Exercices sur le conditionnement : corrigé

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1 Exercces sur le codtoemet : corrgé ECE Lycée Kastler mars 008 Exercce * Pour be compredre commet ça se passe le meux est de commecer par retradure claremet l'éocé e utlsat les otatos esemblstes vues e cours. Notos c A l'évéemet être malade et B l'évéemet être testé postf. L'éocé ous doe les probabltés suvates : P A 0.00 ; P A B 0.9 et P Ā B O peut calculer la probablté de B e utlsat la formule des probabltés totales : P B P A P A B + P Ā PĀB La probablté qu ous est demadée est P B A, qu va être obteue par la formule de Bayes : P B A P A P AB Cette valeur peut sembler fable au premer P B abord, mas elle est tout à fat ormale. Presque tous les malades sot testés postfs, mas pour chaque persoe malade l y a à peu près 000 persoes saes, dot e moyee vot être testées postves. Il 'y a doc qu'evro ue chace sur sx qu'ue persoe testée postve sot eectvemet malade. Exercce ** L'uvers est cottué des trages possbles de cartes parm. Notos A l'évéemet trer quatre As. O a A 8 o tre As parm les quatre dspobles et ue cquème carte parm les 8 qu restet doc P A Notos mateat B : o tre au mos deux As. La deuxème questo ous demade de calculer P B A. Il faut doc calculer P B. O a B o a séparé selo que le joueur trat exactemet deux As, tros P A B As ou les quatre As, doc P B A P A P B P B E comparaso, la probablté d'obter deux As e trat tros cartes das u jeu de vaut 8 0.0, elle est beaucoup plus élevée! C'est tout à fat ormal, car le joueur qu motre deux As a pu les chosr parm les cq cartes de so jeu, ce qu fat que tous les trages de cq cartes coteat deux As au mos permettet d'e étaler deux sur la table. Exercce * Notos S l'évèemet L'dvdu est sas opo ; P : Il est favorable à la pax et G : Il est favorable à la guerre. O otera égalemet A et B les évèemets correspodat à l'apparteace à l'u des deux pays.. C'est ue smple applcato de la formule des probabltés totales : P A S P A G P A P , et de même P B S 0., doc P S P AP A S+P B P B S

2 . C'est cette fos-c la formule de Bayes qu va être utle : P G P AP A G+P BP B G , doc P G A P A P AG la probablté P G 0. de G ayat été calculée comme au-dessus à l'ade des probabltés totales. Même chose qu'au-dessus : P P , doc P P A P A P AP P P Exercce *** Il faut utlser la formule des probabltés totales : pour chaque eter k, o a ue chace sur de trer l'ure uméro k, et ue fos cette ure chose, la probablté de trer deux boules rouges à k k l'téreur vaut boules au total, doc trages possbles, dot où l'o tre deux k k boules rouges. O a doc ue probablté totale de k. Or, e k k k fasat le chagemet de varable k k, kk k k k k0. La probablté recherchée vaut doc. Plus téressat, la lmte quad ted vers + de cette probablté vaut. Autremet dt, quad devet grad, o se rapproche d'ue stuato où obter deux boules rouges, deux blaches ou ue de chaque couleur est équprobable. S le trage s'eectue avec remse, la probablté d'obter deux boules rouges lorsqu'o tre k k das l'ure uméro k vaut désormas, sot ue probablté totale de k + k k k Cette probablté a égalemet pour lmte. Exercce ** Notos T l'évèemet O lace u dé truqué et N : O lace u dé ormal. D'après l'éocé, o a P T 0 00 et P N. De plus, P T et P T P T P T P T P T 0.. Probabltés totales : P P N P N + P T P T Formule de Bayes : P T P T P T P Probabltés totales pus Bayes : P P NP N +P T P T + P N P N P N P 0 k0 k pour calculer la probablté d'obter u, o a

3 utlsé les probabltés totales. Exercce ** Il s'agt ue fos de plus d'ue combaso de probabltés totales et de formule de Bayes. Notos A : O tre das la premère ure et B : O tre deux boules rouges. O a P A ; P A B 9 8 et PĀB 9 8. O e dédut das u premer temps P B +, pus P BA. Das le cas où o eectue ue remse, le rasoemet est le même mas, e gardat les mêmes otatos, P B A et PĀB 9 9. O e dédut das u premer temps 9 P B , pus P BA que das le cas du trage avec remse La probablté est légèremet plus fable Exercce 7 ** Commeços par tradure les hypothèses de l'éocé : au jour 0, la place 'est pas réservée, doc p 0. Esute, e otat A l'évèemet La place est réservée au jour, l'éocé stpule que P A A et P A A +. La formule des probabltés totales doe alors la formule 0 de récurrece : p + P A + P A P A A + + P A P A A p + 0 p 0.p La sute p est doc arthmétco-géométrque, d'équato caractérstque x 0.x + 0., ce qu doe x 0.8. O trodut la sute auxlare b p 0.8, qu vére b + p p p b. La sute b est doc géométrque de raso 0.8 et de premer terme b 0 0.8, doc b et p b O costate que la lmte de la sute p vaut 0.8 et que la sute est crossate, c'est-à-dre que la proporto de places réservées das l'avo va augmeter, mas e e dépassat pas u plafod de 80%. Exercce 8 ***. U pett schéma peut ader, mas 'est pas oblgatore. O a be sûr a 0 et b 0 c 0 0 pusque la guêpe se trouve das la pèce A au départ. Esute, o utlse l'éocé, o a doc a, b et c 0. Pour l'étape suvate, l faut utlser la formule des probabltés totales : a P A P A A + P B P B A + P C P C A a + b ; de même, b a + b ; e c b o ote que a + b + c , ce qu est plutôt rassurat.. Il s'agt d'ue smple gééralsato du cas précédet utlsat toujours les probabltés totales : a + a + b ; b + a + b et c + b + c.. Pour motrer que u est costate, le pus smple est de calculer u +. O a u + 0 a + 0 b + 0 a + b 0 a + b 0 a + 0 b 0 a 0 b 0. La sute u est doc ulle au mos à partr de.

4 . Tetos d'exprmer v + e focto de v. O a v + 0 a ++ 0 b + 0 a + b + 0 a + b 0 a + 0 b + 0 a + 0 b a + b 0 a + 0 b. La sute v est doc géométrque de raso et de premer terme v 0 0, doc v.. O costate que u +v a, doc a et, comme u 0, b a.. O a be etedu c a b a. Cette probablté ted vers quad ted vers l'. Exercce 9 *** Le ombre de jetos das la pogée trée peut varer etre 0 et. Notos doc, {0; ;... ; }, A l'évèemet O a tré ue pogée coteat jetos. L'éocé stpule que ces évèemets sot équprobables, autremet dt que P A. O otera par alleurs smplemet l'évèemet + O tre le jeto uméro. O a P A s o tre ue pogée de jetos et qu'l y e a au total, o a chaces sur qu'u jeto précs sot tré ; s vous 'êtes pas covacus, o peut auss dre que A et A B pusqu'ue fos chos le jeto, l reste jetos à!!! trer parm les restats das l'ure, doc P A!!!. Les évèemets A format u système complet d'évèemets, o peut applquer la formule des probabltés totales : P P A P A Ce résultat est e fat assez prévsble : s tous les ombres de jetos possbles sot équprobables, o trera e moyee la moté des jetos, et o doc autat de chaces de trer le uméro que de e pas le trer. O a be sûr de même P. Pour détermer s le trage des jetos et est dépedat, le plus smple est de calculer P et de regarder s o obtet la même valeur qu'e fasat P P. Le calcul de P est très smlare à celu eectué c-dessus : A!!! doc P A!!! des probabltés totales pour obter P ,. O applque esute la formule + +. Cette probablté état dérete de P P, les deux évèemets e sot pas dépedets. Autre faço de vor P les choses : P. O peut terpréter ce résultat as : s le jeto a été tré, l est P plus probable qu'o at tré ue grosse pogée qu'ue pette pogée, ce qu augmete ettemet la probablté que le jeto at égalemet été tré mas pour être tout à fat hoête, ce résultats 'état pas évdet à prévor. Das le cas où ce sot les pogées qu sot équrépartes, comme l exste pogées autat que

5 de sous-esemble de l'esemble des jetos placés das l'ure, chaque pogée a ue probablté d'être trée. Comme l exste pogées coteat jetos, o a doc P A k. O peut alors eectuer le même type de calcul que précédemmet à l'ade des probabltés totales la probablté codtoelle P A 'a pas de raso d'avor chagé : P!!!!!!. O a utlsé vers la de calcul le fat que p p p, qu est u résultat classque. O retrouve doc la même probablté que tout à l'heure, ce qu est e fat ormal s o se souvet que les coecets bomaux ot ue proprété de symétre : o a autat de chaces de trer ue pogée à 0 élémets qu'ue pogée à élémets, ue pogée à élémet qu'ue à élémets etc, ce qu doera toujours e moyee ue chace sur deux de trer u jeto doé. Comme tout à l'heure, o aura doc P P, et o cherche à calculer P, toujours avec les probabltés totales e utlsat le système complet d'évèemets A : P!!!!!. Cette fos-c, les deux évèemets sot dépedats. Comme j'e eteds déjà qu se demadet Mas pourquo l'argumet doé tout l'heure pour juster que les évèemets 'étaet pas dépedats e serat-l plus valable das ce cas?, j'essae de leur répodre : c, la probablté de trer u certa ombre de jetos est fortemet podéré par le ombre de pogées coteat ce ombre de jetos. As, s o sat qu'o a tré le jeto, o sat smplemet que la pogée chose fat parte de la moté des pogées qu coteet le jeto. Mas parm celles-c, l y e a exactemet la moté qu coteet le jeto et la moté qu e le coteet pas! E eet, parm les sous-esembles coteat le jeto, l y e a autat qu coteet le jeto et qu e le coteet pas, et cotraremet à tout à l'heure o aecte la même probablté à chacue.