Chapitre I : Les suites. I - Le raisonnement par récurrence :
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- Pauline Denis
- il y a 5 ans
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1 Chapitre I : Les suites I - Le raisoemet par récurrece :
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3 Exemple :
4 Autres exemples : 1) Motrer que 4 5 est divisible par 3 pour tout etier. ) Soit la suite a défiie par a a a. Motrer que 0a 3 pour tout etier. 3) Soit la suite u défiie par u 5u 16u u0 3 ; u1. Emettre ue cojecture de u e foctio de puis la démotrer. u 4) Soit la suite v défiie par v1 0 1 v 1 v 5) Soit a u réel positif. Motrer que a. Calculer v a pour tout etier. Cas où ue SEULE étape est vérifiée et ameat à ue situatio erroée
5 II - Limite d ue suite : 1) Suites covergetes (limite fiie) Défiitio : O dit qu ue suite (u ) coverge (ou admet ue limite fiie) lorsqu il existe u réel L tel que : tout itervalle ouvert coteat L cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag. O dit que la suite (u ) a pour limite L, ou que la suite (u ) coverge vers L. O écrira lim u L. Remarques : - Dire qu'ue suite coverge vers L reviet aussi à dire que so terme gééral u est aussi proche de L que l'o veut à partir d'u certai rag. - Dire qu'ue suite coverge vers L reviet aussi à dire que tout itervalle I = L ;L 0 cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag. - Dire qu'ue suite coverge vers L reviet aussi à dire que pour tout réel 0, il existe u rag N tel que : N u L p Exemples : Les suites,, p * coverget vers 0. Propriété : uicité de la limite : Si ue suite (u) coverge, alors sa limite L est uique. Démostratio : Par l absurde : Supposos que (u ) admette deux limites distictes a et b (avec a < b). O ote d = b a, distace etre a et b. d d Comme (u ) coverge vers a, il existe u rag N 1 tel que N1 ua ;a. 3 3 d d Comme (u ) coverge vers b, il existe u rag N tel que N ub ;b. 3 3 Doc à partir d u rag supérieur à N 1 et à N ( max(n 1,N )), u se trouve simultaémet das deux itervalles disjoits (schéma), ce qui est absurde.
![) Suites de limite ifiie : Défiitio : Soit (u ) ue suite O dit que la suite (u ) a pour limite (resp. ) si, et seulemet si, tout itervalle de la forme ]A ; [ (resp.](/docs-images/88/116992277/images/6-0.jpg "] ; B[ ) cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag. O ote alors lim u ( resp. lim u ) O dit que la suite u diverge vers (resp.")
6 ) Suites de limite ifiie : Défiitio : Soit (u ) ue suite O dit que la suite (u ) a pour limite (resp. ) si, et seulemet si, tout itervalle de la forme ]A ; [ (resp. ] ; B[ ) cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag. O ote alors lim u ( resp. lim u ) O dit que la suite u diverge vers (resp. ) Exemples : Les suites p,, où p *, e, l() ot pour limite +. Remarque : Certaies suites admettet pas de limites : O dit qu elles diverget. 1, si. 3) Limites par comparaiso et par ecadremet Théorèmes de comparaiso : limite INFINIE (u) et (v) sot deux suites. Si, à partir d u certai rag, o a u v Et si lim u alors lim v Et si lim v alors lim u Démostratio exigible :
7 Exemple : Théorème des gedarmes (admis) : limite FINIE Soit 3 suites, et u v w. Si, à partir d u certai rag, o a v u w et lim v lim w L alors lim u L. Exemple : III - Limites et opératios : Limite d ue somme Limite d u produit
8 Limite d u quotiet Exemples : Détermier les limites des suites suivates : SOMME : Méthode : lever ue FI : " " Il faut e gééral factoriser par le terme le «plus ifluet» Ex : 1 w 1 1 puis lim 1 lim w lim 1 1
9 PRODUIT :, 1 u 1 5, u lim (1 ) par produit, lim u lim 1 lim 0 FI, trouver ue autre méthode lim 5 Méthode : lever ue FI : "0 " Il faut e gééral développer l expressio Ex : u 5 puis lim u QUOTIENT :, Méthode : lever ue FI : " " Il faut e gééral factoriser le umérateur et/ou le déomiateur par chacu des «termes ifluets» Ex :
10 IV - Limite d ue suite géométrique:
11 V - Covergece des suites mootoes : 1) Suite majorée - suite miorée suite borée : Défiitios : Soit la suite u 0 - o dit que la suite u est majorée lorsqu il existe u réel M tel que pour tout etier 0, u M M est alors appelé u majorat de la suite. - o dit que la suite u est miorée lorsqu il existe u réel m tel que pour tout etier 0, u m m est alors appelé u miorat de la suite. - o dit que la suite u est borée lorsqu elle est majorée et miorée. Méthode : motrer qu ue suite est miorée, majorée, borée Utilisatio de majoratios, de mioratios ou d ecadremets évidets. Utilisatio des variatios de f das le cas où u f Etude du sige de la différece etre les termes de la suite et le miorat ou majorat évetuel Utilisatio d u raisoemet par récurrece Ex :
12 ) Rappels sur les suites mootoes : Défiitios : Soit la suite u 0 - o dit que la suite - o dit que la suite - o dit que la suite u u. 1 u 1 u. u u. u est croissate si pour tout etier 0, u est décroissate si pour tout etier 0, 1 u est costate ou statioaire si pour tout etier 0, O défiit de même des suites strictemet croissate ou strictemet décroissates, à l aide d iégalités strictes. Ue suite croissate ou décroissate est appelée suite mootoe. Etudier le ses de variatio d ue suite, c est détermier si elle est croissate ou décroissate (elle peut être i l u i l autre). Etude du ses de variatio d ue suite Méthode 1 : O étudie le sige de la différece u +1 u de deux termes cosécutifs. Si pour tout, u +1 u 0, cela sigifie que u +1 u. Doc la suite est croissate. Si pour tout, u +1 u 0, cela sigifie que u +1 u. Doc la suite est décroissate. Exemple : u =. Pour tout etier, 1 u 1 u ( 1) 1. Or pour tout etier, 1, doc pour tout etier, u 1 u 0. Cette suite est doc croissate.
13 Méthode : Théorème : Si la suite est défiie par u = f(), o étudie le ses de variatio de f sur [0 ; + [. - Si f est croissate sur [0 ; + [, alors la suite est croissate ; - Si f est décroissate sur [0 ; + [, alors la suite est décroissate. Remarque : La coditio est suffisate, o écessaire ; cf u cos(). Exemple : Soit la suite défiie pour tout etier par u 8 7. u = f(), où f(x) = x² - 8x + 7. O étudie le ses de variatio de cette foctio triôme : f (x) = x 8. x sige de x variatios de f f est croissate sur [4 ; + [, doc la suite est croissate à partir de = 4. Méthode 3 : uiquemet pour ue suite à termes strictemet positifs u - Si pour tout etier, 1 1 u, alors la suite est croissate ; u - Si pour tout etier, 1 1, alors la suite est décroissate. u * Exemple : v,. 3 1 v O a v > 0 pour tout > 0 et 3 1. v * 1 1 Si, 1 et alors 0 1. O e déduit 1 1 et doc Coclusio, pour tout > 0, v +1 < v, doc la suite décroît. (voir aussi la mootoie d ue suite géométrique)
14 3) Théorèmes de covergece de suite mootoe Théorème 1 : Toute suite croissate et o majorée a pour limite +. Toute suite décroissate et o miorée a pour limite -. Démostratio : pour ue suite croissate o majorée : Il faut prouver que pour tout réel A aussi grad soit-il, il existe u rag à partir duquel tous les termes de la suite sot supérieurs à A. (u ) est pas majorée, doc A e peut être u majorat de la suite. Il existe doc u etier aturel p tel que u p > A. Or (u ) est croissate, doc pour tout etier p, u up A. Ceci état vrai quel que soit A, o a doc lim u. Théorème : (admis) : Toute suite croissate et majorée est covergete. Toute suite décroissate et miorée est covergete. Exemple : Soit la suite u défiie par : u u u 4 1. Motrer, par récurrece, que 0 u u 1 4. u coverge vers u réel l.. E déduire que la suite 3. O suppose que l vérifie l équatio l 3l 4. Détermier l. 4. Détermier le plus petit etier tel que u 3,99.
15 3) l 3l 4 l 3l 4 l 3l 4 0 l 1 ou l 4 or la suite est à termes positifs doc l = 4 4) A la calculatrice : pour = 7.
16 1) Suites arithmétiques Aexe : Rappels sur les suites arithmétiques et sur les suites géométriques Défiitio Ue suite (u ) est arithmétique lorsqu o s il existe u réel r tel que, pour tout, Le réel r est appelé raiso de la suite arithmétique u. u u r. 1 Remarques : - Ue suite arithmétique est défiie par récurrece par so 1 er terme u 0 et sa raiso r : u 0 doé u+1 u r - Pour ue suite arithmétique, la différece etre deux termes cosécutifs est costate, égale à la raiso. Exemples : - (u ) est la suite arithmétique de 1 er terme u 0 = 5 et de raiso r =. Aisi u 1 = u 0 + r = 5 = 3 u = u 1 + r = 3 = 1 - (u ) est défiie pour tout etier par u = 1,5 + 0,5. O a : u 0 = 1,5 ; u 1 = 1,5 + 0,5 = ; u = 1,5 + 0,5 =,5 ; u 3 = 1, ,5 = 3 Cette suite semble arithmétique de raiso 0,5. Vérifios que u +1 u est costat : u +1 = 1,5 + 0,5 ( + 1) = 1,5 + 0,5 + 0,5 = + 0,5. u +1 u = + 0,5 (1,5 + 0,5) = 1,5 = 0,5, costat quels que soiet les termes cosécutifs de la suite. Le résultat est bie vérifié (voir remarque ci-dessus). Terme gééral d ue suite arithmétique Propriété : (u ) est la suite arithmétique de 1er terme u 0 et de raiso r. Pour tout etier, u = u o + r. Et pour tout etier p, u = u p + ( p)r. Exemple : (u ) est la suite arithmétique de raiso 3 telle que u 6 =. Alors u 10 = u 6 + (10 6) 3 = 14. Somme de termes cosécutifs Propriété : u Pour ue suite arithmétique (u ), o a : 0 u S u0 u 1... u ( 1) E gééral, o retiet que la somme de termes cosécutifs d ue suite arithmétique est doée premier terme + derier terme par : S (ombre de termes). Exemple : (u ) est la suite arithmétique de raiso de premier terme u 5 = 7. Calculos S = u 5 + u u = 96 ; das la somme il y a 96 termes. (rag du derier rag du 1 er + 1) u 100 = u 5 + (100 5) = 183. Doc S =
17 ) Suites géométriques Défiitio : Ue suite (u ) est géométrique lorsqu il existe u réel q tel que, pour tout, Ce ombre q est alors appelé la raiso de la suite. u u q. 1 Remarques : - Ue suite géométrique est défiie par récurrece par so 1 er terme u 0 et sa raiso q : u 0 doé u+1 u q - Pour ue suite géométrique dot la raiso et chaque terme sot o uls, le quotiet etre deux termes cosécutifs (u +1/u ) est costat, égal à la raiso. Exemples : - (u ) est la suite géométrique de premier terme u 0 =, de raiso q = 1,5. Aisi, u 1 = u 0 q = 1,5 = 3 ; u = u 1 q = 3 1,5 = 4,5 - (u ) est défiie pour tout etier aturel par u = 3. O a u 0 = 3 0 = 3 1 = 3 ; u 1 = 3 1 = 6 ; u = 3 = 1 ; Cette suite semble géométrique de raiso, il faut vérifier que u / u +1 est costat. u +1 = u 1 3, doc, costat pour tout. Le résultat est bie vérifié. u 3 Terme gééral d ue suite géométrique Propriété : (u ) est la suite géométrique de 1 er terme u 0 et de raiso q. Pour tout etier, u = u o q. Et plus gééralemet, pour tout etier p, u = u p q p. Exemple : (u ) est la suite géométrique de raiso 3 telle que u 6 =. Alors u 10 = u 6 q 10 6 = 3 4 = 16. Somme de termes cosécutifs Propriété : Pour ue suite géométrique (u ), o a : 1 1q S u0 u 1... u u0 1q E gééral, o retiet que la somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique est doée par : S = premier terme 1 q ombre de termes 1-q Exemple : (u ) est la suite géométrique de raiso et de premier terme u 1 = - 4. Calculos S = u 4 + u u 0. u 4 = u 1 q 4 1 = = - 3 ; = 17 ; das cette somme, il y a 17 termes Doc S
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