CHAÎNE D ACTION. écart Réguler. mesure Mesurer CHAÎNE D INFORMATION

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1 ANALYSE DES SYSTÈMES ASSERVIS 7. Caracérisaion des sysèmes asservis 7.. Srucure des sysèmes asservis Un sysème asservi linéaire peu se représener par le schéma 7.. On y rerouve, une chaîne d acion qui agi sur le sysème pour obenir la sorie souhaiée en foncion de la consigne, une chaîne d informaion qui prélève une image de la sorie, cee image es comparée à la consigne à aeindre. CHAÎNE D ACTION consigne Comparer écar Réguler u Agir sorie mesure Mesurer CHAÎNE D INFORMATION FIGURE 7. Srucure d un sysème asservi a Caracérisiques aendues d un sysème asservi Précision La précision éan l écar enre la consigne e la sorie du sysème, il semble éviden que l on souhaie que ce écar soi nul. Dans le cas d un asservissemen de ype régulaion, on cherchera à avoir une erreur indicielle nulle pour une enrée de ype échelon e si le sysème doi suivre une consigne évoluive suivi de rajecoire, une erreur de raînage nulle. Il faudra aussi vérifier que le sysème n es pas sensible aux perurbaions exérieures l ouverure de la pore d un four doi êre corrigée le plus rapidemen possible. Sabilié La sabilié es la qualié la plus imporane que doive posséder le sysème asservi. Un sysème qui aein sa posiion finale après de nombreuses oscillaions es sable mais ne peu êre considéré comme

2 2 7 Analyse des sysèmes asservis un sysème correc. La sabilié n es donc pas seulemen une qualié binaire sable /non sable. La noion de dépassemen, associée aux marges de sabilié, perme de caracériser cee sabilié relaive. Rapidié Comme pour la précision, on souhaie que le sysème soi le plus rapide possible. Souven après avoir réglé la sabilié du sysème, avoir obenu la précision souhaiée, il ne rese plus de possibilié de réglage de la rapidié sans modifier les paramères précédens. 7.2 Sabilié 7.2. Posiion du problème e définiions Une manière inuiive de préciser la noion de sabilié es d imaginer un sysème que l on écare de sa posiion iniiale par une impulsion e de regarder son évoluion, s il rerouve sa posiion iniiale, il es sable, s il s en écare, il es insable. Les peis schémas 7.2 précisen quelques comporemens possibles d un sysème. Un sysème à sabilié indifférene va s écarer de sa posiion iniiale pour rouver une aure posiion sable différene de la première, le sysème s écare mais ne diverge pas. a sable b insable c indifféren d condiionnel FIGURE 7.2 Représenaion de la sabilié Un sysème réel insable oscille jusqu à la desrucion, ces oscillaions son dans le cas général limiées par les différenes sauraions limies des amplificaeurs opéraionnels, buées physiques,.... Ces limiaions physiques peuven laisser croire que la sorie du sysème es bornée. Plusieurs définiions de la sabilié son envisageables. a Définiion Un sysème es sable si à une enrée bornée correspond une sorie bornée. Remarque : cela revien à sollicier le sysème avec une enrée bornée ype échelon e à vérifier que la sorie ne diverge pas. b Définiion 2 Un sysème es sable si la réponse libre du sysème end vers zéro à l infini. Remarque : éudier la réponse libre d un sysème, revien à éudier le sysème lorsqu on l écare de sa posiion d équilibre e à analyser sa réponse. Un sysème sable a endance à revenir dans sa posiion d équilibre, un sysème qui ne revien pas dans sa posiion d équilibre mais ne s en écare pas es di juse insable. Remarque 2 : pour éudier la réponse libre, il suffi de sollicier le sysème par une impulsion de Dirac e de vérifier que celui ci revien en posiion iniiale. Ces deux définiions son équivalenes dans le cas de sysèmes linéaires mais son parfois mises en défau.

3 7.2 Sabilié 3 c Éude générale de la sabilié Modèle d éude Tou sysème linéaire sans reard peu se mere sous la forme du schéma bloc ci-dessous. Ep H p = N p p α D p Sp Avec : le gain > ; NpeDp deux polynômes el que : N = e D = ; Npdedegrém,Np = + a p + a 2 p 2 + +a m p m ; Dpdedegrén,Dp = + b p + b 2 p 2 + +b n p n ; α la classe du sysème. Pour un sysème physique, en veru du principe de causalié l effe ne peu précéder la cause, le degré du dénominaeur es supérieur au degré du numéraeur Éude de la sabilié Afin d éudier la sabilié du sysème, on se propose de déerminer l allure de la réponse emporelle du sysème écaré de sa posiion iniiale puis relâché. Abandonner un sysème avec une condiion iniiale non nulle revien pour l éude du comporemen à considérer que le sysème a éé soumis à l insan = à une impulsion e = A δavecδ l impulsion de Dirac, si celui-ci revien dans sa posiion iniiale, on considère alors que le sysème es sable. On rappelle que la ransformée de Laplace de l impulsion de Dirac es L δ = d où L e = A Nous avons Hp = Sp Ep d où Sp = Hp Ep finalemen Sp = A Hp. La réponse emporelle s se dédui de la ransformée inverse de Sp: s = L Sp = A L Hp. Éudier la réponse emporelle d un sysème linéaire soumis à une impulsions de Dirac revien donc à éudier la ransformée inverse de la foncion de ransfer du sysème : L Hp = h H { < H = avec H la foncion de Heaviside elle que H =. Il rese donc à déerminer la ransformée inverse de Hp, pour cela nous allons décomposer la foncion de ransfer en élémens simples e rechercher les racines du dénominaeur les pôles. H p = N p p α D p = + a p + a 2 p 2 + +a m p m p α + b p + b 2 p 2 + +b n p n Tou polynôme possède e / ou : des racines nulles ; des racines réelles, simples e / ou muliples ; des racines complexes, simple e / ou muliples.

4 4 7 Analyse des sysèmes asservis Le polynôme du dénominaeur peu donc se mere sous la forme d un produi de foncions du premier e du second ordre : Hp = p α + a p + a 2 p 2 + +a m p m αj p c j p 2 αl al + b 2 l p 2 + b 2 l p α : racines nulles d ordre α, αj p c j : racines réelles muliples d ordre αj, j l k αk avec : j p 2 αl al + b 2 : racines complexes muliples d ordre α l l, l p 2 + b 2 αk : racines imaginaires pures muliples d ordre α l k. k On suppose pour simplifier l éude qui sui que oues les racines son simples, le cas des racines muliples sera examiné plus loin. Si les racines son simples α = α j = α k = α l = alors e la décomposiion en fracions simples s écri : H p = p + a p + a 2 p 2 + +a m p m p 2 p c j al + b 2 l j l k p 2 + b 2 l H p = f C f p + j C j p c j + l A l p + B l 2 + p al + b 2 l k A k p + B k p 2 + b 2 k on reconnaî : C f f p : décomposiion en fracion simple des racines nulles, C j : décomposiion en fracion simple des racines réelles, j p c j A l p + B l décomposiion en fracion simple des racines complexes 2 : l p al + b 2 conjuguées, l A k p + B k décomposiion en fracion simple des racines imaginaires k p 2 + b 2 : pures. k La réponse emporelle es donc la somme des réponses emporelles. Le sysème sera insable si un des ermes ne end pas vers en l infini, il nous suffi donc d éudier chacune des ransformées inverses pour obenir les condiions de sabilié du sysème. Commençons par les racines réelles e complexes. Racines réelles C j : à parir du ableau des ransformées inverses en annexe page??ondédui j p c j C j p c j L C j e c j. Le sysème es sable si la réponse emporelle end vers lorsque end vers l infini. L allure de la réponse emporelle ne dépend donc que du signe de c j. c j >, alors lim e c j =+, la sorie diverge, le sysème es insable ; c j <, alors lim e c j =+, la sorie end vers, cee racine ne rend pas le sysème insable.

5 7.2 Sabilié 5 Racine complexes A l p + B l 2 : le ableau des ransformées inverses ne donne pas direcemen la ransformée de 2 l p al + b 2 l A l p + B l mais, il es possible de la déduire à parir des deux formes suivanes : p al + b 2 l b L b 2 + p + a 2 e a. sinb e p + a L b 2 + p + a 2 e a. cosb. La ransformée inverse es donc de la forme : A l p + B l L 2 i e a i sin b i + ϕ i p al + b 2 l Le sinus es oujours borné, la sabilié du sysème ne dépend donc que du signe de a i : a i >, comme précédemmen lim e a i =+, la sorie diverge, le sysème es insable a i <, dans ce cas, lim e a i =, la sorie end vers, cee racine ne rend pas le sysème insable. Remarque : nous n avons raié que le cas des racines simples, une racine muliple ne modifie pas la condiion de sabilié, la parie réelle doi êre négaive. Il ne rese plus qu à éudier le cas d une racine nulle, e le cas d une racine imaginaire pure mais nous allons ici prendre en compe le fai que la racine soi simple ou muliple. Racine nulle simple p, es racine du dénominaeur. La ransformée inverse es : L u. p La sorie end donc vers une consane non nulle. Le sysème ne revien pas à mais ne s écare pas indéfinimen, il rese borné. On di alors que le sysème es juse insable. Remarque : Si on prend la première définiion, c es à dire que l on soume le sysème à une enrée en échelon, la sorie diverge la sorie end vers une droie inégraion d une consane. Racine nulle double p 2, du ableau des ransformée, on dédui p 2 L. On consae que la sorie diverge lorsque croî. Le sysème es donc insable. A k Racine imaginaire pure simple p 2 + ω 2, on a alors p k =±j ω k qui es racine du dénominaeur. k Du ableau des ransformées on dédui : L p 2 + ω 2 sinω. ω La sorie es consammen sinusoïdale, elle ne end pas vers mais elle rese bornée. On di alors que le sysème es juse insable. A k Racine imaginaire pure double p 2 + ω 2 le ableau donne 2 k L Ł p 2 + ω 2 sinω ω cosω. 2 2 ω2 Le second erme end vers l infini, le sysème es donc insable.

6 6 7 Analyse des sysèmes asservis a Conclusion Si les paries réelles des racines complexes son oues négaives e si oues les racines réelles son négaives, alors la réponse ransioire du sysème es composée d exponenielles amories e décroissanes, la réponse end vers zéro pour endan vers l infini, le sysème revien à sa posiion d équilibre, le sysème es sable ; Si un des pôles réels es posiif, le sysème es insable. Le sysème es de ype divergen exponeniel ; Si un des pôles complexes es à parie réelle posiive, le sysème es insable. Le sysème es de ype oscillaoire divergen ; Siou±j ω es racine simple, le sysème es juse insable ; Si ou ±j ω es racine muliple, le sysème es insable Condiion de sabilié Énoncé condiion de sabilié Un sysème es sable si, e seulemen si, la foncion de ransfer en boucle fermée n a pas de pôle à parie réelle posiive ou nulle. Remarque : on appelle pôles de la foncion de ransfer les racines du dénominaeur Posiion des pôles La posiion des pôles dans le plan complexe de la foncion de ransfer en boucle fermée nous renseigne sur la sabilié de la foncion de ransfer fig 7.3. Il suffi donc d éudier les racines du dénominaeur de la foncion de ransfer en boucle fermée pour savoir si le sysème es sable ou insable. Mais si on sai résoudre des polynômes de degré, 2, 3 voire 4, on ne sai pas déerminer de manière sysémaique les racines d un polynôme de degré supérieur nous verrons plus loin qu il exise des ouils qui à défau de nous donner les racines nous indiquen le signe de celles-ci Crières de sabilié La connaissance des racines perme de déduire si le sysème es sable, mais il n es pas possible de déerminer analyiquemen les racines d un polynôme de degré élevé. Les crières ci-dessous nous permeen de déerminer le signe des racines sans avoir besoin de déerminer les racines. On disingue les crières algébriques e les crières graphiques. a Équaion caracérisique Pour une foncion de ransfer en boucle fermée s écrivan, BF p = N p on appelle équaion caracérisique : D p = a m p m + a m p m a p + a b n p n + b n p n + +b p + b, D p = b n p n + b n p n + +b p + b =.

7 7.2 Sabilié 7 STABLE INSTABLE Racine nulle simple I Racine nulle muliple Racines complexes à parie réelle négaive Racine réelle posiive R Racine réelle négaive Racines imaginaires simples Racines imaginaires doubles Racines complexes à parie réelle posiive FIGURE 7.3 Posiions des pôles e sabilié e réponse à une impulsion de Dirac b Condiion nécessaire Énoncé Condiion nécessaire de sabilié Pour que le sysème soi sable, il fau que ous les coefficiens de l équaion caracérisique soien du même signe que b n. c Sysèmes du er e du 2 nd ordre Pour les sysèmes du premier e du second ordre, la condiion nécessaire es une condiion suffisane. premier ordre : Soi H p =, pour que le sysème soi sable, il suffi que τ >. + τ p second ordre : z > : Soi H 2 p = + τ p + τ 2 p, pour que le sysème soi sable, il suffi que τ > eτ 2 >. z = : H 2 p =, il suffi que τ > + τ p 2 < z < : Hp = p r p r 2 avec r = a+i b e r 2 = a i b, le sysème es sable si a <. La foncion de ransfer s écri donc : Hp = a 2 + b 2 2 a p + b 2. Tous les coefficiens son posiifs p2

8 8 7 Analyse des sysèmes asservis d Crière graphique du revers Les crières graphiques permeen d éudier la sabilié d un sysème à parir de la représenaion graphique de la foncion de ransfer en boucle ouvere. Cee éude peu êre conduie à parir des diagrammes de Bode, ou de la représenaion dans le plan complexe de la foncion de ransfer. Soi Hp la foncion de ransfer en boucle fermée du sysème décri par le schéma bloc ci-dessous, avec BOp la foncion de ransfer en boucle ouvere. Ep + ɛp C d p Mp C r p Sp BFp = C d p + C d p C r p = C d p + BOp Nous savons que l éude de la sabilié se résume à la recherche du signe des racines du dénominaeur de la foncion de ransfer en boucle fermée. Dp = + BOp = cee condiion peu aussi écrire sous la forme BOp = Éudier BOp = revien à éudier le lieu le racé de la foncion de ransfer de la foncion BOp par rappor au poin, du plan complexe. Le poin, es appelé poin criique.laposiiondeceracépar rappor au poin criique nous renseigne sur la sabilié du sysème. L éude peu aussi bien êre réalisé dans le plan complexe que sur les diagrammes de de Bode. Énoncé Crière du revers dans le plan complexe Un sysème asservi linéaire es sable si, en parcouran dans le sens des pulsaions croissanes le lieu de ransfer dans le plan complexe de la FTBO on laisse le poin criique, sur la gauche figure 7.4. Il es insable dans le cas conraire. Remarque : ce crière di crière du revers dans le plan de Nyquis n es plus expliciemen au programme, je ne l uilise ici, que pour poser la problémaique graphique Im insable - Re juse insable sable - FIGURE 7.4 Crière du revers dans le plan complexe crière de dans le plan de Nyquis

9 7.2 Sabilié 9 Ce crière iniialemen défini dans le plan complexe peu êre ransposé dans le plan de Bode diagrammes de Bode. en considéran que le poin criique, du plan complexe devien dans le plan de Bode le poin de coordonnées db, 8. Ce poin es représené : sur le diagramme d ampliude par l axe des abscisses A db = db, sur le diagramme de phase par la droie d ordonnée φ = 8. Énoncé Crière du revers dans le plan de Bode Un sysème asservi es sable si, pour la pulsaion ω C définie par HJ ω C = soi db, le déphasage es supérieur à 8 figure insable 3 4 sable 5 6 juse insable FIGURE 7.5 Crière du revers à parir des diagrammes de Bode Remarque : L uilisaion du crière de revers dans le plan de Bode es à manipuler avec précauion, en effe, conrairemen à son applicaion dans le plan de Black e de Nyquis où l on a une vision globale du lieu de ransfer, sur les diagrammes de Bode, le racé es décomposé sur deux graphes e il es obligaoire de s inéresser aux deux pour évaluer la sabilié. Les limies du crière du revers Le crière du revers ne peu s appliquer avec ceriude que sur des foncions de ransfer régulières en boucle ouvere, c es à dire ne possédan pas de pôle ou de zéro à parir réelle posiive. Ainsi pour le sysème don la FTBO s écri : BOp = + 2 p, p + p + p 3 Le racé des diagrammes de Bode de la FTBO figure 7.6 semble indiquer que la FTBF es sable, mais le simple calcul des coefficiens de la FTBF monre que le sysème es insable coefficiens négaifs e posiifs, la condiion nécessaire n es pas remplie. BFp = BOp + BOp = p 35 p 2 28 p p 4 Le crière du revers es la version limiée aux foncions de ransfer régulières d un crière graphique plus comple, le crière de Nyquis.

10 7 Analyse des sysèmes asservis FIGURE 7.6 les limies du crière du revers Marges de sabilié Les crières ci-dessus son des crières de sabilié absolue, ils permeen de répondre à la quesion binaire : le sysème es-il sable ou insable? La réponse à cee quesion ne perme pas de régler e d opimiser le foncionnemen d un sysème. Il es nécessaire, pour cela, d idenifier un ou plusieurs paramères qui permeen de régler le sysème asservi afin d avoir le comporemen souhaié en erme d oscillaions de la réponse emporelle. a Influence de la posiion de la FTBO par rappor au poin criique On se propose d évaluer l influence de la disance enre le lieu de ransfer de la FTBO e le poin criique sur le comporemen emporel du sysème asservi. Soi le sysème décri par le schéma bloc ci-conre avec Gp = p + 2 p +,5 p 2. Ep + εp Gp Sp Les figures 7.7 page ci-conre représenen le diagramme de Black de BOp = Gp e la réponse emporelle de la sorie pour une enrée en échelon uniaire pour différenes valeurs du gain. courbe n := 3, le lieu de Black es proche du poin criique, la réponse emporelle es rès oscillane ; courbe n 2 := ; courbe n 3 : =,5, le lieu de Black es éloigné du poin criique, la réponse emporelle n es pas oscillane. Les réponses emporelles son caracérisiques d un sysème sable mais on consae que le comporemen emporel es d auan plus oscillan que le racé du lieu de Black es proche du poin criique 8,dB. Il es donc possible, à parir de la représenaion fréquenielle, de prévoir l allure de la réponse emporelle e d ajuser le sysème pour avoir un comporemen correc, il suffi pour cela de régler une «disance»minimale enre le poin criique e le lieu de la foncion de ransfer en boucle ouvere. Cee disance es appréciée par les deux marges de sabilié : la marge de gain M G e la marge de phase M P. Les valeurs usuelles de réglage des marges de gain e de phase son :

11 7.2 Sabilié s = 3 =.5.5 =, a réponse emporelle = 3 = =,5 FIGURE 7.7 Disance par rappor au poin criique e comporemen emporel Marge de Gain M G de db à 5dB ; Marge de Phase M P de 4 à de 5. Ces marges peuven êre évaluées e mesurées aussi bien sur les diagrammes de Bode, de Black que de Nyquis.

12 2 7 Analyse des sysèmes asservis b Marges de sabilié sur les diagrammes de Bode On noe, : ω 8, la pulsaion elle que arg BOj ω 8 = 8 ; ω db, la pulsaion elle que 2log BOj ωdb = db Marge de Gain La marge de gain es mesurée sur le diagramme d ampliude figure 7.8, enre la courbe de gain de la FTBO e l axe des abscisses pour la pulsaion ω 8. Le sens posiif es compé de la courbe vers l axe des abscisses. M G = 2 log BOj ω Marge de Phase La marge de phase es mesurée sur le diagramme de Phase enre l ordonnée 8 e la courbe de phase de la FTBO pour la pulsaion ω db. le sens posiif es compé de l ordonnée 8 à la courbe. M P = arg BOj ω db ω db ω M P 27 2 M G FIGURE 7.8 Marges de Sabilié sur les diagrammes de Bode 7.3 Précision 7.3. Posiion du problème La précision es une caracérisique prépondérane d un sysème asservi ou d une régulaion. La précision es évaluée aussi bien vis à vis de l enrée de consigne que vis à vis des perurbaions. Un sysème doi êre précis vis à vis de l enrée mais insensible aux perurbaions, elles ne doiven pas dégrader la réponse finale. On disingue : L erreur saique : c es l erreur en régime permanen enre la sorie e la loi d enrée. Pour déerminer cee erreur on soume le sysème à des enrées canoniques : Échelon, on parle alors d erreur indicielle figure 7.9a, Rampe, erreur de raînage ou erreur de poursuie figure 7.9b, Accéléraion, erreur en accéléraion.

13 7.3 Précision 3 L erreur dynamique : c es l écar insanané enre la sorie e l enrée lors de la phase ransioire suivan l applicaion de l enrée ou après une perurbaion hors du programme. s s ε ε i 2 a erreur indicielle 2 b erreur de raînage FIGURE 7.9 Erreur saique Données La précision es évaluée par l écarε mesuré pour un sysème à reour uniaire enre e e s. Dans le cas d un sysème à reour non uniaire il se mesure enre e e m, avec m la mesure de s. Déerminons dans les deux cas l erreur ε pour une perurbaion nulle. a Cas du reour uniaire εp = Ep Sp Ep + ɛp C d p Sp εp = Ep C d p εp εp = Ep + C d p avec ici : BOp = C d p b Cas du reour non uniaire Ep + ɛp C d p Mp C r p Sp εp = Ep Mp εp = Ep C d p C r p εp εp = Ep + C d p C r p avec ici : BOp = C d p C r p soi finalemen dans les deux cas : εp = + BOp Ep

14 4 7 Analyse des sysèmes asservis L erreur dépend de la FTBO e de la naure de l enrée. Pour la suie, nous ne raierons que le cas de sysème à reour uniaire, l éude éan idenique pour les sysèmes à reour non uniaire. Nous nous placerons dans le cas général pour lequel la FTBO peu êre mise sous la forme : BOp = Np p α Dp avec > : le gain, Np : un polynôme de degré n el que N =, Dp : un polynôme de degré m el que D =, α : la classe du sysème. Remarque : Pour un sysème physique le degré du dénominaeur m + α es supérieur au degré du numéraeur n Erreur en régime permanen - erreur saique a Définiion L écar en régime permanen es la limie quand end vers l infini de l écar enre ee s: ε s = lim e s = lim ε Un sysème sera précis si ce écar end vers. b Calculs préalables Le héorème de la valeur finale perme d écrire : lim ε = limp εp Remarque imporane : ce héorème ne peu-êre uilisé que si la sorie converge, c es à dire si le sysème es sable. Nous supposerons donc pour la suie que le sysème es sable. Ici on peu donc écrire pour l écar : εp = εp = + BOp Ep = + Np p α Dp p α Dp p α Dp + Np Ep Ep d où pour l erreur saique ε s = limp εp = lim p p α Dp p α Dp + Np Ep finalemen en se rappelan que : N = e D = p α+ ε s = lim p α + Ep En conclusion, l erreur saique dépend de la naure de l enrée Ep e de la classe α de la foncion de ransfer en boucle ouvere e du gain de la FTBO.

15 7.3 Précision 5 c Erreur indicielle - réponse à un échelon On nomme erreur indicielle ε i, l erreur saique relaive à une enrée en échelon e = E uavecula foncion de Heaviside. Le sysème éan sable par hypohèse on peu écrire p α+ ε i = lim p εp = lim p α + Ep avec e L Ep = E p p α+ ε i = lim p α + E = lim p p α p α + E On peu considérer deux cas en foncion de la classe du sysème. Sysème de classe α = : la FTBO ne compore pas d inégraion ε i = lim p p + E = + E L erreur es non nulle e dépend du gain de la FTBO, elle es d auan plus peie que le gain es imporan. Sysème de classe > α > : la FTBO compore au moins une inégraion dans la boucle ε i = lim p α p α + E = L erreur es donc nulle à l infini quelque soi le gain de la FTBO. Remarque : par abus de langage on appelle souven erreur saique, l erreur indicielle. d Erreur de raînage - réponse à une rampe L erreur de raînage aussi nommée erreur de poursuie ε, es l erreur mesurée enre une enrée de ype rampe e = A uelasorie. Comme précédemmen p α+ ε = lim p εp = lim p α + Ep avec e L Ep = A p 2 p α+ A p α ε = lim p α + p 2 = lim A p α + l erreur de raînage dépend comme l erreur indicielle du gain e de la classe du sysème. Nous pouvons disinguer rois cas. Sysème de classe α = : la FTBO ne compore pas d inégraion. ε = lim A p p + =+ L écar end vers +, la réponse emporelle de la sorie s écare de la consigne en rampe.

16 6 7 Analyse des sysèmes asservis Sysème de classe α = : la FTBO compore une inégraion ε = lim A p p + = A L erreur es consane, la sorie es parallèle à l enrée, décalée de ε. Sysème de classe > α > : la FTBO compore au moins deux inégraions. ε = lim A p α p α + = L erreur de raînage es nulle, la sorie rarape l enrée lorsque +. e Erreur en accéléraion - Réponse à une consigne parabolique On se propose mainenan de déerminer l erreur en accéléraion, ε a, correspondan à une enrée de ype parabolique e = A O 2 u. Comme dans les éudes précédenes avec e L Ep = 2 A p 3 En foncion de α on obien : p α+ A p α 2 ε a = lim p α + 2 p 3 = lim 2 A p α + Sysème de classe < 2 < α < 2 Sysème de classe 2 α = 2 Sysème de classe > 2 α > 2 ε a = lim 2 A ε a = lim 2 A ε a = lim 2 A p α 2 p α + p p 2 + p α 2 p α + =+ = 2 A = f Tableau récapiulaif Le ableau page suivane récapiule les différenes erreurs e l allure des réponses emporelles correspondanes. Il ne fau pas déduire rapidemen du ableau 7. qu il suffi de corriger le sysème en rajouan une inégraion pour que le sysème soi précis, en effe chaque inégraion ajoue aussi un déphasage de 9, le sysème risque donc de devenir insable. Ce ableau n a de sens que si le sysème es sable!

17 7.3 Précision 7 Classe Échelon Rampe Accéléraion α = ε i = E O + ε =+ ε a =+ α = ε i = ε = A O ε a =+ α = 2 ε i = ε = ε a = 2 A O α > 2 ε i = ε = ε a = TABLE 7. Tableau récapiulaif : influence de la classe sur l erreur saique Effe d une perurbaion sur la précision a Présenaion du problème On se propose d éudier l effe d une perurbaion sur la précision d un sysème e l influence de la forme de la foncion de ransfer sur l impac de cee perurbaion. À parir du modèle d éude décri par le schéma blocs e les foncions de ransfer suivans : F p = N p p α D p e F 2p = 2 N 2 p p α 2 D 2 p avec N = D =, N 2 = D 2 =, α, α 2, > e 2 >. Rp Ep + εp F p + F2 p Sp

18 8 7 Analyse des sysèmes asservis Déerminons l écar ɛ εp = Ep Sp = Ep F 2 p F p εp Rp εp = + F p F 2 p Ep F 2 p + F p F 2 p Rp L erreur due à la perurbaion s ajoue à celle relaive à l enrée résula général que l on rerouve par le héorème de superposiion appliqué aux sysèmes linéaires. Nous limierons nore éude au cas d une perurbaion consane, les aures ypes de perurbaions se raian de la même manière. b Perurbaion consane À parir du héorème de superposiion, on sai que la réponse obenue pour une sysème linéaire à deux enrées es la somme des sories de chaque enrée prise isolémen. Pour éudier l effe de la perurbaion seule, il suffi de poser e =. On en dédui l écar relaif à la perurbaion : F 2 p ε p p = + F p F 2 p Rp On choisi d éudier le comporemen pour une perurbaion consane r = R u soi dans le domaine de Laplace Rp = R p. L erreur relaive à la perurbaion s écri donc : en remplaçan F pef 2 p: ε p p = 2 N 2 p p α 2 D 2 p F 2 p ε p p = + F p F 2 p R p + N p p α D p 2 N 2 p p α 2 D 2 p 2 N 2 p p α D p ε p p = p α D p p α 2 D 2 p + N p 2 N 2 p R p Nous supposons comme dans l éude précédene que le sysème es sable, il es donc possible d uiliser le héorème de la valeur finale pour déerminer l écar saique dépendan de la perurbaion. avec N i = D i = ε p = lim ε = lim p ε p p ε p = lim ε p = lim p R 2 p α p α p α R p 2 p α p α +α On consae que l erreur relaive à la perurbaion dépend principalemen de la classe de la foncion de ransfer en amon de la perurbaion α. On disingue deux cas : R p

19 7.4 Rapidié 9 α = : La foncion de ransfer F p en amon de la perurbaion ne possède pas d inégraion. ε p = lim R 2 p p α siα 2 = siα 2 > ε p = lim R ε p = lim R 2 p p p p α = R = R L erreur saique relaive à la perurbaion es non nulle dans les deux cas. α > : La foncion de ransfer F p en amon de la perurbaion possède au moins une inégraion. ε p = lim R 2 p α p α +α l erreur saique relaive à la perurbaion es nulle à l infini. En conclusion : pour que l erreur permanene ne dépende pas de la perurbaion, il fau au moins une inégraion en amon de la perurbaion. = 7.4 Rapidié 7.4. Temps de réponse - emps de monée Temps de réponse : c es le emps mis pour que la sorie aeigne la valeur finale à 5 % près ; Temps de monée : c es le emps mis par la sorie pour passer de5%à95%delavaleur finale. Évaluer la rapidié d un sysème revien en général à déerminer le emps de réponse à 5 % T 5% pour une enrée de ype échelon. Si on sai évaluer cee quanié pour les sysèmes du premier ordre T 5% = 3τ e du second ordre Cf. abaque en annexe, pour des sysèmes d un ordre supérieur, il n exise pas de relaion direcemen applicable. Le emps de monée peu lui aussi permere d évaluer la rapidié du sysème mais cee mesure ne prend pas en compe les oscillaions de la réponse figure 7.. On remarque, que des sysèmes ayan un emps de réponse analogue peuven avoir des emps de monée noablemen différens Temps de monée e bande passane Un sysème asservi se compore comme un filre passe-bas, c es à dire un sysème linéaire qui ne «laisse passer»que les basses fréquences, les haues fréquences son foremen aénuées. On caracérise les filres par la bande passane à 3dB. On se propose de monrer que la bande passane e le emps de monée son corrélés, plus la bande passane de la FTBF es imporane, plus le emps de monée es faible. FIGURE 7. Temps de réponse e emps de monée

20 2 7 Analyse des sysèmes asservis Cee relaion es déjà connue pour les sysèmes du premier ordre, en effe, pour un sysème en boucle fermée don la foncion de ransfer s écri : H p = + τ p alors on sai que : le emps de réponse à 5 % es : T 5% = 3 τ la bande passane à 3dB es : ω c = τ On consae bien, que plus la bande passane augmene, plus le emps de réponse diminue. Dans les aures cas, les calculs son plus complexes, nous nous limierons donc à monrer sans démonsraion que pour un sysème du second ordre, la relaion enre la bande passane e le emps de monée es de même naure. Pour l évaluer, nous allons éudier le cas du sysème du second ordre à reour uniaire ci-dessous. ɛp + Ep Sp La FTBF s écri : p + p BFp = + p + p2 Par idenificaion avec la forme canonique on obien : ω n = k, la pulsaion propre ; z =, le coefficien d amorissemen. 2 On consae que la réponse emporelle fig. 7.b e la réponse fréquenielle fig. 7.a dépenden principalemen de, plus es grand, plus la réponse es rapide le emps de monée diminue mais les oscillaions augmenen e plus la bande passane es grande. db dB bp 3 bp 2 = bp = =.3 6 rad/s a Diagramme d ampliude - bande passane = = =,3 m m 2 m 3 b Temps de monée FIGURE 7. Bande passane e emps de monée On peu ener de généraliser en disan que si l on souhaie diminuer le emps de monée du sysème, il fau augmener la bande passane mais ne fau oublier que le emps de monée e le emps de réponse ne son pas direcemen corrélés.

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