1 ère S1 Devoir pour le mardi 10 avril 2012

Transcription

1 ère S Devoir pour le mrdi vril I Étude d ue spirle Le pl est mui d u repère ortoormé (O, I, J) O costruit ue suite de poits,, comme idiqué sur le grpique ci-dessous Le poit est cofodu vec le poit I( ; ) ; le poit pour coordoées ( ; ) où est u réel strictemet positif fixé E joigt les poits,, pr des segmets, o obtiet ue spirle Le grpique est ps à refire sur l copie Prtie B Le but de cette prtie est démotrer l cojecture émise à l fi de l prtie ) Soit u etier turel supérieur ou égl à Étblir ue reltio etre les distces O, O, O O ) Pour tout etier turel, o pose u O puis v O ) Démotrer que l suite v est costte b) E déduire l ture de l suite u c) Coclure Prtie C Le but de cette prtie est de démotrer l cojecture pr u risoemet de «proce e proce» Ce risoemet v être fit sur deux rgs J ) Démotrer que si l formule est vrie pour deux etiers turels cosécutifs k et k (k * ), lors elle est vrie u rg k O pourr repredre l reltio étblie ds l questio ) de l prtie B ) Coclure I O Prtie ) E utilist les reltios métriques ds u trigle rectgle, exprimer les distces O, O et O e foctio de ) Cojecturer l expressio de O e foctio de et de ( etier turel supérieur ou égl à quelcoque) L démostrtio de cette cojecture ser l objet des prties B et C (deux démostrtios différetes)

2 II L lgoritme de Héro d lexdrie Héro d lexdrie est u mtémticie grec de l tiquité (I er siècle près Jésus-Crist) E exe, o trouver l explictio pour compredre l origie géométrique de l métode de Héro Prtie Vleurs pprocées de O pose = Clculer u brouillo «à l mi» * les ombres,, et isi de suite jusqu à 5 Recopier le tbleu suivt et y reporter les vleurs trouvées (e rie écrire sur le sujet) ) Écrire u lgoritme e lgge turel qui lit l etier p (p ) fixé u déprt et u etier, vec, et qui clcule et ffice les termes successifs,, jusqu à L lgoritme doit être écrit ds u cdre, sur ue seule pge (il e doit ps y voir de pge à tourer) ) Réliser le progrmme correspodt à cet lgoritme sur l clcultrice ou sur orditeur Vérifier les résultts obteus à l questio précédete Fire des essis, observer l précisio des vleurs pprocées obteues (ucue rédctio est ttedue sur l copie) Vleur excte ** Vleur pprocée vec 8 décimles *** 5 * Clculs à fire «à l mi», et o à l mcie, même si u progrmme permettrit d ller plus vite Ce ser l objet de l prtie B ** Écrire les brres de frctio orizotlemet *** Uiquemet lorsque c est écessire (o pourr se coteter de doer des troctures) O démotre que l o obtiet, e poursuivt les clculs de l même fço, des vleurs pprocées de plus e plus précises de Prtie B Vleurs pprocées de p vec p etier turel, p p p O repred l suite précédete, vec : = p ; ; ; O démotre (mis ce e ser ps l objet de ce devoir) que l o obtiet des vleurs pprocées de plus e plus précises de p

3 exe : pour compredre l métode de Héro L métode de Héro : «Le rectgle qui deviet u crré» Étpe O recommece rectgle dot ue dimesio est égle à l moyee ritmétique des dimesios du rectgle 7 de bse : Pour que l ire du rectgle soit égle à, l utre dimesio doit être égle à 7 Le rectgle obteu est ps u crré mis s e rpproce comme o peut s e covicre visuellemet sur l figure ci-dessous L métode Héro est ue métode très ciee qui dte de l tiquité due u mtémticie Héro Elle permet de trouver des vleurs pprocées de l rcie crrée d u etier Voici le pricipe de l métode expliqué pour O cerce à pprocer pr des ombres décimux e utilist uiquemet les opértios lgébriques L idée de bse est très simple et s ppuie sur des cosidértios géométriques Étpe O prt d u rectgle dot les côtés ot pour logueur et So ire est égle à Étpe O recommece vec le rectgle précédet O v costruire ue suite de rectgles d ire qui vot se rpprocer de plus e plus d u crré Étpe O costruit u rectgle dot ue dimesio est égle à l moyee ritmétique des dimesios du rectgle de bse : Pour que l ire du rectgle soit égle à, l utre dimesio doit être égle à Le rectgle obteu est ps u crré mis s e rpproce comme o peut s e covicre visuellemet sur l figure ci-dessous O obtiet isi des rectgles d ire qui ressemblet de plus e plus à des crrés Or u crré d ire pour côté Les dimesios des différets rectgles se rpprocet doc de plus e plus de

4 Commetires Corrigé du DM pour le vril L exercice I s iscrit ds l étude des spirles et des costructios itértives e lie vec les suites L exercice II s iscrit ds le cdre des «preuves ss proles» et des «péomèes de covergece» I Étude d ue spirle = I ( ; ) ( ; ) ( > ) II Prtie B ) Il y rie à écrire sur l copie J L métode de Héro : Cet exercice s iscrit u peu ds l ligée des «preuves ss prole» I O ) Exprimos les distces O, O et O e foctio de O utilise l reltio métrique suivte vlble ds u trigle BC O : H HBHC où H est le pied de l uteur issue de - Clculos l distce O : Ds le trigle rectgle e, o : O O O O O

5 O obtiet doc O (utre métode : O est l moyee géométrique de O et de O ) - Clculos l distce O : Ds le trigle rectgle e, o : O O O O O O O obtiet filemet O - Clculos l distce O : Ds le trigle rectgle e, o : O O O 6 O 6 O O obtiet doc O Il s git e fit d ue costructio itértive de moyees géométriques ) Cojecturos l expressio de O e foctio de et de ( * ) O sit pr ypotèse que O ; o peut doc écrire que O O sit ussi pr ypotèse que O ; o peut doc écrire que O démotré ds l questio précédete que O O, O D près les résultts de l questio ), o peut cojecturer l formule : O pour tout etier turel Prtie B ) Détermios ue reltio etre les distces O, O, O ( ) Ds le trigle rectgle e, le pied de l uteur issue de est O À l ide de l ue des reltios métriques ds u trigle rectgle fist iterveir l logueur de l uteur issue de l gle droit, o obtiet : O O O () O ) O pose u O puis v O ) Démotros que l suite v est costte O O L reltio () s écrit O O Doc * u u O e déduit l suite v est costte b) Détermios l ture de l suite u À l questio précédete, o démotré que l suite v est costte doc v v O Or v O O : O = et O = (o peut écrire ces deux églités directemet) Doc v = Doc v u O doc : soit u u u Cette derière reltio permet d ffirmer que l suite u est ue suite géométrique de premier terme u O = et de riso c) Cocluos D près l questio précédete, u O obtiet u soit O L formule cojecturée est isi étblie

6 Prtie C ) Démotros que si l formule est vrie pour deux etiers turels cosécutifs k et k (k * ), lors elle est vrie u rg k O cosidère u etier turel k tel que l cojecture soit vrie pour les rgs cosécutifs k et k c est-à- k dire O k et O k k O repred l reltio étblie ds l questio ) de l prtie B k k O O k O k Ok doc Ok k Pr suite, O k k k k k L cojecture est doc démotrée u rg k + II L lgoritme de Héro d lexdrie O vit déjà vu l métode de dicotomie pour détermier des vleurs décimles pprocées de l rcie crrée (et même de l rcie cubique d u ombre) Cet exercice porte sur l étude d ue utre métode très efficce pour détermier des vleurs pprocées de l rcie crrée d u etier turel Prtie Vleurs pprocées de = ) Cocluos O démotré ds l questio ) de l prtie que l cojecture est vrie pour les deux premiers rgs et De plus à l questio précédete, o démotré que si l formule est vrie pour deux etiers turels cosécutifs, lors elle est vrie u rg suivt Pr u risoemet de proce e proce sur deux rgs, o peut doc e coclure que l formule est vrie pour tout etier Vleur excte Trocture à 8 décimles,5,666666,568 Ce risoemet ser bie mis e plce e Termile vec le «risoemet pr récurrece d ordre» ,56 O peut vérifier les résultts vec u tbleur O peut dire que l suite coverge vers, ce que l o compred ssez bie vec l iterpréttio géométrique de l lgoritme de Héro

7 O peut dire : Quelques mégemets possibles de l lgoritme : Il serit possible d itroduire ue istructio coditioelle u début de l lgoritme du type : «ted vers qud ted vers +» p «L limite de lim p qud ted vers + est égle à» «L suite p coverge vers» O pourrit ussi utiliser ue liste ) «Si <, lors fficer («doit être supérieur ou égl à») Sio FiSi» Lorsque p =, o retrouve les vleurs clculées ds l prtie Prtie B ) lgoritme de clcul des termes de l suite : Il est importt de oter que ds l lgoritme devrot figurer e etrée les vrible p et (ds le progrmme, il fudr retrer les vleurs de p et vt de le fire tourer) O peut utiliser ue boucle «Pour» ou ue boucle «Ttque» Vribles :, p, i : etiers turels : réel Etrée : Sisir p Sisir Iitilistio : pred l vleur p Tritemet et sortie : Pour i llt de à (ou à ) Fire FiPour p pred l vleur p fficer Les vleurs fficées sot des vleurs fficées sot des vleurs pprocées de plus e plus précises de O peut costter qu à prtir d u certi momet, les ombres fficés sot égux Il s git d u péomèe de covergece (stbilistio des vleurs utour d ue vleur) O dit que l suite coverge vers O peut comprer vec le résultt obteu e tpt O peut fire d utres essis vec différetes vleurs de p sur l clcultrice Pr exemple, pour p = 5, les vleurs fficées sot des vleurs fficées sot des vleurs pprocées de plus e plus précises de 5 O costte de ouveu u péomèe de covergece vec stbilistio des vleurs O peut comprer vec le résultt obteu e tpt 5 sur l clcultrice O dit que l suite coverge vers 5 Il peut être itéresst de regrder ce qui se psse lorsque p est u crré prfit (bie que l métode e présete ucu itérêt ds ce cs, puisque l o sit clculer très fcilemet l rcie crrée d u crré prfit) Pour ller plus loi : Il serit itéresst de coître l vitesse ou l rpidité de covergece de l suite O peut oter que les différetes vleurs de qui s fficet u fur et à mesure du déroulemet de l boucle sot des ombres rtioels (positifs)