Chapitre 0 Eléménts de Méthodologie El Methni M.

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1 Chaptre 0 Eléménts de Méthodologe El Methn M. 0-. Un peu de vocabulare Observaton, nterprétaton, expérence, expérmentaton, mesure, échelle de mesure, moenne, varance, hpothèse, test. 0-. Consttuants d une expérence 0-- Sujets : Défnton : Les untés statstques sur lesquelles porte l expérence sont appelées untés expérmentales. L ensemble des sujets consttue la populaton (souvent c est un échantllon). On note S cet ensemble et s un sujet. En pschologe l s agt souvent d ndvdus, on les désgne par le terme «sujet». 0-- Varable dépendante : Défnton : On appelle varable dépendante (VD) la réponse du sstème aux dfférentes condtons expérmentales. Cette réponse est mesurée sur les sujets de l expérence. Elle peut être un ou multdmensonnelle. On note Y cette varable et Y(s) ou Y s la valeur qu elle prend pour le sujet s Les facteurs de varaton : Les varables ndépendantes : Défnton : Les varables ndépendantes (VI) sont les varables représentant les causes postulées des varatons de la VD. Le but de l expérmentaton étant de mettre en évdence l effet de ces varables ndépendantes. Remarque : On emploe auss le terme de facteur de varaton ou facteur expérmental ou encore (plus smplement) facteur. Par usage le terme de «varables ndépendantes» est utlsé dans un contexte méthodologque alors que le terme de facteur est utlsé dans un contexte statstque. Défnton : On appelle varables ndépendantes provoquées les varables ndépendantes pouvant être manpulées (contrôlées) par l expérmentateur. Remarque (fondamentale): Dans le cas des varables ndépendantes provoquées l expérmentateur a la possblté de répartr aléatorement les sujets dans dfférents groupes expérmentaux et cec avant d agr sur les VI. Défnton : Les varables ndépendantes nvoquées (ou étquettes) sont des caractérstques «naturelles» sur lesquelles l expérmentateur ne peut agr, mas elles lu servent pour repérer les condtons expérmentales. Remarque : Certans auteurs réservent le mot «expérmental» aux stuatons d observatons lorsque toutes les varables ndépendantes sont provoquées et «quas-expérmental» lorsque le plan d expérence content des varables ndépendantes nvoquées. Défnton : On dt que deux varables ndépendantes sont confondues s chaque modalté de l une est assocée à une modalté de l autre Les varables parastes : Les varables ndépendantes non prses en consdératon dans l expérence sont appelées varables parastes. Les varables parastes dentfables sont celles que l on peut totalement dentfer. On cherche alors à les contrôler pour «effacer» leur effet. Les varables parastes non dentfables sont toutes les caractérstques propres à l unté statstque. Ces dernères peuvent être contrôlées par randomsaton. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page--

2 0-3. Les effets des facteurs 0-3- Les nveaux des effets des facteurs : Dans de nombreuses études, les phénomènes sont plus complexes que la smple relaton de cause à effet entre les VI et les VD. On peut magner tout un réseau de causaltés. L effet d un facteur peut se tradure alors à pluseurs nveaux : a) effet prncpal : effet drect sur la VD que l on aurat mesuré dans une expérence où seul ce facteur serat présent. b) effet d nteracton : effet du facteur sur les effets des autres facteurs. On dstngue alors pluseurs nveaux d nteracton : * Interacton d ordre : nteracton d un facteur sur l effet d un autre facteur. * Interacton d ordre : nteracton d un facteur sur l nteracton entre deux autres facteurs * etc Nature des effets des facteurs : On dstngue deux cas : a) Les facteurs à effets fxes : les modaltés du facteur qu ntéressent le chercheur sont choses de façon sstématque par l expérmentateur. On veut mesurer l effet de chaque modalté prse par elle-même. b) Les facteurs à effets aléatores : toutes les modaltés du facteur ne sont pas présentes dans l expérence. Les modaltés retenues ne sont pas choses de façon sstématque mas de façon aléatore. Le chercheur ne s ntéresse donc pas à chaque modalté prse ndvduellement mas à l effet global du facteur. Il lu sera alors possble d étendre des conclusons à d autres modaltés de la varable ndépendante non présentes lors de l expérmentaton. Dans de nombreux modèles on ntrodut le facteur de varaton «sujet» dont les modaltés sont les untés statstques de l expérence. Le facteur sujet est par constructon même de l expérence un facteur à effets aléatores Plans d expérence 0-4- Généraltés : L expérmentateur défnt un ensemble de p facteurs élémentares A, A,,A p Chaque facteur possède un nombre n fn de modaltés A {a, a,, a n }. Chaque observaton de la varable dépendante correspond à une combnason des modaltés des facteurs élémentares a {a, a,, a p p }. a j j A j Notons E l ensemble de toutes les combnasons des modaltés des facteurs élémentares E A A A p. Chaque condton expérmentale envsagée dans l expérence est décrte par un élément de E Lors de l expérence l arrve souvent que toutes les combnasons ne sont pas retenues. Cependant chaque modalté de chaque facteur est présente au mons une fos dans l expérence. L ensemble des combnasons retenues défnt le plan d expérence. Défnton : On appelle plan d expérence un sous-ensemble E* de E tel que chaque modalté de chaque facteur sot présente au mons une fos dans les éléments de E*. Les éléments de E* sont appelés condtons expérmentales Relatons entre facteurs : Un plan d expérence se conçot en précsant les facteurs élémentares prs en compte mas auss les relatons entre ces facteurs. Nous étuderons deux relatons fondamentales : la relaton de crosement et la relaton d emboîtement. Ces deux relatons permettent de décrre un ensemble partculer de plans d expérence (ensemble des plans quas-complets). Défnton : Deux facteurs A et B sont crosés s chaque modalté de l un apparaît avec chaque modalté de l autre. On note A B (ou B A). Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page--

3 Remarque : La défnton précédente se généralse à pluseurs facteurs. p facteurs sont crosés dans leur ensemble s chaque modalté de l un apparasse avec toutes les modaltés de tous les autres facteurs. Remarque (mportante) : Des facteurs crosés deux à deux ne sont pas nécessarement crosés dans leur ensemble. Défnton : Un facteur A est emboîté dans un facteur B s chaque modalté de A est assocée à exactement une modalté de B. A est appelé le facteur emboîté et B le facteur emboîtant. On note A<B>. Remarque : un facteur peut être emboîté dans un facteur lu-même emboîté dans un trosème facteur. Dans ce cas le er facteur est emboîté dans le 3 ème. Défnton : L emboîtement est dt équlbré (balancé) s et seulement s chaque modalté du facteur emboîtant est assocée au même nombre de modaltés du facteur emboîté. Défnton : Deux facteurs A et B sont confondus s et seulement s A est emboîté dans B et B est emboîté dans A Les plans d expérence de base: Défnton : Un plan d expérence est dt complet s et seulement s l est égal au crosement de tous ses facteurs élémentares (E* E). Autrement dt l content toutes les combnasons des modaltés des facteurs élémentares. Défnton : Un plan d expérence est dt quas-complet s et seulement s pour tout couple de facteurs les deux facteurs sont sot crosés sot emboîtés et s tous les facteurs crosés deux à deux sont crosés dans leur ensemble. Dans toute la sute nous ne nous ntéresserons qu à des plans quas-complets. Défnton : Un plan d expérence est dt à un facteur et à mesures ndépendantes s l met en jeu un seul facteur A outre les sujets qu ne sont «utlsés» qu une seule fos (un sujet ne se retrouve que dans un seul groupe expérmental). On a donc S<A>. On parle de plan nter. Défnton : Un plan d expérence est dt à un facteur et à mesures répétées s l met en jeu un seul facteur A outre les sujets qu sont «utlsés» dans les dfférentes condtons expérmentales. On a donc S A. On parle de plan ntra. Défnton : Un plan d expérence est dt à deux facteurs et à mesures ndépendantes s on a S<A B> Défnton : Un plan d expérence est dt à deux facteurs et à mesures complètement répétées s les sujets sont utlsés dans l ensemble des condtons expérmentales. On a donc S A B. Défnton : Un plan quas-complet de la forme S<A> B est dt mxte. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-3-

4 Chaptre I Modélsaton statstque El Methn M. I-. Modèle statstque Les données sont consttuées d une famlle de N valeurs,, N résultant de l observaton de la varable dépendante dans les dfférentes condtons expérmentales défnes par le plan de l expérence. On appelle protocole expérmental cette famlle et on note (e) l observaton de la VD dans la condton expérmentale e. L élaboraton du modèle qu décrt le processus de génératon des données dot prendre en compte d une part le fat que les mesures sont fates sur un échantllon aléatore d untés statstques (fluctuatons d échantllonnage) et d autre part qu ntervennent de façon aléatore au cours de l expérmentaton des facteurs non contrôlés tels que par exemple les erreurs de mesure ou des facteurs ndvduels. L observaton (e) est alors consdérée comme la réalsaton Y(e) d une varable aléatore Y. Le modèle du score décrt les effets des facteurs sur la varable aléatore par le modèle algébrque : Y(e) Z(e)+ε(e) où : Z(e), appelé modèle structurel, décrt les effets des facteurs du plan ε(e), appelé résdu, mesure l écart entre la varable réponse et le modèle structurel dû aux effets de facteurs non prs en compte dans le plan de l expérence. Ce modèle lnéare est caractérsé par des hpothèses portant sur le résdu ε(e) est une varable aléatore de moenne nulle. Var (ε(e))σ pour tout e homoscédastcté ou homogénété des varances des résdus Cor[(ε(e), ε(e )]0 pour tout e e non corrélaton des résdus Ce modèle lnéare est auss caractérsé par des hpothèses portant sur le modèle structurel Z(e) µ(e)+a(e) µ(e) est une foncton détermnste de e qu décrt les effets des modaltés des facteurs à effets fxes présentes dans e. A(e) est une varable aléatore non corrélée avec ε(e), qu décrt les effets des facteurs à effets aléatores ε(e) sut une lo normale N(0, σ ) Selon la forme du modèle structurel, on dstngue tros classes de modèles d analse de la varance : ANOVA modèle : Le modèle ne content pas de terme aléatore A(e) : Y(e) µ(e)+ε(e) Ce modèle correspond à des plans où tous les facteurs sont à effets fxes. Leurs effets portent unquement sur la moenne de la VD. Y(e) est dstrbué selon une N(µ(e), σ ). ANOVA modèle : (modèle des composantes de la varance) Le terme détermnste est constant Y(e) µ+a(e) +ε(e) Ce modèle correspond à des plans où tous les facteurs sont à effets aléatores. Leurs effets portent sur la varance de la VD. Y(e) est dstrbué selon une N(µ, σ +σ A(e)). ANOVA modèle 3 : (modèle mxte) c est le modèle qu mélange les deux cas précédents Ce modèle correspond à des plans où sont présents des facteurs à effets fxes et des facteurs à effets aléatores. Y(e) est dstrbué selon une N(µ(e), σ +σ A(e)). Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-4-

5 I-. Décomposton de la varance assocée à un facteur : (rappel) Dans toute la sute Y désgne la varable dépendante et G un facteur à r modaltés. Les N observatons sont répartes en r classes g, g, g r contenant respectvement n, n, n r observatons. (On a donc N n + n, + + n r ). Notons s() l observaton assocée au sujet s dans la classe g Facteur G (groupe) Sujets g g g g r () () ( ) () () ( ) s s() n () s() n () s () n () ( r) ( r) s ( r ) n r ( r ) Effectf n n n n r Total Moenne r N n T T T T r T T r r r n N Les observatons de la varable dépendante Y peuvent dfférer sous l effet de deux sources de varatons : La varaton à l ntéreur des classes (ou dans les classes) : varaton ntra La varaton entre les classes : varaton nter. Le facteur étant constant à l ntéreur des classes, seule la varaton nter peut être mputée à l effet du facteur. La varaton ntra est une varaton ndvduelle correspondant à la varaton des observatons dans une même classe. La varaton nter est une varaton sstématque correspondant à la varaton des classes. Elle exprme l effet (éventuel) du facteur (VI). La varaton des observatons sera mesurée en termes de dsperson autour de la moenne à l ade de la varance (ou de la somme des carrées des écarts à la moenne). La moenne générale des observatons est donnée par : T s() ( n+ n+ + nrr ) N s N N La varaton Totale des observatons est mesurée par la Somme des Carrés des écarts entre chacune des N observatons et la moenne générale : SCT ( ) N Varance Totale s s () n En notant la moenne des observatons de la classe g on a : T s() n n s Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-5-

6 La varaton à l Intéreur de la classe g est mesurée par la Somme des Carrés des écarts entre chaque observaton de la classe et la moenne de cette classe : n ( s() ) ( s SCIntra n Varance g ) La varaton à l ntéreur des classes est défne par la somme, pour toutes les classes, des sommes des carrés ntra : SCIntr a r SCIntra Pour calculer la varaton-nter on se place dans le cas de la stuaton fctve où toutes les observatons d une même classe sont égales à la moenne de cette classe et on calcule la Somme des Carrés Inter : SC Inter r n N ( ) Varance( ) On démontre la relaton fondamentale suvante : SCT SCInter + SCIntra Remarque : En dvsant par l effectf total N on a une relaton analogue entre les varances : Varance totale Var Inter + Var Intra Varaton totale Varaton nter-classe Varaton ntra-classe varance des moennes moenne des varances Remarque : On retrouve l ndce de lason PRE, appelé rapport de corrélaton (cf. cours de L) Varaton Inter en consdérant le rapport : η Y G Varaton Totale η Y G mesure la lason entre la varable réponse Y et le facteur G : η Y 0 ndque une absence de lason (la réponse du sujet ne dépend pas du groupe auquel G l appartent). η Y ndque une lason parfate (la réponse du sujet est entèrement détermnée par son G appartenance à un groupe). Ans η Y G mesure l ntensté de l effet de G sur la réponse Y. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-6-

7 I-3. Dstrbuton de Fsher-Snedecor Proposton : Soent U, U,, U m, V, V,, V n m+n varables aléatores ndépendantes de même lo N(0, σ m n ) alors les varables et U V sont ndépendantes et de lo σ σ respectve χ et χ m n Théorème : Soent U, U,, U m, V, V,, V n m+n varables aléatores ndépendantes de m m même lo N(0, σ U U mσ m ) alors la varable sut une lo de Fsher-Snedecor n n V V nσ n F(m, n) de (m, n) degrés de lberté. Remarque : S F est une varable aléatore de lo F(m, n) alors la varable aléatore /F sut une lo F(n, m). Corollare : Soent U, U,, U m m varables aléatores ndépendantes de même lo N(µ, σ ) et V, V,, V n n varables aléatores ndépendantes de même lo N(µ, σ ) ndépendantes des U m ( U U) m alors la varable sut une lo de Fsher-Snedecor F(m-, n-). n ( V V) n m U U et V m n V Sont les estmateurs respectfs de µ et µ n Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-7-

8 I-- Exemple : Pour étuder l nfluence du facteur «ntensté du brut envronnant» sur la capacté d un sujet à résoudre un problème, l expérmentateur construt l expérence suvante : 4 écolers sont réparts de façon aléatore dans quatre pèces. Des bruts de la rue ont été enregstrés et sont dffusés dans chaque pèce avec un nveau sonore partculer. Les enfants dovent résoudre une sére de problèmes. La varable réponse est la note fnale obtenue à la sére d épreuves. Nveau sonore n N Varance 0/4 48/8 40/6 4/6 SCIntra SCR ( ) n r ) 8 SCInter n ( SCT N varance totale 340 SCIntra 8 SCInter η 0,6706 Y G Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-8-

9 Chaptre II Analse du plan S<G> El Methn M. II-. G est un (seul) facteur à effets fxes II-- Généraltés G est un facteur à r modaltés (groupes) g, g, g r d effectfs respectfs n, n, n r. Nn +n + +n r. Y est la varable dépendante et s() est le score du sujet s dans le groupe g (c est l observaton assocée au sujet s dans la modalté g ). Facteur G (groupe) Sujets g g g g r () () ( ) () () ( ) s s() n () s() n () s() n () ( r) ( r) s( r) Effectf n n n n r Moenne nr ( r) r r N n r n N Varance s' s' s' s' r s' On veut étuder l effet du facteur G sur la varable réponse Y. Pour cela on testera l hpothèse nulle : H 0 : le facteur n a pas d effet sur Y contre l hpothèse alternatve : H : le facteur a de l effet sur Y. II-- Décomposton de la varance (Rappel) Varance totale Var Inter + Var Intra Varaton totale Varaton nter-classe Varaton ntra-classe varance des moennes moenne des varances Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-9-

10 II--3 Modèle statstque (Modèle du score, modèle lnéare) On veut étuder l effet d un facteur G à r modaltés sur une varable réponse Y. On dspose pour chaque modalté du facteur G de n observatons. On note s() l observaton du sujet s dans la modalté. s() est la réalsaton de la varable aléatore Y s() décrte par le modèle suvant : Y s() µ+α +ε s() où : µ s nterprète comme un nveau général. α mesure l effet de la ème modalté du facteur G. les varables aléatores ε s() sont ndépendantes et de même lo N(0, σ ) Pour tout,,, r. Les varances des r groupes sont homogènes (homoscédastcté) On rajoute une contrante d dentfablté: r nα 0 (en moenne les effets sont nuls) On peut écrre l hpothèse nulle et l hpothèse alternatve sous la forme suvante : hpothèse nulle : H 0 : α 0 pour tout,,, r hpothèse alternatve : H : l un au mons des α est non nul On montre alors les résultats suvants : Théorème : E(SCR) (N - r)σ E(SCG) ( r ) σ α + n Remarque : Il est clar que les valeurs des varatons (totale, nter et ntra) dépendent des effectfs des modaltés du facteur G. Auss pour apprécer plus justement les grandeurs relatves à ces varatons (en partculer pour comparer la varaton due au facteur à la varaton résduelle), on calcule les carrés moens des écarts, en dvsant chaque varaton par son nombre de degrés de lberté (ddl) : MC SC ddl carrés moens (total) : MCT La varaton totale concerne N scores (observatons) s() lés par une relaton s() donc N présente N - ddl et on a : MCT SCT N carrés moens nter : MCG La varaton nter(-groupes) concerne r groupes lés par une relaton n N donc présente r - ddl et on a : MCG SCG r carrés moens ntra (résduels) : MCR La varaton ntra (résduelle) concerne N scores (observatons) lés par r relatons j n j donc présente N - r ddl et on a : MCR SCR N r Remarque : Tout comme les varatons, les degrés de lberté sont addtfs ddl total ddl nter + ddl ntra N - r - + N - r, j Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-0-

11 Mas les carrés moens ne sont pas addtfs. En général MCT MCG + MCR. Le théorème précédent peut se réécrre : E(MCR) σ r α E(MCG) σ + n r Par conséquent : MCR est une estmaton sans bas de la varance σ et MCG est une estmaton r n α r de σ augmentée d un terme postf foncton des effets de groupe ( ). Sous l hpothèse nulle ( α 0 pour tout,,,r) MCG est auss une estmaton de σ. Théorème : Dans le cadre du modèle statstque, la statstque SCR σ l hpothèse nulle la statstque SCG σ ndépendantes. sut une lo du χ à N - r ddl et sous sut une lo du χ à r - ddl et ces deux statstques sont Corollare : Sous l hpothèse nulle la statstque ddl, notée F(r -, N - r). SCG r MCG SCR MCR F G sut une lo de Fscher à r - et N - r N r Concluson : Le test d hpothèse est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : S F obs λ α alors on rejette l hpothèse nulle. λ α étant donné par l équaton : α P(F λ α ). II--4 Tableau d analse de la varance Les résultats sont souvent présentés sous forme d un tableau : Source de varaton Somme des carrés des écarts observés SC obs ddl G, Facteur, Intergroupes,... S<G>, Résduelle, Intra Totale SCT N - Carrés moens observés MC obs SCG r - MCG F MCG obs MCR SCR N - r MCR F lu α II--5 Exemple : Pour étuder l nfluence du facteur «ntensté du brut envronnant» sur la capacté d un sujet à résoudre un problème, l expérmentateur construt l expérence suvante : 4 écolers sont réparts de façon aléatore dans quatre pèces. Des bruts de la rue ont été enregstrés et sont dffusés dans chaque pèce avec un nveau sonore partculer. Les enfants dovent résoudre une sére de problèmes. La varable réponse est la note fnale obtenue à la sére d épreuves. F Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page--

12 Nveau sonore n N Varance 0/4 48/8 40/6 4/6 SCIntra SCR ( ) n SCT N varance totale 340 MCO SCO 08, 9 r 54, 45 SCR 3, 8 MCR 5., ( n )( r ) 6 On peut présenter les résultats dans le tableau d'analse de varance : r ) 8 SCInter n ( Sources de varatons SC obs ddl MC obs Statstque de test Q Facteur Inter G 8 r MCGobs 76 ** F obs 3,574 MCR obs 5,6 S(G) Intra N-r 0 5,6 - Total 340 N En prenant un nveau de sgnfcaton α0,055%, on peut lre la valeur de λ α dans la table de Fscher à r- 3 et N-r 0 degrés de lberté : λ α F (3 ; 0 ; 0,95) 3,0. Donc, s F obs, la valeur observée de la statstque de test, est supéreure ou égale à 3,0 on rejette H 0 et dans le cas contrare, on conserve l'hpothèse H 0. Concluson : Comme F obs 3,574 > λ α 3,0, on rejette H 0 pour accepter H ; C est-àdre qu l a effectvement un effet du brut envronnant sur la capacté de résoluton des problèmes. On rejette H 0 même avec un α0,0%. II-. G est un (seul) facteur à effets aléatores II-- Modèle statstque On chost un échantllon de r modaltés g, g, g r du facteur G. On dspose pour chaque modalté échantllonnée de n observatons de la varable dépendante (Nn +n + +n r ). On note s() l observaton du sujet s dans le groupe g. Chaque observaton s() est la réalsaton d une varable aléatore Y s() décrte par le modèle : Y s() µ + Γ + ε s() où : µ est une constante mesurant le nveau général de la réponse Γ est une varable aléatore qu mesure l effet aléatore de G. ε s() est une varable aléatore représentant le résdu. On suppose réalsées les tros hpothèses suvantes : les ε s() sont des varables aléatores ndépendantes et de même lo N(0, σ ) Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page--

13 les Γ (,,, r) sont des varables aléatores ndépendantes de même lo N(0, σ G ) les Γ sont ndépendantes des ε s(). Le test d hpothèse s écrra alors : H 0 : G n a pas d effet σ G 0 H : G a un effet σ G > 0 On montre alors les résultats suvants : Théorème : E(MCR) σ ou encore E(SCR) (N - r)σ E(MCG) σ + Kσ G où K est une constante. II-- Test statstque On se ramène donc au cas précédent et on utlsera la même statstque F test. II--3 Exemple : MCG pour réalser le MCR On veut vérfer que l ntensté de tratement perceptf d un vsage dépend du vsage examné (certans vsages retennent plus l attenton que d autres). Pour mettre à l épreuve cette hpothèse de recherche, on construt l expérence suvante : 40 sujets sont choss au hasard et réparts de façon aléatore dans 5 groupes de 8 sujets chacun. Chaque groupe examne un vsage chos par l expérmentateur au hasard dans l ensemble de vsages dsponbles. L expérmentateur mesure l ntensté du tratement perceptf en observant la dlataton de la puplle lors de l examen du vsage. Il obtent les résultats suvants : SCT N s' 40 5,8 63,4 SCG N s N ( ' 5 Groupe des vsages Sujets g g g 3 g 4 g n N , ,5 6,65 60, s ² 7,5 6,6094 7,5 7,4375 6,4844 s ²5,8 5 ) 40 8, ,5 ' SCR N s 8 [7,5+6,6094+7,5+7,4375+6,4844] 8 35,533 84,5 On vérfe que : SCR SCT - SCG 63,4-348,5 84,5. On peut présenter les résultats dans le tableau d'analse de varance : Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-3-

14 Sources de varatons SC obs ddl MC obs Statstque de test Q MCGobs 87,0375 Facteur Inter G 348,5 r- 4 87,0375 F obs 0,77 ** MCR 8,4 S(G) Intra 84,5 N-r 35 8,4 - Total 63,4 N En prenant un nveau de sgnfcaton α0,055%, on peut lre la valeur de λ α dans la table de Fscher à r- 4 et N-r 35 degrés de lberté : λ α F (4 ; 35 ; 0,95),64 Concluson : Comme F obs 0,77> λ α,64, on rejette H 0 pour accepter H ; C est-à-dre qu l a effectvement un effet du facteur vsage. ( σ > 0 ) Remarque : En prenant un nveau de sgnfcaton α0,0%, on peut lre la valeur de λ α dans la table de Fscher à r- 4 et N-r 35 degrés de lberté : λ α F (4 ; 35 ; 0,99) 3,9 et on tre la même concluson. G obs Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-4-

15 Chaptre III Analse du plan S<A B> El Methn M. III-. Plan S<A B> avec A et B deux facteurs à effets fxes III-- Généraltés Un tel plan quas-complet défn par le crosement de deux facteurs A et B, est auss appelé plan factorel complet d ordre. Chaque condton est réplquée sur des sujets dfférents. Le facteur sujet est emboîté dans le crosement A B. L analse dffère selon que l emboîtement est équlbré ou non. Dans toute la sute on ne consdère que le cas équlbré. On se propose d étuder l effet de la présence smultanée d un facteur A à r modaltés et d un facteur B à c modaltés sur une varable réponse Y. Le plan étant équlbré, on dspose pour chaque crosement des modaltés du facteur A et j du facteur B de n observatons. On note s(,j) l observaton du sujet s dans le crosement (,j). a Facteur B b b b j B c A a a (,j), (,j), n(,j) a r Remarque : dans le cas où n, l nteracton des facteurs A et B est confondue avec le facteur sujet, on ne peut donc séparer les effets d nteracton des effets résduels et on ne peut tester leur exstence. Un tel plan n est justfé que lorsque l on peut modfer a pror la forme de l nteracton entre les facteurs. Dans toute la sute nous développons le cas n >. III-- Analse descrptve des effets (prncpaux et nteracton) : Consdérons, pour chaque crosement (,j) de la modalté de A et de la modalté j de B la moenne obtenue : Facteur B b b b j B c moennes a j c 0 a j c 0 A a j c 0 a r r r rj rc r0 moennes j 0c 00 La colonne margnale des moennes par modalté de A (ndépendamment de B) «tradut» l effet prncpal du facteur A. De même la lgne margnale des moennes par modalté de B (ndépendamment de A) «tradut» l effet prncpal du facteur B. Les dfférentes moennes correspondant au crosement des modaltés «tradusent» l nteracton des deux facteurs A et B. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-5-

16 III--3 Représentaton géométrque des dfférents effets : Les dfférentes combnasons des effets prncpaux et d nteracton peuvent être llustrés par des graphques dans lesquels on représente les moennes en foncton des modaltés de l un des facteurs. Il a deux graphques possbles selon le facteur porté en abscsse. b b. b c b c. b b b. b b c a a a r A a a a r A a a a r A b. b c b, b,, b c b b b c b a a a r A a a a r A a a a r A Le parallélsme des lgnes tradut le fat que l effet du facteur A (ou B) sur la varable réponse Y est le même quelque sot la valeur du facteur B (ou A). Les effets des facteurs A et B sont addtfs et l n a pas d effet de l nteracton entre les deux facteurs A et B sur Y. Le non parallélsme des lgnes tradut le fat que l effet du facteur A (ou du facteur B) n est pas le même en foncton de la modalté du facteur B (ou du facteur A). Les effets des facteurs A et B sur la varable Y ne sont pas addtfs. Aux effets smples des facteurs s ajoutent l effet de l nteracton entre les deux facteurs. Le parallélsme avec l axe des abscsses tradut l absence d effet du facteur A (ou B). De plus s les dfférentes lgnes correspondant aux modaltés de B (ou A) sont confondues c est l absence totale d effets. III--4 Le modèle : Rappelons que l on veut étuder l effet de la présence smultanée d un facteur A à r modaltés et d un facteur B à c modaltés sur une varable réponse Y. Le plan étant équlbré, on dspose pour chaque modalté du facteur A et pour chaque modalté j du facteur B de n observatons (n > ). On note s(,j) l observaton du sujet s dans le crosement (,j). s(,j) est la réalsaton de la varable aléatore Y s(,j) décrte par le modèle suvant : Y s(,j) µ j + ε s(,j) où les varables aléatores ε s(,j) sont ndépendantes et de même lo N(0,σ ) et µ j µ + α + β j + (αβ) j où - µ mesure la moenne de la populaton - les α mesurent les effets prncpaux du facteur A - les β j mesurent les effets prncpaux du facteur B - les (αβ) j mesurent les effets d nteracton. On rajoute (comme hpothèses) les contrantes d dentfablté suvantes : α 0 β 0 ( αβ ) 0 ( αβ ) 0 III--5 Décomposton de la varaton : j j j j j Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-6-

17 A partr du tableau des données on calcule les Sommes des Carrés assocées aux dfférentes sources de varaton. Le crosement des facteurs A et B permet de décomposer la varaton totale en somme de deux varatons : SCT obs SCI ntercase + SCI ntracase SC(A B) obs + SCR obs avec : SCT ( ) SC(A B) n ( ) SCR ( ) obs s (, ) obs j obs s (, ) j j s j j s D autre part le facteur élémentare A (resp B) défnt une partton de l ensemble des observatons en classes à laquelle correspond une somme de carrés observée mesurant la varaton assocée à l effet prncpal de A (resp de B) : SCA nc ( ) SCB nr ( ) obs 0 obs 0 j j Défnton : On appelle somme des carrés assocée à l nteracton la quantté : SCAB obs SC(A B) obs - SCA obs - SCB obs On montre que : SCAB n( + ) obs j 0 0 j j Dans le cadre du modèle statstque ces sommes de carrés sont des réalsatons de varables aléatores dont on calcule les espérances et plus généralement les dstrbutons des probabltés. On montre le théorème fondamental suvant : Théorème : Sous les hpothèses du modèle, les statstques SCA, SCB, SCAB et SCR sont ndépendantes et d espérances respectves : E( SCA) ( r ) σ + ncα E( SCB) ( c ) σ + nrβ j j E( SCAB) ( r )( c ) σ + n( αβ ) j j E( SCR) ( N rc) σ rc( n ) σ On ramène toutes les sommes de carrés à des moennes de carrés en dvsant par les degrés de lberté correspondant. SCA r SCB c SCAB ( r )( c ) SCR MCA MCB MCAB MCR rc( n ) Cec permet de réécrre le théorème précédent pour les moennes des carrés : Théorème : Sous les hpothèses du modèle, les statstques MCA, MCB, MCAB et MCR sont ndépendantes et d espérances respectves : nc E( MCA) σ + α ( r ) E( MCB) σ + j ( c ) j n E( MCAB) σ + ( αβ ) E( MCR) σ nr β j ( r )( c ) j Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-7-

18 III--6 Tests et décsons statstques : Le théorème précédent nous permet de tester l exstence des dfférents effets des facteurs. On peut construre des tests ndépendants sur chacune des sources de varatons : Test : hpothèse nulle H 0A : pas d effet prncpal du facteur A ( ) α 0 contre l hpothèse alternatve : H A : l exste un effet prncpal du facteur A ( ) α 0 Test : hpothèse nulle H 0B : pas d effet prncpal du facteur B ( j) β j 0 contre l hpothèse alternatve : H B : l exste un effet prncpal du facteur B ( j) β j 0 Test 3 : hpothèse nulle H 0AB : pas d effet d nteracton (,j) (αβ) j 0 contre l hpothèse alternatve : H AB : l exste une nteracton (,j) (αβ) j 0 La constructon de ces tests résulte des tros corollares du théorème suvant : Théorème : Dans le cadre du modèle statstque, la statstque SCR/σ sut une lo de χ à rc(n - ) degrés de lberté, sous l hpothèse nulle H 0A la statstque SCA/σ sut une lo de χ à r - degrés de lberté, sous l hpothèse nulle H 0B la statstque SCB/σ sut une lo de χ à c - degrés de lberté, sous l hpothèse nulle H 0AB la statstque SCAB/σ sut une lo de χ à (r - )(c - ) degrés de lberté et ces statstques sont ndépendantes. MCA Corollare : sous l hpothèse H 0A, la statstque FA MCR r - et rc(n - ) degrés de lberté. sut une lo de Fscher à Le test est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F A obs λ α alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F A λ α ). MCB Corollare : sous l hpothèse H 0B, la statstque FB MCR c - et rc(n - ) degrés de lberté. sut une lo de Fscher à Le test est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F B obs λ α alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F B λ α ). MCAB Corollare : sous l hpothèse H 0AB, la statstque FAB MCR (r - )(c - ) et rc(n - ) degrés de lberté. sut une lo de Fscher à Le test3 est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F AB obs λ α alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F AB λ α ). On présente l étude dans le : tableau d analse de la varance : Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-8-

19 Source SC obs ddl MC obs F obs A SCA obs r - MCA obs F A obs B SCB obs c - MCB obs F B obs AB SCAB obs (r - )(c - ) MCAB obs F AB obs R SCR obs rc(n - ) MCR obs Total SCT obs rcn - Pratque des calculs : Calcul de SCA : SCA nc ( ) obs 0 Calcul de SCB : SCB nr ( ) obs 0 j j c Calcul de SC(A B) : ncr varance des moennes de A ncr varance des moennes de B r c SC(A B) obs n( j ) ncr varance des moennes des carrés crosés j Calcul de SC(AB) : SC(AB) obs SC(A B) obs - SCA obs - SCB obs Calcul de SCT : SCT obs ncr varance de toutes les données Calcul de SCR : SCR obs SCT obs - SC(A B) obs SCT obs - SC(AB) obs - SCA obs - SCB obs Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-9-

20 III--7 Exemple : Un expérmentateur veut mettre à l épreuve l hpothèse que le nveau d exctaton phsologque d une personne frustrée dépend du tpe d agresson autorsée. Il construt alors l expérence suvante : 30 sujets choss au hasard sont réparts de façon aléatore en 6 groupes de 5 sujets, correspondant aux 6 condtons expérmentales défns par le crosement de deux facteurs A : Facteur frustraton : modaltés : A : frustré A : non frustré B : Facteur agresson : 3 modaltés : B : non agressf B : moennement agressf B 3 : très agressf Les résultats sont donnés par le tableau c-contre. A A B B B Calcul de SCA : SCA obs nc( 0 ) A A Moenne ncr varance B,8 9,0 0 5,9 des moennes de A B 3, 6 5,0 0 4,3 SCA obs 30,0 30,0 B 3 3 5,0 3 3, , Calcul de SCB : SCB obs nr( 00 j ) Moenne 0 5,9 0 5,8 4,8 ncr varance j des moennes de B SCB obs 30 0,6067 8, Calcul de SC(A B) : SC(A B) r obs n ( j ) ncr varance des moennes des carrés crosés j SC(A B) obs 30 4,867 5,6 Calcul de SC(AB) : SC(AB) obs SC(A B) obs - SCA obs - SCB obs 5,6-30,0-8, 77,4 Calcul de SCT : SCT obs ncr varance de toutes les données SCT obs 30 7,6 4,8 Calcul de SCR : SCR obs SCT obs - SC(A B) obs 4,8-5,6 89, On présente l étude dans le : tableau d analse de la varance : Source SC obs ddl MC obs F obs A SCA obs 30,0 r - MCA obs 30,0 F A obs 8,077 B SCB obs 8, c - MCB obs 9, F B obs,4484 AB SCAB obs 77,4 (r - )(c - ) MCAB obs 38,7 F AB obs 0,46 R SCR obs 89, rc(n - ) 4 MCR obs 3,767 Total SCT obs 4,8 rcn - 9 Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-0-

21 Chaptre IV Analse du plan S 0 El Methn M. IV-. O est un (seul) facteur à effets fxes IV-- Généraltés O est un facteur à r modaltés o, o, o r (Occasons). S est le facteur sujet (à effets aléatores) dont les modaltés sont les n sujets s, s, s n. Pour chaque modalté du facteur O on «utlse» les n sujets. On a donc des mesures s répétées pour chaque sujet s dans l occason (modalté) O. En pschologe et en méthodologe on parle de plan ntra, en statstque on parle de plan à mesures répétées. On dspose donc de Nn r mesures s que l on présente sous la forme d un tableau : Facteur O (Occasons) Sujets o o o o r s r s r s s s s s sr s n n n n nr Remarque : Un premer avantage d un tel plan par rapport au plan S<O> est une «économe» du nombre de sujets. D autre part avec un tel plan on peut dmnuer l erreur expérmentale (résdu). En effet le contrôle du facteur sujet permet de séparer son effet des effets résduels. Mas le résdu sera confondu avec l nteracton entre S et O. IV-- Modèle unvaré : Les données peuvent être d une part, consdérées comme les Nn r observatons de la varable réponse Y dans les Nn r condtons expérmentales décrtes par le crosement du facteur sujet et du facteur occason. Elles peuvent d autre part, être regardées comme les n observatons d un vecteur de r varables réponses. Ces deux ponts de vue condusent à l élaboraton de deux modèles, le modèle mxte unvaré dans le premer cas et le modèle multvaré dans le second (vor condton de valdaton IV--5). Nous étuderons le modèle mxte unvaré dans lequel on consdère que les modaltés du facteur sujet ont été obtenues par échantllonnage, le facteur sujet est donc un facteur aléatore. Le facteur occason est lu un facteur à effets fxes. Chaque donnée s correspond alors à l observaton d une varable aléatore réelle Y s décrte par le modèle suvant : Y s µ + π s + ε s Où : les µ sont des constantes mesurant les effets fxes des modaltés (,,, r) du facteur O les π s sont des varables aléatores ndépendantes de lo N(0, σ π) mesurant les effets aléatores des modaltés s (s,,, n) du facteur S les résdus ε s sont des varables aléatores ndépendantes de lo N(0, σ ). On suppose en plus que les π s et les ε s sont ndépendantes. On peut réécrre l effet de la modalté sous la forme : µ µ + α on a donc : Y s µ + α + π s + ε s Où : µ constante s nterprétant comme un nveau général de réponse Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page--

22 les α sont des constantes mesurant les effets fxes des modaltés et vérfant : α 0 (contrante d dentfablté) Conséquence : D après ce modèle les Y s sont des varables aléatores de lo N(µ+α, σ π+σ ). L effet du facteur fxe se tradut sur la moenne de la varable réponse tands que l effet du facteur aléatore se tradut sur la varance de la varable réponse. Pour ce modèle, l nteracton entre le facteur sujet et le facteur occason est confondue avec le résdu car pour chaque modalté de l un et de l autre on ne dspose que d une seule observaton. IV--3 Décomposton de la varaton : On décompose la varaton totale en varaton nter-sujets (due au facteur sujet) et varaton ntrasujets (due à l effet du facteur O). SCT obs SC nter-sujets + SC ntra-sujets La varaton nter-sujets est due au facteur sujet et la varaton ntra-sujets est due d une part à l effet du facteur O et d autre part à l effet des autres facteurs non contrôlés SC ntra-sujets SCO obs + SCR obs Concluson : Dans le cas du plan complet S O, la varaton totale se décompose de façon addtve en : SCT obs SCS obs + SCO obs + SCR obs De même on a la décomposton des degrés de lberté : nr- (n-) + (r-) + (n-)(r-) Les dfférentes sommes de carrées se calculent par : SCT obs n r ( s ) nr varance totale s n nter-sujet obs r( s0 ) nr varance des moennes des sujets s SCS SCS SCO r obs n( 0 ) nr varance des moennes par occason SCR est calculé par : SCR obs SCT obs - SCS obs - SCO obs En pratque on peut effectuer les calculs en utlsant le tableau suvant : Facteur O (Occasons) Sujets o o o o r s0 s r 0 s r 0 ( ) s0 ( ) 0 ( ) s s s s s sr s0 0 ( ) s n n n n nr n r 00 ( ) ( ) 0 0 ( 0 ) ( 0 ) ( ) 0r r s0 ( ) ( ) n 0 n s n0 ( ) r s0 Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page--

23 IV--4 Statstques des tests : On montre le théorème suvant : Théorème : sous les hpothèses du modèle on a E(SCO) (r - )σ + nα E(SCS) (n - )(σ + rσ π) E(SCR) (n - )(r - )σ En consdérant les moennes des carrés : MCO SCO SCR MCR r ( r )(n ) On peut réécrre le théorème précédent sous la forme : Théorème : sous les hpothèses du modèle on a n E( MCO ) σ + α r r E( MCS ) σ + σ π n E(MCR) σ De nouveau on constate que MCR est un estmateur sans bas de la varance σ et que MCO est un également un estmateur de la varance σ augmentée d une valeur postve tradusant l effet du facteur. On consdérera donc la statstque F MCO O pour effectuer le test suvant : MCR Test de l effet du facteur O sur la varable Y : hpothèse nulle H 0 : O n a pas d effet ( ) α 0 (tous les α sont nuls) contre l hpothèse alternatve : H : O a un effet ( ) α 0 (l un au mons des α est non nul). Sous l hpothèse nulle MCO et MCR sont deux estmateurs ndépendants de σ, leur rapport F O est dstrbué selon une lo de Fscher à ν r - et ν (n - )(r - ) ddl. Le test est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F O obs λ α alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F O λ α ). Les résultats sont présentés dans le tableau d analse de la varance suvant : Source de varaton SC ddl MC F O Inter S SCS obs n - MCS obs Intra S SC ntra-sujets n(r ) O SCO obs r - MCO obs F O obs R SCR obs (n - )(r - ) MCR obs Total SCT obs rn - N - IV--5 Condton de valdaton : Les données peuvent être d une part, consdérées comme les Nn r observatons de la varable réponse Y dans les Nn r condtons expérmentales décrtes par le crosement du facteur sujet et du facteur occason. Elles peuvent d autre part, être regardées comme les n observatons d un vecteur de r varables réponses. Ces deux ponts de vue condusent à l élaboraton de deux modèles, le modèle mxte unvaré dans le premer cas et le modèle multvaré dans le second. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-3-

24 Le fat de mesurer pluseurs fos la varable réponse sur le même sujet ntrodut des corrélatons entre les observatons fates sur ce même sujet. Dans le cas du modèle mxte unvaré on montre 0s s s' cov( Ys, Ys ' ') σ π s s s' et ' que : σπ + σ s s s' et ' et cor( Y, Y ) s σ π s ' ' σπ + σ Dans le cas du modèle multvaré on consdère que les données sont les réalsatons de r vecteurs aléatores de dmenson n. Y s (Y s, Y s,, Y sr ) ndépendants et de même lo normale caractérsés par : E(Y s )µ Var(Y s )σ cov(y s, Y s ) cov Le modèle mxte unvaré est donc un cas partculer du modèle multvaré se caratérsant par un matrce de varance-covarance Σ de la forme : O O O O O σπ + σ σπ σπ σπ O σπ σπ + σ σπ σπ Σ O σπ σπ σπ + σ σπ Or σ π σπ σπ σπ + σ Une telle matrce où tous les termes sont postfs et où tous les termes dagonaux sont égaux et tous les autres sont égaux est dte matrce crculare, et cette proprété est appelée la smétre composée de la matrce. Sur la dagonale prncpale de la matrce des varances-covarances Σ se trouvent les varances et les éléments hors dagonale sont des covarances. L hpothèse d homogénété des varances (homoscédastcté) se tradut par l égalté des éléments de la dagonale de la matrce Σ, Les éléments en dehors de la dagonale prncpale de la matrce Σ dovent être de même ordre. De même on peut consdérer la matrce des corrélatons ρ : O O ρ... O O O... O... O σπ σπ σ π σ π + σ σπ + σ σπ + σ σ σ σ σπ σπ σπ σ π + σ σπ + σ σπ + σ σπ σπ σπ σπ + σ σπ + σ σπ + σ π π π σ π + σ σπ + σ σπ + σ... O r r r Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-4-

25 De ce fat, dans le cas du chox de modèle mxte unvaré, en calculant les varances-covarances nous obtenons ˆΣ l estmaton de la matrce des varances-covarances (et auss l'estmaton de la matrce des corrélatons). S les éléments de la dagonale de la matrce des varances-covarances ˆΣ sont de même ordre, alors la condton de l'homoscédastcté (homogénété des varances) est vérfée. S les éléments hors dagonale de la matrce des varances-covarance (ou des corrélatons) sont de même ordre que les varances, alors le chox du modèle mxte unvaré est justfé. C'est-à-dre que la condton de la crcularté (de sphércté) est acquse. IV--6 Exemple : Pendant ¼ d heure on compte le nombre d actons exercées par chacun des 7 rats sur un lever. Et cec dans tros condtons de renforcement : ere condton : on présente au rat des alments très apprécés. eme condton : on présente au rat des alments moennement apprécés. 3 eme condton : on présente au rat des alments peu apprécés. On obtent les résultats donnés par le tableau c-contre. Facteur O Sujets A B C moenne ( ) s0 s ,333,46 s ,00 s ,00 s ,734 s ,333 0,656 s ,667 0,74 s ,667,78 moenne 0 6, ,86 03,86 T 4,43 N 5,98 35,90 ) 7,365 0,00 8,6 5, ,857 ( 0 SCT38,574 SCO08,857 SCS5,90 SCRSCT- SCO- SCS3,8 MCO SCO 08, 9 r SCR 3, 8 MCO 54, 45 MCR 5, F ( n )( r ) 6 obs MCR 54, , 34, Les résultats sont présentés dans le tableau d analse de la varance suvant : Source de SC ddl MC F O varaton Inter S SCS obs 5,90 n 6 MCS obs,65 Intra S SC ntra-sujets n(r )4 O SCO obs 08,857 r MCO obs 54,45 F O obs 47,34 R SCR obs 3,8 (n - )(r - ) MCR obs,5 Total SCT obs 38,574 rn - N 0 Pour vérfer la condton de la smétre composée, nous allons établr la matrce des varances-covarances et auss la matrce des corrélatons pour les colonnes du tableau des observatons. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-5-

26 Très Apprécé Moennement Peu apprécé ,0,5,0,5,0,5 0,0 -, Très Apprécé Moennement Peu apprécé Matrce des varances-covarances Matrce des corrélatons O O O 3 O O O 3 O O O 3,55 0,84,633 0,898 0,04,06 O O O 3 0,5 0,700 0,55 On constate que les estmatons des varances ne sont pas très dfférentes. L hpothèse d homogénété des varances (homoscédastcté) peut être consdérée comme acquse. En ce qu concerne les covarances ou les corrélatons, on constate une corrélaton relatvement forte entre les résultats des condtons et 3 (r 3 0,7). Dans la condton 3 (alments peu apprécés), les rats n'ont pas trop d'actons. Mas, les rats très actfs dans la condton (alments très apprécés) sont auss actfs dans la condton 3, alors que les résultats de la condton ne sont pas corrélés n avec la condton n avec la condton. Ces résultats suggèrent une réflexon supplémentare sur ces données. Peut être faut-l examner un modèle multvaré et effectuer une MANOVA. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-6-

27 Chaptre V Analse du plan S A B El Methn M. V-. A et B sont deux facteurs à effets fxes V-- Généraltés On consdère le plan complet S A B défn par le crosement de tros facteurs S, A et B. S est le facteur sujet (aléatore) à n modaltés. A et B sont deux facteurs à effets fxes, A possède r modaltés et B c modaltés. Chacun des n sujets est observé dans chacun des r c crosements des modaltés de A et B. On dspose donc de Nn r c observatons sj que l on présente sous la forme d un tableau : a a a r Sujets b b j b c b b j b c b b j b c j c j c r rj rc j c j c r rj rc s s sj sc s sj sc sr srj src n n nj nc n nj nc nr nrj nrc V-- Modèle unvaré : Les données peuvent être d une part, consdérées comme les N n r c observatons d une seule varable aléatore Y dans les N n r c condtons expérmentales décrtes par le crosement des tros facteurs S, A et B. Elles peuvent d autre part, être regardées comme les n observatons d un vecteur de r c varables aléatores. Ces deux ponts de vue condusent à l élaboraton de deux modèles, le modèle mxte unvaré dans le premer cas, et le modèle multvaré dans le second. Comme pour le plan S O, nous allons étuder le modèle mxte unvaré dans lequel nous consdérons que les modaltés du facteur sujet ont été obtenues par échantllonnage, le facteur sujet est donc un facteur aléatore. Les facteurs A et B sont des facteurs à effets fxes. Chaque donnée sj correspond alors à l observaton d une varable aléatore Y sj et on pose le modèle mxte suvant : Y sj µ j + π s + (απ) s + (βπ) js + (αβπ) sj + e sj Pour chaque crosement des modaltés s, et j nous ne dsposons que d une seule observaton, l nteracton (αβπ) sj sera confondue avec le résdu et on pose : ε sj (αβπ) sj + e sj On a donc : Y sj µ j + π s + (απ) s + (βπ) js + ε sj Où Les µ j (,,, r, j,,, c) sont des constantes qu mesurent les effets fxes des modaltés (,j) du crosement A B Les π s (s,,, n) sont des varables aléatores ndépendantes et dentquement dstrbuées (d) de lo N(0 ;σ² π ) qu mesurent les effets aléatores des modaltés s du facteur S Les (απ) s (s,,, n,,,, r) sont des varables aléatores ndépendantes et dentquement dstrbuées (d) de lo N(0 ;σ² απ ) qu mesurent les effets aléatores d nteractons entre le facteur S et le facteur A Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-7-

28 Les (βπ) sj (s,,, n, j,,, c) sont des varables aléatores ndépendantes et dentquement dstrbuées (d) de lo N(0 ;σ² βπ ) qu mesurent les effets aléatores d nteractons entre le facteur S et le facteur B Les résdus ε sj sont des varables aléatores ndépendantes et dentquement dstrbuées (d) de lo N(0 ;σ²) De plus, on suppose que les résdus ε sj sont ndépendantes des π s, des (απ) s et des (βπ) sj. Nous pouvons réécrre l effet fxe de la modalté (,j) sous la forme suvante : µ j µ + α + β j + (αβ) j Où : Le paramètre µ s nterprète comme un nveau général de réponse commun pour l ensemble des observatons, Le paramètre α µ - µ s nterprète comme l effet de la modalté du facteur A Le paramètre β j µ j - µ s nterprète comme l effet de la modalté j du facteur B Le paramètre (αβ) j µ j - µ - µ j + µ s nterprète comme l effet de la modalté (,j) du crosement A B (l effet d nteracton de A et B). Le modèle mxte unvaré peut fnalement s écrre : Y sj µ + α + β j + (αβ) j + π s + (απ) s + (βπ) js + ε sj Où : les Y sj sont des varables aléatores de lo : N ( µ + α + β + ( αβ), σ + σ + σ + σ j j π απ βπ ) Une telle paramétrsaton nécesste de rajouter les contrantes d dentfablté suvantes : r c r c α 0 β 0 ( αβ ) 0 ( αβ ) 0 j j j j V--3 Décomposton de la varaton : On commence par décomposer la varaton totale en varaton nter-sujets et varaton ntra-sujets : SCT obs SC nter-sujets + SC ntra-sujets SC SC n nter-sujet rc( s00 ) N Varance des moennes des sujets s ( ) ntra-sujet sj s00 s,, j La varaton nter-sujets est due au facteur sujet et la varaton ntra-sujets est due aux effets du crosement A B et à l effet des autres facteurs non contrôlés. L effet du facteur A B se fat à deux nveaux : effet prncpal et effet d nteracton. SC ntra-sujets SC(A B) obs + SC(A B)S obs + SCR obs Avec : SC(A B) obs SC(A) obs + SC(B) obs + SC(AB) obs et : SC(A B)S obs SC(AS) obs + SC(BS) obs + SC(ABS) obs Ne dsposant que d une seule observaton pour chaque crosement (,j,s) on ne peut donc séparer l nteracton SAB du résdu on a donc : SC(ABS) obs SCR Concluson : Dans le cas du plan complet S A B, la varaton totale se décompose de façon addtve en : SCT obs SCS obs + SCA obs + SCB obs + SCAB obs + SCAS obs + SCBS obs + SCR obs De même on a la décomposton des degrés de lberté : N-ncr- (n-) + n(rc-) (n-) + n(rc-) - (c-)(r-)(n-) + (c-)(r-)(n-) N-ncr- (n-)+(r-)+(c-)+(c-)(r-)+(r-)(n-)+(c-)(n-) Les dfférentes sommes de carrées se calculent de façon habtuelles par : n c r obs s j SCT ( ) sj N varance de toutes les observatons Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-8-

29 SCS SCA rc ( obs s00 s n nc ( obs 00 r SCB nr( ) obs 00 j j c ) N varance des n moennes des sujets ) N varance des r moennes par modaltés de A N varance des c moennes par modaltés de B r c SC( A B ) obs n( 0j ) N varance des r c moennes par crosement de A et B j SC(AB) obs SC(A B) obs - SCA obs - SCB obs n r SC( A S ) obs c( s0 ) N varance des r n moennes par crosement de A et S s SC(AS) obs SC(A S) obs - SCA obs - SCS obs n c SC( B S ) obs r( s0 j ) N varance des n c moennes par crosement de B et S s j SC(BS) obs SC(B S) obs - SCB obs - SCS obs SCR obs SCT obs - SCS obs - SCA obs - SCB obs - SC(AB) obs - SC(AS) obs - SC(BS) obs Dans le cadre du modèle statstque ces sommes de carrés sont des réalsatons de varables aléatores dont on calcule les espérances et plus généralement les dstrbutons des probabltés. On montre le théorème fondamental suvant : Théorème : Sous les hpothèses du modèle, les statstques SCA, SCB, SCS, SCAB, SCAS, SCBS et SCR sont ndépendantes et d espérances respectves : E( SCS) ( n ) σ + rcσ E( SCA) ( r )( σ + cσ ) + ncα απ E( SCB) ( c )( σ + rσ ) + nrβ βπ j j E( SC(AB) ) ( r )( c ) σ + n( αβ ) E n r σ cσ j j ( SC(AS) ) ( )( )( + απ ) E n c σ rσ ( SC(BS) ) ( )( )( + βπ ) E( SCR) ( r )( c )( n ) σ π On ramène toutes les sommes de carrés à des moennes de carrés en dvsant par les degrés de lberté correspondants. SCA SCB SC(AS) SC(AB) MCA MCB MC(AS) MCAB r c ( r )( n ) ( r )( c ) SC(BS) SCR MC(BS) MCR ( c )( n ) ( r )( c )( n ) Cec nous permet de réécrre le théorème précédent sous la forme suvante : Théorème : Sous les hpothèses du modèle, les statstques MCA, MCB, MCS, MCAB, MCAS, MCBS et MCR sont ndépendantes et d espérances respectves : Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-9-

30 rc E( MCS) σ + σ ( n ) π E( MCA) σ + cσ + ncα απ r E( MCB) σ + rσ + nrβ βπ j c j E( MC(AB) ) σ + n( αβ ) E( MC(AS) ) σ + cσ j ( r )( c ) j απ E( MC(BS) ) σ + rσ E( SCR) σ βπ Cec nous permet de tester l exstence des dfférents effets des facteurs. On peut construre des tests ndépendants sur chacune des sources de varatons : Test : hpothèse nulle H 0A : pas d effet prncpal du facteur A ( ) α 0 contre l hpothèse alternatve : H A : l exste un effet prncpal du facteur A ( ) α 0 MCA Théorème : sous l hpothèse H 0A, la statstque FA MC(AS) (n - )(r - ) degrés de lberté. sut une lo de Fscher à r - et Le test est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F A obs λ α alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F A λ α ). Test : hpothèse nulle H 0B : pas d effet prncpal du facteur B ( j) β j 0 contre l hpothèse alternatve : H B : l exste un effet prncpal du facteur B ( j) β j 0 MCB Théorème : sous l hpothèse H 0B, la statstque FB MC(BS) (n - )(c - ) degrés de lberté. sut une lo de Fscher à c - et Le test est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F B obs λ α alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F B λ α ). Test 3 : hpothèse nulle H 0AB : pas d effet d nteracton (,j) (αβ) j 0 contre l hpothèse alternatve : H AB : l exste une nteracton (,j) (αβ) j 0 MC(AB) Théorème : sous l hpothèse H 0AB, la statstque FAB MCR (r - )(c - ) et (n - )(c - ) (r - ) degrés de lberté. sut une lo de Fscher à Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-30-

31 Le test3 est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F AB obs λ α alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F AB λ α ). On présente l étude dans le tableau d analse de la varance : Source SC obs ddl MC obs F obs Inter-sujets : S SCS obs n - Intra-sujets : A SCA obs r - MCA obs F A obs AS SC(AS) obs (r - )(n - ) MC(AS) obs B SCB obs c - MCB obs F B obs BS SC(BS) obs (c - )(n - ) MC(BS) obs AB SC(AB) obs (r - )(c - ) MC(AB) obs F AB obs R SCR obs (r - )(c - )(n - ) MCR obs Total SCT obs N - V--5 Condton de valdaton : Le fat de mesurer pluseurs fos la varable réponse sur le même sujet ntrodut des corrélatons entre les observatons fates sur ce même sujet. Dans le cas du modèle mxte unvaré on montre 0 s s s' σ π s s s ' et ' et j j ' cov( Y, s ' ' ' sj Ys ' ' j ') σπ + σαπ s s et et j j σπ + σβπ s s s' et ' et j j ' σπ + σαπ + σβπ s s s ' et ' et j j ' que : cor( Y, Y ) sj σ π s ' ' j ' σπ + σαπ + σβπ + σ σ + σ cor( Ysj, Ys ' ' j ) σ σ σ σ cor( Y, Y ) sj π απ π + απ + βπ + σ + σ π βπ s ' j ' σπ + σαπ + σβπ + σ Dans le cas du modèle multvaré on consdère que les données sont les réalsatons de n vecteurs aléatores de dmenson rc. Y s (Y s, Y s,, Y src ) ndépendants et de même lo normale caractérsés par : E(Y sk )µ j Var(Y sk )σ j cov(y sk, Y sk ) cov kk Le modèle mxte unvaré est donc un cas partculer du modèle multvaré correspondant aux hpothèses de crcularté de la matrce de varance-covarance Σ de la forme : Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-3-

32 B σ π + σ πα+ σ πβ+ σ A A Ar B B c B B j B c B B c A r A B c σ π+σ πα σ π + σ πα+ σ πβ+ σ B σ π+σ πβ σ σ π π + σ πα+ σ πβ+ σ A B j σ π σ π σ π+σ πα σ π + σ πα+ σ πβ+ σ B c σ π σ π+σ πβ σ π+σ πα σ π+σ πα σ π + σ πα+ σ πβ+ σ B σ π+σ πβ σ π σ π+σ πβ σ π σ π σ π + σ πα+ σ πβ+ σ B c σ π σ π+σ πβ σ π σ π σ π+σ πβ σ π+σ πα σ π + σ πα+ σ πβ+ σ A σ π + σ πα+ σ πβ+ σ B B j B c A A r A A A r A A r B c B A r σ π+σ πβ σ π + σ πα+ σ πβ+ σ A σ π+σ πα σ σ π π + σ πα+ σ πβ+ σ B j A σ π σ π σ π+σ πβ σ π + σ πα+ σ πβ+ σ A r σ π σ π+σ πα σ π+σ πβ σ π+σ πβ σ π + σ πα+ σ πβ+ σ A σ π+σ πα σ π σ π+σ πα σ π σ π σ π + σ πα+ σ πβ+ σ A r σ π σ π+σ πα σ π σ π σ π+σ πα σ π+σ πβ σ π + σ πα+ σ πβ+ σ Lcence de pschologe L3 Analse de la varance El Methn M Page-3-

33 V--6 Exemple : Un expérmentateur veut étuder l effet de la consommaton de lécthne sur les troubles de mémore. Il chost 4 sujets auxquels l admnstre un tratement quotden. Au bout d un mos, de deux mos et de sx mos de tratements, l fat passer à chaque sujet deux tests. Le premer test (test ) est le même chaque mos, le deuxème test (test ) est une forme parallèle chaque mos. Test Test Sujet M M M 6 M M M Pratque des calculs : Test Test Sujet M M M 6 M M M , ,66 7,5 0 7, , , , ,75 0, ,5 0 0,5 0 8,5 00 6, , ,5 00 8, Pratque des calculs : autre méthode A B M M M 6 moennes A S 3 4 T 9,50,00 0,75 0,75 T 0,00 8,33 7,33 7,33 T 8,50 0,50 6,50 8,50 T 4,00 6,67 4,67 8,67 moennes 9,00,5 8,65 9,65 moennes 7,00 7,50 6,00 8,00 B S 3 4 M 6,50 7,00 5,50 7,00 M 8,50 0,00 7,00 9,50 M 6 6,00 5,50 5,50 7,50 moennes 7,00 7,50 6,00 8,00 Calcul des sommes des carrées : SCT645,65 SCS508,5 SCA30,375 SCB3,5 SC(A B)74,875 SC(AB),5 SC(A S)579,565 SC(AS)4,33 SC(B S)546,5 SC(BS)5,75 SCR5,74 Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-33-

34 Tableau d analse de la varance : Source SC obs ddl MC obs F obs Inter S SCS obs 508,5 n - 3 Intra S A SCA obs 30,375 r - MCA obs 30,375 F A obs,5 AS SC(AS) obs 4,33 (r - )(n - )3 MC(AS) obs 3,7 B SCB obs 3,5 c - MCB obs 6,5 F B obs 6,87 BS SC(BS) obs 5,75 (c - )(n - )6 MC(BS) obs 0,9583 AB SC(AB) obs,5 (r - )(c - ) MC(AB) obs 6,5 F AB obs,334 R SCR obs 5,74 (r - )(c - )(n - )6 MCR obs,64 Total SCT obs 645,65 N - 3 Test de l exstence des dfférents effets : Test : Effet prncpal du facteur A hpothèse nulle H 0A : pas d effet prncpal du facteur A ( ) α 0 contre l hpothèse alternatve : H A : l exste un effet prncpal du facteur A ( ) α 0 MCA Théorème : sous l hpothèse H 0A, la statstque FA MC(AS) (n - )(r - )3 degrés de lberté. sut une lo de Fscher à r et Le test est alors défn au seul de sgnfcaton α5% par la règle de décson suvante : s F A obs λ α 0, alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F A λ α ). Or F A obs,5 < λ α 0, on en conclue qu l n a pas d effet prncpal du facteur A Test : Effet prncpal du facteur B hpothèse nulle H 0B : pas d effet prncpal du facteur B ( j) β j 0 contre l hpothèse alternatve : H B : l exste un effet prncpal du facteur B ( j) β j 0 MCB Théorème : sous l hpothèse H 0B, la statstque FB MC(BS) (n - )(c - )6 degrés de lberté. sut une lo de Fscher à c et Le test est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F B obs λ α 5,4 alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F B λ α ). Or F B obs 6,87 > λ α 5,4 on en conclue qu l a un effet prncpal du facteur B Test 3 : Test de l effet d nteracton des facteurs A et B hpothèse nulle H 0AB : pas d effet d nteracton (,j) (αβ) j 0 contre l hpothèse alternatve : H AB : l exste une nteracton (,j) (αβ) j 0 Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-34-

35 MC(AB) Théorème : sous l hpothèse H 0AB, la statstque FAB MCR (r - )(c - ) et (n - )(c - ) (r - )6 degrés de lberté. sut une lo de Fscher à Le test3 est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F AB obs λ α 5,4 alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F AB λ α ). Or F AB obs,334 < λ α 5,4 on en conclue qu l n a pas d effet d nteracton des facteurs A et B Condton de valdaton du modèle : Calculons la matrce de varances covarances emprque (et auss la matrce des corrélatons) pour examner la condton de valdté du modèle mxte unvaré. Les résultats sont présentés sous forme de blocs homogènes (qu devraent l être). Matrce de Varances Covarances A Test Test A B M M M 6 M M M 6 M 8,750 Test M 4,500,500 Test M 6 7,875 7,000 3,88 M 6,50 8,750 5,875 5,50 M 4,50 8,750 0,5 7,750 3,750 M 6 9,50 9,750 5,875,750 5,750 0,50 Matrce des corrélatons. A Test Test A B M M M 6 M M M 6 M Test M 0,9633 Test M 6 0,980 0,9869 M 0,603 0,7866 0,8700 M 0,7903 0,776 0,9684 0,9650 M 6 0,7978 0,953 0,974 0,969 0,9999 Le premer bloc (en haut et à gauche) est le bloc des varables ssues des modaltés de B alors que A prend la modalté «test». Le deuxème bloc (en bas et à drote) est le bloc des varables ssues des modaltés de B alors que A prend la modalté «test». Et le trosème bloc (en bas et à gauche) est le bloc des varables ssues des modaltés de B et auss des modaltés de A (test et test) à la fos. Dans ce derner bloc, on dstngue les éléments de la dagonale, dont les modaltés de B sont les mêmes des éléments hors dagonale. Nous constatons qu'à l'ntéreur des blocs nous avons, (plus ou mons) une homogénété des covarances (et auss des corrélatons). En ce qu concerne la condton d'homoscédastcté (homogénété des varances), nous ne constatons pas une dfférence mportante sur la dagonale prncpale de la matrce, donc nous pouvons penser que cette condton est également acquse. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-35-

36 Chaptre VI Analse du plan S<A> B El Methn M. VI-. A et B sont deux facteurs à effets fxes VI-- Généraltés On consdère le plan quas-complet S<A> B où les sujets sont réparts dans des groupes défns par les r modaltés du facteur A. Chaque sujet est observé dans les dfférentes occasons défnes par les c modaltés du facteur B. Il a n sujets par groupe. On a donc échantllonné n r sujets et on dspose donc de Nn r c observatons s()j que l on présente sous la forme d un tableau : a a a r Sujets b b j b c b b j b c b b j b c () ()j ()c () ()j ()c (r) (r)j (r)c () ()j ()c () ()j ()c (r) (r)j (r)c s s() s()j s()c s() s()j s()c s(r) s(r)j s(r)c n n() n()j n()c n() n()j n()c n(r) n(r)j n(r)c VI-- Modèle unvaré : Les données peuvent être d une part, consdérées comme les N n r c observatons d une seule varable aléatore Y dans les N n r c condtons expérmentales décrtes par le crosement des tros facteurs S emboîté dans A et B. Elles peuvent d autre part, être regardées comme les n r observatons d un vecteur de c varables aléatores. Ces deux ponts de vue condusent à l élaboraton de deux modèles, le modèle mxte unvaré dans le premer cas, et le modèle multvaré dans le second. Comme pour les plans S O et S A B nous allons étuder le modèle mxte unvaré dans lequel nous consdérons que les modaltés du facteur sujet ont été obtenues par échantllonnage, le facteur sujet est donc un facteur aléatore. Les facteurs A et B sont des facteurs à effets fxes. Chaque donnée s()j correspond alors à l observaton d une varable aléatore Y s()j et on pose le modèle mxte suvant : Y s()j µ j + π s() + (πβ) sj + e s()j Pour chaque crosement des modaltés s et j nous ne dsposons que d une seule observaton, l nteracton (πβ) sj sera confondue avec le résdu et on pose : ε s()j (πβ) sj + e s()j On a donc : Y s()j µ j + π s() + ε s()j Où Les µ j (,,, r, j,,, c) sont des constantes qu mesurent les effets fxes des modaltés (,j) du crosement A B Les π s() (s,,, n,,,, r) sont des varables aléatores ndépendantes et dentquement dstrbuées (d) de lo N(0 ;σ² π ) qu mesurent les effets aléatores des modaltés s du facteur S Les résdus ε s()j sont des varables aléatores ndépendantes et dentquement dstrbuées (d) de lo N(0 ;σ²) De plus, on suppose que les résdus ε s()j sont ndépendantes des π s(). Nous pouvons réécrre l effet fxe de la modalté (,j) sous la forme suvante : Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-36-

37 µ j µ + α + β j + (αβ) j Où : Le paramètre µ s nterprète comme un nveau général de réponse commun pour l ensemble des observatons, Le paramètre α µ - µ s nterprète comme l effet de la modalté du facteur A Le paramètre β j µ j - µ s nterprète comme l effet de la modalté j du facteur B Le paramètre (αβ) j µ j - µ - µ j + µ s nterprète comme l effet d nteracton des modaltés et j. Le modèle mxte unvaré peut fnalement s écrre : Y s()j µ + α + β j + (αβ) j + π s() + ε s()j Où : les Y s()j sont des varables aléatores de lo : N ( µ + α + β, σ + σ j π ) Une telle paramétrsaton nécesste de rajouter les contrantes d dentfablté suvantes : r c r c α 0 β 0 ( αβ ) 0 ( αβ ) 0 j j j j VI--3 Décomposton de la varaton : On note : s()0 la moenne des c observatons de la modalté s() de l emboîtement S<A> 0( )0 la moenne des nc observatons de la modalté de A la moenne des nr observatons de la modalté j de B 0(0) j 0( ) jla moenne des n observatons de la modalté (,j) du crosement A B et la moenne générale On commence par décomposer la varaton totale en varaton nter-sujets et varaton ntra-sujets : SCT obs SC nter-sujets + SC ntra-sujets SC SCS SC nter-sujet obs c ( s ( )0 ) N Varance des moennes des sujets s() ( ) ntra-sujet s ( ) j s ( )0 s() j On décompose la varaton nter-sujets en varaton nter A et varaton ntra A. On obtent : SC nter-sujets SCS obs SC nter A + SC ntra A où : SC SCA nc ( ) nter A obs 0( )0 r SC SCS(A) c ( ) ntra A obs s( )0 0( )0 s() La varaton ntra-sujets est due aux effets du facteur B et à l effet des autres facteurs non contrôlés. L effet du facteur B se fat à deux nveaux : effet prncpal et effet d nteracton avec A. On a : SC ntra-sujets SCB obs + SC(AB) obs + SCR obs Avec : SC(AB) obs SC(A B) obs - SC(A) obs - SC(B) obs Concluson : Dans le cas du plan complet S<A> B, la varaton totale se décompose de façon addtve en : SCT obs SCA obs + SCS(A) obs + SCB obs + SCAB obs + SCR obs De même on a la décomposton des degrés de lberté : N-ncr- (r-)+r(n-)+(c-)+(r-)(c-)+r(c-)(n-) Les dfférentes sommes de carrées se calculent de façon habtuelles par : Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-37-

38 n c r obs s ( ) j s j SCT ( ) SCA nc( ) SCS obs 0( )0 n obs s ( )0 s r c ( SCS(A) obs SCS obs - SCA obs SCB nr( ) obs 0(0) j j c N varance de toutes les observatons N varance des r moennes par modaltés de A ) N varance des r n moennes des sujets N varance des c moennes par modaltés de B r c SC( A B ) obs n( 0( ) j ) N varance des r c moennes par crosement de A et B j SC(AB) obs SC(A B) obs - SCA obs - SCB obs SCR obs SCT obs - SCA obs - SCB obs - SC(AB) obs - SCS(A) obs Dans le cadre du modèle statstque ces sommes de carrés sont des réalsatons de varables aléatores dont on calcule les espérances et plus généralement les dstrbutons des probabltés. On montre le théorème fondamental suvant : Théorème : Sous les hpothèses du modèle, les statstques SCA, SCB, SCAB, SCS(A), et SCR sont ndépendantes et d espérance respectve : E( SCA) ( r )( σ + cσ ) + ncα E r n c ( SCS(A) ) ( )( σ + σπ ) E( SCB) ( c )( σ + σ ) + nrβ βπ j j E SC(AB) r c σ σ n αβ) ( ) ( )( )( + βπ ) + ( j E r c n ( SCR) ( )( )( + βπ ) π σ σ On ramène toutes les sommes de carrés à des moennes de carrés en dvsant par les degrés de lberté correspondants. MCA SCA MCB SCB SCS(A) SC(AB) SCR MCS(A) MCAB MCR r c rn ( ) ( r )( c ) rn ( )( c ) Cec nous permet de réécrre le théorème précédent sous la forme suvante : Théorème : Sous les hpothèses du modèle, les statstques MCA, MCB, MCS(A), MCAB, et MCR sont ndépendantes et d espérances respectves : E( MCA) σ + cσπ + ncα E( MCB) σ + σβπ + nrβ j r c E( MC(AB) ) σ + σ + n( αβ) βπ j ( r )( c ) j E( MC(S(A)) ) σ + cσ E( MCR) σ + σ π βπ Cec nous permet de tester l exstence des dfférents effets des facteurs. On peut construre des tests ndépendants sur chacune des sources de varatons : Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-38- j j

39 Test : hpothèse nulle H 0A : pas d effet prncpal du facteur A ( ) α 0 contre l hpothèse alternatve : H A : l exste un effet prncpal du facteur A ( ) α 0 MCA Théorème : sous l hpothèse H 0A, la statstque FA MCS(A) r(n - ) degrés de lberté. sut une lo de Fscher à r - et Le test est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F A obs λ α alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F A λ α ). Test : hpothèse nulle H 0B : pas d effet prncpal du facteur B ( j) β j 0 contre l hpothèse alternatve : H B : l exste un effet prncpal du facteur B ( j) β j 0 MCB Théorème : sous l hpothèse H 0B, la statstque FB MCR r(n - )(c - ) degrés de lberté. sut une lo de Fscher à c - et Le test est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F B obs λ α alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F B λ α ). Test 3 : hpothèse nulle H 0AB : pas d effet d nteracton (,j) (αβ) j 0 contre l hpothèse alternatve : H AB : l exste une nteracton (,j) (αβ) j 0 MC(AB) Théorème : sous l hpothèse H 0AB, la statstque FAB MCR (r - )(c - ) et r(n - )(c - ) degrés de lberté. sut une lo de Fscher à Le test3 est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F AB obs λ α alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F AB λ α ). On présente l étude dans le tableau d analse de la varance : Source SC obs ddl MC obs F obs Intra-S : A SCA obs r - MCA obs F A obs S(A) SCS(A) obs r(n - ) MCS(A) obs Inter-S : B SCB obs c - MCB obs F B obs AB SC(AB) obs (r - )(c - ) MC(AB) obs F AB obs R SCR obs r(c - )(n - ) MCR obs Total SCT obs N - Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-39-

40 VI--5 Condton de valdaton : Le fat de mesurer pluseurs fos la varable réponse sur le même sujet ntrodut des corrélatons entre les observatons fates sur ce même sujet. Dans le cas du modèle mxte unvaré on montre 0 s s ( ) s'( ') cov( Ys () j, Ys'(') j' ) σ π s j j' que : σπ + σ s j j' π s ( ) jys'( ') j' σπ + σ cor( Y, ) σ Dans le cas du modèle multvaré on consdère que les données sont les réalsatons de n vecteurs aléatores de dmenson rc. Y s (Y s(), Y s(),, Y s()c ) ndépendants et de même lo normale caractérsés par : E(Y s()j )µ j Var(Y s()j )σ j cov(y s()j, Y s()j ) cov ()jj Le modèle mxte unvaré est donc un cas partculer du modèle multvaré correspondant aux hpothèses de crcularté et d homogénété des matrces des varances-covarances Σ ι (,,, r) de la forme : σπ + σ σπ σπ σ π σπ σπ + σ σπ σπ Σ σπ σπ σπ + σ σπ σ π σπ σπ σπ + σ De même on peut consdérer la matrce des corrélatons ρ : σπ σπ σπ σ π + σ σπ + σ σπ + σ σπ σπ σ π σ π + σ σπ + σ σπ + σ ρ σπ σπ σπ σ π + σ σπ + σ σπ + σ σπ σπ σπ σπ + σ σπ + σ σπ + σ Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-40-

41 V--6 Exemple : Dans une expérence les sujets dovent estmer la longueur d une barre métallque. Les barres présentées ont tros longueurs dfférentes. On forme deux groupes de 4 sujets dstncts, dans chaque groupe on présente à chaque sujet tros barres de longueurs dfférentes G G Sujet L L L 3 L L L Pratque des calculs : G G Sujet L L L 3 L L L ()0 0 () ()0 8, ()0 6, ()0 7,33 3()0 4, ()0 7,33 4()0 8, 67 0()3 0, 75 0() 8,5 0() 0,5 0()3 6,5 0() 9,5 0() 0()0 0,75 0()0 8,5 0(0) 9 0(0),5 0(0)3 8,65 9,65 Pratque des calculs : autre méthode A B L L L 3 moennes A S 3 4 G 9,50,00 0,75 0,75 G 0,00 8,33 7,33 7,33 G 8,50 0,50 6,50 8,50 G 4,00 6,67 4,67 8,67 moennes 9,00,5 8,65 9,65 SCT645,65 SCS579,853 SCA30,375 SCB3,5 SC(A B)74,875 SC(AB),5 SCS(A)549,478 SCR,7 Tableau d analse de la varance : Source SC obs ddl MC obs F obs Intra-S : A SCA obs 30,375 r - MCA obs 30,375 F A obs 0,33! S(A) SCS(A) obs 549,478 r(n - )6 MC(AS) obs 9,579 Inter-S : B SCB obs 3,5 c - MCB obs 6,5 F B obs 9,099 AB SC(AB) obs,5 (r - )(c - ) MC(AB) obs 6,5 F AB obs 3,4565 R SCR obs,7 r(c - )(n - ) MCR obs,77 Total SCT obs 645,65 N - 3 Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-4-

42 Test de l exstence des dfférents effets : Test : Effet prncpal du facteur A hpothèse nulle H 0A : pas d effet prncpal du facteur A ( ) α 0 contre l hpothèse alternatve : H A : l exste un effet prncpal du facteur A ( ) α 0 MCA Théorème : sous l hpothèse H 0A, la statstque FA MCS(A) r(n - ) degrés de lberté. sut une lo de Fscher à r - et Le test est alors défn au seul de sgnfcaton α5% par la règle de décson suvante : s F A obs λ α 0, alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F A λ α ). Or F A obs 0,33< Dans ce cas partculer on consdère / F A obs /0,333,05 et la comparason se fat par rapport à la valeur lue dans la table de Fsher en nversant les degrés de lberté. 3,05 < λ α 34 on en conclue qu l n a pas d effet prncpal du facteur A Test : Effet prncpal du facteur B hpothèse nulle H 0B : pas d effet prncpal du facteur B ( j) β j 0 contre l hpothèse alternatve : H B : l exste un effet prncpal du facteur B ( j) β j 0 MCB Théorème : sous l hpothèse H 0B, la statstque FB MCR r(n - )(c - ) degrés de lberté. sut une lo de Fscher à c - et Le test est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F B obs λ α 3,89 alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F B λ α ). Or F B obs 9,099 > λ α 3,89 on en conclue qu l a un effet prncpal du facteur B Test 3 : Test de l effet d nteracton des facteurs A et B hpothèse nulle H 0AB : pas d effet d nteracton (,j) (αβ) j 0 contre l hpothèse alternatve : H AB : l exste une nteracton (,j) (αβ) j 0 MC(AB) Théorème : sous l hpothèse H 0AB, la statstque FAB MCR (r - )(c - ) et r(n - )(c - ) degrés de lberté. sut une lo de Fscher à Le test3 est alors défn au seul de sgnfcaton α par la règle de décson suvante : s F AB obs λ α 3,89 alors on rejette l hpothèse nulle où λ α est donné par l équaton : α P(F AB λ α ). Or F AB obs 3,4565 < λ α 3,89 on en conclue qu l n a pas d effet d nteracton des facteurs A et B Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-4-

43 Condton de valdaton du modèle : Calculons la matrce de varances covarances emprque (et auss la matrce des corrélatons) pour examner la condton de valdté du modèle mxte unvaré. Matrce des varances-covarances L L L 3 Groupe (AG ) Groupe (AG ) L L L L L L 3 8,75 4,500,50 7,875 7,000 3,88 On consdère la matrce des varances-covarances «moenne» L L L 3 L 7,000 L 6,5 7,65 L3 9,83,375 6,79 et la matrce des corrélatons assocée : L L L L L L 3 L L L 3 0,957 0,933 0,995 La valdté du modèle mxte unvaré est consdérée comme acquse. 3 3,500 7,750 3,750,750 5,750 0,50 Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-43-

44 Chaptre VII Analse des comparasons El Methn M. VII-. Généraltés VII-- Noton de comparason Contrarement à l analse de la varance canonque nous nous ntéressons aux stuatons où les hpothèses portent sur des comparasons entre les effets assocés à certanes modaltés des facteurs. De ce fat on ne consdère que des facteurs à effets fxes. Dans le cas d un facteur à effets fxes, le modèle pose que les effets du facteur portent sur la moenne de la VD. Comparer les effets de certanes modaltés revent donc à comparer les moennes qu leur sont assocées dans le modèle. Défnton : On appelle contraste entre k moennes µ, µ,, µ k toute combnason lnéare de la k forme : C cµ où c 0 k On appelle comparason tout ensemble de contrastes. VII-- Constructon d un contraste Une hpothèse portant sur une comparason entre des moennes est tradute par la donnée d'un contraste entre les moennes. Ce contraste est caractérsé par la donnée d'un ensemble de coeffcents de somme nulle. Nous donnons un procédé partculer permettant de chosr ces coeffcents. Ce procédé repose sur une proprété classque de la moenne arthmétque pondérée. Proposton : Etant donnée un ensemble de valeurs et une pondératon quelconque sur cet ensemble de valeurs, la somme des écarts pondérés à la moenne pondérée est nulle. Comparer des moennes revent à Ordonner les moennes ou les écarts entre les moennes. Assocer à chaque moenne un rang selon l'hpothèse à tester. Calculer la moenne des rangs, pus centrer les rangs par rapport à leur moenne. Les coeffcents sont alors calculés à partr des rangs centrés en utlsant la proposton précédente. Remarque : L'usage condut à consdérer des pondératons proportonnelles aux pods des modaltés. Ans quand les groupes sont équlbrés, on calcule une smple moenne arthmétque. Par contre, dans le cas d'un plan non équlbré, les effectfs des groupes consttuent les pods des modaltés. Certanes moennes peuvent ne pas être concernées par des hpothèses. Les coeffcents relatfs à ces moennes seront nuls. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-44-

45 VII--3 Tests d hpothèses sur les comparasons Nous avons vu que poser une hpothèse sur certans effets du facteur revent à construre un contraste C. Pour défnr le test d'hpothèses, nous pouvons écrre les hpothèses de test sur le contraste C : H 0 : C 0 contre H : C 0 (respectvement C>0 ou C<0) Dans le cas d'une comparason smple sur deux modaltés partculères, le contraste correspondant est écrt sur les moennes théorques µ et µ : C µ - µ et la statstque de test est défne à partr des observatons : Ĉ Y Y La dstrbuton d'échantllonnage de la statstque de test Ĉ Y Y dépend des hpothèses fates sur le modèle, (talle, échantllons, ) et peut être sot la lo normale sot la lo de Student. Dans le cas général, la constructon des tests de comparasons est fondée sur l'évaluaton des contrastes à partr des observatons. Pour effectuer un test d'hpothèses sur le contraste k k C cµ où c 0 la statstque de test est défne par : Cˆ cy On généralse ans le test de comparason entre deux moennes au test de comparason entre deux groupes de moennes. VII--4 Les erreurs de premère espèce La queston prncpale qu se pose dans tout examen des procédures de comparasons multples est lée à la probablté de commettre des erreurs de premère espèce. La plupart des dfférences entre les méthodes proposées sont dues au fat qu'on adopte des approches dfférentes dans la manère de contrôler les erreurs. Le problème est en parte technque, mas l relève ben plus encore d'une queston subjectve : comment veut-on défnr le taux d'erreur et quelle marge se donne-t-on pour le taux maxmal d'erreur possble? Étant donné un ensemble de comparasons, on est amené à dstnguer deux tpes d'erreurs de premère espèce : l'erreur par comparason notée α(ec) : α(ec) P(rejeter H 0 à tort) dans une comparason donnée. Nous avons déjà utlsé l'erreur par comparason (EC). Il s'agt de la probablté de commettre une erreur de premère espèce dans une comparason donnée. S, par exemple, nous procédons à une comparason en effectuant un test t entre deux groupes et rejetons l'hpothèse nulle parce que notre t excède t 0,05, nous travallons avec une erreur par comparason de α0,05. l'erreur de l'ensemble notée α(ee) : α(ee) P(rejeter au mons une fos H 0 à tort) dans l'ensemble des comparasons. Lorsque nous aurons effectué un ensemble de comparasons entre nos moennes de groupes, nous arrvons à un ensemble (souvent appelé famlle) de conclusons. Par exemple, la famlle pourrat se composer des affrmatons : µ < µ et µ 3 < µ 4 et µ < (µ 3 + µ 4 )/. La probablté de vor cette famlle de conclusons contenr au mons une erreur de premère espèce est appelée erreur de l'ensemble α(ee). De nombreuses procédures que nous examnons vsent de façon spécfque à contrôler l'erreur d'ensemble α(ee). k Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-45-

46 Dans une expérence qu n'mplque qu'une seule comparason on a α(ec) α(ee). Par contre, à mesure que le nombre de comparasons augmente, ces deux probabltés se dfférencent. On peut donner un calcul approché de la relaton entre ces deux probabltés α(ec) et α(ee). Consdérons une famlle de r comparasons C, C,, C r et sot α le seul de sgnfcaton pour chaque comparason smple : α(ec) α. Pour une comparason donnée, P(ne pas rejeter H 0 ) -α. Pour un ensemble de comparasons : P(aucune erreur de premère espèce)p(pas d erreur de premère espèce pour C pas d erreur de premère espèce pour C pas d erreur de premère espèce pour C r ) S les comparasons sont ndépendantes alors : P(aucune erreur de premère espèce)p(pas d erreur de premère espèce pour C P(pas d erreur de premère espèce pour C ) P(pas d erreur de premère espèce pour C r )(-α) (-α) (-α)(-α) r Et donc : α(ee) - ( - α(ec)) r. Par exemple, pour c 5 et α(ec) 0,05, on obtent α(ee) - ( - 0,05) 5 0,6. On constate c l'mportance de contrôler l'erreur de l'ensemble. S on fxe la valeur de α(ee) dans le cas de comparasons ndépendantes, on peut dédure la valeur de α(ec) pour chacune des comparasons : α(ec) ( α(ee)) r Par exemple pour cnq comparasons ndépendantes : α(ee) 0% α(ec),09% α(ee) 5% α(ec),0% α(ee) % α(ec) 0,0% VII--5 Comparasons a pror et a posteror Une comparason tradut une hpothèse de l'expérmentateur. On peut dstnguer alors deux tpes de comparasons : les comparasons a pror défnes avant la collecte des données et qu tradusent une hpothèse théorque de l'expérmentateur, les comparasons a posteror planfées lorsque l'expérmentateur a rassemblé les données, examné les moennes et noté quelles moennes sont élognées et quelles moennes sont proches l'une de l'autre. La dstncton entre deux tpes d'erreur apparaît ben lorsque l'on compare les procédures de comparasons a pror et les procédures de comparasons a posteror. Consdérons le cas où le facteur possède 5 modaltés et nous avons 5 moennes. Dans ce cas, l a 0 comparasons possbles mplquant des pares de moennes (ex. Y par rapport à Y, Y par rapport à Y, etc.). Supposons que l'hpothèse nulle (absence d'effet) sot vérfée. Pour effectuer ce test nous sommes amenés à comparer les moennes emprques. Supposons que Y et Y soent suffsamment élognées pour nous amener à rejeter l'hpothèse µ 3 µ 4, et aucun 3 4 autre test ne révélant une dfférence sgnfcatve entre les moennes. S nous devons planfer à l'avance une comparason unque parm les 0 comparasons par pares possbles, nous avons une chance sur dx de fare la comparason qu mplque une erreur de premère espèce. Par contre, s nous examnons les données avant de fare le test, nous sommes certans de fare une erreur de premère espèce. En effet, au vu des données, même s on veut n'effectuer qu'une seule comparason, on procède mplctement à l'examen de toutes les comparasons par pares avant de 3 Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-46-

47 chosr la plus sgnfcatve. Cela équvaut alors à la stuaton où l on effectue une famlle de comparasons. Les procédures de comparasons a posteror ajustent α(ec) comme s'l s'agssat d'une famlle de comparasons. Cet exemple montre que s les comparasons sont planfées a pror et consttuent un sous-ensemble strct de l'ensemble de toutes les comparasons possbles, alors la probablté de commettre une erreur de premère espèce est plus pette que s les comparasons ntervennent a posteror. VII-. Analse des comparasons a pror dans un plan à un facteur On étude des tests portant sur des hpothèses a pror dans le cas d un plan (nter S<A> ou ntra S A) où A est un facteur à effets fxes. Le facteur A à k modaltés et le plan peut être sot équlbré et dans ce cas on dspose de n observatons de la varable dépendante Y dans chacune des k condtons expérmentales (Nkn), sot un plan non équlbré et on dspose de n observatons de la varable dépendante Y dans la modalté du facteur A ( N n ). Rappelons que les données sont alors décrtes par le modèle : l observaton du sujet s dans la condton est la réalsaton d une varable aléatore Y s de lo N(µ, σ Y), (s,, n ;,, k) σ dans le cas d'un plan nter avec : σ Y σ + σπ dans le cas d' un plan ntra VII-- Analse d un contraste Sot C un contraste entre les moennes : C cµ où c 0 k k On veut tester H 0 : C0 contre H : C 0 (respectvement C>0 ou C<0) au vu des N observatons de la varable dépendante Y. Proposton : En estmant les moennes µ par les Y on peut construre un estmateur de C par : k Cˆ cy. Sous les hpothèses du modèle, Ĉ est une varable aléatore normalement dstrbuée d espérance : k Var( ˆ σ E( Cˆ ) C et de varance : C) c n L estmaton k cˆ c est une réalsaton de cette varable aléatoreĉ. Sous l hpothèse nulle H 0 la moenne de Ĉ est nulle et on est donc ramené au test de comparason à 0 de la moenne d une lo normale de varance nconnue. On peut procéder de deux manères. Test de Student : Cˆ Cˆ n Pour un plan équlbré on prendra la statstque de test : T k k S c S c Pour un plan non équlbré on prendra la statstque de test : T k n S Cˆ k c n Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-47-

48 Où S est un estmateur de σ. Or on sat que MCR est auss un estmateur de σ, on a donc : Cˆ n Pour un plan équlbré on prendra la statstque de test : T Pour un plan non équlbré on prendra la statstque de test : T MCR k c Cˆ MCR Proposton 3 : Sous l hpothèse nulle H 0 la statstque T sut une lo de Student à νddl(scr) degrés de lberté. Décson statstque : Le test H 0 : C0 contre H : C 0 de nveau α est défn par la règle de décson : s t T obs λ α on rejette H0 avec λ α donné par la table de Student à ν degrés de lberté : P(λ α )-α/ Le test H 0 : C0 contre H : C>0 de nveau α est défn par la règle de décson : s tt obs λ α on rejette H0 avec λ α donné par la table de Student à ν degrés de lberté : P(λ α )-α Le test H 0 : C0 contre H : C<0 de nveau α est défn par la règle de décson : s tt obs -λ α on rejette H0 avec λ α donné par la table de Student à ν degrés de lberté : P(λ α )-α Test de Fsher : On a vu qu un contraste exprme la dfférence entre deux groupes de moennes. En regroupant les moennes correspondantes à chacun des deux groupes, on se ramène à l analse de la varance à un facteur à deux modaltés. MCR est calculé par l analse de varance canonque. On montre que : nc ( ˆ) Pour un plan équlbré : SCcontraste SCnter k c ( Cˆ ) Pour un plan non équlbré : SCcontraste SCnter k c n Cette somme des carrés est appelée somme des carrés du contra ste et notée SC C. On peut présenter les calculs sous la forme d une table d analse de la varance : Source SC d dl MC F Contraste C SC C MC C SC C MCC F C MRC Résdu R SCR ν MCR Remarque : Le degré de lberté d un contraste est toujours égal à (deux groupes) on a donc MC c SCc MC C nc ( ˆ) Pour un plan équlbré on prendra la statstque de test : FC k MRC MRC c Pour un plan non équlbré on prendra la statstque de test : F k C C c n ˆ MC ( C) k MRC c MRC n Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-48-

49 Proposton 4 : Sous l hpothèse nulle H 0 la statstque F C sut une lo de Fsher à ν et ν νddl(scr) degrés de lberté. Décson statstque : Le test H 0 : C0 contre H : C 0 de nveau α est défn par la règle de décson : s f C F C obs λ α on rejette H0 avec λ α donné par la table de Fsher à et ν degrés de lberté : P(λ α )-α Remarque 3 : Les deux méthodes sont équvalentes car F C T VII-- Contrastes ndépendants Contrastes orthogonaux Défnton : étant donnés r contrastes C, C,, C r et r nombres λ, λ,, λ r l expresson λ C + λ C +,+λ r C r est une combnason lnéare des r contrastes. Défnton 3 : un contraste est (lnéarement) ndépendant d un ensemble de contrastes s l ne peut s écrre comme combnason lnéare de ces contrastes. Proposton 5 : Tout ensemble de contrastes portant sur k moennes content au plus k- contrastes lnéarement ndépendants. Défnton 4 : Consdérons deux contrastes k k k k µ µ C c avec c 0 et C c avec c 0 Dans le cas d un plan équlbré les deux contrastes C et C sont orthogonaux s et seulement k cc 0 Dans le cas d un plan non équlbré les deux contrastes C et C sont orthogonaux s et seulement k cc 0 n Proposton 6 : Dans le cas d un plan nter, s deux contrastes sont orthogonaux alors leurs estmateurs sont non corrélés. (Ce qu équvaut, dans le cas de varables gaussennes, à l ndépendance). Proposton 7 : Sot une comparason multple défne par r contrastes C, C,, C r alors la somme des carrés assocée à la comparason est donnée par : SCcomparason SC + SC + + SC r C C C et son degré de lberté est égal à r. Remarque 4 : Dans le cas de contrastes orthogonaux, l usage veut de fxer l erreur de premère espèce α(ec). VII--3 Analse de tendance et contrastes polnomaux Lorsque les modaltés du facteur sont ordonnées le long d un contnuum, on peut modélser l effet du facteur sur la varable dépendante par la donnée d une foncton f telle que : E(VD)f(facteur) La foncton f est caractérsée par une expresson : f(x). Les fonctons élémentares sont les fonctons polnomales : f(x)a 0 +a x+a x + +a p x p p est le degré du polnôme a 0 +a x+ +a p x p. Ce polnôme est une somme de monômes de degré q p. q : composante lnéare a x q : composante quadratque a x q3 : composante cubque a 3 x 3 q4 : composante d ordre 4 a 4 x 4 Les composantes sont appelées tendance. Tester une forme partculère de lason entre le facteur et la varable dépendante revent à tester la présence d une composante d un certan degré de la foncton f. Cec revent à tester certans contrastes. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-49-

50 Il exste des procédures très générales permettant de calculer les coeffcents des contrastes assocés aux dfférentes tendances. Dans le cas partculer où le plan est équlbré et où les modaltés du facteur peuvent être consdérées comme régulèrement espacées sur un contnuum les coeffcents du contraste se dédusent de l écart entre les rangs des moennes. Proposton 8 : Etant donnés k pont l exste un et un seul polnôme de degré k- passant par ces k ponts. Il sufft, pour un facteur à k modaltés, de consdérer les k- polnômes orthogonaux de degré k-. Tester une tendance revent à tester un contraste. Pour connaître la contrbuton des tendances dans SCtendance l effet globale on mesure son ntensté par : SCfacteur VII--4 Comparasons non orthogonales Dans le cas de comparasons multples défnes a pror par un ensemble de contrastes non orthogonaux on peut contrôler l erreur de premère espèce de l ensemble α(ee) et cec par dfférentes procédures : Proposton 9 : Etant donnée une comparason multple défne à partr de r contrastes C, C,, C r On a les négaltés : r Inégalté de Bonferron : α(ee) α(ec ) r ( α ) Inégalté de Sdak : α(ee) (EC ) Dans le cas où les erreurs de premère espèce par contraste sont toutes égales à α(ec), les négaltés précédentes devennent : Inégalté de Bonferron : α(ee) rα (EC) Inégalté de Sdak : α(ee) ( α(ec)) r Et de plus : α(ee) ( α(ec)) rα(ec) Remarque 5 : L négalté de Sdak est plus précse mas toutes les deux donnent une borne supéreure à α(ee) et permettent de répartr α(ee) sur chacun des contrastes de façon à contrôler α(ee) afn de ne pas dépasser le seul de sgnfcaton α. VII--4- Test de Bonferron et test de Sdak α A partr de l négalté de Bonferron α(ee) rα(ec) l sufft de prendre α(ec) pour assurer r α α(ee) α. Donc l sufft de tester chaque contraste au nveau de sgnfcaton : α ' r Cˆ n Le test de Bonferron est un test portant sur un contraste. La statstque de test est T pour un plan équlbré et T Cˆ MCR k c n pour un plan non équlbré. r MCR Sous l hpothèse H 0 cette statstque est dstrbuée selon une lo de student à ν ddl(mcr) mas les valeurs seront lues dans la table de Bonferron approprée. k c Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-50-

51 A partr de l négalté de Sdak α(ee) -(-α(ec)) r l sufft de prendre α(ec) ( α) r pour assurer α(ee) α. Donc l sufft de tester chaque contraste au nveau de sgnfcaton : α ' ( α) r VII--4- Le test d Holm Holm a proposé une alternatve au test de Bonferron pour augmenter la pussance de test tout en garantssant que α(ee) α. La statstque de test étant la même que pour le test de Bonferron on calcule les r statstques t () que l on range par ordre crossant de leur valeur absolue : t () t () t (r) Le premer test de sgnfcaton porte alors sur la sgnfcatvté de t (r) α pour un seul α ' S cette r valeur est sgnfcatve, on teste la sgnfcatvté de la deuxème plus grande valeur t (r-) pour un α seul α '. On rétère la procédure jusqu à ce que le test donne un résultat non sgnfcatf. r VII--4-3 Le test de Dunnett Dunnett a proposé une alternatve au test de Bonferron dans le cas d une comparason de toutes les modaltés du facteur à une modalté de contrôle ou témon. Dans un plan équlbré cette varante est plus pussante que le test de Bonferron. On connaît la relaton exacte qu le α(ee) et α(ec). Dunnett a établ la table donnant les valeurs crtques λ α pour la statstque T en foncton du nombre k de moennes, du degré de lberté νddl(mcr) et du seul α chos pour α(ee). Notons 0 la moenne du groupe contrôle et,,, k les k- moennes des groupes expérmentaux. Les contrastes correspondants aux dfférentes comparasons sont donnés sous la forme : C : µ -µ 0 et les tests de Dunnet sont de la forme : H 0 : C 0 contre H 0 : C 0 0 La statstque de test est donnée par : T MCR n S t obs λ α lu dans la table de Dunnett pour le degré de lberté νddl(mcr) et k alors H 0 est rejetée MCR Une façon équvalente de réalser ce test consste à calculer la valeur crtque λc λ α ' et n comparer chaque dfférence 0 à cette valeur. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-5-

52 VII-3. Exemple : (tolérance à la morphne) Cet exemple est tré de Segel (975) «Evdence from rats that morphne tolerance s a learned response». J. of Comparatve and Phsologcal Pscholog 80, pp On le retrouve dans D. C. Howell avec des données fctves mas les moennes (et le degré de sgnfcaton des dfférences entre les moennes) sont les mêmes que celles de l'artcle de Segel. La morphne est un médcament souvent utlsé pour atténuer la douleur. Cependant, des admnstratons répétées de morphne provoquent un phénomène de tolérance : la morphne a de mons en mons d'effet au fl de temps (la réducton de la douleur est de mons en mons forte). Pour mettre en évdence cette tolérance, on a souvent recours à une expérence qu consste à placer un rat sur un support que l on chauffe. Lorsque la chaleur devent nsupportable, le rat va se mettre à se lécher les pattes. Le temps de latence qu précède le moment où le rat commence à se lécher les pattes est utlsé comme mesure de sa sensblté à la douleur. Un rat qu vent de recevor pour la premère fos une njecton de morphne montre en général un temps de latence plus long, ce qu montre que sa sensblté à la douleur est rédute. Le développement de la tolérance à la morphne est ndqué par le fat que les temps de latence se raccourcssent progressvement (sgne d'une sensblté accrue) sous l'effet des njectons répétées de morphne. Segel a constaté que dans pluseurs stuatons mplquant des médcaments autres que la morphne, les réponses condtonnées (apprses) au médcament vont en sens nverse des effets ncondtonnés (naturels) du médcament. Par exemple, un anmal à qu l'on a njecté de l'atropne a tendance à manfester une dmnuton prononcée de la salvaton. Par contre, s, après des njectons répétées d'atropne, on admnstre soudan, dans le même envronnement phsque, une soluton salne (qu ne devrat avor absolument aucun effet), la salvaton de l'anmal va augmenter. C'est comme s celu-c compensat l'effet antcpé de l'atropne. Dans ce tpe d'étude, l semble qu'un mécansme compensatore apprs se développe au fl des essas pour contrebalancer l'effet du médcament. Segel a formulé la théore selon laquelle ce processus pourrat contrbuer à explquer la tolérance à la morphne. D'après son rasonnement, s, pendant une sére d'essas prélmnares, on njecte de la morphne à l'anmal placé sur un support chauffé, une certane tolérance à la morphne va se développer. Donc, s le sujet reçot une nouvelle njecton de morphne lors d'un test ultéreur, l sera auss sensble à la douleur qu'un anmal qu n'a jamas reçu de morphne. Par contre, s lors du test ultéreur, on remplace la morphne par une soluton salne, l'anmale montrera une hpersensblté et donc un temps de latence très court. En outre, selon Segel, s on admnstre cette soluton dans un envronnement dfférent de celu des premères njectons, le nouvel envronnement ne susctera pas d'hpersensblté et donc l'anmal réagra comme un anmale qu reçot sa premère njecton. L'expérence mplque cnq groupes de hut rats. Chaque groupe partcpe à quatre essas et les données d'analse sont unquement prélevées lors du derner essa dt essa test. On désgne les groupes en ndquant le tratement applqué lors des tros premers essas pus du quatrème. Le groupe M-M a reçu des njectons de morphne lors des tros premers essas pus de nouveau lors du quatrème toujours dans le même envronnement, appelé envronnement standard de test. Le groupe M-S a reçu des njectons de morphne lors des tros premers essas pus une soluton salne lors du quatrème toujours dans l'envronnement standard de test. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-5-

53 Le groupe Mc-M a reçu des njectons de morphne lors des tros premers essas qu avaent leu dans leur cage habtuelle, pus une nouvelle njecton de morphne lors du quatrème essa, mas dans l'envronnement standard de test qu ne le connassat pas. Dans ce groupe, les ndces ntalement assocés à l'njecton de morphne n'étaent pas présents lors du test ; on ne devat donc pas s'attendre à constater, chez ces anmaux, une tolérance à la morphne lors du test. Le groupe S-M a reçu des njectons de soluton salne durant les tros premers essas pus une njecton de morphne lors du quatrème toujours dans l'envronnement standard de test. On s'attend à ce que ces anmaux manfestent la sensblté la plus rédute à la douleur pusqu'ls n'ont eu aucune occason de développer une certane tolérance à la morphne. Enfn, le groupe S-S a reçu une njecton de soluton salne lors des quatre essas toujours dans l'envronnement standard de test. S Segel a rason, c'est le groupe S-M qu devrat présenter les temps de latence les plus longs (ndquant une sensblté mnmale) et le groupe M-S les temps de latence les plus courts (sensblté maxmale). Le groupe Mc-M devrat se rapprocher du groupe S-M pusque les ndces assocés aux tros premers essas du groupe Mc-M ne sont pas présents lors du test. Les groupes M-M et S-S devraent se stuer à un nveau ntermédare. L'égalté ou non des groupes M-M et S-S dépendra de la vtesse à laquelle se développe la tolérance à la morphne. Le schéma des résultats ans antcpés est le suvant : S-M Mc-M > M-M? S-S > M-S Le pont d'nterrogaton ndque l'absence de prédcton. La varable dépendante (VD) est le temps de latence (en secondes) qu s'écoule avant que l'anmal ne commence à se lécher les pattes. On obtent les données suvantes : M-S M-M S-S S-M Mc-M Moenne 4,00 0,00,00 4,00 9,00 Ecart-tpes s ' 3,6 5,3 6,7 6,37 6,6 On construt alors le tableau d'analse de varance Source des varatons SC ddl MC F Tratement 3497, ,4 7,33 *** Résdu (Erreur) 0,0 35 3,0 Total 467,6 39 L'analse globale de la varance est nettement sgnfcatve, ce qu ndque la présence de dfférences entre les cnq groupes de tratement. Mas cette analse n apporte pas de réponse aux questons posées. Supposons que nous aons prévu (a pror) de comparer les deux groupes recevant une soluton salne lors de la quatrème njecton avec les autres groupes. Nous avons également prévu de comparer le groupe Mc-M au groupe M-M, ans que le groupe M-S au groupe S-S pour des rasons Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-53-

54 exposées lors de l'examen des tests t multples. Enfn, nous avons prévu de comparer le groupe M- M au groupe S-S pour vor s une tolérance à la morphne s'est développée au pont que les anmaux aant toujours reçu des njectons de morphne ne se dfférencent pas, après quatre essas, des anmaux aant toujours reçu des njectons de soluton salne. Nous pouvons écrre les contrastes correspondants suvants : M-S M-M S-S S-M Mc-M c C C C C Nous allons tester l'hpothèse H 0 : C 0 contre H : C 0 pour chacun des contrastes (Remarquer que H est toujours blatérale). Dans ce cas, nous pouvons utlser auss ben la statstque Q c T que la statstque Q c F obs. Ben sûr, nous pouvons tester l'hpothèse unlatérale pour certans contrastes et dans ce cas nous devrons utlser la statstque Q c T en se servant de la table de Student. Le plan est équlbré. On estme chacun des contrastes C par C ˆ obs Calculons la statstque C ˆ obs Cˆ obs ( 3) ( 3) ˆ Cobs ( ) ˆ 3 Cobs ( ) ˆ 4 Cobs ( ) F C obs ,60 SC 749,60 F 54,675** C C ,00 SC 444,00 F 45,5** C C ,00 SC 3 96,00 F 3 54,5* C C 3 8 ( ) 4,00 SC 4 4,00 F 4 0,5 NS C C 3 Chacune de ces valeurs peut être évaluée par rapport à la valeur λ α F ( ; 35 ; 0,95) 4,. Les tros premers contrastes comme attendus sont sgnfcatfs. Le derner contraste correspondant à "?" ndque qu'une tolérance à la morphne se développe après seulement quatre njectons de morphne. Concernant l'erreur de l'ensemble des comparasons effectuées, s nous nous lmtons aux tros premers contrastes et avec une erreur par comparason α(ec) 5%, nous obtenons une erreur d'ensemble α(ee) égale à : α(ee) - ( - α(ec)) r - ( - 0,05) 3 - (0,95) 3 4,6% Ben sûr, en rajoutant la quatrème comparason cette erreur d'ensemble sera encore plus grande (à peu près 8%). Cette probablté d'erreur peut paraître trop mportante. Il exste pluseurs possbltés pour la rédure : Effectuer chaque comparason avec un α(ec) plus pett, par exemple α(ec) %, donne α(ee) 4%, Utlser une procédure permettant de contrôler α(ee). Rédure le nombre de contrastes en prenant des contrastes ndépendants. Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-54-

55 VII-4. Exemple : Dans une expérence concernant le tratement de l'nformaton vsuelle, la tache des sujets est de détecter le plus rapdement possble une cble parm des dstracteurs. Les stmul varent selon cnq nveaux de complexté, de, le plus smple, à 5, le plus complexe (un nombre dentque de stmul est présenté pour chaque nveau de complexté). La complexté est évaluée en terme de quantté d'nformaton présente dans le stmulus. Plus un stmulus est complexe, plus l fournt d'nformaton et plus le décodage est long. En revanche, pour les stmul les plus smples, le décodage est rapde, mas l'nformaton est pauvre et ralentt donc le temps de décson. Les auteurs font donc l'hpothèse que la performance du sujet va passer par un optmum correspondant à un comproms entre smplcté et quantté d'nformaton. Les temps de réacton (en centème de secondes) pour des réponses correctes sont présentés dans le tableau suvant : Nveau de complexté Sujets Moenne Ecart-tpes s ' Dans la sute nous analserons ces données en supposant que les cnq groupes sont ndépendants pus en supposant qu'un même sujet effectue les cnq tâches. Le Facteur complexté (A) comprend cnq modaltés, on défnt alors les quatre contrastes polnomaux en cherchant les coeffcents du contraste dans la table approprée Moenne c C ˆ Lnéare Quadratque Cubque Degré Le plan est équlbré. On estme chacun des contrastes par C ˆ obs Cˆ obs ( ) 98 + ( ) ˆ Cobs 98 + ( ) 90 + ( ) 67 + ( ) ˆ 3 Cobs ( ) ( ) ˆ 4 Cobs 98 + ( 4) ( 4) Calculons la somme des carrés des contrastes : SC SC SC contraste C C 3 4 C C nc ( ˆ) k c , SC 4, ( 84) 34,8 SC 705, obs Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-55-

56 S nous analsons ces données en supposant que les cnq groupes sont ndépendants (plan nter S<A>), on calcule de façon habtuelle les sommes des carrés : SCT30985,6 et SCA37,6. On en dédut SCR8748. Comme les quatre contrastes correspondant aux dfférentes tendances sont orthogonaux on peut vérfer que SCASC lnéare + SC quadratque + SC cubque + SC degré 4 Le calcul des F obs se fat auss de manère habtuelle par le rapport de la moenne des carrés du contraste à la moenne des carrés du résdu et on présente les résultats dans le tableau d analse de la varance : Sources des varatons SC ddl MC F Complexté A 37, ,4 F A 9,065 *** Lnéare 685, 685, F ln, *** Quadratque 4,0 4,0 F quad 48,395 *** Cubque 34,8 34,8 F cub 4,35 * Degré 4 705,6 705,6 F deg 4,40 (ns) Résdu R ,6 Total 30985,6 34 λ α F ( ; 30 ; 0,95) 4,7 λ α F ( ; 30 ; 0,99) 7,56 S nous analsons ces données en supposant qu'un même sujet effectue les cnq tâches (plan ntra S A), on calcule de façon habtuelle les sommes des carrés : SCT30985,6 ; SCA37,6 et SCS54,4. On en dédut SCR7593,6. Comme les quatre contrastes correspondant aux dfférentes tendances sont orthogonaux on peut vérfer que SCASC lnéare + SC quadratque + SC cubque + SC degré 4 Le calcul des F obs se fat auss de manère habtuelle par le rapport de la moenne des carrés du contraste à la moenne des carrés du résdu et on présente les résultats dans le tableau d analse de la varance : Sources des varatons SC ddl MC F Sujet S 54,4 6 Complexté A 37, ,4 F A 7,57 *** Lnéare 685, 685, F ln 9,549 *** Quadratque 4,0 4,0 F quad 44,60 *** Cubque 34,8 34,8 F cub 3,906 (ns) Degré 4 705,6 705,6 F deg 4,30 (ns) Résdu R 7593,6 4 36,4 Total 30985,6 34 λ α F ( ; 4 ; 0,95) 4,6 λ α F ( ; 4 ; 0,99) 7,8 Coeffcent d ntensté : SCtendance On mesure l ntensté de la contrbuton de chaque tendance par le rapport : SC SC 685, SC 37,6 lnéare Tendance lnéare : 0,78 7,8% facteur SC 4,0 SC 37,6 quadratque Tendance quadratque : 0, ,46% facteur SC 34,8 5,55% SC 37,6 cubque Tendance cubque : 0,0555 facteur SC 705,6 SC 37,6 degré 4 Tendance degré 4 : 0,037 3,7% facteur facteur Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-56-

57 Table des matères Eléménts de Méthodologe Un peu de vocabulare Consttuants d une expérence Les effets des facteurs Plans d expérence... Modélsaton statstque... 4 I-. Modèle statstque... 4 I-. Décomposton de la varance assocée à un facteur : (rappel)... 5 I-3. Dstrbuton de Fsher-Snedecor... 7 Analse du plan S<G>... 9 II-. G est un (seul) facteur à effets fxes... 9 II-. G est un (seul) facteur à effets aléatores... Analse du plan S<A B>... 5 III-. Plan S<A B> avec A et B deux facteurs à effets fxes... 5 Analse du plan S 0... IV-. O est un (seul) facteur à effets fxes... Analse du plan S A B... 7 V-. A et B sont deux facteurs à effets fxes... 7 Analse du plan S<A> B VI-. A et B sont deux facteurs à effets fxes Analse des comparasons VII-. Généraltés VII-. Analse des comparasons a pror dans un plan à un facteur VII-3. Exemple : (tolérance à la morphne)... 5 VII-4. Exemple : Lcence de pschologe L3 Analse de la varance E Methn M. Page-57-