Le classement des nombres réels
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- Sophie Morin
- il y a 6 ans
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1 UNITÉ 1 : DES NOMBRES RÉELS Le classemen des nombres réels naurels N 0,1,2,3,4,5,6,7... eniersrelaifs Z naurelsnégaifs 1, 2, raionnelsq décimaux 3.25, 0.06,,4.25, 2.7, réels R 1 complexesc simples 2.3,, décimaux périodiques 9 mixes 23.45, irraionnels I 2, 3, 5,, e, ,,... 2 imaginaires sous la forme a bi avecb 0, exemples3 2i, 4 5i,6 i... e i 1 IES Guillem d Alcalà. Prof: Vicene Toledo Tolsada 1
2 1. Des nombres raionnels. L écriure fracionnaire Tou nombre décimal ou possédan un développemen décimal périodique peu s'écrire sous forme de fracion. Suivez les démarches suivanes On appelle N le nombre décimal Mulipliez N par 10 n (où n es le nombre de chiffres après la virgule) Mulipliez N par 10 n (où n es le nombre de chiffres composan la valeur mixe) Mulipliez N par 10 n (où n es le nombre de chiffres composan la période) Mulipliez le résula précéden par 10 n (où n es le nombre de chiffres composan la période) Sousrayez : 10 n N N Sousrayez les deux résulas précédens Dégagez N e simplifiez Cas du nombre décimal Cas du développemen décimal périodique simple N = 7.25 N= N= N = 725 Cas du développemen décimal périodique mixe N = N = N N = N = N N N= N = N = N = N N= N = N 900 Auremen : Cas du nombre décimal : Il suffi de prendre comme numéraeur le nombre décimal privé de sa virgule e comme dénominaeur 10 n où n es le nombre de chiffres après la virgule Cas du développemen décimal périodique simple : Comme numéraeur, il suffi de rerancher la parie enière du nombre composé de la parie enière suivie de la période andis que le dénominaeur sera composé d'auan de 9 qu'il y a de chiffres composan la période = Cas du développemen décimal périodique mixe : Comme numéraeur, il suffi de rerancher la parie enière suivie de la valeur mixe du nombre composé de la parie enière suivie de la valeur mixe e de la période. Quan au dénominaeur, il sera composé d'auan de 9 qu'il y a de chiffres composan la période, suivis d'auan de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule composan la valeur mixe = IES Guillem d Alcalà. Prof: Vicene Toledo Tolsada 2
3 2. Des nombres réels (R). Les nombre raionnels e irraionnels formen l'ensemble des nombres réels. Rappelez : - Son raionnels ous les nombres qui peuven s'écrire sous la forme d'une fracion, c es-à-dire sous la forme b a, où a e b son des nombres eniers relaifs e b 0. - Les nombres qui ne peuven pas s'écrire sous cee forme son dis irraionnels. Exemples : ; 19 ; 9,21 ; ; ; 2 ; e ; ɸ e π son des nombres réels Parmi ces nombres réels, seuls 4 ; 19 ; 9,21 ; e son raionnels ; e ; ɸ e π son des nombres irraionnels. PROPRIÉTÉS DE L ADDITION DANS R - La somme de deux nombres réels es encore un nombre réel. - L'addiion des nombres réels es commuaive. C es `a-dire, La commuaivié perme d'échanger l'ordre des ermes dans une somme. a+b=b+a - L'addiion des nombres réels es associaive. C es `a-dire, L'associaivié perme de supprimer les parenhèses. (a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c - 0 es l'élémen neure pour l'addiion dans R. a+0=0+a=a - L'addiion dans R es symérique. Pour ou réel a, il exise un réel b el que la somme de a e de b es 0. b es appelé l'opposé de a. On noe : b = a. PROPRIÉTÉS DE LA MULTIPLICATION DANS R - Le produi de deux nombres réels es encore un nombre réel. - La muliplicaion des nombres réels es commuaive. C es `a-dire, La commuaivié perme d'échanger l'ordre des faceurs dans un produi. a b=b a - La muliplicaion des nombres réels es associaive. C es `a-dire, L'associaivié perme de supprimer les parenhèses. (a b) c=a (b c)=a b c - 1 es l'élémen neure pour la muliplicaion dans R. a 1=1 a=a La muliplicaion dans R * es symérique. Pour ou réel non nul a, il exise un réel non nul b el que le produi de a par b soi égal à l'élémen neure 1. b es l'inverse de a. On noe : b = a 1. Aenion : 0 n'a pas d'inverse! PROPRIÉTÉ DISTRIBUTIVE PAR RAPPORT À L ADDITION DANS R a (b+c)=a b+a c EXTRAIRE FACTEUR COMMUN a b+a c = a (b+c) IES Guillem d Alcalà. Prof: Vicene Toledo Tolsada 3
4 3. La droie réelle. On sai représener sur la droie réelle des nombres raionnels (naurels, eniers, décimaux fini e périodiques). (Théorème de THALÈS) Exemple : 7/5 = 1+ 2/5 Mais commen peu-on représener les nombres irraionnels? On peu les représener approximaivemen. Cependan les racines carrées a, on peu les représener exacemen. En uilisan la héorème de Pyhagore Exemple: Pour représener 2, il fau faire appel au héorème de PYTHAGORE. La héorème de PYTHAGORE di : Dans un riangle recangle, la somme des carrés des côés égale le carré de l hypoénuse. a ² + b ² = c ² si a = 1 e b = 1 alors = c ² soi c ² = 2 ou c = 2 2 peu donc se représener par la diagonale d un carré de côé 1. IES Guillem d Alcalà. Prof: Vicene Toledo Tolsada 4
5 4. Des approches Un nombre peu avoir plusieurs valeurs approchées. Cee valeur peu êre arrondie ou ronquée. TRONCATURE : Faire la roncaure d'un nombre, c es couper ce nombre à un rang donné. Ex : faire une roncaure au cenième es couper le nombre à deux chiffres à droie de la virgule. Exemple: au cenième 3,14 (valeur approchée par défau, valeur ronquée ) ARRONDI: Pour arrondir un nombre à un rang donné : - on fai une roncaure, - on regarde le chiffre qui es juse après cee roncaure si la parie enlevée commence par on prend la valeur ronquée, si la parie enlevée commence par on prend la valeur ronquée à laquelle on ajoue 1 au chiffre le plus à droie. Exemples : 7,18342 a pour valeur arrondie 7,18 à 0,01 près 7,18715 a pour valeur arrondie 7,19 à 0,01 près Observez les ableaux ci-dessous : Nombre Arrondi Troncaure à 1 près = à l'unié 14, à 0,1 près = au dixième 14, ,9 14,8 à 0,01 près =au cenième 14, ,88 14,87 à 0,001 près = au millième 14, ,875 14,875 Arrondi en présence d'un 5 : Nombre Arrondi Troncaure à l'unié 9, à 0,01près 6,854 6,85 6,85 à 0,01 près 6,855 6,86 6,85 à 0,01 près 6,856 6,86 6,85 IES Guillem d Alcalà. Prof: Vicene Toledo Tolsada 5
6 5. Des erreurs Erreur absolue L'erreur absolue es : E a= valeur approchée- valeur réelle L'erreur absolue mesure l'imprécision sur une mesure que nous effecuons. Elle es appelée absolue, car elle es le résula de la valeur absolue de la différence enre d'une par la valeur réelle de la grandeur que l'on mesure e d'aure par une valeur de référence que nous avons choisie comme une bonne approximaion de celle-ci. Elle es donc oujours un nombre posiif. On uilise l'erreur absolue pour calculer l'erreur relaive. Erreur relaive L'erreur relaive es : E r= valeur approchée- valeur réelle valeur réelle valeur approchée - valeur réelle En fai,, il s'agi d'un pourcenage d'augmenaion valeur réelle (respecivemen de diminuion) qui, lorsqu'on l'applique à la valeur exace, donne la valeur approchée. IES Guillem d Alcalà. Prof: Vicene Toledo Tolsada 6
7 6. Des inervalles On appelle inervalle réel un ensemble de nombres délimié par deux nombres réels consiuan une borne inférieure e une borne supérieure. Un inervalle conien ous les nombres réels compris enre ces deux nombres. Inervalles bornés Soien deux réels a e b els que a < b. Le ableau ci-dessous résume les quare ypes d inervalles bornés. Parmi les inervalles bornés, on disingue : - les inervalles ouvers : ]a, b[ - les inervalles fermés : [a, b] - les inervalles semi-ouvers (ou semi-fermés) : [a, b[ e ]a, b] Inervalles non bornés Soien a e b deux réels. Le ableau ci-dessous résume les quare ypes d inervalles non bornés. On appelle aussi demi-droie IES Guillem d Alcalà. Prof: Vicene Toledo Tolsada 7
8 7. Des problèmes avec des pourcenages Un pourcenage es une façon d'exprimer un nombre comme une fracion de cen, généralemen en uilisan le signe % a a %= On uilise le pourcenage seulemen lorsqu'un nombre représene une proporion ou une fracion d'un ensemble. La formule suivane perme de calculer un pourcenage à parir de deux valeurs données. Cela perme de siuer la première valeur par rappor à la deuxième. a Rappelle : a% de N = N Le pourcenage comme une règle de rois direce : a% de b es c alors a c b Exemple1 : 10% de 30 es x 10% de x es 3 x% de 30 es x x x Exemple2 : Il y a 200 élèves au lycée, 25% des élèves poren des lunees. Combien d élèves poren des lunees? 25 25%de 200 = 200= 50 élèves Exemple 3 : Dans une classe de 25 élèves il y a 13 filles. Quel es le pourcenage de filles? 13 On applique la formule :., Donc il y a 52% de filles dans cee classe. 25 On peu vérifier le résula en calculan 52% de 25. IES Guillem d Alcalà. Prof: Vicene Toledo Tolsada 8
9 Pourcenage e évoluion Remarque : Il n y a qu une formule universelle à reenir e un seul schéma dès qu on a affaire à des hausses e des baisses en ou genre, c es celle-là : y 1 CM = y 2 Valeur avan évoluion Coefficien muliplicaif Valeur après évoluion Augmenaion ou diminuion (évoluion) en pourcenage Avec cee formule, on peu faire ous les exercices dans lesquels on a des hausses e des baisses. Il fau juse parfois repérer ce qui serai la valeur d avan e celle d après. Ce qui es la clé qui change, c es le CM!! Le fameux coefficien muliplicaif!! Ce qu il fau reenir : Si c es une hausse de % alors CM = 1 + (+) % Si c es une baisse de % alors CM = 1 ( ) % Exemple : Ça augmene de 25%, alors CM = = 1 + 0,25 = 1,25 Ça baisse de 36% alors CM = 1 36 = 1 0,36 = 0,64 Après il fau savoir revenir sur ses pas!! c es-à-dire cela équivau à calculer c es-à-dire cela équivau à calculer Si au cours d un calcul on obien une valeur d un CM e qu on veu savoir si ça fai une hausse ou une baisse, il suffi d effecuer le calcul CM 1 e de muliplier ce résula par. Si le résula obenu es posiif, c es une hausse!! E on obien même le aux de la hausse en résula!! Exemple : CM = 1,38 1,38 1 = 0,38 e 0,38 = 38 C es donc une hausse de 38 %. Si le résula obenu es négaif, c es une baisse!! E on obien même le aux de la baisse en résula!! IES Guillem d Alcalà. Prof: Vicene Toledo Tolsada 9
10 Exemple : CM = 0,48 0,48 1 = - 0,52 e - 0,52 = - 52 C es donc une baisse de 52 %. Remarque : Si par hasard CM = 1, ça veu dire que ça n a pas varié Pourcenages enchaînés : Évoluions successives Si on enchaîne les évoluions (des hausses e des baisses), on prend les coefficiens muliplicaifs de chacun e on les muliplie ous enre eux, cela donne un coefficien muliplicaif CM global, alors : valeur après évoluion = CM valeur avan évoluion Exemple : On augmene de 30% e on baisse de 40%!! «On augmene de 30%» : CM 1 = 1 + 0,3 = 1,3 «On baisse de 40%» : CM 2 = 1 0,4 = 0,6 On obien alors le CM global : CM = CM 1 CM 2 = 1,3 0,6 = 0,78 On peu même s inéresser à ce que ça donne!! CM = 0,78 donc 0,78 1 = - 0,22 e 0,22 = - 22 donc c es une baisse de 22 %!! E en plus ça marche encore si on fai plein d évoluions (ça augmene de 15%, ça baisse de 10%, ça augmene de 30%, ça augmene de 20% : 1,15 0,9 1,3 1,2) «Pourcenage de pourcenage» C es quand on prend une par d une par de quelque chose. On muliplie les aux e on divise par pour avoir le aux de cee «sous-parie» dans le oal Exemple : Dans une enreprise, il y a 40% d hommes e parmi ces hommes il y a 30% de cadres. On demande alors la par en pourcenage d hommes cadres dans l enreprise = 1200 = 12 Il y a donc 12% d hommes cadres dans l enreprise. IES Guillem d Alcalà. Prof: Vicene Toledo Tolsada 10
11 8. L inérê simple L inérê simple, I, es le revenu d une somme d argen prêée (ou placée). Le monan de l inérê es foncion du capial, C, du aux de placemen, r%, e de la durée du placemen,. Remarque : Durée de placemen : Le monan de l inérê varie selon la durée du prê. Celle-ci peu-êre calculée en jours, en quinzaines, en mois ou années. Le calcul de la durée se fai selon les règles suivanes : Une année compe 360 jours, 24 quinzaines, 12 mois. Si la durée es calculée en jours, les mois son compés à leur juse valeur. Sans aure indicaion, le mois de Février compe 28 jours. Exemple : Quelle es la durée d un placemen effecué du 5 Sepembre au 15 Décembre? Sepembre 30-5 = 25 Ocobre 31 Novembre 30 Décembre jours Si la durée es calculée en quinzaines : on compe les quinzaines à parir du 1er ou du 16 de chaque mois qui sui le dépô, à parir du 1erou du 16 qui précède le rerai. Si la durée es calculée en mois, on ne ien pas compe de la durée réelle des mois. FORMULES : I (durée en années) I (durée s en mois) 12 I (durée en jours) 360 I (durée en semesre) 2 I (durée en quadrimesre) 3 I (durée en rimesre) 4 Le capial final (valeur acquise) En ajouan à un capial les inérês qu il a produi à la suie d un placemen, on obien la somme don dispose désormais le propriéaire des fonds. Cee somme es la valeur acquise C F = C + I Aciviés : 1. Quel inérê un capial de 3 200, placé à 7.5% pendan 5 ans produi-il? I = 2. Quel inérê un capial de placé à 10% l an pendan 8 mois produi-il? I = Quel inérê un capial de 2000, placé à 9% pendan 15 quinzaines, produi-il? I = IES Guillem d Alcalà. Prof: Vicene Toledo Tolsada 11
12 4. Quel inérê un capial de , placé à 4.5% du 23 Aoû au 11 Juin, produi-il? I = aoû ; sepembre 30 ; ocobre 31; novembre 30 ; décembre 31 ; janvier 31 ; février 28 ; mars 31 ; avril 30 ; mai 31 ; juin 11 TOTAL : =293 jours 5. Calculer la valeur acquise par un capial de placé à 12% l an, pendan 270 jours? I = C F = C + I= L inérê composé Un capial es placé à inérês composés lorsque les inérês de chaque période son incorporés au capial pour l'augmener progressivemen e porer inérês à leur our. Pour calculer des inérês composés annuellemen, il suffi d'uiliser une suie géomérique, don la formule es : ; où C f es la valeur finale, C la valeur iniiale, r% le aux d'inérê sur une période, e le nombre de périodes (d'années, semesres, rimesres, ec.). L'habiude es d'exprimer le aux d'inérê en pourcenage, ainsi on écrira 2 % pour. L inérê composé ou le revenu obenu es I= C f -C Exemple : En plaçan 10 euros à un aux de 2 % par an pendan 5 ans, on obien : =11.04 ; Après 10 ans, le oal sera de 12,19 ; Après un siècle, de 72,45. Cee somme C f es aussi celle qui es due par un empruneur au bou de années, au aux d'inérê r (s'il n'a rien remboursé enre-emps). Remarque : Les inérês peuven aussi êre composés sur n fracions d'une année, par exemple 12 mois, même si le aux r rese exprimé par an. Un inérê égal à es alors versé à la fin de chaque mois. La valeur finale au bou de années es alors donnée par Exemple : En plaçan 10 euros à un aux de 2 % par an pendan 5 mois, on obien: = IES Guillem d Alcalà. Prof: Vicene Toledo Tolsada 12
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