TD 2 : Suites numériques réelles

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1 Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée Licece L Maths/Ifo d semestre 0/0 Aalyse TD : Suites umériques réelles Exercice Cours) Motrer que si ue suite réelle u ) N coverge, alors toute sous-suite de u ) coverge vers le même réel Si les suites extraites d ordre pair et impair d ue suite u ) N coverget, cette suite coverge-t-elle écessairemet? Exercice Soit ue suite réelle u ) N dot les deux suites extraites u p ) p N et u 3p ) p N coverget Motrer que ces suites extraites ot la même limite La suite u ) N coverge-t-elle? Exercice 3 Soit ue suite réelle u ) N dot les trois suites extraites u p ) p N, u p+ ) p N et u 3p ) p N coverget Motrer alors que u ) N coverge Exercice 4 Motrer, à l aide des défiitios, que les suites u ) N et v ) N respectivemet défiies par : N, u = e N, v = l + ), tedet respectivemet vers 0 et + Exercice 5 Cours) Motrer que si ue suite réelle u ) N, à valeurs positives ou ulles, coverge vers u réel λ, o a alors λ 0 Idicatio : Raisoer par l absurde, e utilisat la défiitio Si cette suite est à valeurs strictemet positives, a-t-o écessairemet λ > 0? E déduire que si u ) N et v ) N vérifiet N, u v, et tedet respectivemet vers les réels λ et µ, o a alors λ µ Motrer aussi que si u ) N ted vers +, v ) N aussi Exercice 6 Cours) Soit ue suite u ) N tedat vers u réel λ 0 Motrer qu il existe u etier aturel N 0 tel que l o ait N, u λ Motrer alors que la suite u ) N ted vers le réel λ Exercice 7 Cours) Motrer qu ue suite u ) N qui est croissate et o majorée ted écessairemet vers + Idicatio : Écrire les défiitios de croissate, o majorée, tedat vers + Motrer que das ce cas, l esemble A = {u N} admet u plus petit élémet

2 Exercice 8 O cosidère deux suites u ) N et v ) N à valeurs das [0, ], vérifiat lim + u v = Motrer, sas utiliser la défiitio, que ces deux suites coverget écessairemet vers Exercice 9 Motrer par l absurde que les suites cos)) N et si)) N diverget Exercice 0 Les suites suivates sot-elles mootoes? borées? covergetes? ) ) ) ) a + b ), a, b) R!) ) + 3) 4) )! + ) ) ) ) 6) + )! ) 7) 8) + 7 ) 9) 5 Exercice Détermier la limite des suites suivates, lorsque cette limite existe : ) ) si )) ) + ) ) 3) ) 0) ) 3 ) si) + ) ) 4) + 3 ) l) 5) + si) ) si) ) ) 6) 7) e ) ) ) + 8) 9) + + 0) ) ) + Exercice A l aide d u ecadremet adéquat, motrer que la suite u ) N, défiie pour tout N par u = = + k coverge, et préciser sa limite Exercice 3 u Soit ue suite réelle positive u ) N telle que lim + + u = λ, avec λ [0, [ Motrer qu il existe ε > 0 et 0 N tels que λ + ε < et 0, u λ + ε) 0 u 0 E déduire que lim + u = 0 Applicatio : Détermier les limites des suites ) α a, a )!,! ), où α > 0, a > Exercice 4 Soit la suite u ) N défiie pour tout N par Prouver que pour tout k N, o a u = + k= k k= k + < k + k < k Étudier la mootoie de la suite u ) N E déduire que la suite u ) N coverge

3 Exercice 5 O défiit trois suites réelles u ) N, v ) N, w ) N par leur premier terme respectif, u 0, v 0, w 0, strictemet positifs, et les relatios suivates, valables pour tout N : u + = u e u v + = v + v w + = w + w Étudier la mootoie, puis la covergece de la suite u ) N Détermier sa limite Motrer que v ) N est à valeurs das ]0, ] si 0 < v 0, et das ], + [ si v 0 > E déduire que v ) N coverge, puis détermier sa limite 3 Motrer par l absurde que w ) N diverge Étudier la mootoie de w ) N, puis coclure 4 Étudier la ature de la suite u ) N vérifiat pour tout N, u + = u u ), a) si 0 u 0 b) si u 0 > Exercice 6 Cojectures Pour chacue des propositios suivates, dites si elle est vraie ou fausse Démotrez la si elle est vraie, doez u cotre exemple si elle est fausse Si u ) ) N coverge, alors u ) N coverge Si u ) N ted vers 0, alors u ) N ted vers 0 3 Si cosu )) N ted vers, alors siu )) N coverge 4 Si ue suite coverge, elle est écessairemet mootoe 5 Si ue suite est mootoe et positive, alors elle coverge 6 Si u ) N est strictemet positive et ted vers 0, alors u ) N décroît à partir d u certai rag 7 Il existe ue suite u ) N divergete telle lim + u + u = 0 8 Si u ) N coverge, alors o a écessairemet lim + u + u = 0 Exercice 7 O cosidère deux suites u ) N et v ) N vérifiat : a) u ) N croît, b) v ) N décroît, c) N, u v Démotrer que ces suites coverget Sot-elles écessairemet adjacetes? Justifier Exercice 8 O pose, pour tout N, Motrer que pour tout N, o a u = l) et v = u + < l + ) l) < Idicatio : Faire des études de foctios, ou utiliser le fait que t lt) est ue primitive de t t E déduire que les suites u ) N et v ) N sot adjacetes 3 O ote γ la limite commue de ces deux suites, appelée costate d Euler Motrer que 05 < γ < O a e fait γ 0577 à 0 3 près 3

4 4 Motrer que la suite S ) N défiie pour tout N par S = k= k, ted vers + Exercice 9 O pose, pour tout N u = k! et v = u +! Motrer que les suites u ) N et v ) N sot adjacetes O admet qu elles tedet vers e Motrer que pour tout N, o a! k! <!e < +! k! E déduire, e raisoat par l absurde, que e est u ombre irratioel Exercice 0 O cosidère les suites u ) N et v ) N défiies pour tout etier N par u = et v = u + Motrer que ces suites coverget vers u même réel Exercice Soiet u ) N et v ) N deux suites défiies par 0 < u 0 < v 0 et les relatios : N, u + = u v et N, v + = u + v Motrer que l o a N, u v, puis étudier la mootoie de u ) N et v ) N E déduire que u ) N et v ) N coverget et admettet la même limite Coclusio? Exercice Soit u ) N la suite réelle défiie pour tout etier N par u = Motrer que l o a N, u u E déduire que u ) N diverge : a) Par le critère de Cauchy b) E raisoat par l absurde Exercice 3 Soiet a, b des réels, 0 a < Soit u ) N défiie pour tout N par u + = a siu ) + b, u 0 R Motrer que x, y) R, six) siy) x y E déduire que N, u + u a u u, puis que N, u + u a u u 0 E déduire, grâce au critère de Cauchy, que la suite u ) N coverge das R Exercice 4 Ue suite réelle u ) N vérifiat ε > 0, 0 N, N, 0 = u + u < ε), vérifie-t-elle écessairemet le critère de Cauchy? Justifier 4

5 Exercice 5 Motrer qu ue suite de Cauchy, à valeurs das Z, est écessairemet costate à partir d u certai rag E déduire que Z est complet das R Exercice 6 Soit u ) N ue suite réelle satisfaisat le critère de Cauchy, et à valeurs das [a, b] Motrer, e utilisat la propriété de Bolzao-Weierstrass, que u ) N coverge das R E déduire que [a, b] est complet das R Exercice 7 Équivaleces et égligeabilités Doer u équivalet simple à l ifii de chacue des suites suivates : ) )) + l) 3 si l + ) l)) + ) Doer les relatios de égligeabilité à l ifii existat etre les suites suivates : 3 e ) ) ) ) ) l) + 3 l) ) e + + Exercice 8 Cojectures sur les équivalets Pour chacue des propositios suivates, dites si elle est vraie ou fausse Démotrez la si elle est vraie, doez u cotre-exemple si elle est fausse O utilisera le fait que u v vers + équivaut à u = v + ε ) avec lim + ε = 0 Si u ) N et v ) N coverget et ot même limite, alors o a u v au voisiage de + Si u v au voisiage de +, o a alors lim + u v = 0 3 Si u ) N a ue limite, fiie ou ifiie, et si u v au voisiage de +, alors v ) N a la même limite 4 Si u v au voisiage de +, et si u ) N décroît et ted vers 0, alors v ) N décroît aussi, au mois à partir d u certai rag Exercice 9 Équivalets et opératios Si u ) N et v ) N sot deux suites vérifiat u v au voisiage de +, a-t-o e u e v au voisiage de +? Même questio si o suppose e outre que u ) N et v ) N sot borées Si u ) N et v ) N sot deux suites strictemet positives, vérifiat u v au voisiage de +, a-t-o lu ) lv ) au voisiage de +? Même questio si u ) N et v ) N sot à valeurs das ]0, a[, a <, ou das ]a, + [, a > 5