Chapitre 1. La cinématique. 1.1 Définitions

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1 Chapire 1 La cinémaique La cinémaique es la descripion mahémaique du mouvemen, souven considérée comme la base de la physique. Le mouvemen le plus fondamenal auquel on puisse penser es la chue libre. Expérimenée depuis des emps immémoriaux, il a pouran fallu aendre l an 1604 pour que Galilée formule correcemen les équaions la régissan. Pour en arriver à décrire ce mouvemen, il fau d abord éablir quelques définiions. 1.1 Définiions En une dimension, le long d une droie, le déplacemen es défini comme la variaion oale de posiion, x = x f x i. (1.1) La figure 1.1 présene le déplacemen d une paricule le long d une droie. Le déplacemen oal es la di érence enre les posiions finale e iniiale, x =6 1 =5. c a Figure 1.1 Le déplacemen reciligne. b 1

2 2 Physique des mécanismes La viesse moyenne correspond au déplacemen divisé par le emps du déplacemen v = x f x i. (1.2) Aenion! Faire un aller-reour Monréal-Québec en 6 h donne une viesse moyenne nulle puisque le déplacemen oal es nul. Dans le langage couran on réfère pluô à la viesse scalaire moyenne La disance d, conrairemen au déplacemen v s = ÎvÎ = d. (1.3) x, es oujours posiive e correspond au cumul de la longueur parcourue le long d une rajecoire. Enfin la viesse insananée s exprime comme la viesse moyenne sur un inervalle de emps infinimen pei v = lim æ0 x f x i = dx d. (1.4) Cee dernière expression représene la dérivée du déplacemen en foncion du emps. Comme nous n éudierons que le mouvemen reciligne uniformémen accéléré, il ne nous sera pas nécessaire d uiliser le calcul di éreniel. L accéléraion moyenne es la variaion oale de viesse sur un inervalle de emps déerminé ā = v f v i. (1.5) Dans nore éude du mouvemen, l accéléraion sera oujours égale à une consane, par conséquen l accéléraion insananée aura la même expression que l accéléraion moyenne a = v f v i. (1.6) Les uniés du Sysème Inernaional (SI) pour les disances e le emps son le mère (m) e la seconde (s). Les uniés du déplacemen, de la viesse e de l accéléraion du SI son donc respecivemen m, m/s e m/s 2.

3 Chapire 1. La cinémaique 3 x Δx v = Δ Posiion x v Δv a = Δ Viesse v a Accéléraion a 1 2 Figure 1.2 Graphiques de la posiion, de la viesse e de l accéléraion en foncion du emps pour un mouvemen reciligne uniformémen accéléré.

4 4 Physique des mécanismes Exemple 1.1 Une auomobilise emprune l auoroue 10, que l on suppose reciligne enre Monréal e Granby. La moiié du emps, elle roule à 40 km/h e, l aure moiié, elle roule à 120 km/h. Au reour, elle franchi la moiié de la disance à 40 km/h e l aure moiié à 120 km/h. Quelle es sa viesse moyenne a) de Monréal à Granby, b) de Granby à Monréal, c) Tracez le graphique de x en foncion de pour la quesion a) en supposan que le déplacemen se fai enièremen dans la direcion des x posiif. Indiquez commen on peu rouver la viesse moyenne à l aide de ce graphique. Soluion

5 Chapire 1. La cinémaique 5 d v = Δx Δ Posiion 0,25d /2 Figure 1.3 Posiion en foncion du emps.

6 6 Physique des mécanismes 1.2 Le mouvemen reciligne uniformémen accéléré Le mouvemen reciligne uniformémen accéléré es, comme son nom l indique, un mouvemen selon une seule direcion ayan une accéléraion consane. On peu alors écrire a = v = v f v i 0 a = v f v i v f = v i + a. (1.7) Le graphique de la figue 1.4 représene la viesse en foncion du emps pour un mouvemen reciligne uniformémen accéléré. Éan donné que le déplacemen es égal au produi de la viesse par le emps, on peu rouver le déplacemen e ecué après un emps à parir de ce graphique en calculan l aire sous la droie de la viesse. L aire de la région 1 es celle du recangle de base e de haueur v i A 1 = v i. (1.8) L aire de la région 2 es celle du riangle de base e de haueur v f v i A 2 = 1 2 (v f v i ). (1.9) L aire oale correspondan au déplacemen après un emps es donc x = A 1 + A 2 = v i (v f v i ) = v i (v f v i ) = v i v f v i 2 = v i a2. (1.10)

7 Chapire 1. La cinémaique 7 v f Région 2 v i Région 1 Figure 1.4 Aire sous la droie de la viesse en foncion du emps.

8 8 Physique des mécanismes Il es possible de combiner les équaions (1.7) e (1.10) de rois façons di érenes pour éablir rois équaions addiionnelles don chacune aura une variable manquane di érene parmis les cinq variables x, v i, v f, a,. On peu isoler de l équaion (1.7) e subsiuer le résula dans l équaion (1.10) pour rouver vf 2 = vi 2 +2a x. (1.11) On peu procéder de la même façon en isolan a ou v i pour rouver les deux aures équaions x = 1 2 (v i + v f ) (1.12) x = v f 1 2 a2. (1.13) Le ableaux 1.1 présene ces cinq équaions que l on dénomme les équaions du mouvemen reciligne uniformémen accéléré. Aenion! Il es imporan de noer que ces équaions ne son valides que lorsque l accéléraion es consane. Tableau 1.1 Les équaions du mouvemen reciligne uniformémen accéléré. Variable absene Équaion x v f = v i + a (1.7) v f x = v i a2 (1.10) v 2 f = v 2 i +2a x (1.11) a x = 1 2 (v i + v f ) (1.12) v i x = v f 1 2 a2 (1.13)

9 Chapire 1. La cinémaique La chue libre Près de la surface de la Terre les corps chuen avec une accéléraion consane égale à 9,8 m/s 2. On désigne cee valeur d accéléraion par la lere g. Si l axe verical choisi comme référence es posiif vers le hau, l accéléraion es g e l équaion 1.10 devien dans le cas de la chue libre y = v i 1 2 g2. (1.14) Exemple 1.2 Calculez, puis mesurez les emps de chue d une bille lâchée d une haueur de 1 m, 2 m e 2, 5 m. Soluion Tableau 1.2 Temps de chue d une bille. Haueur (m) emps héorique (s) emps expérimenal (s) Inceriude (s) 1 h =0, 45 ex = ± 2 h =0, 64 ex = ± 2,5 h =0, 71 ex = ±

10 10 Physique des mécanismes 1.4 Exercices 1.1 Un amaeur de jogging cour en ligne droie à une viesse moyenne de 5 m/s duran 4 min, puis il rédui sa viesse à 4 m/s duran 3 min. (a) Quel es son déplacemen oal? (b) Quelle es sa viesse moyenne duran ce emps? 1.2 À un insan donné, une auomobile se déplace en ligne droie à une viesse de 30 m/s. Deux secondes plus ard, sa viesse es de 25 m/s. Quelle es son accéléraion moyenne duran ce inervalle de emps? 1.3 Au baseball, si un lanceur lance une balle rapide à une viesse horizonale de 160 km/h, combien de emps cee balle mera--elle à aeindre le marbre siué à 18,4 m de disance? 1.4 Une nageuse parcour une longueur de piscine de 50 m en 20 s e elle me ensuie 22 s à revenir à son poin de dépar. Déerminez sa viesse moyenne duran (a) la première longueur de piscine, (b) la deuxième longueur e (c) l aller-reour. 1.5 Une voiure roulan sur une roue droie parcour 40 km à 30 km/h. Elle parcour ensuie 40 aures km dans la même direcion mais, cee fois, à 60 km/h. (a) Quelle es la viesse moyenne de la voiure pendan son raje de 80 km (supposez qu elle se déplace dans le sens des x posiifs)? (b) Tracez le graphique de x en foncion de e indiquez commen on déermine la viesse moyenne sur ce graphique.

11 Chapire 1. La cinémaique Une balle sor à la viesse de 900 m/s du canon de 60 cm d une carabine Wincheser. Déerminez : (a) son accéléraion, (b) la durée du raje dans le canon. 1.7 Un auobus raleni avec une accéléraion consane. Sa viesse passe de 24 m/s à 16 m/s pendan qu il parcour 50 m. (a) Sur quelle disance coninue--il de rouler avan de s arrêer? (b) Combien de emps lui fau-il pour s arrêer à parir du momen où sa viesse vau 24 m/s? 1.8 Une goue d eau jailli vericalemen d un uyau placé au niveau du sol e aein une haueur de 3,2 m. (a) À quelle viesse sor-elle du uyau? (b) Pendan combien de emps la goue d eau rese--elle en l air? 1.9 Une pierre qu on laisse omber de la margelle d un puis ouche la surface de l eau 1,5 s plus ard. (a) Quelle es la profondeur du puis? (b) À quelle viesse la pierre ouche--elle l eau? 1.10 Une flèche projeée vericalemen vers le hau revien au sol 8 s plus ard. rouvez : (a) sa viesse iniiale e (b) sa haueur maximale.

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