Corrigé de Banque PT 2015 Épreuve C

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1 Lycée Laeiia Boapare Spé PT Corrigé de Baque PT 5 Épreuve C Parie I Les focios f e g so maifeseme paires, il suffi doc de les éudier sur R + pour coaîre leurs propriéés sur R a) O a, pour ou réel x, f x) g x) = e x x e x + x ) = shx ) x b) O peu éudier la focio sh), o ecore cosaer que pour ou, o a sh) = sh) sh) = car u R, chu) chu) du du =, E subsiua le réel posiif x à das l iégalié précédee, o obie x R + e même x R ), shx ) x, e d après l expressio rouvée e a), ça eraîe f x) g x) c) Pour racer les courbes, o uilise le fai que f e g so ulles e, de dérivées ulles e, e so sriceme croissaes sur R + puisque, pour x >, f x) = xe x ) > e g x) = x e x ) > e f /e g Pour les valeurs e, o a f ) = e 78 e g ) = e [ 3, 5] 3a) Pour ou réel x, o a f x) = x e x ) e g x) = x ) e x 3b) Les focios f e g so sriceme croissaes sur R + puisque x >, f x) > e g x) > 3c) De plus, f e g so ulles e, doc elles rese posiives ou ulles sur R + 3d) De l iégalié g x), o dédui que x R +, x x e La focio u u es croissae sur R +, e le

2 réel x es posiif pour x [, ], o e dédui que x [, ], ) x e x De même, l iégalié f x) doe x R +, + x x e e la focio u u es décroissae sur [, + [, ce qui ) more que x R +, e x + x La secode iégalié es doc valable sur R + e même sur R par parié) L hypohèse a servi ulle par 3e) O démore, si besoi es, la limie usuelle : pour ou R, + ) + e E effe, si es el que >, o a l + ) ) = l + ) + = d après l équivale l + u) u O e dédui que l + ) ) + E appliqua ceci respeciveme aux réels = x e = x, o obie, d où le résula par coiuié de la focio expoeielle au poi ) x + e x e ) + x = + x ) + e x = e x 4a) Il es équivale de démorer que x, + x ) + x Si =, les deux membres so égaux, e sio, o écri la formule du biôme : O pouvai aussi éudier diverses focios ) ) + x x = + }{{} = +x + ) k ) x k k= }{{} + x 4b) Ue primiive sur R de x es la focio Arca, laquelle possède ue limie fiie e +, ce qui more + x que l iégrale impropre es covergee, e qu elle vau + x [ ] + + x = Arca x = 4c) D après les quesio 3d) e 4a), o a x R +, e x Puisque l iégrale + x le héorème de comparaiso s applique : l iégrale e x es covergee, e o a es covergee, + x e x + x = Parie II Posos, pour ou, x) R + ), f, x) = e x e vérifios les hypohèses du héorème de coiuié d ue iégrale à + x paramère : pour ou fixé das R +, l applicaio x f, x) es coiue sur R + focio usuelle) ; pour ou x fixé das R +, l applicaio f, x) es coiue sur R + focio usuelle) ; f vérifie l hypohèse de domiaio sur R + ) :, x) R + ), f, x) + x = ϕx) o La focio ϕ es idépedae du paramère R +, e elle es coiue e) iégrable sur R +, d après I4b)

3 Le héorème de coiuié d ue iégrale à paramère affirme que h es bie défiie, e coiue sur R + h) = d après I4b) 3a) Vérifios les hypohèses du héorème de dérivaio d ue iégrale à paramère : pour ou fixé das [a, + [, l applicaio x f, x) es iégrable sur R + d après la quesio ) ; pour ou x fixé das R +, l applicaio f, x) es de classe C sur [a, + [ focio usuelle) ; pour ou fixé das [a, + [, l applicaio x f, x) = x + x e x es coiue sur R + focio usuelle) ; f vérifie l hypohèse de domiaio sur [a, + [ R + :, x) [a, + [ R +, f, x) = x + x e x e ax = o φx) La focio φ es idépedae du paramère [a, + [, e elle es coiue e) iégrable sur R + E effe, o peu par exemple réexploier l iégalié de la première parie x R +, e x e l appliqua + x au réel posiif + ax, ce qui doe x R +, φx), e l iégrale es covergee car ue + ax + ax primiive es x a Arca ax) qui possède ue limie fiie e + ) e le héorème de comparaiso s applique D après le héorème de dérivaio d ue iégrale à paramère, la focio h es de classe C sur [a, + [, e o a droi à la dérivaio sous le sige sur ce iervalle 3b) La focio h es de classe C sur [a, + [, pour ou a >, doc elle es de classe C sur a> droi à la dérivaio sous le sige sur ce iervalle [a, + [ = R +, e o a 4 Si s alors x R +, e sx + x e x + x e o iègre ce ecadreme sur R +, ce qui es possible puisque les deux iégrales coverge O obie hs) h), ce qui more que la focio h es décroissae sur R + O pouvai aussi cosaer que h es parou égaive O a doc R +, h) h) = 5 D après la quesio 3b), o a, pour ou >, h ) h) = x + x e x d ce qui es jusifié car les rois iégrales coverge e x + x d = + x + x e x d = e x d, Das la derière iégrale, o effecue le chageme de variable défii par u = x, ce qui es correc car x x es ue bijecio de classe C de R + sur lui-même Comme l iégrale de dépar coverge, celle obeue coverge égaleme, e h ) h) = du u e = I 6a) La soluio géérale de E ) : y y = s écri y) = A e où A es ue cosae réelle arbiraire 6b) C es, d après le héorème fodameal de l iégraio, l applicaio du 6c) O applique la méhode de variaio de la cosae : o cherche la soluio géérale y de E) sous la forme y) = A)e où A es ue focio de classe C sur R + O a alors y ) = A ) + A) ) e, d où o ire A ) = I e, ce qui doe A) = k I du doc y) = u 3 ) k I du e, u

4 où k es ue cosae réelle arbiraire Comme h es ue soluio de E), elle es de la forme précédee 7a) O peu commecer mais ça es pas obligaoire) par morer la covergece de l iégrale proposée O a pour ou u R +, e u, e de plus l iégrale D après de héorème de comparaiso, l iégrale proposée coverge égaleme du es covergee d après le crière de Riema < ) O effecue le chageme de variable défii par u = x das cee iégrale La focio x x éabli ue bijecio de classe C de [, ] sur [, ], doc l iégrale a même aure covergee) e même valeur que e x x = e x x 7b) h es coiue e, doc h) h) = + la limie lorsque das ), ce qui doe D après ) e la formule de Chasles, o a doc L iégrale impropre = k I du doc k = u I du u >, h) = I ) du e = u 7a) I du éa covergee, o peu passer à e x ) e 8 D après la quesio 4 o a R +, h)e e d où le résula e remplaça l expressio de h) obeue à la quesio précédee 9 D après l ecadreme précéde e le héorème des gedarmes, o a I covergee, o a aussi I e x + I e x + Or, puisque I es Par uicié de la limie, o obie I =, e, puisque I, o rerouve la valeur de l iégrale de Gauss : I = Parie III Noos N, u = )! + ) O a N, u!, or la série! es covergee série expoeielle) doc, d après le héorème de comparaiso pour les séries umériques, u es absolume covergee, doc covergee O coaî le développeme e série eière de la focio expoeielle : x R, e x = = x! doc R, e = = ),! e subsiua le réel à x La focio e es la focio somme d ue série eière qui coverge pour ou réel, elle es doc développable e série eière sur D = R ou eier le rayo de covergece es doc ifii) 3 D après le cours, o a droi à l iégraio erme à erme d u développeme e série eière à l iérieur de l iervalle ouver de covergece, doc e d = = ) d =! = ) [ +! + ] = = u 4

5 4a) Noos S = u k la somme parielle d ordre de la série u k e S = k= e d sa somme Le erme R es le rese d ordre de cee même série : o a S = S + R doc S S = R Pour que S soi ue valeur approchée de S à ε près, il fau e il suffi que R ε, doc, d après la majoraio admise du rese, il suffi que + )! + 3) ε La «méhode» cosise à choisir u eier el que cee iégalié soi vérifiée, e à calculer la valeur approchée S de S 4b) Avec = 4, le majora es ue valeur approchée raioelle de + )! + 3) vau 3 < 3, doc r = S 4 = u + + u 4 = e d à 3 près 5