CHAPITRE 2. Les carrés dans (Z/nZ) 2.1 Carrés et non carrés dans le corps Z/pZ

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1 CHAPITRE Les carrés das (Z/Z Das ce chatre o s téresse à l esemble des carrés das le cors Z/Z, mas auss das certas aeaux Z/Z avec o remer O todut le symbole de Legedre qu caractérse les carrés O trodut auss le symbole de Jacob déf sur Z/Z avec eter mar o écessaremet remer Le symbole de Jacob e ermet as de dstguer les carrés des o-carrés Il est ceedat u outl dsesable our le calcul des symboles de Legedre Sas utlsato du symbole de Jacob l est ratquemet mossble de calculer u symbole de Legedre das Z/Z avec remer grad (quelques cetaes de chffres décmaux 1 Carrés et o carrés das le cors Z/Z Commeços ar u exemle smle Dressos la table des carrés das Z/Z, avec 7 x x mod Parm les 6 élémets o uls, 3 sot des carrés Les 3 autres e sot as des carrés De lus, chaque carré o ul a deux races carrées : 1 ±1, ±3, 4 ± Théorème 1 Sot remer et g u géérateur de (Z/Z L élémet a (Z/Z est u carré s et seulemet s so logarthme e base g est ar Parm les 1 élémets o uls de (Z/Z, la moté exactemet sot des carrés Chaque carré o ul a races carrées Preuve : Sot a das (Z/Z et k so logarthme e base g S k l est ar a (g l est u carré Récroquemet s a est le carré de g t, a g t, so logarthme dscret est le reste de la dvso de t ar 1 qu est ar, car 1 est ar S a est u carré o ul, a b, l élémet b est ue race du olyôme x a, dstcte de la race b Le olyôme x a de F [x] état de degré, l admet as d autre race Théorème (Le crtère d Euler Pour que a remer avec sot u carré modulo l faut et l sufft que a 1 1 (mod 17

2 Cours de crytograhe CHAPITRE LES CARRÉS DANS (Z/NZ Preuve : O calcule das Z/Z Sot g u géérateur de (Z/Z S a est u carré t 1 a g t, o a a ( 1/ a g ( 1t 1 S a g t+1 est as u carré, o a a ( 1/ g ( 1t g ( 1/ 1 ( 1 1 Car g ( 1/ est ue race de x 1 0 dfférete de 1, c est doc 1 Symbole de Legedre Défto 3 Sot a Z, et remer mar O déft le symbole de Legedre ar ( a +1 s a est u carré o ul das (Z/Z 1 s a est as u carré das (Z/Z 0 so Théorème 4 Le symbole de Legedre satsfat les rorétés suvates : Pour tous a et b eters, et q remers mars, ( a Crtère d Euler : a 1 (mod ( ( a + λ a Pérodcté : ( ( ( ab a b Multlcatvté : ( 1 Caractère quadratque de 1 : ( 1 1 ( { +1 s ±1 mod 8 Caractère quadratque de : ( 1 s ( ±3 mod 8 Lo de récrocté quadratque : ( 1 1 q 1 q q Nous e démotreros as ce théorème Les ots 1,,3,4 sot facles Le ot 5 (caractère quadratque de modulo, et surtout le ot 6, sot lus délcats La lo de récrocté quadratque est u résultat remarquable, dû à Gauss, dot l exste de tres ombreuses démostratos Exemle 1 : Calcul de ( 71 La lo de récrocté quadratque, us la érodcté, doet ( ( ( ( ( Isuffsace du symbole de Legedre Sachat ( que le ombre 39 est remer, roosos ous de calculer le symbole de 143 Legedre : Pour alquer la lo de récrocté quadratque, l faudrat que le 39 ( 39 symbole de Legedre sot déf doc que 143 sot remer Ce est as le cas 143 M Deléglse 18 Master Pro CCS

3 Cours de crytograhe 3 INSUFFISANCE DU SYMBOLE DE LEGENDRE car Le seul moye d avacer das le calcul est d utlser cette factorsato, et la multlcatvté du symbole de Legedre O écrt ( ( ( La lo de récrocté quadratque s alque mateat aux deux symboles ( et car 11 et 13 sot remers, et cela codut à ( us ( ( ( ( ( ( ( ( , ( ( 143 ( ( 3 [1 ( 1 ( 1] Le calcul est c très smle car la factorsato ( de 143 est évdete Das le cas gééral le calcul du symbole de Legedre a lorsque a est o remer ous ramèe au roblème de la factorsato de a qu est u roblème dffcle Le symbole de Jacob surme cette dffculté Défto 5 Sot u eter ostf mar, dot la décomosto e facteurs remers est α 1 1 α α k k Le symbole de Jacob ( m est déf ar ( m ( m α1 ( m α ( m αk 1 k Théorème 6 Les rorétés essetelles du symbole de Jacob sot ( a 1 L équato 1 e caractérse as les carrés versbles de Z/Z Le symbole de Jacob e vérfe as le crtère d Euler : e gééral, ( a a ( 1/ ( a + λ ( a 3 Pérodcté : ( ab ( a ( b 4 Multlcatvté : ( 1 5 ( 1 1 ( { 6 ( s ±1 mod 8 1 s ±3 mod 8 7 Lo de récrocté quadratque : ( m Pour tous m et mars, (mod ( ( 1 m 1 1 m Les deux remères rorétés motret que le symbole de Jacob a a as de sgfcato mathématque téressate, cotraremet au symbole de Legedre qu ermet M Deléglse 19 Master Pro CCS

4 Cours de crytograhe CHAPITRE LES CARRÉS DANS (Z/NZ de recoatre les carrés das (Z/Z Mas c est u outl de calcul dsesable Rereos l exemle du calcul de ( O commece ar alquer la lo de récrocté quadratque, sas se oser la questo de la rmalté de 143, et o écrt successvemet ( ( ( ( ( 4 ( ( ( ( ( Il est lus ecessare de factorser les eters, sauf our sortr les facteurs lorsque l argumet fgurat au umérateur est ar O utlse essetellemet la lo de récrocté, et la érodcté Le calcul du symbole de Jacob ( a b est semblable au calcul du gcd de a et b ar l algorthme d Euclde Le calcul d u symbole de Legedre e utlsat les symboles de Jacob e écesste que O(log b dvsos 4 Les carrés das (Z/qZ Avat de ous téresser à l étude des carrés das (Z/Z our eter quelcoque, commeços ar le cas artculer, d u eter q, rodut de ombres remers dstcts, et q Ce cas est très fréquet e crytograhe De ombreux rotocoles utlset u eter de ce tye, avec et q deux grads ombres remers Pour , la table des carrés des élémets de (Z/Z est x x mod Il y a que carrés, 1 et 4, et chacu d eux a 4 races carrées : 1 ±1, ±4, 4 ±, ±7 Théorème 7 Sot q, avec, q remers mars Le ombre de carrés versbles modulo est 1 ( 1(q 1 ϕ( Chaque carré admet 4 races carrées 4 4 dstctes Preuve : Notos C l esemble des carrés des élémets de (Z/Z Sot a C et α ue race carrée de a modulo Pusque q avec (, q 1, o a x a (mod x α (mod { x ±α (mod x ±α (mod q car, das les cors Z/Z et das Z/qZ, α a exactemet deux races carrées qu sot ±α Et chacu des 4 systèmes chos admet ue uque soluto modulo q L alcato (Z/Z C : x x est surjectve, et, vu le calcul récédet l mage récroque de tout élémet de C, est de cardal 4 Il e résulte C 1 (Z/Z ( 1(q M Deléglse 0 Master Pro CCS

5 Cours de crytograhe 5 LES CARRÉS DANS (Z/P α Z 5 Les carrés das (Z/ α Z Le théorème récédet ramèe l étude des carrés das (Z/Z à l étude des carrés das (Z/ α Z, avec remer, et α eter 1 Il faut mettre à art le ombre remer Commeços ar le cas d u remer mar Théorème 8 Sot remer mar, α eter 1, et a Z, remer avec, doc auss avec α 1 Alors a est u carré das (Z/ α Z s et seulemet s a est u carré ( modulo, c est à dre s et seulemet s le symbole de Legedre de a vérfe a 1 Chaque carré o ul de (Z/ α Z a exactemet races carrées 3 S x 1 est ue race carrée de a modulo, l exste, our tout eter 1, u eter x, uque modulo, qu vérfe x x 1 (mod, x a (mod Les x se costruset ar récurrece, e cherchat x +1 sous la forme x +1 x + u où u est ue coue etère à détermer Preuve : La démostrato est ue alcato de la méthode de Hesel qu, artat d ue soluto modulo d ue équato, costrut ue soluto modulo α de la même équato Sot a u carré modulo Z La cogruece a x (mod mlque la cogruece a x (mod Il e résulte que a est auss u carré modulo Comme l équato x a (mod admet exactemet deux solutos, l sufft de démotrer le ot 3 our coclure Le résultat est vra our 1 Suosos le vra à l ordre S x +1 est soluto de x +1 x 1 (mod, x +1 a (mod +1, l est évdemmet soluto de x +1 x 1 (mod et x +1 a (mod, et, ar hyothèse de récurrece (ucté modulo, x +1 est de la forme avec u eter O a alors x +1 x + u, x +1 (x + u x + x u + u us x +1 x + x u (mod +1 Par hyothèse l exste v eter tel que x a + v Pour que x +1 a (mod +1 l est doc écessare et suffsat que u sot soluto de v + x u 0 (mod +1 Arès smlfcato ar, l faut et l sufft our cela que u vérfe v + xu 0 (mod M Deléglse 1 Master Pro CCS

6 Cours de crytograhe CHAPITRE LES CARRÉS DANS (Z/NZ Comme est mar, et x remer avec, cette équato e u a ue soluto uque modulo Il e résulte l exstece, et l ucté modulo +1, de x +1 Pour la méthode de Hesel e foctoe as O a ceedat le résultat suvat Théorème 9 1 L uque élémet 1 de (Z/Z est so rore carré (Z/4Z { 1, 3 } Parm ces deux élémets l u est u carré, 1, et l admet deux races carrées, 1 et Sot x (Z/ Z, avec 3 Alors a est u carré s et seulemet s a est u carré modulo 8, c est à dre s et seulemet s a 1 (mod 8 Das ce cas, chaque carré a exactemet 4 races carrées, et exactemet u quart des élémets de (Z/ Z sot des carrés 4 Pour 3, o calcule les races carrées de a modulo, ar récurrece sur, e utlsat la rorété suvate : Sot x ue race quarrée de a modulo Alors, (a Les autres races carrées de a modulo sot les élémets de l esemble { ±x, ±(x + 1 } (b S x est as ue race carrée de a modulo +1, x + 1 est ue race carrée de a modulo +1 Preuve : Les ots 1 et sot évdets Pour 3 o vérfe mmédatemet que das (Z/8Z { 1, 3, 5, 7 } l y a qu u carré, 1, et dot les 4 races carrées sot 1, 3, 5, 7 Sot 3, et a remer avec (c est à dre mar qu est u carré modulo, et x ue race carrée de a modulo Il exste λ eter avec Remarquos que, usque a est mar, x auss est mar x a + λ (1 1 O vérfe mmédatemet que les eters, ±x, ±(x + 1, deux à deux dstcts modulo sot des races carrées de a modulo S λ est ar (1 motre que x est auss ue race carrée de a modulo +1 S λ est mar, x 1 x + 1, qu vérfe x 1 a λ + x + (λ + x + est ue race de a modulo +1 Utlsat les ots 1 et c dessus, s a 1 (mod 8, e artat d ue race carrée x de a modulo 8, ar exemle x 1, o costrut, our tout 3 u esemble { ±x, ±(x + 1 } dot les 4 élémets sot des races de a modulo Pour termer la démostrato l sufft de démotrer que chaque élémet du sous-esemble C de (Z/ Z formé des élémets cogrus à 1 modulo 8 admet au lus 4 races carrées Cosdéros l alcato surjectve (Z/ Z C x x M Deléglse Master Pro CCS

7 Cours de crytograhe 6 LES CARRÉS DANS (Z/NZ AVEC N QUELCONQUE Les mages récroques des élémets de C formet ue artto de l esemble (Z/ Z O vet de démotrer que chaque classe est de cardal au mos 4 Le ombre de classes, card C 3, est le quart du cardal de card (Z/ Z 1 Doc chaque classe a exactemet 4 élémets 6 Les carrés das (Z/Z avec quelcoque Théorème 10 Sot u eter, α 1 1 α α k k sa décomosto e facteurs remers, et sot a u eter remer avec Pour que a sot u carré modulo l faut et l sufft que, our tout, 1 k, a sot u carré modulo α Preuve : Dre que x a (mod c est dre que α 1 1 α α k k dvse x a Commes les ombres α 1 1,, α k k sot deux à deux remers etre eux, c est dre que x a est dvsble ar chacu de ces ombres, autremet dt x a (mod α 1 1 x a (mod α x a (mod ( x a (mod α k k Cec mlque que a est u carré modulo chacu des α Récroquemet s a est u carré modulo chacu des α, l exste, our chaque, 1 k u x tel que x a (mod α Par le théorème des restes chos, l exste u x tel que x x (mod α our tout O e dédut que, our tout, x x a (mod α C est dre que x est soluto du système fgurat à drote de (, et doc de x a (mod Exercces Exercce et 983 sot remers Calculez de deux maères dfféretes le symbole de Legedre ( : 1 E utlsat uquemet le symbole de Legedre E utlsat le symbole de Jacob Exercce Démotrez que la lo de récrocté quadratque eut auss s écrre, c état d alleurs la forme utlsée as Gauss, ( ( q ( 1 q 1 Exercce 3 ( +1 Sot remer mar Détermer et ( 1 M Deléglse 3 Master Pro CCS

8 Cours de crytograhe CHAPITRE LES CARRÉS DANS (Z/NZ Exercce 4 Démotrer, ar exemle lorsque m 15, les ots 1 et du théorème 6 e exhbat u eter a qu est as u carré modulo 15, tel que ( ( a m 1, et e outre a m a (m 1/ (mod m Exercce 5 Quels sot les remers our lesquels l équato x 3 (mod admet au mos ue soluto? Exercce 6 Motrez que les dvseurs remers de sot de la forme 4k + 1 Exercce 7 Pour quels remers l équato x 5 (mod a-t-elle des solutos? Exercce 8 Que eut o dre des dvseurs remers de 1 1? Et de 1 + 1? Exercce 9 Résolvez les équatos 1 x 15 (mod 77 x + 3 x (mod x + x (mod 15 Exercce 10 Sot remer, et a, b, c eters, a o multle de Motrer que le ombre de solutos ( de l équato ax + bx + c 0 das le cors F est 1 + D, où D b 4ac est le dscrmat de ax + bx + c Exercce 11 1 Pour quels remers l équato x + 6x (mod a-t-elle des solutos? Pour quels remers l équato x + x (mod a-t-elle des solutos? 3 Mêmes questos e remlaçat das les deux cas Pour quels remers ar Pour quels eters aturels Exercce 1 Sot f x + x + 9 Motrer que 1 f 0 (mod 8 admet deux solutos modulo 8 f 0 (mod 16 admet as de soluto M Deléglse 4 Master Pro CCS

9 Cours de crytograhe 6 LES CARRÉS DANS (Z/NZ AVEC N QUELCONQUE Exercce 13 Motrez que s q et 4q + 1 sot remers est u géérateur de (Z/Z Exercce 14 est u ombre remer de la forme Motrez que 1 (mod Exercce 15 Sot F + 1, avec 1 1 O suose remer ( (a Motrez que g est u géérateur de (Z/Z s et seulemet s g 1 (b Motrez que 3 est u géérateur de (Z/Z Ic o e suose as remer, mas seulemet que (mod Motrez que est remer Ce test de rmalté our les ombres de Fermat est le test de Pe Exercce 16 Sot a u élémet o ul de F O se roose de démotrer que, our x F, les évèemets x est u carré o ul et x + a est u carré o ( ul sot ( à eu rès x x + a déedats, c est à dre que le ombre des x F tels que 1 est evro 4 O ote doc A le ombre des eters x {0, 1,, 1} tels que ( ( x x + a 1 1 Das le cas où a 1 calculer A 7 1 [ ( ] [ ( ] x x + a O ose S Motrez que x0 ( ( a a S 4 A O est as rameé au calcul de S Motrez que 1 ( x(x + a S + 4 Pour 1 x 1, sot y l verse de x modulo Motrez que ( ( x(x + a 1 + ay 5 E dédure que S 1, us la valeur de A, et ef l ecadremet 5 4 x1 A 1 4 M Deléglse 5 Master Pro CCS