Exercice 1 du cours Management Bancaire : «Calcul de la VaR d une obligation»

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1 Exercice du cours Managemen Bancaire : «Calcul de la VaR d une obligaion» L une des préoccupaions des gesionnaires des risques dans les banques es de prendre en compe les caracérisiques des porefeuilles comme la non linéarié de la valeur des porefeuilles par rappor aux faceurs de risques reenus. Ce exercice aborde le calcul de la VaR d une obligaion en enan compe de la convexié du prix de l obligaion par rappor au aux de rendemen (considéré comme le seul faceur de risque). I. Problémaique La Direcion des Risques de Marché (DRM) d une grande banque doi calculer la VaR sur ses porefeuilles obligaaires afin de fixer des limies de risque en erme de VaR pour les opéraionnels, d évaluer l acivié sur la base des fonds propres économiques alloués e de calculer les fonds propres réglemenaires pour couvrir les risques de marché associés. La DRM éudie différenes méhodes pour calculer la VaR du produi de base : une obligaion à aux fixe. II. Modélisaion du prix d une obligaion A) Prix d une obligaion Le prix d une obligaion à la dae 0, noé P 0, peu se calculer comme la valeur de ses flux fuurs (F ) = à T acualisés au aux r: P F 0 = T = + ( ). r où les daes représenen les daes de paiemen des inérês e de remboursemen du capial e T la maurié de l obligaion. Le aux r correspond au aux de rendemen jusqu à maurié de l obligaion (yield o mauriy). Ce aux représene aussi le aux de rendemen inerne de la séquence de flux de l obligaion. B) Approximaion au premier ordre e duraion La duraion (encore appelée duraion de Macauley) es définie comme la moyenne des daes de paiemen des flux de l obligaion pondérée par le monan du paiemen: T D = F ( + r ). = P 0 La duraion mesure la dimension emporelle de l obligaion en prenan en compe ous les flux qui inerviennen. Elle s inerprèe comme la maurié effecive de l obligaion.

2 La duraion mesure aussi la sensibilié du prix de l obligaion au aux de rendemen comme le monre la formule suivane : dp P D =. dr + r La duraion es parfois remplacée par la duraion modifiée D* définie par * D D =. + r Ce modèle simple peu êre uilisé pour calculer la variaion du prix de l obligaion en foncion du aux de rendemen r qui joue le rôle de faceur de risque. La variaion du prix de l obligaion es en première approximaion une foncion linéaire du aux de rendemen : * dp = P D dr. L uilisaion du aux de rendemen e de la duraion n es compaible qu avec un processus d évoluion de la courbe des aux d inérê bien spécifique. Comme les flux à une dae quelconque son acualisés avec le même aux, cela suppose une courbe des aux plae. Une variaion du aux idenique pour oues les mauriés implique que le mouvemen de la courbe des aux es parallèle. De plus, comme le calcul de la duraion es fondé sur une approximaion au premier ordre de la relaion enre la valeur de l obligaion e la valeur du aux, la duraion n es uilisable que pour des mouvemens de aux de faible ampliude. C) Approximaion au deuxième ordre e convexié Pour obenir une meilleure approximaion du prix de l obligaion, il fau aller jusqu au deuxième ordre du développemen de Taylor : dp dr + P P dr où la convexié C es définie par dp P d P dr T d P C = = P dr ( + r ) * ( dr ) = D dr + C ( dr ). = La variaion de prix peu alors s exprimer comme sui F + r P ( + ) ( ). * dp P D C dr dr. Quand la variaion du aux es faible, le erme de convexié peu êre ignoré. La convexié enraîne une diminuion de la duraion suie à une hausse des aux, e inversemen, une augmenaion de la duraion suie à une baisse des aux. 0

3 III. Méhodologie de calcul de la VaR A) Processus de aux Pour modéliser l évoluion du aux d inérê (aux de rendemen jusqu à maurié), la DRM envisage de supposer que le aux d inérê fuur es disribué selon une loi normale. La dynamique du aux sous la probabilié hisorique es alors donnée par le processus suivan : dr = µ d + σ dw où µ représene la endance insananée, σ la volailié insananée e W un mouvemen brownien sandard. Les paramères µ e σ son supposés consans au cours du emps. D après l équaion ci dessus, la variaion du aux enre la dae e la dae +, noée r, es calculée comme sui r = r r = µ + ( W W ). + σ + B) Méhodes pour la VaR La DRM a reenu rois méhodes pour calculer la VaR. La première méhode, appelée «exac normal», calcule la disribuion exace de la variaion du prix de l obligaion à l aide de simulaions de Mone Carlo. La deuxième méhode, appelée «duraion normal», suppose une relaion linéaire enre la variaion du prix de l obligaion e la variaion du aux (approximaion au premier ordre). La roisième méhode, appelée «duraion convexiy normal», suppose une relaion non linéaire enre la variaion du prix de l obligaion e la variaion du aux (approximaion au deuxième ordre). Pour les rois méhodes, il es supposé que le aux d inérê fuur es disribué selon une loi normale. C) Mise en oeuvre Afin d avoir un panorama des résulas, la DRM considère deux obligaions (l une de maurié coure, l aure de maurié longue) e différenes valeurs pour les paramères de la VaR. Les caracérisiques des obligaions son les suivanes : Nominal N : 00 (l obligaion es émise e remboursée au pair) Taux facial T f : 0% (le coupon es versé annuellemen) Maurié T : 5 ans (pour l obligaion de coure maurié) e 0 ans (pour l obligaion de longue maurié) Naure de la posiion : longue (acha de l obligaion) e coure (vene à erme de l obligaion) Taux de rendemen r : 0% (aux observé à la dae de calcul de la VaR). Les valeurs des paramères uilisés pour calculer la VaR son les suivanes : Horizon H : jour e 0 jours (il s agi de jours ouvrés, une année compan 50 jours ouvrés) Seuil de probabilié p : 95%, 99% e 99,9%.

4 Pour l esimaion des paramères du modèle de aux (moyenne µ e écar ype σ), la DRM a consrui une base de données journalières de prix e de aux de rendemen d obligaions zérocoupons de maurié 4 ans e 7 ans (une obligaion zéro coupon es une obligaion ne versan pas de coupon inermédiaire). IV. Quesions Pour la présenaion des résulas, on pourra uiliser les ableaux de l Annexe. A) Eude du prix d une obligaion Quesion : calculer numériquemen la duraion e la convexié de l obligaion de coure maurié (5 ans) e de l obligaion de longue maurié (0 ans). Quesion : représener graphiquemen la valeur exace d une obligaion en foncion du aux de rendemen (pour des valeurs allan de 0% à 0%). On représenera aussi sur le graphique les approximaions au premier ordre (uilisaion de la duraion) e au deuxième ordre (uilisaion de la duraion e de la convexié). On fera des graphiques séparés pour l obligaion de coure maurié e l obligaion de longue maurié. Laquelle des deux obligaions es la plus sensible à une variaion du aux de rendemen? Quesion 3 : déerminer sur quel inervalle de aux les approximaions au premier ordre e au deuxième ordre son valides avec une erreur maximale de 0,5% e de %. On pourra se conener de valeurs approchées pour la borne inférieure e la borne supérieure des inervalles obenues à parir de la quesion précédene mais on pourra aussi calculer les valeurs exaces en résolvan les équaions associées. B) Calcul de la VaR d une obligaion Dans cee parie, on s inéresse au calcul de la VaR d une obligaion e en pariculier à l impac des approximaions du er ordre e du ème ordre sur la VaR. On considère uniquemen un processus de aux normal. Les paramères µ e σ du processus seron esimés direcemen à parir de la base de données fournies. Quesion 4 : calculer numériquemen la VaR de l obligaion par la méhode «exac normal» en effecuan des simulaions de Mone Carlo (voir l Annexe pour l uilisaion d ouils de simulaion avec un ableur). On réfléchira au nombre de simulaions à effecuer. Représener graphiquemen la disribuion saisique de la variaion du prix de l obligaion. On indiquera sur le graphique la VaR pour les différens seuils de probabilié considérés. Quesion 5 : calculer formellemen la VaR d une obligaion par la méhode «duraion normal». Pour le prix fuur de l obligaion, on iendra aussi compe du passage du emps. Représener graphiquemen la disribuion saisique de la variaion du prix de l obligaion. On indiquera sur le graphique la VaR pour les différens seuils de probabilié considérés.

5 Quesion 6 (faculaive) : calculer numériquemen la VaR de l obligaion par la méhode «duraion convexiy normal». On décomposera la variaion de prix d une obligaion sous la forme : ( W + b ) c P = a + où a, b e c son rois paramères que l on idenifiera (a>0 e b>0) e W une variable aléaoire disribuée d après une loi normale cenrée réduie. On éudiera la disribuion saisique de cee variable aléaoire. C) Risques de modèle Quesion 7 : indiquer quels son les risques de modèle liés aux méhodes précédenes. V. Références A) Méhode de calcul de la VaR Crouhy M., D. Galai e R. Mark (00) Risk Managemen McGraw Hill, Chapire 5 Measuring Marke Risk: The VaR Approach. Jorion Ph. (997) Value a Risk Irwin, Chapire 5 Measuring Value a Risk. Hull J.C. (003) Opions, Fuures, and Oher Derivaives Prenice Hall, Chapire 5 Ineres Rae Markes. Longin F. (000) From VaR o Sress Tesing: The Exreme Value Approach, Journal of Banking and Finance, 4, B) Réglemenaion bancaire française Comié de Réglemenaion Bancaire e Financière, Règlemen n 95 0 du juille 995 relaif à la surveillance prudenielle des risque de marchés (remplacé par le règlemen n 99 0 du juin 999). C) Sies uiles bancaire.org: sie de la Commission Bancaire (service de la Banque de France chargé de la surveillance des banques en France). sie de la Banque des Règlemens Inernaionaux (BRI) présenan des exes réglemenaires officiels ainsi que des éudes. sie de ressources sur la VaR. aller dans la parie réservée au cours «Managemen bancaire» / «Bank managemen» pour élécharger le fichier de données de prix e de aux de rendemen d obligaions zéro coupon.

6 Annexe Présenaion des résulas Table A. VaR d une obligaion de coure maurié (posiion longue). Méhodes de calcul de VaR Exac normal Duraion normal Duraion convexiy normal Paramères de la VaR Table B. VaR d une obligaion de coure maurié (posiion coure). Méhodes de calcul de VaR Exac normal Duraion normal Duraion convexiy normal Paramères de la VaR Table A. VaR d une obligaion de longue maurié (posion longue). Méhodes de calcul de VaR Exac normal Duraion normal Duraion convexiy normal Paramères de la VaR Table B. VaR d une obligaion de longue maurié (posion coure). Méhodes de calcul de VaR Exac normal Duraion normal Duraion convexiy normal Paramères de la VaR

7 Annexe Simulaion de variables aléaoires La variaion du aux de rendemen enre la dae e la dae +, noée r, es calculée comme sui r = r + r = µ + σ W. où es un inervalle de emps donné (disons une année) e W une variable aléaoire disribuée selon une loi normale sandardisée (avec une moyenne égale à 0 e un écar ype égal à ). Uilisaion du généraeur de nombres aléaoires irés d une loi uniforme (macro) Sous Excel, un simulaeur de nombres aléaoires se rouve dans la macro complémenaire «Analyse de données» / «Daa analysis». Pour accéder à cee macro, cliquer sur «Ouils» / «Tools» dans la barre de menu du hau, puis sur «Analyse de données» e enfin sur «Simulaeur de nombres aléaoires» / «Random Number Generaion». Si la macro complémenaire «Analyse de données» / «Daa analysis» n es pas acivée, cliquer sur «Ouils» / «Tools», puis sur «Macros complémenaires» / «Addiional macro» e cocher la case devan «Analyse des données» / «Daa analysis». Enrer le nombre de variables ( dans le cas présen), le nombre de nombres aléaoires (à définir), le ype de disribuion («Normal»), les valeurs des paramères de la loi normale (moyenne e écar ype à définir) e la plage de données. Uilisaion du généraeur de nombres aléaoires irés d une loi uniforme (foncion) A défau, il es oujours possible d uiliser le simulaeur de base qui donne des nombres aléaoires irées d une loi uniforme. Sous Excel, cliquer sur «Inserion» dans le menu du hau, puis sur «Foncions» e sélecionner la foncion «Aléa». Des nombres aléaoires irés d une loi normale peuven ensuie êre obenus à parir de nombres aléaoires irés d une loi uniforme avec la ransformaion suivane : ( U ) cos ( ) W = π U ln ( U ) sin ( ) W = π U ln où W e W son des nombres aléaoires irés d une loi normale e U e U des nombres aléaoires irés d une loi uniforme.