Introduction aux chaînes de Markov
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- Heloïse Leclerc
- il y a 6 ans
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1 Iroducio aux chaîes de Markov Les mahémaicies du chapire (das l ordre de leur appariio : les russes Adreï MARKOV (856-9 e Adreï KOLMOGOROV (93-987, le briaique Sydey CHAMA ( e les allemads Oskar ERRO ( e Georg FROBEIUS ( Das ce docume ous oeros la probabilié de l espace probabilisé cosidéré e la probabilié de l évéeme «A sacha B» sera idifféremme oée ( A B ou ( A B Graphes probabilises Défiiio U «graphe probabilise» es u graphe orieé e podéré vérifia : Tous les poids appariee à l iervalle [ ; ] Il y a au plus ue arêe ere deux sommes quelcoques du graphe La somme des poids des arêes issues d u somme es égale à Exemple,55 B,5 A C,5,,85 O a immédiaeme la marice des poids associée à ce graphe :, 5,55,,5,85 Féelo Saie-Marie 4-5 C/SI [ - 9 ] Marc Licheberg
2 Iroducio aux chaîes de Markov Marice sochasique Défiiio Ue «marice sochasique», ou «marice de Markov» ou «marice markoviee», es p M elle que : ue marice ( ( de ( i, ; ( (, ;, [ ;] i p i ;, p ( Ue marice sochasique peu doc êre ierpréée comme la marice d adacece d u graphe probabilise de ( Remarque : si ous les coefficies d ue marice carrée ( p ( posiifs e si o a la caracérisique ( alors es sochasique i, ; M so ropriéés ( Toue marice sochasique adme comme valeur propre ( Le rayo specral d ue marice sochasique es égal à (3 Le produi de deux marices sochasiques de M ( es ue marice sochasique de M ( La première parie de la propriéé découle immédiaeme de la ème caracérisique d ue marice markoviee E effe, pour oue marice markoviee, o a, avec X,,, : X X ( Soi maiea ue marice markoviee e λ ue de ses valeurs propres (complexes e X ue marice coloe o ulle associé à λ elle que X λ X p e (,,, o a : X x x x i ;, p x λxi Avec ( ( i, ; D où : i ;, λ xi λxi px p x p max x max x ; ; i ;, λ x max x λ max x max x λ Mais : ; ; ; i Comme es valeur propre, o a fialeme : ρ ( Soi ( p ( e Q ( q ( i, ; deux marices sochasiques de ( i, ; osos S ( s ( Q, soi : ( i, ;, s i, ; pikqk k M Féelo Saie-Marie 4-5 C/SI [ - 9 ] Marc Licheberg
3 Iroducio aux chaîes de Markov Comme les coefficies de e Q so posiifs, il e va de même pour ceux de S Soi alors i das ; : s pikqk pikqk pik qk pik k k k k La marice S es bie sochasique Chaîes de Markov oe : ous ous limios ici aux chaîes de Markov où l espace des éas, oé E (cf E,, 3,,, ci-après, es fii O pose { } Défiiio Ue «chaîe de Markov» es ue suie de variables aléaoires ( X défiies sur u même espace probabilisé (où la probabilié es oée, à valeurs das u esemble E, appelé «espace des éas», e vérifia la propriéé caracérisique : + ( i, i,, i, i, E, X X i, X i,, X i, X i X X i ( ( + + Ue elle chaîe perme, par exemple, de modéliser u processus emporel e emps discre La propriéé caracérisique s ierprèe comme sui : l éa fuur du sysème, X +, e déped que de so éa prése, X, e o des éas passés ( X, X,, X U el processus es alors qualifié de «processus sas mémoire» Chaîe de Markov homogèe Défiiio Ue chaîe de Markov es die «homogèe» si, pour ou ( i, das E ( X X i e déped pas de : ( X X i ( X X i +, la probabilié O la oe alors «de la chaîe p» e la marice ( p ( + es appelée «marice de rasiio» i, ; Das le cadre de la modélisaio d u processus e emps discre, dire que la probabilié ( X X + i e déped pas de sigifie que la rasiio de l éa i à l éa e déped pas de l isa cosidéré mais seuleme du fai d êre das l éa i Féelo Saie-Marie 4-5 C/SI [ 3-9 ] Marc Licheberg
4 Iroducio aux chaîes de Markov ropriéé La marice de rasiio d ue chaîe de Markov homogèe es ue marice sochasique uisque ous avos affaire à ue marice do les coefficies so des probabiliés, il vie immédiaeme : ( i, ;, p [ ;] Esuie, pour ou eier i das ;, o a : E ( ( ( p X X i X X i uissaces de la marice de rasiio d ue chaîe de Markov homogèe O peu s ierroger sur l éa à log erme d u processus de ype «chaîe de Markov» Das le cas d ue chaîe de Markov homogèe, o peu doer ue répose précise Das u premier emps, ous allos voir que ce problème se ramèe à l éude de la limie de la suie ( des puissaces de la marice de rasiio (ce qui devra, si besoi es, vous covaicre ecore u peu plus, de l imporace de la oio de puissace d ue marice! Relaio de Chapma Kolmogorov Soi ( X ue chaîe de Markov homogèe e soi ( p ( rasiio ( O oe p X ( X i( das l éa i, d êre das l éa à l isa O pose : sa marice de i, ;, c'es-à-dire la probabilié, sacha que l o es iiialeme ( p ( ( ( i, ; O a alors, pour ou eier sriceme posiif (relaio de Chapma-Kolmogorov : ( Das cee démosraio (à lire raquilleme, au pla mahémaique, l absece de mémoire ous perme de «ouer» sur les évéemes qui codiioe (qu impore les évéemes passés e l homogééié sur les idices ous démoros le résula par récurrece L égalié es rivialeme vérifiée pour Bie que ce e soi pas (du ou obligaoire, ous allos éablir le résula pour ( ( ( X i ( X O a d abord ( i, ;, p ( X ( X i X i ( Féelo Saie-Marie 4-5 C/SI [ 4-9 ] Marc Licheberg
5 E oa [ ] ( p ( i, ; Iroducio aux chaîes de Markov [ ] o a : ( i, ;, p pik pk C'es-à-dire : ( [ ] X i X k k k ( ( ( ( i, ;, p X k X L homogééié de la chaîe ( X puis : ( ( X X k ( X k( X ous perme alors d écrire [ ] ( ( X i ( ( p X k X X k k La chaîe ( X éa sas mémoire, o a aussi : ( ( X ( ( ( X Fialeme : [ ] p X k X ( ( X i ( ( X k k k ( ( X k X i ( X i ( X k ( X X k X i X k (( X i ( X k ( ( X i ( X k ( X ( X i ( ( X i ( X k (( X i ( X k ( X ( X i k k k Les évéemes ( X k k (( X i ( X k ( X ( X i forme u sysème comple d évéemes e o a doc : (( X i ( X k ( X (( X i ( X O e ire : (( X i ( X p X p (( X i ( X ( X ( ( i [ ] k ( ( X i X i Supposos désormais le résula vrai pour u eier aurel quelcoque o ul : O a alors : + [ ] (, soi : ( i, ;, p + pik pk ( C es à dire : ( [ + ] k ( ( X i ( X k ( i, ;, p X k X L homogééié de la chaîe ( X ( ( X X k ( X k( X + k ous perme alors d écrire puis : ( ( ( ( ( (( X i ( X k ( ( ( X i [ + ] p X k X X X i X k + X k + k k Féelo Saie-Marie 4-5 C/SI [ 5-9 ] Marc Licheberg
6 Iroducio aux chaîes de Markov pour ariioos alors l uivers avec les évéemes ( X i ( X i ( X i ou ( i i i das, Il vie : E doc :,,, (( X i ( X k ( i, i,, i, (( X i ( X i ( X i ( X i ( X k [ + ] (( X i ( X k ( X ( ( k + k X i (( X i ( X i ( X i ( X k ( X ( ( X k + X i p X (,,,, k i i i L absece de mémoire de la chaîe ous doe alors : [ + ] (( X i ( X i ( X i ( X k ( X ( ( k + k (,,,, X i i i i (( X i ( X i ( X i ( X k k ( i ( X, i,, i, i ( X ( ( ( ( X i X i X i X k + (( X i ( X i ( X i ( X k k ( ( X i i, i,, i, (( X i ( X i ( X i ( X k ( X+ (( X i ( X i ( X i ( X k ( X i ( X i ( X i ( X k ( X+ ( X i p X (,,,, k i i i La pariio de l uivers ous doe alors : [ + ] ( X i ( X i ( X i ( X k ( X+ p k ( i ( X, i,, i, i ( X i ( X k ( X+ k ( X i uis le pariioeme par les ( X k : p Le résula es doc vrai au rag + [ + ] ( X i ( X k ( X+ k ( X i ( X i ( X+ ( X ( ( i + X i X p ( + Féelo Saie-Marie 4-5 C/SI [ 6-9 ] Marc Licheberg
7 Iroducio aux chaîes de Markov Loi de X E L espace des éas es oé : {,, 3,,, } our ou eier aurel, la variable aléaoire X es défiie par les probabiliés ( X, ( X,, ( X ous oos alors π la marice lige : π ( ( X ( X ( X O a :, π + π e π π Le deuxième résula découle du premier par ue récurrece immédiae Il covie doc d éablir :, π + π osos π Q ( q ( O a : k,, M ( ( ( ( X ( ( X ( ( ( X X X + X + + ( X ( ( X X + (( X ( X+ (( X ( X+ (( X ( X+ (( X k ( X+ q X p + X p + + X p forme u sysème comple d évéemes (pariio de l uivers Les évéemes ( X k e o a doc (formule des probabiliés oales : (( X k ( X+ ( X + O e dédui : π π + k Aisi, d après la propriéé précédee, l éa du sysème à l isa (ie la loi de probabilié de X sera parfaieme cou dès lors que l o coaîra l éa du sysème à l isa (ie la loi de probabilié de X, oée π ci-dessus e la marice de rasiio L évoluio à log erme du sysème se ramèe doc à l éude de la limie de la suie ( des puissaces de la marice de rasiio O a des résulas gééraux relaifs aux marices posiives (ous les coefficies so posiifs dies «irréducibles» Ue marice irréducible s ierprèe comme la marice des poids d u graphe orieé podéré coexe (il exise ue chaîe ere deux sommes quelcoques du graphe ar exemple : Ue marice sriceme posiive es irréducible Ue marice admea ue puissace sriceme posiive es irréducible Féelo Saie-Marie 4-5 C/SI [ 7-9 ] Marc Licheberg
8 O a alors la propriéé suivae Iroducio aux chaîes de Markov ropriéé Si la valeur propre de la marice sochasique d ue chaîe de Markov homogèe es simple e domiae (oue aure valeur propre es de module sriceme iférieur à alors la coverge vers ue marice sriceme posiive de la forme : suie ( où : p+ p + + p p p p p p p p p p ar ailleurs, oue suie ( π défiie par π ( ( ( ( X X X π π, coverge vers ( p p p e, + de probabiliés vérifia : O adme le premier poi π qui es l uique disribuio π π Soi π ( ( X ( X ( X O cosidère la suie ( π ( π Comme la suie ( marice (lige π π coverge vers la marice, la suie ( π Mais la suie ( π vérifie la relaio de récurrece : π E passa à la limie, o obie : lim lim ( π coverge vers la π π π π D où : π π Aisi, la marice coloe π correspod-elle à u veceur propre associé à la valeur propre de la marice La limie d ue disribuio de probabilié es ecore ue disribuio de probabilié (il suffi de cosidérer l applicaio ϕ de das : ϕ : (,,, x x x x qui es coiue, ( [ ] l esemble des disribuios de probabilié éa ϕ {}, qui es fermé comme iersecio fiie de fermés Aisi, π es l uique disribuio de probabilié associée à la valeur propre de la marice De cee première éape, o dédui que la suie ( π i i coverge vers ue uique disribuio de probabiliés π, idépedae de π e elle que π soi associée à la valeur propre de la marice ( π π Féelo Saie-Marie 4-5 C/SI [ 8-9 ] Marc Licheberg
9 Iroducio aux chaîes de Markov La marice adme les mêmes valeurs propres avec les mêmes ordres de muliplicié que la marice La valeur propre éa simple, le sous-espace propre associé es de dimesio e es egedré par π Comme π π, o a, pour ou eier aurel (récurrece immédiae : ( π π, soi : ( π π e efi : π π puis : ( E passa à la limie, il vie : π π π π p p p p p p p Comme o a : p, il vie : π α p p p p Comme π correspod à ue disribuio de probabiliés, o a α : Fialeme : π ( p p p Remarques : π π p p p Les hypohèses du héorème so, e pariculier, saisfaies lorsque la marice es sriceme posiive (héorème de erro-frobeius Aeio cepeda : pour le calcul de, o oera qu ue marice sochasique sriceme posiive es pas écessaireme diagoalisable Si la limie de la suie ( exise alors il s agi ecore d ue marice sochasique lus gééraleme, pour ou eier aurel o ul, ue suie de marices sochasiques d ordre covergee adme pour limie ue marice sochasique E d aures ermes, l esemble des marices sochasiques d ordre es fermé das M ( (l esemble des marices sochasiques d ordre es u fermé de M ( { } M e de l image comme iersecio de M ( m ( ( / [,] i,, m réciproque de {( } M, ( par l applicaio M M ( (, ϕ : qui es liéaire e M ( m ( ϕ ( M m i,, m m doc coiue Féelo Saie-Marie 4-5 C/SI [ 9-9 ] Marc Licheberg
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