32 Systèmes de numération ÉVOLUTION DU SYSTÈME DÉCIMAL

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1 32 Systèes de uértio ÉVOLUTION DU SYSTÈME DÉCIMAL QUELQUES NOTES HISTORIQUES Le systèe positioel que ous utilisos viet de l Ide, is d utres civilistios ot développé des systèes positioels et ot utilisé le zéro. Les Idies ot été les preiers à utiliser u systèe décil «positioel» coportt u zéro qu ils représetiet pr le syole que l o utilise ecore ujourd hui. Le plus vieux docuet qu o retrouvé cotet ue trce de leur systèe «positioel» dte de 595, et le plus vieux ds lequel o retrouve le syole «0» dte de 876. O croit cepedt que ce syole étit utilisé vt cette dte. Il urit été itroduit pour éliier les cofusios cusées pr ue plce vide ds l écriture d u ore. Les Idies se sot itéressés u prolèe de l divisio pr zéro et ot été les preiers à dettre qu u ore irrtioel étit el et ie u ore. L civilistio Are joué, elle ussi, u rô1e doit ds l évolutio du systèe uérique. Les ctivités de productio et de coerce de l civilistio re fcilité l propgtio du systèe de uértio qu ils utilisiet. C est effectiveet à trvers l civilistio rique que le systèe idie été découvert, u poit que os chiffres sot ujourd hui couéet ppelés «chiffres res», lors que leur origie se situe e Ide. Leur epire coportit de grds cetres ou se retrouviet des scietifiques de tous les cois du ode. C est grâce à ces cetres que l Europe été e cotct vec les coissces de d utres peuples. Les Ares ot cotriué éoréet à étlir u «stdrd» et à le fire ccepter presque prtout. U des théticies res les plus cous est Al Khwrizi (? - 850). De so o découle le tere lgorithe. So preier ouvrge portit sur le systèe idie et c est e grde prtie à cuse de cet ouvrge que otre systèe est ppelé «re». So deuxièe ouvrge, peut-être plus iportt ecore, ous égleet doé u tere que ous coissos : lgère. So livre, Aljr w l uqlh, se rpproche eucoup de l lgère éléetire que l o coît. O rerque que les Ares s itéressiet à des questios eucoup plus prtiques que leurs prédécesseurs. Al Khwrizi lui-êe écrit ds l préfce de so deuxièe livre qu il s gissit de clcul éléetire écessire ds l vie de tous les jours pour le coerce, les questios d héritges, etc. DE L ARABIE À L EUROPE Beucoup de théticies europées ot égleet cotriué u développeet du systèe positioel de se 10. L preière persoe à voir teté d iplter ce systèe e Europe est Gerert d Aurillc ( ), plus trd deveu le Ppe Sylvestre II. Ses efforts e furet ps couroés de succès puisque ce systèe e fut véritleet utilisé que deux siècles plus trd. Plusieurs persoes se sot coscrées à l trductio des écrits res et grecs, ce qui peris à l Europe d ssiiler les coissces de ces civilistios. Le plus iportt trducteur fut ss doute Gérrd de Creo ( ). L période de l Reissce été florisste égleet ds le doie des thétiques. U rchd itlie, Leordo de Pise ( ), ussi cou sous le o de Fiocci, qui sigifie «fils de Boccio», écrit u livre e 1202 qui cotriué éoréet à populriser le systèe idie ds lequel le clcul étit ppliqué u coerce. Il utilisit déjà l ottio ctuelle pour les frctios, c est-à-dire le uérteur u-dessus du déoiteur et sépré de ce derier pr ue rre horizotle. Mlheureuseet, persoe ecore vit sogé à l u des plus eux vtges de ce systèe : les déciles! E Nordie, Nicole d Orese (1323?-1382) trvillé les exposts, les irrtioels, les proportios, is s plus grde cotriutio se situe ds le voculire. Il iveté de oreux teres, coe «irrtioel», pr

2 Évolutio du systèe décil 33 exeple. Nicols Chuquet (?-1484), qut à lui, développé u syolise qui ressele eucoup à celui que l o utilise ujourd hui. Ds u ouvrge portt sur l rithétique coercile, l Alled Joh Wid utilise pour l preière fois, les syoles «+» et et l ottio décile des frctios. Ad Riese ous doé le syole pour idiquer l rcie èe et Michel Stifel ( ) itroduit les ores égtifs ds u ouvrge ititulé Nueri surdi! Frçois Viète ( ) prêché pour l utilistio exclusive des déciles. À l époque, certis utilisiet ecore que des frctios e se 60. D utres syoles que ous utilisos couret ot égleet été itroduit à cette époque pr des théticies glis. C est le cs otet du syole de l églité, préseté e 1557 pr Roert Recorde ( ), des syoles d iéglité «<» et «>» proposés pr Thos Hriot ( ), e 1621, et du syole de l ultiplictio, cotriutio de l Aglis Willi Oughtred ( ) qui dte de U doie des thétiques très iportt fut celui des logrithes. Joh Npier (ou Neper), le «père» des logrithes, u lord écossis, Bro de Murchisto, puli e 1594 u ouvrge portt sur le sujet. Assez âgé, il e vécut ps suffiset logteps pour développer so idée. Hery Briggs, qui l vit recotré, pulié u ouvrge cotiut le trvil de Npier. Beucoup d utres ot trvillé ce sujet pssiot et le logrithe est ps, isi qu o pourrit le croire, l ivetio d ue seule persoe. Aujourd hui, o clsse les ores ds différets eseles. Tout d ord, o les réels (R) ds lesquels sot iclus les irrtioels et les rtioels (Q). Ds cet esele sot iclus les etiers reltifs (Z) isi que les etiers turels (N). Mlheureuseet, o e peut situer de fço précise l origie de ces syoles et ottios ds l histoire. O sit pr cotre que le Frçis H.C.R. (Chrles) Méry ( ) de Bourgoge, isi que les Alleds Krl Weierstrss ( ) de l Uiversité de Berli, H.E. Heie ( ) de Hlle, Georg Ctor ( ) de Hlle et J.W.R. Dedekid ( ) de Bruswick ot tous cotriué, e 1872, à défiir clireet les différets eseles et leurs reltios, prticulièreet les irrtioels. De plus, o doit ux théticies itlies Gerolo Crdo ( ) et Rffele Boelli ( ) l itroductio des ores igiires, ujourd hui ppelés «ores coplexes». O situe ce développeet ds les ées Les ores coplexes sot représetés pr l lettre C, cette ottio fut itroduite pr Guss, e 1831, E coclusio de ces quelques otes historiques, o costte que l rithétique, telle que ous l prtiquos ujourd hui, tire ses origies d u pssé fort loiti. Elle été développée lorieuseet u fil du teps pr plusieurs civilistios e vue de stisfire à des esois toujours e évolutio. ÉVOLUTION DU SYSTÈME PUISSANCE ET EXPOSANT U systèe de uértio est ps u lgge sttique. Le développeet de ottios ouvelles ou de cocepts ouveux doit se fire e s ssurt que les règles d utilistio de ces ottios et cocepts respectet l cohérece du systèe. Nous llos voir coet, à prtir de l défiitio de puissce etière d u ore, o peut dégger des propriétés et géérliser l défiitio de déprt e yt u souci costt de cohérece. À l origie, l otio de puissce d u ore été itroduite pour siplifier l écriture d expressios coportt plusieurs fois le êe fcteur. C est ce qu idique l défiitio suivte : Défiitio Puissce d u ore O ppelle puissce èe d u ore le produit de fcteurs égux de ce ore, soit : fcteurs

3 34 Systèes de uértio Après voir défii ue telle ottio, il fut déterier coet effectuer des opértios sur des expressios et des ores ffectés d exposts. Pour y prveir, il fut explorer, éocer des cojectures et les déotrer pour oteir des règles géérles. C est ue dérche de costructio qui se fit ds le respect des règles de l logique prce que les défiitios qu il fudr poser e doivet ps itroduire de cotrdictio et que les propriétés serot déotrées pr déductio. Cosidéros le produit suivt : pour effectuer ce produit, ous devos voir recours à l défiitio de puissce et poser : (3 3) ( ) U siple clcul ous peret de costter que le fcteur 3 se répète six fois et o peut écrire : L oservtio de ce cs prticulier ous suggère ue cojecture oteue pr strctio e représett sustitut des lettres ux chiffres, cel doe + et otre explortio suggère coet procéder pour e effectuer l déostrtio. Propriété 1 Si et sot des ores etiers positifs et, u ore réel o ul quelcoque lors : + Déostrtio Pr défiitio de l puissce d u ore, o : Pr coséquet : et fcteurs fcteurs fcteurs fcteurs fcteurs + O otiet doc +. REMARQUE L hypothèse spécifie que et sot des ores etiers positifs, ce qui est utilisé e exprit coe produits de fcteurs de et de fcteurs de. VALEURS PARTICULIÈRES Pour ie coître l portée d ue défiitio coe celle de puissce d u ore, il fut s ssurer que l otio est ie défiie pour des vleurs prticulières. Cosidéros le cs où π 0, π 0 et 0. O lors : Pr coséquet : 0 Puisque π 0, o π 0 et o peut diviser les deux eres de cette églité pr, ce qui doe : 0 1 Ce résultt ous idique qu il fut poser 0 1 pour ssurer l cohérece Défiitio Expost ul Soit, u ore réel o-ul lors o défiit l expressio 0 pr l églité suivte : 0 1. GÉNÉRALISATION Il y plusieurs propriétés des exposts etiers positifs qui peuvet être déotrés e se st sur l défiitio de puissce d u ore. Le lecteur ur l possiilité d e déotrer quelques-ues e exercices. Pour le oet, ous llos ous itéresser à ue utre fcette de l dérche thétique, l géérlistio d u cocept ou d ue défiitio. Lorsqu o procède à l géérlistio d ue otio, d u cocept ou d ue théorie, il fut s ssurer que les propriétés de cette otio, de ce cocept ou de cette théorie deeuret vlides près l géérlistio pour ssurer l cohérece de l théorie. Les défiitios géérlist l otio d expost doivet doc être posées e coforité

4 Évolutio du systèe décil 35 vec les propriétés des exposts etiers positifs. Le recours à l expériettio et à l oservtio ous ser d u précieux secours. L preière étpe de géérlistio est de voir coet doer u ses ux exposts égtifs. Il ous fut doc déterier coet défiir l expressio, où > 0 et π 1. Si o ultiplie pr o trouve : O lors ue expressio de l êe fore que : + E ppliqut l propriété, c est-à-dire e fist l soe des exposts, o otiet : + ( ) 0 1 O costte que le résultt du produit de pr doit doer 1 pour que les propriétés des exposts etiers soiet préservées pr l géérlistio. Cepedt, o coît ue utre expressio qui ultipliée pr doe 1, soit : O doc : Puisque π 0, o π 0 et o peut diviser les deux eres de l églité pr, ce qui doe : 1 Les propriétés des exposts etiers positifs resterot doc vlides si o pose l défiitio suivte : Défiitio Expost égtif Soit π 0, u ore réel et, u etier positif. Alors l expressio est défiie pr l églité suivte : 1 EXPOSANTS FRACTIONNAIRES Pour défiir les exposts frctioires, o doit doer u ses ux expressios de l fore 1/ où est u etier. E élevt l expressio 1/ à l expost, e vertu de l propriété ( ) p p, o trouve : ( 1/ ) (1/) 1 Pr coséquet, l expressio 1/ est u ore qui élevé à l puissce doe le ore. Cepedt, o représete égleet ce ore pr : ppelé l rcie èe de. O doc : 1/ ( ) ( ) Il fut oter, à cuse de l règle des siges, que si est pir, l rcie est défiie seuleet si 0. Les propriétés des exposts etiers positifs resterot doc vlides si o pose l défiitio suivte : Défiitio Expost frctioire Soit, u ore réel et, u etier lors o défiit l expressio 1/ pr l églité suivte : 1/, suf si < 0 et pir. REMARQUE L expressio 1/ représete l rcie positive de lorsque est pir EXPOSANTS FRACTIONNAIRES ET RADICAUX L défiitio des exposts frctioires peret de déotrer des propriétés des rdicux. Théorèe Rdicl d u produit Soit et deux ores réels positifs et, u ore etier positif lors : Déostrtio ( ) 1 /, défiitio d expost frctioire; 1 / 1 /, produit de ores ffectés d u êe expost;

5 36 Systèes de uértio, défiitio d expost frctioire. Pr coséquet, o : CONCLUSION Les propriétés que ous veos de déotrer vous étiet déjà coues. L ojectif visé étit cepedt ps d ppredre de ouvelles propriétés is de voir coet l logique est prise e copte ds l évolutio des ottios coe celles du systèe de uértio. Nous vos voulu otrer coet o procède à l géérlistio d ue otio e s ssurt que l cohérece est préservée. L géérlistio de l otio de puissce d u ore pour défiir les exposts égtifs et les exposts frctioires ous peris d illustrer ce propos ss voir à préseter des otios trop coplexes. C est e yt recours ux propriétés prélleet déotrées que l o déterié coet doer u ses à ces exposts. Ds l géérlistio et le développeet de otios ouvelles, il fut s ssurer que l o itroduit ps de cotrdictios i de prdoxes. Le pricipe de o-cotrdictio est u des pricipes fodetux de l logique. Pour que les théories respectet ce pricipe, il fut que leur développeet se fsse ds u souci costt de cohérece. C est ce que ous vos illustré e géérlist l otio de puissce positive d u ore pour oteir l otio d expost, etier et frctioire. L otio d expost cou ue utre géérlistio vec l itroductio des exposts réels et de l otio de logrithe. De l êe fço, les règles d utilistio des logrithes e s ssurt de l cohérece vec les copostes déjà coues du systèe des ores. EXERCICES : NUMÉRATION Déotrer l propriété suivte. Si et sot des ores etiers positifs et u ore réel o-ul quelcoque lors: ( ) 2. Déotrer que : si et, sot des ores etiers positifs et u ore réel o-ul quelcoque lors :, si > et π 0, 1, si < et π Déotrer que: si et, sot des ores etiers positifs et π 0 et π 0, deux ores réels quelcoques lors : ( ) Ê Ë ˆ 4. Déotrer l propriété suivte: si est u ore etier positif et et, des ores réels positifs, lors : 5. Déotrer l propriété suivte: Si et sot des ores etiers positifs et, u ore réel positif, lors: 6. Déotrer l propriété suivte: si et sot des ores etiers positifs et, u ore réel positif, lors : ( ) 7. Déotrer l propriété suivte: si, et p sot des ores etiers positifs et, u ore réel positif, lors : p ( ) p