6 Modèles de plans d expérience

Transcription

1 6 Modèles de plns d expérence On présente c quelques cs prtculers d un modèle lnére générl dns lequel les vrbles explctves sont qulttves. Ce sont des modèles d nlse de plns d expérence dns lesquels des vleurs d une vrbles sont clssées selon les condtons dns lesquelles elles ont été observées, ou le trtement qu été pplqué. Comme, pr exemple, l récolte de céréles dns pluseurs terrns, clssée selon le tpe d engrs utlsé. Les trtements peuvent être crctérsés pr un seul «fcteur» (tpe d engrs, pr exemple); ou pr plus d un, comme, pr exemple, le tpe d engrs et l espèce de céréle. On prle lors d un modèle à un fcteur, à deux fcteurs, etc. Anlse de vrnce à un fcteur L'nlse de vrnce à un fcteur fournt un test qu générlse le «test t» pour comprer deux moennes: on compre moennes ( ) u leu de. Exemple. Les données suvntes sont des ndces de l dstorson du son produt pr des bndes mgnétques [Bttchrr, Gour K., Johnson, Rchrd A. (977) Sttstcl concepts nd methods, Wle, New Yor, p.50]. Les bndes mgnétques pprtennent à 4 ctégores, A, B, C et D, qu dffèrent selon le tpe d endut qu les recouvre. Le but de l'nlse est de détermner s le tpe d endut un effet sur l qulté du son, telle que mesurée pr l'ndce de dstorson. Indces de dstorson de qutre tpes de bndes mgnétques A B C D L exemple. llustre le modèle générl suvnt. Les données sont clssées en ctégores ( = 4 dns l exemple). L e ctégore nt n observtons, =,...,. Sot j l j e observton de l ctégore (dns l exemple, l'ndce de dstorson de l j e bnde de l ctégore ). Nous supposons que j = + j où les j sont ndépendntes et j ~ (0 ; ) Les prmètres nconnus du modèle sont,...,µ et. Nous cceptons c comme en régresson lnére une hpothèse d'homoscédstcté: même vrnce pour tous les j. L'objectf usuel d'une nlse de vrnce est de détermner s'l des dfférences entre les popultons, c'est-à-dre de tester l'hpothèse H o : = = = L'lterntve est l négton de H o : H : Au mons une des égltés = j ( j) n est ps vérfée REG06AnovPourPdfH

2 Anlse de vrnce. Décomposton des sommes de crrés Les données prennent en générl l forme suvnte T T... T n... n n... Sot n n. = j j, =,, n n ;.. = j j n = n n L somme des crrés totle, SCT, est n SCT = ( j.. ) j Cette somme peut être décomposée en deux sommes de crrés, l somme des crrés explquée SCE, et l somme des crrés résduelle, SCR où n SCE = n (... ), et SCR = ( j. ) j Nous pouvons lors démontrer que SCT = SCE + SCR n ( ) n j j.. = n (... ) + ( j. ). j SCT, l somme des crrés totle, est une mesure de l dsperson des j, ndépendmment des ctégores. Cette dsperson est composée de prtes: l prte explquée, ttrbuble ux dfférences entre les ctégores; et l prte résduelle, non explquée et ttrbuble à l vrblté nturelle des j. Dns l'exemple, SCE est une mesure des dfférences entre les dfférents tpes de bnde mgnétque, donc ttrbuble ux trtements. SCR est l prte résduelle, l dsperson entre les bndes d'un même tpe, donc ttrbuble u ft que ces mesures vrent nturellement d'une bnde à l'utre, même qund elles sont fbrquées de l même fçon (même endut). Lorsque les µ sont égux, les devrent être ssez rpprochées les unes des utres et SCE devrt être pette. Donc nous devrons rejeter H o s SCE est grnd. Ms pour évluer l'mportnce de l somme SCE l fudrt l mettre en relton vec l tendnce nturelle que les j ont à vrer, c'est-à-dre, SCR. Le test ser donc foncton du rpport SCE/SCR.. Proprétés des sommes de crrés Nous énonçons c quelques proprétés des sommes de crrés. SCR et SCE sont ndépendntes.. SCR/ ~ n et les sont ndépendntes de SCR. 3. SCE/ ~ n ( ) ( ) où = et = n vre. 4. MCR = SCR/(n-) est un estmteur sns bs de..3 Tble d'nlse de vrnce n. Donc = 0 s et seulement s H o est Il exste comme vec l régresson une fçon trdtonnelle de présenter les résultts d'une nlse de vrnce. Ic, nous joutons à l tble usuelle une colonne d'espérnces mthémtques: REG06AnovPourPdfH :04

3 Plns d expérence Source Somme de crrés Degrés de lberté Moenne des crrés Explquée SCE = n (... ) - MCE = SCE Espérnces des moennes des crrés n ( ) Résduelle SCR = Totl SCT = n- MCR = SCR n ( j. ) j n n ( ) j j.. n- MCT = SCT n n ( ) n Les espérnces c-dessus justfent le chox du rpport F = MCE/MCR, pusque MCE et MCR ont l même espérnce s et seulement s H est vre, lors que s H o o est fusse, MCE tendnce à être plus grnd que MCR et le rpport F ser en conséquence grnd. L dstrbuton de F est connue sous H o. Nous svons que lorsque H est o vre, F = MCE SCE /( ) = ~ -;n- MCR SCR /( n ) Remrquez que l'espérnce de MCR d'près l tble d'nlse de vrnce est et donc un estmteur sns bs de est MCR: SCR ˆ = MCR = n et donc l sttstque F est une mesure rédute des écrts entre les moennes n... ( ) F =. ˆ Exemple numérque Revenons à l'exemple.. Désgnons pr Q l somme des crrés des écrts à l'ntéreur de l clsse : Q = ( ) j. Les résultts sont présentés dns le tbleu c-dessous. L moenne globle des qutre clsses est = 5. : A B C D Somme des crrés = = 7 3 = 6 = 5 4 SCE = n(... ) = 68 Q = 38 Q = 30 Q 3 = Q 4 = 4 SCR = j Q = 94 Voc l tble d nlse de vrnce: SCT = 6 REG06AnovPourPdfH 3 4/03///8:04

4 Anlse de vrnce Source Somme de crrés dl Moenne des crrés F Espérnces des moennes des crrés MCE Explquée SCE = 68 3 MCE = 68/3 =,67 MCR = 4,34 n ( ) Résduelle SCR = 94 8 MCR = 94 /8 = 5, Totl SCT = 6 MCT = 6/ = 7,7 n ( ) n Le pont crtque de nveu = 0,05 pour une 3,8 est F 3,8;0,05 = 3,6. Pusque F = 4,34 > 3,6, les dfférences sont sgnfctves. Voc les résultts d'une nlse de vrnce fte vec le logcel R. > nov(lm(~bnde)) Df Sum Sq Men Sq F vlue Pr(>F) bnde * Resduls L p-vleur (colonne «Pr(>F)») représente l probblté, sous Ho, qu une sttstque 3;8 prenne une vleur supéreure ou égle à 4,3404 est 0,084. Cec montre que les dfférences entre les bndes sont sgnfctves, du mons u nveu de %.4 Estmton des prmètres Les µ sont des prmètres qu'on peut églement estmer pr l méthode des mondres crrés. Nous chosssons les vleurs µ qu mnmsent l somme des crrés des écrts entre les observtons j et leurs moennes µ j qu dns ce modèle dépendent de ms ps de j: n Q = ( ) n j j j = ( ) j j n Nous pouvons mnmser chque somme ( ) j j séprément pr rpport à µ, et l est ben connu que l vleur ˆ de µ qu mnmse cette somme de crrés est ˆ = Pour détermner un ntervlle de confnce pour, nous utlsons le ft que t n-. Donc un ntervlle de confnce est donné pr t n ˆ ˆ ; / t n ; / où ˆ = ~( ; /n ) et que T = ˆ / ˆ. Nous vons ˆ MCR = 5, et vec = 0,05, tn-;/ =,0. Un ntervlle de confnce n pour est donné pr [,0 5, 5;,0 5, 5] = [9,85 ; 4,5]. Certnes des qunttés qu ntervennent dns ces clculs sont fournes pr le logcel : > <-lm(~bnde) > b<-predct.lm(,dt.frme(bnde=""),se.ft=t) > b $ft [] $se.ft [].098 n ~ REG06AnovPourPdfH :04

5 Plns d expérence On donc l estmton ( ;/ =,00 est donné pr l commnde > tlph<-qt(.975,8) > tlph [].009 ) =, et l écrt-tpe estmé de est ˆ ˆ n =,098. Le pont crtque t n- L ntervlle de confnce est donc [-,00(,098) ; +,00(,098) ] = [9,85 ; 4,5]. En ft le clcul peut être entèrement fourn pr R : > b<-predct.lm(,dt.frme(bnde="a"),se.ft=t,ntervl="confdence",level=.95) > b $ft ft lwr upr [,] $se.ft [].098 On peut obtenr ces résultts pour pluseurs prmètres à l fos (l ntervlle est à 95 % s le nveu n est ps précsé) : > predct.lm(,dt.frme(bnde=c("a","b","c","d")),ntervl="confdence") ft lwr upr Une nterprétton du numérteur de F Nous pouvons consdérer toute somme de crrés explquée comme une dfférence de sommes de crrés résduelles. L somme des crrés résduelle est, pr défnton, n ( ˆ ) j j j, l somme des crrés des écrts entre les observtons et leur moenne estmée. Pusque on SCR = ˆ j = ˆ = n ( ) j j Ms l somme des crrés totle est elle uss une somme de crrés résduelle: c'est l somme des crrés résduelle dns le modèle j = µ + j, le modèle dns lequel les moennes des groupes sont toutes égles. Ms ce modèle est précsément le modèle stpulé pr l'hpothèse nulle. On peut donc écrre n SCT = ( ) j j = SCR o où l notton SCR o sgnfe qu'l s'gt d'une somme de crrés résduelle sous un modèle rédut, rédut pr les contrntes de H o. L somme des crrés explquée, qu est l dfférence SCT - SCR peut lors s'écrre comme SCE = SCR o - SCR S est le nombre de degrés de lberté de SCR et est le nombre de degrés de lberté de SCR o o, lors le rpport F devent SCR o SCR /( o ) F = SCR / Cette formule est ssez générle: le rpport F est toujours de cette forme. L dfférence SCR o - SCR, l somme des REG06AnovPourPdfH 5 4/03///8:04

6 Anlse de vrnce crrés explquée, représente l réducton d erreur due à l'ntroducton du modèle plus complexe. L dfférence o - représente l dfférence entre le nombre de degrés de lberté de SCR o et le nombre de degrés de lberté de SCR. Interprétton de l sttstque F lorsque les n sont égux S n = = n = r, l moenne des crrés explquée peut s écrre comme MCE = n (... ) l sttstque F peut s écrre comme F = r ( ) ( ) = ˆ dénomnteur est une estmton de l vrnce de S ( ) ( ) = ˆ r ( ) ( ). Le ˆ. Le numérteur est l vrnce échntllonnle des, dsons, et donc estme l même chose s et seulement s les moennes sont égles. Snon, ( ) et prendr une vleur d utnt plus élevée que H o est «fusse». Une utre prmétrston du modèle S estme + Une utre fçon d'exprmer les prmètres du modèle est j = + + j où les stsfont = 0. Pusque E( j ) = +, nous vons forcément l relton µ = µ +., ce qu permet d exprmer chque µ en foncton de µ et de. Inversement, pusque µ = nµ + = nµ, on µ = µ /n et = µ - µ, ce qu permet d exprmer µ et les en foncton des µ. Les deux modèles sont donc équvlents. L'ntenton dns cette deuxème prmétrston est de décomposer l moenne de l e clsse en deux prtes, l'une, µ, commune à toutes les clsses, et l'utre,, propre à l e clsse. C'est une prmétrston qu prévot l'hpothèse qu ser testée, sot = = = = 0. Elle cependnt quelques nconvénents cusés pr l'ntroducton de + u leu de prmètres: les et µ. Cet ccrossement du nombre de prmètres n'est ps réel, pusqu'on ntrodut une contrnte qu rmène à l dmenson de l'espce des prmètres. Ms ces mnpultons cusent des dffcultés nutles..5 Test d'justement à une drote Revenons à l régresson lnére. Nous vons jusqu c posé, comme prte du modèle, l'hpothèse que l'espérnce E( ) est une foncton lnére o + x des x sns utre évdence que le nuge de ponts. Dns certns cs, cependnt, l est possble de soumettre cette supposton à un test sttstque. C'est le cs où une même vleur x est ccompgnée de pluseurs vleurs de,,,..., n. Sot x, x, x les vleurs dstnctes de x. (Il en tout n = n observtons, ms seulement vleurs dstnctes de x.) Le modèle de régresson s'écrt o : j = o + x + j Ms pour tester cette hpothèse de lnérté, nous commençons pr un modèle plus générl, dns lequel nous n'mposons ps l lnérté, sot : j = + j Or le modèle est le modèle d'nlse de vrnce ntrodut dns ce chptre et le modèle o est le modèle de régresson ntrodut u chptre 4. Nous pouvons, dns le modèle, tester l'hpothèse que le modèle o s'pplque, c'est-à-dre, l'hpothèse lnére = o + x REG06AnovPourPdfH :04

7 Plns d expérence Le rpport F pour tester cette hpothèse ur pour numérteur une somme de crrés explquée exprmée comme l dfférence de deux somme de crrés résduelles, SCE = SCR o - SCR, où SCR est smplement l somme des crrés résduelle dns le modèle et SCR o est l somme des crrés résduelle dns le modèle rédut pr l'hpothèse nulle, sot le modèle o. Nous vons déjà des formules pour ces sommes de crrés: SCR o = SCR = n ( ) j j. n ˆ ˆ ( x ) j j o où ˆ o et ˆ sont les estmteurs de o et défns u chptre 4. Quelques mnpultons lgébrques permettent d'écrre l dfférence SCR o - SCR de l mnère nstructve suvnte: SCR o - SCR = n ( ˆ ˆ x ) o Cette somme de crrés devrt être pette s l'hpothèse µ = o + x est vre, cr estme µ et ˆ o + ˆ x estme o + x. Le nombre de degrés de lberté est n- pour SCR et n- pour SCR o. Donc SCR o - SCR - degrés de lberté (ce qu s'explque: l somme termes et prmètres estmés). L sttstque F est donc F = SCR - SCR / ( ) o SCR / ( n ) ~ -;n- Exemple.5. Le tbleu suvnt présente des données sur 4 ordnteurs fn d'nlser l relton entre l vtesse de l'ordnteur et sont prx. ID Vtesse (mhz) Prx ($) ID Vtesse (mhz) Prx ($) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ Le grphque suvnt montre qu'l une certne relton. Elle est plutôt fble, ms elle exste. L relton est-elle lnére? REG06AnovPourPdfH 7 4/03///8:04

8 Anlse de vrnce Fgure.5. Prx Régresson Prx vs Vtesse Y = X R-Sq = 6.9 % Vtesse Nous fsons d'bord une nlse descrptve prllèle u rsonnement du test formel qu suvr. Nous commençons pr dopter une modèle qu ft le mons d'hpothèses possbles, c'est-à-dre, on suppose seulement que les moennes des 4 groupes (5 mhz, 33 mhz, 50 mhz, et 66 mhz) sont µ, µ, µ 3 et µ 4, sns ucune restrcton sur les µ. On estme ces moennes pr les moennes échntllonnles, qu sont = 48,; = 3346,4; 3 = 4570,75; 4 =493,67. L'hpothèse de lnérté est l'hpothèse que µ = o + x, =,, 3, 4, c'est-à-dre, que les 4 moennes se stuent sur une drote. Le grphque suvnt présente les moennes ns qu'une boîte qu résume les données dns chque clsse: Fgure.5. Prx 9000 Boîte de Prx pr Vtesse (Les moennes sont mrquée pr des ponts) Vtesse Le modèle de régresson lnére suppose que µ = o + x et fournt une estmton des coeffcents: Prx = ˆ o + ˆ x = ,6x Dns ce modèle, l'estmton des moennes des 4 groupes est: 34+60,6(5) = 648,43; 34+60,6(33) = 33,984; 34+60,6(50) = 46,657; 34+60,6(66) = 53,760. REG06AnovPourPdfH :04

9 Plns d expérence Nous devons donc comprer les deux séres d'estmton, celles bsées sur le modèle d'nlse de vrnce (les et celles bsées sur le modèle de régresson (les ˆ + ˆ o x ): Vtesse () 5 mhz 33 mhz 50 mhz 66 mhz Effectf (n ) Modèle d'nov ( ) 48, 3346,4 4570,75 493,67 Modèle de régresson ( ˆ o + ˆ x ) 648,43 33,984 46,657 53,760 L sttstque pour tester l'hpothèse de lnérté est SCR -SCR / ( ) o F = SCR / ( n ) qu sut une lo -;n- sous l'hpothèse de lnérté. Applqunt l'une des formules de SCR o -SCR, nous obtenons SCR o - SCR = n ( ˆ ˆ x ) o = 9(48,-648,43) + 5(3346,4-33,984) + 4(4570,75-46,657) + 6(493,67-53,760) = Le nombre de degrés de lberté est - = 4 - =. Qunt à SCR, c'est l somme des crrés des écrts entre les observtons et leur moenne estmée, sot ) SCR = n ( ) j = 9 j j ( ) + 5 ( ) + 4 ( ) + 6 ( ) j 3j 3 4j 4 = = Le nombre de degrés de lberté de SCR est n- = 4-4 = 0. Donc l vleur de F est F = SCR -SCR /( ) o SCR /( n ) = / (4 ) / (4 4) = 0,, ce qu, à et 0 degrés de lberté, est non sgnfctf: on ne rejette ps l'hpothèse de lnérté. Cec complète le test. Remrque. On peut montrer que SCR o - SCR = n j( x) - j o ˆ ˆ n ( ) j, j ce qu sgnfe que le test est bsé sur une comprson des résduels sous le modèle de régresson vec les résduels sous un modèle d'nlse de vrnce. Le modèle de régresson étnt plus restrctf, l somme des crrés résduelle est supéreure ou égle à celle d un modèle d nlse de vrnce. Ms l dfférence ne devrt ps être mportnte s le modèle de régresson est bon. C est ce qu explque pourquo cette dfférence fgure u numérteur de l sttstque F. S le modèle de régresson est ncorrect, les observtons s'élognerent des estmtons ˆ o + ˆ x plus que ne le ferent les ; pr conséquent les résduels serent mportnts et SCR o sert ben plus grnd que SCR. Une comprson vsuelle montre pourquo on ne rejette ps l'hpothèse de lnérté : les résduels des deux modèles ne sont ps très dfférents: REG06AnovPourPdfH 9 4/03///8:04

10 Anlse de vrnce Fgure.5.3 Résduel 4000 Comprson des résduels Ceux de l'nlse de vrnce et ceux de l régresson Anov Régresson En pssnt, on peut uss montrer que n SCR o - SCR = ˆ ˆ j ( x ) ( ) j o j Remrque S l fgure.5. ne montre ps d'évdence de non lnérté, elle suggère en revnche que les vrnces vrent vec l vtesse. Le grphque suvnt le montre encore. On verr mntennt que dns le cs présent l est possble de tester l'hpothèse d'homoscédstcté. Fgure.5.4 Résduel 4000 Résduels vs Vtesse (Anov) Vtesse.6 Test d homogénété de vrnces Supposons encore que nous n ons de vleurs dstnctes de x : x,, x, et que pour x on vt n vleurs, n, correspondntes, où n > pour chque. Il est lors possble de tester l hpothèse d'homoscédstcté, une hpothèse qu utrement fert prte du modèle et sert supposée vre sns démonstrton. On commence donc vec un modèle qu ne suppose ps l'homoscédstcté, sot j = + j, où j ~ (0 ; ). Homogénété de vrnces Dns ce modèle, on teste l hpothèse,, REG06AnovPourPdfH :04

11 Plns d expérence H o : = = S est le rpport des mxmums de vrsemblnce, lors s les n sont ssez grnds, l sttstque Q = - ln sut à peu près une lo à - degrés de lberté lorsque H o est vre. Il est sé de vérfer (lorsqu on remplce les estmteurs du mxmum de vrsemblnce pr les estmteurs sns bs) que où s = n Q = (n-)ln(s p ) - j (.) j n et s = p ( n )ln( ) s ( n ) s n = MCR. Nous effectuons les clculs vec les données de l'exemple sur les ordnteurs. Il ne fut ps oubler, cependnt, que le test est pproxmtf, pusqu'l est bsé sur l'hpothèse que les n sont grnds, ce qu n'est ps le cs; et églement sur l'hpothèse que les données sont normles, ce dont on ne peut ps être sûr. On n = 4 et = 4. Les vleurs des n sont 9, 5, 4, et 6. Les vleurs des et s sont 56 6 ; ; ; et s = Fnlement, Q = 6,0646. p 3 Le nveu de sgnfcton est P( > 6,0646) = 0,00, ce qu est hutement sgnfctf. On peut rejeter l hpothèse d homoscédstcté. Cette concluson est conforme à ce qu on vot dns le grphque des résduels, qu semble ndquer clrement que l dsperson des prx ugmente vec les vtesses (et le ft, uss, que les s crossent de fçon églement mportnte)..7 Combnsons lnéres des moennes Il est possble églement d'estmer des combnsons lnéres des µ et de tester des hpothèses à propos de ces combnsons lnéres. Sot = c µ une combnson lnére vec coeffcents fxes c. Un estmteur sns bs ˆ de est c ˆ = c. L dstrbuton de ˆ s obtent fclement: ˆ est une foncton lnére des, qu à leur tour sont fonctons lnéres des. Donc ˆ est normle, de moenne et de vrnce (c ) /n. L vrble Z = ˆ c / n ~ (0 ; ) Pusque n'est ps connue, nous remplçons Z pr et on peut démontrer que T = ˆ ˆ c / n, T ~ t n- Cec nous permet de détermner un ntervlle de confnce pour et de tester des hpothèses du genre H o : = o. REG06AnovPourPdfH 4/03///8:04

12 Anlse de vrnce En prtculer, nous pouvons tester des hpothèses à propos de l dfférence entre des moennes, ou encore à propos de certnes moennes prtculères. Exemple.7. Dns le problème trté u début du chptre, supposons que le trtement A est prtculer dns le sens que c est le trtement emploé régulèrement, lors que les tros utres sont des trtements expérmentux. On veut donc comprer le trtement trdtonnel à l ensemble des trtements expérmentux, c est-à-dre, on veut tester l hpothèse H o : µ = (/3)(µ + µ 3 + µ 4 ), ou encore, H o : 3µ - µ - µ 3 - µ 4 = 0. On 3() T = = -3,43 5, Pusque t 8;0,05 =,0, on rejette H o à 5%. On peut donc conclure que l ndce de dstorson des bndes expérmentles est supéreur, en moenne, à celu des bndes trdtonnelles. REG06AnovPourPdfH :04

13 Plns d expérence Anlse de vrnce à deux fcteurs fcteurs crosés. Décomposton des sommes de crrés Les résultts d une expérence sont souvent clssés selon plus d un fcteur, comme dns l exemple suvnt. Exemple.. [Bttchrr, Gour K., Johnson, Rchrd A. (977) Sttstcl concepts nd methods, Wle, New Yor, p.498]. Consdérons l'expérence suvnte, dont l objet est de détermner l'effet de deux hormones sur le pods des cobes. Les deux hormones et les qunttés dmnstrées sont Hormone A (Estrdol) 0 Hormone B (Progestérone) 0,5 mg/jour 0 0, mg/jour 0 mg/jour Le pln d'expérence est ppelé «pln fctorel»; les deux fcteurs A et B sont «crosés», dns le sens que nous vons des sujets pour chque combnson d'un nveu de A et un nveu de B. L vrble observée Y est le gn de pods durnt l pérode d observton. Les données sont les suvntes: Hormone B (Progestérone) Hormone A (Estrdol) 0 0, mg/jour 0 mg/jour 0 mg/jour ,5 mg/jour Le modèle est dt équlbré lorsqu l un même nombre r d observtons dns chque cse. Ic r = 3. Le modèle s'exprme de l fçon suvnte. Sot l j e observton du nveu du fcteur A et du nveu j du fcteur B. On suppose que les j sont ndépendntes et que E( j ) = j ; Vr( j ) =, =,, ; j =,, b On présente églement le modèle de l fçon équvlente suvnte: j = µ j + j, j ~ (0 ; ), j ndépendntes. Il est possble de trter ces données à l'de d'un modèle d'nlse de vrnce smple à un fcteur de b nveux, uquel cs on obtent tout de sute une décomposton de l somme des crrés totle: r (...) j = j + r j ( j....) r ( ) j j. j où j. est l moenne des données de l cse,j,... est l moenne de toutes les données. Avec les sgles hbtuels, cette décomposton s'écrt SCT = SCE + SCR où SCE b- degrés de lberté. L moenne MCE = SCE b peut servr u numérteur d'une sttstque F pour tester l'hpothèse que les b moennes sont toutes égles. Le dénomnteur est toujours MCR = SCR b( r ). Ms lorsque les données sont clssées selon deux fcteurs, cette décomposton est nsuffsnte: lorsqu on conclut qu l un effet sgnfctf, l mporte de svor s l s gt de l effet de l'un des fcteurs, de l'utre, ou d une ntercton entre les deux. L somme SCE, qu mesure les écrts entre les b moennes, se décompose en tros prtes, désgnées pr SCA, SCB et SCAB r b (...) j j. = br (.....) b + r (.....) j j +r ( ) j j j SCE = SCA + SCB + SCAB où.. est l moenne des données de l e lgne et.. est l moenne des données de l j e colonne. SCA, qu est j l dsperson entre les dfférents nveux de A, (-) degrés de lberté, SCB, l dsperson entre les dfférents nveux de B, (b-) degrés de lberté, et SCAB, une mesure des «nterctons» entre A et B, (-)(b-) degrés de REG06AnovPourPdfH 3 4/03///8:04

14 Anlse de vrnce lberté. Consdérons les tros hpothèses suvntes: H A : Le fcteur A n' ps d'effet: µ. =... = µ., µ. = jµ j /b H B : Le fcteur B n' ps d'effet: µ. =... = µ.b, µ. j = µ j / H AB : Aucune ntercton entre A et B: µ j - µ.- µ. j + µ = 0 j, où µ = j µ j /b. Une utre prmétrston Appelons «prmétrston {µ j }» celle décrte c-dessus. Trdtonnellement, on emploe une utre prmétrston, que nous nommerons «prmétrston {µ,,, }», qu pour but de refléter les hpothèses qu'on projette de tester. Voc comment on écrt l'équton du modèle: j = + + j + j + j À prt µ, ces prmètres ne sont ps des moennes: ce sont des dfférences de moennes. Le sens de ces prmètres est: : l'effet du e nveu du fcteur A j : l'effet du j e nveu du fcteur B j : l'effet de l'ntercton entre le e nveu de A et le j e de B Formellement, en termes de moennes, voc comment se défnssent les prmètres {µ,,, }: µ = µ (même sens dns les deux prmétrstons) = µ. - µ j = µ. j - µ j = µ j - µ. - µ. j + µ Les tros hpothèses clssques s'exprment lors comme cec: H A : =... = = 0 H B : =... = b = 0 H AB : j = 0 pour tout et tout j. Remrque Dns cette prmétrston, on lph, b bêt, et b gmm, ce qu donnert, à premère vue, + + b + b = (+)(b+) prmètres lors que les {µ j } sont u nombre de b. Il semblert donc qu'on ugmenté le nombre de prmètres. Il n'en est ren, cr en ft, l espce prmétrque demeure de dmenson b, tout comme vec l prmétrston {µ j }, grâce ux restrctons suvntes: = 0 ; j j = 0 ; j = 0 pour tout j ; j j = 0 pour tout.. Tests d'hpothèses On peut démontrer que:. SCA, SCB, SCAB et SCR sont ndépendntes.. SCA/ ( A), où A = br (µ -. µ) /. 3. SCB/ b ( B), où B = r j(µ -.j µ) /. 4. SCAB/ ( ), où = r AB j(µ j - µ.- µ.j + µ) /. ( )( b) AB 5. SCR/ b ( r ) centrle. Les tests pproprés pour H A, H B, et H AB découlent drectement de ces proprétés. Les résultts de l'nlse sont trdtonnellement présentés sous l forme d'une tble d'nlse de vrnce qu, pour une nlse à deux fcteurs crosés, prend l forme suvnte: REG06AnovPourPdfH :04

15 Plns d expérence Source Fcteur A Somme de crrés Tbleu.. Tble d nlse de vrnce Degrés de lberté Moenne de crrés Espérnces des moennes de crrés SCA = br (.....) - MCA = SCA/(-) + br (µ. - µ) /(-) b j j Fcteur B SCB = r (. ) b- MCB = SCB/(b-) + rj (µ. - j µ) /(b-) Interctons Résduel Totl SCAB = r SCR =... (....) j j j r j j SCT = r j. j... j (-)(b- ) b(r-) br- Les sttstques pour tester les hpothèses H A, H B, et H AB sont MCAB = SCAB/(-)(b-) MCR = SCR/b(r-) MCT = SCT/(n-) + r ( ) j j.. j ( )( b) F A = MCA MCR et les espérnces c-dessus justfent les régons crtques F B = MCB MCR F AB = MCAB MCR F A -,b(r-);, F B ~ b-,b(r-); et F AB ~ (-)(b-),b(r-);. Remrque Les sttstques F peuvent s exprmer comme un quotent de deux estmteurs de l vrnce de certnes..... moennes. Pr exemple, F A = br ( ) ( ) ( ) ( )..... ( ) ( )..... = = ˆ ˆ br ˆ pour dénomnteur un estmteur sns bs de l vrnce de.. ; et pour numérteur l vrnce échntllonnle des.., lquelle est sns bs pour s et seulement s H A est vre. Voc l tble d'nlse de vrnce (pr le logcel R) pour les données sur l'effet des deux hormones sur le gn de pods des cobes : > nov(lm(z~estrdol*progesterone)) Df Sum Sq Men Sq F vlue Pr(>F) estrdol progesterone e-05 *** estrdol:progesterone Resduls L seule vleur sgnfctve est celle pour le progestérone un nveu de sgnfcton nféreur à 0,0005. Le nveu de sgnfcton est 0,68 pour l'estrdol et 0,49 pour les nterctons. Donc le progestérone stmule l crossnce, l'estrdol n' ucun effet. L'effet du progestérone est le même, quelle que sot l quntté de l'estrdol consommée. On peut fre une nlse vsuelle de l ntercton à prtr du tbleu suvnt, qu représente les pertes moennes de pods selon le trtement suv. Les données dns les cellules sont les moennes échntllonnles, qu estment les µ j : j.. REG06AnovPourPdfH 5 4/03///8:04

16 Perte de pods Anlse de vrnce Progestérone Estrdol 0 mg 0, mg 0mg Moenne 0 mg -4, , , , 0,5 mg -9, , , ,5556 Moenne -6,8333-6,0000,0000-0,778 Voc une représentton grphque de ces moennes: Moennes des pertes de pods 0,5 mg Estrdol 0 mg Estrdol Dose Progesterone L ntercton exste u nveu de l'échntllon: les drotes ne sont ps prllèles. Ms nous venons de conclure que cette bsence de prllélsme n'est ps sgnfctve, c'est-à-dre qu'l est possble que dns l populton les deux lgnes soent en ft prllèles..3 Le sens de l'hpothèse de non ntercton L'bsence d'nterctons est défne formellement pr les équtons j j +.. = 0 pour tout, j Ms on peut démontrer que cette formulton est équvlente à ou encore pour toute pre j, j, l dfférence j - j est ndépendnte de pour toute pre,, l dfférence j - j est ndépendnte de j Le premer énoncé µ = µ j. + µ. j - µ.., µ j = µ. + µ. j' - µ. et donc µ j - µ = µ. j' j - µ. j', ndépendnte de. Récproquement, s µ j - µ est ndépendnte de lors µ j' j - µ = µ. j' j - µ. j' (/b) j' (µ j - µ j' ) = (/b) j' (µ. - µ. j j') µ j - µ. = µ..j - µ.. j j +.. = 0. Donc l bsence d'nterctons sgnfe que l dfférence entre deux nveux du fcteur A est constnte: elle ne dépend ps du nveu du fcteur B (A et B peuvent, ben sûr, être échngés dns l énoncé.) L'hpothèse de non ntercton est uss ppelée hpothèse d'ddtvté pusqu elle sgnfe que j -.. = (. -..) + (. j -..) = + j C est donc l hpothèse que l effet combné des deux trtements ( j -..) est l somme de deux effets: celu du trtement A (. -..) et celu du trtement B (. j -..)..4 Une hpothèse prtculère L hpothèse H B pourrt mnquer d ntérêt en présence d nterctons cr elle concerne l églté de l effet moen du progestérone, l moenne étnt prse sur les deux nveux d estrdol. Il pourrt être plus ntéressnt de tester l hpothèse que le progestérone n ps d effet lorsque le nveu d estrdol est fxe, pr exemple, en l bsence REG06AnovPourPdfH :04

17 Plns d expérence d estrdol, ou en présence de 0,5 mg d estrdol. Sot H A B : Le progesterone n ps d effet en l bsence de l estrdol : = = 3 H A B : Le progesterone n ps d effet en présence de 0,5 mg d estrdol : = = 3 L somme des crrés du numérteur pour tester l premère hpothèse est l dsperson des tros moennes de l premère lgne du tbleu : SCA B = 3{[ 4,66667 (,)] [6,33333 (,)] [7,66667 (,)] } = 690,889 SCA L sttstque F est B/ 690,889/ =,9699, ce qu, à et degrés de lberté, correspond à une p- MCR 70,9 vleur de 0,004. SCA De l même fçon, on obtent pour H A B l somme de crrés SCA B = 356,889 et l sttstque F = B/ MCR 356,889/ =,9538, ce qu, à et degrés de lberté correspond à une p-vleur de 0, ,9 Donc les deux hpothèses, H A B et H A B sont chcune rejetée ndvduellement. Ms on pourrt tester les deux hpothèses smultnément : L sttstque F pour tester H A B est [SCA B SCA B]/4 = MCR H A B : H A B et H A B : = = 3 et = = 3. [690, ,889]/ 4 79,9 À 4 et degrés de lberté, cec correspond à une p-vleur de 0, = 4947,778/ 4 = 36,944 79,9 79,9 = 7, Il est utle de remrquer c une utre formulton de l hpothèse H A B : H A B et H A B. Elle est tout à ft équvlente à H B et H AB. Elle peut donc être testée pr l sttstque F = [SCB+SCAB]/( ) [488,8+9,0]/( ) = MCR 70,9 = 7,43540, l même sttstque. Formulton générle Consdérons une clssfcton à deux fcteurs, A et B nt et b nveux, respectvement, et r observtons pr cse. Le tbleu suvnt présente une utre décomposton de l somme des crrés totle. Source Fcteur A Fcteur A B Résduel Totl Somme de crrés Tbleu.4. Tble d nlse de vrnce lterntve Degrés de lberté Moenne de crrés SCA = br (.....) - MCA = SCA br - + SCA B = SCB + SCAB = r j ( j... ) SCR = r j j SCT = r j. j... j (b-) MCA B = SCB+SCAB b ( -) b(r-) MCR = SCR b( r ) br- MCT = SCT n Espérnces des moennes de crrés (..... ) r... + j ( j ) b ( ) = REG06AnovPourPdfH 7 4/03///8:04

18 Perte de pods Anlse de vrnce.5 Estmton dns un modèle restrent pr une hpothèse S certnes des hpothèses consdérées semblent, en vertu des données et des tests, très plusbles, l est tentnt de les dopter comme prte du modèle. Cec permet de smplfer l descrpton du phénomène étudé. Une hpothèse qu smplfe consdérblement le modèle est l'hpothèse de non-ntercton. S on l'dopte, le modèle devent E( j ) = µ j = µ. + µ. j - µ Dns ce cs, les moennes µ j sont estmées dfféremment. On dmet fclement (et on peut le justfer formellement) que les moennes des mrges (c'est-à-dre, les µ. et les µ. j ) sont estmées pr les moennes échntllonnles correspondntes. On donc le tbleu suvnt en premer temps: Progestérone Estrdol 0 mg 0, mg 0 mg Moenne 0 mg ˆ. = -, 0,5 mg ˆ. = 0,5556 Moenne ˆ. ˆ. ˆ. 3 =,0000 ˆ = -0,778 à prt, les prmètres estmés dns le tbleu c-dessus sont en ft les seuls prmètres à estmer, pusque les µ j sont toutes fonctons des µ. et des µ. j. En utlsnt l relton ˆ j = ˆ. + ˆ. j - ˆ, on obtent les estmtons suvntes: Progestérone Estrdol 0 mg 0, mg 0 mg Moenne 0 mg -7, ,833333,6667 ˆ. = -, 0,5 mg -6, ,66667,83333 ˆ. = 0,5556 Moenne ˆ. = -6,8333 ˆ. = -6,0000 ˆ. =,0000 ˆ = -0,778 3 Voc une représentton grphque de ces moennes: Moennes sous l'hpothèse d'ddtvté 0,5 mg Estrdol 0 mg Estrdol Les drotes sont prllèles, et c'est précsément le sens de non-ntercton..6 Suggeston pour le clcul des espérnces Dose Progesterone Le clcul de l espérnce des moennes de crrés comme celles présentées u tbleu.. découle sément de l proposton suvnte : Proposton Sot,,, vrbles létores ndépendntes, de même vrnce et de moennes,,,, respectvement, et sot S = ( ) l vrnce échntllonnle des, où. Alors REG06AnovPourPdfH :04

19 Plns d expérence E(S ) = + ( ), où =. (..... ) = brs. S est l vrnce Applquons ce résultt u clcul de l espérnce de MCA = br échntllonnle des.., des vrbles ndépendntes de moennes E(.. ) = et de même vrnce /(br). Donc E(S ) = br ( ) Þ E(MCA) = + On peut pplquer le même prncpe u clcul de E(MCB). br (.. ). Le clcul de E(MCAB) ne sut ps uss sément, ms on peut l obtenr pr soustrcton : On donc E(MCE) = + E(MCAB) = E(MCE)-E(MCA)-E(MCB), où MCE = r ( ) j j b ( ) j j = br (. ). On utlse ensute le ft que ( j.... ) j r b b + r (. ) j j + r (.. ) j j j 3 Expresson mtrcelle Nous présentons c une expresson mtrcelle du modèle, ns qu une dscusson sur l orthogonlté des effets. Les queston uxquelles on répond sont ) quel est le len entre l orthogonlté et l ddtvté des sommes de crrés? et ) quel est le len entre les effectfs des cses et l orthogonlté? Pour concrétser, consdérons les données suvntes, clssées selon deux fcteurs : Fcteur A B B B 3 A 3 3 A 3 3 Posons j = + α + j + j, vec les contrntes j j = 0, de sorte qu on peut écrre les moennes comme cec : j j j Fcteur A B B B 3 Moennes A +α + + +α + + +α α A -α + - -α + - -α α Moennes Le modèle d nlse de vrnce à deux fcteurs peut s écrre en lngge mtrcelle E() = X où , = , et X = REG06AnovPourPdfH 9 4/03///8:04

20 Anlse de vrnce Prttonnons X selon les effets prncpux A, B et leurs nterctons AB : X = [X o X X X 3 ], les prttons nt, respectvement,,, et colonnes, correspondnt à, à α, ux et ux. Sot P le projecteur orthogonl sur (X ), = 0,,, 3, P j le projecteur sur ([X X j ]), P j le projecteur sur ([X X j X ]), etc., et sot P = P 03. Pour générlser quelque peu, supposons que les mtrces X o, X, X et X 3 ont, respectvement,,, b, et (-)(b- ) colonnes. Les sommes de crrés u numérteur des sttstques F pour tester les hpothèses hbtuelles H A (α = SCA / ( ) SCB / ( ) 0), H B ( = = 0), et H AB ( = = 0), sont F A =, F B =, F AB = SCR / ( n b) SCR / ( n b) SCAB / ( )( b ), où SCA = (P-P 03 ), SCB = (P-P 03 ), SCAB = (P-P 0 ) et SCR = (I - P). Or ces SCR / ( n b) sommes de crrés ne sont ps toujours celles qu fgurent dns une tble d nlse de vrnce. Le but d une nlse de vrnce est de décomposer une somme de crrés totle SCT = (I - P 0 ) d bord en s prte explquée et s prte résduelle, et ensute s prte explquée en une somme SCT = SCE + SCR = (P - P 0 ) + (I - P); SCE = SCA + SCB + SCAB. Or les sommes des crrés défnes c-dessus ne stsfont ps toujours cette condton : en générl, SCA + SCB + SCAB = (P-P 03 ) + (P-P 03 ) + (P-P 0 ) (P - P 0 ) Pour s ssurer que l somme des sommes de crrés donne ben SCE, certns logcels les défnssent utrement. Procédnt successvement, SCA, SCB et SCAB sont défnes comme cec : SCA = (P 0 -P 0 ); SCB = (P 0 -P 0 ) ; SCAB = (P-P 0 ) Ms que testent ces sommes, fgurnt u numérteur d une sttstque F? Générlement, elles ne testent ps ce qu on prétend tester, à mons qu elles coïncdent vec celles défnes plus hut, c est-à-dre, à mons que (P-P 03 ) = (P 0 -P 0 ) ; (P-P 03 ) = (P 0 -P 0 ); (P-P 0 ) = (P-P 0 ). Or ces égltés sont vérfées s et seulement s les colonnes X, X, et X 3 sont mutuellement orthogonles, c est-àdre, s X X j = 0, j. Cec découle du ft que dns ce cs, P 03 = P 0 + P + P + P 3. Et qund est-ce que, dns un modèle à deux fcteurs, ces mtrces sont mutuellement orthogonles? Qund les données sont équlbrées, c est-àdre, qund chque cse content le même nombre d observtons. On le vérfe en clculnt le produt X X, dns l exemple : X X = Il sufft d jouter quelques observtons à certnes des cses pour rompre cette orthogonlté (répétez certnes des lgnes de X un nombre négl de fos pour le vor). Pourquo l orthogonlté est-elle souhtble? Smplfons le problème pour vor ce qu se psse lorsque l orthogonlté n est ps vérfée. Consdérons le modèle E() = X = X: X β β. L somme des crrés pour tester l hpothèse H : = 0 est (P - P ). S X et X sont mutuellement orthogonux, P - P = P et l sttstque devent smplement est P. Snon, P - P = P +(I-P )P P = (I-P )P. L dfférence entre P et (I-P )P peut être mportnte, et elle l est d utnt plus que P P est dfférent de 0.. Les formules de SCA et SCB montrent qu en ft on teste H A dns un modèle où seul le fcteur A est présent; et on teste H B dns un modèle qu ne comprend que les fcteurs A et B, sns nterctons. REG06AnovPourPdfH :04

21 Plns d expérence 4 Anlse de vrnce à deux fcteurs fcteurs emboîtés Nous vons consdéré à l secton.4 une décomposton prtculère de l somme de crrés totle : les sommes SCB et SCAB sont fusonnées en une somme notée SCA B. Dns l exemple présenté, l s gsst d un chox, une lterntve que l expérmentteur peut dopter ou écrter. Ms l exste des cs où l décomposton en.4 s mpose, cr l décomposton clssque n ps de sens. C est le cs des données suvntes qu représentent l teneur en mtères grsses (en cg) pr 00 g d ornge de 6 dfférentes vrétés emploées pr un fbrcnt de produts lmentres. Chcune des vrétés provent de tros ps dfférents : Vrété Ps P P P3 Moenne V 3,5 4,0,5 4,5 3,0 3,0 3,0 4,5 5,5 5,0,5 3,0 3,66667 V 5,0 5,5 3,5 3,5 4,5 4,0 4,0 3,5 3,0 4,0 4,0 5,0 4,500 V3 5,0 4,5 5,5 6,0 5,5 4,5 5,0 4,5 5,0 5,0 6,5 5,5 5,0833 V4 8,5 6,0 6,5 7,0 7,0 7,0 9,0 8,5 8,0 6,5 7,0 7,0 7,33333 V5 6,0 5,5 6,0 8,5 6,5 6,5 3,5 7,0 4,5 7,5 8,5 7,5 6,45833 V6 7,0 9,0 6,0 7,0,0 7,0 8,5 8,5 7,0 7,0 9,0 8,0 7,9667 Moenne 5,7967 5,6047 5, ,7847 L'expérence vse à détermner s l des dfférences entre les vrétés et entre les ps qunt à l teneur en mtères grsses. À premère vue, l s gt d une nlse de vrnce à deux fcteurs. Ms l dfférence c vent du ft que les ps P, P, et P3 ne sont ps les mêmes pour chque vrété : ls pourrent représenter, pr exemple, le Brésl, les Étts-uns et le Mexque pour l vrété V; l Inde, l Chne et l Irn pour l vrété V; etc. Nous vons ben deux fcteurs, l vrété consttunt, dsons, le fcteur A; et l provennce le fcteur B. Ms ls ne sont ps crosés, ls sont emboîtés : le fcteur B (l provennce) est emboîté dns A. Une nlse de vrnce comme celle de l secton précédente donnert les résultts suvnts: > nov(lm(~vrete*provennce)) Source DF SS MS F P vrete provennce Intercton Error Totl Cette nlse est correcte en ce qu concerne les vrétés : le test pour H A est le même dns les deux cs. En ce qu concerne l provennce (fcteur B) ou les nterctons, cette nlse sert futve, cr certnes des moennes clculées dns le modèle à effets crosés n ont plus de sens. Comme pr exemple.j qu ntervent dns le clcul de SCB: ce sert l moenne des ornges provennt du ps portnt le lbel P j, ce qu n est ps sensé. L hpothèse H AB non plus. Une hpothèse concernnt l provennce qu est rsonnble est l suvnte : Il n ps de dfférence entre les provennces d une même vrété, et ce, pour toutes les vrétés. Formellement, cette hpothèse, que nous désgnerons pr H A B, s exprme pr H A B : = = = b pour =,,, L moenne des crrés qu fgurer u numérteur de l sttstque F est MCA B = ( j. ) j r b ( ), REG06AnovPourPdfH 4/03///8:04

22 Anlse de vrnce le nombre de degrés de lberté étnt (b-). L somme entre les ccoldes, r b (...) j j, mesure les écrts entre les pots à l ntéreur d un même trtement. Donc l sttstque F prendr une vleur élevée s l d mportntes dfférences entre les pots à l ntéreur d un même trtement. L sttstque F correspondnte est On peut montrer que SCA B = SCB + SCAB : r (...) j j F A B = MCA B MCR = br (.. ) + r (..... ) j j j, ce qu explque uss le nombre de degrés de lberté : (b-)+(-)(b-) = (b-). Tble d nlse de vrnce : > nov(lm(~vrete/provennce)) Df Sum Sq Men Sq F vlue Pr(>F) vrete < e-6 *** vrete:provennce * Resduls Prmétrston Une fçon de prmétrer ce modèle: vec l correspondnce suvnte: µ j = E( j ). = µ + + j() µ = µ (même sens dns les deux prmétrstons) = µ. - µ j = (µ. j - µ) + (µ j - µ. - µ. j + µ) = µ j - µ. 5 Anlse de vrnce à deux fcteurs vec une observton pr cellule Dns une nlse de vrnce à deux fcteurs, l rrve qu on n t qu une seule observton pr cellule. Pusque l estmteur MCR de l vrnce est une mesure de l dsperson des données d une même cellule, cet estmteur n exste ps dns ce cs. Il est nécessre lors d mposer certnes contrntes ux prmètres fn d obtenr une estmton de. Ce problème une générlston du test d églté de deux moennes vec données pprées. Le modèle Consdérons les données suvntes. Exemple [George W. Snedecor et Wllm G. Cochrn, Sttstcl methods, Sxth edton, Iow Stte, p. 30] On prend une certne mesure de l teneur en eu des feulles des rbres de tros espèces d grumes sous tros condtons d ensolellement (9 rbres en tout). Voc les données : Ensolellement Ornge Shmout Pmplemousse Clémentne. Solel ,3333 Ombre prtelle ,66667 Ombre , , , , j On donc en tout b observtons j, et le modèle est où les j sont ndépendntes, j ~ (0 ; ). j = j + j, =,, ; j =,, b (c = b = 3) REG06AnovPourPdfH :04

23 Plns d expérence L somme des crrés explquée SCE = ( ) j j.. se décompose ns: ( ) j j.. = b (. ) b.. + (. ) j j.. + Dns l exemple, on SCT = SCA + SCB + SCAB. SCT = (-88,44) + (90-88,44) + + (8-88,44) = 8, SCA = 3[(08,33-68,44) + (8,67-68,44) + (74,33-68,44) ] = 884, SCB = 3[(9,67-68,44) + (75-68,44) + (97,67-68,44) ] = 850,8889 SCAB = SCT SCA SCB = 87, ( ) j j.. j.. Les sommes de crrés SCA, SCB, et SCAB sont ndépendntes, et dvsées pr elles suvent chcune une lo, générlement non centrle. Le problème qu se pose c, c est qu l n ps de somme de crrés résduelle (dsperson à l ntéreur des cses), et donc ps d estmteur de vrnce. Les espérnces des moennes de crrés MCA = SCA/(-), MCB = SCB/(b-) et MCAB = SCAB/[(-)(b-)] sont présentées dns le tbleu suvnt: Moenne de crrés Degrés de lberté Espérnce MCA - + b (µ. - µ) /(-) MCB b- + j (µ. j - µ) /(b-) MCAB (-)(b-) + j (µ j - µ - µ. j. + µ) /(-)(b-) MCT b- + j (µ j - µ) /(b-) On vot ben qu ucun des quotents possbles ne peut servr à tester les hpothèses usuelles H A, H B et H AB. Il ser donc nécessre d'mposer quelques contrntes supplémentres. L contrnte normlement mposée est où. = b j j j j +.. = 0 pour tout, j ;. j = b j ;.. = b j Ce postult, ppelé hpothèse d ddtvté ou de non ntercton, que nous ne pouvons ps tester et consdérons comme prte du modèle, rédut l'espérnce de MCAB à et nous permet de tester les hpothèses suvntes: j H A : Les µ. sont égux : F H B : Les µ. j sont égux : F Dns l exemple, A = MCA MCAB -,(-)(b-) lorsque H A est vre. B = MCB MCAB b-,(-)(b-) lorsque H B est vre. F A = MCA 884, / 3 43,6 et F B = MCAB 87, / 4 MCB 850,89 / 3 9,536. MCAB 87, / 4 Les p-vleurs correspondntes sont (à 3 et 4 degrés de lberté dns les deux cs) 0,00953 pour F A et 0,00865 pour F B. Les deux fcteurs sont donc fortement sgnfctfs. Voc les résultts produts pr le logcel R : REG06AnovPourPdfH 3 4/03///8:04

24 Anlse de vrnce > nov(lm(~solel+espece)) Anlss of Vrnce Tble Df Sum Sq Men Sq F vlue Pr(>F) solel ** espece ** Resduls Remrque Le modèle trté c est une générlston du test d églté de deux moennes. Supposons n observtons pprées, (x ; ),, (x n ; n ), recuelles fn de tester l hpothèse x =, où x = E(X ) et = E(Y ), =,, n. L nlse vre selon que les échntllons sont ndépendnts ou pprés. S les échntllons n( Y X ) sont ndépendnts, l sttstque t hbtuelle est t = et son crré est t n( Y X ) = = S S n( n )( Y X ) ce qu, dns l notton d une nlse de vrnce à un fcteur est exctement n n [ ( X X ) ( Y Y ) ] l sttstque t = F = MCA MCR. Lorsque les données sont pprées, l sttstque hbtuelle est t = nd S est l moenne des dfférences D = Y - X et n n n j j j S d est l vrnce échntllonnle des D, qu est égle à d où D S d = ( x x ) ( ) ( x x )( ). Dns l notton d une nlse de vrnce à deux ( n ) fcteurs, t MCA =. Donc le ft que l expérence est fte en blocs entrîne que le dénomnteur dot être MCAB MCAB et non MCR. C est ce qu se produt dns le cs plus générl que nous vons présenté c Effet des nterctons sur ces tests Lorsque l'hpothèse d'ddtvté n'est ps vérfée, l sttstque F A ne sut ps une lo centrle, même lorsque H A est vre. On vot à l'espérnce de MCAB que lorsque l'hpothèse d'ddtvté n'est ps vérfée, F A tendnce à prendre des vleurs plus pettes que celles d'une vrble de lo centrle. Donc le test bsé sur F A est conservteur. *Comprsons Consdérons un exemple fctf pour comprer les deux modèles. Supposons qu on veulle tester, sur des élèves du secondre, technques vsnt à développer l mémore à court terme. Pour ce fre, on utlse b sujets pour chque technque emploe chque technque vec b sujets. Consdérons deux fçons de procéder u chox des sujets. Premère fçon On procède u chox des sujets en trnt u hsrd b sujets pour chque trtement b sujets en tout. Les observtons des mesures de succès prses pour chque ess prennent l forme suvnte: Trtement... b... b b..... b Le modèle qu en découle, crctérsé pr les espérnces suvntes, est le modèle d nlse de vrnce à un fcteur (le fcteur A, nveux) et b observtons pr cellule, que nous désgnons pr :. REG06AnovPourPdfH :04

25 Plns d expérence Trtement µ µ... µ µ µ µ... µ µ 3 µ 3 µ 3... µ 3 µ 3 µ µ... µ µ Deuxème fçon On commence pr réprtr l populton en b groupes. Ce groupement étnt ft, on procède à un chox de sujets dns chque groupe. Les observtons prennent lors l forme suvnte: Bloc... b... b.... b. Trtement b b b.. Le modèle qu en découle, crctérsé pr les moennes suvntes, est le modèle d nlse de vrnce à deux fcteurs et une observton pr cse, que nous désgnons pr : Bloc... b µ µ... µ b µ. µ µ... µ b µ. Trtement 3 µ 3 µ 3... µ 3b µ 3. µ µ... µ b µ. µ. µ.... µ. b µ.. L objectf de ce groupement est de réunr dns chque groupe des sujets qu se ressemblent le plus possble. L dél, c est qu l t beucoup de dfférences entre les groupes et peu de dfférences à l ntéreur des groupes. Dns l exemple, on pourrt songer à grouper les élèves selon leurs pttudes scolres. L correspondnce entre les sommes de crrés des deux modèles est donnée dns le tbleu suvnt: b (. ) Somme des crrés Notton dns Notton dns SCE SCA SCT SCT ( j j ) b ( j. j.. ) Non défn SCB ( j j.) b = ( j. j ) + ( j j.. j ) SCR SCB + SCAB Quel est le melleur pln d'expérence? Dns les deux cs, l objectf prncpl est de détecter un effet de trtement. Consdérons les tests et, dns les REG06AnovPourPdfH 5 4/03///8:04

26 Anlse de vrnce modèles et, respectvement, de l'hpothèse que les trtements n'ont ps d'effet: Les sttstques et leur lo sous l hpothèse nulle sont, bsé sur F = MCE, bsé sur F = MCR ~ -;(b-) sous H o dns le modèle : MCA MCAB ~ -;(-)(b-) sous H A dns le modèle : Sot et les vrnces de j dns les modèles et, respectvement. Pour l sttstque F, le numérteur et dénomnteur ont les espérnces suvntes E(MCE) = + E(MCR) = b (. ) Pour l sttstque F, le numérteur et dénomnteur ont les espérnces suvntes sous le modèle : E(MCA) = E(MCAB) = + b (. ) Le test F est d'utnt plus effcce que l'espérnce du numérteur est grnde comprée à celle du dénomnteur; ou encore, que l'écrt b (µ.- µ) /(-) entre les moennes est grnd compré à l vrnce. Lorsqu'on procède sns blocs, l vrnce d'une observton tendnce à être grnde pusqu l s gt de l vrnce d une observton chose dns l populton entère. Pr contre, l vrnce d'une observton prélevée dns un bloc donné, tendnce à être reltvement pette. C'est pour cel qu'un pln d'expérence en blocs est générlement plus effcce. *Effet d une muvse spécfcton du modèle Que se psse-t-l s on utlse un test sur un modèle ncorrect? Consdérons les tests et, dns les modèles et, respectvement, de l'hpothèse que les trtements n'ont ps d'effet. : bsé sur F = MCE MCR = Les justfctons sont trées du tbleu suvnt: MCA (SCB+SCAB)/ b ( ) ; : bsé sur F = MCA MCAB REG06AnovPourPdfH :04

27 Plns d expérence Formule Moenne des crrés Notton sous sous Espérnce sous sous b (. ).. MCE MCA + (..) b b + (...) b j (. j..) - MCB + (. j..) b b + (....) j j j - MCAB (.. j j.. ) j ( )( b) (.) j j MCR b ( ) (..) j j MCT MCT b Les espérnces du numérteur de F sont, d'près le tbleu c-dessus, E(MCE) = + ce qu justfe le test. b ( ) SCB+SCAB b ( ) +, E(MCR) =, + (..) j j b + b Les espérnces du numérteur et du dénomnteur de F sont, d'près le tbleu c-dessus, E(MCA) = + E(MCAB) = + b (. )., (.. ) j j j = sous l'hpothèse de non ntercton. ( )( b) ce qu justfe le test, à condton d'nclure dns le modèle l'hpothèse de non-ntercton. ( )( b) j (.) j b ( ) (..) b Test lorsque le modèle est Supposons que l expérence été fte pr blocs (modèle ), ms qu'on pplque le test. Que se psse-t-l? Le test n'est ps vlde cr dns ce cs, l sttstque F = MCE n'est ps de MCR lo F centrle sous H A. L sttstque SCE/ est ben de lo centrle sous H o, ms ps SCR/ ne l'est ps. Même en supposnt les nterctons nulles, SCR/ n'est ps une h-deux centrle: son prmètre de non-centrlté j est (.) j, une mesure de l effet des blocs. Le test n est donc vlde que s l n ps d effet de blocs, c'est-à-dre, seulement s le modèle correct est en ft. Le test tendnce à être conservteur, cr dns le modèle, E(MCE) = b (. ) + lors que E(MCR) = (.) j j +. Le deuxème b ( ) terme dns E(MCR) pour effet de fre bsser l vleur de F, ce qu rend le rejet de H A peu probble. L effet de blocs, s l exste, donne à l sttstque F une tendnce à des vleurs pettes et donc rend dffcle le rejet de H A même lorsque H A est fusse. REG06AnovPourPdfH 7 4/03///8:04

28 Anlse de vrnce Test lorsque le modèle est Inversement, s l expérence n ps été fte en blocs ms qu on nlse les données selon le modèle, que se psse-t-l? L'hpothèse nulle est testée à l'de de l sttstque MCA F = MCAB Le test bsé sur F reste vlde même s c'est le modèle qu s'pplque, pusque tous les postults de (en prtculer, l'ddtvté) sont vérfés pr. Cependnt, s on utlse F, on dspose de mons de degrés de lberté pour estmer l vrnce: (-)(b-) u leu de (b-). *6 Anlse de vrnce à tros fcteurs L nlse de vrnce à tros fcteurs présente certnes problémtques nouvelles pr rpport à l nlse de vrnce à deux fcteurs. D bord, le nombre de termes d nterctons ugmente et leur sens nécesste certnes explctons. Ensute, les tros fcteurs peuvent être crosés comme ls peuvent être emboîtés, et emboîtés de pluseurs fçons. Afn de mettre ces questons u clr, l nous semble préférble d llustrer tous les modèles dscutés à l de d un seul et même ensemble de données, clssées selon tros fcteurs. Pour llustrer les dfférents modèles, nous nous contenterons de chnger le sens des fcteurs, sns modfer les données elles-mêmes. Commençons pr le cs le plus drect, tros fcteurs crosés. Tros fcteurs crosés {Commnde R : > nov(lm(~a*b*c))} Supposons que les données en nnexe représentent les scores obtenus à un certn test pr un groupe de 36 sujets réprts selon tros fcteurs, A, B, et C. Pour llustrer le cs où les tros fcteurs sont crosés, nous leur donnons le sens suvnt : A : Unversté : UQÀM, UdeM, McGll, Concord B : Dscplne : Scences, Geston, Scences socles C : Nveu : Bcc., mîtrse, doctort. Le modèle est jl = j + jl où j = + + j + g j + () j + (g) + (g) j + (g) j Les sommes de ces prmètres pr rpport à l un des ndces sont toutes nulles (pr ex. = 0; j () j = 0 pour tout, etc.) Les prmètres, et g désgnent les «effets prncpux», ceux des fcteurs A, B et C globlement; les prmètres (), (g) et (g) représentent les nterctons deux à deux (pr ex. () est l ntercton entre les fcteurs A et B); fnlement les prmètres (g) représentent les nterctons des tros fcteurs. Afn de concrétser les sens de ces prmètres, nous en exprmerons quelques uns en foncton des moennes j, vec l notton hbtuelle où, pr exemple,. j représente l moenne des j pour j et fxes :. j = j, étnt le nombre de nveux du fcteur A; et :. j. = c j c. (Nous écrrons, cependnt, plutôt que ). Voc donc le sens de certns de ces prmètres (le sens des utres se devne): j =. j.- ; (g) = ; (g) j = j j... j... j.... Les hpothèses testées pr une nlse de vrnce clssque sont H A : = 0 pour tout ; H B : j = 0 pour tout j ; H C : g = 0 pour tout ; H AB : () j = 0 pour tout et j ; H AC : (g) = 0 pour tout et ; H BC : (g) j = 0 pour tout j et ; et H ABC : (g) j = 0 pour tout, j, et. Les sommes de crrés correspondnt à chcune de ces hpothèses sont présentées dns le tbleu suvnt (, b et c représentent le nombre de nveux de A, B et C, respectvement, et r est le nombre d ndvdus dns chcune des combnsons de nveux de A, B et C): REG06AnovPourPdfH :04