CHAPITRE 5 Fonction linéaire. Proportionnalité. Fonction affine.

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1 CHAPITRE 5 Foncion linéaire. Proporionnalié. Foncion affine. (Voir : 4 ème, chapire 5 ; 3 ème, chapires 3, 13.) I) Foncion linéaire A) Définiion a désigne un nombre relaif connu e fié. Définiions : La foncion qui à ou nombre relaif associe le produi de par a, c es-à-dire le nombre a, s appelle la foncion linéaire de coefficien a. Le nombre a es appelé coefficien de linéarié de la foncion. Si f désigne cee foncion, on noe «f : a» ou «f() = a». C es une «machine à muliplier» (opéraeur muliplicaif) : " Anécéden " " Foncion " " Image " a a Si f es une foncion linéaire de coefficien a, on a : f(0) = 0 e f(1) = a. Eemples : 1. La foncion f qui, à un nombre, fai correspondre son double es la foncion linéaire de coefficien 2, noée f : 2 ou f() = 2. L image de 5 par f es : f( 5) = 2 ( 5) = ? L anécéden de 8 par f es : le nombre el que f() = 8 c es-à-dire 2 = 8 d où = 8? 2 e = La foncion f : 3 es la foncion linéaire de coefficien ( 3) f ( ) Le ableau de valeurs ci-dessus es un ableau de proporionnalié. Le coefficien de proporionnalié 3, es le coefficien de linéarié de f. L image de 2 par la foncion f es f(2) = 3 2 = 6. f(6) = f(2+4) = f(2) + f(4) = 6 + ( 12) = 18. f(6) = f(3 2) = 3 f(2) = 3 ( 6) = 18. Propriéé : f es une foncion linéaire de coefficien a avec a 0. Par cee foncion linéaire, ou nombre adme un e un seul anécéden easymahs.free.fr Page 1 sur 7

2 Propriéé : Toue siuaion de proporionnalié peu se raduire mahémaiquemen par une foncion linéaire don le coefficien es le coefficien de proporionnalié. On di que l on modélise la siuaion. Dire qu une foncion es linéaire revien à dire que les images son proporionnelles au anécédens. B) Déerminaion Méhode : Pour déerminer l epression algébrique d une foncion linéaire à parir de la donnée d un nombre non nul e de son image, on calcule son coefficien de la façon suivane : a = image du nombre / ce nombre Si f désigne cee foncion e si 0, a = f()/. On considère la foncion linéaire f elle que f(6) = 15. 6? 15 La forme générale des foncions linéaires es f() = a. On a ainsi f(6) = a 6. Or f(6) = 15. f( 6) -15 Donc on résou l équaion a 6 = 15 d où a = = 6 6 = 2,5. La foncion linéaire f es donc définie par l epression algébrique f() = 2,5. C) Pourcenages 5 Prendre les 5 % de, c es muliplier par ou 0,05. D où la foncion linéaire correspondane : 0,05. Propriéé : Augmener un nombre de %, c es le muliplier par le nombre 1 +. Diminuer un nombre de %, c es le muliplier par le nombre 1. Conséquence : Une augmenaion de % d une grandeur posiive se radui par la foncion linéaire : (1 + ) ( 0 e 0) Une diminuion de % d une grandeur posiive se modélise par la foncion linéaire : (1 ) ( 0 e 0) Eemples : easymahs.free.fr Page 2 sur 7

3 Augmener 132 de 5 % c es muliplier 132 par 1,05 : = (1 + 5 ) 132 = 1, = 138,6 La foncion linéaire f qui modélise cee siuaion es : f() = 1,05. Diminuer 132 de 5 % c es muliplier 132 par 0,95 : = (1 5 ) 132 = 0, = 125,4 La foncion linéaire associée es : 0,95. D) Représenaion graphique Le plan es muni d un repère (O, I, J). Propriéés : La représenaion graphique de la foncion linéaire de coefficien a dans un repère es l ensemble des poins de coordonnées ( ; a). C es la droie passan par l origine du repère e, en pariculier, par le poin de coordonnées (1 ; a). Définiions : Les coordonnées ( ; y) des poins de la droie son liées par la relaion y = a. On di que cee relaion es une équaion de la droie qui représene graphiquemen la foncion linéaire de coefficien a. Le coefficien de linéarié a de la foncion linéaire es appelé le coefficien direceur de la droie. (C es le nombre qui indique la direcion de la droie.) Représener graphiquemen la foncion linéaire f : 0,5. La représenaion graphique de la foncion f es la droie (d) d équaion y = 0,5 passan par le poin O(0 ; 0). Pour consruire (d), il suffi de calculer les coordonnées d un 2 ème poin. Par eemple, f(2) = 0,5 2 = 1 donc le poin A(2 ; 1) (d). y Images (d) 4 1 A y =0,5 Anécédens O Pour que le racé d une droie soi précis, on a inérê à la consruire avec 2 poins assez éloignés! Pour conrôler le racé, on peu vérifier graphiquemen la cohérence du coefficien direceur avec le dessin. C es l ordonnée du poin d abscisse 1. On li ainsi que l image de 1 es 0,5, d où a = 0,5. On peu lire graphiquemen le nombre ayan pour image 2. On li que 2 es l image du nombre 4. ( 4 2) easymahs.free.fr Page 3 sur 7

4 On peu vérifier que f( 4) = 0,5 ( 4) = 2. Inerpréaion graphique du coefficien direceur : L inclinaison de la droie (d) par rappor à l ae des abscisses varie avec le nombre a. Si a > 0, alors la droie «mone». Si a = 0, alors la droie es confondue avec l ae des abscisses. Si a < 0, alors la droie «descend». Propriéé : (réciproque) Toue droie passan par l origine du repère e non confondue avec l ae des ordonnées es la représenaion graphique d une foncion linéaire. Elle a une équaion de la forme y = a. Déerminer graphiquemen l équaion de la droie représenée. y M 3 1 O 1 4 La droie passe par l origine O du repère, c es donc la représenaion graphique d une foncion linéaire. Son équaion es donc de la forme y = a. La droie passe par le poin M(4 ; 3), donc 3 = a 4, d où a = 3/4. Cee représenaion graphique es donc celle de la foncion linéaire 0,75. II) Foncion affine A) Définiion a e b désignen des nombres relaifs donnés. Définiions : Le processus qui à ou nombre relaif fai correspondre le nombre a + b, s appelle foncion affine de coefficiens a e b. Le nombre a + b es appelé l image de par la foncion. " Foncion " " Anécéden " " Image " a a + b a + b (On muliplie par a, puis on ajoue b) Noaions : Si f désigne cee foncion, on noe : f() = a + b ou f : a + b. Remarques : Le nombre b es l image de 0 par cee foncion. Si b = 0 alors on a la foncion linéaire f() = a easymahs.free.fr Page 4 sur 7

5 Une foncion linéaire es donc une foncion affine pariculière. Si a = 0, alors on a la foncion consane f() = b. Tous les nombres on la même image b. Une foncion consane es donc une foncion affine pariculière. La foncion f qui, à un nombre, associe son riple augmené de 5 es une foncion affine. On la noe f : ou f() = L image de 8 par f es f( 8) = 3 ( 8) + 5 = 19. f(0) = 5. L anécéden de 11 par f es le nombre el que f() = 11 c es-à-dire = 11 d où 3 = 6 e = 2.. B) Proporionnalié des accroissemens Un ableau de valeurs d une foncion affine f() = a + b n es pas en général un ableau de proporionnalié (sauf si b = 0). En revanche, il y a oujours proporionnalié des écars. Propriéés : Pour une foncion affine f : a + b, les accroissemens des valeurs de f() son proporionnels au accroissemens de la variable. Le coefficien de proporionnalié des accroissemens es le nombre a. f( 2) f( 1) = a ( 1 2 ) 2 1 Pour la foncion affine f() = 3 + 5, on a : f(7) - f(2) f( 4) f(9) = = 3 ou encore = = 3. f ( ) Si f es une foncion linéaire, f(0) = 0 donc, pour ou nombre 0, = a. C) Déerminaion Méhodes : Pour déerminer une foncion affine à parir de la donnée de deu nombres e de leurs images, on peu : Résoudre un sysème de deu équaions à deu inconnues. Appliquer la propriéé de la proporionnalié des accroissemens. On considère la foncion affine f elle que f( 8) = 19 e f(2) = 11. Déerminer l epression algébrique de la foncion f. On connaî la forme générale des foncions affines : f() = a + b. Une méhode : f ( 8) = 19 a ( 8) + b = 19 8a + b = 19 donc d où f (2) = 11 a 2+ b = 11 2a + b = 11 La résoluion du sysème (ch. 9) condui à a = 3 e b = easymahs.free.fr Page 5 sur 7

6 Une aure méhode : f( 8) f(2) a = = = = 3 d où f() = 3 + b or f(2) = b e f(2) = 11 donc 6 + b = 11 e b = 5. La foncion affine f es donc définie par f() = D) Représenaion graphique Le plan es muni d un repère (O, I, J). Propriéés : La représenaion graphique de la foncion affine f : a + b es la droie passan par le poin de coordonnées (0 ; b). Elle es parallèle à la droie qui représene la foncion linéaire associée a ; c es son image par la ranslaion de veceur de coordonnées (0 ; b). Définiions : On di que la représenaion graphique de la foncion affine f : a + b es la droie d équaion y = a + b. Le coefficien a es appelé le coefficien direceur de la droie e le coefficien b l ordonnée à l origine. Représener graphiquemen la foncion affine f : 2. La représenaion graphique de la foncion f es la droie d d équaion y = 2. Elle passe par le poin B(0 ; 2) e es parallèle à la droie y = 2. Son coefficien direceur es 1 e son ordonnée à l origine es 2. Pour consruire (d), il suffi de calculer les coordonnées d un 2 ème poin. Par eemple, f( 6) = ( 6) 2 = 4 donc le poin A( 6 ; 4) (d). y = 2 y A O 1 B 2 y = Pour conrôler le racé, on peu vérifier graphiquemen la cohérence du coefficien direceur avec le dessin. On avance de 1 e on descend de 1 donc a = 1. On peu lire graphiquemen que l image de 2 es 4. On peu lire graphiquemen que l anécéden de 3 es 5. Remarques : L ordonnée à l origine indique l ordonnée du poin d inersecion de la droie avec l ae des ordonnées easymahs.free.fr Page 6 sur 7

7 Le coefficien direceur indique l accroissemen de y pour un accroissemen de égal à 1. Lorsque le repère es orhonormé, le coefficien direceur es appelé pene de la droie. Inerpréaion graphique du coefficien direceur : L inclinaison de la droie par rappor à l ae des abscisses varie avec le nombre a. Si a > 0, alors la droie «mone». Si a < 0, alors la droie «descend». Si a = 0, alors la droie es horizonale. b b b Propriéé : (réciproque) Toue droie non parallèle à l ae des ordonnées es la représenaion d une foncion affine. Elle a une équaion de la forme y = a + b. La représenaion graphique d une foncion consane es une droie parallèle à l ae des abscisses, passan par le poin de coordonnées (0 ; b) easymahs.free.fr Page 7 sur 7