Analyse II : Intégration et approximation. Une application importante de l intégration : CM8 : le calcul des variations
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- Amandine Bédard
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1 Analyse II : Inégraion e approimaion MAT009L / séquence / prinemps 06 CM8 : cours de Francis Clarke. Le calcul des variaions. Les foncions hyperboliques 3. Résumé de l inégraion, ableau final. Quelques eemples 5. KH 5 6. Pariel : les copies Une applicaion imporane de l inégraion : le calcul des variaions (opimisaion par rappor au courbes) 3 Analyse II Calendrier 06 (les mercredi) Dans ce cours, il s agi principalemen 7 janvier cours TD de connaîre les foncions élémenaires, 3 février cours TD les inégrer, e les calculer 0 février cours TD 7 février cours TD DS février cours TD (congé de ravail inensif chez soi) mars cours TD 9 mars cours TD 6 mars cours TD (CC en commun, on ne paricipe pas) 3 mars cours TD pariel 30 mars cours TD fin de l inégraion! 6 avril cours TD 3 avril cours TD DS 0 avril cours TD (congé de ravail inensif chez soi) 7 avril cours TD mai cours TD pariel CC final : enre le 30 mai e le 8 juin (a, A) Quelle courbe y() enre les poins (a, A) e (b, B) minimise le emps de la descene? ( le brachisochrone ) (b,b) On cherche la courbe y() quiminimiseleempsdedescene, qui es donné par b +y () g(y() A) a
2 Le profil minimal saisfai l e quaion diffe renielle d Euler pour ce proble me, qui es la suivane: On se pare : y y k dy y k La monographie de Euler de 7 : Méhodus Inveniendi Lineas Curvas Maimi Minimive Proprieae Gaudenes sive Soluio Problemais Isoperimerici Laissimo Sensu On y rouve : Posiion générale du problème Rien ne se passe dans le monde qui ne soi la significaion d'un cerain maimum ou d'un cerain minimum Commen inégrer à gauche? Equaion dʼeuler Principe de moindre acion Méhode des muliplicaeurs pour les conraines 00 eemples Le changemen de variable y k cos θ (ou mieu, θ arccos(y/k)) n es pas uile ici. Car il ransforme y k en k cos θ Aiome : Le comporemen d un sysème physique correspond à un minimum. De me me le changemen de variable θ arcsin(y/k). 5 Le profil minimal saisfai l e quaion diffe renielle d Euler pour ce proble me, qui es la suivane: On se pare : y y k dy y k Un eemple dʼeuler profil y() La surface observée es d aire minimale Commen inégrer à gauche? Le changemen de variable θ arcan(y/k) n aide pas non plus. (principe de d Alember) Il s agi alors de rouver la courbe y() qui minimise l aire de la surface de re voluion, c-a -d l ine grale π b y() a 7 Car il ransforme + y () 6 y k en k an θ. 8
3 dy y k On pose y k e + e e Alors y k k + e k e k ++e e k +e y k cosh On rouve k e e dy k e e dy y k d + C d Les foncions hyperboliques son définies par pour ou R. sinh : e e cosh : e + e anh : sinh cosh e e e + e y k cosh k cosh( + C) k e+c + e C 9 On rouve y k cosh k cosh( + C) k e+c + e C cosh : e + e C es une caénaire Euler considère aussi la forme d une chaîne qui es aachée en deu poins : (a,a) (b,b) (On écri aussi: ch ) Ce problème mène à la même équaion d Euler y () Ce qui eplique que la caénaire pore aussi le nom chaînee 0
4 sinh : e e Les foncions hyperboliques présenen nombreuse analogies avec les foncions rigonomériques. L idenié suivane (analogue à la formule circulaire) es facile à prouver cosh sinh, preuve ainsi que : les formules d addiion: cosh sinh( + y) sinh e + e cosh y + cosh e esinh y cosh( + y) cosh cosh y +sinh sinh y. e Les rois foncions son ++e définies e sur R. + e Il n y a pas de périodicié. 3 5 cosh sinh sinh( + y) sinh cosh y + cosh sinh y anh : sinh cosh e e e + e cosh( + y) cosh cosh y +sinh sinh y La formule cosh( + y) cosh cosh y +sinh sinh y donne en pariculier cosh() cosh +sinh cosh ainsi que sinh() sinh cosh 6
5 On vérifie aisémen (cosh ) Dérivées sinh (sinh ) cosh (anh ) cosh anh. Pour raier dans ce monde hyperbolique, on voudrai poser (lorsque >) cosh. ( >0) cosh : e + e Alors sinhd e l inégrale devien cosh sinh d sinh d (car cosh sinh e sinh 0). On peu rès bien déerminer cee inégrale, mais par la suie (afin de revenir à la variable ) il faudra rouver à parir de cosh. 7 C-à-d, il faudra les réciproques des foncions hyperboliques 9 cosh sinh Résumé : foncions hyperboliques sinh( + y) sinh cosh y + cosh sinh y sinh : e e cosh( + y) cosh cosh y +sinh sinh y cosh() cosh sinh + sinh() sinh cosh cosh : e + e Foncions hyperboliques réciproques anh : sinh cosh e e e + e (cosh ) sinh (sinh ) cosh (anh ) cosh anh. 8 0
6 Comme pour les foncions rigonomériques (mais avec des différences), les foncions hyperboliques admeen des réciproques, qui son noées argsinh, argcosh, e arganh. La foncion argsinh : R R es ou simplemen la foncion inverse de sinh. La foncion arganh, par conre, es définie seulemen sur ], [ (c es-à-dire l inervalle image de R par anh); elle es alors caracérisée par : arganh es l unique réel u el que anh u. sinh : e e Calculer dans le domaine >. anh : sinh cosh e e e + e 3 Pour argcosh, les choses son aussi compliquées qu en rigonomérie ordinaire, puisqu il fau à la fois resreindre les ensembles de dépar e d arrivée de cosh pour obenir une bijecion. On obien que argcosh es définie sur [, + ) (c es-à-dire sur l inervalle image de R par cosh) e es caracérisée par : argcosh es l unique u réel posiif (ne pas oublier le posiif). el que cosh u cosh : e + e cosh u, ou (préférable) u argcosh sinhudu cosh u sinh udu sinh u sinh udu sinh udu (car u e sinh u 0) [ cosh(u) ] du sinh(u) u + C Calculer (sinh u)(cosh u) u + C cosh u / cosh u u + C dans le domaine >. argcosh + C
7 Remarque : Pour raier pluô que Calculer π, aucun aspec hyperbolique inervien. Le changemen de variable θ arcsin donne le résula : cos θ ou mieu, dans le domaine >. arccos sin θ cos θ cos θ (cos(θ) + ) θ arccos(/) donne ]0, π/[ sin θ cos θ cos θ cos θ sin θ sin(θ) + θ + C {sin θ cos θ + θ} + C + arcsin + C. 5 an θ cos θ sin θ (car + an / cos ) an θ cos θ sin θ (car an θ > 0) sin θ cos 3 θ 7 (le même) Calculer dans le domaine >. Pour calculer sin θ cos 3 θ sin θ on peu écrire cos 3 θ cos 3 θ cos θ e calculer séparémen les deu inégrales... + sin θ cos 3 θ ln + sin θ sin θ cos θ + C + sin θ cos θ ln + C sin θ mais sans uiliser les foncions hyperboliques 6 8
8 Suie au reour à la variable on obien la réponse ln + + C En passan par les foncions hyperboliques on avai rouvé argcosh + C? Proposiion. argcosh ln + ( >) argsinh ln + + ( R ) arganh + ln ( < ) argcosh ( >) argsinh + ( R ) arganh ( < ) 9 3 Proposiion. On a, pour >: argcosh ln +. Démonsraion. Meons θ : argcosh >0. Alors θ saisfai l équaion Pour le calcul des primiives, les foncions hyperboliques e leurs réciproques son le plus souven uiles lorsque le erme ± a e θ + e θ e θ + e θ. Posons X : e θ >. Alors X X + 0 X ± On en dédui X + (car X>) argcosh θ ln X ln ou a ± es présen. (mais elles ne son pas sricemen essenielles) On n en parlera rès peu... 3
9 foncion primiive foncion primiive α (α ) α+ α + / ln e e cos sin Le club rès fermé des foncions dies élémenaires les polynômes a 0 n + a n + a n +...a n + a n ln e d laréciproqueepdeln log b ln/ ln b α ep( ln α) + les foncions engendrées sin cos an ln cos sin compliquée... sinh cosh cosh sinh arcan ln + + argsinh arcsin ( > ) ln + ( > ) argcosh 33 cos an sinh cosh anh π sin sin cos e e e + e sinh cosh e e e + e Rq: les deu foncions ln e sin serven à ou engendrer + ceraines réciproques 35 ableau définiif foncion primiive foncion primiive α (α ) α+ α + / ln e e cos sin sin cos an ln cos La foncion ln(7 + cos( +3 + )) + es obenue en uilisan la composiion de foncions élémenaires, ainsi que les opéraions arihméiques. Le club es-il fermé sous l inégraion? non sinh cosh cosh sinh La foncion + a (a 0) a arcan a (a > 0) argsinh + a a (a 0) ln + + a + a a (a > 0) arcsin a a ( > a > 0) argcosh a a ( > a > 0) ln + a 0 e d ne peu pas êre eprimée par les foncions élémenaires (c-à-d, en uilisan la composiion e les opéraions arihméiques) 3 36
10 Les foncions de base son caracérisées par une équaion différenielle : ln y () /, y() 0 e y y,y(0) sin y +y 0,y(0) 0,y (0) cos y +y 0,y(0),y (0) 0 an y +y,y(0) 0 On écri cos θ Trouver cos θ cos θ cos θ sin θ du (ayan mis u sinθ) u du cos θ (u )(u + ) ( /) du (/) du + u u + ln u + ln u + + C sinh y y 0,y(0) 0,y (0) ln sin θ + ln sin θ + + C cosh y y 0,y(0),y (0) 0 37 ln( sin θ) + ln( + sin θ) +C + sin θ ln + C sin θ 39 Techniques d inégraion: résumé Direcemen d après la définiion On reconnaî une primiive d après le ableau On fai une réécriure qui simplifie On reconnaî la forme f(ϕ())ϕ () oùune primiive pour f es connue Inégraion par paries Réducion d ordre Décomposiion des fracions raionnelles Changemen de variable ϕ() On rouve Déerminer I : sin θ cos θ sin θ cos θ sin θ cos θ cos θ an θ cos θ an θ (an θ) Fracion raionnelle f(sin, cos ) 3 an3 θ + C 38 0
11 cos 3 θ cos θ cos θ cos θ ( sin θ) du ( u ) D où la réponse + sin θ cos 3 θ ln + sin θ sin θ cos θ + C (où on a posé u sinθ) du (u ) (u + ) 3 On a par conséquen (u ) (u + ) u + du (u ) (u + ) (u ) + u + + (u + ) ln u (u ) +ln u + (u + ) + C ln +u u + u + C u (On noe que u sinθ sera dans ], [.) eemple Calculer arcsin arcsin () (arcsin ) arcsin ()(arcsin ) arcsin () arcsin arcsin + + C
12 Déerminer ( ) 5/ Afin d avoir sinθ, on pose θ : arcsin(/). Les deu prochains eemples eigen deu ou rois éapes On rouve ensuie I : ( ) 5/ 8 sin θ cos θ 5/ sin θ 5/ sin θ cos θ sin θ 5/ 5 8 sin θ cos θ 3 (cos θ) 5/ 8 sin θ cos θ 3 (cos 5 θ) sin θ cos θ (car cos θ > 0) 7 Déerminer ( ) 5/ Afin d avoir sinθ, on pose θ : arcsin(/). D où π < θ < π e cos θ. π arcsin A ce sade on a : I ( ) 5/ où θ arcsin(/). L eemple précéden monre que sin θ cos θ sin θ cos θ θ, 3 an3 θ + C an θ D où π arcsin () 6 I 3 3 ( ) 3/ + C 3 ( ) 3/ + C 8
13 Trouver + Le changemen de variable an θ θ arcan se suggère, à cause de l idenié + an θ cos θ. On a (an θ) / cos θ, e l inégrale devien + cos θ cos θ cos θ On a par conséquen + cos θ ln + sin θ sin θ ln + C ln + sin(arcan ) sin(arcan )? C + C (suie au remplacemen de sin(arcan ) par / + )) (on sai que cos θ > 0 puisque θ arcan ] π/, π/[ ) Il s agi mainenan de calculer cos θ 9 + θ 5 Rappel + sin θ cos θ ln sin θ + C une applicaion géomérique en déail 50 5
14 : calculer la longueur de la courbe y enre les poins (0,0) e (b,b ). (b, b ) (0, 0) L idenié + an θ / cos θ moive le changemen de variable θ arcan() an θ + + ( an θ) cos θ / cos θ Archimède (3 siècles av. J-C) y Puisque (an θ) / cos θ, on obien + cos 3 θ y (On a pris cos θ > 0 parce que π < θ < π cos θ > 0) Rappel : calculer l aire sous la parabole b 3 /3 0 b : calculer la longueur de la courbe y enre les poins (0,0) e (b,b ). (0, 0) (b, b ) Théorème Soi f une foncion de classe C sur [ a, b ], e soi C la courbe représenaive de f sur [ a, b ]. Alors On avai calculé + sin θ cos 3 θ ln sin θ On a donc + cos 3 θ + sin θ 8 ln + sin θ sin θ cos θ + C + sin θ cos θ + C Longueur (C) b a +f (). où sin θ sin(arcan()) / +. + Il s agi donc de calculer b E cos θ cos(arcan()) / +. θ 56
15 On a donc b sin θ 8 ln + sin θ sin θ cos θ où sin θ sin(arcan(b)) b/ +b θ 0 + θ cos 3 θ. TrouverI : sinθ. Calculer J : ( ) 3/ KH 5 corrigé.. cos 3 θ cosθ sin I sinθ θ cosθ ( sinθ)( + sinθ) sinθ sinθ cosθ ( + sinθ) cosθ + cosθ sinθ sinθ + sin θ +C e cos θ cos(arcan(b)) / +b. ln b + +b + b +b la longueur de la courbe enre les poins (0,0) e (b,b ). 57. On pose θ arcsin(/), d où sinθ, cosθ, e cosθ J 3/ ( sin θ) 3/ cosθ 8 (cos θ) 3/ cosθ cos 3 θ cos θ anθ +C an(arcsin(/)) +C +C. (car cosθ > 0) 59 KH 5 Khôlle 5 (0 minues) cos 3 θ. Trouver I : sinθ. Calculer J : ( ) 3/ Fin du huiième cours
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