= P (X k)p (Y k) = (1 α) k (1 β) k = [(1 α)(1 β)] k.

Transcription

1 Aée 25/26 Semaie 2 Classe de PC*, lycée Louis le Grad Exercice Soiet (Ω, F, P ) u espace probabilisé, X et Y deux variables idépedates suivat des lois géométriques (à valeurs das N) de paramètre α et β respectivemet Calculer la loi de la variable aléatoire mi(x, Y ) aisi que so espérace L'observatio cruciale est que, si k N, o a {mi(x, Y ) k} {X k} {Y k} E coséquece, P (mi(x, Y ) k) P ({X k} {Y k}) P (X k)p (Y k) ( α) k ( β) k [( α)( β)] k La variable mi(x, Y ) suit doc ue loi géométrique de paramètre p ( α)( β) α + β αβ, et doc so espérace vaut p ( α)( β) p + α + β αβ Exercice 2 U oiseau pod des ufs selo ue loi de Poisso de paramètre λ > Chaque uf, idépedammet des autres, a ue probabilité p d'éclore O ote X la variable aléatoire correspodat au ombre d' ufs qui ot éclos Détermier la loi et l'espérace de X O ote Y le ombre d' uf podu par l'oiseau La variable aléatoire Y suit doc ue loi de Poisso de paramètre λ, et coditioellemet ( ) à {Y }, la variable X suit ue loi biomiale de paramètre (, p), c'est-à-dire P (X k Y ) p k ( p) k E coséquece, k P (X k) p k e λ + pk e λ P (X k Y )P (Y ) ( )p k k λ ( p) k! e λ k λk p k e λ k! λ ( p) k ( k)!! λ ( p) k ( k)! m (λp)k e λ e λ( p) (λp)k e λp (λ( p)) m La variable aléatoire X suit doc ue loi de Poisso de paramètre λp, e particulier so espérace vaut λp Exercice 3 Soit X ue variable aléatoire à valeurs etières dot la série géératrice est de la forme m! avec a R (a) Détermier la valeur de a (b) Détermier la loi de X G X (z) ae +z2, (a) O sait que G X (), c'est-à-dire que a e 2, ou, pour l'écrire diéremmet, G X (z) e z2

2 Aée 25/26 Semaie 2 Classe de PC*, lycée Louis le Grad (b) Il s'agit de faire u développemet de G X e série etière : pour z <, Comme o sait par ailleurs que pour z <, o a G X (z) e e z2 G X (z) e + k z 2k P (X )z, o peut coclure, par uicité du développemet d'ue foctio e série etière, que { e P (X ) si 2k est pair si est impair E d'autres termes, X 2 suit ue loi de poisso de paramètre Exercice 4 Discuter de la covergece simple et uiforme sur R + de la suite de foctios (f ) N déie par f (x) e x si(x) Si o se doe x >, il est clair que f (x) lorsque ted vers + Comme de plus f () pour tout N, o e déduit que la suite de foctios (f ) N coverge simplemet vers Pour la covergece uiforme, il faut calculer l'écart etre f et sa limite, à savoir, c'est-à-dire que la quatité à étudier est sup R+ f Pour la calculer, il faut faire ue étude de foctio : il est clair que f (x) e x [cos(x) si(x)], e particulier le premier zéro positif de f se situe e π 4 Comme ( π ) e π/4 f 4 2 e ted maifestemet pas vers lorsque ted vers +, la covergece 'est pas uiforme Exercice 5 Discuter de la covergece simple, uiforme et ormale de la série de foctios si(x) cos (x) O ote f : x si(x) cos (x), et S N N f Il est clair, que si cos(x) alors S N (x) si(x) cosn+ (x), cos(x) et que si cos(x) alors si(x) doc S N (x) E faisat tedre N vers +, o e déduit que S N coverge simplemet vers la foctio S déie par si(x) si x / πz S(x) cos(x) sio Il est plus facile de commecer par vérier la covergece ormale (puisqu'elle implique la covergece uiforme)

3 Aée 25/26 Semaie 2 Classe de PC*, lycée Louis le Grad Pour cela, il faut calculer sup f Or, comme f cos + cos si 2 cos + cos ( cos 2 ) ( + ) cos + cos, o voit que f (x) est ul soit quad cos(x) (mais das ce cas f (x) ), soit quad cos 2 (x) + ce cas f (x) cos(x) 2 cos (x) ( ) /2 + + ( + + e /2 ) /2 lorsque + E coséquece, par comparaiso avec les séries de Riema, la série de foctios e coverge pas ormalemet mais das sup f diverge : la série Comme les foctios f (et doc les S N ) sot cotiues, pour motrer que la covergece e peut être uiforme il sut de motrer que S 'est pas cotiue Or, au voisiage de, si(x) x et cos(x) x2 2 doc ce qui est maifestemet icompatible avec S() S(x) x x x, Exercice 6 Soit f : x e 2 x 2 (a) Motrer que f est déie et cotiue sur R (b) Motrer que lim f(x) x + π + (c) Motrer que f(x) 2x au voisiage de O pourra supposer coue l'idetité e u2 du (a) O déit aturellemet f par f (x) e 2 x 2, les foctios f sot cotiues pour tout N Or, si o se xe a >, il est clair que f e 2 a 2, e particulier sup [a,+ [ sup [a,+ [ f < + Cela sigie que la covergece est ormale sur [a, + [, doc la foctio f N f est bie déie et cotiue sur cet itervalle Comma a > est arbitraire, f est bie déie et cotiue sur R + Comme de plus f est évidemmet paire, elle est bie déie et cotiue sur R (b) Il s'agit d'utiliser le théorème d'iterversio des limites : il est clair que lim f (x) x + { si, sio π 2

4 Aée 25/26 Semaie 2 Classe de PC*, lycée Louis le Grad et puisque la covergece de la série de foctios f est ormale sur ], + ], o est bie e droit d'itervertir les limites de sorte que f(x) lim x + (c) L'outil clé est ici la comparaiso série-itégrale Le théorème d'iterversio des limites e coviet pas car f diverge au voisiage de Plus précisémet, à x xé, par décroissace des f, + e t2 x 2 dt f (x) e t2 x 2 dt E sommat pour allat de à + (sauf pour le membre de droite où o traite à part le cas ), o obtiet e t2 x 2 dt f(t) + E itroduisat le chagemet de variables u tx, o voit que e t2 x 2 dt x π 2x Et e utilisat l'ecadremet précédet o peut coclure e t2 x 2 dt e u2 du Exercice 7 O ote S : x x + x (a) Quel est le domaie de déitio de S? (b) Étudier la cotiuité et la dérivabilité de S sur so domaie de déitio (c) Doer u équivalet de S au voisiage de O ote f la foctio déie par f (x) x + x (a) Si x <, alors il est clair que f (x) O( x ), et doc la série de terme gééral (f (x)) N coverge : S(x) est bie déi Au cotraire, si x >, alors la suite (f (x)) N coverge vers ue costate et doc S(x) 'est pas déi E, il est clair que S 'est déie i e, i e (e les f e sot même pas toutes déies) E coclusio, le domaie de déitio de S est ], [ (b) O se xe u réel positif a < Sur [ a, a], il est clair que f a Cela sigie que la covergece est ormale, comme de plus les f sot cotiues, o e déduit que S est cotiue sur [ a, a] De plus, toujours sur [ a, a], les f sot de classe C Puisque f x + x x2 ( + x ) 2, o voit que sup f a + a 2 : o est ecore e présece du terme gééral d'ue série covergete, doc [ a,a] la covergece de la série f est ormale E coséquece, la foctio S est de classe C sur [ a, a] Mais comme a < est arbitraire, o e déduit que S est de classe C sur ], [ (c) La clé est ici la comparaiso série-itégrale E eet, il est clair, par décroissace (lorsque x < ) de la foctio xt t + x, que t + E sommat ces iégalités pour N, o voit que x t + x t dt f (x) S(x) x t dt + O() + xt x t + x t dt Il reste à calculer l'itégrale das le membre de droite, pour cela o eectue les chagemets de variables u t l(x)

5 Aée 25/26 Semaie 2 Classe de PC*, lycée Louis le Grad puis v e u : x t + x t dt + e l(x) l(x) e t l(x) t l(x) dt e u + e u du + v dv l(x) [l( + v)] l(2) l(x) E coclusio, compte teu du développemet limité de l au voisiage de, lorsque x, S(x) l(2) x Exercice 8 Calculer le rayo de covergece de la suite (a ) N das le cas où : (a) N, a sih() cosh() 2 (b) N, a α! pour u certai α R { a (c) 2 2 N a 2+ 3 (a) Il faut calculer u équivalet de a Comme sih() e 2 et cosh() e, il est clair que 2 a 2e lorsque + À partir de là, e appliquat par exemple la règle de d'alembert, il est clair que la rayo de covergece de (a ) N est e (b) Si α (das le cas cotraire l'exercice est trivial), alors la suite (a ) N e s'aule jamais, et o peut appliquer le critère de d'alembert : comme a + α (+)!! a et que ( + )!!! ted vers + si +, le rayo de covergece de la série est + si α < si α si α > (c) Il faut ici reveir à la déitio du rayo de covergece O se doe ρ > et o veut savoir si la suite (ρ a ) N est borée Cela est équivalet à ce que les suites (ρ 2 2 ) N et (ρ 2+ 3 ) soiet borées, c'est-à-dire à ce que 2ρ 2 et 3ρ 2 < E coclusio, la suite (ρ a ) N est borée si et seulemet si ρ 3, c'est-à-dire que le rayo de covergece de la suite (a ) N est 3 Exercice 9 Soit a x ue série etière de rayo de covergece R > (a) Quel est le rayo de covergece de a 2 x? (b) Quel est celui de a x 2? (c) Motrer que le rayo de covergece de a x 2 est supérieur ou égal à

6 Aée 25/26 Semaie 2 Classe de PC*, lycée Louis le Grad (a) Il faut reveir à la déitio : o ote et I {ρ > tels que (a ρ ) N est borée} I {ρ > tels que (a 2 ρ ) N est borée} O alors R sup I et le rayo R de covergece de la série a 2 x vaut R sup I Comme o a l'équivalece (a 2 ρ ) N est borée ( (a ρ ) 2) est borée N (a ρ ) N est borée, il est clair que I { ρ ; ρ I } O e tire, e passat au sup, que R R, c'est-à-dire R R 2 (b) O eectue le même gere de raisoemet que pour (a) : si o se doe ρ >, (a ρ 2 ) N est borée ( a (ρ 2 ) ) N est borée Doc, e otat R le rayo de covergece de a x 2, et e raisoat de la même faço qu'e (a), o voit que (R ) 2 R, c'est-à-dire R R (c) Il sut de motrer que pour tout < ρ <, la suite (a ρ 2 ) N est borée Mais puisqu'il existe C tel que a CR pour tout N, o voit que a ρ 2 C ρ2 R Or, si ρ [, [, il est facile de voir que le membre de droite de l'iégalité ted vers grâce au critère de d'alembert, et c'est doc susat pour coclure Exercice Doer le développemet e série etière e de ( + x)(2 x) L'outil clé est la décompositio e élémets simples : ( + x)(2 x) 3 ( + x + 2 x Le DSE du premier terme du membre de droite est cesé être cou, quat au deuxième o se ramèe à u DSE cou : 2 x 2 x 2 2 E remettat esemble tous les morceaux, o e déduit que k x k 2 k ) + ( + x)(2 x) ( ( ) k + ) 3 2 k+ x k k O pourra d'ailleurs remarquer que le rayo de covergece est Exercice Calculer le rayo de covergece, puis le domaie de covergece x x Calculer la somme das la série lorsque 2 +

7 Aée 25/26 Semaie 2 Classe de PC*, lycée Louis le Grad Pour ce qui est du rayo de covergece, le critère de d'alembert permet de voir qu'il est égal à E x, par comparaiso avec les séries de Riema la somme diverge, tadis qu'e x o est e présece d'ue série alterée doc la somme coverge E coclusio, le rayo de covergece est et le domaie de covergece est [, [ O ote f(x) x Pour se rameer à ue série coue, o peut remarquer que 2 + xf(x 2 ) x Or, das le membre de droite, o recoaît la primitive d'ue série etière coue : x 2+ ( x + ) 2 + t 2 dt x dt t 2 arctah(x) O e déduit alors que pour x [, [, f(x) arctah( x) x