Terminale S Les ROC d analyse à connaître.

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1 Termiale S Les ROC d aalyse à coaître Vos troverez ici les démostratios qe vos avez officiellemet des faire e cors (das le programme) Il est importat de préciser qe cela e sigifie e ac cas q il e faille pas coaître les atres D atres ROC classiqes serot assi traitées, mais sachez qe le jor d Bac, vos povez très bie avoir e ROC qe vos arez jamais traité o e ROC à démotrer différemmet C est porqoi votre itérêt est pas d appredre les démostratios par cœr, mais pltôt de compredre commet elles foctioet, qelle est l idée directrice des raisoemets, qels sot les préreqis ROC sr les sites Défiitio : Ue site admet por limite + si por tot réel A, tos les termes de la site à partir d certai rag sot das itervalle de la forme [ A ; + [ La défiitio est la même por, mais les termes serot das itervalle ] ; A] Atremet dit, e site ted vers + si A, N tel qe N, o a A Théorème : Si e site ( ) est croissate et o majorée, alors lim décroissate et o miorée, alors lim + = + = + ; si e site ( ) est Démo : Soit ( ) e site croissate et o majorée Par défiitio, comme ( ) est o majorée, por tot réel A, il eiste terme N de la site tel qe N Mais comme la site est croissate, por tot > N, > N Nos avos doc prové qe por tot réel A, à partir d certai rag N, o ara correspod à la défiitio de tedre vers + La démostratio est aaloge por > M > M por > N,ce qi Défiitio : O dit qe de sites ( ) et (v ) sot adjacetes si : v croissate, v décroissate lim ( v ) = Théorème : Si de sites sot adjacetes alors elles coverget et ot même limite L De pls o a L v Démo : Soiet de sites adjacetes ( ) et (v ) O a v v car v est décroissate doc majorée par so premier terme : aisi, la site est croissate et majorée, doc elle coverge O ote L sa limite O motre de même (faite le) qe la site v est décroissate miorée doc elle coverge ; o ote L sa limite Comme o a lim ( v ) =, o obtiet L L = doc L = L Efi, la site état croissate, o a L et comme v décroît, L v d où L v D PINEL, Site Mathemitec : Termiale S Restittio Orgaisée de Coaissace (ROC d aalyse) Sjets de Bac

2 ROC sr les foctios : théorème des gedarmes Défiitio : O dit qe la foctio f ted vers le réel L qad ted vers + si le ombre f() pet être red assi proche de L qe l o vet, por assez grad O otera lim f ( ) = L Atremet dit, e termiale, lim f ( ) = L si por tot itervalle J qi cotiet L, alors J cotiet assi tos les f() por assez grad + + Théorème : Soit f, g, h trois foctios défiies sr itervalle I [ a ; [ Si lim f( ) = L = lim g( ), alors h admet e limite e + et o a lim h( ) = L + + = + telles qe f ( ) h( ) g( ) sr I + Démo : Soit J itervalle coteat L Comme lim f( ) = L = lim g( ), par défiitio por sffisammet grad f() et g() sot das J + + Comme por tot f ( ) h( ) g( ), h() est égalemet das J por ces mêmes valers de Doc h vérifie la défiitio de lim h( ) = L + ROC sr les foctios coties : TVI et corollaire Théorème des valers itermédiaires : Soit f e foctio cotie sr itervalle I, a et b de réels de I Por tot réel k compris etre f(a) et f(b), il eiste a mois réel c compris etre a et b tel qe f(c) = k Démo : il s agit ici de formaliser le pricipe de dichotomie qe vos devez coaître Si tel est pas le cas, cette démostratio vos paraîtra ecore pls compliqée Mais q est ce q elle est belle!! Soit f e foctio cotie sr itervalle I, a et b de réels de I avec a b Soit k réel compris etre f(a) et f(b) Défiissos maiteat de sites (a ) et (b ) : O pose a = a et b = b : o a doc k [ f ( a ) ; f ( b ) ] Spposos qe les termes a et b soiet costrits et tels qe k [ f ( a ) ; f ( b ) ] termes sivats (récrrece ) Plaços os alors das l itervalle [ ; ] a + b = f a + b Si k est spérier à, os posos a+ =, b + = b a + b Si k est iférier à, os posos a+ = a, b+ = k f ( a ) ; f ( b ) Das tos les cas o sera sûr qe [ ] + +, et défiissos les a b et calclos Par costrctio, a est croissate, b est décroissate et e pls, comme à chaqe fois o pred le milie de l itervalle, b + a+ = ( b a ) b a est doc géométriqe de raiso ½ doc elle ted vers La site ( ) Ces de sites sot doc adjacetes, doc elles coverget Notos c ler limite comme Comme f est cotie, lim f ( a ) = lim f ( b ) = f ( c) D PINEL, Site Mathemitec : Termiale S Restittio Orgaisée de Coaissace (ROC d aalyse) Sjets de Bac

3 Efi, por tot, f ( a ) k f ( b ) par costrctio, et d après le théorème des gedarmes, k = lim f ( a ) = lim f ( b ) = f ( c) + + Théorème des valers itermédiaires (bis) : Soit f e foctio cotie, strictemet mootoe sr itervalle I, a et b de réels de I Por tot réel k compris etre f(a) et f(b), il eiste iqe réel c compris etre a et b tel qe f(c) = k Démo : L eistece de c a été démotrée ci-desss Démotros maiteat so icité por les foctios strictemet mootoes Spposos qe f est strictemet croissate par eemple Soit c atre atécédet de k Si c < c, par mootoie de f, f(c) < f(c ), cad k < k! Absrde! Il est clair qe si c > c, la même absrdité apparaît O a doc c = c, d où l icité ROC sr la dérivatio Défiitio : Soit f e foctio défiie sr I, et a réel de I (qi e soit pas e bore de I) f ( ) f ( a) O dit qe la foctio f est dérivable e a si lim eiste et est fiie a a f ( ) f ( a) O otera alors f '( a) = lim, ombre dérivé de la foctio e a a a Théorème : Soiet et v de foctios telle qe la composée soit défiie sr I Si et v sot dérivables alors v v ' = v ' ' v v '( ) = v '( ) ' v( ) est dérivable et o a ( ) ( ) cad ( ) ( ) Pricipe de la démo : Soiet et v de foctios dérivables O a ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) v( ) v( a) v v a v v a v( ) v( a) = = a a v( ) v( a) a Posos X = v() et A = v(a) : alors rapports qad ted vers a ( ) ( ) v( ) v( a) X A v( ) v( a) = Regardos la limite de ces a X A a Comme v est dérivable, elle est cotie et doc lim v( ) = v( a) cad lim X = A a ( ) ( ) ( ) ( ) X A X A Par coséqet, lim = lim = '( A) pisqe est dérivable a X A X A X A v( ) v( a) Comme v est dérivable, lim = v '( a) a a v( ) v( a) a Aisi, par prodit, lim = v '( a) '( A) = v '( a) '( v( a) ) a a 3 D PINEL, Site Mathemitec : Termiale S Restittio Orgaisée de Coaissace (ROC d aalyse) Sjets de Bac

4 ROC sr l itégratio et les primitives L objectif est ici d établir l eistece d e primitive por les foctios coties, croissates et positives, et le lie avec la otio d aire sos la corbe Le résltat sera esite admis por les foctios coties Défiitio : Soit f e foctio défiie sr itervalle I O dit qe F est e primitive de f sr I si F est dérivable et si por tot de I, F () = f() Théorème : Soit f e foctio cotie, croissate et positive sr [a ;b] Alors F admet e primitive sr cet itervalle Démo : Soit D le domaie défii par l esemble des poits M( ; y) tels qe : a b y f() Soit das [a ;b], F( ) l aire d domaie défii par a y f() + h Por tot h > tel qe +h soit das I, F( +h) F( ) est l aire d domaie, y f ( ) hachrée e ble sr le graphiqe O pet alors ecadrer cette aire par l aire d petit rectagle de coté h / f ( ) et par l aire d grad rectagle de coté h / f ( + h) O obtiet doc h f ( ) F( + h) F( ) h f ( + h), cad F( + h) F( ) f ( ) f ( + h) h F( + h) F( ) Reovelos cet ecadremet por h <, il viet f ( + h) f ( ) h La foctio f état cotie, o a lim h f( +h) = f( ) : par coséqet, d après le théorème des gedarmes, F( + h) F( ) = Par défiitio, la foctio F est doc dérivable e et o a F '( ) = f ( ) h lim f ( ) h La foctio f admet doc e primitive, F y y=f() f(o+h) f(o) h a +h b 4 D PINEL, Site Mathemitec : Termiale S Restittio Orgaisée de Coaissace (ROC d aalyse) Sjets de Bac

5 Théorème (admis) : O admet qe le résltat précédet se gééralise a foctios coties, cad qe si f est défiie et cotie sr itervalle I alors f admet e primitive sr I Théorème : Soit f e foctio cotie sr itervalle I et a poit de I Alors il eiste e iqe primitive F de f sr I telle qe F(a) = : cette primitive sera otée F( ) = f ( t) dt a Démo : Eistece : D après le théorème précédet, l eistece d e primitive de f sr I est établie Soit doc G e primitive de f sr I Alors, la foctio F() = G() G(a) est bie e primitive de f qi s ale e a Uicité : Soiet F et G de primitives de f sr I telles qe F(a) = G(a) = O a F () = G () = f() doc sr I, (F-G) = doc la foctio F G est costate sr I : il eiste doc réel k tel qe F = G + k Comme F(a) = G(a), o trove k = et doc F = G F est bie iqe ROC sr la costrctio de l epoetielle Théorème : Il eiste e iqe foctio f dérivable sr telle qe f = f et f() = Résltat Prélimiaire : Si f est e foctio dérivable sr telle qe f =k f et f() = alors f e s ale pas sr Démo : Soit g() = f()f(-), dérivable sr O a g () = f ()f(-) f()f (-) = kf()f(-) f()( kf(-) ) = : g est doc costate et comme g() =, por tot o a g() = Comme g() = f()f(-), g e pet doc pas s aler Uicité f Soiet f et g de foctios soltio de otre éqatio y = y avec f() = g() = : posos alors h = (g e g s ale pas, résltat prélimiaire), foctio dérivable sr f ' g g ' f fg gf O a h ' = = = pisqe f = f et g = g : la foctio h est doc costate sr, et comme g g f ( ) h() =, por tot, = d où f = g L icité est démotrée g( ) Eistece L eistece est e gééral (pls o mois démotrée) à l aide de la méthode d Eler et des approimatios affies Nos allos ici démotrer l eistece de cette foctio d e maière «pls propre», à l aide d logarithme épérie La foctio / est cotie sr ] ; + [, elle admet doc e iqe primitive qi s ale e sr cet itervalle (théorème précédet) : os otos l() cette foctio, et doc l() = ' Par dérivatio des foctios composées o a : ( l f )' = f f 5 D PINEL, Site Mathemitec : Termiale S Restittio Orgaisée de Coaissace (ROC d aalyse) Sjets de Bac

6 Comme f e s ale pas (résltat prélimiaire), l éqatio f = f deviet alors f '( ) = l f ( ) = + K par itégratio De pls, comme f() =, il viet l f ( ) = + K K = Aisi, l f ( ) = Remarqos maiteat qe la foctio l est bijective (à l aide d TVI) et a doc e foctio réciproqe Nos l appelos epoetielle, otée ep() : aisi f ( ) = ep( ) f ( ) = ± ep( ) Comme f() =, o e dédit qe f ( ) = ep( ), et par costrctio ep() est soltio de f = f ROC sr les propriétés de l epoetielle Défiitio : D après le paragraphe précédet, il eiste e iqe foctio soltio de f = f avec f() = Cette foctio est appelée foctio epoetielle, otée ep() Propriété : L epoetielle e s ale pas sr et o a ep(-) = ep( ) Démo : elle a été faite a paragraphe précédet (vos devez savoir la refaire) Avec g( ) = f ( ) f ( ), os avos prové qe g() = d où le secod résltat Propriété : L epoetielle est strictemet positive sr Démo : Spposos le cotraire cad q il eiste réel a tel qe ep(a) : o a forcémet ep(a) < pisqe ep e s ale pas Mais la foctio ep est cotie sr (car dérivable) et o a ep() = >, ep(a) < doc d après le TVI, admet atécédet etre et a : absrde car ep est tojors o l Propriété : L epoetielle est strictemet croissate sr Démo : évidet pisqe ep () = ep() > Propriété : Por tot réel a et b, ep(a+b) = ep(a)ep(b) Démo : posos g( ) = f ( + a) f ( ) : g est dérivable et + a + a g'( ) = f '( + a) f ( ) + f ( + a)( f '( )) = e e e e = g est doc costate et comme g() = ep(a), por tot o a g( ) = g( a) ep( + a) ep( ) = ep( a) ep( + a) = ep( ) ep( a) pisqe ep(-) = ep( ) Cette derière propriété est à la base de la otatio pissace ep( ) = e, elle caractérise même la foctio epoetielle Les propriétés de la foctio epoetielle se dédiset por la pls grade partie de ces deriers résltats, e tilisat le fait qe ces de foctios sot des bijectios réciproqes l e de l atre Allez voir votre cors! 6 D PINEL, Site Mathemitec : Termiale S Restittio Orgaisée de Coaissace (ROC d aalyse) Sjets de Bac

7 ROC sr les croissaces comparées Tot part de ce résltat! Théorème : l lim = + Démo : Il s agit de comparer l() et ; lorsq o trace l, o voit qe sa corbe ressemble pas mal à celle de l l d où l idée de regarder pltôt lim Etdios la foctio f ( ) = : + l l f '( ) = =, doc f a maimm e = e, qi est f ( e ) = e Par aillers si o pred >, il est clair qe f est positive O pet doc écrire f ( ) d où e divisat e l l tot par qi est positif, e e D après le théorème des gedarmes, l lim = + Propriété : l lim =, () + lim l =, + Démo : Utilisos le théorème précédet : () E mltipliat par qi ted égalemet vers o a l lim = + () E faisat le chagemet de variable X =, X ted vers + et lim X l X = lim l = X + + Propriété : () lim + e = + lim e = lim e = Démo : X () E faisat le chagemet de variable = e X = l o a : l l X e lim = = lim = lim lim = + ; + X + + e + X X X () e posat Y = X, Y X e Y lim = + lim = lim Ye = lim e = Y Y Ye Y Y Y X e e e e e (3) lim = lim lim lim lim = + = = = X + + X ; de la même maière qe précédemmet o a lim e = E coclsio : à l ifii (+ o ) l epoetielle l emporte sr importe qel polyôme, leqel l emporte tojors sr l e + 7 D PINEL, Site Mathemitec : Termiale S Restittio Orgaisée de Coaissace (ROC d aalyse) Sjets de Bac

8 ROC sr l itégratio par parties (IPP) Théorème : Soit et v de foctios dérivables sr [a ; b] admettat des dérivées et v coties, alors b '( t ) v ( t ) dt b b = [ ( t ) v ( t ) ] ( ) '( ) a t v t dt a a Démo Il sffit de dériver v : [ ( t) v( t) ]' = '( t) v( t) + ( t) v'( t) : totes les foctios cosidérées sot coties o pet itégrer cette relatio etre a et b, ce qi doe le résltat ROC sr les éqatios différetielles Théorème : Soit a réel Les soltios de l éqatio différetielle y = ay sot les foctios de la forme a f ( ) = Ke, K Démo Ue démostratio possible est la sivate (rappelos qe si y = ay, o a déjà v qe y e s alait pas) O a y = ay soit y' a+ K K a a = a l y = a + K y = e = e e y = ± Ce, C réel positif o l y Théorème : Soiet a et b de réels (doc costats!) Soit (E) l éqatio différetielle y = ay + b Il eiste e iqe foctio f soltio de (E) et telle qe f ( ) = y Démo Cherchos e soltio particlière de (E) qi soit costate Posos f() = c f est soltio de (E) si = ac + b doc la foctio ( ) b f = est e soltio particlière de (E) a Aisi, f est soltio de (E) f ' af b f ' af ( f f ) ' a ( f f ) = = = doc ssi la foctio f f est soltio de l éqatio y = ay a D après le théorème précédet, o e dédit q il eiste réel K tel qe f ( ) f ( ) = Ke et doc, les a soltios de (E) sot les foctios f ( ) = Ke + f ( ), K réel A l aide de la coditio iitiale f ( ) = y, o défiit alors K de maière iqe! "# $% #& '&() * % +,,'- - % #,, % 8 D PINEL, Site Mathemitec : Termiale S Restittio Orgaisée de Coaissace (ROC d aalyse) Sjets de Bac