Combinatoire. Table des matières. Marc SAGE. 1 ier juillet Pour s échau er 2. 2 De l art de montrer des identités combinatoires 3

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1 Combatore Marc SAGE er jullet 008 Table des matères Pour s échau er De l art de motrer des dettés combatores 3 3 U eu de théore extrémale des esembles 4 4 Sur les déragemets 4 5 Iverso de Pascal et surjectos 5 6 De la formule du crble 7 7 Des tts os, des tts os 9 8 Nombre total d versos das S 9 Ue detté combatore (trée du Cocours Gééral) 0 Et o ermute Nombre total de ot xes das S 3 Sur les arttos d eters 4 3 Cardal de SO (F ) 6 4 Cardal de GL et ombre d volutos de M 7 5 Lemme de Serer et théorème de Brouwer 8

2 O otera d éremmet le cardal d u esemble A ar Card A card A #A jaj Le comlémetare d ue arte A das u esemble E sera oté c A ou A O raelle égalemet que la otato ` sg e "uo dsjote", ce qu ermet d évaluer les cardaux Card a A Card A Pour s échau er Sot E u esemble à élémets Trouver le ombre de coules (A; B) de artes de E recouvrat E Soluto roosée Fxos ue arte A O veut esute ue arte B telle que A[B E Cela sg e exactemet que B s écrt comme l uo c A [ A 0 du comlémetare de A avec ue arte A 0 de A (fare u dess avec des atates) Déombrer les B qu ous téresset revet doc à déombrer les artes A 0 de A, ce qu se fat e jaj Il reste à sommer e fasat varer la arte A xée au déart Pour cela, o xe d abord le cardal de la arte A (etre 0 et ), us o chost la arte A (ce qu ce fat e chox), et o somme le tout : ( + ) 3 De maère lus formelle, o écrrat o # (A; B) P (E) ; A [ B E Card a o (A; B) P (E) ; A [ B E AE o Card (A; B) P (E) ; A [ B E AE AE Card fb E ; A [ B Eg AE # fb c A [ A 0 ; A 0 Ag AE # fa 0 Ag AE jaj ( + ) 3 jaj jaj La réose cherchée est doc 3 Et c est là que l o se dt : "Je sus tro bête, l y avat lus smle!" E e et, u recouvremet ar deux artes A[B est exactemet ue uo dsjote de tros artes (A B )q(a \ B)q(B A) : our la récroque, assocer à ue artto (A 0 ; I; B 0 ) le coule (A 0 [ I; B 0 [ I) O cherche doc le ombre de arttos de E e tros artes Or, coatre ue artto de E e artes revet à se doer our chaque élémet x E u ombre etre et (le uméro de la arte das laquelle se trouve x), e ue alcato de E das f; :::; g, lesquelles sot e ombres jej O retrouve otre 3 Remarque De maère lus géérale, se doer u recouvremet e arts A revet à se doer ue uo dsjote de arts : o récuère les arts formées des élémets aarteat à u A exactemet ( jaj

3 ( ) chox), us à deux A exactemet ( chox), etc, ce qu doe souceux de formalsato ourra cosdérer les alcatos (A ; :::; A ) 7! \ - [ A I I 0 (B I ) ; I[;] 7! + ::: + A! ; [ B I ; [ B I ; :::; [ B I A I I I chox Le lecteur et motrer qu elles sot récroques (c est u excellet exercce de théore des esembles) De l art de motrer des dettés combatores Motrer (resque) sas calcul la formule du bôme : (a + b) a b q +q Soet ; q; des eters aturels avec ; q Motrer que + q q q q + + ::: q 3 État doés des eters aturels, calculer + 0 ::: + ( ) Soluto roosée Remarquos que l detté à motrer est homogèe e a et b E tratat à art le cas trval a 0 (le seul terme o ul das la somme état alors a ), l su t doc de motrer ( + c) P 0 c (o a osé c : b a ) Or, lorsque l o déveloe le rodut ( + c) ( + c) ( + c) ::: ( + c), o oche u certa ombre de termes c das les facteurs ( + c) et o oche u das chacu des facteurs restat, d où ue cotrbuto e c O obtet doc ue somme de la forme P 0 c où désge le ombre de faços de chosr termes c arm les facteurs ( + c), e Ploum Pour calculer +q, o terrête e dsat que chosr ombres arm +q, c est e chosr arm et arm q (avec qu vare etre 0 et ), d où ue somme de q avec qu vare là où l faut +q Autre dée, basée sur le remer ot : désge le coe cet e x das le olyôme ( + x) +q ( + x) ( + x) q Il su t de calculer le coe cet e x das le rodut de drote ar u rodut de Cauchy our obter l detté souhatée 3 Isros-ous de la soluto récédete O sat que le terme ( ) est le coe cet e x du olyôme ( x) Pour se rameer à u degré e x xe, o multle ar x ; as, la quatté cherchée est le coe cet e x das le olyôme x ( x) + x ( x) + x ( x) + ::: + x ( x) x + x + x + ::: + x ( x) x x + ( x) x ( x) x + ( x) 3

4 Le secod terme terveat as usqu l est de valuato + >, o veut le coe cet e x de ( x), e ( ) Remarquer que our o trouve be 0, ce qu état mmédat ar le bôme : + ::: + ( ) ( ) U eu de théore extrémale des esembles Quel est le ombre maxmal de artes de E : f; :::; g qu ot deux à deux ue tersecto o vde? Soluto roosée Testos les ettes valeurs our tuter ce qu se asse Pour 3, les artes de f; ; 3g sot ;; fg ; fg ; f3g ; f; g ; f; 3g ; f; 3g ; f; ; 3g E essayat de redre des artes comme das l éocé, o tombe sur les famlles fg ; f; g ; f; 3g ; f; ; 3g fg ; f; g ; f; 3g ; f; ; 3g f3g ; f; 3g ; f; 3g ; f; ; 3g qu ot toutes 4 élémets Ue atteto lus marquée motrera que chacue de ces famlles a exactemet u élémet e commu Cec cte à cosdérer das le cas gééral les artes coteat u élémet xé : l y e a usque le chox des élémets restats est arbtrare Observer das otre exemle que 4 3 S l o essae d augmeter cette valeur, o se heurte à u mur L exlcato est smle : o e eut as redre lus de artes! U argumet our moter cela cosste à dualser : usque est la moté de, à chaque boe co gurato, o va assocer ue co gurato duale e reat les comlémetares, de sorte à redre deux fos lus de lace das P (E) Les hyothèses mlquet qu aucue arte de la co gurato duale e se retrouve das la co gurato tale (s c A A j, alors A \ A j ;), doc o a bel et be ue coe de otre famlle de artes das P (E) S cette derère est de cardal, o dot avor, e, CQFD 4 Sur les déragemets O aelle déragemet toute ermutato sas ots xes O otera D l esemble des déragemets de S et D so cardal Établr la formule de récurrece e dédure us dérver la valeur de D : D! 0! D + (D + D ), D D + ( ),! +! ::: + ( )! Soluto roosée O déombre les déragemets de S + selo l mage de +, laquelle se trouve être das f; :::; g usqu u déragemet e xe as + Notos doc D + les déragemets qu evoet + sur L dée our récurrer est de retrer toute trace de +, ce qu se fat e oublat les deux assocatos ( + ; ) et (a; + ) où a désge l atécédet de + (oter que a vu que e xe as + ) Mas o e 4

5 eut quad même couer le ( + ; ) comme ça, car l faut be que os ermutatos atteget! O dé t doc aturellemet ue alcato e couat ( + ; ) et e court-crcutat (a; + ) e (a; ) : 8 < D +! S ' : () s 6 a : 7! 7! s a Il est légme de se demader s ' arrve toujours das D (a de fare aaraître les termes de la récurrece) : e fat, o, o vot que ce sera le cas ss a 6 O arttoe doc D + selo que l atécédet a de + vaut ou as Notos D ; + et D; + les esembles resectvemets assocés (le secod exosat récse l atécédet de a) Pour a, o coue carrémet les deux ares e +, et o remarque qu u D ; + est etèremet détermé ar sa restrcto à f; :::; g fg, laquelle décrt les déragemets de S f;:::;gfg ' S, d où D ;a D + Par alleurs, l est asé de vor que l alcato ' dut ue bjecto de D ; + sur D : our la récroque, état doé u D, o commece ar récuérer a (), us o dé t D + ar 8 < () s 6 a; + () + s a : s + O e dédut l égalté des cardaux D ; + D Falemet, le cardal de D + vaut D ;a + D + + D ; + D + D + D our tout décrvat f; :::; g, d où (D + D ) Suosos à réset la relato D D + ( ) vrae our u (elle l est our vu que D 0 et D ) O e dédut E dvsat ar!, o obtet D + (D + D ) D + D (D ( ) ) + D ( + ) D + ( ) +, d où la relato au rag + D! ( )! d où l exresso voulue ar ue récurrece mmédate + D ( )!, Remarque O eut égalemet résoudre cet exercce e assat ar les séres géératrces exoetelles des D (cf feulle sur les séres etères) 5 Iverso de Pascal et surjectos Motrer la formule d verso de Pascal : s ue sute (u ) est détermée à artr d ue autre sute (v ) ar la formule u v, alors les v s exrmet de maère aalogue ar v ( ) u 0 ( ) u +q ( ) (o a smlemet "versé" les laces de u et v e rajoutat ue correcto ( ) ) u q 5

6 Retrouver le ombre D de déragemets de S e déombrat les ermutatos selo le cardal de leur suort 3 Exrmer le ombre s a;b de surjectos de f; :::; ag das f; :::; bg Soluto roosée U calcul brutal avec ue bête terverso de P su t : ( ) u ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 v ( )! ( )!! ( )!! ( )! Comme o veut trouver v, l serat souhatable que la somme P à 6 xé sot ulle O a du ( ) et des choses qu ressemblet à du bomal, doc cela dot robablemet se fare à cou de P ( ) 0 O orete les calculs das cette voe : v v v v ( )! ( )! ( )!!! ( )! 0 v ( ) 0 v ( ) v v 0 O eut auss rasoer matrcellemet La relato de déart s écrt (u 0 ; u ; :::; u ) (v 0 ; v ; :::; v ) P j our u matrce tragulare P be chose (redre ;j our 0 ; j ), d où v e versat : v up u ; P ; Pour calculer e ectvemet P, o observera judceusemet que P est la matrce de assage de la base ; ; ; :::; de R [] das ; + ; ( + ) ; :::; ( + ) e vertu de l detté So verse se calcule asémet e écrvat o obtet P ; ( ) ( + ) j ( + ) 0 0 j 0 j j, d où la formule souhatée ( ) ( + ) ; 6

7 Pour les déragemets, e suvat l éocé, o vot que chosr ue ermutato de S revet à chosr le cardal de so suort das f0; ; :::; g, les élémets arm qu serot xés, us u déragemet des élémets restat, d où! P D P D Pascal ous ermet alors d verser! D ) D ( ) ( )!! ( )! 3 Reveos à os surjectos Les v vot évdemmet jouer les rôles des coues, doc vot comter des surjectos Essayos de artoer u esemble de cardal u à l ade de surjectos our avor ue relato du gere u P ()v Pour cela, o déombre B A selo le ombre de ots attets : o chost le ombre de ots attets (etre et b), o chost ces ots arm b, us o oche ue alcato surjectve sur ces ots, d où b b b a s a; Il reste à alquer l verso de Pascal aux sutes u a et v s a; Pour être rore, o fat artr la somme de 0, ce qu suose de arler de s a;0 ; or, l est clar que ; f;:::;ag est vde our a, d où s a;0 0 égalemet O eut doc écrre b s a;b ( ) b b a b b a (b ) a + b (b ) a ::: + ( ) b b a + ( ) b b Remarque Il est très frustrat de e as vor mmédatemet ourquo la somme c-dessus est ulle our a < b E fat, c est u fat gééral : s P est u olyôme à coe cets ratoels et à valeurs etères, alors o motre que b 8b > deg P; ( ) b P (b ) 0 (our le cas qu ous téresse, redre P a ) Cela eut se fare e deux étaes E dé ssat u oérateur de traslato sur Z Z ar le bôme ermet d écrre où l o a oté : Id olyomale de degré d f () f ( ), b ( ) b f (b ) (Id ) b (f) b f Esute, l est asé de vér er que s f est olyomale de degré d, alors f est (be sûr, s f est costat, f 0), d où deg f+ f 0 et la formule souhatée 6 De la formule du crble Rédger ue reuve agréable de la formule du crble e utlsat les foctos caractérstques Doer ue méthode orgale du calcul de l dcatrce d Euler 3 Retrouver le ombre de déragemets d u esemble à élémets (cf exercce 5) S ue té de ersoes veet assster à ue réuo e lassat leur aralue au vestare et reartet e e rereat u au hasard, quel chace y a-t-l our que ersoe e récuère so aralue? 7

8 4 Déombrer les surjectos de f; :::; ag vers f; :::; bg où a et b sot des eters aturels (o comarera avec l exercce récédet) Soluto roosée L dée est de vor que le cardal d ue arte A d u esemble E s obtet ar la formule jaj xe A (x) Il est doc aturel de regarder A[:::[A Par commodté, o regarde lutôt A[:::[A A[:::[A A\:::\A A ::: A A ::: A A Aj A Aj A + ::: + ( ) A ::: A, ;:::; A + <j <j< d où A[:::[A A A\A j + A\A j\a + ::: + ( ) A\:::A <j <j< E sommat sur tous les élémets de A [ ::: [ A, o a la formule désrée : ja [ ::: [ A j ja j ja \ A j j + ::: + ( ) ja \ ::: \ A j ;:::; <j Sot Q r la décomosto d u eter e facteurs remers Raelos que l dcatrce d Euler ' () comte le ombre d eters de f; :::; g remers avec Pour comter ces derers, o va déombrer leur comlémetare Être remer avec sg e être remer avec tous les, doc e as être remer avec sg e être u multle d u des Comme o e s téresse qu aux eters comrs etre et, les esembles A des multles de qu sot ot our réuo le comlémetare des ombres que l o cherche à comter Il reste à alquer la formule du crble Observer d ue art que, être das l tersecto de A \ ::: \ A revet à être multle de ::: (et être ), d autre art que que le ombre de multles d u eter a lus etts qu u eter M est M a (u tel multle s écrt a M avec M a ) O eut doc écrre : ja [ ::: [ A r j + ::: + ( ) r, j ::: r d où la formule recherchée 0 ' ;:::;r ;:::;r + <j <j + ::: + ( ) r j ry A ::: r 3 O regarde E f; :::; g Comme récédemmet, o comte les déragemet selo leur comlémetare E e et, e as être u déragemet revet à xer u certa élémet, doc e otat A les ermutatos xat (au mos) le ot, o comte les élémets de S rvé de A [ ::: [ A Pour alquer la formule du crble, o observe que être das A \ ::: \ A revet à xer les ots ; :::;, ce qu lasse le chox our ermuter les ots restats, d où ja \ ::: \ A j ( )! Cela fourt ja [ ::: [ A j ( )! ( )! + ::: + ( ) d où le ombre de déragemets ;:::; ( )!!! D! <j!! + ::: + ( )!!,! +! 8 ( )! + ::: + 3! + ::: + ( )! ( )

9 O e dédut la robablté our qu ue ermutato de S rse au hasard sot u déragemet : D js j 0!! +! 3! + ::: + ( )! O recoaît le déveloemet troqué de ex ( ), d où la robablté our qu aucu membre de otre té de ersoes e remarte avec so aralue : lm e ' 0; Toujours comme récédemet, e as être surjectve revet à e as attedre u ot das f; :::; bg, d où u esemble A assocé Esute, être das A \ ::: \ A revet à e as attedre les ots ; :::;, ce qu fat b chox our chacu des a ots au déart Il e résulte ja [ ::: [ A b j (b ) a (b ) a + ::: + ( ) b (b b) a, ;:::; d où le ombre de surjectos de f; :::; ag das f; :::; bg : b s a;b : b a (b ) a b + (b ) a ::: + ( ) b b (b b) a b <j 7 Des tts os, des tts os Sot u échquer de talle 985 mare O dsose des os detques sur les cases de l échquer, évetuellemet luseurs os sur ue même case Trouver le lus ett ombre ossble de os ms sur l échquer telle que la rorété suvate sot vér ée : our toute case vde (; j), le ombre de os sur la -ème lge ou la j-ème coloe vaut au mos 985 Soluto roosée Évdemmet 985 e joue aucu rôle récs, c est juste l aée de assace de celu que vous lsez ;-) Preos lutôt ue arête a comlètemet quelcoque éamos etère et sot le ombre de os d ue co gurato satsfasat la rorété de l éocé O va chercher à morer us à motrer que l égalté obteue est otmale ( e que le cas d égalté est attet) E otat l le ombre de os sur la -ème lge et c j le ombre de os sur la j-ème coloe, o a ar hyothèse a l + c j our toute case vde (; j) O somme ces égaltés : # fcases vdesg a (;j) case vde l + c j La quatté de drote comte avec multlcté les coules (o, case vde) qu sot sur ue même lge ou coloe (e xat la case vde) E xat cette fos le o (o tervertt deux sges P sas le dre), o obtet l + c j # fcases vdes (; j 0 ) ou ( 0 ; j)g (;j) case vde a a a (;j) o (;j) o (a l ) + (a c j ) ;:::;a (;j) o ;:::;a ;:::;a l l l (;j) o j;:::;a j;:::;a (;j) o c j j;:::;a c j c j (;j) o 9

10 O veut ue majorato, doc l faut morer P l, ce que l o fat ar Cauchy-Schwarz (c l égalté arthmétcoquadratque su t) Cela tombe be : P l et P c j comtet exactemet le ombre de os! a O e dédut les égaltés ;:::;a l j;:::;a c j a a a ;:::;a a a l A # fcases vdesg a a a a a a a 4 3a + 0 a a 0 a a j;:::;a a 0 a O a doc le chox etre les codtos a 0 ou 0 a a, e 0 a ou a a ; o eut rasoablemet rejeter le secod cas (so a 0), d où la morato souhatée a Il s agt à réset de trouver ue co gurato vér at le cas d égalté S cela est ossble, les l d ue art et les c j d autre art dovet être tous égaux (cas d égalté our la moyee arthmétco-quadratque) Par alleurs, les sommes P l et P c j sot égales à, doc ces deux valeurs commues dovet coïcder et valor a Mas l faut égalemet le cas d égalté das la rorété de l éocé qu mose l + c j a, d où a + a a et a (ce que l o eut lre das la derère égalté cetrée) O cosate avec horreur que a 985 est mar Essayos d y reméder e collat au lus rès du cas d égalté aalysé c-dessus E osat a b +, o dsose les os selo deux carrés b b et (b + ) (b + ) avec u o ar case : c j A b b vde vde (b + ) (b + ) O a be l + b j b + our tout case vde comme souhaté De lus, le ombre de os est b + (b + ), et ous ameros e avor a 4b + 4b + b + b + (b + ) + b : mag que! Remarque O eut reformuler cet éocé e termes uremet matrcels : Sot A ue matrce à coe cets das N vér at a ;j 0 ) a ;l + Motrer que P ;j a ;j l;:::; ;:::; a ;j O roose ue autre soluto à cet excercce, à mo goût be lus jole et mértore, mas qu écesste ue successo de remarques ertetes Déjà, our morer la somme P ;j a ;j, o va la "déveloer" selo ue lge ou ue coloe où l y a beaucou de zéros, ce a d utlser au maxmum l hyothèse de morato O est as ameé à cosdérer ue lge/coloe dot la somme S des termes est mmale L hyothèse de traval se coservat ar trasosto de la matrce et ar échage de lges, o eut suoser que S : P j;:::; a ;j est mmale sur la remère lge 0

11 Mateat, sot Z (comme "zéro") les dces des coloes corresodat aux termes a ;j uls, et sot z so cardal O a doc a ;j a ;j + a ;j ;j jz ;:::; j Z ;:::; {z } jz 0 c, a ;:::; a ; ( jz S) + ( z) S z ( S) + ( z) S O veut comarer à, alors o fat aaraître ce derer : A + j Z S z ( S) + ( z) S + z zs + S + z ( S) Le résultat sera doc rouvé s z ( S) sot de même sge Or, s S 0, le résultat tombe sas e ort vu que les lges aurot our somme P j a ;j S Das le cas cotrare, o S < et l o veut z Mas A est à coe cets eters (o e l a as ecore utlsé), doc ses coe cets o uls sot (o est das N!), d où S a ;j z j Z j Z O e dédut z S > comme souhaté 8 Nombre total d versos das S État doée u ermutato S, o ote I () so ombre d versos, e le ombre de coules (; j) tel que < j et () > (j) E otat I : P S et e dédure la valeur de I Iterréter le ombre total d versos das S, motrer l detté combatore I I +! Soluto roosée L detté souhatée aelle claremet à u rasoemet ar récurrece Pour ouvor be cotrôler les versos d ue ermutato rvée d u ot, o va rvléger le ot d mage (car ce derer est lus grad que tous les autres) Sot doc S et : () O assoce aturellemet ue ermutato 0 S e retrat la corresodace (; ) : 0 () () s < ( + ) s À xé, l clar que chosr evoyat sur revet à se doer u 0 S Pour comarer les versos, o remarque que a exactemet versos e lus que 0, celles dutes ar les coules (; ) our > (les coules où tervet as gardet les mêmes versos) E sommat à costat, l e résulte I I () I () (I ( 0 ) + ) S 0 S () 0 S I ( 0 ) + ( ) ( ) I + ( )! 0 S I I +! + ( )!

12 Pour obter la valeur de I, o red la formule de récurrece lus jole : I! + I ( ) + ( ) + ::: + ::: ( )! + I {z}! 0 ( ) 4 ( ) Le ombre moye d versos est doc 4, qu est exactemet la moté du ombre coules ( < j) cosdérés Cela tradut le fat qu ue ermutato rse au hasard verse e moyee la moté de ses élémets 9 Ue detté combatore (trée du Cocours Gééral) O demade de motrer l detté suvate où a et b sot des eters ostfs : b + b+ + a + a+ 0a 0b Soluto roosée Multlos l detté voulue ar a+b our avor que des eters, et oéros ue rédexato our redre les choses lus joles : a+b+? 0a? 0a? 0a b + a + a + b a a + b b 0b + 0b + 0b a + b a + b b a + b a Le terme de gauche s terrête comme le cardal de f0; g a+b+ O va doc arttoer ce derer e deux esembles dot les cardaux serot les deux termes de drote Pour cela, cherchos u terrétato combatore de P 0a b où l o a oté : a + b ar commodté À xé, o terrète le b comme le chox lbre des bts de élémets (c est le ) et le chox de b élémets arm élémets (le b ) dot les bts serot mosés E marquat la ( )-ème coordoée d u ( + )-ulet de f0; g f0;;:::;g, l s agt doc d moser la valeur commue de b bts avat cette marque (les autres bts avat état alors détermés ar comlémetare) et de lasser lbre les bts arès cette marque Notre terme b comte ar coséquet le ombre de -ulets ayat au mos b + bts uls, le (b + )-ème état stué à la lace E sommat sur tous les, o trouve tous les ( + )-ulets dot au mos b + bts sot uls E remarquat qu u ( + )-ulet a écessaremet au mos a + ou b + bts uls, ces cas état e outre exclusfs, o a otre artto recherchée Ploum 0 Et o ermute Sot > u eter mar et a ; :::; a des eters doés À toute ermutato S o assoce la quatté S () : a () Motrer qu l y a deux ermutatos dstctes et telles que! dvse la d érece S () S () Soluto roosée

13 Suosos ar l absurde que les restes modulo! des S () soet tous dstcts lorsque décrt S E artculer, l esemble de ces restes est récsémet f; :::;!g, d où (modulo!) Par alleurs, cette même somme vaut! S () S S a ()! (! + ) a S () Il s agt de vor quelles valeurs eut redre l mage d u ot doé ar u décrvat S O eut toujours comter selo l mage de ce ot : l y e a ( )! car dut ue ermutato sur les ( ) ots restat Cec motre que S () () () () ( + ) ( )! ( + + :: + ) ( )! E otat A la somme des a, o dsose ar coséquet d u certa multle de! :! (! + ) ( + )! A! Mas e sml at ar! o dot avor! + + ( + ) A, ( + )! ce qu cotredt l marté de Nombre total de ot xes das S E otat Fx f l esemble des ots xes d ue alcato f, motrer l detté S jfx j! Soluto roosée La quatté de gauche comte le ombre total de ots xes das S e rasoat à ermutato xée O eut tout auss be rasoer à ombre de ots xes doé : e trodusat () le ombre de ermutatos de S ayat exactemet ots xes, ue terverso de sges P doe S jfx j () Pour obter ue ermutato xat ots, o chost ces ots us o dérage les d où () (0) E multlat ar, o eut se débarasser d ue déedace e e écrvat subtlemet () ( ) ( ) (0) ( ) ots restats, O e dédut () ( ) () 0 3

14 La somme P 0 () comtat les ermutatos de S selo leur ombre de ots xes, elle vaut ( )!, d où le résultat Remarques Le ombre moye de ots xes valat, ue ermutato rse au hasard xera e moyee u ot exactemet Le lecteur coassat les actos de groues ourra redre u eu de recul sur cet exercce et le vor comme ue smle alcato de la formule de Bursde, qu s obtet e comtat les coules (g; x) tels que g x x, d ue art selo g, d autre art selo x : jfx gj jgj G gg Ic, le groue G S agt sur f; :::; g de faço trastve ; le quotet G e cotet doc qu ue seule orbte, d où le résultat Sur les arttos d eters État doés deux eters 0 et 0, o aelle artto de e arts la doée d u -ulet! N telle que + ::: + O souhate déombrer les arttos d u eter doé à ombre de arts xé Notos () leur esemble et () leur ombre O aellera sous-artto d u eter e arts tout -ulet! N tel que + ::: + < Leur esemble sera oté () et so cardal () Noter que (0) est be dé our tout 0 et e cotet que le 0-ulet vde, d où (0) De même, le ombre (0) est ul sauf our 0 auquel cas 0 (0) Doer ue relato etre, et our Motrer que () ( ) our tout 3 Ituter et trouver () 4 E dédure (), us le ombre () de arttos à arts o ulles 5 Retrouver le résultat récédet ar u argumet drect de déombremet 6 E dédure l detté + Soluto roosée La codto P est équvalete à la dsjocto des deux codtos (dsjotes) P P ou, ce qu s écrt (e assat aux cardaux) + (our tout ) Il s agt mettre e bjecto () avec ( ), e de reler u -ulet de somme à u ( )- ulet de somme O rajoute tout smlemet le comlémetare à, ce qu dé t ue alcato f : ( )! () ( ; :::; ) 7! ( ; :::; ; ::: ) f est claremet be dé e et jectve, tads que toute artto! de () est l mage de sa restrcto à ses remers termes, ce qu motre la surjectvté de f Falemet f est bjectve, d où le résultat sur les cardaux 4

15 3 Les deux questos récédetes ermettet d écrre () ( ) + () Cette relato de récurrece, valable our tous ;, est su sate our détermer (), sachat que les remers termes s obteet asémet : 0 () et (0) Pour tuter (), o vot que la relato de récurrece ressemble à celle du tragle de Pascal Essayer + () serat tro smle ; e revache, e cherchat u eu, o costate que () foctoe : + ( ) ( ) ( ) Comme d autre art ce bomal coïcde avec () sur les valeurs tales ou 0, o a gagé : + () 4 Falemet, o trouve le ombre de arttos à ombre de arts xé : + + () ( ), formule qu reste valable our 0 Pour asser d ue artto e arts > 0 à ue artto à arts 0, o retre à toutes les arts O obtet as ue bjecto etre () et (), d où () () 5 Pour retrouver la formule qu récède, o eut remarquer qu ue artto d u aquets de bâtos algés e aquets o vdes revet à marquer les derers bâtos de chaque art sauf la derère (o sat be qu est le derer bâto) Formellemet, cela se tradut ar la bjecto 8 < ( ) -ulets strctemet crossats ()! à valeurs das f; :::; g : ( ; :::; ) 7! ( ; + ; ; :::; + ::: + ) (c est la codto qu ermet de majorer à l arrvée ar ) d verse ( ; :::; ) 7! ( ; ; 3 ; :::; ; ) Mateat, les x-ulets strctemet crossats sot e bjecto avec les artes à x élémets, d où le résultat 6 Ue artto de e arts s obtet e chosssat u certa ombre de zéros arm les arts, la lace de ces zéros das la artto, us ue artto de e arts o ulles O e dédut la formule () ( ) (), CQFD Remarque Pour le edat "séres géératrces" de cet exercce, o se reortera à la feulle des séres etères La dgresso c-dessous devrat (o l esère) éclarer l terveto de cet outl aalytque Dgressso Le lecteur e dot as se leurrer : la questo de coaître le ombre de arttos d u eter doé est as s smle Das otre démarche, ous avos e e et comté avec ordre, réétat as des arttos comme que l o a as eve de d érecer 5

16 Pour évter ces rééttos, la boe dé to d ue artto e arts est celle d u -ulets mootoe O le rerésete gééralemet sous la forme d u tableau de Youg, ar exemle our Les symétres des tableaux de Youg amèet à de ombreuses dettés combatores sur les arttos Par exemles, e exlotat la symétre ar raort à la "dagoale", o vot que le ombre de arttos e mos de arts est le même que celu des arttos e arts toutes Pour fare le le avec les séres géératrces, e otat le ombre de arttos de e arts o ulles crossates, l est asé de vor que est le coe cet du déveloemet e sére etère du rodut E e et, lorsque l o déveloe le rodut Q ( x ) 0 x 0 x x 33 :::, 30 our former u x, o va ocher u x das chaque facteur, ce qu forme u x ussace :::, e ue artto de, où la art aaraît fos Il y a be sûr des varates S l o veut utlser des arts borées ar, o déveloera lutôt Q ( x ), qu corresod auss aux arttos e mos de arts d arès la remarque sur la symétre dagoale des tableaux de Youg De même, les arttos e arts mares sot comtées ar ( x)( x 3 )( x 5 ):::, tads que les arttos e arts toutes dstctes sot codées ar le rodut ( + x) + x + x 3 ::: S le lecteur a suv jusqu c, l ourra se redre comte que les deux séres récédetes sot égales e calculat le quotet des deux : ( x) x 3 x 5 ::: ( + x) + x + x 3 ::: + x x 3 Y + x 3 x 3 Y ( x) Y 0 E e et, chacu des facteurs ( y) Q 0 + y se "télescoscoe" selo x 5 ::: + y y Y + y y + y Y + y ( y) ( + y) Y y 4 Y + y ::: Nous eséros que le lecteur aura été covacu de la ussace du calcul formel our fare de la combatore, et surtout (même s c est dre la même chose) que les calculs e sot qu au fod ue smle hstore de combatore 3 Cardal de SO (F ) État doé u remer, déombrer les matrces de SO (F ) où F désge le cors à élémets Soluto roosée Ue matrce de rotato s écrt l esemble (a; b) F ; a + b a b b a avec a + b, de sorte que l o cherche le cardal de que l o a eve d aeler "cercle" 6

17 Das le cas réel, o eut aramétrer le cercle à l ade des foctos trgoométrques, ce qu e sera as très utle c (quel ses doer à cos x our x élémet d u cors quelcoque autre que C?) O ese lutôt au aramétrage ratoel valable das tout cors a t t et b + t + t qu décrt bjectvemet (das le cas réel) le cercle rvé du ot Il s agt de vor, our le cors F, s ce aramétrage reste bjectf (our ouvor déombrer) O vot (e regardat le déomateur) que le caractère quadratque de va jouer u rôle Le cas est trval : le cercle est rédut aux deux ots (0; ) et (; 0) O regarde à réset le cas d u remer mar S est as u carré, o vér e que le aramétrage est be jectf d mage le cercle rvé de ( ; 0) Partr de t +t u +u amèe à t u t, d où, e réjectat das +t u +t, l égalté t u Pusque la caractérstque est mare, est versble, d où l jectvté recherchée Pour la surjectvté, o cherche à attedre u ot (a; b) 6 ( ; 0) La codto sur l abscsse s écrt O réjecte das la codto sur l ordoée, d où a t + t, e t a (ossble car a 6 ) + a b t + t t, e t b + a +a O vér e que cette valeur (écessare) de t foctoe, utlsat la codto a + b : o calcule déjà d où le résultat : + t t + a + a + b ( + a) + a + ( + a) + a et + a + a b ( + a) a + a + a ( + a) a + a, t + t a et t #SO (F ) + ( ) + + t b +a Il e résulte que le cercle cotet + ots (o a rajouté le ot maquat) S est u carré, otos ses deux races (qu sot be dstctes vu que 6 0) O cosdère le même aramétrage dé e sur F rvé de, qu reste be sûr jectf Mas l aalyse motre qu l reste égalemet surjectf, vu que le aramètre vér e t a +a 6 Falemet, o trouve ( ) + élemets sur le cercle Pour écrre de maère lus sythétque, our mar, o sat que est u carré ss modulo 4, d où 8 < : +a b s 0 [4] s [4] + s [4] 4 Cardal de GL et ombre d volutos de M Déombrer le groue léare sur u cors K à q élémets Trouver le ombre de matrces A à coe cets das K telles que A Id O suosera K de caractérstque d érete de Soluto roosée Comter les somorhsmes de K revet à comter les bases de K (les fare agr sur ue base xée) O a q chox our le remer vecteur de base (l dot être o ul), esute o dot chosr u vecteur e dehors de la drote egedrée ar le remer, ce qu fat q q chox, us q q, et as de sute : jgl (K)j (q ) (q q) ::: q q q 0++:::+( ) (q ) q ::: (q ) ( ) q (q ) q ::: (q ) 7

18 Ue telle matrce est ue symétre ar raort à u esace arallèlemet à u sulémetare Observer que la doée d u coule (V; W ) de sev sulémetares doe e retour u voluto : redre Id sur V et Id sur W Le roblème revet à déombrer les tels coules Observos que tout tel coule (V; W ) eut être obteu e evoyat les dm V remers vecteurs de la base caoque (e ; :::; e ) de K sur ue base de V et les autres sur ue base de W, ce rocédé état e fat l acto d u somorhsme O regarde doc aturellemet l alcato surjectve (à d xé) GL! f(v; W ) ; V W K et dm V dg g 7! (Kg (e ) ::: Kg (e d ) ; Kg (e d+ ) ::: Kg (e )) dot o cherche le cardal de l mage Pour cela, o regarde le ombre d atécédets d u coule (g (V 0 ) ; g (W 0 )) xé où l o a oté (V 0 ; W 0 ) l mage de l detté O veut doc le ombre de g 0 GL vér at (g 0 (V 0 ) ; g 0 (W 0 )) (g (V 0 ) ; g (W 0 )), e g 0 g stablse V 0 et W 0 P Matrcellemet, cela dt que g 0 g est, das u base adatée à (V 0 ; W 0 ), de la forme avec P et Q Q versbles, d où jgl d j jgl d j chox our g 0 g, a fortor our g 0 E alquat le lemme du berger us e sommat sur les dmesos, o trouve le résultat : d0 jgl j jgl d j jgl d j d0 d0 d0 d(d ) q ( ) Q q q Q d (q ( d)( d ) ) q / d /d+( d) / /d q Q q d( d) >d q Q d (q ) Q q dd0 Q >d q d 0 (q ) d+d 0 Q (q ) Q>d q d Q d (q ) 5 Lemme de Serer et théorème de Brouwer O se doe u tragle A 0 A A que l o subdvse e le de etts tragles O colore tous les sommets avec tros couleurs d éretes 0; ; O suose que l arête [A ; A + ] e cotet as de sommet colorés (modulo 3) Motrer que le ombre de tragles trcoles ( e dot les tros sommets sot colorés avec des couleurs dstctes) est mar O ourra tracer le grahe dual sur la shère relat deux tragles ss ls ot ue arête e commu et voquer des argumets de arté x + ::: + x Plus gééralemet, sot : u smlexe de dmeso das R x ; :::; x 0 + (vsualser u tétraède das R 3 : ses "faces" sot des sous-smlexes de dmeso ) O le "smlex e" e le de etts smlexes dot o colore les sommets (y comrs ceux du gros smlexe de déart) avec + couleurs 0; ; :::;, la -face du gros smlexe e coteat as de sommet coloré Motrer que cotet u ombre mar de etts smlexes omcolores ( e colorés avec exactemet toutes les couleurs 0; ; :::; ) E dédure que toute alcato cotue de la boule uté das elle-même admet u ot xe O ourra "smlex er" de lus e lus emet Soluto roosée Suvos l éocé Les tragles 00 et 0 deveet des "sommets" solés, les tragles et des sommets de degré, tads que les trcolores 0 deveet les sommets smles, à l exceto du tragle ABC que costtue la face extere (o loge le grahe sur la shère!) Pour ce derer, les seules arêtes e O aurat auss dre que A admet u olyôme aulateur qu est scdé smle ar hyothèse sur la caractérstque ( 6 ), doc est dagoalsable à sectre das f ; g, d où u cassage de l esace ambat selo les deux sous-esaces rores Ce serat oubler les rudmets de su! 8

19 commu sot stuées sur le côté [A A ] ; leur ombre mesure le ombre de chagemets de couleurs sur [A A ], doc est mar vu que A et A sot de couleur d érete Pusque la somme des degrés est are (o comte deux fos chaque arête), l reste u ombre mar de tragles 0 E dmeso suéreure, o rasoe de maère aalogue O dualse e relat les etts smlexes ayat ue "face" e commu dot les sommets sot colorés avec toutes les couleurs ; :::; U "sommet" de degré o ul ossède écessaremet ue "face" colorée ; :::; : s le derer sommet du smlexe est coloré 0 (cas d u smlexe omcolore), ce derer est de degré, so l est de degré La somme des degrés état ar, l su t de motrer que le degré du sommet extere est mar (comme our ) Or, ce derer eut être vu comme u gros smlexe relé aux etts smlexes collés à la face 0 selo les couleurs ; :::; So degré est doc le ombre de "faces" colorées exactemet avec les couleurs ; :::; Or, ce derer est mar d arès l hyothèse de récurrece alquée à la face 0 Pour ouvor récurrer, o vér e be que l "arête" de la face 0 (dé e comme tersecto des faces 0 et ) e cotet la couleur, la couleur 0 Ue boule état homéomorhe à u smlexe : x0 + ::: + x x 0 ; :::; x 0, motros Brouwer our ue alcatos cotue f de das lu-même O chost ue "smlex cato" de lus e lus e, au ses où la talle du lus grad smlexe ted vers 0, dot o va colorer les sommets Le lemme de Serer ous alors doe our chacue de ces smlex catos u smlexe omcolore A 0:::A dot les sommets coverget qutte à extrare ar comacté vers u ot A Notos [M] la -ème coordoée d u ot M Sot ar l absurde f sas ot xe O colore chacue comme sut : à u sommet S o assoce la couleur m f ; [f (S)] < [S] g Cela est ossble, car la dé to du comlexe de base et l hyothèse sur f se traduset ar [S] [f (S)] et f (S) 6 S ) 9; [f (S)] < [S] Les sommets des smlexes omcolores vér et alors f A < A, d où e reat la lmte e [f (A)] [A] our tout Mas la codto P [f (A)] P [A] mose égalté, d où f (A) A, ce qu est ue cotradcto 9