A RETENIR TERMINALE S

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1 A RETENIR TERMINALE S Ce documet est destié à "résumer" le cours de termile. Il e préted ps coteir tout ce que vous devez svoir pour réussir l épreuve. Il est coçu pour que vous puissiez l utiliser seul. Les formultios e sot ps toujours rigoureuses et sot prfois "trduites" pour être plus fcilemet compréhesiles pr tous. Elles e peuvet ps être reprises e devoirs. (elles sot lors etre guillemets) Bie etedu, ce documet complète mis e remplce ps le documet "A reteir de l première S" qui doit être prfitemet cou. Le documet ser complété u fur et à mesure de l ée.

2 A RETENIR TERMINALE S SUITES CHAPTITRE : LIMITES DE SUITES. Vous devez être cple de retrouver les tleu de limites de somme, produit, quotiet (soit pr cœur, soit "ituitivemet"). Théorème des gedrmes : Si ( u ), ( v ) et ( ) d u certi rg. Si les suites ( v ) et ( w ) coverget vers l même limite L, lors ( ) w sot trois suites telles que v u w à prtir u coverge vers L. ( u ) et ( v ) sot deu suites. Si à prtir d u certi rg 0, u v et si lim u ( u ) et ( v ) sot deu suites. Si à prtir d u certi rg 0, u v et si lim v, lors lim, lors lim v u Soit q u réel. Si q, lors lim q Si q, lors lim Si q,lors q ps de limite. q = 0; Lorsqu o rrive à ue forme idétermiée o trsforme l epressio. Méthode : si l epressio comporte des rcies, o peut multiplier et diviser pr l qutité cojuguée. Eemple : l qutité cojuguée de 2 est 2. RAISONNEMENT PAR RECURRENCE Appredre l rédctio pr cœur : Iitilistio : o remplce pr l ère vleur de (0 ou e géérl ds l propriété : 0 si l éocé demde "pour tout de " ; si l éocé de mde : "pour tout o ul"...) et o vérifie que l propriété est vrie Attetio : si c est ue églité ou ue iéglité, o clcule séprémet les deu memres puis o vérifie l propriété. Hérédite : soit p tel que..."o recopie l propriété à prouver e remplçt les pr des p." motros que... "o recopie l propriété à prouver e remplçt les pr des p + " Coclusio : "o recopie l éocé" CHAPTITRE 5 : SUITES BORNEES. u est dite mjorée lorsqu il eiste u réel M tel que, pour tout de, u M. u, u m. u est dite orée lorsqu elle est à l fois mjorée et miorée Ue suite décroisste et miorée coverge. Ue suite croisste et mjorée coverge. Ue suite ( ) Ue suite ( u ) est dite miorée lorsqu il eiste u réel m tel que, pour tout de ( ) Ue suite ( ) Ue suite croisste et o mjorée pour limite + Ue suite décroisste et o miorée pour limite

3 Soit ue suite ( u ) défiie pr l doée de u 0 et l reltio de récurrece u f( ) Si les deu coditios suivtes sot réuies : o sit que l suite ( u ) coverge vers u réel l l foctio f est cotiue e l Alors f(l)=l. Méthode : pour détermier l limite d ue suite défiie pr récurrece pr u + =f( u ) : Souvet, ds l eercice, o démotré (pr récurrece e géérl) que l suite étit mjorée (ou miorée) puis qu elle étit croisste (ou décroisste). O e coclut que l suite est croisste et mjorée (ou décroisste et miorée) et doc qu elle coverge. O ppelle L s limite. O écrit que l suite coverge et que l foctio f est cotiue et doc que f(l) L. O résout l équtio f(l) L O e déduit l vleur de l limite L : s il y 2 solutios à l équtio, pr eemple 2 et 5 et que l suite est mjorée pr 3, o e déduit que l limite est 2. Méthodes : pour motrer qu ue suite est mjorée (ou miorée) pr u réel k : Méthode : o étudie le sige de u k (s il est positif, l suite est miorée pr k, s il est égtif, l suite est mjorée pr k). (Méthode à utiliser plutôt si l suite est défiie de fço eplicite). Méthode 2 : o utilise ue démostrtio pr récurrece e motrt que, pour tout de, u k (ou k). Si l suite est défiie pr u f( u ), o peut utiliser ds l hérédité les vritios de f (si f est croisste, o peut "jouter des f à tous les memres de l iéglité ss chger le ses", si elle est décroisste, elle chge le ses de l iéglité.). u. VARIATION DE SUITES. Méthodes : pour détermier le ses de vritio d ue suite défiie pr u f( u ) : o clcule les premiers termes de l suite pour fire ue cojecture Méthode : o étudie le sige de u u (s il est positif, l suite est croisste, s il est égtif, l suite est décroisste) Méthode 2 : o utilise ue démostrtio pr récurrece e motrt que, pour tout de, u u (ou si l suite semle décroisste). Ds l hérédité, o utilise le ses de vritio de l foctio f : si f est croisste, o peut "jouter des f à tous les memres de l iéglité ss chger le ses", si elle est décroisste, elle chge le ses de l iéglité. Méthodes : pour détermier le ses de vritio d ue suite défiie pr u f() : o clcule les premiers termes de l suite pour fire ue cojecture Méthode : o étudie le sige de u u (s il est positif, l suite est croisste, s il est égtif, l suite est décroisste) Méthode 2 : o cherche le vritio de l foctio f. Si elle est croisste, l suite est croisste ; si elle est décroisste, l suite est décroisste. SUITES ET ALGORITHME Les lgorithmes vus e clsse sot à coître (clcul de termes ds les deu modes de défiitio d ue suite, recherche d u seuil vec ue oucle tt que).

4 CHAPTITRE 2 : LIMITES DE FONCTIONS. A RETENIR TERMINALE S FONCTIONS Méthode : Pour détermier l limite e + ou d u polyôme ou d ue foctio rtioelle, o grde les termes de plus grd epost u umérteur et u déomiteur et o simplifie u mimum. Lorsque lim f() = + de f. ou lim f() = Lorsque lim f() L (resp lim de f e + (resp e ), o dit que l droite d équtio = est symptote à l coure f() L), o dit que l droite d équtio y L est symptote à l coure et L représetet deu réels ou + ou et f, g et h sot trois foctios. Si, pour tout réel proche de : g() f() h() et lim Si, pour tout réel proche de : g() Si, pour tout réel proche de : f() f() et lim h() et lim g() lim h() g() + ; lors lim f() +. h() ; lors lim f() L; lors lim f() L. Méthode : pour étudier l limite d u quotiet e où est ue vleur iterdite : o cherche l limite e du umérteur e remplçt pr ds le umérteur. si cette limite est 0 : o rrive à ue forme idétermiée " 0 " et o essie de trsformer l écriture de 0 f(). sio o fit le tleu de siges du umérteur pour détermier si s limite est 0 - ou 0 + puis o coclut vec les tleu de limites : l limite est + ou et o utilise l règle des siges. Il est souvet utile de séprer limite à droite ( + ) et limite à guche ( ). Attetio : o écrit JAMAIS 0 0 ou des clculs vec!!! CHAPTITRE 4 : CONTINUITE DERIVABILITE. Grphiquemet, l cotiuité d ue foctio f sur u itervlle I se trduit pr le fit que l coure représettive de f sur I peut être trcée ss lever le cryo. Théorème des vleurs itermédiires : Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle [ ; ]; lors pour tout réel k compris etre f() et f(); il eiste u mois u réel c pprtet à [ ; ] tel que f(c) = k. Autremet dit, l équtio f() = k dmet u mois ue solutio ds l itervlle [ ; ]. Théorème : Soit f ue foctio cotiue et strictemet mootoe sur u itervlle I; dmettt u ores de I des limites et réelles ou ifiies. Alors pour tout réel k compris etre et ; il eiste u uique réel c pprtet à I tel que f(c) = k. Autremet dit, l équtio f() = k dmet ectemet ue solutio ds l itervlle I.

5 Méthode : pour détermier le omre de solutios d ue équtio du type f() k : o cherche l esemle de défiitio de f, o détermie f (), o cherche le sige de f () et o costruit le tleu de vritio de f. o cherche les limites de f et o les fit pprître ds le tleu de vritio. o fit u schém u rouillo pour détermier grphiquemet sur quels itervlles l équtio ue solutio. o trite séprémet chque itervlle. pour les itervlles sur lesquels l équtio ps de solutio, o le justifie e prlt de mimum ou de miimum de f sur l itervlle. pour les itervlles sur lesquels l équtio ue solutio, o le justifie à l ide du théorème cidessus : o précise que f est cotiue, strictemet croisste ou décroisste et o doe les vleurs ou limites de f() u ores de l itervlle. o coclut e dot le omre totl de solutios de l équtio. Pour détermier ue vleur pprochée de ces solutios, o utilise le tleu de vleurs de l clcultrice ou l lgorithme de dichotomie. Méthode : Souvet, ds les eercices "plus ouverts", o demde de doer le omre de solutios d ue équtio qu o peut rmeer à h() 0, ou le omre de poits d itersectio des coures de deu foctios f et g (o pose r h() f() g()). O peut lors costruire le tleu de vritio de l foctio h (évetuellemet e foctio d u prmètre) et utiliser le TVI. Bie etedu, toutes les formules de dérivées vues e première sot à coître. ( u ) u ( u ) u u u 2 u u u CHAPTITRE 8 : FONCTION EXPONENTIELLE. ep() = e O peut oter e pour ep() (se lit "epoetielle ") L foctio e est dérivle sur et s dérivée est elle-même. e 0 = et pour tout réel ; e > 0. Pour tous réels et et pour tout etier : e + = e e e = e e = e e Tleu de vritio et coure de l foctio epoetielle : (e ) = e 0+ f () f() + 0 e e e Pour tout de ; lim e = + et lim e = 0. E prticulier, lim e =+ et lim e =0. Si u est ue foctio dérivle sur I, lors e u est dérivle sur I et (e u ) = u e u.

6 CHAPTITRE 0 : FONCTION LOGARITHME NEPERIEN. Pour tout réel strictemet positif, l() est l uique réel tel que e l(). O ussi l( e ). Tleu de vritio et coure de l foctio l : L foctio l est dérivle sur +* et s dérivée est l foctio iverse f() l() l() l() l() l() Les coures des foctios l et ep sot symétriques pr rpport à l droite d équtio y. Pour tous réels et de et pour tout de, o : l() = l() + l(). l( ) = l(). l( ) = l(). l( ) = l() l(). l( ) = l(). Pour tout de ; lim l() = 0et lim h 0 l( h) h Si u est ue foctio dérivle et strictemet positive sur I, lors l(u) est dérivle sur I et (l(u)) = u u. CHAPTITRE : INTEGRATION. Défiitio : : Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle I. O ppelle itégrle de à de f. l somme des ires lgériques (positive si f poisitive, égtive si f égtive) des domies défiis pr les itervlles où l foctio f grde u sige costt. Cette itégrle se ote f ( ) d f est ue foctio défiie sur u itervlle I. O ppelle primitive de f toute foctio F dérivle sur I dot l dérivée F' est égle à f. Si f est ue foctio cotiue et positive sur u itervlle [ ]. L foctio F défiie sur [ ] pr : F() f(t)dt est ue primitive de f sur [ ]. Si F est ue primitive de f sur I, lors toutes le primitives de f sur I sot de l forme F C où C et u réel. Le tleu des primitives est ds le cours. Méthode : pour détermier ue primitive d ue foctio f : o repère à quelle lige du tleu "ressemle" l foctio f. o repère l foctio u et o clcule s dérivée u. o "fit pprître" l formule du tleu e multiplit et divist si écessire f pr u coefficiet réel. o "grde" le coefficiet et o pplique l formule du tleu Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle I et soiet et deu réels de I. Alors, pour toute primitive F de f, o : f()d F() F() F().

7 Méthode : pour clculer l itégrle d ue foctio f etre deu réels et : o cherche ue primitive F de l foctio f. o "remplce pr puis pr ds F() et o soustrit." Soiet f et g deu foctios cotiues sur u itervlle I ; soiet ; et c trois réels de I et soiet et deu réels. Alors : f ( ) d c fd + fd et ( ) ( ) d c f g fd + gd Si et f 0 sur [ ], lors f ( ) d 0 Si et f 0 sur [ ], lors f ( ) d 0 Si f() g() sur [ ], lors fd gd Si m f() M sur [ ], lors m( ) f ( ) d M( ) Soit et deu réels tels que < et f ue foctio cotiue sur [ ; ]. O ppelle vleur moyee de l foctio f sur l itervlle [ ; ] le réel = ( )d f.

8 A RETENIR TERMINALE S NOMBRES COMPLEXES Ds cette prtie, et sot des réels et le pl est rpporté à u repère orthoorml (O ; u v ). CHAPTITRE 3 : NOTION DE NOMBRE COMPLEXE. i². U omre complee s écrit sous l forme z i vec et réels. est l prtie réelle, est l prtie imgiire. "O e met ps le i ds l prtie imgiire." O clcule vec les complees comme vec les réels (développer, fctoriser...) Cojugué : le cojugué de z i est z i ("o chge les siges de tous les i"). z z 2Re(z) est réel z z 2iIm(z) est imgiire pur z z ² ² est réel Méthode : Pour écrire sous forme lgérique u quotiet, o multiplie et o divise pr le cojugué du déomiteur. Méthode : Pour résoudre ue équtio où pprisset des z et des z, il est souvet utile de poser z iy, de simplifier les deu memres de l équtio et d idetifier prtie réelle et prtie imgiire ("ce qui ps de i est égl de chque côté et ce qui des i est égl de chque côté") Méthode : Pour résoudre ue équtio où pprisset des z, o "psse les z du même côté et o met z e fcteur" Méthode : Pour résoudre ue équtio du type z² z c 0 : si, et c sot des réels, o clcule = ² 4c Si = 0 : l équtio ue solutio réelle doule égle à 2 Si > 0 : l équtio deu solutios réelles distictes : + 2 Si < 0 : l équtio deu solutios complees cojuguées : + i et i 2 2 si, et c e sot ps des réels, o essie de fctoriser et d utiliser le théorème : A B = 0 ssi A = 0 ou B = 0. Eemple : z² 5 pour solutios i 5 et i 5. et 2 Représettio géométrique : L imge du omre complee z i est le poit M de coordoées ( ). z est l ffie du poit M. L ffie du vecteur de coordoées ( ) est le omre complee z i. Le vecteur AB pour ffie z B z A. Le milieu I de [AB] pour ffie z I z A z B 2

9 CHAPTITRE 3 : FORME TRIGONOMETRIQUE ET EXPONENTIELLE. Pour tout omre complee z i o ul, o : Le module de z est r z ² ². C est l distce OM. U rgumet de z est = rg(z) ( u OM ). Il est défii à 2k près. O si( ) z et cos( ) z O pose e i cos( ) isi( ). O lors z r(cos( ) isi( )) : c est l forme trigoométrique de z. z re i : c est l forme epoetielle de z. O utilise les mêmes règles de clcul qu vec l foctio epoetielle. Méthode : pour écrire u omre complee sous forme trigoométrique ou epoetielle : o clcule z. o clcule cos( ) et si( ) o cherche ue mesure de à l ide des vleurs remrqules et du cercle trigoométrique o coclut Pour tout complee z : z z = z ² rg( z) = rg(z) + (2) rg( z ) = rg(z) (2) rg( z) = rg(z) (2) Iterpréttio géométrique : A et B sot deu poits d scisses respectives z A et z B. Alors AB z B z A et ( u AB ) rg( z B z A )

10 A RETENIR TERMINALE S TRIGONOMETRIE Pour tout réel, cos( ) cos(). O dit que l foctio cosius est pire. Iterpréttio grphique : l coure de l foctio cosius est symétrique pr rpport à l e des ordoées. Pour tout réel, si( ) O dit que l foctio sius est impire Iterpréttio grphique : L coure de l foctio sius est symétrique pr rpport à l origie. Pour tout réel, cos( 2 ) cos() et si( 2 ) si(). O dit que les foctios sius et cosius sot périodiques de période 2 ou 2 -périodiques. Représettio grphique de l foctio sius : Représettio grphique de l foctio cosius : Méthode : Pour détermier ue limite vec des sius ou des cosius : E + ou : o peut utiliser les théorèmes de compriso e prtt de si(...) ou cos(...). si(h) E u réel : o essie de se rmeer à l formule lim e pret soi de fire pprître si(x) h 0 h X vec "le même X u umérteur et u déomiteur" et de vérifier que lim X =. Si u est ue foctio dérivle sur I, lors cos(u) et si(u) sot dérivles sur I et o : (cos(u)) = u si(u) et (si(u)) = u cos(u) Méthode : Pour résoudre ue équtio ou ue iéqutio trigoométrique : O utilise le cercle trigoométrique et les vleurs remrqules pprises e première. Attetio : pour ue vleur du sius ou du cosius, deu poits covieet sur le cercle.

11 A RETENIR TERMINALE S PROBABILITES CHAPTITRE 6 : PROBABILITES CONDITIONNELLES. L proilité de A scht B, otée P B (A) est le omre P(A B) C est ue proilité coditioelle P(B) Formule des proilités totles: Si l uivers d ue epériece létoire est l réuio d évéemets A ; A 2 ;... A d évéemets deu à deu icomptiles, o dite que A ; A 2 ;... A formet ue prtitio de. Pour tout évéemet B, o lors P(B) P( A B) P( A 2 B )... P( A B) P A (B) P( A ) P A2 (B) P( A 2 )... P A (B) P( A ) Lie vec l rre : P A (B) B A B A P(A) P A ( B ) B A B P( A ) P A (B) B A B A P A ( B ) B A B iveu iveu 2 Proilités Proilités coditioelles Méthode : Pour résoudre u eercice de proilité. O commece toujours pr trduire l éocé u rouillo : vec des proilités et vec u rre. O trduit de même chque questio. Lorsque l première questio est "doer l proilité coditioelle...", l répose est géérlemet ds l éocé. Pour détermier l proilité d u évéemet : o utilise l rre ou l formule des proilités totles. Soiet A et B deu évéemets de proilités o ulles. Les évéemets A et B sot idépedts ssi P(A B) P(A) P(B) ssi P(A) = P B (A). ssi P(B) = P A (B) Propriété : Si les évéemets A et B sot idépedts, lors A et B sot idépedts. CHAPTITRE 2 : LOIS CONTINUES. Ue foctio f défiie sur u itervlle I est ue desité de proilité sur I si : f est cotiue et positive sur I et l ire sous l coure de f est égle à. Ue vrile létoire X suit l loi de desité f si pour tout itervlle J coteu ds I, o : M( y) ϵj et 0 y f() P(XϵJ) = ire du domie défii pr { } Alors P( X ) P( X ) P( X ) P( X ) f()d et P(X ) 0 Loi uiforme sur u itervlle [ ]. : Elle correspod à l epériece létoire cosistt à choisir u réel u hsrd ds l itervlle [ ]. Elle pour desité de proilité l foctio costte f défiie sur [ ] pr f().

12 Soit X l vrile létoire suivt l loi uiforme sur [ ]. Alors pour tous réels et de [ ] vec : P( X ) et E(X) 2 Loi epoetielle de prmètre > 0. Ell pour desité de proilité l foctio f défiie sur [0 ; + [ pr f() e. Soit X l vrile létoire suivt l loi epoetielle de prmètre. Alors pour tous réels et de + vec : P( X ) e d e e e et E(X) Si X est ue vrile létoire suivt ue loi epoetielle de prmètre, lors X suit ue loi de durée de vie ss vieillissemet, c est-à-dire : pour tous réels t et h strictemet positifs, o P X t (X t h) P(X h). C'est-à-dire que l proilité de durer ecore ue durée h e déped ps de l âge t. CHAPTITRE 4 : LOIS NORMALES. Loi ormle cetrée réduite : Ue vrile létoire Z suit l loi ormle stdrd (0 ) lorsque s desité de proilité est l foctio défiie sur IR pr : () = 2 e ² 2. Alors P( Z ) (t)dt. O e sit ps clculer l itégrle cr o e coît ps de primitive de φ doc o utilise l clcultrice ou ue tle. O E(Z) 0 et (Z). L coure de est ue coure e cloche cetrée e 0. O : u 0,05,96 u 0,0 2,58 P( Z[,96,96] ) 0,95 P( Z[ 2,58 2,58] ) 0,99 Loi ormle N( ; ²) : Défiitio : désige u réel et u réel strictemet positif. L vrile X suit l loi ormle de prmètres et ², otée N( ; ²),lorsque l vrile létoire cetrée réduite X - suit l loi N(0 ; ). O lors E(X) et (X) Attetio : c est ² qui pprît ds le om de l loi : Si X suit l loi ( 4), lors (X) 4 2. Soit X ue vrile létoire suivt l loi N( ; ²). O : P(Xϵ[ - ; + ]) 0,68 P(Xϵ[ -2 ; +2 ]) 0,95 P(Xϵ[ -3 ; +3 ]) 0,99

13 Méthode : Pour détermier ue proilité vec ue loi ormle. L clcultrice e permet que de clculer P( X ) vec et réels. O trce à mi levée l coure de l foctio de desité (cetrée e ). O hchure le domie sous l coure dot l ire est l proilité cherchée. O utilise le fit que l ire des domies à droite et à guche de l droite d équtio est 0,5 pour se rmeer à ue proilité que l clcultrice peut doer. Eemple : X suit l loi (2 0,5²) et o cherche P(2,5 X). L coure est cetrée e 2. L écrt type est 0,5 et l espérce est 2. L ire de l prtie hchurée est 0,5 et P(2,5 X) est l ire de l prtie colorée. O doc P(X 2,5) 0,5 P(2 X 2,5) et l clcultrice doe P(2 X 2,5) 0,34 doc P(X 2,5) 0,5 0,34 0,6. Eemple 2 : X suit l loi (2 0,5²) et o cherche P( X). L coure est cetrée e 2. L écrt type est 0,5 et l espérce est 2. L ire de l prtie hchurée est 0,5 et P( X) est l ire de l prtie colorée. O doc P(X ) 0,5 P( X 2) et l clcultrice doe P( X 2) 0,48 doc P(X 2,5) 0,5 0,48 0,98. Méthode : pour retrouver l écrt-type coisst ue proilité : X O pose Z. Z suit l loi N(0 ; ). O écrit l proilité doée e utilist Z. O se rmèe à P(Z A) B, où B est u omre cou et où A déped de. O utilise l clcultrice (IvN ou FrcNormle) pour trouver A. O retrouve e résolvt ue équtio. Eemple : X suit ue loi ormle d espérce 400 telle que P(X 385) 0,96. O cherche l écrt-type de X. X 400 O pose Z. Z suit l loi N(0 ; ). X 385 X X Z 5 Aisi P(X 385) 0,96 PZ 5 5 0,96 PZ 5 0,96 0,04.,75 (d près l clcultrice) 8,568 Fluctutio Méthode : Pour détermier si o ccepte ou si o refuse ue hypothèse sur l proportio d u crctère: O suppose que l hypothèse est vrie et que l proportio du crctère est p. O vérifie les hypothèses : 30 ; p 5 et ( p) 5 O détermie l itervlle de fluctutio symptotique u seuil de 95% : I [ ] p,96 p( p ) p,96 p( p ) O coclut : Si f os pprtiet à l itervlle de fluctutio, o e peut ps rejeter l hypothèse u seuil de 95%. Si f os pprtiet ps à l itervlle de fluctutio, o rejette l hypothèse u seuil de 95%. Remrque : le risque de rejeter ue popultio coforme est iférieur à 5%.

14 CHAPTITRE 6 : ESTIMATION. Défiitio : O oserve ue fréquece f os sur u échtillo de tille. O ppelle u itervlle de cofice p u iveu de cofice de 95% l itervlle f os f os Méthode : Estimer ue proportio icoue. Prmi les idividus sodés, l fréquece du crctère oservé est f. O cherche à détermier l proportio p du crctère ds l esemle de l popultio. Avec u risque d erreur de 5%, p pprtiet à l itervlle f f. Méthode : Détermier l tille de l échtillo à choisir. O veut pouvoir, e ppliqut l méthode précédete, détermier u itervlle d mplitude doée. O cherche le plus petit etier tel que 2, c'est-à-dire 2 2.

15 A RETENIR TERMINALE S VECTEURS DE L ESPACE Trois vecteurs u, v et w sot coplires si et seulemet si o peut détermier trois réels, u v w 0, c'est-à-dire si o peut eprimer u d etre eu e foctios des trois utres. et tels que Ue droite est orthogole à u pl ssi elle est orthogole à deu droites o prllèles de ce pl. Vecteurs et poits de l espce. Si u et v ot pour coordoées respectives ( y z) et ( y' z'), lors u. v yy' zz'. Méthode : Détermier si deu vecteurs sot coliéires. O cherche si leurs coordoées sot proportioelles. Méthode : Détermier si deu vecteurs sot orthogou. O cherche si leur produit sclire est ul. Méthode : Détermier si trois poits défiisset u pl. O vérifie qu ils e sot ps ligés, c'est-à-dire si deu vecteurs formés vec ces trois poits e sot ps coliéires. Droites de l espce. L droite de vecteur directeur u psst pr A( A y A z A ) pour représettio prmétrique le système A t y y A t z z A tc, t ϵ. Méthode : Détermier ue représettio prmétrique d ue droite. O cherche les coordoées d u vecteur directeur (pr eemple AB si l droite est l droite (AB)) et celles d u poit. O pplique l propriété ci-dessus. Méthode : Détermier u vecteur directeur et des poits d ue droite dot o coît ue représettio. Pour u vecteur directeur, o "pred les omres devt le prmètre t". Pour des poits, o doe des vleurs à t. Méthode : Détermier si deu droites sot prllèles. O cherche si leurs vecteurs directeurs sot coliéires (coordoées proportioelles). Méthode : Détermier si deu droites sot orthogoles (séctes ou o). O cherche si leurs vecteurs directeurs sot orthogou (produit sclire ul). Méthode : Détermier l itersectio de deu droites. O cherche si les droites sot prllèles (méthode ci-dessus) Si oui : o cherche si elles sot cofodues e choisisst u poit d ue des deu droites et e chercht s il pprtiet à l utre. Si o : o cherche si elles sot séctes e résolvt u système formé vec les représettios des deu droites : o trois équtios et 2 icoues (t et t ) [Attetio : ie utiliser deu lettres différete : t et t ] Si le système ue solutio, les droites sot séctes, et doc coplires. O cherche les coordoées de leur poit d itersectio e remplçt t ds l représettio prmétrique d ue des droites pr l vleur trouvée e résolvt le système. Sio, elle e sot ps coplires. Remrque : des droites prllèles ou séctes sot toujours coplires. Pls de l espce Méthode : Détermier si u vecteur est orml à u pl. O vérifie qu il est orthogol à deu vecteurs o coliéires du pl.

16 Méthode : Détermier ue équtio d u pl. O cherche u vecteur orml à ce pl (souvet doé ds l éocé, sio voir le cours).; P c pour équtio y cz d 0. O détermie d e remplçt,y et z pr les coordoées d u poit du pl. O coclut. Méthode : Détermier u vecteur orml à u pl. Si le pl pour équtio y cz d 0, le vecteur est orml u pl. c Méthode : Détermier si deu pls sot prllèles. O cherche si leurs vecteurs ormu sot coliéires (coordoées proportioelles). Méthode : Détermier si deu pls sot orthogou. O cherche si les vecteurs ormu sot orthogou (produit sclire ul). Méthode : Détermier l itersectio de deu pls. O cherche si les deu pls sot prllèles. Sio, leur itersectio est ue droite à détermier : O écrit u système vec les équtios des deu pls. O eprime ue des icoues ( y z) (pr eemple ) e foctio des deuutres. O écrit u système de représettio prmétrique de l droite d itersectio e post t (si est l vrile e foctio de lquelle o eprimé les deuutres). Droites et pls de l espce Méthode : Détermier si ue droite et u pl sot prllèles. O cherche si u vecteur directeur de l droite et u vecteur orml u pl sot orthogou (produit sclire ul). Méthode : Détermier si ue droite et u pl sot orthogou. O cherche si u vecteur directeur de l droite et u vecteur orml u pl sot coliéires (coordoées proportioelles) Méthode : Détermier l itersectio d ue droite et d u pl. O cherche si l droite et le pl sot prllèles (méthode ci-dessus) Si oui : o cherche si l droite est coteue ds le pl e choisisst u poit de l deu droites et e chercht s il pprtiet u pl (e remplçt ; y et z pr les coordoées du poit). Si o : o cherche le poit d itersectio e "fist u système" vec les équtios de l droite et celle du pl.