Equations différentielles ordinaires
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1 Applicaions des mahémaiques y [m/s] Equaions différenielles ordinaires Version pour Mahemaica Ediion 2017 Marcel Délèze hps://
2 2 1-1_EQ-DIFFERENTIELLES.nb 1 Equaions différenielles ordinaires du premier ordre 1.1 Equaions différenielles ordinaires Poser une équaion différenielle avec condiion iniiale Parons d'un problème de dynamique à une dimension (mouvemen reciligne). Au cours de son lancemen, une fusée monée sur un rail horizonal es soumise à deux forces: la première es due au moeur qui produi une poussée consane p; la combusion du carburan fai diminuer régulièremen la masse F 1 = p, m = m 0 - q où p, m 0 son des consanes la deuxième es causée par le froemen de l'air qui es proporionnel au carré de la viesse (écoulemen urbulen): De la loi de Newon, on ire F 2 = -r v 2 où r es une consane a = F 1 + F 2 m = p - r v2 m 0 - q Les consanes p, m 0, q éan données, on cherche la viesse, c'es-à-dire la foncion v() qui saisfai l'équaion v = p - r v2 m 0 - q Une elle relaion qui exprime la dérivée de v en foncion de e v es appelée équaion différenielle. Les forces ne suffisen pas à déerminer univoquemen la viesse: il fau encore donner la viesse iniiale v (0) = 0 Pour obenir des valeurs numériques, considérons le cas pariculier suivan: p = 4 N m 0 = 8 kg q = 2 kg s r = 1 N s2 m 2 En laissan omber les uniés, l'équaion différenielle avec condiion iniiale s'écri v = 4 - v2 8-2 v (0) = 0 Vérifier une soluion donnée
3 1-1_EQ-DIFFERENTIELLES.nb 3 Pour gagner du emps, il arrive que le professeur de physique donne la soluion de l'équaion différenielle e se conene de la vérifier. Monrons mainenan que la foncion v () = es soluion. Remplaçons d'abord v() dans le membre de gauche de l'équaion différenielle v () = 2 (-2 + 8) ( ) - ( ) (2-8) ( ) 2 = ( ) 2 Remplaçons mainenan v() dans le membre de droie de l'équaion différenielle v = = 4 ( ) 2 - (- + 8 ) 2 (8-2 ) ( ) 2 = 32 ( ) (8-2 ) ( ) 2 = 4 32 * 2 ( - 4)2 2 (4 - ) ( ) 2 = ( ) 2 En comparan les deux membres, on voi que la foncion v() saisfai l'équaion différenielle. Monrons mainenan que la foncion v() saisfai aussi la condiion iniiale: v (0) = = 0 Il s'ensui que la foncion v() donnée es une soluion de l'équaion différenielle avec condiion iniiale. Nous verrons plus ard que la soluion es unique. Nous nous proposons mainenan de dessiner cee soluion. Comme emps maximal, choisissons l'insan où le 95 % de la masse de la fusée a éé brûlé, emps donné par la condiion 0.05 m 0 = m 0 - q max max = 0.95 m 0 p = 4; m0 = 8; q = 2; r = 1; min = 0; max = 0.95 m0 q ; q Clear[v, ]; efface v[_] := SeOpions[ Plo, Axes alloue opions racé axes AspecRaio 1, rappor d'aspec courbe = True, vrai AxesOrigin {0, 0}, origine des axes ImageSize {300, 300}, aille d'image Plo[v[], {, min, max}]; racé de courbes PloRange zone de racé AxesLabel {"\n", "y [m/s]"}, ire d'axe All]; ou
4 4 1-1_EQ-DIFFERENTIELLES.nb Show[courbe, AxesLabel {"\n", "v [m/s]"}] monre ire d'axe v [m/s] La foncion v() possède la propriéé voulue: la dérivée de v en es égale à 4-v2 8-2 [m/s] v'= 4 - v2 8-2 v 1 Auremen di, si la courbe passe par le poin (, v), alors la pene de sa angene en ce poin es donnée par la relaion foncionnelle f(, v) = 4-v Pour vérifier la soluion donnée, il es possible d'uiliser Mahemaica Simplify v'[] v[]2 simplifie v[0] 0
5 1-1_EQ-DIFFERENTIELLES.nb 5 Définiions e erminologie Une équaion différenielle es une équaion dans laquelle apparaî une ou plusieurs dérivée(s) d'une foncion inconnue y(). Une équaion différenielle ordinaire du premier ordre es une équaion de la forme suivane y = f (, y) On uilise aussi la noaion équivalene dy d = f (, y) Une soluion de cee équaion es une foncion y() qui vérifie la relaion y () = f (, y ()) pour ou dans un inervalle. En règle générale, une équaion différenielle possède une infinié de soluions. Mais, si on prescri de plus une condiion iniiale y ( 0 ) = y 0 alors, sous des hypohèses assez générales, la soluion y() exise e es unique. Dans une équaion différenielle ordinaire, on cherche une foncion d'une seule variable, par opposiion à une équaion différenielle aux dérivées parielles dans laquelle on cherche une foncion de plusieurs variables. Dans une équaion différenielle ordinaire du premier ordre apparaî la dérivée première de la foncion cherchée (c'es-à-dire y ()), mais pas la dérivée seconde ni d'aures dérivées d'ordres supérieurs. Les équaions différenielles linéaires fon l'obje du 1.4. Travaux dirigés du 1.1 Un ravail dirigé consise en un mélange d'explicaions, de quesions e d'aciviés. Il s'agi évidemmen de comprendre les explicaions données, de répondre aux quesions posées e de réaliser les aciviés proposées TD 1 Croissance don le aux par unié de emps es consan Clear[r, n, ] efface SeOpions[ Graphics, alloue opions graphique Prolog -> prologue AspecRaio Axes axes True, vrai PoinSize[0.016], aille des poins AxesOrigin {0, 0}, origine des axes PloRange zone de racé All, ou Auomaic, ImageSize {250, 250}]; auomaique aille d'image AxesLabel {"", " C/C 0 "}, ire d'axe consane
6 6 1-1_EQ-DIFFERENTIELLES.nb SeOpions[ Plo, Axes alloue opions racé axes Prolog -> AspecRaio True, vrai PoinSize[0.016], aille des poins AxesOrigin {0, 0}, origine des axes PloRange zone de racé All, ou Auomaic, ImageSize {250, 250}]; auomaique aille d'image Première éape : suie géomérique de raison r AxesLabel {"", " C/C 0 "}, ire d'axe consane Comme éudié dans le cadre des inérês composés, considérons une quanié C qui, à chaque unié de emps, augmene du aux i C 1 = C 0 + i C 0 = C 0 (1 + i) = C 0 r où r = 1 + i C 2 = C 1 + i C 1 = C 1 (1 + i) = C 1 r = C 0 r 2 C 3 = C 2 + i C 2 = C 2 (1 + i) = C 2 r = C 0 r 3 La suie des valeurs acquises forme une suie géomérique de raison r = 1 + i C = C 0 r, ϵ N, r = 1 + i Deuxième éape : foncion exponenielle de base r Considérons mainenan que la variable es réelle, c'es-à-dire coninue. L'expression suivane es alors une foncion exponenielle de base r C () = C 0 r, ϵ L'exemple numérique es calculé avec le aux i = 30 %. Dans le graphique, on a représené le rappor C C 0 que l'on inerprèe ensuie comme éan la quanié C() exprimée dans l'unié C 0. Clear[r,, n]; efface Plo r /. r 1.3, {, -2, 8}, racé de courbes y [m/s] Epilog Table Poin n, r n /. r 1.3, {n, 0, 8} épilogue able poin Par définiion, le aux d'accroissemen par unié de emps es le rappor i = C ( + 1) - C () C () = i Dans le cas où le aux i es consan, il s'ensui que accroissemen par unié de emps capial
7 1-1_EQ-DIFFERENTIELLES.nb 7 C ( + 1) - C () = i C () C ( + 1) = C () + i C () C ( + 1) = (1 + i) C () C ( + 1) = r C () où r = 1 + i Troisième éape : foncion exponenielle de base e Passons de l'exponenielle de base r à l'exponenielle de base e C () C () = C 0 r C 0 = r = exp ln r = e ln (r) = e λ où λ = ln (r) C () = C 0 e λ, ϵ, λ = ln (r) Cee formulaion es équivalene à la précédene Clear[λ, ]; efface Plo e λ /. λ Log[1.3], {, -2, 8} racé de courbes logarihme y [m/s] Quarième éape : équaion différenielle d'une grandeur C() qui varie selon un aux consan Calculons la dérivée C () = C 0 e λ C () = C 0 λ e λ = λ C () On obien l'équaion différenielle C () = λ C () Reenons le résula : Proposiion TD 1 où λ es une consane Si une grandeur C varie selon un aux i consan, alors la dérivée de C es proporionnelle à C. Cee équaion différenielle possède une infinié de soluions, par exemple, C () = e λ
8 8 1-1_EQ-DIFFERENTIELLES.nb C () = 2 e λ C () = π e λ Pour obenir une soluion unique, on ajoue une condiion iniiale C (0) = C 0 où C 0 es une valeur iniiale donnée Le problème de croissance à aux consan peu mainenan êre récri sous la forme d'une équaion différenielle avec condiion iniiale C () = λ C () C (0) = C 0 où λ e C 0 son des consanes données par exemple La soluion de ce sysème es la foncion λ = ln(1 + i). C () = C 0 e λ Cinquième éape : inerpréaion géomérique du aux e de la dérivée Considérons la foncion exponenielle C () = C 0 e λ. La droie sécane qui passe par les poins (0, C(0)) e (1, C(1)) a pour pene C(1)-C(0) 1-0 = C(1)-C(0) C(0) C 0 = i C 0. La droie qui es angene à la courbe en 0 a pour pene C (0) = λc 0 = ln(r) C 0 = ln(1 + i) C 0. Dans le graphique ci-dessous, l'axe des ordonnées es gradué dans l'unié [C 0 ]; en d'aures ermes, la foncion dessinée es C() C 0 = e λ. y [m/s] 1+i 1+λ 1 2 Numériquemen, les valeurs de (i, λ) son ici {i, Log[1 + i]} /. i 0.3 logarihme {0.3, } Les deux valeurs son voisines car le aux d'accroissemen moyen de C sur l'inervalle [, + 1] es une approximaion de la dérivée de C en C ( + 1) - C () 1 C ()
9 1-1_EQ-DIFFERENTIELLES.nb 9 C ( + 1) - C () C () C (1) - C (0) C (0) i λ C () C () C (0) C (0) Quesion [sans ordinaeur] Un capial de Fr es placé au aux annuel de 3 %. Ecrivez l'équaion différenielle avec condiion iniiale à laquelle obéi la valeur acquise C(). Acivié[sans ordinaeur] Parcourez à nouveau les cinq éapes de la démarche précédene en décrivan une grandeur A() qui décroî de moiié en T = 12 uniés de emps. Imaginez qu'il s'agi, par exemple, de l'acivié d'une source radioacive. En pariculier, calculez i, r, e λ en foncion de la demi-vie T TD 2 Phénomènes don le aux d'accroissemen relaif es consan Noion de aux d'accroissemen relaif insanané Accroissemen de la foncion f sur l'inervalle [, + Δ]: Δf = f ( + Δ) - f () Accroissemen relaif de la foncion f sur l'inervalle [, + Δ]: Δf f f ( + Δ) - f () = f () Taux d'accroissemen de la foncion f sur l'inervalle [, + Δ]: Δf Δ = f ( + Δ) - f () Δ Taux d'accroissemen relaif de la foncion f sur l'inervalle [, + Δ]: Δf f Δ = f ( + Δ) - f () f () Δ En pariculier, le aux d'accroissemen relaif de la foncion f sur un inervalle d'une unié de emps [, + 1] es appelé aux d'accroissemen par unié de emps e es noé i : i = f ( + 1) - f () f () Taux d'accroissemen de la foncion f à l'insan f () Taux d'accroissemen relaif de la foncion f à l'insan f () f () Equaion différenielle des phénomènes don le aux d'accroissemen relaif es consan f () f () = λ où λ es une consane réelle
10 10 1-1_EQ-DIFFERENTIELLES.nb f () = λ f () où λ es une consane réelle Reenons le résula : Proposiion TD 2 Si le aux d'accroissemen relaif insanané λ d'une foncion es consan, alors la dérivée de la foncion es proporionnelle à la foncion. Quesions [sans ordinaeur] Pour les foncions exponenielles f () = c r, g () = a e λ monrez que les quaniés suivanes son indépendanes de : a) le aux d'accroissemen relaif sur l'inervalle [, + Δ]; b) le aux d'accroissemen relaif à l'insan TD 3 Foncion don la dérivée es proporionnelle à la foncion Monrons la réciproque des proposiions énoncées dans TD 1 e TD 2 : Si une foncion non nulle es proporionnelle à sa dérivée, alors la foncion es exponenielle e son aux d'accroissemen es consan. Hypohèses y () = λ y () où λ es consan e y () 0 y (0) = a où a 0 Il s'agi d'une équaion différenielle avec condiion iniale que nous allons résoudre : y () y () = λ y () y () d = λ d ln ( y () ) = λ + c où c es une consane réelle exp (ln y () ) = exp (λ + c ) y () = e λ +c y () = e c e λ où e c es une consane posiive y () = a e λ où a es une consane réelle non nulle (a = ± e c ) D'après TD 2, le aux d'accroissemen relaif de cee foncion es λ, donc consan. La condiion iniiale es aussi vérifiée y (0) = a e 0 = a Quesions [sans ordinaeur] a) Déerminez une foncion a elle que a () = a () e a (0) = 1 b) Déerminez une foncion b elle que b () = b () e b (0) = 2 c) Déerminez une foncion c elle que c () = 4 3 c () e c (0) = 1 8
11 1-1_EQ-DIFFERENTIELLES.nb 11 d) Déerminez une foncion d elle que d () = d () e d (0) = TD 4 Viesse de chue avec écoulemen laminaire A l'insan = 0, on lâche un corps de masse m, de volume V, sans viesse iniiale, dans un fluide visqueux homogène de masse volumique ρ. Duran la chue du corps, on suppose que l'écoulemen du fluide auour du corps es laminaire (c'esà-dire dépourvu de urbulences). Dans ce cas, la force de froemen que subi le corps es proporionnelle à la viesse. En projecion sur un axe verical oriené vers le bas, la loi de Newon nous donne Quesions F pesaneur - F Archimède - F froemen = m a m g - V ρ g - k v = m a [sans ordinaeur] a) Eablissez l'équaion différenielle avec condiion iniiale qui défini la viesse de chue v(). b) Monrez que la foncion suivane es soluion de l'équaion différenielle avec condiion iniiale : v () = (m - V ρ) g k 1 - e - k m c) Monrez que l'équaion différenielle possède une soluion consane. Monrez que cee soluion ne vérifie pas la condiion iniiale. Inerpréez ce nombre comme viesse limie de chue TD 5 [Sans ordinaeur] a) Vérifiez si la foncion donnée es soluion de l'équaion différenielle avec condiion iniiale f (x) = f 2 (x) f (0) = 1 a pour soluion f (x) = b) Vérifiez si la foncion donnée es soluion de l'équaion différenielle avec condiion iniiale f (x) = 1 f (x) f (0) = x a pour soluion f (x) = x c) Déerminez la consane d'inégraion c afin que la foncion donnée soi soluion de l'équaion différenielle avec condiion iniiale f (x) = f (x) f (0) = 1 a pour soluion Déerminez aussi l'inervalle sur lequel f es soluion Lien vers les corrigés des exercices du 1.1 f (x) = 1 4 x2-2 x c + c 2 hps://
2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre.
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