). Cosidéros u esemle o-vide G de R tel que pour tout x, y G, x + y G et x G. 1. Motrer que 0 G et que pour tout x G et Z, x G. 2. Supposos que G {0}. Motrer que = if{x > 0, x G} est ie défii. 3. Doer des exemples de G pour lesquels = 0 et d utres pour lesquels > Si = 0, motrer que G est dese ds R (o pourr s ispirer de l preuve de l desité de Q). 5. Supposos > 0. Motrer que G ]0, 2[= {}. E déduire que pour tout Z, G ], ( + 2)[= {( + 1)}. Coclure que G = Z. Herm Mikowski (llemd ) pioier de l utilistio de l géométrie pour résoudre des prolèmes de théorie des omres. Il cotriu églemet à l élortio de l théorie de l reltivité.

49 CHAPITRE 3. LES NOMBRES RATIONNELS ET RÉELS Motrer que Z + 2Z = {m + 2, m, Z} est dese ds R. O viet de clssifier les esemles ppelés sous-groupes dditifs de R. Soit ils sot de l forme Z pour u certi > 0, qui est lors l ifimum des x > 0 ds le sous-groupe, soit ils sot deses. Ce résultt est fodmetl et requis à l exme. Exercice 50 (Iéglités de Beroulli). Motrer que pour tout x > 0 et tout N, (1 + x) 1 + x. Exercice 51 (Iéglité de Mikowski). E utilist l iéglité de Cuchy-Schwrz, motrer l iéglité de Mikowski, 1/2 1,...,, 1,..., R, ( ( i + i ) 2 1/2 ) ( 2 1/2 i ) + ( 2 i ). i=1 i=1 i=1 Idictio : Peser à élever u crré. Cette iéglité est crucile e mthémtiques. Elle permet de motrer que l orme 2 (voir le cours plus trd) est ie ue orme. Exercice 52. Exprimer les deux réels x et y e foctio de (x + y)/2 et (x y)/2. Utiliser l iéglité trigulire fi de motrer que pour tout x, y R, x + y x + y + x y. Exercice 53. Cosidéros ue pplictio f croisste de [0, 1] ds [0, 1]. E cosidért le supremum de l esemle X = {x, f(x) x}, motrer qu il existe y [0, 1] tel que f(y) = y. Soit f I I. U poit l I est u poit fixe de f si f(l) = l. Les théorèmes d existece de poits fixes d pplictios sot très utiles. Nous ppelos u théorème prouvt l existece d u poit fixe u théorème de poit fixe. Nous verros de omreuses pplictios (ous e vos déjà recotré ue cchée ds l exercice 24). Exercice 54. Résoudre les équtios suivtes e l vrile x R. 1. x 2 5x + 6 = 0 2. x 2 + (1 + 2)x = 0 3. x 2 34x = 0. Exercice 55. Pour tout y R, détermier comie de solutios e x R l équtio suivte possède : yx 2 2(y 2 + 1)x y 3 y = 0. Exercice 56 (Clssifictio des morphismes mootoes de (R, +) ds (R, +)). Soit f : R R telle que x, y R, f(x + y) = f(x) + f(y) 1. Motrer que f(0) = Motrer que f() = f(1) pour tout N. 3. Motrer que f(p) = f(1)p pour tout p Z. 4. Motrer que f(r) = f(1)r pour tout r Q. 5. Supposos f mootoe. Motrer que f(x) = f(1)x pour tout x R. Idictio : utiliser l desité de Q ds R. Nous veos de motrer que tout morphisme mootoe de (R, +) ds lui-même est liéire. L exercice 121 v plus loi et motrer que l hypothèse de mootoie peut être remplcé pr d utres hypothèses, comme pr exemple l cotiuité. Exercice 57 (Iéglité de réordoemet). A Soiet 2 et 0 < 1 < 2 < < et 0 < 1 < 2 < <. Motrer que pour toute trspositio τ = (i, j) (i.e. l permuttio qui evoie i sur j et j sur i, et qui fixe tous les utres élémets), i τ(i) i i. i=1 i=1 E déduire que pour toute permuttio σ S ( 1, ), i σ(i) i i. i=1 i=1 (Idictio : dmettre que toute permuttio s écrit comme produit de trspositios) Aisi, pour mximiser l somme, il est préférle d ssocier les termes les plus grds etre eux.

50 Chpitre 4: Les omres complexes Crdo (1545) fut le premier à recotrer des omres complexes e post l questio de l existece de solutios dites "imgiires" comme pr exemple 1 ux équtios de degré 2 e possèdt ps de solutio ds R. Les symoles du type x pour x > 0 furet utilisés de plus e plus fréquemmet (ous ous iterdisos ce symole dgereux ds otre cours) durt les siècles qui suiviret. C est Euler, deux siècles plus trd, qui itroduisit le premier le symole i fi de motrer le grd théorème de Fermt ds le cs = 3. Défiitio 4.1. Il existe u esemle C et des opértios + et tels que 1. C cotiet R. 2. C cotiet u élémet oté i R tel que i i = Les élémets de C s écrivet de fço uique de l forme + i, où, R. 4. Nous vos les règles de clcul pour deux omres z = + i et w = c + id, où,, c, d R : z + w = ( + c) + i(c + d) et z w = (c d) + i(d + c). Pour u omre complexe z = + i, où, R, le réel est ppelé prtie réelle de z, otée églemet Re(z), et prtie imgiire, otée = Im(z). U omre complexe est dit réel si Im(z) = 0. Il est dit imgiire (pur) si Re(z) = 0. L esemle C est ppelé l esemle des omres complexes, z C est u omre complexe. Posos C ot. = C {0}. L esemle des omres imgiires purs est oté ir, celui des omres réels est oté R. L décompositio z = + i est uique que lorsque l o suppose et réels. Aisi, lorsque l o utilise l uicité de cette écriture (ce que ous feros souvet), il est importt de vérifier que et sot ie ds R. 49 Gerolmo Crdo (itlie ) Joueur ivétéré, il développ des fcultés de joueur d échec et de miseur. Ds so ouvrge "Lier de ludo lee", il trite de l théorie des proilités. Leohrd Euler (suisse ) profodes cotriutios à l lyse (e prticulier l expressio e série etière de e et de l iverse de l tgete), l itroductio des symoles f(x) et i, à l étude des omres premiers (il prouv que est premier. Ce omre rest le plus grd omre premier cou jusqu e 1867), théorie des grphes (formule d Euler, prolème des pots de Köigserg), stroomy, etc. Euler devit veugle e 1766, ce qui e l empèch ps de cotiuer à fire des mthémtiques. Il devit l u des mthémticies les plus prolifiques. Lplce dir "lisez Euler, lisez Euler, il est otre mitre à tous".

51 CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES 50 y C Im(z) z z = + i Re(z) x Chque omre complexe correspod à u poit du pl (Guss et Argd fûret les premiers à utiliser cette iterpréttio e 1799). Ce poit (Re(z), Im(z)) est ppelé ffixe de z. Les prties réelle et imgiire de z sot l scisse et l ordoée de l ffixe de z. U vertissemet vt de commecer L itérêt pricipl des omres complexes est le fit que tous les élémets possèdet ue "rcie crrée" (voir l prochie sectio) et que les équtios polyomiles possèdet toujours des solutios. Cette propriété u prix. E effet, l ordre sur R e peut ps être étedu à C de telle sorte que l propriété x, y 0 xy 0 reste vrie. E effet, risoos pr cotrdictio. Supposos que l ordre puisse être étedu à C. Si i 0, lors 1 = i 2 0 ce qui est surde. Si i 0, lors i 0 et le risoemet précédet motre que 1 0 ce qui est églemet surde. Pour cette riso, il est formellemet iterdit d utiliser des iéglités vec les omres complexes. 4.1 Équtios polyomiles d ue vrile complexe Soit E u sous-esemle de C. Ue foctio f E C est dite polyomile s il existe 0,..., d C vec d 0 tels que L etier d est ppelé degré de l foctio. f(z) = d z d z + 0, z E. Résolutio des équtios polyomiles du secod degré Ds cette sectio, ous prouvos l existece de rcies crrées pour tout omre complexe. De plus, ous étudios les coséquece de l existece de ces rcies. Théorème 4.2. Pour tout z C, il existe exctemet deux omres complexes w et w tels que w 2 = z. Démostrtio. Soit z C. Posos z = + i, où, R. Cherchos w C de l forme w = x+iy, où x, y R. L équtio w 2 = z sur C est équivlete à l équtio d icoues x

52 CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES 51 et y réels tels que x 2 y 2 + 2ixy = + i. Puisque l décompositio est uique, l équtio est équivlete à l équtio { x2 y 2 = 2xy = Cette équtio est lors équivlete à l équtio (E) x 2 y 2 = x 2 y 2 = 2 /4 xy 0 L troisième équtio fixe le sige de xy. Il ous fut doc motrer que cette équtio deux solutios (x, y) R 2 opposées l ue de l utre. E effectut le chgemet de vrile X = x 2 et Y = y 2, il suffit de trouver des solutios (X, Y ) R + R à l équtio (E ) { X + Y = XY = 2 /4 puisqu lors, (x, y) = ( X, ε Y ) et ( X, ε Y ), vec ε {+, } le sige de, sot solutios de (E). E utilist l oservtio fite à l fi du chpitre précédet sur les sommes et produits de solutios d équtios du secod degré, ous oteos que (E ) est équivlet u fit que l équtio d ue vrile réelle t (E ) t 2 t 2 /4 = 0 dmet deux solutios réelles de siges différetes. Remrquos que si (E ) deux solutios, elles sot écessiremet de sige différet puisque le produit est 2 /4 0. L seule chose à vérifier est doc que le discrimit de (E ) est strictemet positif. Or ous vos = ( ) 2 4( 2 /4) = > 0, puisque z = + i 0. Corollire 4.3. Soiet,, c C. L équtio d icoue z C, (E) z 2 + z + c = 0 dmet toujours deux solutios x ±, possilemet cofodues. De plus, x ± = ±w 2, où w est u omre complexe tel que w 2 est égl u discrimit de (E). Résolutio des équtios polyomiles de degré iférieur à qutre Méthodes de Crdo et Ferrri. Crdo e 1545 propos ue expressio explicite pour les équtios du troisième degré. Théorème 4.4 (Crdo). Soiet p, q R. Si q 2 + 4p3 27 0, l solutio réelle de z3 +pz+q = 0 est doée pr x = q q p3 27 1/3 + q q p3 27 1/3.

53 CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES 52 E fit, l méthode suivte permet de trouver toutes les solutios lorsque p et q sot des omres complexes quelcoques. Nous vous revoyos ux exercices 60 (pour l preuve du théorème précédet) et 77 (pour l méthode géérle). Metioos que les équtios de degré 4 peuvet églemet être résolues grâce à l méthode de Ferrri que ous e présetos ps ici (voir exercice 61). Bie etedu, les expressios précédetes sot très compliquées. L équtio x 3 +6x 7 = 0. O ie ( 7) Lorsque résolue vi l méthode de Crdo, doe l solutio x = / qui est e fit égl à 1, ce qui est ps très explicite. Cet exemple illustre le fit que ces solutios explicites e costituet ps l oe pproche pour résoudre ue équtio polyomile e prtique. Nous proposos deux utres méthodes à teter vt d utiliser ces strtégies. Recherche de rcies évidetes Ue première méthode ltertive cosiste à chercher des solutios évidetes. Après voir trouvé ue solutio prticulière z prt, o fctorise d z d z + 0 sous l forme (z z prt )( d 1 zd z + 0). Les utres solutios de l équtio d origie sot doc solutios de l équtio (E ) d 1z d z + 0 = 0, qui est plus simple puisque le degré est mitet d 1. Cette méthode peut être utilisée ds le cs de polyômes de degré quelcoque pour réduire leur degré. Elle est très puisste cr les coefficiets d 1,..., 0 peuvet être clculés fcilemet e utilist l lgorithme suivt. Algorithme de clcul des coefficiets 0,..., d 1. Étpe 1 Ds u tleu comme ci-dessous, reporter les coefficiets 0,..., d. O clcule les coefficiets 0,..., d 1 e prcourt les cses umérotées comme sur l figure de guche. O commece pr mettre 0 ds l cse 1. Étpe 2 O joute le coefficiet e hut de l coloe correspodte e se redt à l cse suivte e dessous et o v à l étpe 3. Étpe 3 O multiplie pr z prt e se redt à l cse suivte e digole et o retoure à l étpe 2. Étpe 4 Les coefficiets de l coloe du s sot les coefficiets d 1,..., 1, 0 et le derier est 0. 1/3, d d o 1 o 3... o 2d 1 o 2d + 1 o 2 o 4... o 2d o 2d + 2 d d z prt d...?? d z prt d + d 1...? 0 Formes prticulières Ue utre méthode importte est de vérifier si l équtio ue forme prticulière, permettt ue résolutio fcile. Nous metioos deux exemples cocert les équtios d ordre (Équtios icrrée) Soit z ue solutio de z 4 + z 2 + c = 0. E post w = z 2, détermier les vleurs possiles de w e résolvt l équtio w 2 + w + c = 0. Puis détermier les vleurs de z e résolvt l équtio z 2 = w.

54 CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES (Équtios réciproques) Soit z ue solutio o ulle de z 4 + z 3 + cz 2 + z + = 0. Remrquez que z étt o-ul, il est possile de diviser pr z 2 fi d oteir z 2 + z + c + z 1 + z 2 = 0. E post w = z + 1, détermier les vleurs possiles de w e résolvt l équtio z w 2 + w + c 2 = 0. Puis détermier les vleurs de z e résolvt l équtio z 2 wz + 1 = 0. Notez qu priori, il y deux solutios pour w, et doc qutre solutios pour z. E coclusio, les deux méthodes précédetes doivet toujours être préférées ux méthodes de Crdo et Ferrri qud c est possile : Résolutio des équtios polyomiles de degré 3 et 4 Étpe 1 Chercher des solutios évidetes. Si o e trouve ue, o utilise l lgorithme pour réduire le degré et ous recommeços à l Étpe 1. Étpe 2 Regrder si l équtio polyomile ue forme simple, ou se rmèe à ue forme simple. Si o trouve ue forme simple, o résoud l équtio. Étpe 3 Sio, utiliser l méthode de Crdo ou de Ferrri (à vos risques et périls). Équtios polyomiles de degré géérl (pour votre culture) Toute "équtio polyomile" (c est-à-dire de l forme f(z) = 0 où f est u polyôme) dmet ue solutio ds C. Nous dmettos l preuve de ce résultt. Théorème 4.5 (Théorème fodmetl de l lgère). Soit d N et 0,..., d C tels que d 0. L équtio d icoue z C dmet ue solutio. (E) d z d z + 0 = 0 O dit lors que l esemle des omres complexes est lgériquemet clos. Ce résultt ser prouvé e lyse complexe l ée prochie. Le théorème précédet prouve l existece de solutios, mis il e décrit ps commet exprimer les solutios e foctio des coefficiets. Les méthodes de Crdo et Ferrri motret qu il est possile d exprimer les rcies d équtios de l forme z 3 +z 2 +cz+d = 0 et z 4 + z 3 + cz 2 + dz + e = 0 e foctio des coefficiets e utilist seulemet les symoles +,,, / et ( ) 1/ pour N. Lorsque le degré du polyomil est supérieur ou égl à 5, ce est plus systémtiquemet le cs. O peut teter de trouver des solutios évidetes pour réduire le degré, mis e géérl il existe ps de solutio qui s écrive vec les symoles +,,, / et ( ) 1/. O dit que les pôlyomes de degré plus grd que 5 e sot ps résolules pr rdicux (dû à Ael). Prouver ce résultt requiert ue théorie lgérique reltivemet élorée, dûe à Glois, que vous étudierez e deuxième ée. Évriste Glois (frçis ) S vie est le rom d u géie. Il e prvit ps à retrer à l École polytechique pour mque d explictios lors de so exmitio orle. Pedt ses études, il développ l théorie qui porte so om, fourisst ue coditio écessire et suffiste pour qu ue équtio polyomile soit pr résolule rdicux. Il formul pour l première fois l otio corps fii. de Il fut emprisoé à l stille et mourut lors d u duel. Nous vous coseillos l pge we imges.mth.crs.fr/+- Autour-de- Glois-+.html. De fço géérle, imges des mthemtiques est u site extrordiire où vous trouverez de omreux rticles de vulgristio mthémtique pour votre culture. Exercice 58. Résoudre les équtios suivtes d icoue z C, 1. z 2 + 2z + 2 = z 2 + (4i 1)z (8 + i) = 0 Lodovico Ferrri (itlie ) Étudit de Crdo.

55 CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES iz 2 3(2i + 1)z i = 0 4. z 4 (5 14i)z 2 2(5i + 12) = 0 5. (3z 2 + z + 1) 2 + (z 2 + 2z + 2) 2 = 0 (idictio : se rmeer à deux équtios du secod degré) 6. z 4 + 7z z 2 + 7z + 1 = 0. Exercice Chercher les solutios d icoues (x, y, z) C 3 à l équtio x + y + z = 8 xy + yz + zx = 17 xyz = 10 (o pourr développer, pour t C, le terme (t x)(t y)(t z) fi de motrer que x, y et z sot solutios de l équtio e l vrile t : t 3 8t t 10 = 0, puis utiliser ce fit pour détermier x, y et z). 2. Chercher les solutios d icoues (x, y, z, t) C 4 à l équtio x + y + z + t = 0 xy + xz + xt + yz + yt + zt = 0 xyz + xyt + xzt + yzt = 0 xyzt = 1 (o pourr prouver u fit similire u cs précédet). Comie y -t-il de solutios ds le premier cs? Ds le deuxième? Les deux exercices suivts coceret les méthodes de Crdo et Ferrri. Exercice 60 (méthode de Crdo ds le cs réel). Cosidéros l équtio z 3 + pz + q = 0 vec (p, q) R 2 et d icoue z C. O suppose que q 2 + 4p Motrer qu il existe (u, v) R 2 tel que p3 27 = u3 v 3 et q = (u 3 + v 3 ). O pourr peser à l équtio X 2 + qx p3 27 = E déduire qu il existe (u, v) R 2 tel que p 3 = uv et q = (u3 + v 3 ). 3. Motrer que si p 3 = uv et q = (u3 + v 3 ), lors z = u + v est solutio de z 3 + pz + q = E déduire l expressio d ue solutio de z 3 + pz + q = Motrer qu e effectut u chgemet de vrile simple, il est possile d exprimer les solutios z de z 3 + z 2 + cz + d = 0 (vec 0) e foctio des solutios w de w 3 + pw + q = 0, où p et q sot ie choisis. Motros mitet commet résoudre ue équtio du qutrième degré. L méthode cosiste à effectuer des chgemets de vriles fi de se rmeer à des équtios de degrés iférieurs. Tous les clculs utilisés sot lors des résolutios d équtio du degré 3 ou 2. Exercice 61 (méthode de Ferrri). A 1. Soit z C ue solutio de l équtio z 4 + z 3 + cz 2 + dz + e = 0 vec 0. Motrer que x = z + 4 est solutio de x 4 + px 2 + qx + r = 0 où p, q, r peuvet être exprimés e foctio de,, c, d, e. 2. Soit y ue solutio de 8y 3 4py 2 8ry + 4rp q 2 = 0 (oter que l o peut l trouver e utilist l formule de Crdo). Motrer que l solutio de x 4 + px 2 + qx + r = 0 stisfit (x 2 + y) 2 (αx + β) 2 = 0 où α 2 = 2y p et β = q 2α si α 0 ou β2 = y 2 r sio. 3. E déduire que les solutios x de x 4 +px 2 +qx+r = 0 sot les solutios de l ue des deux équtios suivtes : x 2 + αx + (y + β) = 0 ou x 2 αx + (y β) = 0.

56 CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES Cojuguiso et module d u omre complexe Défiitio 4.6. Soit z C. Notos z = + i vec, R Le cojugué de z est le omre complexe z = i. 2. Le module de z est le omre réel positif z = Propositio 4.7 (Propriétés du cojugué). Soiet z, z C. 1. z + z = z + z 2. Re(z) = z+z 2 3. Im(z) = z z 2i 4. z R z = z 5. z ir z = z 6. z = z 7. zz = zz. Démostrtio. Écrivos z = +i vec, R et z = c+id vec c, d R. Nous trouvos que z + z = ( + c) + i( + d). O lors z + z = ( + c) i( + d) = i + c id = z + z. Nous vos églemet z+z = 1 z z ( + i + i) = et = 1 ( + i ( i)) = i ce qui ous doe 1 et 2. Pour 3 et 4, o trouve fcilemet que z R ssi = 0, ie Im(z) = 0. L propriété 2 implique que z R ssi z = z. De même, il est fcile de prouver que z ir ssi z = z. L propriété 5 est trivile : ous vos z = + i( ) et doc z = i( ) = + i. Si z = c + id vec c et d réels, lors zz = (c d) i(c + d) = (c ( )( d)) + i(( )c + ( d)) = zz. Joh Guss (llemd ) l u des mthémticies les plus ifluets de tous les temps. Guss prouv le théorème fodmetl de l lgère. Il est ussi à l origie de l distriutio de Guss (u oject fodmetl e théorie des proilités). Je-Roert Argd (frçis ) Aisi, ue oe mière de vérifier si u omre complexe est réel est de clculer z et so cojugué, et de motrer qu ils sot égux. Le module de z s iterprète comme l distce euclidiee etre l ffixe de z et l origie. Le module est comptile vec l vleur solue sur R. Il e prtge églemet les propriétés essetielles. Propositio 4.8 (Propriétés du module). Soiet z, z C, ous vos 1. z 2 = zz. 2. z = 0 implique z = 0 3. zz = z z 4. z = z 5. z 1 = z z 2 6. Re(z) z et Im(z) z 7. (Formule d Al-Kshi) z + z 2 = z 2 + z 2 + 2Re(zz ), 8. (Iéglité trigulire) z z z + z z + z L deuxième propriété suggère qu il est souvet utile d étudier le crré du module plutôt que le module lui-même. Al Kshi (perse ) mthémticie et stroome.

57 CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES 56 Démostrtio. Soit z = + i vec, R. Nous vos zz = ( + i)( i) = 2 i + i (i 2 ) 2 = = z 2 ce qui implique 1. Les propriétés 2, 3, 4, 5 suivet trivilemet de 1. L propriété 6 suit du fit que et sot iférieurs à Motros 7. Soit z C. Nous trouvos z + z 2 = (z + z )(z + z ) = zz + z z + zz + zz = z 2 + z 2 + zz + zz = z 2 + z 2 + 2Re(zz ) Motros 8. Comme pour l iéglité trigulire pour l vleur solue, l iéglité de guche est ue coséquece de l iéglité de droite. Nous ous ttchos doc à motrer cette derière e l élevt u crré. Soiet z, z C, z + z 2 = z 2 + z 2 + 2Re(zz ) z 2 + z z z z 2 + z z z = ( z + z ) 2. Ds l première églité, ous vos utilisé l formul d Al-Kshi. Ds l deuxième, l propriété 5 et ds l troisième, l propriété 6. Les formules d Al-Kshi et de l iéglité trigulire s iterprètet prticulièremet ie sur u dessi. L première permet de clculer l logueur du troisième coté d u trigle lorsque l logueur des deux premiers est coue. Aisi, elle géérlise l formule de Pythgore. L deuxième correspod à l iéglité trigulire clssique e géométrie. Leordo de Pis, dit Fiocci (itlie ) ie qu il e l it ps découverte, il itroduisit l suite de Fiocci ds "Lier Aci" (1202). Cette suite turelle iterviet ds de omreux prolèmes de mthémtique et de physique, et est reliée u omre d or ϕ = 1 2 (1 + 5). Cette suite pprit églemet ds l ture, comme pr exemple ds l réprtitio des gries de l fleur de touresol (ous vous reportos à l dresse suivte pour plus de détils /mth2000/touresol.html). z z z z + z z + z 0 Exercice 62. Écrire les omres suivts de l forme + i vec, R : 2 3i 1 + i, 1 et (2 + i 2) 3. 3 i Clculer leur module et les dessier ds le pl complexe. Exercice 63. Clculer le module des omres complexes suivts : i, 1+i, 2i(3+i)(1+i), (1 + i) i et 2 + i 1 i + 2i 1 + i. (2 + 3i)(1 + 2i) ( 1 + i)(1 + i), Exercice 64. Trouver les omres complexes z C tels que z+1 z+1 R. Même questio vec z 1 z 1 ir. Exercice 65. Motrer que pour tout z 1, z 2 C tel que z 1 z 2 1 et z 1 = z 2 = 1, lors z 1+z 2 1+z 1 z 2 est u réel.

58 CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES 57 Exercice 66. Trouver tous les omres complexes tels que z, 1/z et 1 z ot le même module. Exercice 67 (Idetité de Fiocci). Motrer à l mi puis e utilist les omres complexes que pour tout,, c, d R, ( )(c 2 + d 2 ) = (c d) 2 + (d + c) 2. L idetité de Fiocci est crucile lorsque l o cherche à détermier quels omres etiers s écrivet comme somme de deux crrés. 4.3 Argumet complexe, pplictios expoetielle et écriture polire Argumet d u omre complexe Commeços pr rppeler l défiitio de π : c est l vleur de l gle plt Défiitio 4.9. Soit z C. L rgumet complexe pricipl de z est l gle θ ( π, π] etre le segmet relit 0 et 1, et le segmet relit 0 et le poit d ffixe z. It est oté rg(z). z θ L gle etre deux segmets est ps formellemet défii de fço uique, π/2, 5π/2 et 3π/2 désige tous les trois l gle droit î 0 1 pr exemple. De fço géérle, si θ est u gle etre deux segmets, lors θ + 2π est églemet l gle etre ces mêmes segmets. Ceci motive l défiitio suivte. Défiissos si 2πZ. Défiitio Soit z C. L rgumet de z est importe quel θ R tel que θ rg(z), où rg(z) est l rgumet pricipl de z. Pr covetio, o ote églemet rg(z) pour importe lequel de ces θ. Propositio Soiet z, z C. Pour tout rgumet rg(z) et rg(z ) de z et z, rg(zz ) rg(z) + rg(z ) rg(xz) rg(z) si x > 0 rg(z) rg(z) rg(z/z ) rg(z) rg(z ) Démostrtio. Cette preuve suit directemet de l défiitio de l gle etre deux segmets Défiitio de l foctio expoetielle complexe et écriture polire Nous imerios écrire z e foctio de rg(z) et z. Pour cel, ous utilisos l foctio expoetielle, dot l existece est justifiée pr le théorème suivt.

59 CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES 58 Théorème Il existe ue uique pplictio exp : C C telle que z, w C, exp(z + w) = exp(z) exp(w). z C, exp(z) = exp(z). z C, exp(z) = 1 implique l existece de Z tel que z = 2πi. exp est cotiue De plus, pour tout z C, z = z exp[i rg(z)]. Bie que ous e puissios ps justifier ce théorème mitet (ous e svos même ps ce qu est ue foctio cotiue), metioos que l preuve est tout à fit à l portée d étudits e premier semestre d lyse. Nous e prouveros ue oe prtie ds l suite du cours. 1. À prtir de mitet, ous utiliseros l ottio prtique exp(z) = e z et exp(1) = e. 2. Nous vos exp(z) 2 = exp(z)exp(z) = exp(z) exp(z) = exp(z + z). E prticulier, exp(z) = 1 ssi z + z 2πiZ. Puisque z + z est forcémet réel, l seule possiilité est que z = z, et doc z ir. Aisi {z C exp(z) = 1} = ir 3. Si z R, lors exp(z) = exp(z) = exp(z) et exp(z) R. Il est possile de motrer que l restrictio de exp R R est l pplictio expoetielle que vous coissez. 4. Soiet z, z C. Si z = re iθ et z = r e iθ vec r, r > 0 et θ, θ R, ous vos zz = rr e i(θ+θ ) (simplemet utiliser le fit que l expoetielle d ue somme est le produit des expoetielles). Défiitio U omre complexe z C s écrit doc de fço uique comme z = re iθ, où r > 0 et θ ( π, π]. De fço plus géérle, o ppelle écriture polire de z toute écriture de l forme z = re iθ, où r > 0 et θ R. Nous vos lors que r = z et que θ = rg(z). Démostrtio. L existece de r > 0 et θ R tels que z = re iθ viet de l propositio précédete, qui ous permet de predre r = z, et θ importe quel rgumet. E prticulier, e pret l rgumet pricipl ous oteos l ecriture vec θ ( π, π]. L uicité est simple. Écrivos z = re iθ = r e iθ, vec r, r > 0 et θ, θ ( π, π]. E pret le module, ous oteos r = r. E divist z pr lui-même, ous trouvos e i(θ θ ) = 1. L défiitio de l expoetielle ous permet d ffirmer que θ θ 2πZ. Mis θ θ ( 2π, 2π), ce qui impose θ θ = 0, ie θ = θ. Nous ttiros votre ttetio sur le fit qu il est écessire de préciser r > 0 et o ps seulemet r R, sio θ est ps ie défii. Fites églemet ttetio u fit que z = 0 dmet ps de représettio u ses plei du terme, puisqu lors θ e serit ps détermié. Il est doc écessire de vérifier que z 0 lorsque l décompositio polire est utilisée.

60 CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES 59 Puisque zz = rr e i(θ+θ ), l représettio polire est dptée u produit, tdis que l représettio pr prties réelle et imgiire est dptée à l somme. Coservez cette oservtio e tête lorsque vous order u prolème cocert les omres complexes! Rcies -ièmes Fiissos cette sectio e utilist l représettio polire pour discuter l existece de rcies -ième. Défiitio Soit z C. U omre complexe w C est ue rcie -ième de z si w = z. Soit 2, otos U = {z C, z = 1}, l esemle des rcies -ième de l uité. Théorème Pour tout 2, U = {1, e 2iπ 2 2iπ, e E prticulier, Crd(U ) =. 2( 1)iπ,..., e } = {e 2πik 2πik, k {0,..., 1}} = {e, k Z}. Démostrtio. O sit que U est iclus ds l esemle des omres complexes de module 1. Aisi, si z U, il existe θ tel que z = e iθ. Dès lors, 1 = z = e iθ. Nous déduisos qu il existe k Z tel que θ = 2πik i.e. θ = 2πik/. Nous vos risoé pr équivlece et le résultt suit doc directemet. Le fit que le crdil vut viet du fit que toutes ces rcies sot distictes. E effet, soit 0 k k 1 tel que e 2πik = e 2πik. O lors e i 2π(k k) de 2π, 2π(k k) = 0 i.e. k = k. = 1. Mis 0 2π(k k) < 2π, et doc pr miimlité Grphiquemet ce sot les sommets d u polygôe régulier à cotés (comme le motre l figure suivte, où = 13). Cocluos pr ue formule à reteir. 0 Corollire Soit ω ue rcie -ième de l uité, lors 1 + ω + + ω 1 0 si ω 1, = si ω = 1.

61 CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES 60 Démostrtio. Rppelos l formule suivte, que ous vos prouvée ds l exercice 26. Soit z C {1} lors pour tout 1, Le résultt suit imméditemet. 1 + z + z z 1 = 1 z 1 z. Ds l sectio précédete, ous vos dmis l existece d ue foctio expoetielle complexe. Motros commet cette foctio ous permet de défiir rigoureusemet les foctios cosius et sius Défiitio des foctios cosius et sius Nous sommes efi e mesure de défiir les foctios trigoométriques usuelles. Remrquez que c est ie l première fois que vous défiissez rigoureusemet l otio de cos et si. Défiitio Les pplictios cosius et sius sot défiies pr les formules cos R [ 1, 1] x Re(e ix ) et si R [ 1, 1] x Im(e ix ) Notez que le fit que cos et si soiet à vleurs ds [ 1, 1] ( priori elles sot à vleurs ds R) suit du fit que Re(e ix ) et Im(e ix ) sot iférieures à e ix = 1. O otiet imméditemet l reltio clssique E prticulier, e ix = cos(x) + i si(x), x R. Re(z) = z cos[rg(z)] et Im(z) = z si[rg(z)]. 4.4 Foctios trigoométriques cosius, sius et tgete Arhm de Moivre (frçis ) importte cotriutio à l théorie des proilités. Il découvrit églemet l formule de Biet et l formule close pour l suite de Fiocci. Nous retrouvos l iterpréttio géométrique de cosius et sius : ds u trigle rectgle d hypothéuse de logueur 1, et d gle θ, les côtés djcet et opposé ot logueur cos(θ) et si(θ). Attetio! L rgumet pricipl rg(z) est défii uiquemet pr le fit que cos(rg(z)) = Re(z)/ z ET si(rg(z)) = Im(z)/ z. Il est tett, lorsque l o coit les foctios rccosius et rcsius (elles serot défiies ds le chpitre sur les foctios cotiues), de dire que rg(z) = rccos(re(z)/ z ) mis ceci est vri que si Im(z)/ z Propriétés du cosius et du sius Metioos quelques propriétés des foctios cosius et sius. Propositio 4.18 (Formules sur les cosius et sius). Soiet x, y R et N,

62 CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES cos(x) 2 + si(x) 2 = (Formules d Euler) cos(x) = eix + e ix 2 et si(x) = eix e ix. 2i 3. (Formules de Moivre) ( cos(x) + i si(x)) = cos(x) + i si(x). 4. (Formules trigoométriques) cos(x + y) = cos(x) cos(y) si(x) si(y) si(x + y) = cos(x) si(y) + si(x) cos(y) cos(2x) = cos(x) 2 si(x) 2 si(2x) = 2 si(x) cos(x) 2 cos(x) cos(y) = cos(x + y) + cos(x y) 2 si(x) cos(y) = si(x + y) + si(x y) 2 cos(x/2) 2 = 1 + cos(x) 2 si(x/2) 2 = 1 cos(x) Démostrtio. L première formule viet du fit que 1 = e ix 2 = cos(x) 2 + si(x) 2. Les deuxième et troisième vieet du fit que Re(z) = z+ z et Im(x) = z z. L qutrième 2 2i viet du fit que (cos(x) + i si(x)) = (e ix ) = e ix = cos(x) + i si(x). Esuite, cos(x + y) et si(x + y) sot les prties réelle et imgiire de e i(x+y) = e ix e iy. Il suffit lors de développer le produit (cos(x) + i si(x))(cos(y) + i si(y)) et d idetifier l prtie réelle et l prtie imgiire. Toutes les formules suivtes découlet de l formule pour cos(x + y) et si(x + y), lorsque x et y sot ie choisis. Défiitio Soit f E R ue foctio telle que x E ssi x E. L foctio f est pire si f( x) = f(x) pour tout x E. Elle est impire si f( x) = f(x) pour tout x E. Soiet T > 0 et f ue foctio telle que x E ssi x + T E. L foctio f est dite périodique de période T si f(x + T ) = f(x) pour tout x E. Propositio Les foctios cos et si sot périodiques de période 2π. De plus, cos est pire et si est impire. Démostrtio. O e trite que le cs de cos, le cs de si étt idetique. Motros que cos est périodique. Soit x R, cos(x + 2π) = 1 2 (eix+2πi + e ix 2πi ) = 1 2 (eix e 2πi + e ix e 2πi ) = 1 2 (eix + e ix ) = cos(x). Motros que cos est pire. Soit x R, cos( x) = 1 2 (ei( x) + e i( x) ) = 1 2 (e ix + e ix ) = cos(x). L preuve pour sius suit les mêmes liges.

63 CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES L foctio tgete À prtir des foctios cosius et sius, il est possile de défiir l foctio tgete. Défiitio Pour x R vec x {t R, k Z, t = π (1 + 2k)}, défiissos 2 t(x) = si(x) cos(x) De plus, t est impire et périodique de période π. Propositio Pour x, y R tels que les expressios suivtes sot ie défiies, ous vos t(x + y) = t(x)+t(y) 1 t(x) t(y) 1 cos 2 (x) = 1 + t 2 (x) cos(x) = si(x) = t(x) = 1 t(x/2) 2 1+t(x/2) 2 2 t(x/2) 1+t(x/2) 2 2 t(x/2) 1 t(x/2) 2 Démostrtio. De même, l preuve de cette propositio est lissée e exercice. Exercice 68. Détermier l esemle des omres complexes tels que exp(z) R. Exercice 69. Soit r > 0 et θ R. Détermier l esemle {z C exp(z) = re iθ }. Exercice 70 (Formules trigoométriques). Prouver les reltios des propositios 4.18 et 4.22 e utilist les défiitios de cosius et sius. Exercice 71. Justifier à l ide des formules trigoométriques le tleu suivt : x 0 cos(x) 1 si(x) 0 t(x) 0 Exercice 72. Clculer ( 1 + i ). 1 i π π π π π Exercice 73. Clculer les différetes solutios de w 3 = 1 + i 3 et les dessier ds le pl complexe. Exercice 74. Résoudre z = 0 1. à l ide de l représettio polire et des foctios trigoométriques. 2. e divist z pr z et e trouvt les rcies pr u clcul lgérique (e ps meer les clculs jusqu u out). 3. Motrer que 2 cos(π/5) = z 2 + z 2 pour ue certie solutio z de z = 0. E déduire que 2 cos(π/5) est solutio de l équtio w 2 w 1 = 0 d icoue w C. E déduire 2 cos(π/5). Avec ue formule trigoométrique du cours, motrer que si(π/10) = Exercice Détermier u rgumet de z = si θ i cos θ, où θ R. 2. Soit θ, θ R tels que θ θ {π + 2π, Z}. Trouver le module et u rgumet de e iθ + e iθ pour θ, θ R (o pourr itroduire l gle (θ + θ )/2). 3. Soit θ {π + 2π, Z}, détermier le module et l rgumet de 1 + cos θ + i si θ. L trsformtio itroduite ds l deuxième questio de l exercice précédet est très utile et est à reteir. Elle costitue u cs prticulier où l représettio polire se comporte ie vis-à-vis de l dditio.

64 CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES 63 Exercice 76. Motrer que pour tout z 1,..., z C, z z z z. Motrer qu il y églité si et seulemet si les z i ot tous le même rgumet. Exercice 77 (méthode de Crdo géérle). Cosidéros l équtio z 3 + pz + q = 0 d icoue z C. O e suppose ps que q 2 + 4p Soiet (u, v) C tels que p 3 = uv et q = (u3 + v 3 ), motrer que u 3 et v 3 sot les deux solutios complexes de X 2 + qx p3 27 = 0. E déduire qu il existe trois couples (u, v) de omres complexes tels que p 3 = uv et q = (u3 +v 3 ). Motrer que si p 3 = uv et q = (u3 + v 3 ), lors z = u + v est solutio de z 3 + pz + q = 0. Quelle est l chose à lquelle il fllit fire ttetio ds le cs géérl? Exercice 78 (Polyômes de Cheyshev). A Motrer qu il existe deux polyômes T et S de degré tel que pour tout θ R, T (cos(θ)) = cos(θ) et S (si(θ)) = si(θ). O pourr utiliser le fit que cos(θ) = Re(e iθ ) = Re((cos(θ) + i si(θ)) ). Suriez vous motrer que ces polyômes sot uiques? Ces polyômes jouisset de omreuses propriétés. Pour l route, u derier exercice sur les foctios pires et impires. L preuve tiet e ue lige (peut-être u peu logue), mis il fut y peser. Exercice 79. A Motrer que toute foctio f R R est l somme d ue foctio pire et d ue foctio impire. Pfuty Cheyshev (russe ) fmeux pour ses cotriutios e théorie des proilités et théorie des omres. Il est cosidéré comme l u des pères des mthémtiques russes.

65 Chpitre 5: Suites umériques Ds tout ce chpitre, K désiger Q, R ou C. Ue suite est ue foctio de N ds K. L ottio (u ) N K N N K ser préférée à l ottio u : u(). De plus, l ottio rigoureuse (u ) N ser souvet remplcée pr (u ). Pr cotre, ous coservos l ottio hituelle (u ) N si les idices sot restreits à N. Nous ttiros votre ttetio sur le fit que (u ) est ue suite tdis que u est le -ième terme de l suite et est doc à ce titre u élémet de K. Il est importt de ie distiguer ces ottios. 5.1 Suites covergetes ds K Défiitio et premières propriétés Pour commecer, citos D Alemert (1765) : "O dit qu ue grdeur est l limite d ue utre grdeur, qud l secode peut pprocher de l première plus près que d ue grdeur doée, si petite qu o l puisse supposer." Ituitivemet, D Alemert explique qu u omre l est dit limite d ue suite (u ) si pour suffismmet grd, les termes s sot ussi proches de l qu o le souhite. Ce cocept est importt et écessite des précisios. Tout d ord, "ussi proches qu o le souhite" sigifie "plus proche que tout omre ε > 0, i.e. u l ε. D utre prt, "pour suffismmet grd" veut dire qu il existe N tel que l estimtio précédete soit vrie pour tout N. L défiitio rigoureuse du cocept de limite est doc l suivte. Je-Bptiste d Alemert (frçis ) mthémticie, physicie et co-uteur de l Ecyclopédie vec Diderot. Défiitio 5.1 (D Alemert 1765, Cuchy, 1821). Soit (u ) K N et l K. L suite (u ) coverge vers l si ε > 0, N N, N, u l < ε. Le réel l est ppelé l limite de (u ) et est oté l = lim u. 64

66 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES 65 ε 1 u u 5 ε 2 u 1 u 3 lim u u 4 u 0 u 2 N(ε 1) N(ε 2) N(ε 3) Commeços pr quelques remrques et oservtios simples : 1. L défiitio de covergece peut s écrire ss vleur solue, de l fço suivte : (u ) ted vers l si ε > 0, N N, N, l ε < u < l + ε. 2. Ue suite (u ) telle qu il existe l K vec (u ) coverge vers l est dite covergete (ds K). Ue suite qui est ps covergete est divergete. 3. O dit prfois que (u ) ted vers l, et o ote u + l. 4. L formule "l est l limite de (u )" est justifiée pr le fit que l limite, lorsqu elle existe, est uique. E effet, l ituitio suggère qu ue suite e peut ps s pprocher de deux vleurs différetes, et cette ituitio peut être trduite e ue preuve rigoureuse. Démostrtio. Soiet l et l tels que ε > 0, N N, N, u l < ε et ε > 0, Ñ N, Ñ, u l < ε. Posos ε > 0. Il existe N et Ñ tels que u l < ε pour N et u l < ε pour Ñ. Posos m = mx{n, Ñ}. L iéglité trigulire implique l l = l u m + u m l l u m + u m l 2ε. Ce résultt étt vri pour tout ε > 0, ous e déduisos que l = l. Le pricipe d uicité de l limite ser très utile ds l suite du cours. Notos églemet que l stuce cosistt à jouter et soustrire le terme u m ser églemet utilisée à mites reprises. 5. Il est importt de oter que l ottio lim u e peut être utilisée que si l existece de l limite été prouvée. O préciser doc toujours que l suite (u ) est covergete vt d écrire lim u. 6. Pr défiitio, (u ) ted vers l si et seulemet si (u l) ted vers 0.

67 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES Les ssertios et ε > 0, N N, N, u l < ε ε > 0, N N, N, u l ε sot équivletes. E d utres termes, predre des iéglités lrges ou strictes ds l défiitio d ue suite covergete reviet u même. 8. Notez églemet que l otio de limite est ue otio symptotique ds le ses qu elle e déped que des termes u pour ritriremet grds. E prticulier, le fit que (u ) ted vers l e chge ps si l o chge u omre ritrire (mis fii) prmi les premiers termes de l suite (voir exercice 80 pour ue preuve rigoureuse). Pour motrer que u ted vers l, il fut motrer que pour tout ε > 0, il existe N tel que u l < ε pour tout N. Aisi, o commecer toujours l preuve pr l phrse suivte : Soit ε > 0. Cherchos N tel que u l < ε pour tout N. Le reste de l preuve cosiste à prouver l existece de N. Notez qu o e demde ps de trouver le plus petit N, ou même d expliciter N e foctio de ε, mis simplemet de prouver qu il existe. Exemple : L suite u = 1 est covergete et lim 1/ = 0. Démostrtio. Soit ε > 0, cherchos N tel que 1 0 < ε pour tout N. Le pricipe d Archimède implique l existece de N > 0 tel que 1 < ε. Pour N, ous vos lors N 1 1 N < ε. Exemple : Soit > 0. L suite u = ( 1) coverge vers 0. Démostrtio. Soit ε > 0. Cherchos N tel que ( 1) 0 < ε pour tout N. Le pricipe d Archimède implique l existece de N > 0 tel que 1 N ε1/. Pour N, ous vos lors ( 1) 0 = 1 1 < ε. N Exemple : L suite u = +1 ted vers 1. Démostrtio. Soit ε > 0. Cherchos N tel que u 1 < ε pour tout N. De fço équivlete, cherchos N tel que 1/ = +1 1 = u 1 < ε pour tout N. Nous ous somme rmeés à l même questio que précédemmet et l preuve est termiée. Afi de prouver qu ue suite est divergete, il ous fut motrer l K, ε > 0, N N, N, u l ε, c est-à-dire que pour tout l K, il existe ε > 0 tel que pour tout N > 0, il existe N vec u l ε.

68 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES 67 Exemple : L suite u = ( 1) est divergete. Démostrtio. Soit l R. Motros que pour tout N > 0, il existe N tel que u l 1. Soit N N, si l 0, lors u 2N l = 1 l 1. De même, si l 0, lors u 2N+1 l = l Exemple : (Crctéristio séquetielle du sup) Soit A R u esemle o vide et mjoré. Il existe ue suite ( ) à vleurs ds A vec lim = sup A. Démostrtio. Costruisos cette suite pr récurrece. Soit A. O pose 0 =. Mitet, supposos l suite costruite jusqu u rg. Puisque sup A 1 est ps u mjort, il existe A tel que sup A > sup A 1. O déote cet élémet Mitet, sup A 1 pour tout 1, ce qui implique que ( ) ted vers sup A. Propositio 5.2. Ue suite covergete est orée. Démostrtio. Soit (u ) ue suite covergete. Soit l = lim u. L défiitio de covergece ppliquée à ε = 1 implique l existece de N N tel que u l 1 pour tout N. E prticulier, l iéglité trigulire doe u l + 1, N. Nous e déduisos que u M pour tout 0, où M = mx{ u 0, u 1,..., u N 1, l + 1}. Attetio, l réciproque est fusse, puisque u = ( 1) est orée et divergete. Propositio 5.3. Soiet (u ) K N et l K. Soit (v ) ue suite à vleurs ds R +. Si 1. m N, m, u l < v, 2. (v ) coverge vers 0, lors (u ) coverge vers l. Cette propriété est très utile puisqu elle motre qu il suffit de se rmeer à des suites (e géérl plus simples) qui coverget vers 0. Démostrtio. Soit ε > 0. Cherchos N tel que u l < ε pour tout N. Puisque (v ) N coverge vers 0, il existe N 1 tel que v ε pour tout N 1. Posos N = mx{m, N 1 }. Nous oteos u l v ε pour tout N Opértios sur les limites Propositio 5.4. Soiet (u ) et (v ) deux suites covergetes. 1. (Somme de limites) L suite (u + v ) est covergete et lim (u + v ) = lim u + lim v. 2. (Produit de limites) L suite (u v ) est covergete et lim u v = lim u lim v.

69 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES (Quotiet de limites) Supposos que lim v 0. Alors il existe m N tel que v 0 pour m. De plus, l suite (u /v ) m est covergete et u lim = v lim u lim v. 4. (Vleur solue) L suite ( u ) est covergete et lim u = lim u. 5. (Prties réelle et imgiire) Supposos (u ) à vleurs ds C. Les suites (Re(u )) et (Im(u )) N sot covergetes et lim Re(u ) = Re ( lim u ), lim Im(u ) = Im ( lim u ). L réciproque de l propriété 5 est vrie : si (Re(u )) et (Im(u )) coverget respectivemet vers et, lors (u ) coverge vers + i. Démostrtio. Posos l = lim u et l = lim v. 1. Soit ε > 0. Puisque (u ) coverge vers l, il existe N 1 > 0 tel que N 1, u l < ε 2. De même, si (v ) coverge vers l, il existe N 2 > 0 tel que N 2, v l < ε 2. Posos N = mx{n 1, N 2 }. Soit N, l iéglité trigulire implique (u + v ) (l + l ) = (u l) + (v l ) u l + v l < ε 2 + ε 2 = ε ce qui coclut l preuve. 2. Soit ε > 0. L suite (v ) coverge, elle est doc mjorée. Aisi, il existe M > 0 tel que N, u M. Puisque (u ) coverge vers l, il existe N 1 > 0 tel que N 1, u l < ε 2M. De même, si (v ) coverge vers l, il existe N 2 > 0 tel que N 2, v l < ε 2 l. Posos N = mx{n 1, N 2 }. Soit N, l iéglité trigulire implique u v ll = (u l)v + l(v l ) v u l + l v l < M ε 2M + l ε 2 l = ε ce qui coclut l preuve.

70 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES Soit ε > 0. L suite (v ) coverge vers l > 0. Pour ε = l /2, il existe docn 1 tel que v l /2 pour tout N 1. Aussi, il existe N 2 > 0 tel que N, v l ε l 2 2. E prticulier, pour N = mx{n 1, N 2 }, l iéglité trigulire implique 1 v 1 l = v l v l 2 l 2 v l < ε ce qui prouve que (1/v ) N1 coverge. L propriété 3 suit mitet de l propriété Soit ε > 0. Puisque (u ) coverge vers l, il existe N > 0 tel que N, u l < ε. L iéglité trigulire implique doc que pour tout N, ce qui coclut l preuve. u l u l < ε 5. Soit ε > 0. Puisque (u ) coverge vers l, il existe N > 0 tel que N, u l < ε. L reltio Re(z) z implique que pour tout N, Re(u ) Re(l) = Re(u l) u l < ε ce qui coclut l preuve pour Re. L même preuve foctioe pour Im. Nous vos ecore ue fois utilisé ue stuce clssique : pour estimer ue différece, ous joutos et soustryos ue qutité ie choisie. Exercice 80. Soit (u ) ue suite coverget vers l. Soit N > 0. Motrer que toute suite (v ) telle que u = v pour N coverge églemet vers l. Exercice 81. Motrer que u = coverge vers 3. Exercice 82. Soit (u ) ue suite à vleurs ds Z. Motrer que (u ) coverge ssi (u ) est sttioire, c est-à-dire qu il existe N > 0 tel que pour tout > N, u = u N. Exercice 83. E utilist l desité de Q ds R, motrer que pour tout x R, il existe ue suite de omres rtioels coverget vers x. Exercice 84. Rppelos que x désige l prtie etière pour x R. 1. Soit x R, soit (u ) l suite de terme géérl x + 2x + 3x + + x u = 2 2. Motrer que (u ) coverge vers ue limite que l o détermier. (Idictio : o pourr utiliser l iéglité défiisst l prtie etière). 2. E déduire ue preuve ltertive du fit que Q est dese ds R. Exercice 85. Détermier si chcue des suites suivtes est covergete ou divergete et clculer leur limite lorsqu elle existe.

71 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES = Il est souvet itéresst de multiplier les expressios de l forme A B pr A + B. 2. = ( 1) ( + 5 ) ( 1) 3. c = 2 (o pourr motrer que 2 3 pour 10 e risot pr récurrece puis 5 utiliser ce résultt). 4. d = ( ) Exercice 86. Soiet (u ) ue suite coverget vers 0 et (v ) ue suite orée. Motrer que (u v ) ted vers 0. Exercice 87 (Théorème de Cesàro). A Soit (u ) N ue suite coverget vers l. Posos S = u u. Nous désiros motrer le théorème de Césro, c est-à-dire que 1 S coverge vers l. 1. Motrer que pour tout ε > 0, il existe N N tel que pour tout N, u k ( N + 1)l < ( N + 1)ε. k=n 2. Motrer que pour tout ε > 0 et N N, il existe N N tel que pour tout N 1 N 1 u k < ε. k=1 3. Motrer e découpt l somme S stucieusemet, que 1 S coverge vers l. Eresto Cesàro (itlie ) 5.2 Suites à vleurs réelles et reltio d ordre Ds cette sectio, les suites sot supposées à vleurs réelles fi de pouvoir utiliser les iéglités Iéglité et limites Voyos mitet commet utiliser les iéglités vec les limites. Propositio 5.5 (Prologemet des iéglités lrges). Soiet (u ) et (v ) deux suites covergetes à vleurs réelles. S il existe m N tel que u v pour tout m, lors lim u lim v. E prticulier, le résultt ppliqué à l suite v = B pour tout implique qu ue suite covergete telle que u B ue limite iférieure ou égle à B. Il est très importt de oter que des iéglités strictes e se trsportet ps à l limite. E effet, 1/ > 0 mis lim 1/ = 0. Démostrtio. Posos l = lim u et l = lim v. Soit ε > 0. Puisque (u ) coverge vers l, il existe N 1 tel que u > l ε pour tout N 1. De même, il existe N 2 tel que v < l + ε pour tout N 2. Cosidéros N = mx{n 1, N 2, m}, ous trouvos l < u + ε v + ε < l + 2ε. Ds l deuxième iéglité, ous vos utilisé l hypothèse u v pour m. Nous e déduisos que l < l + 2ε pour tout ε > 0. Ceci implique l l. Théorème 5.6 (Théorème des gedrmes). Soiet (u ), (v ) et (w ) trois suites réelles. Supposos

72 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES m N, m, u v w. 2. lim u = lim w = l. Alors (v ) coverge vers l. Démostrtio. Soit ε > 0. Cherchos N tel que v l < ε pour tout N. Il existe N 1 tel que w < l + ε pour tout N 1. De même, il existe N 2 tel que u > l ε pour tout N 2. Posos N = mx{n 1, N 2, m}. Nous oteos que ε < u l v l w l < ε pour tout N. Ceci implique que v l < ε pour tout N. Attetio! Il est ps suffist d utiliser l propositio 5.5 deux fois, cr pour utiliser cet rgumet, il serit écessire de svoir que l suite (v ) coverge ce qui e fit ps prtie des hypothèses du théorème des gedrmes. Exemple : L suite v = si ted vers 0 cr 1 v Suites mootoes à vleurs ds R pour tout 1. Rppellos qu ue suite est croisste ssi u u +1 pour tout 0. Ue suite est décroisste ssi u u +1 pour tout 0. Ue suite est mootoe si elle est croisste ou décroisste. L suite est mjorée s il existe M R tel que u M pour tout N. L suite est miorée s il existe m R tel que u m pour tout N. Remrquer qu ue suite mjorée et miorée est orée, et réciproquemet. Le théorème suivt costitue l propriété de se cocert les suites mootoes. Il représete otre pricipl outil pour prouver ue covergece. Lorsque vous fites fce à ue suite, commecez pr vérifier si elle est ps mootoe. Théorème 5.7 (Covergece des suites croisstes). Ue suite réelle croisste et mjorée (u ) coverge. De plus, lim u = sup u = sup{u N}. Démostrtio. Soit ε > 0, cherchos N N tel que pour tout N, u sup u k ε. Puisque sup u est le supremum, il existe N N tel que sup u k ε < u N sup u k. Aisi, pour tout N, sup u k ε < u N u sup u k < sup u k + ε. Attetio! Ce résultt est ps vri ds Q. U résultt équivlet existe pour les suites décroisstes et mootoes. Le résultt suivt est très utile, cr il permet de prouver l covergece de suites ss e coitre l limite évetuelle. Théorème 5.8 (Théorème des suites djcetes). Soiet (u ) et (v ) deux suites réelles. Si (i) (u ) est croisste et (v ) est décroisste, (ii) v u pour tout 0, (iii) lim (v u ) = 0, lors (u ) et (v ) coverget et lim u = lim v.

73 u 1 u 2 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES 72 Deux suites vérifit les propriétés (i), (ii) et (iii) sot dites djcetes. v 0 v1 v 2 v 3 v u u 3 u 0 Démostrtio. L suite (u ) est mjorée pr v 0, puisque pour tout 0, u v v 0. Aisi, (u ) est croisste et mjorée. Elle coverge doc vers u certi réel l. De même, (v ) est décroissce et miorée, elle coverge doc vers l. De plus, l propriété (iii) implique que l = l. Doos u exemple d pplictio directe. Corollire 5.9 (Théorème des segmets emoités). Soit (I ) N ue suite de segmets emoités (I +1 I ). Si l logueur des segmets coverge vers 0, lors I est u sigleto. N Démostrtio. Tout d ord, posos I = [u, v ]. Puisque [u +1, v +1 ] = I +1 I = [u, v m ], ous oteos que u u +1 v +1 v. De plus, v u ted vers 0 pr hypothèse. Les suites (u ) et (v ) sot doc djcetes. Pr le théorème précédet, elles coverget vers u réel l. Ce réel est ds chque I, puisque u l v pour tout. E coclusio, N I est o vide. Mitet, si x N I, lors x l est iférieur à l logueur de I, et ce pour tout. Nous e déduisos que x l = 0, i.e. x = l. Aisi, N I e cotiet qu u seul élémet. Ce corollire est très utile pour prouver l existece d ojets. Exercice 88 (Iversio des supremums, ps des limites). 1. Motrer que pour tout esemles A, B, et pour toute fmille ( i,j ) i A,j B à vleurs ds R, sup A sup B i,j = sup B 2. Trouver u exemple de fmille ( i,j ) i N,j N telle que sup i,j. A lim lim i,j lim lim i,j. i j j i Exercice 89 (Théorème spécil des séries lterées). Soit (u ) ue suite réelle décroisste qui coverge vers 0 et posos S = ( 1) k u k. k=0 1. Motrer que (S 2 ) et (S 2+1 ) sot djcetes. E déduire que (S ) coverge.

74 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES Motrer que pour tout m, S S m u +1 (Idictio : utiliser le fit que u k u k+1 0). E déduire que si S = lim S, lors S S u Motrer que l suite limite vut log 2). ( 1) k+1 k=1 k coverge (Vous motrerez durt le secod semestre que l Exercice 90. Soiet < deux réels positifs. Défiissos les deux suites (x ) et (y ) pr récurrece pr x 0 =, y 0 = et pour tout N, x +1 = x + y x y et y +1 = Motrer que pour tout x, y R, x 2 + y 2 2xy. E déduire que x y pour tout N. 2. Motrer que (x ) croit et que (y ) décroit. 3. Motrer que (x ) et (y ) coverget (o les oter l et l ). Utiliser le fit que y +1 = x+y 2 fi de motrer que l = l+l 2. E déduire que l = l. L limite commue est ppelée moyee rithmético-géométrique de et. Exercice 91. A Défiir u = (1 + 1/) et v = (1 + 1/) Motrer que (u ) et (v ) sot djcetes. 2. E déduire qu elles coverget vers ue même limite. L limite des suites (u ) et (v ) est e fit e = exp(1), comme ous le verros plus trd ds le cours. Exercice 92 (Suites sous-dditives). A Soit (u ) ue suite réelle orée iférieuremet telle que, m N, u +m u + u m. Le ut de cet exercice est de motrer que (u /) coverge vers if{u /, N}. 1. Motrer que l = if{u, N} est ie défiie. 2. Motrer que pour tout etiers p, q, r > 0, ous vos u pq pq 3. Soit ε > 0. Motrer qu il existe m N tel que pour q m, uq q et u pq+r pq + r uq q + ur pq + r. u q q < l + ε. 4. Soit ε > 0, motrer que pour N ssez grd, u < l + 2ε. 5. E déduire que (u ) coverge vers l. 5.3 Vleurs d dhérece d ue suite. Lorsque ue suite e coverge ps, il est prfois possile que certis termes de l suite formet eux-mêmes ue suite covergete. Les limites de ce type de suite jouet u rôle importt, et sot ppelées vleurs d dhérece. Nous les étudios mitet. Ue sous-suite extrite de (u ) est ue suite de l forme (u ϕ() ), où ϕ N N est strictemet croisste. Exemple : (u 2 ), (u 2+1 ), (u 2 ) et (u p ), où p est le -ième omre premier, sot toutes des sous-suites extrites de (u ). Propositio Toute sous-suite extrite d ue suite covergete l même limite. Démostrtio. Soit (u ) ue suite coverget vers l K. Soit (u ϕ() ) ue sous-suite extrite. Soit ε > 0. Cherchos N > 0 tel que pour tout N, u ϕ() l < ε. Puisque (u ) coverge vers l, il existe N > 0 tel que u l < ε pour tout N. Mitet ϕ() (voir l exercice 28), doc u ϕ() l < ε ce qui coclut l preuve.

75 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES 74 Défiitio Soiet (u ) K N et K, est ue vleur d dhérece de (u ) s il existe ue sous-suite extrite de (u ) qui coverge vers. Sur le dessi, ue suite vec deux vleurs d dhérece. E leu et mrro, les idices de deux suites extrites coverget vers ces deux vleurs d dhérece. L propositio 5.10 ffirme doc qu ue suite covergete dmet ue uique vleur d dhérece, qui est s limite. Elle offre ue techique efficce pour motrer qu ue suite est divergete. Il suffit d exhier deux vleurs d dhérece différetes. O pourr peser à l exemple de u = ( 1) (1 + 1 ), pour lequel 1 et -1 sot cliremet des vleurs d dhérece. Propositio Soiet (u ) K N et K. Les deux propositios suivtes sot équivletes, (i) est ue vleur d dhérece de l suite (u ), (ii) ε > 0, N N, N, u < ε. E mots, l deuxième propriété correspod à l phrse suivte : quelque soit l distce ε > 0 doée et quel que soit le rg N doé, il existe plus grd que N tel que u et soiet à distce iférieure à ε l u de l utre. Démostrtio. Motros que (i) implique (ii). Puisque est ue vleur d dhérece, il existe ϕ strictemet croisste telle que (u ϕ() ) coverge vers. Fixos mitet ε > 0. Il existe N 0 > 0 tel que u ϕ() < ε pour tout N 0. Pr coséquet, pour tout N > N 0, u ϕ(n) < ε et ϕ(n) N. Pour N < N 0, ous pouvos cosidérer ϕ(n 0 ) N 0 N. Motros que (ii) implique (i). Costruisos ue suite extrite pr récurrece. Pour ε = 1, cosidéros k tel que u k < 1. Posos ϕ(1) = k. Mitet, supposos l suite costruite jusqu u rg. Pour ε = 1 et N = ϕ() + 1, il existe k N tel que +1 u k < Posos k = ϕ( + 1). Remrquez que ϕ( + 1) > ϕ() et u ϕ() < 1/ pour tout 1. L suite (u ϕ() ) est doc ue suite extrite de (u ) coverget vers. L vleur est doc ue vleur d dhérece de (u ). Touros ous mitet vers le théorème pricipl de cette sectio. Berrd Bolzo (ohḿie ) fourit l première défiitio rigoureuse de l otio de limite, isi que les premières preuves puremet lytique du théorème fodmetl de l lgère, du théorème des vleurs itermédiires et du théorème de Bolzo- Weierstrss. Ses trvux furet égrés et restèret logtemps igorés de l commuité. Krl Weierstrss (llemd ) l u des fodteurs de l lyse modere. Théorème 5.13 (théorème de Bolzo-Weierstrss). Toute suite orée à vleurs ds R ou ds C possède ue vleur d dhérece.

76 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES 75 Avt de motrer ce résultt, précisos qu il est ps vri pour les suites à vleurs ds Q : l suite ds Q doée pr r = e possède ps de vleur d dhérece. E effet, si elle e possèdit ue, celle-ci serit égle à 2. Mis 2 est ps u rtioel, ce qui exclue le fit qu il soit vleur d dhérece de l suite, lorsque cosidérée comme suite d etiers rtioels. Pr cotre, 2 est ue vleur d dhérece de r lorsque cosidérée comme suite à vleurs ds R. Afi de motrer ce théorème, ous itroduisos ue otio très utile cocert les suites à vleurs réelles. Défiitio Les limite sup et limite if d ue suite orée (u ) à vleurs réelles sot défiies pr les formules suivtes lim sup u ot. = lim sup k u k et lim if u ot. = lim if k u k. Nous isistos sur le fit que l suite doit être supposée orée et réelle. E effet, les supremum de l forme sup k u k sot fiis puisque (u ) est mjorée. Aisi, l suite (sup k u k ) est décroisste. Puisque (u ) est miorée, l suite (sup k u k ) est miorée et l suite coverge doc, ce qui justifie ie l défiitio. Notos que l suite de terme géérl α = sup k u k est décroisste, cr les esemles {u k, k } sot de plus e plus petit. (Rppelos que sup A f sup B f lorsque A B.) Propositio Les limsup et limif sot des vleurs d dhérece. De plus, l limsup est le mximum de l esemle des vleurs d dhérece. L limif est le miimum des vleurs d dhérece. Démostrtio. Effectuos l preuve pour l limsup, l preuve pour l limif étt similire. Nous utilisos l crctéristio (ii) de l vleur d dhérece. Soit ε > 0 et N 0. Puisque l suite de terme géérl sup k u k ted vers lim sup u et est décroisste, il existe N 0 tel que pour tout N, lim sup u sup u k lim sup u + ε. k E prticulier, puisque u sup k u k, ous e déduisos que tout vleur d dhérece est iférieure ou égle à lim sup u. Ds l utre ses, vérifios que lim sup u est ue vleur d dhérece. Cosidéros = mx{n, N }. L crctéristio du supremum implique l existece de k = mx{n, N } tel que sup k u k ε u k sup u k. k E réijectt ds l équtio précédete, ous oteos lim sup u ε u k lim sup u + ε. Démostrtio du théorème de Bolzo-Weierstrss. Ds le cs d ue suite à vleurs réelles, il suffit de predre l limsup, qui est ie défiie puisque l suite est orée.

77 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES 76 Ds le cs d ue suite à vleurs complexes, oservos que (Re(u )) est ue suite réelle orée, qui dmet doc ue vleur d dhérece. Supposos que (Re(u ϕ() ) soit ue suite covergete vers cette vleur d dhérece. L suite (Im(u ϕ() )) est elle ussi orée et réelle, et elle dmet doc elle ussi ue vleur d dhérece. Soit ψ telle que (Im(u ϕ(ψ()) )) coverge. Puisque (Re(u ϕ(ψ()) ) coverge comme suite extrite d ue suite covergete, o otiet que (u ϕ ψ() ) coverge puisque s prtie réelle et s prtie imgiire coverget. Exercice 93. Soit (u ) ue suite à vleurs réelles. 1. Motrer que si les suites (u 2 ) et (u 2+1 ) coverget vers l même limite, lors l suite (u ) coverge. 2. Motrer que si les suites (u 2 ), (u 2+1 ) et (u 3 ) coverget, lors l suite (u ) coverge. 3. A Doer u exemple d ue suite (u ) divergete telle que pour tout k 2, l suite (u k ) soit covergete. Exercice Doer u exemple de suites possèdt respectivemet ue, deux et trois vleurs d dhérece. 2. Même questio vec m vleurs d dhérece. 3. A Même questio vec N. 4. AA Même questio vec R. Détermier, lorsqu elles existet, les limif et limsup de ces suites. Exercice 95 (Ue preuve pr dichotomie du théorème de Bolzo-Weierstrss). Soit (u ) ue suite à vleurs ds [, ]. O désire costruire ue sous-suite covergete (u ϕ() ). Posos ϕ(0) = 0, 0 = et 0 =. 1. Motrer qu ou ie il existe ue ifiité d idices tels que u [ +, ], ou ie il existe ue 2 ifiité d idices tels que u [, + 2 ]. Ds le premier cs, posos 1 = 0+ 0 et 2 1 = 0. Ds le deuxième cs, posos 1 = 0 et 1 = De plus, o pose ϕ(1) comme étt le plus petit 2 idice ϕ(0) = 0 tel que u [ 1, 1 ]. 2. Motrer qu ou ie il existe ue ifiité d idices ϕ(1) tels que u [ 1+ 1, 2 1 ], ou ie il existe ue ifiité d idices tels que u [ 1, et 2 = 1. Ds le deuxième cs, posos 2 = 1 et 2 = 1+ 1 étt le plus petit idice ϕ(0) = 0 tel que u [ 2, 2 ]. ]. Ds le premier cs, posos 2 = De plus, o pose ϕ(2) comme 3. Poursuivre cette costructio fi d oteir trois suites ( ), ( ) et (u ϕ() ) vec des propriétés ie choisies. 4. Motrer que ( ) est croisste, ( ) est décroisste, et ted vers 0. E déduire que ( ) et ( ) tedet vers ue limite l. 5. E déduire que (u ϕ() ) ted églemet vers l. Le ut de l exercice suivt est de motrer que toute suite orée ds R ou C possèdt ue uique vleur d dhérece est covergete. Exercice 96. Soit (u ) suite orée à vleurs ds R ou C. 1. Motrer que (u ) possède ue vleur d dhérece, que l o ote. 2. Supposos que (u ) e coverge ps, motrer qu il existe ε > 0 tel que pour tout N N, il existe N tel que u ε. 3. Prouver l existece d ue sous-suite extrite de (u ), que l o oter (u ϕ() ), telle que u ϕ() ε pour tout Motrer que (u ) possède ue vleur d dhérece. 5. Coclure que toute suite orée ds R ou C possèdt ue uique vleur d dhérece est covergete. Ce résultt est utilisé très fréquemmet e mthémtique. E effet, il doe u moye de motrer qu ue suite orée coverge : il suffit de cosidérer deux vleurs d dhéreces, et de motrer qu elles sot écessiremet égles. 2

78 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES Suites de Cuchy Le défut des critères précédets (à l exceptio du théorème des suites djcetes et du théorème ivoqut l uicité de l vleur d dhérece) est qu ils requièret de coitre l limite potetielle vt d etmer ue preuve de covergece. Afi de remédier à cette filesse, ous itroduisos l otio de suite de Cuchy. Ds cette prtie, K peut être égl à R, C ou Q. Défiitio Ue suite (u ) est de Cuchy si ε > 0, N N,, m > N, u u m < ε. Avec les mots, cette défiitio grtit que quelque soit l distce ε > 0, il existe u rg N 0 tel qu près ce rg, tous les termes de l suite sot à distce iférieure à ε les us des utres. Propositio Toute suite covergete est de Cuchy. Démostrtio. Soit ε > 0. Notos l l limite de (u ). Puisque (u ) est covergete, il existe N > 0 tel que pour tout N, u l < ε/2. Aisi, pour tout, m N, u u m u l + l u m u l + u m l < ε/2 + ε/2 = ε. Attetio! Il e suffit ps de motrer que u +1 u ted vers 0 pour motrer qu ue suite est de Cuchy. O pourr méditer sur l exemple de l suite O ie H +1 H = 1 +1 mis H 2 H = H = 2 k=+1 k=1 1 k 1 k. 2 k= = 1 2 ce qui empêche cette suite d être de Cuchy (ppliquer l défiitio à ε < 1/2 pour outir à ue cotrdictio). Jusqu ici, ous vos ps pris l peie de préciser que l suite covergeit ds K. Mis cette omissio est à predre vec des picettes, cr ue suite peut coverger ds u esemle et ps ds u utre. Doos u exemple, cosidéros à ouveu l suite ds Q doée pr r = Cette suite e coverge ps vers 2 ds Q, puisque 2 pprtiet ps à Q (l limite d ue suite à vleurs ds K est u élémet de K). E u certi ses, elle ted vers u "trou" ds Q. À l iverse, l suite, cosidérée comme ue suite d élémets de R, coverge vers 2 ds R. Grdez cette remrque à l esprit lorsque vous ferez de l topologie. Pr cotre, l suite est toujours de Cuchy, qu elle soit cosidérée comme ue suite ds R ou ds Q. Cette suite ous doe u exemple de suite de Cuchy ds Q qui est ps covergete ds R. Il est très importt de réliser que l otio de suite de Cuchy est ps équivlete à l otio de suite covergete.

79 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES 78 Propositio Toute suite de Cuchy est orée. Démostrtio. Soit (u ) ue suite de Cuchy. L défiitio ppliquée à ε = 1 implique l existece de N N tel que u u N 1 pour tout N. E prticulier, l iéglité trigulire doe u u N + 1, N. Nous e déduisos que u M pour tout 0, où M = mx{ u 0, u 1,..., u N 1, u N + 1}. Lemme Ue suite de Cuchy possèdt ue vleur d dhérece est covergete. Ce lemme résume ie l différece etre l otio de suite covergete et suite de Cuchy. À prtir du momet où l o possède u cdidt pour être l limite (ici l vleur d dhérece), lors l suite est effectivemet covergete, et elle coverge vers ce cdidt. Mis il est possile e géérl, pr exemple pour des suites ds Q, que le cdidt e soit ps ds l esemle. Démostrtio. Soit K ue vleur d dhérece de (u ). Soit ε > 0, il existe N 0 > 0 tel que pour tout, m N u u m < ε/2. Puisque est ue vleur d dhérece, il existe N > N 0 tel que N < ε/2. Dès lors, pour tout N 0, u u u N + u N < ε/2 + ε/2 = ε. U espce X tel que toute suite ds X de Cuchy est covergete ds X est ppelé u espce complet. Pr exemple, l esemle Q est ps complet comme ous l fourit l exemple de l ecdré précédet. Pour reveir à l troisième filesse de Q expliquée ds le chpitre sur R, les suites qui uriet dû coverger ds Q sot les suites de Cuchy. Pr cotre, R et C sot des espces complets. Metioos que Cuchy propos ue costructio ltertive de R, utilist les suites de Cuchy à vleurs ds Q, qui fit de R u esemle complet imméditemet. Pr cotre, il fut trviller quelque peu pour motrer l existece d u supremum et u ifimum, ue propriété qui étit immédite vec l costructio de Dedekid. Corollire 5.20 (R et C sot complets). Toute suite de Cuchy ds R ou C coverge ds R ou C. Démostrtio. Puisque qu ue suite de Cuchy est orée, le théorème de Bolzo- Wieirstrss implique qu elle possède ue vleur d dhérece. L propositio précédete implique que l suite est covergete. Il est temps de fire u poit sur les différetes techiques dispoiles pour prouver l covergece de suites.

80 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES Si l limite potetielle est ps coue. Ds ce cs, les seules techiques possiles sot : () Si ous sommes e fit e possessio de deux suites djcetes, o utilise le théorème des suites djcetes (cs de R). () O motre que l suite est orée et possède ue uique vleur d dhérece (cs de R ou C). (c) O motre qu elle est de Cuchy (cs de R ou C). 2. Si l limite potetielle est coue () O peut ecdrer l suite pr deux suites coues et utiliser le théorème des gedrmes. () O prouve l covergece à l mi. Exercice 97. Ds cette exercice, ous cosidéros K différet de Q, R ou C. Motrer que K = Z est complet. Motrer que K = R Q est ps complet. Exercice 98 (irrtiolité de e). A 1. Motrer que M =N+1 1! < 1 pour N ssez grd et M N. N N! 2. Supposos que e = exp(1) = p vec p et q etiers. E cosidért q!e, motrer que l o outit q à ue cotrdictio. 5.5 Suites à récurrece liéire Metioos mitet u exemple typique de suite. Défiitio Ue suite (u ) est dite à récurrece liéire d ordre d s il existe 0,..., d 1 R (o tous uls) et 0,..., d 1 R tels que u i = i pour tout i d 1 et u +d = d 1 u +d u + 0. O dit prfois que l suite v solutio de v +d = d 1 v +d v est l solutio du système homogèe. Il est possile de résoudre ces suites de fço explicite. Nous doos l exemple des suites d ordre 1 et 2. Propositio 5.22 (Suite récurrete d ordre 1 homogèe). Soit (u ) l suite défiie pr l reltio de récurrece u +1 = u et l coditio iitile u 0. Alors pour tout 0, u = u 0. Démostrtio. Ceci suit d ue preuve très simple pr récurrece. Corollire 5.23 (Suite récurrete d ordre 1 ihomogèe). Soit (u ) l suite défiie pr l reltio de récurrece u +1 = u + et l coditio iitile u 0. Alors pour tout 0, (u 0 + u = 1 ) + si u 0 si = 1. Démostrtio. L preuve cosiste à résoudre l équtio où (u ) est remplcée pr l suite costte égle à l. O otiet doc l = l + ce qui doe l = si 1. E 1 post v = u l, ous trouvos que (v ) est solutio du système homogèe. Aisi, v = v 0, d où le résultt.

81 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES 80 Tritos mitet le cs = 1. Ds ce cs, u +1 = u +. O pose v = u. O otiet que v +1 + ( + 1) = v + + ce qui doe v +1 = v et o otiet doc le résultt pr l propositio précédete. Propositio 5.24 (Suite récurrete d ordre 2 homogèe). Soit (u ) l suite défiie pr l reltio de récurrece u +2 = u +1 + u. Alors il existe A et B dépedt uiquemet de, et des coditios iitilles u 0 et u 1 telles que, 1. Si = lors u = Aλ +Bµ où λ et µ sot les deux solutios distictes sur C de x 2 x = Si = = 0, lors u = (A + B)λ où λ est l uique solutio ds C de x 2 x = 0. Démostrtio. Itéressos ous u premier cs. Notos λ et µ les deux solutios de x 2 x, qui sot écessiremet distictes (elles peuvet être complexe). Résolvos le système à deux icoues deux équtios (S) A + B = u 0 Aλ + Bµ = u 1 Le détermit de l équtio d icoues A et B est µ λ 0. Nous oteos A = µu 0 u 1 µ λ et B = λu 0 u 1 λ µ. Motros mitet que u = Aλ +Bµ pr récurrece sur 1, H : "u = Aλ + Bµ et u 1 = Aλ 1 + Bµ 1." H 1 est motré grâce u système (S). Supposos H vrie et motros H +1. Nous vos déjà u = Aλ + Bµ pr H. Mitet u +1 = u + u 1 = (Aλ + Bµ ) + (Aλ 1 + Bµ 1 ) = Aλ 1 (λ + 1) + Bµ 1 (µ + 1) = Aλ 1 λ 2 + Bµ 1 µ 2 = Aλ +1 + Bµ +1. Itéressos-ous u deuxième cs. Notos λ l uique solutio de x 2 x. Puisque et e peuvet ps être uls simultémets, ucu d eux e sot uls (sio cel impliquerit que les deux le serit) o otiet que λ = /2 0. Résolvos le système à deux icoues et deux équtios (S ) A 0 + B = 0 (A + B)λ = 1 Nous oteos A = λ 1 u 1 u 0 et B = u 0. Motros mitet que u = (A + B)λ pr récurrece sur 1, H : "u = (A + B)λ et u 1 = (A( 1) + B)λ 1."

82 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES 81 H 1 est motré grâce u système (S ). Supposos H vrie et motros H +1. Nous vos déjà u = (A + B)λ pr H. Mitet u +1 = u + u 1 = (A + B)λ + (A( 1) + B)λ 1 = [(A + B)λ + (A( 1) + B)]λ 1 = [(A + B)(λ + ) A]λ 1. Mis puisque λ 2 λ +, et x 2 x = (x λ) 2 (λ est l uique solutio de l équtio) ous oteos = λ 2. Aisi, ous trouvos u +1 = [( + )λ 2 + Aλ 2 ]λ 1 = [A( + 1) + B]λ +1. Plutôt de de d écrire géérlemet le cs des suites récurretes d ordre 2 ihomogèes, ous présetos commet les résoudre u cs pr cs. Le ut est de se rmeer u cs de (v ) solutio du système homogèe (que l o sit résoudre pr l propositio précédete) e trouvt ue solutio prticulière. Si + 1, o essye tout d ord de remplcer (u ) pr l, o otiet l = l+l+c. c O otiet l = 1. E post v = u l, o peut résoudre le système homogèe, qui doe lors l solutio du système géérl. Si + = 1 et 1 + 0, o tete de trouver ue solutio de l forme x. O trouve que x( + 1) = x + x( 1) + c implique x = x + c. E post v = u c 1+, o trouve que (v ) stisfit l reltio de récurrece homogèe. Si + = 1 et 1+ = 0, o tete de trouver ue solutio de l forme y 2. O trouve que y( + 1) 2 = y 2 + y( 1) 2 + c implique y = c. O lors que v = u c 2 stisfit l reltio de récurrece homogèe. Exemple : (Suite de Fiocci, douzième siècle) Soit (u ) défiie pr récurrece pr Si ϕ = (le omre d or), lors u 0 = 1 u 1 = 1 u +1 = u + u 1 u = ϕ + ϕ, N.

83 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES Suites tedt vers l ifii et formes idétermiées Défiitio Soit (u ) ue suite réelle. 1. (u ) ted vers + si M R, N N, N, u M. 2. (u ) ted vers si M R, N N, N, u M. Notos que /+ est ps ue limite u ses propre du terme, puisque ce est ps u réel. Il fudr doc fire ttetio lorsque l o mipule ces limites. Nous metioos mitet certies propriétés de l limite (ds le cs où l limite est + ). Propositio Si (u ) ted vers +, lors (u ) est ps mjorée. 2. Si (u ) ted vers + et u v pour tout N, lors (v ) ted vers Si A R est o mjoré, lors il existe ue suite de A tedt vers Si (u ) ue suite réelle croisste o mjorée, lors (u ) ted vers Si (u ) ted vers +, lors 1 u ted vers 0. Démostrtio. Motros 1. Risoos pr l surde. Soit M > 0 mjort (u ). E ppliqut l défiitio de l covergece vers l ifii, il existe N tel que u M + 1 pour tout N, ce qui est surde. Motros 2. Soit M > 0. Il existe N N tel que pour tout N, u M. Nous vos lors v u M pour tout N. Motros 3. Costruisos cette suite pr récurrece. Soit 0, puisque A est ps mjoré, il existe x A tel que x. Posos u = x. L suite (u ) est à vleurs ds A et vérifie u pour tout. Puisque l suite de terme géérl ted vers l ifii, (u ) ted vers l ifii (pr le poit 2). Motros 4. Soit M > 0. Puisque (u ) est ps mjorée, e prticulier il existe N N tel que u N M. Mis lors u u N M pour tout N. Motros 5. Soit ε > 0. Puisque (u ) ted vers +, il existe N N tel que u 1 ε pour tout N. O lors 0 < 1 u ε pour tout N. Notos R = R {, + }. Défiissos les opértios ituitives sur R qui étedet les opértios sur R comme suit : l R, l + + = + et l + = = + et + = l R, l / + = 0 et l / = 0 l > 0, l + = + et l = l < 0, l + = et l = + Remrquez que certies opértios e sot ps utorisées (pr exemple, 0 ou /, ou 0/0 ou même 1/0). Ces opértios correspodet à des expressios dites formes idétermiées. Exemple : L limite de u = 2 est +, et v = 2 est. Propositio Soiet (u ) et (v ) deux suites covergetes. Les limites respectet les opértios, tt que celles-ci e sot ps des formes idétermiées.

84 CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES 83 Démostrtio. Il suffit de vérifier tous les cs. C est u peu fstidieux mis cel foctioe ss ucu prolème. Nous verros ds le chpitre sur les développemets symptotiques commet s occuper des formes idétermiées.

85 Chpitre 6: Foctios Cotiues 6.1 Limite d ue foctio e u poit Ds cette prtie, E R est ue prtie de R. O ote E l esemle des poits x 0 R tel qu il existe ue suite (u ) E N tedt vers x 0. Cet esemle est ppelé l dhérece de E. Pr exemple (, ) = [, ], R {0} = R Covergece e x 0 Défiitio 6.1. Soiet l R et E R. Cosidéros x 0 E. L foctio f : E R ted vers l e x 0 si ε > 0, δ > 0, x E, [ x x 0 < δ f(x) l < ε]. 1. Notos lors lim x x 0 f(x) = l. 2. Comme pour l limite de suite, le symole lim e peut être utilisé que si ous vos précédemmet prouvé l existece de cette limite. 3. Lorsque x 0 E, ous vos écessiremet f(x 0 ) = l. 4. L limite e x 0 est ue propriété locle. Elle e déped que de l foctio "u voisige de x 0 ". Exemple : L limite de lim x 3 x 2 9 = 0. Pour motrer que f ted vers l e x 0, il fut motrer que pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que x x 0 < δ implique f(x) l < ε pour tout x E. Aisi, o commecer toujours l preuve pr l phrse suivte : Soit ε > 0. O cherche esuite δ > 0. Après l voir costruit, o écrit. Soit x E tel que x x 0 < δ, motros que f(x) l < ε. 84

86 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES 85 Comme pour l limite de suite, de omreuses propriétés sot vérifiées. E prticulier, l limite se comporte ie vis-à-vis des opértios. Propositio 6.2. Soiet f et g deux foctios de E ds R. Supposos que f coverge vers l e x 0 et g coverge vers l e x 0. Alors f + g coverge vers l + l, fg coverge vers ll, Si l 0, lors g 0 pour x ssez proche de x 0 et f/g coverge vers l/l. Démostrtio. Preuve pour l somme. Soit ε > 0. Cherchos δ > 0 tel que pour tout x E, x x 0 < δ implique (f + g)(x) (l + l ) < ε. Il existe δ 1 tel que x x 0 < δ 1 implique f(x) l < ε 2. Il existe δ 2 tel que x x 0 < δ 2 implique g(x) l < ε 2. Posos δ = mi{δ 1, δ 2 }. Pour tout x E tel que x x 0 < δ, (f + g)(x) (l + l ) f(x) l + g(x) l < ε/2 + ε/2 = ε. Preuve pour l multiplictio. Soit ε > 0. Cherchos δ > 0 tel que pour tout x E, x x 0 < δ implique (fg)(x) ll < ε. Il existe δ 1 > 0 tel que x x 0 < δ 1 implique f(x) l < ε 2 l. E prticulier, f(x) est orée sur (x 0 δ 1, x 0 + δ 1 ). Il existe δ 2 > 0 tel que x x 0 < δ 2 implique g(x) l ε < 2 mx x (x0 δ 1,x 0 +δ 1 ) f(x). Posos δ = mi{δ 1, δ 2 }. Pour tout x E tel que x x 0 < δ, (fg)(x) (ll ) = f(x)(g(x) l ) + l (f(x) l) f(x) g(x) l + l f(x) l ( mx f(x) ) ε x (x 0 δ,x 0+δ) 2 mx x (x0 δ 1,x 0+δ 1) f(x) + ε l 2 l < ε/2 + ε/2 = ε. O utilisé le fit que le mximum de f est plus petit sur [x 0 δ, x 0 + δ] que sur [x 0 δ 1, x 0 + δ 1 ]. Preuve pour le quotiet. Soit ε > 0. Cherchos δ > 0 tel que x x 0 < δ implique f(x) g(x) l < ε. l Tout d ord, e ppliqut l défiitio de l cotiuité de g e x 0 à ε = l /2, il existe δ 1 > 0 tel que x x 0 < δ 1 implique l g(x) g(x) l < l /2, ce qui ous doe g(x) > l /2. Soit ε > 0. Il existe δ 2 > 0 tel que x x 0 < δ 2 implique f(x) l < ε l. De même, il 4 existe δ 3 > 0 tel que x x 0 < δ 3 implique g(x) l < ε l 2. Posos δ = mi{δ 1, δ 2, δ 3 }. 4 l Pour tout x E tel que x x 0 < δ, f(x) g(x) l l = f(x) l + l ( 1 g(x) g(x) 1 l ) = f(x) l g(x) g(x) l + l l g(x) 1 = f(x) l g(x) + l l g(x) g(x) l < ε l 4 2 l + 2 l ε l 2 = ε l 2 4 l 2 + ε 2 = ε.

87 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES 86 Ds l preuve précédete, les formules sot logues et hideuses. O peut e fit simplifier ces formules e remrqut que les ssertios suivtes sot équivletes (voir l exercice 100) 1. ε > 0, δ > 0, x E, [ x x 0 < δ f(x) l < ε] 2. ε > 0, δ > 0, x E, [ x x 0 < δ f(x) l ε] 3. M > 0, ε > 0, δ > 0, x E, [ x x 0 < δ f(x) l Mε] O peut lors réécrire pr exemple l derière preuve e pret δ > 0 tel que g(x) l /2, f(x) l < ε et g(x) l < ε. O lors qui est de l forme 3. vec M = 1 l f(x) g(x) l l ( 1 l + 2 l l 2 ) ε +2 l l 2. Aisi, il est ps vrimet écessire de devier quels sot les os ε 1, ε 2 > 0 tels que f(x) l < ε 1 et g(x) l < ε 2 à predre pour oteir ε à l fi. À prtir de mitet, ous utiliseros cette remrque systémtiquemet Covergece e ± et covergece vers ± Supposos ds cette sectio que (x 0, + ) E si o cosidère l limite e + ou (, x 0 ) E si l o cosidère l limite e. Défiitio 6.3 (limite e ± ). O dit que l foctio f coverge vers l e + si ε > 0, M > 0, x E, [x > M f(x) l < ε]. O ote lors lim x f(x) = l. De même, l foctio f coverge vers l e si O ote lors lim x f(x) = l. ε > 0, m < 0, x E, [x < m f(x) l < ε]. L propriété sur les opértios sur les limites est l même. Je vous lisse s preuve comme exercice. Défiitio 6.4 (covergece vers ± ). O dit que l foctio f coverge vers + e x 0 si A > 0, δ > 0, x E, [ x x 0 δ f(x) A]. O ote lors lim x x0 f(x) = +. De même, l foctio f coverge vers e x 0 si O ote lors lim x x0 f(x) =. B < 0, δ > 0, x E, [ x x 0 δ f(x) B]. 6.2 Cotiuité des foctios de l vrile réelle Défiitio de l cotiuité. Cuchy (1821) itroduisit le cocept de foctio cotiue, e exiget que des vritios idéfiimet petites de x produiset des vritios idéfiimet petites de y :

88 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES 87 "...f(x) ser foctio cotiue, si l vleur de l différece f(x + α) f(x) décroît idéfiimet vec celle de α..." Bolzo (1817) et Weierstrss (1874) furet plus précis : l différece f(x) f(x 0 ) doit être ritriremet petite, si l différece x x 0 est suffismmet petite. Défiitio 6.5. Soiet f : E R et x 0 E. L foctio f est cotiue e x 0 si f ted vers f(x 0 ) e x 0. f(x 0 ) + ε f(x 0 ) ε f(x 0 ) x 0 x 0 δ x 0 + δ Metioos dès à préset les remrques suivtes. 1. Si f est ps cotiue e x 0, elle est dite discotiue e x Si f est cotiue pour tout x 0 E, f est dite cotiue sur E. L esemle des foctios cotiues de E ds R est oté C 0 (E, R). 3. L cotiuité e x 0 est ue propriété locle. Elle e déped que de l foctio "u voisige de ". Il existe ue défiitio ltertive de l cotiuité, que ous présetos mitet. Théorème 6.6. Soiet f : E R et x 0 E. Les deux ssertios suivtes sot équivletes : (i) f est cotiue e x 0. (ii) Pour tout suite (u ) E N covergete vers x 0, lim f(u ) = f(x 0 ).

89 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES 88 Démostrtio. Motros que (i) implique (ii). Soit (u ) ue suite coverget vers x 0. Soit ε > 0, il existe δ > 0 tel que pour tout x E, x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. Puisque (u ) coverge vers x 0, il existe N > 0 tel que pour tout N, u x 0 < δ. Nous vos doc f(u ) f(x 0 ) < ε pour tout N. Motros que (ii) implique (i). Pour cel, utilisos l cotrposée. Supposos o(i), i.e. que f est ps cotiue e x 0. Alors il existe ε > 0 tel que pour tout δ > 0, il existe x δ E tel que x x 0 < δ et f(x) f(x 0 ) > ε. Pour δ = 1, otos l élémet u. Nous vos lors u x 0 < 1 et f(u ) f(x 0 ) > ε. Doc (u ) ted vers x 0 et f(u ) e ted ps vers f(x 0 ). Nous veos doc de motrer o(ii). O utiliser souvet l propriété précédete comme ceci. Pour toute foctio cotiue f et toute suite covergete (u ) lim f(u ) = f( lim u ). Pour motrer que f est cotiue e x 0, il fut motrer que pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que x x 0 < δ implique f(x) f(x 0 ) < ε pour tout x E. Aisi, o commecer toujours l preuve pr l phrse suivte : Soit ε > 0. O cherche esuite δ > 0. Après l voir défii, o écrit. Soit x E tel que x x 0 < δ, motros que f(x) f(x 0 ) < ε. Metioos des exemples élémetires de foctios cotiues. Exemple : Les foctios costtes sot cliremet cotiues. Exemple : L foctio idetité sur E R est cliremet cotiue. R R Exemple : L foctio défiie pr f x si( 1 x x ) si x 0 est cotiue e 0 si x = 0 0. E effet, ous vos que f(x) x ce qui implique fcilemet que l limite de f e 0 est 0. Afi de prouver qu ue foctio est ps cotiue e x 0, il ous fut motrer que pour u certi ε > 0, l propriété suivte est vlide : δ > 0, x E, [ x x 0 < δ et f(x) f(x 0 ) ε]. Ue fço équivlete de voir cette ssertio, et qui peut être prtique cocrêtemet, est de motrer Il existe ue suite (u ) tedt vers x 0 telle que f(u ) f(x 0 ) ε. O ppelle ce critère le critère séquetiel de o-cotiuité.

90 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES 89 Exemple : f R R si( 1 x x ) si x 0 1 si x = 0 est discotiue e 0. Démostrtio. Pour u = 1 π, o otiet que f(u ) = 0 pour tout 1 et doc f(u ) f(0) 1 pour tout 1. Exemple : L foctio χ Q R R est prtout discotiue. L foctio χ Q Q R est cotiue (cr costte). Aisi, il est très importt de préciser le domie de défiitio. Démostrtio. Soit x Q. Soit (u ) ue suite d irrtioels tedt vers x. Nous vos lors χ Q (u ) = 0 qui e ted ps vers χ Q (x) = 1. Similiremet, pour x Q, cosidèros ue suite de rtioels tedt vers x Mximum et miimum d ue foctio cotiue Défiitio 6.7. Soiet f : E R et x 0 E. L foctio f dmet u mximum e x 0 si x E, f(x) f(x 0 ). L foctio f dmet u miimum e x 0 si x E, f(x) f(x 0 ). Théorème 6.8. Fixos I = [, ] u itervlle fermé. Ue foctio cotiue f : [, ] R dmet u mximum et u miimum. Ce théorème remote à Bolzo et été utilisé pr Weiestrss (1861) et Ctor (1870). Démostrtio. Motros que f dmet u mximum (l même preuve s pplique pour le miimum). Soit M = sup{f(x), x [, ]} possilemet ifii si {f(x) x [, ]} est ps oré. Si M est fii, l défiitio séquetielle du sup implique l existece d ue suite (y ) à vleurs ds f([, ]) telle que (y ) ted vers M. Si M = +, l crctéristio des esemles o orés implique églemet l existece d ue suite (y ) à vleurs ds f([, ]) telle que (y ) ted vers. Ds les deux cs, puisque y est à vleurs ds f([, ]), il existe (x ) telle que y = f(x ) pour tout. Mitet, (x ) est à vleurs ds [, ], le théorème de Bolzo-Weierstrss ous permet doc d extrire ue sous-suite covergete (x ϕ() ). Soit x l limite de (x ϕ() ), ous vos f(x) = lim f(x ϕ() ) = lim y ϕ() = M. Aisi, le supremum M est écessiremet fii et est tteit e x Opértios sur les foctios cotiues Propositio 6.9 (opértios sur les foctios cotiues). Soiet f, g C 0 (E, R) et λ R des foctios cotiues (e x 0 ). Alors f + g, λf, fg et si g e s ule ps e x 0, lors f g sot cotiues (e x 0). Démostrtio. Il suffit d ppliquer l propositio 6.2, qui grtit que f + g, fg et f/g coverget vers l somme, le produit et le quotiet des limites de f et g, c est-à-dire f(x 0 ) + g(x 0 ), f(x 0 )g(x 0 ) et f(x 0 )/g(x 0 ).

91 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES 90 Remrquer que si ue foctio cotiue est différete de zéro e u poit, elle est o ulle utour de ce poit (sur u petit itervlle de l forme [x 0 δ, x 0 + δ] pour u certi δ > 0 tout du mois). Cette propositio permet de doer de ouveux exemples de foctios cotiues. Exemple : Les foctios polyomiles sot cotiues. Démostrtio. Ce sot des sommes et produits de foctios costtes et idetité. Exemple : Les foctios rtioelles sot cotiues sur leur esemle de défiitio. Ue foctio f : A R est dite rtioelle s il existe des foctios polyomiles P, Q vec Q e s ult ps sur A tel que x A, f(x) = P (x) Q(x). Démostrtio. Les foctios rtioelles sot des quotiets de foctios polyomiles. Elles sot doc cotiues. Propositio 6.10 (compositio d pplictios cotiues). Soiet f : E F R et g : F R. Doos ous E. Si f est cotiue e x 0 et g est cotiue e f(x 0 ), lors g f est cotiue e x 0. Aisi, l composée de deux foctios cotiues est cotiue. Démostrtio. Soit ε > 0. L cotiuité de g e f(x 0 ) etrie l existece de δ > 0 tel que y f(x 0 ) < δ implique g(y) g(f(x 0 )) < ε. L cotiuité de f e x 0 force l existece de η > 0 tel que x x 0 < η implique f(x) f(x 0 ) < δ. Aisi, pour tout x tel que x x 0 < η, g(f(x)) g(f(x 0 )) < ε Théorème des vleurs itermédires Ds cette prtie, E est u segmet [, ]. Théorème 6.11 (Théorème des vleurs itermédiires). Soit f : [, ] R cotiue. Si f()f() 0, lors il existe x [, ] tel que f(x) = 0. Nous e pouvos ps souliger suffismmet l importce de ce théorème ituitif! Il ur de très omreuses coséqueces ds ce cours mis églemet ds d utres cours de votre cursus. Il fut utilisé implicitemet pr Euler et Guss, mis c est Bolzo qui e produisit l première preuve rigoureuse. Démostrtio. Ss perte de géérlité, supposos f() 0 et f() 0. Le cs f() 0 et f() 0 se trite similiremet. Costruisos pr récurrece deux suites djcetes (u ) et (v ) telles que f(u ) 0 et f(v ) 0. Posos u 0 = et v 0 =. Supposos u 0 u 1 u N et v N v N 1 v 0 telles que u v = u + ( )2 et f(u ) 0 et f(v ) 0 pour tout N. Si f( u N +v N 2 ) 0, posos u N+1 = u N et v N+1 = u N +v N 2. Nous vos lors 1. v N+1 v N, 2. u N+1 u N, 3. f(u N+1 ) 0, 4. f(v N+1 ) 0 et 5. v N+1 u N+1 = (v N u N )/2 = ( )2 N 1.

92 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES 91 Si f( u N +v N 2 ) 0, posos v N+1 = v N et u N+1 = u N +v N 2. Nous vos lors 1. v N+1 v N, 2. u N+1 u N, 3. f(u N+1 ) 0, 4. f(v N+1 ) 0 et 5. v N+1 u N+1 = (v N u N )/2 = ( )2 N 1. Puisque les deux suites sot djcetes, elles coverget vers u même réel x. De plus, f étt cotiue et f(u ) 0 pour tout 0, ous oteos f(x) 0. D utre prt, f(v ) 0 pour tout 0 implique f(x) 0. E coclusio, f(x) = 0. Nous utiliseros très souvet le corollire suivt. Corollire Soit f : [, ] R cotiue sur [, ] et λ etre f() et f(). Alors, il existe x [, ] tel que f(x) = λ. Démostrtio. Posos l foctio g de [, ] ds R défiie pr g(x) = f(x) λ pour tout x [, ]. Nous vos ie que g()g() 0. Le théorème des vleurs itermédiires implique l existece de c [, ] tel que g(c) = 0. Puisque g(c) = f(c) λ, ous oteos le résultt. Le théorème des vleurs itermédiires est fussemet trivil : toute l difficulté de so utilistio est de l ppliquer à des foctios f ie choisies! Nous verros de omreuses pplictios du théorème des vleurs itermédiires e exercice. u 0 u 2 1 u 4 3 v 5 v 4 v 2 3 v 0 u 5 v 1 Corollire 6.13 (Bolzo, 1817). Soit f : [, ] R cotiue, lors f([, ]) est u itervlle fermé.

93 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES 92 Démostrtio. Soit M le mximum de f([, ]), tteit e x, et m le miimum de f([, ]) tteit e y. Soit λ [m, M]. Puisque (f(x) λ)(f(y) λ) 0, le théorème des vleurs itermédiires ppliqué à l foctio g = f λ implique l existece de z etre x et y tel que g(z) = 0, i.e. f(z) = λ. Nous e déduisos que λ f([, ]). Aisi, [m, M] f([, ]) [m, M] Iverse d ue foctio cotiue Commeços pr ue crctéristio des foctios mootoes cotiues. Ds cette sectio, l esemle de défiitio de f est u itervlle I. Rppelos qu u itervlle peut coteir ou o certies de ses ores. De plus, comme prouvé précédemmet, les itervlles sot exctemet les esemles I de R tels que α, β I, [α, β] I. Lemme Fixos I u itervlle de R. Soit f : I R mootoe, les deux propositios suivtes sot équivletes : (i) f est cotiue. (ii) f(i) est u itervlle. Démostrtio. Motros que (i) implique (ii). Soit α < β ds f(i). Le corollire du théorème des vleurs itermédiires implique que [α, β] f(i). L crctéristio des itervlles implique que f(i) est u itervlle. Itéressos ous à (ii) implique (i). Supposos f croisste et I = [, ] (le cs f décroisste suit les mêmes liges). Soit ε > 0. Doos ous < x 0 < (les cs x 0 = et x 0 = sot trités de l même fço). Comme f(i) est u itervlle et f croisste, il existe x < x 0 < y tel que f(x 0 ) ε f(x) f(x 0 ) f(y) f(x 0 ) + ε. Posos δ = mi{x 0 x, y x 0 }. Pour tout t tel que t x 0 < δ, f(t) f(x 0 ) < ε. Théorème Fixos I u itervlle de R. Soit f : I R cotiue et strictemet mootoe, lors f : I f(i) est ijective et f 1 f(i) I est cotiue sur f(i). Démostrtio. Puisque f est strictemet mootoe, f est ijective et doc ijective de I ds f(i). Mitet, f(i) est u itervlle cr f est cotiue (poit (ii) du lemme précédet). Puisque f 1 est mootoe et f 1 (f(i)) = I est u itervlle, le poit (i) du lemme précédet implique que f 1 est cotiue. Exemple : Soit 1. Défiissos l réciproque de f g R + R + x x R + R + x x, que l o oter. Cette foctio est cotiue et strictemet croisste. Défiitio Soit f : E F f est u homéomorphisme si f est cotiue. f ijective. f 1 cotiue. Les esemles E et F sot lors dits homéomorphes. Il peut exister des foctios ijectives cotiues, ss que l réciproque soit cotiue. D près l étude précédete, ces foctios e sot ps défiies sur des itervlles. Pr exemple, [0, 1) {2} [0, 1] f x f(x) = x si x [0, 1) 1 si x = 2

94 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES Prologemet de foctios cotiues De omreuses foctios sot turellemet défiies sur des sous-esemles de R. U exemple typique est l foctio sur R défiie pr f(x) = x si(1/x). Cette foctio est priori ps défiie e 0, puisque l formule e s éted ps. Pr cotre, ous llos voir qu il est possile d étedre l foctio à R tout etier même ss étedre l formule. Défiitio Soiet f : E R et x 0 E. Si lim x x0 f(x) = l, l foctio f E {x 0 } R f(x) si x E x f(x) = l si x = x 0 est cotiue. Cette foctio est ppelée prologemet de f à E {x 0 }. Exemple : x x si 1 x se prologe pr 0 e 0. Exercice 99. Défiir l limite e ±, et l limite e x 0 étt égle à l ifii. Exercice 100. Soiet M > 0 et g R + R + ue foctio cotiue e 0 telle que g(0) = 0. Soiet f E R et x 0 E. Motrer que chcue des ssertios suivtes implique que f est cotiue e x 0 : 1. ε > 0, δ > 0, x E, [ x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) ε]. 2. ε > 0, δ > 0, x E, [ x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) Mε]. 3. ε > 0, δ > 0, x E, [ x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) g(ε)]. Nous e déduisos qu il suffit de trouver < Mε, ou ε u lieu de < ε. L derière ssertio e prticulier est très itéresste cr elle permet de se rmeer à d utres foctios cotiues déjà coues, comme pr exemple. Exercice 101. Étudier les poits de cotiuité des foctios suivtes : 1. L foctio f(x) = x 5 de R { 3} ds R. x+3 2. L foctio f(x) = x de R ds R. 3. L foctio f(x) = xχ Q (x) de R ds R. x 2 +2 x si x 0 4. L foctio f(x) = x de R ds R. 3 si x = 0 5. Soit N x 1. L foctio f(x) = x si x de R ds R. si x = 1 Exercice 102. Soit f R R. 1. Motrer que si f est cotiue sur R, lors f est cotiue. 2. Doer u exemple de foctio f telle que f est cotiue mis f est discotiue e tout poit. 3. Exprimer mx(x, y) et mi(x, y) e utilist l vleur solue. 4. Motrer que si f et g sot cotiues sur R, lors mx(f, g) et mi(f, g) sot églemet cotiues. Les expressios de mx et mi e foctio de l vleur solue sot très utiles. Exercice 103. Soit f R R cotiue, tedt vers + e + et. Motrer qu il existe M > 0 tel que f(x) f(0) pour tout x R [ M, M]. Motrer que f est miorée et tteit so miimum. Exercice 104. Soit f R R cotiue, tedt vers + e + et. Motrer que f est miorée et tteit so miimum. Exercice 105. Soit f : R R + ue foctio cotiue telle que lim f(x) = 0. Motrer que f dmet x ± u mximum (o pourr s ispirer de l exercice 103). O suppose mitet que f est à vleurs réelles et o ps écessiremet positives et l o suppose toujours que lim f(x) = 0. Motrer que f dmet u mximum ou u miimum (le ou est x ± ps exclusif).

95 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES 94 Exercice 106. Soit α [ 1, 1], cosidéros f R R défiie pr si( 1 ) si x 0, f(x) = x α si x = 0. Motrer que f est cotiue e 0 pour ucue vleur de α. Exercice 107. Soit P u polyôme à coefficiets réels de degré impir. Motrer qu il existe c R tel que P (c) = 0 (Idictio : o pourr utiliser le théorème des vleurs itermédiires). Pour tout d N, doer u exemple de polyôme de degré 2d qui dmet ps de rcie sur R. Exercice (Théorème de poit fixe) Soit f [0, 1] [0, 1] cotiue, motrer qu il existe c [0, 1] tel que f(c) = c. 2. Soiet deux foctios f, g [0, 1] R cotiues telles que f(0) g(0) et f(1) g(1), motrer qu il existe c [0, 1] tel que f(c) = g(c). Idictio : Utiliser le théorème des vleurs itermédiires ppliqué à ue foctio ie choisie. L exercice précédet est typique, il s git d utiliser le théorème des vleurs itermédires ppliqué à ue foctio judicieusemet choisie. Cette techique est utilisée fréquemmet. Metioos églemet l défiitio suivte. Soit f I I. U poit l I est u poit fixe de f si f(l) = l. Grphiquemet ce sot les poits d itersectio du grphe de f vec l première issectrice. Exercice 109 (Étude de suites défiies pr récurrece). Soit f [, ] [, ] cotiue. Nous étudios mitet les suites défiies pr L vleur u 0 est ppelée coditio iitile. (R) u +1 = f(u ) N et u 0 [, ]. 1. U poit l [, ] est u poit fixe de f si f(l) = l. Motrer que si (u ) coverge vers l, lors l est u poit fixe de f. 2. Supposos que f est croisste. () Motrer que (u ) est mootoe (Idictio : o pourr motrer que si u 0 u 1, lors (u ) est croisste, et que si u 0 u 1, lors (u ) est décroisste). () Supposos que f dmet u uique poit fixe l, motrer que (u ) coverge vers l. (c) Soit l u poit fixe. Motrer que u 0 l implique u l pour tout, et réciproquemet u 0 l implique u l. 3. A Étudier le comportemet symptotique de (u ) e foctio de l vleur iitile ds le cs de l foctio x x+ 1 si(3πx) de [0, 1] ds lui-même. (Idictio : trcer le grphe, trouver les 3π poits fixes et veiller à dessier l foctio du o coté de l issectrice. Commet trouve-t-o grphiquemet u 1 e foctio de u 0 ). Ce derier exemple motre que l comportemet de l suite (u ) déped fortemet de l coditio iitile. L richesse de ces suites défiies pr récurrece (o les ppelle ussi systèmes dymiques discrèts) proviet de cette dépedce sutile. L théorie des systèmes dymiques rpidemet meé à l formultio d ue théorie du chos. Doos l exemple itéresst de l foctio f(z) = z 2 + c de C ds C. L esemle des coditios iitiles telles que (u ) reste oré (cet esemle est ppelé esemle de Mdelrot, voir l figure ci-dessous) est frctl et déped très fortemet de c. Exercice 110. A Motrer que l esemle des poits de discotiuité d ue foctio croisste est u plus déomrle. Exercice 111. A O défiit f R R pr l formule 0 si x est irrtioel, f(x) = 1 si x est rtioel et s écrit x = p vec p et q premiers etre eux. q q Motrer que f est discotiue e tout poit rtioel et cotiue e tout poit irrtioel.

96 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES Notios reliées à l (otio de) cotiuité Cotiuité uiforme U défut de l otio de cotiuité hituelle proviet du fit que pour u ε fixé, le δ déped priori de x 0. L cotiuité uiforme corrige ce prolème. Cette otio fut itroduite pr Heie (1870) ie près l cotiuité. Défiitio Ue foctio f : E R est uiformémet cotiue si ε > 0, δ > 0, x, y E, [ x y δ f(x) f(y) < ε]. Heirich Heie (llemd ) 1. Comme so om l idique l cotiuité uiforme est ue propriété glole. 2. L qutité ω(f, ε) = if {δ > 0, x, y E, [ x y δ f(x) f(y) < ε]} est ppelé le module d uiforme cotiuité ssocié à ε. Propositio Ue foctio uiformémet cotiue est cotiue. Démostrtio. Clir. Exemple : L foctio x x de [1, ) ds R + est uiformémet cotiue. Démostrtio. Soit ε > 0. Nous vos pour tout x, y [1, ), x y 1 2 x y x+ y x y. Posos δ = 2ε. Nous vos lors, pour tout x, y [1, ) tel que x y < δ, x y ε. Nous vos utilisé ue techique clssique : lorsque l o trville vec l différece de deux rcies crrées, l o multiplie et divise pr l somme de ces rcies. À reteir. Exemple : L foctio f : E R est k-lipschitziee si x, y E, f(x) f(y) k x y. (ue foctio est Lipschitziee s il existe k > 0 tel que l foctio est k-lipschitziee). Ue foctio k-lipschitziee est uiformémet cotiue. Rudolf Lipschitz ( )

97 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES 96 Démostrtio. Soit ε > 0. Posos δ = ε/k. Pour tout x, y E tel que x y < δ, f(x) f(y) k x y < kε/k = ε. Exemple : x x 2 de R + ds R + est ps uiformémet cotiue. Démostrtio. Risoos pr l surde. Fixos ε = 1. Supposos qu il existe δ > 0 tel que x y δ implique x 2 y 2 1(= ε). E pret y = x + δ, ous oteos x 2 y 2 = (x + y) y x 2xδ. Cosidérer x 1/(2δ) mèe à ue cotrdictio. Exemple : x 1 x de (0, 1] ds R est ps uiformémet cotiue. Démostrtio. Risoos pr l surde. Fixos ε = 1. Supposos qu il existe δ > 0 tel que x y δ implique 1 x 1 1(= ε). E prticulier, pour tout x δ, ous y oteos 1 x 1 δ 1 ce qui implique 1 x Lisser x tedre vers 0 ous mèe à ue δ cotrdictio. Exemple : x si(1/x) de (0, 1] ds R est ps uiformémet cotiue. Démostrtio. Risoos pr l surde. Pour N, ous cosidéros x = y = 1 2π+3 π 2 1 2π+ π 2. O lors si(1/x ) si(1/y ) = 2 et x y ted vers zéro. Ceci est e cotrdictio vec le fit que pour ε = 1, il existe δ > 0 tel que pour x, y (0, 1], x y δ implique si(1/x) si(1/y) 1. Les cotre-exemples de foctios cotiues mis o uiformémet cotiues e sot jmis sur des segmets. Cel proviet du fit que toute foctio cotiue sur u itervlle fermé est e fit uiformémet cotiue, comme le motre le théorème suivt. et Théorème 6.20 (Heie, 1872). Soit f : [, ] R. Si f est cotiue, lors f est uiformémet cotiue. Démostrtio. Risoos pr l surde. Supposos f [, ] R cotiue mis o uiformémet cotiue. Il existe ε > 0 telle que pour tout 1, il existe x, y [, ] tels que x y < 1 et f(x ) f(y ) ε. Puisque (x ) est orée, le théorème de Bolzo-Weierstrss ous permet d extrire ue sous-suite (x ϕ() ) covergete vers x ds [, ]. Nous vos lors que (y ϕ() ) coverge églemet vers x. Si f est cotiue e x, lors f(x ϕ() ) et f(y ϕ() ) coverget vers f(x), ce qui est e cotrdictio vec f(x ϕ() ) f(y ϕ() ) ε pour tout Cotiuité à droite et cotiuité à guche (pour votre culture) L otio de cotiuité peut être ffilie e cotiuité à droite ou cotiuité à guche. Défiitio Soit f : E R. L foctio f est cotiue à droite e x 0 si ε > 0, δ > 0, x E, [x 0 < x < x 0 + δ f(x) f(x 0 ) < ε]. O défiit l cotiuité à guche similiremet. Propositio Si f E R est cotiue à droite et à guche e x 0, lors f est cotiue e x 0.

98 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES 97 Démostrtio. Soiet x 0 E et ε > 0. Puisque f est cotiue à droite e x 0, il existe δ 1 > 0 tel que x 0 < x < x 0 + δ 1 implique f(x) f(x 0 ) < ε. De même, f étt cotiue à guche, il existe δ 2 > 0 tel que x 0 δ 2 < x < x 0 implique f(x) = f(x 0 ) < ε. Nous e déduisos l propriété e post δ = mi{δ 1, δ 2 } Foctios à vleurs ds C L otio de cotiuité s éted ux foctios de R ds C. Défiitio Soit f : E C vec x 0 E R ou C. L foctio f ted vers l e x 0 si ε > 0, δ > 0, x E, x x 0 δ f(x) l ε L foctio f : E C est cotiue e x 0 si f x x 0 f(x 0 ). L foctio f est cotiue sur E si elle est cotiue e tout poit de E. L esemle des foctios cotiues de E ds C est oté C 0 (E, C). Ds l défiitio précédete, désige le module lorsqu o l pplique ux omres complexes. Propositio Soit f : E C, les deux propriétés suivtes sot équivletes : (i) f est cotiue e x 0. (ii) Re(f) : E R et Im(f) : E R sot cotiues e x 0. Démostrtio. Motros que (i) implique (ii). Soit ε > 0. Il existe δ > 0 tel que x x 0 < δ implique f(x) f(x 0 ) < ε. Nous vos lors Re(f)(x) Re(f)(x 0 ) = Re(f(x) f(x 0 )) f(x) f(x 0 ) < ε. De même, Im(f)(x) Im(f)(x 0 ) ε. Motros que (ii) implique (i). Soit ε > 0. Il existe δ > 0 tel que x x 0 < δ implique g(x) g(x 0 ) ε et h(x) h(x 0 ) ε. Nous oteos lors g(x) + ih(x) g(x 0 ) ih(x 0 ) g(x) g(x 0 ) + h(x) h(x 0 ) 2ε. L pluprt des propriétés précédetes sot vries, exceptée les théorèmes du mximum et des vleurs itermédiires. Il est églemet possile de cosidérer des foctios de l vrile complexe z. Défiitio Soit f : U C où U C. L foctio f est cotiue e z 0 U si ε > 0, δ > 0, x E, x x 0 δ f(x) l ε. Exemple : Les foctios f C R z z et g C R z z sot cotiues. Démostrtio. Soit z 0 U et ε > 0. Posos δ = ε. Pour z U tel que z z 0 < ε, ous vos z z 0 z z 0 < ε pr l iéglité trigulire et églemet z z 0 = z z 0 = z z 0 ε. L pluprt des propriétés s étedet à l vrile complexe (pr exemple si f est cotiue lors f(lim u ) = lim f(u )), à l exceptio de tout résultt utilist l ordre (e prticulier le théorème des vleurs itermédiires). Vous recotrerez de omreuses utres foctios de l vrile complexe ds les cours de deuxièmes, et ous e ous ttrdos ps l-dessus.

99 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES 98 Exercice 112. Soiet deux réels et. Motrer que l foctio x x + est uiformémet cotiue. Détermier l esemle des k > 0 pour lesquels cette foctio est k-lipschitziee. Exercice 113. Motrer que l foctio x x de R + ds R + est uiformémet cotiue mis k-lipschitziee pour ucu k > 0. Exercice 114 (Foctios α-hölderiees). Soit I u itervlle de R o écessiremet oré. Ue foctio f I R est α-hölderiee (où α > 0) s il existe C > 0 tel que pour tout x, y I, f(x) f(y) C x y α. 1. Motrer qu ue foctio Höldériee est uiformémet cotiue. 2. Motrer que x x est 1/2-Hölderiee sur I = R +. Prouver que x x est k-lipschitziee pour ucu k. Exercice 115. Soit f : R R cotiue. Supposos que f ted vers zéro e + et e. 1. Soit ε > 0, motrer qu il existe M > 0 tel que pour tout x R [ M, M], o f(x) < ε/2. 2. Motrer qu il existe δ > 0 tel que pour tout x, y [ (M + 1), M + 1] tels que x y < δ o f(x) f(y) < ε. 3. Déduire des deux questios précédetes que f est uiformémet cotiue sur R. 4. Motrer que f est orée. Exercice 116. Soit f : R R cotiue et périodique. Motrer que f est orée et uiformémet cotiue. Exercice 117. Motrer que x x est cotiue à droite sur R. Est-elle cotiue à guche prtout? Exercice 118 (U utre exercice sur les foctios périodiques). Soiet f R R et G = {T R, x R, f(x + T ) = f(x)}. 1. Motrer que G est u sous-groupe dditif de R, i.e. que 0 G, T G implique T G et que T, T G implique T + T G. 2. Motrer que si f est cotiue mis ps costte, G est de l forme Z, où > Doer u exemple de foctio f (écessiremet o cotiue) pour lquelle G = Q. Exercice 119. A Soit f R + R uiformémet cotiue sur R +. Motrer qu il existe, R + tel que f(x) x +. Otto hölder (llemd ) fmeux pour différets théorème d lyse, isi que pour l clssifictio des groupes fiis simples de crdil iférieur à Foctios usuelles L foctio expoetielle Nous sommes mitet e mesure de défiir l foctio expoetielle rigoureusemet. Défiitio Pour tout z C, défiisso l expoetielle de z pr l formule exp(z) = z k lim k!. k=0 Démostrtio. Justifios cette défiitio. Tout d ord, pour z C, posos u (z) = k=0 z k k!. Il est simple de motrer pr récurrece que pour 0 suffismmet grd, 2 z! 20 z 0 0!

100 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES 99 lorsque 0. Aisi, il existe M > 0 tel que z M2 pour tout ssez grd.! Soit ε > 0. Choissisos N > 0 tel que 2 N ε/m. Nous e déduisos que pour tout p q > N u q (z) u p (z) M q 2 k = M(2 p 2 q ) = M2 1 p M2 N ε. k=p 1 1/2 L suite (u (z)) 0 est doc églemet de Cuchy et elle coverge doc. Listos quelques propriétés de l foctio expoetielle. Théorème L foctio exp C C vérifie pour tout z, w C, exp(z + w) = exp(z) exp(w) et exp(z) = exp(z). Démostrtio. Soiet z, w C. O grde l défiitio de u (z) et u (w) comme ds l preuve précédete. Le iôme de Newto ous doe u 2 (z + w) = 2 k=0 (z + w) k k! = 2 k=0 2 1 k! k = k=0 j=0 2 2 = j=0 j=k 2 = j=0 2 j l=0 = j=0 l=0 k ( k j=0 j )zj w k j z j w k j j!(k j)! z j w k j j!(k j)! z j w l j!l! z j w l j!l! j j=+1 l=0 z j w l j!l! 2 j j=0 l=+1 + z j w l j!l! Ds l troisième lige, ous vos échgé les deux sommes. Ds l qutrième lige, ous vos effectué le chgemet de vrile l = k j, et ous vos écrté les termes pour lesquels j ou l sot strictemet plus grds que. Mitet, l première somme ous doe j=0 l=0 z j w l j!l! = ( j=0 z j j! )( w l l=0 l! ) = u (z)u (w). Ce terme ted doc vers exp(z) exp(w). Itéressos ous mitet u secod terme. Preos M > 0 et ssez grd pour que zj j! M2 j pour tout j (l existece de M et suit trivillemet pr récurrece).

101 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES 100 Nous vos doc 2 2 j j=+1 l=0 z j w l j!l! 2 j=+1 2 j l=0 z j w l j!l! 2 j=+1 2 j=+1 2 j=+1 z j j! z j j! 2 j l=0 w l l! exp( w ) M exp( w ) 2 j = M exp( w ) ( 1 2 )+1 ( 1 2 ) M exp( w ) 2. Nous e déduisos que ce terme ted vers 0. De même, ous pouvos motrer que le troisième terme ted églemet vers 0. E coclusio, u 2 (z + w) ted vers exp(z) exp(w). Mis pr défiitio, ce terme ted églemet vers exp(z + w), et ous oteos le résultt. L défiitio de l expoetielle ous permet de dire que l restrictio de exp à R est à vleurs ds R. Théorème L foctio exp : R R + est cotiue ijective. Démostrtio. Nous svos que exp(0) = 1. Motros mitet que exp est cotiue e 0. Preos x < 1. Puisque x! x, ous trouvos que exp(x) exp(0) = exp(x) 1 lim k=1 x k x x +1 = lim = 1 x x 1 x qui ted vers 0 lorsque x ted vers 0. L foctio exp est doc cotiue e 0. Pr défiitio, exp(x + y) = exp(x) exp(y) pour tout x, y R. E prticulier, si exp est cotiue e 0, lors exp est cotiue e tout poit. De plus, puisque pour x > 0, exp(x) = 1 + x + lim k=2 x k k! 1 + x > 1, elle est doc strictemet croisste. E prticulier, exp(x) 1 pour x 0. De plus, lorsque x 0, exp(x) = [exp(x/2)] 2 0, et doc exp(x) > 1 pour x > 0. De même, exp(x) < 1 pour x < 0 puisque exp( x) = 1/ exp(x). Nous e déduisos que exp(x) = exp(x) ted vers + lorsque x ted vers l ifii et exp( x) ted vers 0 lorsque x ted vers l ifii. Puisque f est cotiue, so imge est u itervlle et ous déduisos doc que f(r) = R +. E prticulier, f est ijective de R ds R +.

102 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES 101 Défiitio 6.29 (logrithme éperie). L réciproque de exp : R R + est ppelée logrithme éperie l : R + R. Attetio, exp est ps ijective (exp(2πi) = exp(0) = 1) de C ds C! O e peut doc ps défiir de logrithme directemet sur C. Joh Npier (écossis ) Iveteur du logrithme. Théorème L foctio l : R + R stisfit les propriétés suivtes 1. l est cotiue ijective. 2. l est croisst, lim l(x) = et lim l(x) = +. x 0 x + 3. Soiet x, y R, lors l(xy) = l(x) + l(y). Démostrtio. Les propriétés 1 et 2 sot des coséqueces de l croissce de exp et de s ijectivité. De plus, pour tout x, y R +, exp(l(x) + l(y)) = exp(l x) exp(l y) = xy = exp(l(xy)). Pr l ijectivité de exp R R, ous oteos l(x) + l(y) = l(xy). Foctios expoetielles et puissces Défiitio 6.31 (expoetielle). Soiet > 0 et x R. " à l puissce x" est défiie pr x = e l()x. Propositio Soiet, > 0 et x, y R. Alors

103 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES = 1 et 1 = 2. x+y = x y et () x = x x, 3. x = 1 x 4. l( x ) = l()x et ( x ) y = xy. Démostrtio. Nous vos x+y = e (x+y) l =e x l e y l = x y. Défiitio 6.33 (puissce). Soiet α R et x > 0. "x à l puissce α" est défiie pr x α = e l(x)α. Ci-dessous, le grphe d ue pplictio vec ue puissce plus petite que 1. Pouvezvous dessier le grphe d ue foctio puissce vec α > 1? Défiitio 6.34 (logrithme e se ). Soit R. "le logrithme e se de x" est défii pr log x log. Foctios trigoométriques Les foctios cos : R R, si : R R et t : R ( π +πz) R ot été défiies 2 ds le chpitre sur les omres complexes. Théorème Les foctios cos, si et t sot cotiues sur leur esemle de défiitio. Démostrtio. Les foctios cos, si et t sot des comiisos de foctios cotiues (plus précisémet les expoetielles). Foctios trigoométriques hyperoliques Défiitio Défiissos cosh th R R x ex e x = sih(x) e x +e x cosh(x). R R x ex +e x 2, sih R R x ex e x 2 Ces foctios sot cotiues puisque ce sot des comiisos de foctios cotiues. et

104 CHAPITRE 6. FONCTIONS CONTINUES 103 Exercice 120. Résoudre l équtio suivte d icoue x > 0, x x = x x (Idictio : utiliser le logrithme). Ds l exercice suivt, ous cotiuos l lyse morcée ds l exercice 56. Nous idetifios ces morphismes sous différetes hypothèses. Exercice 121 (Clssifictio des morphismes de (R, +) ds lui-même (suite de l exercice 56)). U morphisme de (R, +) ds lui-même est ue foctio f : R R telle que (i) f(1) = 1 (ii) x, y R, f(x + y) = f(x) + f(y). Rppelos qu ucue coditio supplémetire est écessire pour motrer qu u morphisme de (R, +) ds lui-même vérifie f(r) = f(1)r pour tout r Q. 1. Soit f u morphisme de (R, +) ds lui-même tel que x, y R, f(xy) = f(x)f(y). () Motrer que f(1) = 1. () Motrer que f(x) 0 pour x 0. (c) Motrer que f est croisste sur R. (d) E déduire que f est égle à l idetité. 2. Soit f u morphisme cotiue de (R, +) ds lui-même. Motrer que f(x) = f(1)x pour tout x R. 3. Quels sot les morphismes de (R, +) ds lui-même cotius e 0? (idictio : motrer que si f est cotiue e 0, lors f est cotiue e tout poit de R) 4. A Quels sot les morphismes de (R, +) ds lui-même orés sur [ 1, 1]? (idictio : motrez que si f est orée, lors f est cotiue e 0) Exercice 122. Il été motré ds u exercice d ue série précédete qu ue foctio f : R R telle que pour tout x, y R, f(x + y) = f(x) + f(y) stisfisit f(r) = f(1)r pour tout r Q. 1. O suppose de plus que f est cotiue. Motrer que f(x) = f(1)x pour tout x R. 2. E utilist le résultt de l questio précédete et les foctios expoetielle et logrithme, motrer que : Si ue foctio cotiue f R R + stisfit f(x + y) = f(x)f(y), x, y R, lors il existe R tel que f(x) = exp(x). Si ue foctio cotiue f R + R stisfit f(xy) = f(x) + f(y), x, y > 0, lors il existe R tel que f(x) = l x. Si ue foctio cotiue f R + R + stisfit f(xy) = f(x)f(y), x, y > 0, lors il existe R tel que f(x) = x. L exercice précédet motre que les foctios expoetielles sot les uiques morphismes ijectifs cotius de (R, +) ds (R +, ), et que les foctios puissces sot les uiques morphismes ijectifs de (R +, ) ds (R +, ). Exercice 123. E utilist l cotiuité de cos, motrer que exp ir {z z = 1} est surjective. E déduire que exp C C est surjective.

105 Chpitre 7: Dérivtio des foctios sur R "L étedue de ce clcul (le clcul ifiitésiml) est immese : il coviet ux coures méciques, comme ux géométriques ; les siges rdicux luy sot idifferes, & même souvet commodes ; il s éted à tt d idétermiées qu o voudr ; l compriso des ifiimets petits de tous les geres lui est églemet fcile. Et de là isset ue ifiité de découvertes surpretes pr rpport ux Tgetes tt coures que droites, ux questios De mximis & miimis, ux poits d ifléxio & de reroussemet des coures, ux Dévelopés, ux Custiques pr réflexio ou pr réfrctio, &c. comme o le verr ds cet ouvrge. (Mrquis de L Hôpitl 1696, Alyse des ifiimets petits, itroductio)" Motivtios. Le ut de l otio de dérivée est d étudier les prolèmes suivts. 1. Le clcul de l pete d ue coure, de s tgete, de s ormle. 2. Le clcul de l gle d itersectio de deux coures (Descrtes). 3. L costructio de luettes stroomiques (Glilée) et d horloges (Huyges, 1673). 4. L recherche de mxim et miim d ue foctio (Fermt, 1638). 5. Le clcul de l vitesse et de l ccélértio d u mouvemet (Glilée 1638, Newto 1686). 6. L vérifictio des lois de grvittio e stroomie (Kepler, Newto). Ds l suite, I désige u itervlle ouvert o vide. Guillume de l Hôpitl (frçis ) So ouvrge pricipl, "Alyse des ifiimets petits", urit prolemet été écrit pr Joh Beroulli cotre ue somme de 300 Frcs pr. Bie qu il soit difficile de vérifier de telles llégtios, des muscrits retrouvés à l uiversité de Bsel semlet corroorer cette légede. Reé Descrtes (frçis ) philosophe (à qui l ot doit le court de pesée crtésie, et uteur de l phrse "je pese doc je suis") et mthémticie à l origie de l préhistoire de l lyse (il dopt de omreux ottios utiliées ujourd hui) et des coordoées crtésiees. 104

106 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R Dérivée d ue foctio e u poit Défiitio Défiitio 7.1 (Cuchy, 1821). L foctio f : I R est dérivle e x 0 I de dérivée l = f (x 0 ) si f(x) f(x 0 ) lim = l = f (x x x 0 ) 0 x x 0 x x 0 existe. L foctio f est dérivle sur I si f est dérivle e chcu des poits de I. L esemle des foctios dérivles de I ds R est oté D(I, R). L (foctio) dérivée de f est l foctio f I R x f (x) Exemple : Les foctios costtes sot dérivles, de dérivée ulle. Démostrtio. Soiet f I R costte et x 0 I. Puisque f(x) f(x 0) = 0 pour x x 0 tout x x 0, l limite existe et vut 0. Exemple : L foctio idetité I est dérivle, de dérivée l foctio costte égle à 1. Démostrtio. Soit x 0 I. Puisque I(x) I(x 0) = x x 0 = 1 pour tout x x 0, l limite x x 0 x x 0 existe et vut 1. Glileo (itlie Glilei ) Astroome de géie qui fut emprisoé pr l iquisitio pour so fervet soutie à l théorie de heliocetrisme. Exemple : Nous vos exp = exp. Démostrtio. Motros d ord le cs x 0 = 0. exp(x) 1 x = lim k=0 x k k! 1 x = lim k=1 x k 1 k! = lim = 1 + x lim k=0 k=2 x k 2 k! x k k! 1 x. Christi Huyges (holldis ) Mitet, ous vos x k 2 k=2 k! k=2 1 k! exp(1) pour tout 2. Aisi, ous pouvos predre l limite lorsque x ted vers 0 pour motrer que exp(x) 1 x est 1. L dérivée e 0 existe et vut doc 1. Soit x 0 R. Nous vos exp(x) exp(x 0 ) x x 0 = exp(x x 0) exp(x 0 ) exp(x 0 ) x x 0 = exp(x 0 ) exp(x x 0) 1 x x 0 exp(x 0 ). Ceci implique que l dérivée e x 0 vut exp(x 0 ). Notos quelques remrques trivilles sur l otio de dérivée : Johes Kepler (llemd ) ivet les lois qui portet so om.

107 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R L dérivée e x 0 est ue otio locle. 2. L droite d équtio y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) est l droite tgete à l coure e (x 0, f(x 0 )). 3. Pour x x 0, l qutité x0 (x) = f(x) f(x 0) x x 0 est ppelée l pete de l sécte à l coure C f ux poits x et x 0, ou prfois tux d ccroissemet de f etre x et x 0. Dire que f est dérivle e x 0 reviet à dire que l pete de l sécte coverge. L limite est lors ppelée pete e x 0. Cette iterpréttio est l priciple motivtio pour l itroductio de l otio de dérivée. pete f (x 0 ) x 0 x f(x) pete x0 f(x 0 ) 4. D utres ottios existet pour l dérivée. Ds ce cours ous ous oreros à celle utilisée ci-dessus. Afi d être complèt, metioos ue utre ottio. Supposos que y = y(x). O pose prfois Et si y est dérivle, x0 (x) = y x y lim x x 0 x x 0 x = ( dy dx ) x 0 ou simplemet dy dx 5. L otio de foctio dérivle s éted turellemet ux foctios de I R ds C, R ou C. Ue foctio vectorielle est dérivle si chcue de ses compostes est dérivle et le vecteur dérivée est le vecteur des dérivées des foctios coordoées. 6. Nous verros plus trd ds le cours qu il existe des foctios prtout cotiues ulle prt dérivles. Pr cotre, si f est dérivle e x 0 lors f est cotiue e x 0. L otio de dérivée est doc plus cotrigte que l otio de cotiuité.

108 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 107 Démostrtio. Soit f dérivle e x 0, lim x x 0 x x 0 f(x) f(x 0 ) = ( lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 x x 0 )( lim x x0 x x 0 ) = f (x 0 ) 0 = 0. Propositio 7.2 (opértio sur les dérivées). Soiet f, g : I R, λ R et x 0 I. Supposos que f et g sot dérivles e x f + g est dérivle e x 0 et (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). 2. fg est dérivle e x 0 et (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ). 3. Supposos g(x 0 ) 0, 1 g est dérivle e x 0 et ( 1 g ) (x 0 ) = g (x 0) g(x 0) Supposos g(x 0 ) 0, f g est dérivle e x 0 et ( f g ) (x 0 ) = f (x 0)g(x 0) g (x 0)f(x 0) g(x 0) 2. L propositio précédete implique fcilemet que λf est dérivle e x 0 et (λf) (x 0 ) = λf (x 0 ). Démostrtio. Fixos x 0 I. Nous vos (f + g)(x) (f + g)(x 0 ) = f(x) f(x 0) + g(x) g(x 0) f (x 0 ) + g (x 0 ) x x 0 x x 0 x x 0 (λf)(x) (λf)(x 0 ) = λ f(x) f(x 0) λf (x 0 ) x x 0 x x 0 (fg)(x) (fg)(x 0 ) = f(x) f(x 0) g(x) + f(x 0 ) g(x) g(x 0) x x 0 x x 0 x x 0 f (x 0 )g(x 0 ) + g (x 0 )f(x 0 ) 1 g(x) 1 g(x 0) 1 g(x 0 ) g(x) = g (x 0 ) x x 0 g(x)g(x 0 ) x x 0 g(x 0 ). 2 Ds les deux derières covergeces, ous vos utilisé le fit que g est cotiue cr dérivle. L derière implictio suit de l formule pour le produit et pour l iverse. Décrivos quelques coséqueces de cette propositio. Nous icluos ps les preuves de ces coséqueces cr elles sot de simples récurreces. Exemple : Pour N, f est dérivle e x 0 et (f ) (x 0 ) = f (x 0 )f(x 0 ) 1 et e prticulier (x ) = x 1. Exemple : Soiet f 1,..., f : I R dérivles. Alors (f 1... f ) existe et Exemple : Ue foctio polyomile (f 1... f ) = f 1... f i... f. i=1 d f x k x k k=0 est dérivle, de dérivée f d 1 (x) = (k + 1)x k. k=0

109 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 108 Exemple : Les foctios rtioelles sot dérivles sur leurs esemles de défiitio. Propositio 7.3 (compositio de dérivées). Soiet I et J deux itervlles ouverts o vides. Soiet f : I J dérivle e x 0 I et g : J R dérivle e f(x 0 ). L foctio g f est dérivle e x 0 et (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ). Démostrtio. Pour tout x I tel que x x 0 < δ, (g f)(x) (g f)(x 0 ) 0 si f(x) = f(x 0 ) = g(f(x)) g(f(x 0 )) f(x) f(x 0 ) x x 0 sio f(x) f(x 0 ) x x 0 Puisque f(x) f(x0) x x 0 ted vers f (x 0 ) et f(x) ted vers f(x 0 ), ous oteos (g f)(x) (g f)(x 0 ) = g(f(x)) g(f(x 0)) x x 0 f(x) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) x x 0 g (f(x 0 ))f (x 0 ). Exemple : Nous vos cos = si, si = cos, t = sih = cosh d th = 1 th 2. 1 cos 2 = 1 + t 2, cosh = sih, Démostrtio. Il suffit d utiliser cos = eix +e ix, si = eix e ix et exp = exp. Le résultt 2 2i est immédit. De même, o utilise cosh = ex +e x et sih = ex e x. E utilist t = si 2 2 cos et l formule trigoométrique cos 2 + si 2 = 1, ous trouvos ( si cos ) cos cos si( si) = = cos2 + si 2 = 1 cos 2 cos 2 cos = 1 + si2 2 cos = t2. Propositio 7.4 (dérivée de l réciproque). Soiet I et J deux itervlles ouverts de R. Si f : I J dérivle, ijective et telle que f (x) 0, x I, lors f 1 est dérivle et pour tout y J, (f 1 ) 1 (y) = f (f 1 (y)) O dit lors que f est u difféomorphisme de I sur J. Démostrtio. Soit y 0 J. Nous trouvos f 1 (y) f 1 (y 0 ) f 1 (y) f 1 (y 0 ) = y y 0 f(f 1 (y)) f(f 1 (y 0 )) 1 f (f 1 (y 0 )). Nous vos utilisé le fit que f 1 est cotiue e y 0 pour ffirmer que f 1 (y) ted vers f 1 (y 0 ). Remrquer qu il est possile églemet d utiliser l propositio précédete pour clculer l dérivée de l réciproque. E effet, f 1 f = I et doc (f 1 f) = 1. O pplique lors l propositio et o otiet (f 1 ) (f(x))f (x) = 1 ce qui doe le résultt. Exemple : Nous vos l (x) = 1 pour tout x > 0. x Démostrtio. E effet, l (x) = 1/ exp (l(x)) = 1/ exp(l(x)) = 1/x pour x > 0.

110 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R Accroissemets et dérivées L pplictio priciple de l otio de dérivée est l étude des ccroissemets d ue foctio. Rppelos que x 0 est u extremum locl de f I R s il existe δ > 0 tel que x 0 est u mximum ou u miimum pour l foctio f (x 0 δ, x 0 + δ) R. Propositio 7.5 (Crctéristio des extrem pr l dérivée). Soit I u itervlle ouvert. Soit f : I R ue foctio dérivle e x 0 I telle que f dmet u extremum locl e x 0, lors f (x 0 ) = 0. Prêtez ttetio u fit que l réciproque est fusse comme ous le prouve l exemple x x 3 e 0. Démostrtio. Soit x 0 tel que f dmet u mximum locl e x 0 (le cs d u miimum est idetique). Puisque f(x) f(x 0 ) pour tout x (x 0 δ, x 0 + δ), ous vos Michel Rolle (frçis ). f(x) f(x 0 ) x x 0 est 0 si x 0 < x < x 0 + δ. 0 si x 0 δ < x < x 0 L limite est isi positive et égtive, et doc ulle. Lemme 7.6 (Rolle, 1690). Soiet < et f : [, ] R telle que f est cotiue sur [, ], f est dérivle sur (, ), f() = f() lors il existe c (, ) tel que f (c) = 0. Démostrtio. Rppelos qu u extremum c (, ) de f vérifie f (c) = 0. D près le corollire 6.13, f([, ]) = [m, M]. Si m = M = f(), lors f est costte et importe quel c (, ) est u mximum et u miimum de f. Si m < f(), lors m = f(c) pour u certi c (, ). Ce c est u miimum et doc f (c) = 0. Si M > f(), lors M = f(c) pour u certi c (, ) et c est u mximum et doc f (c) = 0. Attetio : Il est écessire que f soit défii sur tout l itervlle. E effet, pr exemple l foctio f [ 1, 1] {0} R telle que f(x) = x est ie dérivle, stisfit f( 1) = f(1) = 1 mis ps de miimum tteit sur [ 1, 1] {0}. De même, il est écessire que f soit cotiue e et, comme le motre l exemple de l foctio f [0, 1] R telle que f(0) = f(1) = 2 et f(x) = x pour x (0, 1). Théorème 7.7 (Églité des ccroissemets fiis, Lgrge, 1797). Soit f : [, ] R f() f() cotiue sur [, ] et dérivle sur (, ), lors il existe c (, ) tel que = f (c). Brook Tylor (glis ) Joseph-Louis Lgrge (itlie ) Cotriu de omreux domies des mthémtiques. Premier professeur à l école polytechique. Eterré u Pthéo (so om pprit prmi les 72 oms écrits sur l tour Eiffel).

111 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 110 f() f() Démostrtio. Posos g [, ] R x f(x) f() f() f() (x ) L foctio g est cotiue sur [, ] et dérivle sur (, ). De plus g() = g() = 0. Le lemme de Rolle implique qu il existe c (, ) tel que g (c) = 0. Mis g (x) = f (x) ce qui implique doc que f (c) = f() f(). f() f(), Le théorème des ccroissemets fiis est e fit qu ue pplictio du théorème de Rolle à ue foctio g ie choisie. C est le cs de omreux théorèmes, comme ous le verros plus trd ds le cours vec l églité de Tylor-Lgrge et l règle de l Hôpitl pr exemple. Corollire 7.8. Soit f : [, ] R cotiue sur [, ] et dérivle sur (, ). L foctio f est croisste (décroisste) ssi f 0 (f 0). Démostrtio. Commeços pr le ses direct. Soit f croisste et soit x 0 (, ). Nous vos lors f(x) f(x0) x x 0 0 pour tout x I, ce qui implique f (x 0 ) 0. Motros mitet le ses réciproque (o utilise l églité des ccroissemets fiis). Soiet y > x ds [, ], il existe c (x, y) tel que Nous vos lors f(y) f(x). f(y) f(x) y x = f (c) 0. Corollire 7.9. Soit f : [, ] R cotiue sur [, ] et dérivle sur (, ). Si f > 0 (resp. f < 0), l foctio f est strictemet croisste (resp. décroisste). Démostrtio. C est l même preuve. Exemple : (pplictio à l défiitio de rccos, rcsi et rct) L foctio cos [0, π] [ 1, 1] est strictemet décroisste etre 0 et π. Elle est doc ijective. Puisque cos(0) = 1 et cos(π) = 1, le théorème des vleurs itermédiires implique que cos est surjective. O défiit l foctio rccosius rccos : [ 1, 1] [0, π] comme l iverse de cos [0, π] [ 1, 1]. L dérivée vut 1. De même o défiit rcsi : [ 1, 1] 1 x 2 1 [ π, π] et rct : R ( π/2, π/2), dot les dérivées sot et 1. 1 x 2 1+x 2

112 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 111 Corollire Soit f : [, ] R cotiue sur [, ] et dérivle sur (, ). L foctio f est costte ssi f = 0. Démostrtio. Motros le ses direct. Si f est costte, lors f est croisste et décroisste, et le ses direct du corollire précédet implique que f 0 et f 0. Aisi, f = 0. Le ses réciproque proviet du fit que l pplictio est croisste (cr f 0) et décroisste (puisque f 0), doc costte. Corollire 7.11 (Iéglité des ccroissemets fiis). Soit f : [, ] R cotiue sur [, ] et dérivle sur (, ). S il existe M > 0 tel que f M sur (, ), lors x y [, ], f(x) f(y) x y M. f() f() Prfois, cette iéglité est réécrite isi : sup f (x). x (,) Ce théorème est très importt cr il possède ue géérlistio pour l otio de différetielle que vous verrez l ée prochie, tdis que ce est ps le cs de l églité des ccroissemets fiis. O pourr peser à l foctio f [0, π] C qui à x ssocie e ix qui vérifie l iéglité des ccroissemets fiis (ce est ps totlemet évidet à prouver) mis ps l églité (peser à regrder 0 et π). Démostrtio. Soiet x y, il existe c (x, y) tel que f(x) f(y) x y suit imméditemet. Exemple : Pour tout x R, si(x) x. = f (c). Le corollire Démostrtio. Pour tout x 0, ous vos si(x) si(0) x = sup t (0,x) cos(t) 1. Corollire 7.12 (Prologemet des foctios dérivles). Soiet x 0 [, ] et f : [, ] R. Supposos que f est cotiue sur [, ], f est dérivle sur (, ) {x 0 }, lim f (x) = l R, x x 0 x x 0 lors f est dérivle e x 0 et f (x 0 ) = l. Ce corollire est prticulièremet utilse pour clculer l dérivée de foctios qui ot été défiies pr prologemet pr cotiuité. E effet, il suffit de dériver l focito e dehors du poit qui pose prolème, et esuite de predre l limite.

113 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 112 Démostrtio. D près le théorème des ccroissemets fii, f est cotiue sur [x 0, x] et dérivle sur (x 0, x) et doc il existe c (x 0, x) tel que f(x) f(x 0 ) x x 0 = f (c) Lorsque x ted vers x 0, c ted vers x 0, et f ted vers l lorsque x ted vers x 0, ous oteos que f(x) f(x0) x x 0 ted vers l. Aisi, f (x 0 ) existe et vut l. Exercice Rppeler l défiitio des foctios rccos : [ 1, 1] [0, π], rcsi : [ 1, 1] [ π/2, π/2] et rct : R ( π/2, π/2) et clculer leur dérivée. 2. Motrer que lim x ± rct(x) = ± π Dessier x rccos(cos x) de R ds R. 4. Clculer l dérivée de x rct(x) + rct( 1 x ) pour tout x R. E déduire rct(x) + rct( 1 x ). Exercice 125. Étedre l otio de dérivée pour les foctios de R ds C. E cosidért f R {z z = 1}, x exp(ix), motrer que le lemme de Rolle et l églité des ccroissemets fiis e sot ps vris ds ce cs. Exercice 126 (Formultio de Weierstrss de l dérivée). Motrer que f I R est cotiue sur I et dérivle e x 0 ssi il existe φ I R cotiue sur I telle que f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 )φ(x), x I. Exercice 127. Détermier les,, c R de mière à ce que l foctio f défiie sur R + pr soit dérivle sur R +. f(x) = x si 0 x 1 et f(x) = x 2 + x + c si x > 1 Exercice 128. Soit f : R R ue foctio dérivle telle que lim f(x) = 0. Motrer qu il existe x ± α R telle que f (α) = 0 (Idictio : O pourr s ispirer des exercices sur le théorème des vleurs iterédiires et se rmeer à ue utilistio du lemme de Rolle). Exercice 129 (Théorème de Droux). A Soiet f : I R dérivle et < ds I. 1. Motrer que les deux foctios de (, ) ds R f 1 (x) = f() f(x) x et f 2 (x) = f() f(x) x peuvet être prologées sur [, ]. Quelle est l vleur du prologemet de f 1 e. Même questio pour f 2 e. 2. Supposos f () f () (le cs symétrique foctioe preillemet). Soit λ [f (), f ()], motrer qu il existe d [, ] tel que f 1 (d) = λ ou f 2 (d) = λ (idictio : o pourr discuter e foctio de l positio de f() f() pr rpport à f () et f ()). 3. Supposos que f 1 (d) = λ. Utiliser l formule des ccroissemets fiis pour motrer qu il existe c (, d) tel que f (c) = f 1 (d). 4. Que viet-o de motrer? Je-Gsto Droux (frçis ) Nous veos de démotrer le théorème de Droux : L dérivée d ue foctio dérivle stisfit le théorème des vleurs itermédiires. Notez que f ucue riso d être cotiue. Ce théorème est doc tout à fit surpret. Exercice 130 (Foctios trigoométriques et hyperoliques réciproques). 1. Justifier l défiitio des foctios rccos : [ 1, 1] [0, π], rcsi : [ 1, 1] [ π, π] et rct : R ( π/2, π/2) et clculer leur dérivée. 2. Motrer que lim x ± rct(x) = ± π Dessier x rccos(cos x) de R ds R.

114 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R Clculer l dérivée de x rct(x) + rct( 1 x ) pour tout x R. E déduire rct(x) + rct( 1 x ). Exercice 131 (Des foctios à cotre-exemple). A 1. Représeter l esemle E des couples de réels α, β R 2 tels que l foctio f défiie pr f(0) = 0 et f(x) = x α si(x β ) pour x > 0 est cotiue e Représeter l esemle E E formé des couples (α, β) tels que f est dérivle e Doer u exemple de foctio dérivle sur [ 1, 1] dot l dérivée est ps orée sur [ 1, 1]. 4. Doer u exemple d ue foctio f dérivle e 0 vec f (0) = 1 et telle que f est mootoe sur ucu itervlle ouvert cotet Dérivées Successives. À ouveu, I est u itervlle ouvert. Défiitio L foctio f I R est dite fois dérivle si f est 1 fois dérivle. L dérivée d ordre de f est otée f () (lorsqu elle existe). Noter que (f ( 1) ) = f (). L esemle des foctios de I ds R fois dérivle est oté D (I, R). L esemle des foctios de I ds R fois dérivle et telles que f () est cotiue est oté C (I, R). Ds ce cs, f est dite de clsse C. Remrquer que f est de clsse C si et seulemet si f est de clsse C 1. Ue foctio ifiimet dérivle C est ue foctio de clsse C pour tout. Propositio Soiet m, N. Ue foctio f : I K est de clsse C m+ ssi f est de clsse C et f () est de clsse C m. Démostrtio. Ce résultt se motre isémet pr récurrece sur : H :"pour tout m N, si f C m+, lors f () est de clsse C m ". H 1 est vrie pr défiitio. Supposos H vrie et motros H +1. Soit m N tel que f C m++1, lors f () est de clsse C m+1 pr H. Mis f (+1) = (f () ) est lors de clsse C m pr H 1 et l défiitio même des foctios de clsse C m+1. Propositio Si tout est ie défii, l multiplictio pr u sclire, l dditio, l multiplictio, l divisio, l compositio, l iverse de foctios de clsse C est de clsse C. Démostrtio. Motros le résultt pr récurrece sur. Défiissos H :"Pour tout λ R et f, g C, λf, f + g, fg, f/g, f g, f 1 sot de clsse C." E utilist le chpitre précédet, H 0 est vrie. Supposos H et motros H +1. Soiet λ R, f, g de clsse C +1, lors λf, f + g, fg, f/g, f g et f 1 sot de clsse C +1. Nous vos (λf) = λf, (f + g) = f + g, (fg) = f g + fg, (f/g) = (f g fg )/g 2, (f g) = f (g)g et (f 1 ) = 1/f (f 1 ). D près H, toutes ces foctios sot de clsse C. Aisi, les dérivées de λf, f + g, fg, f/g, f g et f 1 sot de clsse C. Nous e déduisos que λf, f + g, fg, f/g, f g et f 1 sot de clsse C +1. Exemple : Les foctios polyomiles, rtioelles, exp, l, cos, si, t, rcsi, rccos, rct sot C sur leur domie de défiitio. Gottfried Leiiz (llemd ) crédité de l ivetio du clcul ifiitésiml vec Newto. Églemet philosophe défedt le rtiolisme vec Descrtes et Spioz. Il fut opposé u poit de vue de Newto sur le développemet du clcul ifiitésiml, et e prticulier l rigueur vec lquelle il fllit procéder (Joh Beroulli fut l u de ses pricipux souties).

115 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 114 L formule suivte se révèle très utile pour clculer les dérivées -ième de foctios ds D. Propositio 7.16 (Formule de Leiiz). Soit f, g : I R fois dérivles lors fg est fois dérivle et (fg) () = ( k )f (k) g ( k). k=0 Démostrtio. Motros l formule de Leiiz pr récurrece sur. H :"Pour tout f, g de clsse C, (fg) () = ( k )f (k) g ( k)." H 0 est évidet. Supposos H et motros H +1. Soiet f et g de clsse C +1, (fg) (+1) = ((fg) () ) = ( ( k )f (k) g ( k) ) = ( k )(f (k) g ( k) ) k=0 = ( k )(f (k+1) g ( k) + f (k) g (+1 k) ) k=0 k=0 k=0 = ( k )f (k+1) g (+1 (k+1)) + ( k )f (k) g (+1 k) k=0 +1 = k=1 k=0 ( k 1 )f (k) g (+1 k) + ( k )f (k) g (+1 k) = f (+1) + g (+1) + +1 = k=0 k=1 ( + 1 k )f (k) g (+1 k). k=0 ( + 1 k )f (k) g (+1 k) Ds l deuxième églité, ous vos utilisé H. Ds l troisième, ous vos utilisé l liérité de l dérivée. Ds l ciquième, ous vos ivoqué le trigle de Pscl. Théorème 7.17 (Formule de Tylor-Lgrge à l ordre ). Soit f : I R et < ds I. Supposos que f est de clsse C sur I et + 1 fois dérivle sur (, ). Alors il existe c (, ) tel que f() = k=0 f (k) () ( ) k + f (+1) (c) k! ( + 1)! ( )+1. Nous utiliseros ce théorème à de mites reprises ds l veir, mis ous ous reportos ux prochis chpitres pour ue descriptio plus précise des pplictios. L démostrtio reviet simplemet à utiliser le lemme de Rolle ppliqué à ue foctio ie choisie.

116 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 115 Démostrtio. Défiissos g [, ] R x f(x) k=0 f (k) () (x ) k (x )+1 λ k! ( + 1)! ( + 1)! où λ = ( ) [f() f (k) () +1 ( ) k ]. k=0 k! Remrquer que g() = g() = 0 et que g est C sur [, ] et D +1 sur (, ). De plus, pour l {0,..., }, g (l) (x) = f (l) (x) k=l f (k) () k! E ppliqut à x =, ous oteos k! (k l + 1)! (x ( + 1)! )k l λ (k l + 1)! (x )+1 l. g (l) () = f (l) () l! l! f (l) () = 0. Efi, le même clcul motre que g (+1) (x) = f (+1) (x) λ pour tout x (, ). Puisque g() = 0, g() = 0 et g est dérivle sur (, ), le lemme de Rolle motre qu il existe c 1 (, ) tel que g (c 1 ) = 0. De même, puisque g () = 0 et g (c 1 ) = 0 et g est dérivle sur (, c 1 ), il existe c 2 (, c 1 ) tel que g (c 2 ) = 0. Aisi, pr récurrece, il existe c +1 (, ) tel que g (+1) (c +1 ) = 0. Mitet, g (+1) (x) = f (+1) (x) λ, et il existe doc c +1 (, ) tel que 0 = g (+1) (c +1 ) = f (+1) (c +1 ) λ = f (+1) ( + 1)! (c +1 ) ( ) [f() +1 Ceci implique le résultt. k=0 f (k) () ( ) k ]. k! Exercice 132. Clculer l dérivée -ième des foctios suivtes : 1. x 1 1 x 2. x x 2 (1 + x) 3. x (x 2 + 2x + 3)e 2x 4. x x 2 si x 5. x x (1 + x). Exercice 133. Soit P (x) = d i=0 ix i u polyôme de degré d 1. O désire motrer qu o e peut ps voir P (x) = si(x) pour ue ifiité de vleurs x. Posos f(x) = P (x) si(x) et supposos doc que f(x) = 0 pour ue ifiité de x. 1. Motrer que P (x) ted vers x d d lorsque x ted vers l ifii. E déduire que P ted vers l ifii. E déduire qu il existe M > 0 tel que f(x) > 0 pour x > M. Pr coséquet, toute rcie x de l équtio f(x) = 0 vérifie x M. 2. Soiet < tels que f() = f() = 0. Motrer qu il existe c (, ) tel que f (c) = E déduire qu il existe ue ifiité de x etre M et M tels que f (x) = E réitért ce risoemet, motrer qu il existe ue ifiité de x etre M et M tels que f (d+1) (x) = Clculer f (d+1) (x) et motrer qu il existe seulemet u omre fii de x etre M et M tels que f (d+1) (x) = Coclure. Exercice 134. Défiissos l foctio cotgete pr l formule

117 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 116 cot (0, π) R x cos x si x Clculer l dérivée de cot et motrer qu elle est C. Exercice Clculer l dérivée de cosh et sih. 2. Motrer que cosh est cotiue sur R + et de clsse C sur (0, ). 3. Motrer que cosh est ijective de R + ds [1, + ). L pplictio réciproque est ppelée rgcosh : [1, ) R Motrer que rgcosh est cotiue sur [1, ) et de clsse C sur (1, ). 5. Clculer l dérivée de rgcosh. 6. Motrer que rgcosh(x) = l(x + x 2 1). 7. Effectuer l même étude pour sih. 8. Que se psse-t-il pour th? 9. Trcer toutes ces foctios. Exercice 136 (Étude de suites défiies pr récurrece). Soit f ue foctio C 1 et soit l u poit fixe. Défiissos l suite (u ) pr l reltio de récurrece u +1 = f(u ). 1. Supposos f (l) < 1. () Soit ε > 0 tel que f (l) < 1 ε < 1. Motrer qu il existe δ > 0 tel que f (x) 1 ε pour tout x [l δ, l + δ]. Nous fixos mitet δ possèdt cette propriété. () Motrer que si u N [l δ, l + δ], lors u +1 l (1 ε) u l pour tout N. (c) Motrer que u l (1 ε) u 0 l si u 0 est ssez proche de l. E déduire que pour u 0 ssez proche de l, (u ) ted vers l. O dit que le poit fixe est ttrctif. 2. Supposos f (l) > 1. Motrer e risot pr l surde que (u ) coverge vers l ssi N N, N, u = l. Ds ce cs, le poit fixe est dit répulsif. Ds le premier cs, ous ppelos le poit fixe ttrctif. Si ue itéré "tome" suffismet proche de ce poit, l suite est lors iexorlemet ttirée pr l. De plus, le théorème motre que l covergece est "géométrique". Ds le secod, il est répulsif. 7.3 Applictios Décrivos mitet quelques pplictios clssiques de l otio de dérivée Applictios ux foctios covexes (pour votre culture) Les foctios covexes formet ue clsse importte de foctios. L lyse covexe trouve u grd omre d pplictios e physique, où les potetiels éergétiques sot souvet loclemet covexes (existece de solutios stles, de chgemets de phse). E homogééistio, pr exemple, les théories de type vritioel permettet d estimer les solutios d équtios ux dérivées prtielles elliptiques grâce à l représettio des potetiels éergétiques pr trsformée de Legedre. L trsformée de Legedre, formultio mthémtique qui représete ue foctio covexe pr l esemle de ses tgetes, permet le développemet de méthodes de liéristio. Pour toutes ces risos et ie d utres, les foctios covexes sot primordiles. Metioos quelques propriétés des foctios covexes.

118 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 117 Défiitio L foctio f : I R est covexe si x, y I, λ [0, 1], f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y). Exemple : Les foctios costtes, liéires, ffies, x x 2. Metioos quelques remrques prélimiires. 1. Ue foctio f est cocve si f est covexe. 2. Ue foctio est covexe si le grphe est u-dessous de chque sécte. épigrphe C sécte C f 3. L épigrphe de f est l prtie u-dessus de l coure ie C = {( x y ) R2, x I et y f(x)} Ue foctio est covexe si tout segmet dot les extrémités sot ds l épicetre est iclus ds l épicetre (l esemle C est dit covexe). 4. Pr récurrece, ous oteos que pour tout x 1,..., x I et λ 1,..., λ 0 vec λ λ = 1, f(λ 1 x λ x ) λ 1 f(x 1 ) + + λ f(x ). Propositio Soiet f : I R covexe et x < y < z I, lors f(y) f(x) y x f(z) f(x) z x f(z) f(y) z y Les différetes iéglités etre petes (voir ussi ci-dessous) sot illustrées ds l figure suivte.

119 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 118 C f x y z Démostrtio. E écrivt y = x + y x y x (z x) = z x z x z + z y x, l défiitio de l z x covexité doe ce qui est équivlet à Nous oteos lors ce qui est équivlet à f(y) y x z x f(z) + z y z x f(x) (z x)f(y) (y x)f(z) + (z y)f(x). (z x)f(y) (z x)f(x) (y x)f(z) (y x)f(x) et (z y)f(z) (z y)f(x) (z x)f(z) (z x)f(y) f(y) f(x) y x f(z) f(x) z x f(z) f(y). z y Les foctios covexes sot reltivemet régulières, comme l illustre le corollire suivt. Corollire Toute foctio covexe sur [, ] est cotiue sur (, ). Démostrtio. Soit x 0 (, ). Pour tout x 0 < x, et doc f(x 0 ) f() x 0 f(x) f(x 0) x x 0 f() f(x 0) x 0 f(x 0 ) f() (x x 0 ) f(x) f(x 0 ) f() f(x 0) (x x 0 ). x 0 x 0 Pr coséquet, f(x) ted vers x 0 lorsque x ted vers x 0 pr vleurs supérieures. Aisi, f est cotiue à droite e tout poit de (, ). De même, o motre que f est cotiue à guche sur (, ). Et doc f est cotiue sur (, ).

120 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 119 Propositio 7.21 (Foctios covexes et dérivilité). 1. (Foctios dérivles) Soit f : I R ue foctio dérivle. Alors les trois propositios suivtes sot équivletes (i) f est covexe (ii) f est croisste (iii), I, f() f ()( ) + f(). 2. (Foctios deux fois dérivles) Soit f : I R ue foctio deux fois dérivle. Alors les deux propositios suivtes sot équivletes (j) f est covexe (jj) f 0. L coditio (iii) sigifie que l coure est u-dessus de s tgete e tout poit. Démostrtio. Motros l première prtie. Commeços pr (i) implique (iii). Pour tout x < y < z ds (, ), f(y) f(x) y x f(z) f(x) z x f(z) f(y). z y E lisst y tedre vers x, puis vers z, ous oteos f (x) f(z) f(x) f (z) et ous z x oteos (iii). L propriété (iii) implique (ii) fcilemet. Soiet x < y. E ppliqut (iii) à = x et = y puis à = y et = x, ous oteos f (x) f(y) f(x) f (y). y x Motros que (ii) implique (i). Soiet x < y, défiissos l foctio ϕ [0, 1] R pr l formule ϕ(t) = tf(x) + (1 t)f(y) f(tx + (1 t)y). Notre ut est de motrer que ϕ est toujours égtive. Notos tout d ord que ϕ(0) = ϕ(1) = 0, et qu il est doc suffist de motrer que ϕ est égtive puis positive, ou plus simplemet que ϕ est croisste : cel impliquer imméditemet qu elle est égtive puis positive, possilemet seulemet l u ou l utre (ceci est suffist pour ous). Nous trouvos que ϕ (t) = f(x) f(y) (x y)f (tx + (1 t)y), qui est effectivemet croisste puisque f est croisste et x y < 0. Itéressos ous à l deuxième prtie. Puisque f est deux fois dérivle, f est covexe ssi f est croisste et doc ssi f est positive. Défiitio Soit x 0 I. Ue foctio f : I R dmet ue dérivée à droite si f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x>x 0 x x 0 existe. L dérivée à guche peut être défiie de l même fço. Si f est dérivle à droite e x 0, lors l coure représettive de f dmet ue demi-tgete à droite e x 0. Propositio Les foctios covexes sur [, ] dmettet des dérivées à guche et à droite e tout poit de (, ). Démostrtio. Soit x 0 (, ). Nous vos f(x) f(x0) x x 0 décroit lorsque x ted vers x 0 et est miorée pr f() f(x0) x 0. Elle coverge doc vers ue limite. Aisi, f est dérivle à droite. O motre de même que f est dérivle à guche.

121 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R Applictios à l étude des grphes de foctios Lorsque l o étudie ue foctio, l première chose à idetifier est so domie de défiitio. Nous étudios esuite s régulrité, c est à dire s clsse et so ses de vritio. Il est e géérl importt d idetifier les extrem de l coure. Nous ous itéresseros ussi ux poits uquel f s ule. Ces poits sot ppelés poits d iflexio. Ces poits correspodet ux edroits où l coure trverse potetiellemet (ce est ps toujours le cs) l tgete. Nous étudios esuite les limites ux ores du domie. Nous utilisos e géérl u tleu de vritio pour résumer les iformtio oteues jusqu à préset. Ds le cs où l foctio ted vers ±, il est utile d idetifier commet l coure se comporte. O ppelle cette prtie étude des rches ifiies. Défiitio Soit f : (, ) R. L foctio f dmet ue rche ifiie e si est ifii ou si est fii et f dmet ue limite ifiie e. Si <, l coure ted vers l ifii e se rpprocht de l droite verticle psst pr le poit de coordoées (, 0). O dit que l coure ue symptote verticle e. Lorsque =, ous désiros svoir si l foctio ted plus letemet ou plus rpidemet que les foctios liéires. f(x) Défiitio Soit f : I R. Si lim = l R {± }. Si l R, l droite x + x d équtio y = lx est ue directio symptotique de l coure e. De plus, si f(x) lx ted vers ±, lors f dmet ue rche prolique ds l directio de y = lx, sio, o dit que l coure dmet ue droite symptotique. L étude se termie e regrdt si l coure est u-dessus ou u-dessous de cette rche lorsque x ted vers l ifii. E coclusio, le pl d étude d ue foctio suivr les étpes suivtes D R S L B Domie de défiitio. Régulrité (cotiuité, dérivilité, etc). Ses de vritio et tleu de Vritio (extremums, poits otles). Limites u ores du domie. Brches ifiies, Tgetes et positios pr rpport ux symptotes.

122 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 121 rche prolique symptote verticle directio symptotique symptote poits remrqules idt u trcé poits iflexio miimum locl symptote horizotle miimum locl Exemple : Étude de l foctio f D f R x exp ( 1 x 1+x ) si x 0 x 2 + ex si x > 0 Domie de défiitio : Le seul poit prolémtique est le cs de x = 1, ous vos doc D f = R { 1}. Régulrité : Sur R { 1, 0}, l foctio est C et l dérivée vut f x 2 +x+1 exp ( 1 (1+x) (x) = 2 1+x ) si x < 0 e 2x si x > 0. Puisque ous e uros esoi, dérivos ue ouvelle fois : (2x+1)(1+x) 2 2(1+x)(x 2 +x+1) (1+x 2 +x) f exp ( 1 (x) = (1+x) 4 1+x ) = x 2 exp ( 1 (1+x) 4 1+x ) si x 0 2 si x > 0.. L focito possède doc u poit d iflexio e 2. Étudios l régulrité e zéro : l foctio est cliremet cotiue cr x 2 ex ted vers 0, de même que x exp(1/(1 + x)). Les dérivées coverget vers e lorsque x ted vers zéro pr vleurs positives et égtives et doc l propositio du cours implique que f est dérivle e zéro. E étudit l limite de l deuxième dérivée, dérivle mis ps deux fois dérivle e zéro (l limite à guche de l secode dérivée vut 2e, tdis que celle à droite vut 2).

123 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 122 Ses de vritio et tleu de vritio : Lorsque x 0, l dérivée est positive (cr x 2 + x pour tout x) et doc f est croisste. Lorsque x > 0, ous oteos qu elle est croisste jusqueà e/2 puis décroisste. O peut évluer f à ses mximums locux : f(e/2) = e/4. Notos églemet que f(0) = f(e) = 0. Limites u ores du domie : E + et, l foctio ted vers. E 1 (à guche), elle ted vers 0 et e 1 + (à droite), vers. Brches ifiies et positio pr rpport à l symptote : Il y ue rche ifiie e 1. E +, f(x)/x ted vers et ous vos doc ue rche ifiie prolique. E, f(x)/x ted vers 1 et ous vos doc ue directio symptotique. Clculos f(x) x = x( exp(1/(1 + x)) 1) 1 (dmis) pr vleurs positives, l foctio est doc e dessous de l symptote. Nous oteos doc e coclusio Applictios ux iéglités Ds ce prgrphe, ous expliquos quelques pplictios de l otio de dérivilité permettt de motrer des iéglités. L première techique à reteir est l étude de foctios. Propositio 7.26 (Iéglité clssiques). 1. x R, e x 1 + x 2. x > 1, l(1 + x) x 3. x [0, π x3 ], x si(x) x 2 3! 4. x R, cos x 1 x2 2. L preuve cosiste à dresser le tleu de vritio d ue foctio ie choisie, et de vérifier qu il implique l positivité de cette foctio.

124 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 123 Démostrtio de l première iéglité. Posos f(x) = e x 1 x. Nous vos lors f (x) = e x 0 et doc f est croisste. Puisque f (0) = e 0 1 = 0, ous oteos que f (x) 0 pour x 0 et f (x) 0 pour x 0. Aisi, f est décroisste pour x 0 et croisste pour x 0. Puisque f(0) = e = 0, ous oteos que f(x) f(0) = 0 pour x 0 et f(x) f(0) = 0 pour x 0. Nous vos doc f(x) = e x 1 x 0 pour tout x R Formes idétermiées Let ut de cette sectio est d expliquer succictemet commet clculer des limites du type log(1 + x) si(x) lim. x 0 1 cos(x) 2 Il existe deux méthodes clssiques. Première méthode L première repose sur le lemme suivt. Lemme 7.27 (règle de l Hôpitl). Soiet f, g : [, ] R et x 0 [, ]. Supposos f, g cotiues sur [, ] f, g dérivles sur [, ] {x 0 }, x [, ], g (x) 0. Sous ces hypothèses, si f (x) g (x) coverge lorsque x ted vers x 0, lors f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 g(x) g(x 0 ) = lim x x 0 x x 0 f (x) g (x). Démostrtio. Supposos tout d ord que x > x 0. Cosidéros ϕ : t [, ] (f(x) f(x 0 ))(g(x) g(x 0 )) (f(x) f(x 0 ))(g(x) g(x 0 )) Nous vos ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = 0. Aisi, le lemme de Rolle implique l existece de c (x 0, x) tel que ϕ (c c ) = 0, i.e. c est-à-dire (f(x) f(x 0 ))g (c x ) = (g(x) g(x 0 ))f (c x ). f(x) f(x 0 ) g(x) g(x 0 ) = f (c x ) g (c x ) et lorsque x ted vers x 0, lors c x ted églemet vers x 0. Nous fisos de même vec x < x 0. Exemple : Appliquos cette méthode à l limite précédete. Ds ce cs f(x) = log(1 + x) si(x) et f(0) = 0 g(x) = 1 cos(x) 2 et g(0) = 0. Nous vos doc f 1 (x) = 1 + x cos(x) et f (0) = 0 g(x) = 2 si(x) cos(x) et g (0) = 0.

125 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 124 Aisi, f(x) lim x 0 g(x) = lim f (x) x 0 g (x). Cette derière limite est ecore idétermiée. Nous cotiuos doc. Aisi, f 1 (x) = (1 + x) + si(x) et f (0) = 1 2 g(x) = 2(cos 2 (x) si 2 (x)) et g (0) = 2. f(x) lim x 0 g(x) = lim f (x) x 0 g (x) = lim f (x) x 0 g (x) = 1 2. Il est souvet écessire d itérer l règle de l Hôpitl. Deuxième méthode (pour votre culture) cocept de développemet limité. L deuxième méthode repose sur le Défiitio Supposos que 0 I. Ue foctio f I R est u petit o de x e 0 s il existe ue foctio g I R telle que g(x) 0 e 0 et f(x) = g(x)x pour tout x I. E quelque sorte, cel sigifie que f est eucoup plus petit que x u voisige de 0. O prler églemet de o((x x 0 ) ) e x 0 lorsque f est eucoup plus petit que (x x 0 ) u voisige de x 0. Exemple : > m. x = o(1), x 2 = o(x), x 3 = o(x 2 ) et plus géérlemet, x = o(x m ) pour tout Exemple : E x 0 quelcoque, x x 0 = o(1), (x x 0 ) 2 = o(x x 0 ), (x x 0 ) 3 = o((x x 0 ) 2 ), et plus géérlemet (x x 0 ) = o((x x 0 ) m ) pour tout > m. o(x Exemple : 3 ) = o(x 2 ), plus géérlemet o(x ) = o(x m ) pour tout m. x x m Exemple : Nous vos cliremet o(x ) + o(x ) = o(x ). Exemple : l limite d ue foctio o(1) vut 0. Le ut est de développer ue foctio et l pproximer pr u polyôme, e écrivt l correctio comme u petit o. Pr exemple, 1 1 x = 1 + x + x2 + + x + o(x ). 1 Démostrtio. Il suffit de voir que 1 x = 1 + x + x2 + + x + x+1. Le derier terme 1 x est ie u o(x ) ce qui permet de coclure. Ds cet exemple, ous voyos ie que est presque u polyôme, mis qu il y 1 x ue correctio qui est petite u voisige de 0. Noter que l o peut remplcer x pr x ds l formule précédete pour oteir x = 1 x + x2 + ( 1) x + o(( x) ). Mitet, u petit o de ( x) est églemet u petit o de x et doc x = 1 x + x2 + ( 1) x + o(x ). 1

126 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 125 Corollire 7.29 (Formule de Tylor-Youg). Soit 0. Soiet f : [, ] R de clsse C +1 et x 0 [, ]. Pour x tedt vers x 0, f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f () (x 0 ) (x x 0 ) + o((x x 0 ) )! Démostrtio. Utilisos l formule de Tylor-Lgrge. Nous oteos qu il existe c x etre x 0 et x tel que f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ f (x 0 ) 2! Aisi, (x x 0 ) f () (x 0 )! (x x 0 ) +1 f (+1) (c x ) = (x x 0) ( + 1)! ( + 1)! f (+1) (c x ) (x x 0 ). (x x 0 ) + (x x 0) +1 f (+1) (c x ). ( + 1)! Le terme f (+1) (c x ) ted vers f (+1) (x 0 ), le terme x x 0 ted vers 0 et doc (x x 0 ) +1 f (+1) (c x ) = o((x x 0 ) ). ( + 1)! Exemple : exp(x) = 1 + x + x2 2 + x3 3! + + x! + o(x ). Exemple : log(1 + x) = x x2 2 + x ( 1)+1 x + o(x ). Exemple : Soit R. (1 x) = 1 + x + ( 1) 2 x ( 1)...( +1)! x + o(x ). Exemple : cos(x) = 1 x2 2! + x4 4! x6 x2 + + ( 1) 6! (2)! + o(x2 ). Exemple : si(x) = x x3 3! + x5 5! x7 x ( 1) 7! (2+1)! + o(x2+1 ). Retouros doc à otre limite du déprt log(1 + x) si(x) lim. x 0 1 cos(x) 2 Nous vos log(1 + x) = x x2 2 + x3 3 + o(x3 ) et si(x) = x x3 6 + o(x3 ). Aisi, et doc De même, cos(x) = 1 x2 2 + o(x2 ). Aisi, 1 cos(x) 2 = 1 (1 x2 2 )2 (o(x 2 )) 2 2(1 x2 log(1 + x) si(x) = x2 2 + o(x2 ) log(1 + x) si(x) x 2 = o(1) )o(x2 ) = 2 x2 2 +( x2 2 )2 (o(x 2 )) 2 2(1 x2 2 )o(x2 ). E oservt les différets termes ttetivemet, ous trouvos que seul le premier est ps u o(x 2 ), et doc 1 cos(x) 2 = x 2 + o(x 2 ).

127 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 126 E coclusio, ous pouvos voir que 1 cos(x) 2 E fist le rpport, ous tomos sur x 2 = 1 + o(1) 1. log(1 + x) si(x) log(1 + x) si(x) x 2 lim = lim x 0 1 cos(x) 2 x 0 x 2 1 cos(x) = = 1 2. O procède toujours comme décrit pr ecédemmet, o fit u développemet du umérteur, puis o divise pr le terme domit pour voir ue limite. O fit de même vec le déomiteur, puis o divise les deux limites. Exemple : Soit t R et x > 0, lim (1 + xt)1/x = e t. x 0 E prticulier, pour x = 1, ous oteos que lim (1 + t ) = e t. Preuve Preos le logrithme, il ous fut motrer que 1 log(1 + tx) t. E post x y = tx, ous trouvos log(1 + tx) = log(1 + y) = y + o(y) = tx + o(tx) = tx + o(x). Aisi, 1 log(1 + tx) = t + o(1) t. x Recherche de solutios d ue équtio foctioelle (pour votre culture) Le ut de ce prgrphe st de décrire succitemet commet pproximer les solutios d ue équtio du type f(x) = 0. Nous ous plços ds le cs d ue foctio f [, ] R de clsse C 2 telle que f() < 0 et f() > 0. Pr le théorème des vleurs itermédiires, il existe c (, ) tel que f(c) = 0. De plus, puisque f > 0, l foctio est strictemet croisste et l solutio est uique. Nous désiros costruire ue suite (u ) tedt le plus rpidemet possile vers ue solutio de f(x) = 0. Méthode pr dychotomie : L preuve du théorème des vleurs itermédiires costruit ue suite (u ) telle que u c ( )/2. Le défut de cette preuve est qu il fut tester l vleur de f(u ) pour chque. Méthode des séctes : O suppose de plus que f > 0 et f > 0 (e prticulier elle est covexe). Costruisos (u ) de fço récursive. Posos u 0 =. Supposos mitet que u été costruit, et que f(u ) < 0. Pour costruire u +1, trcer l sécte etre f(u ) et f(). Cette sécte coupe l xe horizotl e u réel u +1. Pr covexité, u +1 c. L suite (u ) est croisste et orée pr c. Elle coverge doc.

128 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R 127 Mitet, écrivos u +1 = λu + (1 λ). Nous vos ce qui implique que 0 = λf(u ) + (1 λ)f() u +1 = + E prticulier, si l est l limite de (u ), l = + u f(u ) f() f(). l f() et doc f(l) = 0. f(l) f() Méthode de Newto : O e suppose plus que f > 0 et f > 0 mis seulemet que f 0. Costruisos (u ) pr récurrece. Soit u 0 = et u +1 = f(u ) f (u ) + u = g(u ) où g(x) = f(x) f (x) +x. O se rmèe u cs d ue suite de l forme u +1 = g(u ). Commet costruitos géométriquemet u +1 e foctio de u? Puisque g (x) = f (x) 2 f (x)f(x) + 1, f(c) = 0 implique g(c) = c et g (c) = 0. E f (x) 2 prticulier, pour tout y [, ], où c y [y, c]. O otiet que g(y) c = g(y) g(c) = g (c y ) (y c) 2 2 u +1 c M 2 u c 2 où M est le mximum de g (x) sur [, ]. O otiet doc Ue récurrece immédite implique M 2 u +1 c ( M 2 u c ) 2. u c 2 M (M u 0 c )2. 2 E prticulier, si u 0 est ssez proche de c, M u0 c 2 < 1 et l suite coverge très rpidemet (pr exemple eucoup plus rpidemet que toute expoetielle). Exercice 137. Motrer que x + 1 x 2 pour tout x > 0, et x(1 x) 1 4 pour tout x R. Exercice 138. Motrer que x x3 6 si(x) x pour tout x 0. Exercice 139. Détermier les foctios sur R qui sot covexes et cocves à l fois. Exercice 140. Détermier les extremums locux de l foctio f(x) = x 4 x Exercice 141. Détermier les foctios sur R qui sot covexes et cocves à l fois. Exercice 142. Étudier les foctios suivtes : 1. L foctio t 2. L foctio f(x) = 5x 2 10x L foctio g(x) = x2 5x x 2 1. Exercice 143 (Iéglité de Hölder). Soiet p, q 0 tels que 1 p + 1 q = 1.

129 CHAPITRE 7. DÉRIVATION DES FONCTIONS SUR R Motrer que f(x) = log(1 + e x ) est covexe. 2. A Utiliser l covexité ppliquée à l foctio précédete fi de motrer que, R +, p 1 q (1 + ) 1 p (1 + ) 1 q. 3. A Motrer pr récurrece que pour tout 1,...,, 1,..., R +, 1 1 i i ( p p i ) ( q q i ). i=1 i=1 i=1 Idictio : O pourr ivoquer l hypothèse de récurrece pour i=1 i i puis ppliquer l iéglité de l questio précédete ux réels = i=1 p i p +1 et = i=1 q i q +1.

130 Chpitre 8: Itégrtio de foctios à vleurs réelles Les otios ordées ds ce chpitre sot dues à Riem qui do l première défiitio des itégrles e Leesgue (1903) préset ue théorie plus puisste mis plus complexe de l itégrtio que vous orderez e troisième ée. 8.1 L itégrle sur u segmet Défiitio de l itégrle des foctios e esclier Défiitio 8.1. Soiet <. Ue foctio f [, ] R est dite e esclier s il existe = x 0 < < x = tels que f est costte sur (x i 1, x i ) pour tout i = 1,...,. Tout esemle S = { = y 0 < < y m = } tel que f est costte sur (y i 1, y i ) pour tout i = 1,..., m est ppelée ue sudivisio dptée à f. Les foctios e esclier sot prfois ppelées foctios costtes pr morceux ou prfois foctios étgées. Nous voulos défiir l itégrle comme étt l ire sigée etre le grphe de l foctio et l xe horizotl. Cel sigifie que l o joute l ire u dessus de l xe, et l o soustrit l ire e dessous. Ds le cs des foctios e esclier, cette ire peut être décomposée e rectgles, dot les ires peuvet être clculées fcilemet. Berhrd Riem (llemd ) cotriu de omreux domies des mthémtiques, comme l lyse (vec l itégrles et les sommes), l topologie et l géométrie (surfces de Riem), l lyse complexe. Il est à l origie de l plus fmeuse cojecture e mthémtique : l hypothèse de Riem. Défiitio 8.2. Soiet f [, ] R ue foctio e esclier et S = { = x 0 < < x = } ue sudivisio dptée à f. Notos f i l vleur costte de f sur (x i 1, x i ). Défiissos I S (f) = f i (x i x i 1 ). i=1 Cette vleur est idépedte de l sudivisio dptée à f. L vleur commue est otée f(t)dt et est ppelée itégrle de f de à. 129 Heri Léo Leesgue (frçis ) Célère pour s théorie de l itégrtio, mis églemet pour le théorème de covergece domiée.

131 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 130 Vérifios rpidemet que l vleur e déped effectivemet ps de l sudivisio dptée. Soiet S 1 et S 2 deux sudivisios dptées. Pr défiitio, l sudivisio S 1 S 2 est églemet dptée (les itervlles de cette sudivisio sot iclus ds ceux de S 1 et de S 2. Il suffit doc de motrer que I S1 (f) = I S1 S 2 (f) et I S2 (f) = I S1 S 2 (f). Nous le fisos pour S 1 et S 1 S 2. Notos x 11, x 12,..., x 1(j1 1) les élémets de S 2 strictemet etre x 0 et x 1. O pose églemet x 10 = x 1 et x 1j1 = x 1. De même, o défiit x i1, x i2,..., x i(ji 1) les élémets de S 2 strictemet etre x i 1 et x i et x i0 = x i 1 et x iji = x i. O remrque lors que j i I S1 S 2 (f) = f j (x ij x i(j 1) ). i=1 j=1 Mis f j est costt égl à f i ds chcue des sommes, puisuqe ous sommes sur l itervlle (x i 1, x i ). Nous trouvos doc que I S1 S 2 (f) = j i f i i=1 j=1 (x ij x i(j 1) ) = f i (x iji x i0 ) = f i (x i x i 1 ) = I S1 (f). i=1 i=1 f 2 f 1 f 3 f 6 f 7 f 8 x 0 = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 7 x 8 x 9 x 10 = x 6 f 9 f 4 f 5 f 10 Pr covetio, défiissos f(t)dt = f(t)dt pour <. Propositio 8.3 (liérité de l itégrle). Soiet < et f, g [, ] R deux foctios e esclier. Pour tout λ, µ R, (λf + µg)(t)dt = λ f(t)dt + µ g(t)dt. Démostrtio. Soit S 1 ue sudivisio dptée à f et S 2 ue sudivisio dptée à g. O vérifie isémet que S = S 1 S 2 est ue sudivisio dptée à f, à g et à λf + µg. Aisi, si S = { = x 0 < < x = }, et si f i et g i représetet les vleurs de f et g sur (x i 1, x i ), ous vos que λf i +µg i est l vleur de λf +µg sur (x i 1, x i ). Nous déduisos (λf + µg)(t)dt = I S (λf + µg) = (λf i + µg i )(x i x i 1 ) i=1 = λ f i (x i x i 1 ) + µ g i (x i x i 1 ) = λi S (f) + µi S (g) = λ i=1 f(t)dt + µ i=1 g(t)dt.

132 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 131 Exemple : Pour tout <, dt = puisque S = {, } est ue sudivisio dptée à l foctio costte égle à 1. Propositio 8.4 (reltio de Chsles). Soiet,, c R et f ue foctio e esclier défiie sur [, ] et [, c], f(t)dt + c f(t)dt = c f(t)dt. Remrquos qu ucue coditio est requise sur,, c. Démostrtio. Supposos < < c. Les utres cs suivet du fit que f(t)dt = f(t)dt. Soit S 1 = { = x 0 < < x = } ue sudivisio dptée à f sur [, ]. Soit S 2 = { = y 0 < < y m = c} ue sudivisio dptée à f sur [, c]. L sudivisio S = S 1 S 2 = { = x 0 < < x = y 0 < y 1 < < y m = c} est ue sudivisio dptée à f sur [, c]. Nous trouvos Michel Chsles (frçis ) f(t)dt + c f(t)dt = I S1 (f) + I S2 (f) = I S1 S 2 (f) = c f(t)dt. Propositio 8.5 (positivité de l itégrle). Soit f [, ] R ue foctio e esclier. Si f(t) 0 pour tout t [, ], lors f(t)dt 0. De plus, si f(t) = 0 pour tout t à prt u omre fii de vleurs. f(t)dt = 0 lors Démostrtio. Soit S ue sudivisio dptée à f. Notos f i 0 l vleur commue de f sur (x i 1, x i ). Nous trouvos f(t)dt = I S (f) = f i (x i x i 1 ) 0. De plus, pour que cette somme soit ulle, il fut que f i = 0 pour tout i {1,..., } tel que x i x i 1 > 0. Nous e déduisos que f = 0 sur [, ] {x 0, x 1,..., x }. Corollire 8.6. Soiet f, g [, ] R deux foctios e esclier. 1. (croissce de l itégrle) Si f(t) g(t) pour tout t [, ], lors 2. (iéglité trigulire) 3. (cotiuité de l itégrle) i=1 f(t)dt f(t)dt g(t)dt. f(t) dt. f(t)dt ( sup f(u) )( ). u [,] Pour votre culture, l derière propriété correspod u fit que l itégrle est 1- Lipschitz pour l orme ifiie, et doc cotiue e ted qu pplictio liéire. Cette formultio ser justifiée vec plus de détils durt le prochi semestre. Démostrtio. Motros 1. Nous vos que g f 0 et doc 0 (g f)(t)dt = pr l positivité de l itégrle puis s liérité. g(t)dt f(t)dt

133 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 132 Motros 2. Nous vos f f et l croissce de l itégrle implique f(t) dt. De plus, f f et l croissce de l itégrle implique ( f)(t)dt pour l itégrle. f(t)dt f(t)dt = f(t) dt. Les deux iéglités impliquet doc l iéglité trigulire Motros 3. Puisque f sup u [,] f(u), l iéglité trigulire puis l croissce de l itégrle implique f(t)dt f(t) dt ( sup f(u) )dt = ( sup f(u) )( ). u [,] u [,] Ds l derière iéglité, ous vos utilisé l liérité puis le fit que dt = Itégrles des foctios réglées Défiissos l orme suivte sur les foctios de [, ] ds R (si le cocept de orme est ps cou, il suffit de cosidérer l défiitio ci-dessous ss ce soucier de ce qu est ue orme, cel e jouer ucu rôle ici). Soit f [, ] R, posos f = sup f(t) [0, ]. t [,] L qutité f g mesure l distce mximle etre f(t) et g(t). Si f g ε, f est coteu ds u tue d épisseur ε utour du grphe de g, et vice et vers. Défiitio 8.7. Ue foctio f [, ] R est dite réglée s il existe ue suite de foctios e esclier (f ) telles que f f ted vers 0. O dit lors que (f ) f uiformémet. + Avec des mots, ue foctio réglée est ue foctio qui peut être pproximée pr les foctios e esclier. Exemple : Les foctios cotiues de [, ] ds R sot réglées. Démostrtio. Soit f [, ] R cotiue. Soit ε > 0, motros qu il existe ue foctio e esclier f ε telle que f ε f ε. Tout d ord, le théorème de Heie motre que f est uiformémet cotiue. Il existe doc δ > 0 tel que pour tout x, y [, ] 2, x y δ implique f(x) f(y) ε. Soit N 0 tel que N δ. Cosidéros l sudivisio {x k = + k, 0 k N} et posos N f ε (x 0 ) = f(x 0 ) et f ε (x) = f(x k ) sur l itervlle (x k 1, x k ] pour tout k {1,..., N}. Pr costructio, l foctio f ε est ue foctio e esclier. De plus, pour x (x k 1, x k ], f(x) f ε (x) = f(x) f(x k ) ε cr x x k δ, ce qui implique que f f ε ε. Mitet, l suite de foctios de foctios e esclier (f 1 ) 1 coverge uiformémet vers f cr f f 1 1. Exemple : Ue foctio f [, ] R est cotiue pr morceux s il existe S = { = x 0 < < x = } tel que f est cotiue pour tout t S. Les foctios cotiues pr morceux sot réglées.

134 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 133 Démostrtio. Il suffit de predre ue suite de foctios e esclier sur chcu des itervlles (x i, x i+1 ). Défiitio 8.8. Soit f [, ] R réglée. Alors il existe u réel I tel que pour toute suite de foctios e esclier (f ) telle que f f ted vers 0, O ote I = f(t)dt. f (t)dt + I. Démostrtio. Justifios cette défiitio. Pour deux foctios étgées, f(t)dt g(t)dt = (f g)(t)dt f g ( ) d près l propriété de cotiuité de l itégrle. Aisi, pour toute suite (f ) de foctios e esclier telle que f f ted vers 0, l suite ( f (t)dt) est de Cuchy (le vérifier), et coverge doc vers ue certie qutité qui déped priori de l suite (f ). Motros mitet que l limite e déped ps de l suite (f ). E effet, preos deux suites (f ) et (g ) vec f f et g f tedt vers 0. L suite F défiie pr F 2 = f et F 2+1 = g vérifie F f ted vers 0 (isé à vérifier). E prticulier, l limite de f (t)dt est l même que l limite de F (t)dt, puisque l première suite est ue suite extrite de l deuxième. Mis cette derière limite est l même que l limite de g (t)dt pour l même riso. E coclusio, les limites de f (t)dt et g (t)dt sot les mêmes. L méthode précédete cosistt à predre (f ) et (g ) et à e fire ue même suite est très souvet utilisée pour prouver qu ue certie qutité e déped ps de l suite cosidérée. Désormis, ous disposos d ue défiitio de l itégrle sur ue clsse de foctio ssez vste pour os esois. Pour les persoes peurées pr l défiitio, pesez juste à l ire sigée e dessous de l coure. Étudios mitet les propriétés des itégrles. Propositio 8.9. L itégrle des foctios réglées est liéire, positive, croisste, cotiue et vérifie : (reltio de Chsles) Soiet,, c R et f ue foctio e réglée défiie sur [, ] et [, c], f(t)dt + c f(t)dt = (iéglité trigulire) Soit f [, ] R réglée, f(t)dt c f(t) dt. (cotiuité de l itégrle) Soit f [, ] R réglée, f(t)dt f ( ). f(t)dt.

135 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 134 Démostrtio. Les preuves s effectuet pr desité, i.e. que l o cosidère des suites de foctios e esclier coverget vers l limite. Nous e prouvos ps toutes les propriétés mis doos l exemple de l liérité. Soiet f, g deux foctios e esclier et λ, µ deux réels. Soiet (f ) et (g ) deux suites de foctios e esclier telles que f f et g g tedet vers 0. Nous vos lors que (λf + µg ) est ue suite de foctios e esclier. De plus, λf (t) + µg (t) (λf(t) + µg(t)) λ f (t) f(t) + µ g (t) g(t) λ f f + µ g g. et doc λf +µg (λf +µg) λ f f + µ g g ted vers 0. Aisi, λf +µg coverge vers λf + µg. Nous vos lors (λf + µg)(t)dt = lim = λ lim = λ (λf + µg )(t)dt f (t)dt + µ lim f(t)dt + µ g(t)dt. g (t)dt Ds l première idetité, ous utilisos l défiitio de l itégrle de λf + µg, ds l deuxième l liérité pour les foctios e esclier, et ds l derière l défiitio de l itégrle pour f et g. Attetio, f(t)dt = 0 implique ps que f est ulle pour tout x excepté u omre fii de vleurs. Nous vous ecourgeos à cosidérer l foctio qui à x ssocie 0 excepté pour les vleurs 1, pour lesquelles elle ssocie 1 (il fut vérifier que c est ue foctio réglée, et que so itégrle vut 0). Pr cotre, ds le cs où l foctio est cotiue, ce résultt est vri. Corollire Si ue foctio cotiue positive sur [, ] ue itégrle ulle cel sigifie que l foctio est ulle. Démostrtio. Motros l cotrposée. Soit f ue foctio cotiue positive telle que f(x 0 ) > 0 pour u certi x 0 [, ], lors f(t)dt > 0. Supposos x 0. Puisque f est cotiue, il existe δ > 0 tel que f(x) f(x0) pour tout x [x 2 0, x 0 + δ]. Supposos ss perte de géérlité que x 0 + δ. Nous e déduisos f(t)dt = x 0 f(t)dt + x 0 x 0+δ f(t)dt + x 0+δ x 0+δ f(x 0 ) f(t)dt dt = δf(x 0) x Ds l première églité, ous vos utilisé l reltio de Chsles, ds l deuxième l positivité de l itégrle et l croissce. > 0. Corollire 8.11 (Iéglité de Cuchy-Schwrz.). Soiet f, g [, ] R réglées. Alors ( 2 f(t)g(t)dt) ( f(t) 2 dt) ( g(t) 2 dt). De plus, si f et g sot cotiues, cette iéglité est ue églité ssi il existe x R telle que f = xg.

136 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 135 Démostrtio. Cosidéros l équtio (E) d icoue x R, (E) (f(t) xg(t)) 2 dt = 0. Cette équtio est ue équtio polyomile de degré 2 e x. Puisque le terme de guche est toujours positif ou ul, 0. Ici, = ( 2 f(t)g(t)dt) ( f(t) 2 dt) ( g(t) 2 dt) 0 ce qui ous doe l iéglité imméditemet. De plus, = 0 ssi (E) dmet ue solutio qui so tour est équivlet à l existece de x R (ce ser l solutio de (E)) tel que (f(t) xg(t))2 = 0. Puisque (f xg) 2 est cotiue positive, l ultio de l itégrle précédete est équivlete à f = xg d près l propositio précédete Vleur pprochée de l itégrle d ue foctio cotiue Défiitio Soiet f [, ] R cotiue et S = { = x 0 < < x = } ue sudivisio de [, ]. Choisissos ds chque itervlle de l sudivisio u réel ξ i. L somme de Riem reltive à (S, ξ) est Σ S,ξ (f) = f(ξ i )(x i x i 1 ). i=1 Notos S = sup{ x i x i 1, i = 1,..., } (cette qutité est ppelée ps de l sudivisio). U théorème de covergece très géérl permet de motrer que lorsque le ps d ue sudivisio ted vers 0, lors les sommes de Riem coverge vers l itégrl. Nous référos à l exercice 148 pour le cs géérl et ous ous cocetros sur deux exemples précis. Théorème 8.13 (méthode des rectgles). Soiet f [, ] R de clsse C 1 et N, ( ) 1 f( + k=0 k( ) ) f(t)dt f ( ) 2. 2

137 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 136 Démostrtio. Nous vos 1 ( ) 1 = k=0 1 = k=0 1 = k=0 1 k=0 1 k=0 k=0 f( + ( ) f( + + (k+1)( ) + k( ) + (k+1)( ) + k( ) + (k+1)( ) + k( ) + (k+1)( ) + k( ) f 1 k=0 k( ) k( ) f( + [f( + f( + ) ) k( ) f (t + + (k+1)( ) + k( ) f(t)dt + (k+1)( ) + k( ) )dt f(t)dt + (k+1)( ) + k( ) k( ) ) f(t)]dt k( ) ) f(t) dt (t + k( ) )dt f 1 1 k=0 2 ( 2 ) = f ( ) 2 2 k( ) )dt f(t)dt Ds l ciquième lige, ous vos utilisé l iéglité trigulire deux fois (ue fois pour retrer l vleur solue ds l somme et ue fois pour l retrer ds l itégrle). Ds l sixième lige, ous vos utilisé l iéglité des ccroissemets fiis. L preuve précédete illustre u pricipe fodmetl lorsque l o estime des différeces. Il est toujours utile d homogééiser vos qutités u mximum, i.e. de les fire se ressemler. Théorème Soiet f [, ] R de clsse C 2 et N, ( ) k=0 f( + Démostrtio. Notos x k = + implique ( ) 1 k=0 f(x k ) (k + 1/2)( ) 1 f(t)dt = ) f(t)dt f ( ) (k + 1/2)( ). Les mêmes liges que précédemmet k=0 1 = k=0 1 k=0 + (k+1)( ) + k( ) + (k+1)( ) + k( ) + (k+1)( ) + k( ) Ds l deuxième iéglité, ous vos utilisé que (f(x k ) f(t))dt (f(x k ) + f (x k )(t x k ) f(t)dt) f(x k ) + f (x k )(t x k ) f(t) dt (k+1)( ) + + k( ) (t x k )dt = 0 cr x k est le milieu du segmet [+ k( ), + (k+1)( ) ]. Ds l derière lige, ous vos utilisé l iéglité trigulire deux fois. L églité de Tylor-Lgrge implique imméditemet f(t) f(x k ) f (x k )(t x k ) f (t x k ) 2. 2

138 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 137 E réijectt cette idetité ds l iéglité précédete, ous trouvos 1 ( ) k=0 f(x k ) 1 f(t)dt k=0 f 2 f 2 + (k+1)( ) + k( ) 1 k=0 f (t x k ) 2 dt 2 + (k+1)( ) + k( ) 1 2 k=0 3 ( 3 2 ) (t x k ) 2 dt = f ( ) Les deux théorèmes précédets motret que le choix des ξ i est crucil. Le premier choix correspod à l méthode des rectgles, comme l illustre l figure suivte. x 0 = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = L secode méthode mèe directemet à l méthode des trpèzes, qui est illustrée cidessous Propositio 8.15 (méthode des trpèzes). Soiet f [, ] R de clsse C 2 et N, 1 (1 2 f() + f( + k=1 k( ) ) f()) f(t)dt f ( ) U clcul utilist ue itégrtio pr prtie permet d méliorer le 6 e 12, mis ps mieux. Nous présetos l preuve simple ds le cs de l erreur vec u 6, l iformtio importte étt le fit que l vitesse de covergece est de l ordre de 1/ 2. Preuve d ue prt, et à + (k+1/2)( ) 1 2 E ppliqut l formule de Tylor-Lgrge à + k( ) k( ) [f( + ) + f( + et + (k+1)( ) (k + 1)( ) )] f( + et + (k+1)( ) d utre prt, ous trouvos que k( ) + 1/2 ) f 2 ( 2 ) 2 = f ( )

139 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 138 Aisi, 1 2 k( ) [f(+ )+f(+ (k + 1)( ) )] f(+ Il suffit lors de sommer sur k {0,..., 1} pour oteir que (1 2 f()+ f(+ k=1 k( ) )+ 1 ) f()) ( 2 k=0 k( ) + 1/2 ) f ( ) f(+ (k + 1/2)( ) ) f ( ) et efi d utiliser l propositio précédete (pour estimer l différece etre l deuxième somme et l itégrle) et l iéglité trigulire. x 0 = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = Exercice 144. Motrer que deux foctios e esclier e différt qu e u omre fii de poits ot l même itégrle. Exercice 145 (Ivrice pr trsltio). Soit f R R réglée, périodique de période T > 0. Motrer que pour tout R +T T f(t)dt = f(t)dt. 0 Idictio : Décomposer l itégrle de guche etre et T d ue prt, et T et + T d utre prt, où T est l uique élémet de T Z ds [, + T ). Exercice 146 (Formule de l moyee). Soiet f, g [, ] R cotiues. Supposos g positive et otos m et M le miimum et le mximum de f. 1. Motrer que m g(t)dt f(t)g(t)dt M g(t)dt. 2. E déduire l existece de c [, ] tel que f(t)g(t)dt = f(c) g(t)dt. Exercice 147. Soit f [, ] R cotiue. À quelle coditio écessire et suffiste -t-o f(t)dt = f(t) dt. (Idictio : Motrer que f = f ou f = f selo que l itégrle de f est positive ou égtive).

140 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 139 Exercice 148 (Approximtio pr les sommes de Riem). A Soit f [, ] R cotiue. Motrer que Σ S,ξ (f) f S ω(f, S ) où ω(f, S ) est le module d uiforme cotiuité de f. Motrer que lorsque le ps de l sudivisio ted vers 0, l somme de Riem ted vers l itégrle de f sur [, ]. Exercice 149. A Soiet f : [, ] R + cotiue et M = mx x [,] f(x). Motrer que lim + f(x) dx = M = f. Le clcul précédet est très utile, il est à l se de omreuses méthode d estimtio symtotiques d itégrles, comme les méthodes de Lplce et du poit de scelle. Il prouve e prticulier que f(x) dx se comporte comme le mximum à l puissce. Exercice 150. A Soit f [, ] R cotiue telle que f(t)g(t)dt pour tout g [, ] R e esclier. Motrer que f = Primitive des foctios cotiues Théorème 8.16 (Théorème fodmetl de l lyse). Soit f [, ] R ue foctio C 1 sur (, ) et cotiue sur [, ]. Alors f (t)dt = f() f(). Démostrtio. Posos l foctio g [, ] R x x f (t)dt f(x) + f() Notre ut est de motrer que g est cotiue sur [, ] et dérivle sur (, ) de dérivée ulle. E effet, ds ce cs le corollire 7.10 implique que g est costte. Puisque g() = 0, lors g est ulle. Le résultt suit e oservt que 0 = g() = f (t)dt f() + f(). Afi de motrer que g est dérivle et de dérivée ulle, il suffit de motrer que h(x) = x f (t)dt est dérivle de dérivée f (x). Soit x 0 [, ). Nous vos pour tout x 0 < x < suffismmet proche, h(x) h(x 0) x x 0 f 1 (x 0 ) = x x 0 1 x x 0 x x 0 x x 0 f 1 (t)dt x x 0 f (t) f (x 0 ) dt. x 0 x f (x 0 )dt (Nous vos de ouveu utilisé l stuce d homogééistio des termes.) Puisque f est cotiue e x 0, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que pour tout t [x 0, x 0 + δ], f (t) f (x 0 ) ε. Nous vos lors h(x) h(x 0) x x 0 f 1 x (x 0 ) εdt ε. x x 0 x 0 Aisi, h est dérivle à droite pour tout x 0 [, ), de dérivée à droite f (x 0 ). Le même clcul permet de motrer que h est dérivle à guche pour tout x 0 (, ], de dérivée à guche f (x 0 ). Cel implique que h est dérivle (doc cotiue) e x 0 de dérivée f (x 0 ) et doc g dérivle e tout poit de (, ) de dérivée ulle.

141 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 140 Défiitio Ue primitive d ue foctio cotiue f [, ] R est ue foctio dérivle F : [, ] R telle que F = f. Pour les sept premiers exemples, dérivez simplemet les foctios. Exemple : 1 x est ue primitive de x 1 pour tout Z {0} Exemple : log x est ue primitive de 1 x. Exemple : cos(x) est ue primitive de si(x). Exemple : si(x) est ue primitive de cos(x). Exemple : rct(x) est ue primitive de Exemple : rcsi(x) est ue primitive de Exemple : rgsih(x) est ue primitive de 1 1+x x x 2. Exemple : Soit f [, ] R cotiue et c [, ]. L foctio F x C 1 et F = f. E prticulier, F fourit u exemple de primitive de f. c x f(t)dt est Exemple : Soit f : [, ] R et F, G deux primitives de f. Il existe λ R tel que F = G + λ. Ceci est dû u fit que F G ue dérivée ulle, et doc est costte (ivoquer le corollire 7.10). Les primitives sot doc uiques à ue costte dditive près. Le résultt est ps vlle si le domie de défiitio est ps u itervlle. Ds ce cs, ue costte est écessire pour chque itervlle compost le domie de défiitio. U rgumet utile. L foctio F x f(t)dt est l uique primitive c de f s ult e c. Aisi, si o mipule l primitive s ult e c, il peut être stucieux de l écrire sous l forme de F. O peut églemet réécrire le théorème 8.16 de l fço suivte. Pour tout foctio f [, ] R, f(t)dt = F () F (), où F est ue primitive de f quelcoque. Ds ce cs, ous otos F () F () = [F ]. x Théorème 8.18 (Chgemet de vrile). Soiet I et J deux itervlles. Soiet f J R ue foctio cotiue et ϕ I J ue foctio C 1. Alors pour tout, I, f(ϕ(t))ϕ (t)dt = ϕ() ϕ() f(u)du. Souvet, o dit que ous vos fit le chgemet de vrile "u = ϕ(t)". Oserver que cette formule peut églemet être oteue e ppliqut le chgemet de vrile t = ϕ 1 (u) à l foctio g(t) = f(ϕ(t))ϕ (t). E effet, ous oteos ϕ() ϕ() f(u)du = ϕ() ϕ() g(ϕ 1 (u))(ϕ 1 ) (u)du = ϕ 1 [ϕ()] ϕ 1 [ϕ()] g(t)dt = Aisi, ces deux chgemets de vrile sot e quelque sorte équivlets. f(ϕ(t))ϕ (t)dt.

142 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 141 Méthode rpide. Avec de l exercice, o peut effectuer les chgemets de vrile plus rpidemet. O pose u = ϕ(t) et ous dérivos de chque coté pour oteir du = ϕ (t)dt. O remplce lors u pr ϕ(t) et du pr ϕ (t)dt. Il e reste plus qu à fire ttetio ux ores. Prfois, o désire fire dispritre tous les t, et doc remplcer ϕ(t) pr u. Ds ce cs, o exprime ϕ (t) e foctio de u (o otiet (ϕ 1 ) (u)), et o remplce dt pr (ϕ 1 ) (u)du. Démostrtio. Défiir g(x) = x f(ϕ(t))ϕ (t)dt et h(x) = ϕ(x) ϕ() f(u)du. Ces deux foctios ot pour dérivée f(ϕ(x))ϕ (x) (pour l deuxième foctio, ous vos utilisé l dérivée de l composée de deux foctios x ϕ(x) et y y ϕ() f(u)du). Leur différece est doc égle à ue costte. Mis leur vleur e vut 0 ce qui implique que cette costte vut églemet 0. Exemple : Pour ue foctio du type f(λt+µ), o pose u = λt+µ ce qui doe du = λdt. E élimit tous les t, ous oteos f(λt + µ)dt = λ+µ λ+µ f(u) du λ. Exemple : Prfois, le fcteur ϕ (t) est isémet recoissle, comme ds l itégrle dt qui vut doc 2tet2 2 e u du lorsque l o fit le chgemet de vrile t 2 = u. 2 Exemple : E effectut le chgemet de vrile t = sih u, ous oteos que dt = (cosh u)du 1 + t2 dt = = rgsih rgsih rgsih rgsih 1 + (sih u)2 cosh u du = 1 + cosh(2u) 2 rgsih rgsih du = [ u 2 + sih(2u) ] rgsih 4. rgsih (cosh u) 2 du Théorème 8.19 (Itégrtio pr prtie). Soiet f, g [, ] R deux foctios cotiues et F, G [, ] R des primitives de f et g respectivemet. f(t)g(t)dt = [F G] F (t)g(t)dt. Attetio de e ps utiliser cette méthode de fço systémtique, sio elle rlloger les clculs. Démostrtio. l dérivée de F G est fg + F g. Aisi, ce qui implique le résultt. [F G] = [f(t)g(t) + F (t)g(t)]dt, Exemple : cos(). x si xdx = [ x cos x] cos(x)dx = cos() cos() + cos()

143 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 142 Exemple : (Itégrles de Wllis) Cosidéros I = π/2 0 si (x)dx. O trouve que I 0 = π/2 0 dx = π 2 et I 1 = π/2 0 si(x)dx = [ cos(x)] π/2 0 = 1. Ue itégrtio pr prtie ppliquée à F (x) = cos(x) et G(x) = si 1 (x) ous doe I = [ cos(x) si 1 (x)] π/2 0 = ( 1) = ( 1) 0 π/2 = ( 1)I 2 I 0 π/2 0 π/2 cos 2 (x)( 1) si 2 (x)dx (1 si 2 (x)) si 2 (x)dx si 2 (x)dx ( 1) 0 π/2 si (x)dx Nous e déduisos que I = 1 I 2. Aisi, ous pouvos clculer les itégrles de Wllis pr récurrece sur, e se rmet à I 1 ou I 0. Corollire 8.20 (Formule de Tylor-Lgrge vec reste itégrl). Soiet N et f [, ] R ue pplictio C +1, f() = f() + k=1 f (k) ()( ) k + k! f (+1) (t)( t) dt.! Démostrtio. Motros ce résultt pr récurrece. Soit 0, otos H :"pour tout foctio f [, ] R de clsse C +1, ous vos f() = f() + k=1 f (k) ()( ) k + k! f (+1) (t)( t) dt.! H 0 est exctemet le théorème fodmetl de l lyse. Supposos H et motros H +1. Soit f [, ] R de clsse C +2. Puisque f est de clsse C +1, H permet d écrire f() = f() + k=1 f (k) ()( ) k + k! f (+1) (t)( t) dt.! Ue itégrtio pr prtie ppliquée à F = f (+1) (t) et G = ( t)+1 (+1)! implique que f (+1) (t)( t)! dt = [ f (+1) ( t)+1 (t) ( + 1)! ] = f (+1) ( )+1 () ( + 1)! + f (+2) (t) ( t)+1 dt ( + 1)! f (+2) (t)( t) +1 dt ( + 1)! E remplçt ds l formule précédete, ous oteos le théorème. Cette formule est fodmetle cr elle est glole. L formule de Tylor-Lgrge pporte ue iformtio locle. Il fut doc privilégier cette formule pr rpport à l formule de Tylor-Lgrge lorsque l o recherche ue iformtio pour tout x.

144 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 143 Applictio à l itégrtio de foctios élémetires Exemple : (les foctios rtioelles) Itégrer u polyôme est très simple, puisque ous svos commet itégrer toutes les foctios de l forme x pour N. Nous désiros doc étudier des foctios u peu plus compliquées : les foctios rtioelles à coefficiets réels. Vous verrez plus e détils lorsque vous étudierez le corps des frctios rtioelles qu ue frctio rtioelle se décompose e élémets simples. Plus prticulièremet, supposos tout d ord que R(x) = P (x) où P et Q sot deux polyômes, et Q s écrit Q(x) sous l forme Q(x) = (x α 1 ) d1 (x α 2 ) d2... (x α k ) d k. Alors, le lemme suivt implique que R peut s écrire sous ue forme reltivemet simple : Lemme Soit Q(x) doé pr l équtio précédete, lors il existe u polyôme S et des coefficiets C ij tels que R(x) = S(x) + k d i i=1 j=1 C ij (x α i ) j. Ce lemme permet d itégrer fcilemet les foctios rtioelles de ce type. Il suffit d écrire R sous l forme de R(x) = S(x) + k d i i=1 j=1 C ij (x α i ) j. Nous svos itégrer S cr c est u polyôme. De même, si j 1, l primitive de est 1 (1 j)(x α i) j 1. Efi, pour 1 (x α i), o otiet l primitive log( x α i ). 1 (x α i) j Preuve Nous effectuos ue récurrece sur le degré d = k i=1 d i de Q. H d : Pour toute frctio rtioelle R(x) = P (x) telle que Q(x) s écrit de l forme Q(x) Q(x) = (x α 1 ) d1 (x α 2 ) d2... (x α k ) d k, vec k i d i d, il existe u polyôme S et des coefficiets C ij tels que R(x) = S(x) + k d i i=1 j=1 C ij (x α i ) j. Le cs d = 0 est évidet. Supposos l ssertio vrie pour d, et motros H d+1. O écrit d1 Q(x) = (x α 1 ) Q(x), où Q(x) est le polyôme (x α 2 ) d2... (x α k ) d k. Remrquez que ce polyôme e s ule ps e α 1. O pose églemet P (x) = P (α 1) Q(x) + (x α 1 ) Q(α P (x), 1 ) où P est u polyôme. So existece est dûe u fit que P (x) P (α1) Q(α 1) Q(x) est u polyôme s ult e α 1, et doc divisile pr (x α 1 ) (cette propriété des polyômes

145 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 144 ser prouvée plus trd ds le cursus, ici, vous l dmettez). Nous pouvos lors écrire R(x) = P (x) Q(x) = P (α 1) Q(x) + (x α Q(α 1 ) P (x) 1) d1 (x α 1 ) Q(x) = P (α 1)/ Q(α 1 ) (x α 1 ) d1 + P (x). (x α 1 ) d1 1 Q(x) L deuxième frctio rtioelle yt pour déomiteur (x α 1 ) d1 1 Q(x), dot le degré est d = d, ous pouvos ppliquer l hypothèse de récurrece. Elle prouve l existece d u polyôme S et de coefficiets C ij tels que k P (x) (x α 1 ) d1 1 Q(x) = S(x) + d i i=1 j=1 C ij (x α i ) j, où d i = d i à prt d 1 qui vut d 1 1. o otiet lors le résultt e post C 1d1 = P (α1) Q(α 1) et e écrivt R(x) = P (x) Q(x) = C 1d1 (x α 1 ) d1 + P (x) (x α 1 ) d1 1 Q(x) = C 1d1 + S(x) + (x α 1 ) d1 i=1 j=1 (x α i ). j k d i C ij L preuve ous doe u lgorithme fi de clculer les coefficiets. O commece pr fctoriser Q(x) = (x α 1 ) d1... (x α k ) d k. Esuite, o désire clculer les coefficiets C idi (ceux devt les termes (x α i ) di. Pour ce fire (preos l exemple de α 1 ), il fut clculer P (α 1 )/ Q(α 1 ). O remrque que le coefficiet C 1d1 s otiet e évlut (x α 1 ) d1 R e α 1 (ttetio, cel e vut ps zéro). Ue fois les coefficiets C idi clculés, o peut itérer le risoemet vec l frctio rtioelle R k i=1 C idi (x α i) d i. Exemple : Réduisos l frctio R(x) = x2 +2 (x 1) 2 x et trouvos ue primitive. Démostrtio. Le polyôme Q est déj fctorisé. Clculos le coefficiet correspodt. O sit qu il suffit de multiplier pr x l foctio R, puis d évluer e 0. O otiet à 1 x 0+2 = 2 (ttetio, o évlue à droite de léglité, à guche, (0 1) 2 vut doc 2. De xr(x) = x2 +2 qui doe (x 1) 2 o otiedrit 0/0 ce qui ps de ses). Le coefficiet devt 1 x même, e multiplit pr (x 1) 2, o otiet que le coefficiet devt (x 1) 2 R(x) = x2 +2 x évlué e 1, ie 3. Mitet, clculos R(x) 2 x 3 (x 1) = x (x 1) 2 3x = x2 + x 2 (x 1) 2 x (x 1) 2 x = 1 x 1. 1 (x 1) 2 (o remrque que de omreux termes ce sot simplifiés, ce qui ser toujours le cs si l o ps fit de futes de clcul). E coclusio, o otiet que Ue primitive de R est doc doée pr R(x) = 2 x 1 x (x 1) 2. 2 log x log x 1 3 (x 1). vut

146 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 145 Le prolème de l méthode précédete est que tous les polyômes Q à coefficiets ds R e s écrivet ps sous cette forme. Vous motrerez plus trd (ce est ps très difficile) que l forme géérle d u polyôme sur R est Q(x) = (x α 1 ) d1... (x α k ) d k ((x β 1 ) 2 + γ 2 1) m1... ((x β l ) 2 + γ 2 l ) m l, où les α i, β i, γ i sot tous réels, et les γ i sot o uls. Il est lors possile (mis ps fcile) de motrer l propositio suivte : Propositio Soit Q(x) doé pr l équtio précédete, lors il existe u polyôme S et des coefficiets A ij, B i,j et C ij tels que R(x) = S(x) + k d i i=1 j=1 C l ij (x α i ) + j m i i=1 j=1 A ij x + B ij ((x β i ) 2 + γ 2 i )j. Ds ce cs, o peut ecore trouver des primitives. Tritos seulemet le cs itéresst des foctios du type Ax + B (x β) 2 + γ 2. Ax+B Tout d ord, o remrque que est l composée de l foctio y λ 2y +µ 1 (x β) 2 +γ 2 1+y 2 1+y 2 et x (x β), où λ, µ sot des coefficiets ie choisis. O trouve lors qu ue primitive γ s écrit sous l forme, 2 1 γ λ log β) β) 1 + ((x ) + µ rct ((x ) γ γ. Certis utres exemples clssiques sot des coséqueces de l méthode du chgemet de vrile et de l réductio e élémets simples. E gros, o se rmèe pr u chgemet de vrile à ue frctio rtioelle et o pplique esuite l méthode ci-dessus. Exemple : Pr exemple, o peut cosidérer ue foctio du type R(eλt )dt où R est ue frctio rtioelle. O peut lors fire le chgemet de vrile "u = e λt ". Aisi R(e λt )dt = e λ e λ R(u) du λu. Illustros l remrque effectuée près l éocé de l formule de chgemet de vrile. Remrquez que ous vos utilisé l formule de chgemet de vrile vec ϕ(u) = 1 λ log(u) et f(t) = R(eλt ). Altertivemet, ous urios pu dire que ous vios utilisé l formule de chgemet de vrile vec f(u) = R(u) λu et ϕ(t) = eλt. Ces deux visios de l même formule sot équivletes, puisque elles revieet à utiliser ϕ ou ϕ 1 ds le chgemet de vrile. U rccourci prtique est de dire que u = e λt doe du = λe λt dt ie du = λudt, et de remplcer ds l itégrle dt pr so expressio e foctio de u, et e λt pr u. Il e reste lors qu à fire ttetio ux ores. E coclusio, ous ous rmeos à trouver l primitive de l foctio rtioelle Q(u) = R(u), ce que ous vos étudié ds le prgrphe précédet. λu Exemple : Preos R(y, z) ue foctio rtioelle e deux vriles (ie que y R(y, z) et z R(y, z) sot des foctios rtioelles). Alors R( λx + µ, x)dx peut se réécrire comme l itégrle d ue frctio rtioelle e effectut le chgemet de vrile u = λx + µ. E effet, o otiet R( λx + µ, x)dx = λ+µ λ+µ R (u, u µ λ ) u 1 λ du = λ+µ λ+µ R(u)du.

147 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 146 Exemple : Preos R(y, z, t) ue foctio rtioelle e trois vriles (ie que y R(y, z, t) et z R(y, z, t) et t R(y, z, t) sot des foctios rtioelles). Alors R(cos x, si x, t x)dx peut se réécrire comme l itégrle d ue frctio rtioelle e effectut le chgemet de vrile u = t(x/2). E effet, rppelos que De plus, Nous oteos doc R(cos x, si x, t x)dx = cos(x) = 2 t(x/2) 1 + t(x/2) = 1 u u 2 si(x) = 1 t(x/2)2 1 + t(x/2) 2 = 2u 1 + u 2 t(x) = du = 1 + t(x/2)2 2 t(/2) t(/2) 2 t(x/2) 1 t(x/2) = 2u 2 1 u. 2 dx = 1 + u2 dx. 2 R ( 1 u2 1 + u, 2u u, 2u 2 1 u ) u du = 2 t(/2) t(/2) Il existe ie d utres trsformtios, et ous vous recommedos de regrder ds les livres u cs pr cs. R(u)du. Exercice 151. E utilist ue itégrtio pr prtie, clculer ue primitive de log x. Exercice 152 (Formes utiles). Soit F ue foctio C 1, motrer que 1. les primitives de F sot de l forme l F + C, F 2. les primitives de F F 1 sot de l forme +1 F +1 + C, 3. les primitives de F F sot de l forme 1 ( 1)F 1 + C (o suppose que F 0), 4. les primitives de F sot de l forme 2 F + C (o suppose ici que F > 0). F Exercice 153 (Tleu des primitives). Prouver les idetités ds le tleu suivt. Foctio Primitive Itervlle de défiitio x 1 +1 x+1 + C R 1 l x + C R x + ou R 1 1 x, 2 ( 1)x 1 + C R + ou R x α 1, α R { 1} α+1 xα+1 + C R + e x e x + C R ch(x) sh(x) + C R sh(x) ch(x) + C R si(x) cos(x) + C R cos(x) si(x) + C R 1 cos(x) 2 t(x) + C ( π 2 + kπ, π 2 + kπ) 1 si(x) 2 cot(x) + C (kπ, (k + 1) π) 1 ch(x) 2 th(x) + C R 1 sh(x) 2 coth(x) + C R + ou R 1 1 x 2 + 2, 0 rgt(x/) + C R 1 x 2 1, 0 1 x 1 l = rgth x + C (, 1) ( 1, 1) (1, ) 2 x+1 1 rcsi(x) + C ( 1, 1) 1 x x 2 rgsh(x) + C = l(x + x 2 + 1) + C R 1 rgch(x) + C = l(x + x 2 1) + C (1, ) x 2 1 t(x) l cos(x) + C ( π 2 + kπ, π 2 + kπ) 1 l t(x/2) + C... si(x) 1 l t(x/2) + π/4 + C... cos(x)

148 CHAPITRE 8. INTÉGRATION DE FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 147 Exercice 154. Nous désiros clculer l ire d u disque de ryo > 0. Expliquer pourquoi l ire A d u disque de ryo vut x 2 dx. Utiliser u chgemet de vrile fi de motrer que cette ire vut x 2 dx. Vérifier que x 2 1 x rcsi(x) est ue primitive de 1 x 2. E déduire l vleur de l ire d u disque de ryo. O propose de clculer x 2 dx différemmet. Effectuer le chgemet de vrile x = si(u) et coclure. A Suriez-vous fire de même pour ue oule de ryo? Exercice 155 (Itégrle de Wllis). Cosidéros I = π/2 0 si (x)dx. 1. Clculer I 0 et I E itégrt pr prtie, motrer que π/2 I = ( 1) cos 2 (x) si 2 (x)dx E déduire que I = ( 1)(I 2 I ) et doc que I = 1 I Trouver ue expressio pour I 2 et I 2+1 e foctio de. Le ut de l exercice suivt est de motrer que π est irrtioel. Exercice 156 (π est irrtioel). A Risoos pr cotrdictio. Supposos que π =, où et sot deux etiers. 1. Commeços pr u résultt e tet ps compte de π. Soit N et P u polyôme de degré 2. Cosidèros les pplictios F et G de R ds R : F (x) = ( 1) k P (2k) (x) G(x) = F (x) si x F (x) cos x. k=0 Clculer G (x). E déduire que π 0 P(t) si tdt = F (0) + F (π). 2. Nous posos mitet P (x) = 1! x ( x), où et sot défiis ci-dessus. Clculer P (j) (0) pour tout j {0,..., 2}. 3. E déduire que F (0) est u etier reltif. 4. Motrer que P (π x) = P (x) pour tout x [0, π]. E déduire que F (π) et π 0 P(t) si tdt sot des etiers reltifs. 5. Motrer que π 0 P(t) si tdt ted vers 0, et que l itégrle est doc ulle pour ssez grd. 6. Motrer que ceci est surde e motrt que l itégrle est toujours strictemet positive.