Suites et séries de fonctions.

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1 Suites et séries de foctios Chp 8 : cours complet 1 Suites de foctios : covergece simple et uiforme, cotiuité Défiitio 11 : Défiitio 12 : Défiitio 13 : Défiitio 14 : Théorème 11 : Théorème 12 : Théorème 13 : Théorème 14 : suite de foctios covergece simple d ue suite de foctios sur u itervlle limite simple d ue suite de foctios sur u itervlle covergece uiforme d ue suite de foctios sur u itervlle l covergece uiforme etrîe l covergece simple cotiuité d ue limite simple et covergece uiforme cotiuité d ue limite simple et covergece uiforme sur tout segmet étude d ue limite simple u ores d u itervlle ouvert 2 Séries de foctios : covergece simple, uiforme et ormle, cotiuité Défiitio 21 : Défiitio 22 : Défiitio 23 : Défiitio 24 : Théorème 21 : Théorème 22 : Théorème 23 : Théorème 24 : série de foctios covergece simple et limite simple d ue série de foctios sur u itervlle covergece uiforme d ue série de foctios sur u itervlle covergece ormle d ue série de foctios sur u itervlle lies etre les différetes covergeces d ue série de foctios cotiuité de l somme et covergece uiforme cotiuité de l somme et covergece uiforme sur tout segmet étude d ue somme de série de foctios u ores d u itervlle ouvert 3 Lies vec l itégrtio ou l dérivtio des foctios Théorème 31 : Théorème 32 : Théorème 33 : Théorème 34 : Théorème 35 : Théorème 36 : covergece uiforme et itégrles sur u segmet, cs des suites covergece uiforme (ou ormle) et itégrles sur u segmet, cs des séries dérivilité de l limite d ue suite de foctios etesio u suites de foctios de clsse C k dérivilité de l somme d ue série de foctios etesio u séries de foctios de clsse C k Chpitre 8 : Suites et séries de foctios Cours complet - 1 -

2 Suites et séries de foctios Chp 8 : cours complet Suites de foctios : covergece simple et uiforme, cotiuité Défiitio 11 : suite de foctios Soit I u itervlle de O ppelle suite de foctios ue pplictio u de (ou d ue prtie de de type {, + 1, }) ds l esemle F(I,K) des foctios de I ds K O ote lors l suite (u ) (ou u ) ) ou plus simplemet (u ) ( Défiitio 12 : covergece simple d ue suite de foctios sur u itervlle Soit (u ) ue suite de foctios défiies d u itervlle I de ds K O dit que (u ) coverge simplemet sur I ou qu il y covergece simple de l suite (u ) sur I si et seulemet si : t I, (u (t)) coverge ds K Défiitio 13 : limite simple d ue suite de foctios sur u itervlle Soit (u ) ue suite de foctios défiies d u itervlle I de ds K, qui coverge simplemet sur I O ote : t I, u(t) = lim u L foctio u défiie isi de I ds K est ppelée limite simple de l suite (u ) sur I Défiitio 14 : covergece uiforme d ue suite de foctios sur u itervlle Soit (u ) ue suite de foctios défiies d u itervlle I de ds K O dit que (u ) coverge uiformémet sur I ou qu il y covergece uiforme de l suite (u ) sur I si et seulemet si il eiste ue foctio u, défiie de I ds K, telle que : pour tout etier, l foctio u u est orée sur I et y dmet ue ore supérieure, lim sup ( ) ( ) u t u t = O dit ussi que u est l limite uiforme de l suite (u ) sur I Théorème 11 : l covergece uiforme etrîe l covergece simple Soit (u ) ue suite de foctios défiies d u itervlle I de ds K Si (u ) coverge uiformémet sur I (vers ue foctio u), lors (u ) coverge simplemet sur I vers u, et u est doc l limite simple de l suite (u ) sur I Démostrtio : Soit : I Alors :, u () u() sup t) u Le théorème des gedrmes motre lors que ( u () u() ) coverge vers et doc que (u ()) coverge vers u() Théorème 12 : cotiuité d ue limite simple et covergece uiforme Soit (u ) ue suite de foctios défiies d u itervlle I de ds K Si, pour : I, o : pour tout etier, l foctio u est cotiue e, l suite (u ) coverge uiformémet sur I vers u, lors u est cotiue e Plus géérlemet, si : pour tout etier, l foctio u est cotiue sur I, l suite (u ) coverge uiformémet sur I vers u, lors u est cotiue sur I Démostrtio : Commeços pr l cotiuité e, et pour cel, soit : ε > Chpitre 8 : Suites et séries de foctios Cours complet - 2 -

3 L covergece uiforme de (u ) sur I vers u motre que : N, N, sup u t) ε 3 Ds ce cs, u N est cotiue e, et : >, I, ( ) ( u N () u N () 3 ε ) Mis lors : I, ( ) ( u() u() u() u N () + u N () u N () + u N () u() ε L foctio u est doc ie cotiue e Ett doé que l cotiuité de u (ou de u, pour tout ) sur I correspod à l cotiuité de u (ou de u ) e tout poit de I, il est lors clir que les hypothèses de l deuième prtie, vec ce que l o prouvé juste u-dessus etrîe l cotiuité de u e tout poit de I doc sur I Théorème 13 : cotiuité d ue limite simple et covergece uiforme sur tout segmet Soit (u ) ue suite de foctios défiies d u itervlle I de ds K Si les hypothèses suivtes sot vérifiées : pour tout etier, l foctio u est cotiue sur I, l suite (u ) coverge uiformémet sur tout segmet : [,β] I, vers u, défiie sur I, lors u est cotiue sur I Démostrtio : Soit : I Si est ue etrémité de I, l cotiuité de u ou des u e se rmèe à l cotiuité à droite ou à guche e ce poit et l démostrtio qui suit s dpte Si est itérieur à I (o situé u etrémités), lors o peut trouver [,β] tel que : ],β[ [,β] I L covergece uiforme de (u ) sur [,β] et l cotiuité des u e, pour tout etier, etrîe lors l cotiuité de u e (à droite et à guche puisque est itérieur u segme Filemet, u est ie cotiue e tout poit de I, doc sur I Théorème 14 : étude d ue limite simple u ores d u itervlle ouvert, «doule limite» Soit I u itervlle de, ouvert e u mois ue de ses etrémités, otée Soit (u ) ue suite de foctios défiies de I ds K, telle que : l suite (u ) coverge uiformémet sur I vers u, pour tout etier, l foctio u dmet ue limite L fiie e, l suite (L ) dmet ue limite L fiie ou o, lors l foctio u dmet L comme limite e Démostrtio (hors progrmme) : Cs où est fii et où L est u élémet de K Pour : ε >, o peut successivemet écrire : ε 1, 1, sup u t), 3 2, 2, L L 3 ε, et vec : N = m( 1, 2 ), >, I, ( ) ( u N () L N 3 ε ), doc : I, ( ) ( u() L u() u N () + u N () L N + L N L ε), et u ted ie vers L e Cs où est ifii (pr eemple : = ), et L est u élémet de K Pour : ε >, o peut de même écrire : ε 1, 1, sup u t), 3 2, 2, L L 3 ε, et vec : N = m( 1, 2 ), A, I, ( A) ( u N () L N 3 ε ), doc : I, ( A) ( u() L u() u N () + u N () L N + L N L ε) Les utres possiilités ( fii ou ±, L fii ou ± ds le cs réel), se tritet de fço similire Chpitre 8 : Suites et séries de foctios Cours complet - 3 -

4 Séries de foctios : coverge simple, uiforme et ormle, cotiuité Défiitio 21 : série de foctios Soit (u ) ue suite de foctios défiies d u itervlle I de ds K O ppelle série de foctios de terme géérl u l suite u des foctios «sommes prtielles» de l série défiies pr :, I, S () = u k k= Défiitio 22 : covergece simple et limite simple d ue série de foctios sur u itervlle Soit u ue série de foctios défiies d u itervlle I de ds K O dit que l série coverge simplemet sur I ou qu il y covergece simple de l série sur I si et seulemet si l suite de foctios (S ) coverge simplemet sur I, soit si : t I, u ( t ) coverge L foctio S défiie sur I pr : t I, S(t) = u = somme de l série de foctios et est otée = u, est lors ppelée limite simple de l série ou Défiitio 23 : covergece uiforme d ue série de foctios sur u itervlle Soit u ue série de foctios défiies d u itervlle I de ds K O dit que l série coverge uiformémet sur I ou qu il y covergece uiforme de l série sur I si et seulemet si l suite (S ) coverge uiformémet sur I (vers l somme de l série) Défiitio 24 : covergece ormle d ue série de foctios sur u itervlle Soit u ue série de foctios défiies d u itervlle I de ds K O dit que l série coverge ormlemet sur I ou qu il y covergece ormle de l série sur I si et seulemet si : pour tout etier, l foctio u est orée sur I et y dmet doc ue ore supérieure, l série umérique sup coverge I u Théorème 21 : lies etre les différetes covergeces d ue série de foctios Soit u ue série de foctios défiies d u itervlle I de ds K Pour l série u, les implictios suivtes sot lors vérifiées : (covergece ormle sur I) ( t I, covergece solue de u ( t ) ) (covergece simple Chpitre 8 : Suites et séries de foctios Cours complet sur I) (covergece ormle sur I) (covergece uiforme sur I) (covergece simple sur I) Démostrtio : Du fit des études fites précédemmet, o sit déjà que l covergece uiforme sur I etrîe l covergece simple sur I De même, l covergece solue pour tout : t I, de u ( t ), etrîe l covergece de u pour tout : t I, ce qui correspod à l covergece simple de l série sur I Motros que l covergece ormle etrîe l solue covergece pour tout élémet de I Pour cel, soit : I Alors :, u ( ) sup u, et pr compriso de séries à termes réels positifs, l série I ( t )

5 u () est solumet covergete doc covergete Motros mitet que l covergece ormle etrîe l covergece uiforme de l série O viet de voir que, pour tout élémet de I, l série u ( ) est covergete Chpitre 8 : Suites et séries de foctios Cours complet Autremet dit l série de foctios coverge simplemet sur I De plus :, p 1, t I, + p k = p k = p u u sup u, k= + 1 I et e emit l limite lorsque p ted vers (toutes les sommes prtielles coverget), o otiet :, t I, S S sup u, où S désige l ième somme prtielle de l série de k = + 1 I foctios, et S s somme L foctio S S est lors, pour tout etier, mjorée sur I et s ore supérieure sur I vérifie :, S S sup ( ) ( ) sup u = R I k = + 1 I Puisqu efi, l suite mjorte ted vers qud ted vers (puisque c est le reste d ordre d ue série umérique covergete), o e déduit que : lim sup ( ) ( ) S S = I Théorème 22 : cotiuité de l somme et covergece uiforme Soit u ue série de foctios défiies d u itervlle I de ds K Si, pour : I, o : pour tout etier, l foctio u est cotiue e, l série u coverge uiformémet ou ormlemet sur I, lors l somme = u de l série de foctios est cotiue e E prticulier cel permet d écrire : lim u = ( limu ) = Plus géérlemet, si : pour tout etier, l foctio u est cotiue sur I, l série lors l somme = = u coverge uiformémet ou ormlemet sur I, u de l série de foctios est cotiue sur I Démostrtio : Puisque, pour tout etier, l foctio S est cotiue e (comme somme de foctios cotiues e ) et (S ) coverge uiformémet sur I vers S, S est églemet cotiue e Le même rgumet est utilisé pour motrer que si toutes les foctios u sot cotiues sur I, l somme est églemet cotiue sur I O e déduit lors que : I, S() = = lim S lim u, d ue prt, et : = ( ) = u ( ) = ( limu ) = S, puisque les foctios u sot toutes cotiues e = Théorème 23 : cotiuité de l somme et covergece uiforme sur tout segmet Soit u ue série de foctios défiies d u itervlle I de ds K O suppose que :

6 pour tout etier, l foctio u est cotiue sur I, l série u coverge uiformémet ou ormlemet sur tout segmet : [,β] I Alors l somme = u de l série de foctios est cotiue sur I Démostrtio : L démostrtio utilise là ecore que toutes les foctios S sot cotiues sur I, et le théorème démotré ds le cdre des suites de foctios (vec des hypothèses idetiques) doe le résultt voulu Théorème 24 : étude d ue somme de série de foctios u ores d u itervlle ouvert Soit I u itervlle de, ouvert e u mois ue de ses etrémités, otée Soit u ue série de foctios défiies d u itervlle I de ds K, telle que : l série u coverge uiformémet ou ormlemet sur I, pour tout etier, l foctio u dmet ue limite L fiie e, l série L coverge Alors l somme = u de l série de foctios dmet = écrire : lim = ( limu ) = u = L comme limite e, utremet dit, o peut Démostrtio (hors progrmme) : Là ecore, il suffit d dpter l démostrtio fite ds le cdre des suites, e ott pr eemple : u k k=, S = L k k=, β = O costte lors que : l suite (S ) coverge lors uiformémet sur I vers S, somme de l série de foctios, pour tout etier, l foctio S dmet pour limite β e, l suite (β ) coverge vers L, somme de l série umérique Ds ce cs, l limite uiforme S de l suite de foctios (S ) dmet pour limite L e Lies vec l itégrtio ou l dérivtio des foctios Théorème 31 : covergece uiforme et itégrles sur u segmet, cs des suites Soit (u ) ue suite de foctios défiies d u segmet [,] de ds K, cotiues sur [,] Si l suite (u ) coverge uiformémet sur [,] vers u, lors : lim u = = ( dt lim ( u ) dt u( dt Démostrtio : Il suffit d écrire :, u ( dt u( dt u dt sup u u dt = ( )sup u Chpitre 8 : Suites et séries de foctios Cours complet [, ] Si o fit tedre vers, le théorème des gedrmes motre lors qu o ie : ( dt = lim u u( dt [, ] u Théorème 32 : covergece uiforme (ou ormle) et itégrles sur u segmet, cs des séries Soit u ue série de foctios défiies d u segmet [,] de ds K, cotiues sur [,] Si l série u coverge uiformémet ou ormlemet sur [,], lors :

7 = u = dt u ( dt = Démostrtio : Lé ecore, o s ppuie sur l démostrtio précédete e remrqut que l suite (S ) des sommes prtielles coverge uiformémet sur [,], et doc, comme :, = S ( dt = u ( dt, pr liérité de l itégrle sur [,], o e déduit ie que : u dt = k = k lim ( S ) dt = lim S ( dt = lim k = Chpitre 8 : Suites et séries de foctios Cours complet u k ( dt = = u ( ) t dt Théorème 33 : crctère C 1 de l limite d ue suite de foctios Soit (u ) ue suite de foctios défiies d u itervlle I de ds K, de clsse C 1 sur I O suppose que : l suite (u ) coverge simplemet sur I vers ue foctio u, de I ds K, l suite (u ) coverge uiformémet sur I (ou sur tout segmet [,β] iclus ds I) vers v Alors u est de clsse C 1 sur I, et : u = v De plus, l covergece de l suite (u ) est uiforme sur tout segmet [,β] iclus ds I Démostrtio : Soit [,β] u segmet iclus ds I Posos lors :, [,β], v () = u '( dt O costte lors que :, [,β], v v( dt = et doc, pour tout etier, l foctio :, sup v ( u v( t)) dt v( dt β sup u ' v [, β ] [, β ] u '( ) v( dt sup u ' v, [, β ] v v( dt, est orée sur [,β] et vérifie : Il y lors covergece uiforme (doc covergece simple) de l suite de foctios (v ) sur [,β], étt doé que (u ) coverge uiformémet sur [,β] vers v Mis comme de plus :, [,β], v () = u () u (), et que cette suite de foctios coverge simplemet sur I (doc sur [,β]) vers l foctio défiie sur [,β] pr : u() u(), o coclut que : [,β], u() = u() + v( dt L foctio v étt de plus cotiue sur [,β], comme limite uiforme de suite de foctios cotiues sur [,β], u est doc de clsse C 1 (comme primitive de v sur [,β]) sur tout [,β] iclus ds I, doc sur I, et : [,β], u () = v() Efi :, [,β], u ) u ( ) ) + ( u ' v( t)) dt u ( ) ) + β sup u ' v, et o e déduit l covergece uiforme de (u ) sur [,β] vers u Théorème 34 : etesio u suites de foctios de clsse C k Soit (u ) ue suite de foctios défiies d u itervlle I de ds K, de clsse C k sur I O suppose que : pour : i k 1, l suite (u (i) ) coverge simplemet sur I vers ue foctio u i, de I ds K, l suite (u (k) ) coverge uiformémet sur I (ou sur tout segmet [,β] iclus ds I) vers u k Alors u est de clsse C k sur I, et : i k, u (i) = u i De plus, l covergece de l suite (u ) est uiforme sur tout segmet [,β] iclus ds I Démostrtio : Puisque l suite (u (k-1) ) vérifie les hypothèses du théorème 33, o e déduit que u k-1 est de clsse C 1, o : u k-1 = u k-1, et l covergece de l suite (u (k-1) ) est uiforme sur tout segmet [,β] iclus ds I Il suffit esuite de risoer pr récurrece «remotte» pour e déduire que pour tout : i k 1, [, β ]

8 l suite (u (i) ) coverge uiformémet sur tout segmet [,β] iclus ds I vers u i, que u i est de clsse C 1 sur I, et que : u i = u i Filemet, u est de clsse C k sur I, o : i k, u (i) = u i, et l covergece de toutes les suites dérivées est uiforme sur tout segmet iclus ds I Théorème 35 : crctère C 1 de l somme d ue série de foctios Soit u ue série de foctios défiies d u itervlle I de ds K, de clsse C 1 sur I O suppose que : l série u coverge simplemet sur I, l série u ' coverge uiformémet ou ormlemet sur I (ou sur tout segmet : [,β] I) Alors l somme = u de l série de foctios est de clsse C 1 sur I, et : ( = u )' = u ' Démostrtio : Là ecore, l démostrtio découle de celle du théorème 33 e remrqut simplemet que (S ) coverge simplemet sur I, et que (S ) coverge uiformémet sur tout segmet [,β] iclus ds I Théorème 36 : etesio u séries de foctios de clsse C k Soit u ue série de foctios défiies d u itervlle I de ds K, de clsse C k sur I O suppose que : ( i) pour : i k 1, l série u coverge simplemet sur I, ( k ) l série u coverge uiformémet ou ormlemet sur I (ou sur tout segmet : [,β] I) Alors l somme u de l série de foctios est de clsse C k ( i) ( k ) sur I, et : i k, ( u ) = u = = = De plus, l covergece de l suite (u ) est uiforme sur tout segmet [,β] iclus ds I Démostrtio : Là ecore, l démostrtio découle de celle du théorème 34 e remrqut simplemet que pour tout : i k 1, l suite (S (i) ) coverge simplemet sur I, et que (S (k) ) coverge uiformémet sur tout segmet [,β] iclus ds I = Chpitre 8 : Suites et séries de foctios Cours complet - 8 -