Méthodes financières et allocation d actifs en assurance

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1 Méhodes financières e allocaion d acifs en assurance - Norber GAURON (JWA Acuaires, Paris) - Frédéric PLANCHE (Universié Lyon, Laboraoire SAF) - Pierre HEROND (JWA Acuaires, Lyon) (WP 2025) Laboraoire SAF 50 Avenue ony Garnier Lyon cedex 07 hp://

2 RESUME Après avoir rappelé les conraines économiques e réglemenaires pesan sur les enreprises d assurance, nous présenons la problémaique de l assureur vis-à-vis de ses allocaions d acifs e les modèles développés pour ener de la résoudre. Nous proposons ensuie une illusraion des récens développemens des mahémaiques acuarielles dans le cadre de l évaluaion d un conra d assurance vie avec aux garani e clause de paricipaion aux bénéfices. Nous cherchons enfin à résoudre le problème de l allocaion d acifs d un porefeuille de renes viagères en cours de service. ABSRAC In his paper, we firs inroduce he economical and legal consrains ha mee he insurance companies. hen we deal wih he asse managemen of an insurer and we propose a few applicaions. Afer having esimae a parameer which makes a life insurance paricipaing policy wih a minimum ineres rae guaraneed fair, we illusrae he asse managemen in wo cases : he life insurance paricipaing policy and a pension scheme. MOS-CLES : Enreprises d assurance, allocaion d acifs, assurance-vie, renes, aux garani, opion de paricipaion aux bénéfices, solvabilié, fair value, probabilié de ruine. KEYWORDS : Insurance company, asse allocaion, life insurance, annuiy, ineres rae guaranee, bonus, solvency, fair value, ruin probabiliy

3 SOMMAIRE Inroducion Environnemen économique e réglemenaire des enreprises d assurance en France. 4.. Pariculariés compables Conraines de solvabilié...3. Fuures normes compables IFRS Principaux modèles uilisés par les enreprises d assurance pour déerminer leur allocaion sraégique d acifs Préambule sur les enreprises d assurance, leurs allocaions e leurs objecifs. 2.2 Les différens ypes de modèles 2.3 Conexe. 2.4 Formulaion du problème Limies des modèles usuels Quelques applicaions en assurance. 3. Conra d épargne en Euros Porefeuille de renes en cours de service. Conclusion... Bibliographie

4 Inroducion L obje de ce aricle es de présener les echniques de valorisaion de ceraines clauses de conras d assurances issues des récens développemens des mahémaiques acuarielles e financières, ainsi que les echniques d allocaion sraégique d acifs qui son mises en place par les sociéés d assurance. Une des principales caracérisiques de l acivié d assurance es l inversion de son cycle de producion : l enreprise d assurance perçoi les primes avan de payer les presaions. Du fai de cee paricularié la compagnie doi esimer la charge de sinisres qu elle va devoir régler pour éablir un monan de prime ou de coisaion. Avec ces primes, la sociéé consiue au passif de son bilan des provisions echniques desinées à payer les sinisres fuurs e place le monan de ces provisions sur les marchés financiers. Aussi la sociéé doi se doer d ouils de gesion pour placer de manière opimale ses acifs ou en veillan à sa solvabilié à cour, moyen e long erme. Après un bref rappel des conraines réglemenaires auxquelles son soumis les assureurs, nous présenerons les principaux modèles classiques d allocaion uilisés en assurance. Ces modèles seron ensuie illusrés dans la roisième parie.. ENVIRONNEMEN ECONOMIQUE E REGLEMENAIRE DES ENREPRISES D ASSURANCE EN FRANCE L assurance es un seceur économique rès réglemené. Du fai de l imporance croissane de l acivié d assurance dans une sociéé qui cherche à oujours plus conrôler les risques e souhaie donc les ransférer, le législaeur inervien avec l objecif de proéger les souscripeurs de conras conre la défaillance des enreprises d assurance. Les organismes d assurance se siuen donc à la croisée des inérês de rois aceurs : les souscripeurs de conras, les acionnaires e l Ea. On peu alors schémaiquemen considérer que l objecif des sociéés d assurance es d opimiser le profi de leurs acionnaires, ou en respecan les conraines de solvabilié réglemenaires e inernes, e en préservan l aracivié de leurs conras vis-à-vis des assurés dans un marché concurreniel. PARICULARIES COMPABLES Du fai de l inversion du cycle de producion e de la durée des engagemens souscris, les sociéés d assurance doiven consiuer des provisions echniques 2 desinées régler les sinisres fuurs. Le monan de ces provisions es esimé par les acuaires noammen à parir des cadences de règlemen observées en assurance dommage e de la moralié en assurance vie. Le bilan d une compagnie d assurance se présene donc de la manière suivane : ous les exes de loi ciés son issus du Code des assurances. 2 Principalemen les Provisions Pour Sinisres A Payer (PSAP) en assurance non-vie e les Provisions Mahémaiques (PM) en assurance vie

5 ableau : ACIF Bilan simplifié d une sociéé d assurance PASSIF Fonds propres Placemens Par des réassureurs dans les Provisions echniques Créances e aures acifs Provisions echniques (brues de réassurance) Dees e aures passifs Le monan des provisions echniques e la naure des placemens son régulièremen conrôlés par la Commission de Conrôle des Assurances, des Muuelles e des Insiuions de Prévoyance (CCAMIP). CONRAINES DE SOLVABILIE La principale conraine pour les compagnies d assurance correspond à la marge de solvabilié minimale réglemenaire. Il s agi d une conraine sur le niveau des fonds propres qui, ajoué aux plus-values laenes des placemens, doi êre supérieur à la Marge de Solvabilié Réglemenaire 3 (MSR) qui es foncion, en Europe, du volume d acivié de la sociéé. Pour les sociéés d'assurance vie, la MSR es principalemen un pourcenage des provisions mahémaiques qui varie selon les différens ypes de conras 4. En assurance non-vie elle es calculée de la façon suivane 5 : MSR = Max{ MSP, MSS} avec, MSP = ( 8% * Min( PE ;0) + 6% * Max( PE 0;0) )* Max( CN / CB;50%) e MSS = ( 26% * Min( S / 3;7) + 23% * Max( S / 3 7;0) )* Max( CN / CB;50%) où : PE désigne le monan 6 des primes émises, CN la charge des sinisres nee de réassurance pour le dernier exercice, CB la charge des sinisres brue de réassurance pour le dernier exercice, S le monan de l ensemble des sinisres payés, brus de réassurance, au ire des rois derniers exercices, auquel on ajoue la variaion de Provision pour Sinisres A Payer (PSAP) de la période. La conraine à respecer par les assureurs, à ou insan, peu s exprimer de la manière suivane : Richesse MSR avec Richesse = Capiaux propres + Plus values laenes + Réserve de capialisaion En 2002 la marge de solvabilié des sociéés d assurance éai de 4,2 fois la MSR pour les sociéés d assurance dommage e de 2,6 fois la MSR pour les sociéés d assurance vie 7. oujours dans une opique de solvabilié, le législaeur impose aux assureurs deux règles prudenielles concernan les placemens : la limiaion par caégorie 8 e la dispersion 9. 3 cf. aricle R % des provisions pour les conras avec garanie minimale de performance e % dans les aures cas. Cf. aricle R Les aux (8%, 6%, ec.) peuven changer dans ceraines branches d assurance (en frais de sané par exemple) 6 Les monans son exprimés en millions d euros. 7 source : [8] FFSA, L assurance française en 2002, rappor annuel, juin cf. aricle R cf. aricle R

6 Enfin, pour prévenir les défaillances évenuelles des assureurs, un arrêé du 26 décembre 2000 a consacré l Ea 3 0 ou Ea rimesriel de reporing Acif/Passif qui vise à éudier la sensibilié de l acif e du passif des compagnies d assurance aux performances des marchés financiers. Il s agi d un éa qui doi êre remis rimesriellemen à la CCAMIP e qui perme de s assurer que l acif présene oujours une valeur supérieure au passif, même dans des conjoncures financières difficiles. FUURES NORMES COMPABLES IFRS Les nouvelles normes compables inernaionales, oujours en cours d élaboraion par l Inernaional Accouning Sandards Board (IASB / IFRS), seron mises en place à parir de Elles consacren le principe de fair value e on pour objecif de reranscrire la «valeur économique» de l enreprise pour une meilleure informaion des marchés financiers e du public. Au-delà de l impac direc sur la valorisaion de leur acif, elles obligeron les assureurs à compabiliser un cerain nombre d engagemens qui ne le son pas acuellemen (cf. [6]). Le mode de valorisaion des acifs imposé par l IFRS consiue une évoluion majeure. Les normes compables françaises acuelles imposen l évaluaion des acifs financiers à leur valeur hisorique d acha, voire à leur valeur de marché en cas de baisse imporane des marchés. La valeur compable de l acif d une sociéé es donc bien souven différene de la valeur réelle (valeur de marché) de ces acifs. Cee différence a éé récemmen aénuée par l obligaion faie aux assureurs d inscrire à leur bilan des Provisions pour Dépréciaion d Acifs suie à la baisse des marchés acions. Dans cee même opique de donner l informaion la plus juse possible de la valeur de la sociéé, un cerain nombre d engagemens qui acuellemen ne son pas compabilisés von le devenir. Ainsi ceraines obligaions, réglemenaires noammen, comme l obligaion de paricipaion aux bénéfices 2 ou la clause de racha 3 dans les conras d épargne en Euros pourraien êre compabilisées e donc valorisées. Un cerain nombre de ces engagemens peuven s inerpréer comme des produis dérivés que les echniques issues de la finance permeen de valoriser. 2. PRINCIPAUX MODELES UILISES PAR LES ENREPRISES D ASSURANCE POUR DEERMINER LEUR ALLOCAION SRAEGIQUE D ACIFS PREAMBULE SUR LES ENREPRISES D ASSURANCE, LEURS ALLOCAIONS E LEURS OBJECIFS La gesion des acifs d une enreprise d assurance es un exercice délica dans la mesure où le gesionnaire doi s assurer à ou momen que les acifs en porefeuille son les meilleurs, non seulemen en erme de couple renabilié/risque mais égalemen au regard des engagemens souscris par l enreprise e des conraines compables e réglemenaires. Les engagemens pris par les enreprises d assurance peuven varier sensiblemen d une enreprise à l aure. Ainsi, par exemple, une muuelle spécialisée dans la couverure du risque Sané percevra des coisaions pour rembourser des sinisres sur 8 mois environ. A l opposé, un «fonds de pension» percevra des coisaions qui serviron à payer des renes plusieurs dizaines d années plus ard. Dans le second cas, la performance de la gesion financière sera prépondérane. Les risques seron égalemen plus imporans dans ce cas, surou si l assureur a escompé dans sa arificaion une performance minimale élevée des acifs financiers. 0 cf. Arrêé du 26 décembre 2000 modifian les aricles A e A cf. aricles R e R Si la sociéé réalise des résulas posiifs, elle doi disribuer, globalemen au niveau de la sociéé, au moins 85% de ses bénéfices financiers e 90% de ses bénéfices echniques aux assurés. cf. aricle A Sur de nombreux conras, des clauses de paricipaion aux bénéfices spécifiques son prévues, plus généreuses pour les souscripeurs que l obligaion légale de l aricle A Le déeneur de conra peu à ou momen demander le «racha» oal ou pariel de son conra e se voi verser le monan (oal ou pariel) de la provision consiuée évenuellemen diminuée d une (faible) indemnié fixée conracuellemen. cf. aricle R

7 La recherche de l allocaion d acifs au sein d une enreprise d assurance passe donc avan ou par l analyse exhausive des engagemens conracés. Dans la praique, cela signifie une relecure aenive de ous les documens conracuels. Cee éape perme noammen d idenifier les «canons conracuels». Les «canons conracuels» corresponden à des conras pour lesquels l assureur s es engagé à réaliser une gesion financière sur mesure. En d aures ermes, les sommes versées sur ces conras serviron à acquérir des ires clairemen idenifiés, don la performance reviendra exclusivemen à leurs souscripeurs (après prélèvemen des frais de l assureur). Les conras non canonnés son gérés par l assureur dans son acif général, avec les acifs en représenaion des fonds propres. Dans la praique l assureur aura donc auan d allocaions d acifs à définir qu il aura de canons conracuels (plus une pour l acif général). Dans la recherche de l allocaion propre à chaque canon l assureur devra en plus enir compe des engagemens pris envers les souscripeurs. Les modèles d allocaion devron par exemple inégrer le souhai de cerains souscripeurs d avoir une allocaion d acifs sraégique comprenan au moins 30% d acions. ableau 2 : Bilan synhéique d'une enreprise d'assurance ACIF PASSIF Acif général Fonds Propres Provisions echniques des conras non canonnés Acifs financiers du canon n Provisions echniques des conras du canon n Acifs financiers du canon n 2 Provisions echniques des conras du canon n 2 ec. Aures acifs ec. Aures dees Une des difficulés du piloage de l enreprise d assurance sera de vérifier que les différenes allocaions reenues pour les canons son accepables au niveau global de l enreprise d assurance. Les règles imposées par les auoriés de conrôle (en maière de dispersion e de diversificaion des acifs ou encore en maière de solvabilié) son en effe applicables au niveau de l enreprise ou enière e non canon par canon. Le présen papier illusre noammen des méhodes de recherche d une allocaion d acifs opimale au niveau d un canon. LES DIFFERENS YPES DE MODELES Dans l opique d opimiser leurs placemens, les assureurs on développé des modèles d allocaion sraégique de leurs acifs e d analyse, à ou momen, du bon adossemen acif/passif. ableau 3 : Classificaion des différens ypes de modèles exisans Objecif / Naure des simulaions Déerminise Sochasique Allocaion sraégique Sans obje Modèles de ype Eude de l adossemen Approche par les flux Eude de l adossemen Approche compable Modèles de ype 2 Modèles de ype 3 Modèles de ype 4 Modèles de ype 5 Les modèles permeen : - 7 -

8 Soi de définir une allocaion sraégique d acifs ex-ane, à parir d une analyse des engagemens pris par l assureur e des perspecives de rendemen des acifs financiers disponibles sur les marchés. Le modèle, pour êre le plus efficace possible sera sochasique. Il s agi par exemple de modèles de ype Markowiz, adapés aux caracérisiques de l assurance, ou de modèles els que ceux présenés ci-après. Des proposiions on éé faies par d aures aueurs. Soi de modifier ex-pos une allocaion sraégique en examinan l adossemen enre les acifs e les passifs. Les adossemens peuven êre éudiés simplemen dans un premier emps à ravers la comparaison des caracérisiques des flux que dégagen les acifs e les passifs (duraion, sensibilié, convexié, valeur acuelle, aux acuariel, ec.). Une éude plus approfondie des adossemens conduira à esimer les résulas fuurs probables de la compagnie éudiée, pour différens scénarii d évoluion. ableau 4 : Poins fors e limies des différens ypes de modèles Poins fors Limies Modèles de ype (Allocaion / sochasiques) Modèles de ype 2 (Flux / Déerminise) Modèles de ype 3 (Flux / Sochasique) Modèles de ype 4 (Compable / Déerminise) Modèles de ype 5 (Compable / Sochasique) - Bonne modélisaion de l allocaion sraégique - Facilié de mise en œuvre - permeen une bonne prise de connaissance des risques pesan sur l acif e le passif - permeen de mesurer la richesse du porefeuille Idem modèles de ype 2. - permeen d obenir une mesure du coû des opions cachées Idem modèles de ype 2 - complèen uilemen les modèles «embedded value» - permeen de connaîre l évoluion prévisionnelle des grands poses compables 4 (qui consiuen des indicaeurs uiles pour les décisions poliiques) Idem modèles de ype 4 - Quelle modélisaion des rendemens? - Quelles conraines Assurance privilégier? - Difficulés de mesurer de manière fine la sensibilié e la duraion du passif pour cerains conras Idem modèles de ype. - risque de consruire des «boies noires» difficiles à jusifier auprès des Direcions Générales. Idem modèles de ype 2 Idem modèles de ype 3 - difficulés praiques de mise en œuvre (nombre de simulaions e emps de raiemen) CONEXE 5 Présenaion L assureur es amené à déerminer, en permanence, les valeurs globales des flux fuurs : - les primes - les presaions e les frais - les revenus du porefeuille d acifs 4 Grands poses compables : résulas, provisions d acifs e de passif, réserve de capialisaion, ec. 5 cf. [5] DE FELICE M., MORICONI F., A course on Finance of Insurance, Groupe Consulaif Acuariel Européen, vol.,

9 Si on désigne par X, Y e Z respecivemen ces suies de flux, e si V() désigne le mécanisme permean d'associer à une suie de flux fuurs son "équivalen capial" acuel, on a donc : - A()=V(, Z) la valeur du porefeuille financier à la dae - V()=V(, Y-X) la valeur nee du conra La différence S=A-V es, par définiion, le surplus à la dae. Une décomposiion classique du surplus consise à l'écrire sous la forme S=M+E, avec, si R désigne le monan des provisions : - M()=A()-R() - E()=R()-V() E es la "VBIF" (Value of Business In Force). La décomposiion présenée ci-dessus coïncide avec la séparaion enre les services acuariels e financiers : ypiquemen A es valorisé selon des méhodes d'inspiraion financière (prix de marché e modélisaion ad hoc), alors que E es valorisé avec des echniques acuarielles classiques, basées sur l'acualisaion de l'espérance des flux fuurs. On voi que cela peu engendrer des incohérences, spécialemen lorsque X e Y son liés à Z (par exemple dans des conras d'épargne offran une paricipaion aux bénéfices) ou que les conras coniennen des "opions cachées". L'idée es alors de rechercher des méhodes de valorisaion cohérenes pour les aspecs acuariels e financiers : on va uiliser pour cela des insrumens de la héorie économique classique, noammen les noions de prix d'équilibre dans un marché comple e d'absence d'opporunié d'arbirage. Remarque sur l uilisaion de la probabilié risque-neure La ransposiion à l assurance des echniques de valorisaion issues de la finance condui à évaluer une clause conracuelle en idenifian les flux qu elle génère e à en évaluer l espérance acualisée sous la probabilié risque-neure. C es ypiquemen ces echniques qui son mises en œuvre pour évaluer l engagemen associé à une clause de ype «garanie plancher» dans un conra d épargne en uniés de compes (voir par exemple [7] Merlus e Pequeux (2000)). Mais, si on se place du poin de vue de l assureur e que l objecif es de valoriser l engagemen pris vis-à-vis du souscripeur, les hypohèses sous-jacenes à l uilisaion de l acualisaion sous la probabilié risque-neure, e noammen la possibilié de consruire un porefeuille d arbirage auo-financé, ne son pas saisfaies. Au surplus, dans cee perspecive, on peu souven considérer que les flux auxquels se rouve confroné l assureur son des paramères exogènes e que, dans ce cas, l évaluaion raionnelle de l engagemen consise à calculer l espérance acualisée sous la probabilié hisorique, qui décri les flux auxquels l assureur doi effecivemen faire face au ire des disposiions du conra ; en d aures ermes, dans une siuaion où il n es pas possible de mere en œuvre une sraégie de couverure sur un marché, l uilisaion de la probabilié risque neure peu ne pas êre adapée. Dans la suie de ce aricle, on précisera sysémaiquemen l univers de probabilié choisi en foncion du conexe

10 FORMULAION DU PROBLEME Noons X, Y e Z respecivemen les flux de primes, de presaions e de frais e de revenus du porefeuille de placemens à la dae. Soi F le flux de résorerie de la sociéé à la dae. F = X Y + Z () L objecif de la sociéé es de maximiser, sous les conraines réglemenaires e inernes, la quanié : EQ F * exp r( u) du d 0 0 où Q es la mesure de probabilié risque-neure e r() le aux sans risque insanané à la dae. Les sociéés d assurance ne peuven influer sur les aux e leur marge de manœuvre sur les fuurs flux de primes e de presaions es réduie. En revanche elles son libres de gérer leurs placemens sous les conraines réglemenaires (cf. supra). Une allocaion sraégique es donc opimale si elle engendre des flux F * els que : E Q * exp r( u) du d = Max EQ F s.c. réglemenaires *exp * F F r( u) du d (2) Il s agi d un problème classique de conrôle sochasique. On se réfèrera uilemen à [6] pour une présenaion de la méhode de résoluion dans le conexe de recherche d un porefeuille opimal. Dans la praique, ce problème éan rop complexe pour êre résolu direcemen, on se conenera de le résoudre dans un conexe simplifié. Par exemple, on se limiera à quare classes d acifs e l on supposera les flux fuurs de primes e de presaions connus. LIMIES DES MODELES USUELS Le principe des modèles déerminises es d uiliser un cerain nombre d hypohèses e de projeer les différenes variables comme si le monde évoluai selon ces hypohèses. Il résule donc d un modèle un résula, don on peu ceres calculer la sensibilié à cerains faceurs mais don la variabilié es mal appréciée quand on considère l ensemble des risques 6 auxquels es soumise une sociéé d assurance. L absence d informaion sur la variabilié des résulas fai de ces modèles des élémens peu pris en compe dans la gesion globale de la sociéé. De plus, un modèle de ype Markowiz ne peu pas, par naure, reranscrire les conraines de passif auxquelles les assureurs son soumis. Ainsi, par exemple, sur un conra d épargne en Euros garanissan une performance minimale de 2,5 % chaque année pendan 8 ans, le modèle de Markowiz pourra ceres permere de rouver l allocaion d acifs la plus efficace pour un placemen sur 8 ans, mais elle ne respecera peu-êre pas avec une probabilié suffisane la conraine de performance annuelle. 6 Risques d acifs mais aussi risques de passif (hausse de la sinisralié, défaillance des réassureurs, changemen de réglemenaion, mauvais provisionnemen, ec.) e risques acif/passif (mauvais adossemen des acifs e des passifs en valeur, en durée ou en aux) cf. DEMPSER M.A.H., Risk Managemen beyond Value a Risk, Cambridge,

11 3. QUELQUES APPLICAIONS EN ASSURANCE Les normes IFRS von consacrer «la juse valeur» e exiger l évaluaion d un cerain nombre d engagemens pris par les assureurs qui n éaien jusqu à présen pas sysémaiquemen valorisés. Il peu sembler difficile a priori d évaluer la valeur d un conra qui comprend de nombreuses clauses qui n on pas de «prix uniaire» e qui n on aucune valeur de marché, les conras d assurance ne s échangean pas sur des marchés organisés, malgré des enaives dans cerains pays (via la «irisaion» de cerains risques). ouefois en France, un cerain nombre de clauses adossées aux conras (aux minimum garani, clause de racha anicipé, paricipaion au bénéfice, garanie plancher en cas de décès, ec.) s apparenen à des produis dérivés qui, grâce aux ouils classiques en finance, peuven êre valorisés. On noera dans la suie : P( s, ) la valeur en s d un zéro-coupon sans risque qui verse en. N la foncion de répariion de la loi normale cenrée réduie. Q (resp. P) la mesure de probabilié risque-neure (resp. hisorique). R i le aux sans risque discre sur i années. E Q (resp. E P ) l opéraeur espérance sous la probabilié risque-neure (resp. hisorique). Le paragraphe suivan propose une applicaion des echniques de la finance dans le cadre d un conra d assurance vie avec aux minimum garani e clause de paricipaion aux bénéfices. Il sera suivi d un paragraphe illusran l allocaion d acifs d un porefeuille de renes viagères en cours de service. CONRA D EPARGNE EN EUROS Descripif du conra Moyennan une prime unique versée à la signaure du conra, l assureur garani à l assuré une performance annuelle minimale de son épargne, qui es augmenée chaque fin d année par une parie des bénéfices financiers réalisés. Le monan de l épargne es reversé au déeneur de la police à l échéance de celle-ci. On suppose saisfaies les hypohèses simplificaricessuivanes : Le marché es parfai, Le aux d inérê sans risque r es consan pendan oue la durée du conra, La presaion de l assureur se limie au versemen de l épargne à l échéance. Nous considérerons, dans cee présenaion, qu il n y a pas de décès, ni de clause de racha anicipé. On noera enfin dans la suie de ce paragraphe : l échéance du conra R G le aux discre annuel garani par l assureur b le aux de paricipaion aux bénéfices Π la prime unique versée par l assuré en 0 δ le chargemen de sécurié pour couvrir les risques financiers L le monan de l épargne consiuée à la dae E le monan des fonds propres à la dae. A la valeur des placemens à la dae. - -

12 Eude de renabilié L obje de ce paragraphe es d éudier la renabilié du conra selon l approche financière, uilisan la mesure de probabilié risque-neure, puis selon une approche assuranielle. Dans le premier cas, on cherchera à déerminer, en foncion de la prime pure, le niveau de fonds propres qui va garanir l absence d opporunié d arbirage. La deuxième approche sera une éude, sous la probabilié hisorique, de la renabilié du conra. Approche «Fair Value» Eudions les bilans successifs, pour {, K, }, générés par le conra : Bilan en 0 E 0 α A 0 Bilan en = E A 0 L A 0 = ( α) A0 L Compe-enu de la responsabilié, limiée au capial, des acionnaires, l épargne es revalorisée de la manière suivane : + + A + A A + L L + RG L b RG L = ( + ) + RG L (3) A L Le premier erme du second membre de l équaion (3) représene la garanie de aux, le deuxième erme la paricipaion aux bénéfices e le roisième, radui a limiaion aux fonds propres de la responsabilié des acionnaires. Les fonds propres évolueron donc de la manière suivane : E + = A + L + (4) L assuré e les acionnaires recevron respecivemen en : L e E. Le conra es «équiable» si, e seulemen si, les rendemens espérés (sous Q) des acionnaires e des assurés son égaux au aux sans risque, i.e. r E L e L (5) E [ ] 0 r [ E e ] E0 Q = Q = (6) Le leceur se référera à [9], [2] e [3] pour les propriéés de la mesure risque-neure e les hypohèses sousjacenes à son uilisaion. Supposons que le cours de l acif ai une dynamique modélisé par un mouvemen brownien géomérique (cf. [3]) : da = r d + σ dbˆ (7) A où Bˆ es un Q-mouvemen brownien sandard. Par des echniques de simulaions (cf. [5]), on peu déerminer α pour que le conra soi équilibré, i.e. que les équaions (5) e (6) soien vérifiées. Noons n n l (α) e e (α ) les valeurs simulées de L e E dans le n-ième éa du monde généré ( n {, K, N} ). On cherche α el que : - 2 -

13 e N N N n= N n= e e l r n r ( α) n e ( α) = L ( α) 0 = E ( α) 0 (8) (9) Illusraion numérique Avec les paramères : = 8 b = 90 % R G = 2,5 % r σ = 0 % = ln(,05) On rouve : α =,635 % Ce pourcenage es à comparer avec les 4 % réglemenaires pour les conras avec garanie minimale de performance (cf. paragraphe.2.). Ce écar illusre le fai que les conraines réglemenaires aien, avan ou, pour obje de proéger les assurés conre une évenuelle défaillance de l assureur. Le sens de variaion de α aux différens paramères es indiqué ci-dessous : Ecar de aux Paricipaion aux Echéance du conra Volailié σ r ln ( + R G ) bénéfices b α Le besoin en fonds propres, pour que le conra soi équiable, es croissan avec le risque e la durée du conra. Il es décroissan avec le aux de paricipaion aux bénéfices. Approche «assuranielle» Pour ce ype de conra, un niveau minimal de fonds propres es imposé par la réglemenaion par le biais de la marge de solvabilié réglemenaire. Ce niveau es bien supérieur à celui qui rendrai le conra «équiable», par conséquen dans l équaion de revalorisaion de l épargne (3), le roisième erme peu êre supposé nul. Dans la suie, on noera R P () le aux de revalorisaion de l épargne en ( {, 2, K,} ). + A A RP ( ) = RG + b * RG (0) A On peu donc écrire, pour chaque année, le monan de l épargne consiuée : L = ( + RP ( ) ) L () avec L = ( δ )Π. Donc à l échéance du conra, l assuré recevra : 0 L = L 0 * ) = ( + RP ( ) (2) La valeur acuelle probable de ce flux es donc : V = EP L0 P ) = r ( + R ( ) e (3) - 3 -

14 Si on pose par définiion que la valeur nee du conra à l origine es égale à la différence enre la prime versée par l assuré e l engagemen de l assureur, on obien que la renabilié espérée du conra, définie par ρ = ( Π V ) / L0, s écri : = EP δ = r ( + R ( ) ) e P ρ (4) Nous proposons ici d éudier la renabilié du conra lorsque l épargne es invesie dans un ire don le cours sui un mouvemen brownien géomérique. Supposons que l acif soi composé d une acion de cours X e d une obligaion zéro-coupon de cours Y, dans les proporions iniiales θ e θ : ( X ( Y ) A = A θ + θ ) (5) avec : dx = μ d + σ db X où : X 0 =, B es un mouvemen brownien sandard sous la probabilié hisorique, = exp( ) Y r. En simulan l évoluion de l acif, on peu esimer la renabilié ρ du conra. Illusraion numérique Avec les paramères suivans : 0 = 8 b = 90 % R G = 2,5 % δ = 2 % μ = ln,07 σ = 20 % θ = 5 % r = ln(,05) ( ) On obien l esimaion : ~ ρ % (6) On noe en pariculier qu avec les hypohèses reenues, l espérance de gain pour l assureur es relaivemen faible : ceci es la conséquence direce de la clause de paricipaion aux bénéfices. Elle es même négaive, dans nore exemple, si l assureur ne charge pas sa prime ( δ > 0). L approche «Fair Value» peu permere de calibrer le chargemen en foncion du rendemen des acionnaires que l on souhaie aeindre. Allocaion d acifs Confroné aux conraines décries précédemmen, l assureur cherchera à composer son porefeuille financier, i.e. à arbirer enre l acif risqué X e le zéro-coupon Y. Nous faisons l hypohèse que l assureur déermine en 0 une allocaion, qu il conserve jusqu à l échéance du conra. Son objecif sera de maximiser la renabilié de l assuré ou en conrôlan la probabilié de puiser dans les fonds propres, i.e. de ne pas réaliser le aux garani. Cela revien à résoudre : ( ) max + ( ) G π = I A A E P RP P R (7) θ = A - 4 -

15 θ représene la par de l épargne iniialemen placée en acif risqué, donc l espérance à maximiser es croissane avec θ. L assureur cherche donc le plus grand θ qui saisfasse la conraine exprimée sous forme d une probabilié. En simulan l évoluion du cours de l acif risqué avec les mêmes paramères que précédemmen, on obien le graphique suivan : 00% 80% Probabilié 60% 40% 20% 0% 0% 20% 40% 60% 80% 00% Par d'acif risqué Figure : Probabilié de ne pas faire appel aux fonds propres en foncion de θ La probabilié de faire le rendemen garani chaque année, sera supérieure à 60 % si l épargne es invesie dans moins de 8,2 % d acif risqué. Noons que si l assureur invesi comme précédemmen 5 % de ses provisions en acif risqué, la probabilié de ne faire appel à aucun momen aux fonds propres pendan la durée du conra ne dépasse pas 3 %. Développemens récens La perspecive de l évaluaion en «juse valeur» des engagemens d assurance, conséquence probable des ravaux de l IASB, a cerainemen paricipé aux récens ravaux poran sur l évaluaion financière des conras d assurance vie conenan des clauses d indexaion à l évoluion des marchés. Si l évaluaion de clauses elles que la paricipaion aux bénéfices fai l obje de nombreux papiers depuis 976 e l aricle de Brennan e Schwarz [4], ce n es que plus récemmen que des ravaux concernan la clause de racha anicipé on éé publiés, on reiendra noammen les aricles de Grosen e Jorgensen [0], de Bacinello [2] e de Andreaa e Corradin []. Remarquons enfin le papier rès comple de Hansen []. POREFEUILLE DE RENES EN COURS DE SERVICE Inéressons-nous à présen à un porefeuille de renes viagères en cours de service. Ces renes son servies depuis plusieurs années à des conjoins survivans, au ire d un conra de Prévoyance Collecive souscri par une enreprise indusrielle auprès d un assureur pour couvrir les conséquences financières du décès de ses salariés. Au momen de la recherche de l allocaion d acifs le porefeuille de renes en cours de service présene les caracérisiques suivanes : - 5 -

16 Nombre de bénéficiaires 374 Age moyen en Rene annuelle moyenne (en euros) 5 49 Provisions oales (en Meuros) 40,4 Provisions moyennes (en euros) La recherche de l allocaion sraégique opimale consise donc à définir la par d acions e d obligaions à déenir (pour une valeur oale de 40,4 millions d Euros) pour faire face aux engagemens. L assureur s es engagé conracuellemen à servir chaque année les renes e ce an que les reniers demeuren en vie. Il ne pourra donc pas diminuer le monan des renes servies en cas de mauvaise performance de ses acifs. Par ailleurs l assureur a escompé dans le calcul des provisions (celles-ci corresponden par définiion à la valeur acuelle des renes fuures probables) une performance annuelle minimale des acifs de,5% 7. On rouvera dans [7] une éude déaillée d un el porefeuille e une proposiion de méhode d allocaion. On noera : F le flux probable 8 de l année (espérance des presaions à servir), i le aux echnique insanané. Provision pour risques financiers L assureur a escompé une performance annuelle des acifs dans le calcul de sa provision mahémaique (PM). ouefois il n es pas à l abri d une flucuaion du rendemen de ses acifs : supposons, par exemple, que l assureur place le monan de la provision mahémaiques dans un acif de rendemen aléaoire insanané ~ r ( ) don l évoluion es régie par une dynamique de ype Cox, Ingersoll & Ross : d ~ r = a b ~ r d + σ ~ r dz (8) ( ) où z es un mouvemen brownien sandard. Ce processus es classique pour consruire des srucures de aux dans le cadre de modèles à un faceur. ~ = Si E [ r ( ) ],5%, la probabilié que la somme des presaions probables acualisées au aux de rendemen de l acif soi supérieure à la PM vau 0,5. Dans la suie on se référera à cee probabilié quand on parlera de probabilié de ruine. L assureur souhaie diminuer cee probabilié e va consiuer une provision pour risques financiers (PRF dans la suie). Il simulera donc des rajecoires de rendemen de l acif e choisira le monan de la PRF qui rend la probabilié de ruine «accepable». 7 aux insanané. 8 Flux esimé en 0, à l aide d une able de moralié prospecive

17 50% 40% 30% 20% 0% 0% 0% 2% 4% 6% 8% 0% Figure 2 : Evoluion de la probabilié de ruine en foncion de la PRF La figure 2 représene cee probabilié en foncion du monan de la PRF (exprimée en pourcenage de la PM) pour les paramères : a = 0,5 b =,5 % σ = 5 % r(0) =,5 % Le monan de la PRF pour que la probabilié soi inférieure à %, es de l ordre de 7,4 % de la PM. Allocaion d acifs De la même manière que dans le cadre du conra d épargne, l assureur doi arbirer enre un acif risqué e un zéro-coupon pour placer ses provisions. Nous supposerons que ces deux acifs on les mêmes caracérisiques que précédemmen (cf. paragraphe 0). L assureur va, pour chaque année de presaion, déerminer l allocaion qui lui perme de maximiser le surplus espéré ou en conrôlan la probabilié de ne pas fournir le aux escompé enre 0 e la dae de presaion : où : max I P s θ s= i A = F * e * ( θ X + ( θ ) Y ) s i( s) [ A ] P ( A F * e ) π E (9) s s π es une probabilié déerminée par l assureur en foncion de sa sensibilié au risque - 7 -

18 00% Probabilié 75% 50% 25% =8 =5 = =20 =70 0% 0% 20% 40% 60% 80% 00% Par d'acif risqué Figure 3 : Probabilié en foncion de la par en acif risqué pour divers horizons La figure 3 propose l évoluion de la foncion : π = f ( θ ) avec l horizon de placemen, i.e. de la dae du flux de presaion. Supposons que l assureur fixe π = 30 %, la figure suivane illusre l allocaion en acif risqué en foncion de la durée du placemen. 30% 25% Par d'acif risqu é 20% 5% 0% 5% 0% emps (années) Figure 4 : Par d acif risqué en foncion de la durée du placemen En pondéran les invesissemens en acif risqué par les flux acualisés au aux echnique, on obien la par globale d acif risqué : θ 7,48% La figure 4 nous indique que pour une probabilié fixée, la par d acif risqué diminue avec l horizon du placemen, ce résula n es pas inuiif e ne correspond pas à la praique : il es généralemen admis que la par acion d un invesissemen es croissane avec l horizon de gesion. Cee décroissance es ici la conséquence du fai que la conraine es rès fore e qu elle se resserre avec le emps : - 8 -

19 + i( + s ) I( As F * e ) I( s= s= A s F * e i( s) ) Cee conraine srice peu êre relâchée en imposan «seulemen» d aeindre le aux garani avec une probabilié fixée a priori. Le programme d opimisaion, pour le flux de presaion de l année, peu alors s écrire : Or : où max θ { [ A ] P( A < F ) < π } E (20) P i θ π e ( ) Y P A η < F ) < P < ln < π θ 2 σ σ η ~ N μ, 2 ( (2) L allocaion sraégique es donc donnée par : où qπ i r e e θ = 2 σ q exp σ π + μ e 2 es le quanile d ordre π de la loi normale cenrée réduie r (22) Pour π = %, la figure 5 représene la par d acif risqué du porefeuille en foncion de la dae de presaion. La par globale en acif risqué sera alors de 38,8 % (pour une duraion de passif de 3,5 années) 00% Par d'acif risqué 75% 50% 25% 0% Horizon de placemen (années) Figure 5 : Par d acif risqué en foncion de l échéance de la presaion Ce exemple illusre le fai que l assureur doi composer avec des conraines assuranielles srices e un pragmaisme raisonnable s il souhaie procéder à une gesion suffisammen performane. Enfin les conraines annuelles semblen inefficaces pour déerminer une allocaion sraégique performane

20 CONCLUSION Confroné aux conraines des nouvelles normes IAS / IFRS, le seceur de l assurance doi inégrer dans sa démarche des méhodes de valorisaion usuelles en finance ; ce faisan, il doi prendre garde à inégrer les conraines assuranielles, an au niveau de la valorisaion d un engagemen qu à celui du choix de l allocaion sraégique. Cela impose en pariculier d uiliser des méhodes d allocaion inégran les conraines de ype assurance : concrèemen, le choix de l allocaion se fai en maximisan un gain espéré (ou surplus) sous la conraine de respecer les disposiions réglemenaires avec une probabilié suffisammen fore. La résoluion de ces programmes, don deux exemples on éé présenés, passe en général par l usage de méhodes de simulaion, les clauses assuranielles (racha, aux garani, ec.) abouissan le plus souven à des formulaions non explicies de l espérance à maximiser. Enfin, à la différence des problémaiques financières, relaives à des produis échangés sur des marchés acifs e organisés, les problémaiques de ype assurance concernen des conras qui ne s échangen en général pas sur un marché organisé (les enaives de irisaion des risques resen rès marginales), e l univers de probabilié sous lequel les évaluaions doiven êre menées n es pas sysémaiquemen l univers «risque-neure», mais es souven l univers hisorique. Les ouils radiionnels de la finance moderne doiven donc êre adapés pour enir compe des spécificiés des conras d assurance. Cerains développemens son en cours e de nombreux devraien suivre dans l opique de mesurer le coû des opions cachées, noammen de la faculé de racha offere aux souscripeurs de conras e de la possibilié de prorogaion des conras don le erme es aein

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