5. Variables aléatoires simultanées

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1 5. Varables aléatores smultaées 5.1 Coule de varables aléatores Défto 1 Pour tout dce das 1, sot X ue varable aléatore. O dt que X X 1 X est ue varable aléatore de dmeso. Nous ous téresseros rcalemet aux cas aléatores. 2,.e. les coules de varables Lo cojote, lo margales Défto 2 Sot Z X Y u coule aléatore : L alcato : x y j j P Z x y j P X x Y y j s aelle la lo cojote de Z. L alcato : x P X x s aelle la remère lo margale de Z. L alcato : y j P Y y s aelle la deuxème lo margale de Z Exemle O roose à 100 dvdus deux tests sychotechques comortat resectvemet tros et deux questos. X désge le ombre de réoses correctes au remer test, et Y le ombre de réoses correctes au deuxème test : X Y j

2 5.2 Lo codtoelle Défto 3 Sot Z X Y u coule aléatore dscret. Pour tout j tel que Y y j e sot as mossble, o aelle lo codtoelle de X sachat Y y j, la quatté : P X x Y y j j j 5.3 Idéedace Défto 4 Les varables X et Y sot dtes déedates s et seulemet s our tout x et tout y j, o a : P X x Y y j P X x P Y y j j O recoat la formule de Bayes, our deux évèemets déedats Exemle O eregstre tros lacers successfs d ue èce de moae. X est le ombre de les et Y est le ombre de faces. X Y => Idéedace foctoelle Varato de la déedace /8 1/ /8 0 3/ / /8 3 1/ /8 j 1/8 3/8 3/8 1/8 1 d edace aelesouvetd edacestochatstque d edace d edace f octoelle 2

3 5.3.3 Covarace de deux varables aléatores Défto 5 O aelle covarace de deux varables aléatores X et Y l exresso : Cov X Y E X E X Y E Y j x E X y j E Y j Proosto 1 La covarace de deux varables aléatores déedates est ulle Atteto : la récroque est fausse Coeffcet de corrélato léare Défto 6 O aelle coeffcet de corrélato léare de deux varables aléatores X et Y l exresso : ρ Cov X Y σ X σ Y Ce coeffcet est u dce de laso etre les deux varables Prorétés 1 ρ 1 ρ 1 ou ρ 1 s et seulemet s ue des varables est ue focto affe de l autre (déedace léare. S les varables X et Y sot déedates alors ρ Covarace de deux varables aléatores X Y de deux varables aléa- Défto 7 O aelle esérace du coule Z tores X et Y l exresso : E Z E X E Y Exemle Das l exemle du test sychotechque : E Z

4 5.3.7 Matrce de covarace de deux varables aléatores Défto 8 O aelle matrce de covarace du coule Z X Y de deux varables aléatores X et Y l exresso : C σ 2 X Cov X Y Cov Y X σy 2 C est ue matrce symétrque car Cov X Y Cov Y X Cov Z. Exemle Das l exemle du test sychotechque : C Somme de varables aléatores Défto 9 La focto géératrce d ue varable aléatore dscrète est défe ar : g X s E s X x s x 0 s 1 x Elle ermet de décomoser ue focto sur ue base comlète. Elle faclte certas calculs : m X g X 1 v X g X 1 g X 1 g 2 X Foctos géératrces des los de robabltés usuelles Lo de Beroull : g X s q s Lo Bomale B 0 : g X s q s Lo Bomale B d : g X s s d q s Lo Bomale égatve B d r : g X s s d Lo de Posso P d λ : g X s s d eλ s 1 1 qs Défto 10 Sot Z X Y où X et Y sot des varables aléatores déedates. La lo de la somme de varables aléatores déedates est le rodut de covoluto des los des varables aléatores sommées : ce que ous otos : P Z P X P Y d P Z z P X k P Y z k k r 4

5 5.4.2 Prorétés Le rodut de covoluto est ue oérato commutatve et assocatve : P X1 P X2 P X2 P X1 P X1 P X2 P X3 P X1 P X2 P X3 P X1 P X2 P X3 O aelle ussace -ème de covoluto le rodut de covoluto d ue lo avec elle-même réété 1 fos : Prorétés P X P X P X P X g Z s P Z z z s z z P X k s k P Y z k s z k k P X x s x x g X s g Y s y P Y y s y La focto géératrce de la somme de varables aléatores déedates est le rodut des foctos géératrces élémetares Exemles Sot deux varables aléatores X et Y suvat resectvemet les los bomales B 1 et B 2. Retrouver la lo suve ar la varable aléatore Z X Y à artr des foctos géératrces. Même questos our deux varables aléatores suvat des los de Posso P λ 1 et P λ Prorétés Les dérvées remère et secode de la focto géératrce sot doées ar : g Z s g X s g Y s g X s g Y s g Z s g X s g Y s 2g X s g Y s g X s g Y s 5

6 O e dédut les relatos suvates sur la moyee et la varace : m Z g Z 1 g X 1 g Y 1 m X m Y v Z g Z 1 g Z 1 g Z 1 v X v Y Calcul de la somme de varables aléatores à artr des foctos géératrces 1. rodut des foctos géératrces élémetares 2. " verso " de la focto géératve trouvée. Das de ombreux cas, seul le recours aux foctos géératrces ermet de trouver la forme aramétrque (s elle exste) d u rodut de covoluto de los dscrètes. Défto 11 Ue varable aléatore Z, défe sur l esemble des réels, sut la lo ormale N m σ 2 s : Prorétés P a Z b b a 1 2πσ e x m 2 2 2σ 2 dx a b La lo ormale est ue lo symétrque dot les aramètres sot la moyee m et la varace σ 2. La varable aléatore Z sut la lo ormale cetrée rédute N 0 1 s : P a Z b Théorème de la lmte cetrale b a 1 2π e x 2 2 dx a b Sot X 1 X 2 X, varables aléatores déedates de même lo, de moyee m X et de varace v x. Sot Y la somme cumulée : Y X 1 X La moyee de Y est alors m Y m X et so écart tye σ 2 Y σ 2 X. Théorème 1 la varable aléatore cetrée rédute Y m Y σ Y dédute de la varable aléatore Y coverge e lo, lorsque vers la lo ormale cetrée rédute. 6

7 Le théorème de la lmte cetrale affrme doc que : P a Y m Y σ Y b Utlsato ratque du théorème b a 1 2π e x2 2 dx a b S est grad, la varable aléatore cetrée rédute sut aroxmatvemet la lo ormale cetrée rédute N 0 1, ou ecore la varable aléatore Y sut aroxmatvemet la lo ormale N m Y σ 2 avec m Y m X et σ 2 Y σ 2 X Iterrétato grahque de la somme de deux varables aléatores X X X FIG. 1 Combaso des varables aléatores das le cas d u rodut de covoluto. => Exemle : Modélsato du déveloemet de la levure rodut de covoluto B(0,5,0.5) NB(0,5,0.5) rodut de covoluto B(0,25,0.2) P(0,5) FIG. 2 Exemles de rodut de covoluto. 7

8 Prorété Le rodut de covoluto de deux los dscrètes umodales est ue lo dscrète umodale. 5.5 Mélage de varables aléatores Défto Défto 12 Sot varables aléatores X et réels α tels que α geq0 et α 1, alors l oérato de mélage est ue combaso léare covexe des los élémetares : P X x g X s m x v X α P X α g X s α m X α x v X m 2 X 1α mx 2 Ue oérato de mélage est ue oérato de classfcato les X sot les classes et α tradut l mortace de la classe X das le mélage. => Exemle : Nombre d etre-oeuds ar uté de crossace sur le troc d u ommer Défto Les oératos de mélage et de covoluto sot ermutables : α P X P Y α P X P Y 5.6 Comosée de varables aléatores 8

9 α 1 X 1 α 2 X 2 α 3 X 3 FIG. 3 Combaso des varables aléatores das le cas d u mélage. La valeur rse ar le mélage est égal au tems assé das l automate mélage 0.3 B(0,10,0.3) 0.7 NB(0,7,0.5) mélage 0.3 B(0,10,0.3) 0.7 NB(0,50,0.8) FIG. 4 Exemles de mélage Défto Défto 13 Ue lo comosée se déft comme la lo de la somme de varables aléatores déedates et équdstrbuées où est ue réalsato artculère d ue varable aléatore N déedate des récédetes. S Y obét à ue lo comosée, Y 1 X s N et : P Y y P N P X 1 X y 9

10 Ue lo comosée eut se vor comme u mélage de ussaces de covoluto de la lo de la varable aléatore X. Il est ossble de tradure cec au veau des foctos géératrces : Exemle g Y s P N g X s g N g X s g N g X s Sot N ue varable aléatore suvat la lo bomale B 0 et sot X ue varable aléatore suvat la lo de Beroull B 0 1. Détermer la focto géératrce de la comosée : g N g X s Les foctos géératrces corresodates sot doées ar : g N s q s g X s q s La focto géératrce résultate s écrt : g Y s g N g X s 1 1 s 1 s La lo comosée résultate est doc la lo bomale B Prorétés La moyee et la varace de Y résultate se déduset des moyees et varaces de N et de X ar les relatos : suvates : m X m N m X v Y m N v X m 2 Xv N 10

11 > 0 X 1 > 1 1 X > FIG. 5 Combaso des varables aléatores das le cas d ue lo comosée. 11